初中数学题库

第一部分　数与代数第１章　实 数§１．１　实数的基本概念一、有理数与无理数、相反数、绝对值　１．１．１　★已知下列各数：７．２，－２２，０．１，－－５１２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，－５０．１·０２·，．分数集合｛ …｝；整数集合｛ …｝；负有理数集合｛ …｝；非负有理数集合｛ …｝．解析：分数集合｛７．２，０．１，－５１２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，０．１·０２·，…｝．整数集合｛－２２，－－５，…｝．负有理数集合｛－２２，－－５１２，－５，…｝．非负有理数集合｛７．２，０．１，ｓｉｎ，，３．１４，０．１·０２·，…｝．　１．１．２　★实数０．１０１００１０００１０…、、２２７、３π、ｔａｎ６０°－１３．１４中，有理数有 个，无理数有 个．：根据有理数及无理数的意义，通常可以循以下思路来挑选、甄别：整数、分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数；无限不循环小数是无理数；π是无理数；有根号，能求得结果是整数或分数（也称作开方能开尽）的是有理数，否则是无理数；锐角特殊角的三角函数中除ｓｉｎ３０°＝ｃｏｓ６０°＝１２和ｔａｎ４５°＝ｃｏｔ４５°＝２　１外，都是无理数．上述各数中、２２７、－１、３．１４是有理数，共有５个；０．１０１００１０００１０…、３π、ｔａｎ６０°，共有６个．　１．１．３　★★在实数中，倒数等于本身的数是 ，相反数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ．解析：方法１　因为互为倒数的两数乘积等于１，而这两数相等，只能同时为１或同时为－１，所以倒数等于本身的数是±１．同理，相等两数的和为０，只能同时为０，所以相反数等于本身的数是０．根据绝对值的意义，绝对值等于本身的数是任何非负实数．方法２　设所求的数为狓，根据题意，可分别列出方程：１狓＝狓，－狓＝狓，狘狓狘＝狓．容易得到它们的解分别为狓＝±１，狓＝０，狓≥０．　１．１．４　★★已知犪、犫互为相反数，则下列各对数中（ ）不是互为相反数． （Ａ）－２犪和－２犫（Ｂ）犪＋１和犫＋１（Ｃ）犪＋１和犫－１（Ｄ）２犪和２犫解析：因为犪、犫互为相反数，所以犪＋犫＝０，而（犪＋１）＋（犫＋１）＝犪＋犫＋２＝２，故选Ｂ．　１．１．５　★★下列命题中，正确的是（ ）．（Ａ）若犪＜０，则犪＝－犪（Ｂ）若犪是实数，则犪＝±犪（Ｃ）若犪＝犪，则犪＞０（Ｄ）若犪是实数，则犪＞０解析：因为任意实数的绝对值总是惟一确定的非负数，故（Ｂ）错误；而０的绝对值也等于它本身，所以（Ｃ）、（Ｄ）错误．故选Ａ．　１．１．６　★★★若犪＞犫且犪＜犫，则下列说法正确的是（ ）．（Ａ）犪一定是正数（Ｂ）犪一定是负数（Ｃ）犫一定是正数（Ｄ）犫一定是负数解析：假设犪、犫都是非负数，则条件中第二个不等式可化为犪＜犫，与第一个不等式矛盾，所以犪、犫中的较小数犫一定是负数．故选Ｄ．　１．１．７　★★判断语句“因为负数的绝对值等于它的相反数，所以若狘狓狘＝－狓，则狓＜０”是否正确，并说明理由．解析：上述语句中条件“因为负数的绝对值等于它的相反数”是正确的，但反过来还应注意到０也满足等式狘狓狘＝－狓，所以结论“若狘狓狘＝－狓，则狓＜０”是错误的，应为“若狘狓狘＝－狓，则狓≤０”．　１．１．８　★★某数与－２５的和是２３的相反数，求这个数．第１章　实 数３　解析：方法１　根据题意，这个数是－２３－（－２５）＝２．方法２　设这个数为狓，则狓－２５＝－２３，解得狓＝２．　１．１．９　★★若犪和犫互为相反数，犮和犱互为倒数，犿的绝对值为２，求代数式犪＋犫犪＋犫＋犮＋犿２－犮犱的值．