初中数学题库

第一部分　数与代数

第１章　实 数

§１．１　实数的基本概念

一、有理数与无理数、相反数、绝对值

　１．１．１　★已知下列各数：

７．２，－２２，０．１，－－５１２，

ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，－５０．１·０２·，

．分数集合｛ …｝；整数集合｛ …｝；负有理数集合｛ …｝；非负有理数集合｛ …｝．解析：分数集合｛７．２，０．１，－５１２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，０．１·０２·，…｝．整数集合｛－２２，－－５，…｝

．

负有理数集合｛－２２，－－５１２，－５，…｝．

非负有理数集合｛７．２，０．１，ｓｉｎ，，３．１４，０．１·０２·，…｝．

　１．１．２　★实数０．１０１００１０００１０…、、２２７、３π、ｔａｎ６０°－１３．１４中，有理数有 个，无理数有 个．

：根据有理数及无理数的意义，通常可以循以下思路来挑选、甄别：整数、分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数；无限不循环小数是无理数；π是无理数；有根号，能求得结果是整数或分数（也称作开方能开尽）的是有理数，否则是无理数；锐角特殊角的三角函数中除ｓｉｎ３０°＝ｃｏｓ６０°＝１２和ｔａｎ４５°＝ｃｏｔ４５°＝

２　

１外，都是无理数．上述各数中、２２７、－１、３

．１４是有理数，共有５个；０．１０１００１０００１０…、

３π、

ｔａｎ６０°

，共有６个．

　１．１．３　★★在实数中，倒数等于本身的数是 ，相反数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ．解析：方法１　因为互为倒数的两数乘积等于１，而这两数相等，只能同时为１或同时为－１，所以倒数等于本身的数是±１．同理，相等两数的和为０，只能同时为０，所以相反数等于本身的数是０．根据绝对值的意义，绝对值等于本身的数是任何非负实数．方法２　设所求的数为狓，根据题意，可分别列出方程：１狓＝狓，－狓＝狓，狘狓狘＝狓．容易得到它们的解分别为狓＝±１，狓＝０，狓≥０．　１．１．４　★★已知犪、犫互为相反数，则下列各对数中（ ）不是互为相反数． （Ａ）－２犪和－２犫（Ｂ）犪＋１和犫＋１（Ｃ）犪＋１和犫－１（Ｄ）２犪和２犫解析：因为犪、犫互为相反数，所以犪＋犫＝０，而（犪＋１）＋（犫＋１）＝犪＋犫＋２＝２，故选Ｂ．　１．１．５　★★下列命题中，正确的是（ ）．（Ａ）若犪＜０，则犪＝－犪（Ｂ）若犪是实数，则犪＝±犪（Ｃ）若犪＝犪，则犪＞０（Ｄ）若犪是实数，则犪＞０解析：因为任意实数的绝对值总是惟一确定的非负数，故（Ｂ）错误；而０的绝对值也等于它本身，所以（Ｃ）、（Ｄ）错误．故选Ａ．　１．１．６　★★★若犪＞犫且犪＜犫，则下列说法正确的是（ ）．（Ａ）犪一定是正数（Ｂ）犪一定是负数（Ｃ）犫一定是正数（Ｄ）犫一定是负数解析：假设犪、犫都是非负数，则条件中第二个不等式可化为犪＜犫，与第一个不等式矛盾，所以犪、犫中的较小数犫一定是负数．故选Ｄ．　１．１．７　★★判断语句“因为负数的绝对值等于它的相反数，所以若狘狓狘＝－狓，则狓＜０”是否正确，并说明理由．解析：上述语句中条件“因为负数的绝对值等于它的相反数”是正确的，但反过来还应注意到０也满足等式狘狓狘＝－狓，所以结论“若狘狓狘＝－狓，则狓＜０”是错误的，应为“若狘狓狘＝－狓，则狓≤０”．　１．１．８　★★某数与－２５的和是２３的相反数，求这个数．