解析：根据题意，犪＋犫＝０，犮犱＝１，犿２＝４，所以原式＝０犮＋４－１＝３．　１．１．１０　★★已知２狓－３＝３－２狓，求狓的取值范围．解析：因为２狓－３的绝对值等于它的相反数，所以２狓－３≤０，即狓≤３２．　１．１．１１　★★已知１≤狓＜５，化简１－狓＋狓－５．解析：因为１≤狓＜５，所以１－狓≤０，狓－５＜０．原式＝狓－１＋５－狓＝４．　１．１．１２　★★★已知犪犫≠０，求犪犪＋犫犫的值．解析：本题有以下三种情形：（１）若犪、犫异号，则犪犪＋犫犫＝０；（２）若犪、犫都是正数，则犪犪＋犫犫＝２；（３）若犪、犫都是负数，则犪犪＋犫犫＝－２．　１．１．１３　★★★求出所有满足条件狘犪－犫狘＋犪犫＝１的非负整数对（犪，犫）．解析：根据题意，狘犪－犫狘和犪犫两个代数式的值都是非负整数，则只能一个为０，另一个为１，即犪与犫的值只能在０与１中取．用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对：（０，１），（１，０），（１，１）．　１．１．１４　★★★分别写出满足下列条件的实数，你能写出几个？试设计一个方案，使能写出随意指定的个数．你能从中体会到什么？（１）１与２之间的有理数；（２）１与２之间的无理数．解析：本题答案不惟一．例如，可以随意取一个１与２之间的有理数１．５（无理数，取这个数与２的平均数，再取所得数与２的平均数，……即可得到所需要（无理数）．从而我们能够体会到任意两个实数之间都有无穷多个有理数和无理数．　１．１．１５　★★★★设狓、狔是实数，试证明狓＋狔≥狓＋狔，并利用这一结论求狓－２＋狓＋４的最小值．解析：显然，若狓、狔同号或至少有一个为０，则有狓＋狔＝狓＋狔；若狓、狔异号，则有狓＋狔＞狓＋狔．所以狓＋狔≥狓＋狔成立．４　根据上述结论，得狓－２＋狓＋４＝２－狓＋狓＋４≥２－狓＋狓＋４＝６，所以代数式狓－２＋狓＋４的最小值是６．二、平方根与立方根　１．１．１６　★填空：（１）６４的平方根是 ；（２）６４的立方根是 ；（３）正数犪的平方根是 ；（４）犿的立方根是 ．解析：（１）±８．　（２）４．　（３）±　（４　１．１．１７　★填空：（１）因为（ ）２＝２５，所以２５的平方根是 ，２５的算术平方根是 ；（２）因为犪２＝犿，所以犿的平方根是 ，犿的算术平方根是 ．解析：（１）±５；±５；５．（２）注意到犪的符号不能确定，所以犿的平方根是±犪，算术平方根是｜犪｜．　１．１．１８　★填空：（１）（ ）２＝１７９； （２）（ ）３＝２１０２７；（３）（ ）２＝１５； （４）（ ）３＝－６．解析：（１）因为１７９＝１６９，所以填±４３．（２）因为２１０２７＝６４２７，所以填４３．（３）±槡 （４）　１．１．１９　：（１）平方根等于本身的数是 ；（２）算术平方根等于本身的数是 ；（３）立方根等于本身的数是 ．解析：（１）因为正数的平方根有两个，所以平方根等于本身的数只能是０．（２）因为正数的算术平方根只有一个，０的算术平方根等于０，所以应填０、１．（３）因为正数、负数的立方根都是惟一的，０的立方根是０，所以立方根等于本身的数是０、１和－１．　１．１．２０　★对任意实数犪，下列结论总正确的是（）．（Ａ）犪２与（－犪）２互为相反数（Ｂ（Ｃ（Ｄ互为相反数犪，（Ａ）、（Ｄ）中两式都是相等的，而（Ｂ）中当犪≠０时，总有一第１章　实 数５　个没有意义，（Ｃ）中故选Ｃ．　１．１．２１　★★２犪，②±４，③一个数的算术平方根总是非负数，④”中，正确的有（ ）．（Ａ）１句（Ｂ）２句（Ｃ）３句（Ｄ）４句解析：①中犪２的算术平方根应是｜犪｜，②中，即４的平方根应是±２，④中如１８的立方根是１２，比它本身大，所以都是错误的；根据算术平方根的定义，③是正确的，故选Ａ．　１．１．２２　★★★已知实数犪、犫、犮满足等式犪２＋犫２＝１，犫２＋犮２＝２，犮２＋犪２＝２，则犪犫＋犫犮＋犮犪的最小值为（ ）．（Ａ）５２（Ｂ）１２（Ｃ）－１２（Ｄ）１２－解析：比较第二、三两个等式，可知犪２＝犫２，由第一个等式可知犪２＝犫２＝１２，则犮２＝３２，所以犪，犫＝±１槡２，犮要使犪犫＋犫犮＋犮犪的值最小，犪、犫、犮不能同号．去除重复情形，犪、犫、犮的取值共有四种组合：１槡２、－１槡２－１槡２、１槡２和１槡２、１槡２、－１槡２、－１槡２对应犪犫＋犫犮＋犮犪的值分别为－１２和１２－所以应选Ｄ．　１．１．２３　★★求下列各式中狓的值：（１）３狓２－４３＝０；　（２）（５狓－３）２＝２０１４；（３）２（狓－１）３＝－１６；（４３＝０．解析：（１）原等式可化为狓２＝４９，所以狓＝±２３．（２）原等式可化为５狓－３＝±即５狓＝３±９２，所以狓＝３２或狓＝－３１０．（３）原等式可化为（）３＝－８，即狓－１＝所以狓＝－１．（４）原等式可化为３，即狓＋２＝３所以狓＝－２９．　１．１．２４　★★：６　（１）某数立方根的绝对值是５，求这个数；（２）某数的平方是６４，求这个数的立方根．解析：（１）设这个数为狓，则根据题意，得＝５，即＝±５，所以狓＝±１２５．（２）设这个数为狓，则狓２＝６４，解得狓＝±８，所以狓的立方根为±２．　１．１．２５　★★一个底面直径等于高的圆柱形容器，容量是４．８立方米，求它的底面半径（精确到０．１米）．解析：设这个圆柱形容器的底面半径是狓米，根据题意，得π狓２·２狓＝４．８，即狓３＝４．８２π，解得狓≈０．９（米）．　１．１．２６　★★已知一个数的平方根是３狓－２和５狓＋６，求这个数．解析：根据平方根的意义，可知３狓－２和５狓＋６互为相反数，即（３狓－２）＋（５狓＋６）＝０，解得狓＝－１２，所以这个数是－３２－（）２２＝４９４．　１．１．２７　★★不用计算器，估计以下各数在哪两个连续整数之间：（１）槡５０（２）２解析因为所以４，即整数３和４之间．（２）因为所以即１０＜１１，故槡２３０１１　１．１．２８　★★：（１）１槡－；（２）２解析：这类问题关键应确定绝对值内代数式的值的符号．（１）原式＝１＋１＋（２）原式＝２＋　１．１．２９　★★★犪犕称作犪的整数部分，将犪－犕称作犪的小数部分，求．解析：方法因为１＜２，所以１＞－＞－２，所以３－１３３２，即２＞３３－１，小数部分是３２－因为１．４，所以３－１．６，所以３－１，小数部分是３－２－第１章　实 数７　　１．１．３０　★★★已知犪为实数，且满足狘２０００－犪狘＋犪，求犪－２０００２的值．解析：由题意可知，犪≥２０１０，所以原式可化为犪－２０００＋犪，即犪－槡２０１２０００，所以犪－２０１０＝２０００２，即犪－２０００２　１．１．３１　★★整数犪是一个完全平方数，它的下一个完全平方数是什么？解析：因为整数犪是一个完全平方数，所以可设狓２＝犪，狓是自然数，所以犪的下一个完全平方数是（狓＋１）２，即１）２．三、实数与数轴　１．１．３２　★点犃在数轴上和数１，则点犃所对应的实数是 ．第１．１．３２题解析：方法１如图，在数轴上与数１有２个，的对应点对称，它们所对应的实数是１±方法２　１、２的对应点之间的距离为狘狓２－狓１狘，设点犃所对应的实数为狓，则狘狓－１狘＝解得狓＝１±　１．１．３３　★（（Ａ）所有的有理数（Ｂ）所有的正数和负数（Ｃ）所有的无理数（Ｄ）所有的整数、分数和无限不循环小数解析：因为数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数与无理数，其中有理数包括整数与分数，无理数就是无限不循环小数，所以应选Ｄ．　１．１．３４　★★已知犪、犫是不为０的实数，且犪＝－犪，犫＝犫，犪＞犫，那么用数轴上的点来表示犪、犫，正确的应该是（ ）．解析：根据题意，犪＜０，犫＞０，且在数轴上犪的对应点与原点的距离较犫的对应点大，故选Ｃ．　