第１章　实 数３　

解析：方法１　根据题意，这个数是－２３－（－２５）＝２．方法２　设这个数为狓，则狓－２５＝－２３，解得狓＝２．　１．１．９　★★若犪和犫互为相反数，

犮和犱互为倒数，犿的绝对值为２，求代数式犪＋犫犪＋犫＋犮＋犿２－犮犱的值．解析：根据题意，犪＋犫＝０，犮犱＝１，犿２＝４，所以原式＝０犮＋４－１＝３．　１．１．１０　★★已知２狓－３＝３－２狓，求狓的取值范围．解析：因为２狓－３的绝对值等于它的相反数，所以２狓－３≤０，即狓≤３２．　１．１．１１　★★已知１≤狓＜５，化简１－狓＋狓－５．解析：因为１≤狓＜５，所以１－狓≤０，狓－５＜０．原式＝狓－１＋５－狓＝４．　１．１．１２　★★★已知犪犫≠０，求犪犪＋犫犫的值．解析：本题有以下三种情形：（１）若犪、犫异号，则犪犪＋犫犫＝０；（２）若犪、犫都是正数，则犪犪＋犫犫＝２；（３）若犪、犫都是负数，则犪犪＋犫犫＝－２．　１．１．１３　★★★求出所有满足条件狘犪－犫狘＋犪犫＝１的非负整数对（犪，犫）．解析：根据题意，狘犪－犫狘和犪犫两个代数式的值都是非负整数，则只能一个为０，另一个为１，即犪与犫的值只能在０与１中取．用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对：（０，１），（１，０），（１，１）．　１．１．１４　★★★分别写出满足下列条件的实数，你能写出几个？试设计一个方案，使能写出随意指定的个数．你能从中体会到什么？（１）１与２之间的有理数；（２）１与２之间的无理数．解析：本题答案不惟一．例如，可以随意取一个１与２之间的有理数１．５（无理数，取这个数与２的平均数，再取所得数与２的平均数，……即可得到所需要

（无理数）．从而我们能够体会到任意两个实数之间都有无穷多个有理数和无理数．　１．１．１５　★★★★设狓、狔是实数，试证明狓＋狔≥狓＋狔，并利用这一结论求狓－２＋狓＋４的最小值．解析：显然，若狓、狔同号或至少有一个为０，则有狓＋狔＝狓＋狔；若狓、狔异号，则有狓＋狔＞狓＋狔．所以狓＋狔≥狓＋狔成立．

４　

根据上述结论，得狓－２＋狓＋４＝２－狓＋狓＋４≥２－狓＋狓＋４＝６，所以代数式狓－２＋狓＋４的最小值是６．二、平方根与立方根

　１．１．１６　★填空：（１）６４的平方根是 ；（２）６４的立方根是 ；（３）正数犪的平方根是 ；（４）犿的立方根是 ．解析：（１）±８．　（２）４．　（３）±　（４

　１．１．１７　★填空：（１）因为（ ）２＝２５，所以２５的平方根是 ，２５的算术平方根是 ；（２）因为犪２＝犿，所以犿的平方根是 ，犿的算术平方根是 ．解析：（１）±５；±５；５．（２）注意到犪的符号不能确定，所以犿的平方根是±犪，算术平方根是｜犪｜．　１．１．１８　★填空：（１）（ ）２＝１７９； （２）（ ）３＝２１０２７；（３）（ ）２＝１５； （４）（ ）３＝－６．解析：（１）因为１７９＝１６９，所以填±４３．（２）因为２１０２７＝６４２７，所以填４３．（３）±槡 （４）

　１．１．１９　：（１）平方根等于本身的数是 ；（２）算术平方根等于本身的数是 ；（３）立方根等于本身的数是 ．解析：（１）因为正数的平方根有两个，所以平方根等于本身的数只能是０．（２）因为正数的算术平方根只有一个，０的算术平方根等于０，所以应填０、１．（３）因为正数、负数的立方根都是惟一的，０的立方根是０，所以立方根等于本身的数是０、１和－１．　１．１．２０　★对任意实数犪，下列结论总正确的是（）．（Ａ）犪２与（－犪）２互为相反数（Ｂ

（Ｃ（Ｄ互为相反数

犪，（Ａ）、（Ｄ）中两式都是相等的，而（Ｂ）中当犪≠０时，总有一