１．１．３５　★★★实数犪、犫在数轴上的对应点如图所示，试比较犪、－犪、犫、－犫、犪＋犫、犪－犫的大小．８　第１．１．３５题解析：根据犪、犫在数轴上的位置可知，犪＜０，犫＞０，且犪的绝对值比２犫的绝对值大，所以犪－犫＜犪＜犪＋犫＜－犫＜犫＜－犪．本题也可将－犪、－犫的对应点在数轴上标出，较为直观．　１．１．３６　★★实数犪、犫、犮在数轴上的对应点如图所示，化简｜犪｜＋｜犮－犫｜－｜犪＋犫｜＋｜犪－犮｜．解析：由图可知：犪＜０，犮－犫＞０，犪＋犫＜０，犪－犮＜０，所以原式＝－犪＋犮－犫＋犪＋犫－犪＋犮＝２犮－犪．第１．１．３６题 第１．１．３７题　１．１．３７　★★★实数犪、犫在数轴上的对应点如图所示，试比较犪、犫、１犪、１犫的大小．解析：根据犪、犫在数轴上的位置可知，－１＜犪＜０，犫＞１，所以１犪＜－１，０＜１犫＜１，因此１犪＜犪＜１犫＜犫．　１．１．３８　★★★如图，数轴上表示１和槡２的对应点分别是犃、犅，点犆和点犅关于点犃对称，求点犆所表示的数．第１．１．３８题解析：显然点犃与点犅之间的距离是槡２－１，因为点犆是点犅关于点犃的对称点，所以点与点犃之间的距离也是槡２－１所以点犆所表示的数是１－（槡２－１），即槡２．第１．１．３９题　１．１．３９　★★★在数轴上作出表示槡２、槡３的点．解析：如图，以１个单位长度为边长作正方形犗犃犅犆，连结犗犅，根据勾股定理可得犗犅＝槡２，以犗为圆心，犗犅为半径作弧，交数犇，则点犇槡２．过点犇作数轴的垂线，并在其上取一点，使犇犈等于１个单位长度，连结犗犈，以犗为圆心，犗犈为半径作弧，交数轴的正方向于点犉，则点第１章　实 数９　犉就是表示槡．　１．１．４０　★★已知犿是实数，求犿＋犿－１＋犿－２的最小值．解析：根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点犿，使点犿到点０、点１和点２的距离之和最小．显然当犿＝１时（如图（ａ）所示），犿＋犿－１＋犿－２的值是２．第１．１．４０题以下说明当点犿位于其他位置时，原式的值大于２：（１）当点犿位于点０与２之间（包含０、２），但不同于点１，即０≤犿＜１或１＜犿≤２时，如图（ｂ），则点犿到点０和点２的距离之和等于２，再加上点犿到点１的距离，原式的值大于２；（２）当点犿位于点０的左边或点２的右边，即犿＜０或犿＞２时，如图（ｃ），则点犿到点０和点２的距离之和已经大于２，原式的值大于２．综上所述，当犿≠１时，原式的值大于２．所以犿＋犿－１＋犿－２的最小值是２．　１．１．４１　★★★★已知犿是实数，求犿－２＋犿－４＋犿－６＋犿－８的最小值．解析：根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点犿，使犿到点２、点４、点６和点８的距离和最小．显然当点犿在点４和点６之间（包含点４和点６）时，如图所示，犿－２＋犿－４＋犿－６＋犿－８的值是２＋６＝８．与上题相仿，可以证明当犿＜４或犿＞６时原式的值都大于８，所以犿－２＋犿－４＋犿－６＋犿－８的最小值是８．第１．１．４１题　１．１．４２　★★★★设犪１，犪２，犪３，…，犪狀是常数（狀是大于１的整数），且犪１＜犪２＜犪３＜…＜犪狀，犿是任意实数，试探索求犿－犪１＋犿－犪２＋犿－犪３＋…＋犿－犪狀最小值的一般方法．解析：根据题１．１．４０和题１．１．４１的解法，结合数轴，不难得出：１０　（１）当狀为奇数２犽＋１（犽是正整数）时，点犿应取在点犪犽＋１处，原式的值最小，最小值是（犪２犽＋１－犪１）＋（犪２犽－犪２）＋…＋（犪犽＋２－犪犽）．（２）当狀为偶数２犽（犽是正整数）时，犿应取点犪犽和点犪犽＋１之间（包括点犪犽和点犪犽＋１）的任意位置，原式的值最小．最小值是（犪２犽－犪１）＋（犪２犽－１－犪２）＋…＋（犪犽＋１－犪犽）．四、科学记数法与近似计算　１．１．４３　★填空：（１）用科学记数法表示４３２００为 ；（２）用科学记数法表示－０．００００１０４为 ；（３）３．６０×１０６是 位正整数；（４）将２．０７×１０－９写成普通小数的形式，在小数点后有连续 个零．解析：（１）４．３２×１０４． （２）－１．０４×１０－５．（３）７位正整数． （４）小数点后有连续８个零．　１．１．４４　★近似数３．５２万精确到 位，有 个有效数字，分别是 ．解析：近似数３．５２万精确到百位，它有３个有效数字，分别是３、５和２．　１．１．４５　★★将一个数犪四舍五入，精确到０．０１所得的近似数为４．０５，则这个数的正确值的范围是（ ）．（Ａ）４．０５≤犪＜４．０５５（Ｂ）４．０４≤犪＜４．０６（Ｃ）４．０４５＜犪＜４．０５５（Ｄ）４．０４５≤犪＜４．０５５解析：根据题意，近似数精确到百分位，说明是对数犪千分位上的数字四舍五入所得，所以应选Ｄ．　１．１．４６　★★下列说法中正确的是（ ）．（Ａ）近似数３．００与近似数３．０的精确度相同（Ｂ）近似数２．４×１０２与近似数２４０中都有三个有效数字（Ｃ）近似数０．０１４７与近似数２３．６中有效数字的个数相同（Ｄ）６９．５９３四舍五入精确到个位，所得近似数有一个有效数字解析：近似数３．００精确到百分位，而近似数３．０精确到十分位，所以（Ａ）不正确；近似数２．４×１０２有两个有效数字，所以（Ｂ）不正确；近似数６９．５９３四舍五入到个位是７．０×１０，有两个有效数字，所以（Ｄ）不正确．故选Ｃ．　１．１．４７　★下列叙述中的数字哪些是精确数字，哪些是近似数：（１）１９８６年国家颁布实施《义务教育法》以来，我省每年有近１百万小学生进入学校，开始接受９年义务教育；（２）我国领土９６０万平方千米陆地面积中，森林覆盖面积占１８．２１％．第１章　实 数１１　解析：（１）中“１９８６”、“９”是精确数字；（１）中“１百万”，（２）中“９６０万”、“１８．２１％”是近似数．　１．１．４８　★★判断下列语句是否正确，并简述理由：（１）对数字３２３３取精确到百位的近似数为３２００；（２）近似数１．２×１０－２精确到十分位，有两个有效数字；（３）因为５．６４７×１０３≈５．６５×１０３≈５．７×１０３，所以５．６４７×１０３保留两个有效数字的近似数是５．７×１０３；（４）０．７０３０有三个有效数字７、０、３；（５）对于精确数５万与５００００是相同的，若５万与５００００都是近似数，则它们是不同的．解析：前四句语句都是错误的，（５）是正确的．（１）近似数写成３２００，仍表示精确到个位，有四个有效数字，按要求应表示为３．２×１０３．（２）近似数１．２×１０－２＝０．０１２是一个完整的整体，数字“２”是千分位上的数字，表示精确到千分位．（３）按照近似计算规则，只能对精确到要求位数的下一位数字一次四舍五入，不能两次累积进位．（４）按有效数字的意义，０．７０３０有四个有效数字７、０、３、０．（５）若两者都是精确数，显然是相同的．若两者都是近似数，５万表示精确到万位，有一个有效数字，它的正确值在４．５万与５．５万之间（含４．５万）；５００００表示精确到个位，有五个有效数字，它的正确值在４９９９９．５与５００００．５之间（含４９９９９．５）．　１．１．４９　★按括号内的要求对下列各数取近似值：（１）０．０２４６６（精确到千分位）；（２）２．６７９×１０４（保留三个有效数字）；（３）１．９６７（精确到０．１）；（４）５２４７．９（保留两个有效数字）．解析：（１）０．０２４６６≈０．０２５．　（２）２．６７９×１０４≈２．６８×１０４．（３）１．９６７≈２．０．（４）５２４７．９≈５．２×１０３．１．１．５０　★计算，并将结果用科学记数法表示：（１）（－４．２×１０４）×（６．５×１０８）； （２）（１．６×１０３）２×（－３．５×１０４）３；（３）（３．５×１０－４）×（４．２×１０－８）； （４）（１８×１０６）÷（－３×１０－９）．解析：（１）原式＝－２７．３×１０１２＝－２．７３×１０１３．（２）原式＝－２．５６×１０６×４２．８７５×１０１２＝－１０９．７６×１０１８＝－１．０９７６×１０２０．（３）原式＝（３．５×４．２）×（１０－４×１０－８）＝１４．７×１０－１２＝１．４７×１０－１１．（４）原式＝［１８÷（－３）］×（１０６÷１０－９）＝－６×１０１５．　１．１．５１　★★根据要求解答下列问题，结果用科学记数法表示：（１）随着计算机技术的发展，不少复杂的数学命题都能用计算机进行证明．已１２　知一种计算机每秒可进行５×１０１２次运算，一个数学命题的证明花了４５个小时，则共进行了多少次运算？（２）已知半径为犚的球的体积犞＝４３π犚３，将地球近似看作半径约为６３７０千米的球体时，求地球的体积（结果保留３个有效数字）；（３）纳米是一个非常小的长度单位，已知１纳米＝１０－９米．一种病毒的直径为１００纳米，若将这种病毒逐个紧靠，排成０．５毫米长，问病毒的个数是多少？（４）据测算，用１吨废纸造出的再生纸相当于０．４～０．５亩森林木材的造纸量．某省今年大约有８７．４万初中毕业生，经抽样估计，每位毕业生离校时平均有９千克废纸．若他们都能将这些废纸送到回收站造纸，至少能使多少亩森林免遭砍伐（结果精确到十位）？解析：（１）进行运算次数为５×１０１２×４５×３６００＝８．１×１０１７．（２）地球体积犞＝４３π犚３＝４３×３．１４２×６３７０３≈１．０８×１０１２（立方千米）．（３）根据题意，一个病毒的直径为１００×１０－６毫米，则排成０．５毫米长的病毒个数为０．５１００×１０－６＝５×１０３．（４）根据题意，８７．４万初中毕业生的废纸吨数约为８．７４×１０５×９１０００≈７．８６６×１０３，至少相当于０．４×７．８６６×１０３≈３．１５×１０３（亩）森林木材的造纸量，即至少能使３．１５×１０３亩森林免遭砍伐．§１．２　实数的运算１．２．１　★直接写出下列各式运算的结果：（１）２×７÷－（）１７＝ ； （２）－２÷１４×８＝ ；（３）１３×－（）１４÷１２＝ ； （４）－５×－（）１５÷１５＝ ．解析：（１）原式＝－２×７×７＝－９８． （２）原式＝－２×４×８＝－６４．（３）原式＝－１３×１４×１１２＝－１１４４． （４）原式＝５×１５×５＝５．　１．２．２　★★已知犫犫＋犪犪＝０，则－犫犪与犪犫的值中较大的是 ．解析：因为犫犫＋犪犪＝０，所以等式左边两个加数（两个商式）中必然一个是１，另一个是－１，即犪、犫异号，因而－犫犪＞０，犪犫＜０，所以较大的是－犫犪．第１章　实 数１３　１．２．３　★下列说法中正确的是（ ）．（Ａ）若两个实数的和是正数，则这两个数都是正数（Ｂ）两个实数的差一定小于被减数（Ｃ）如果若干个实数相乘所得积是负数，则负因数的个数是奇数（Ｄ）零除以任意实数所得的商总为零解析：（Ａ）、（Ｂ）中容易举出反例如下：（－５）＋８＝３，（－８）－（－５）＝－３；而（Ｄ）中除数应该是任意非零实数．故选Ｃ．　１．２．４　★下列各式计算正确的是（ ）．（Ａ）（－１２）·（－１）２＝１（Ｂ）－（－３）２＝９（Ｃ）－５２÷－（）１５２＝－６２５（Ｄ）１３÷－（）１３３＝９解析：（Ａ）、（Ｂ）、（Ｄ）都在运算结果中的符号上出现了差错，应选Ｃ．　１．２．５　★★下列说法是否正确，试说明理由或举出反例判断：（１）任意两个无理数的和或差仍是无理数；（２）任意两个无理数的积或商仍是无理数；（３）两个无理数的和与差有可能都是有理数；（４）两个无理数的积与商有可能都是有理数解析：例如０、积或商都是有理数，所以（１）、（２）是错误的）（３）设两个无理数为α、β，如果α＋β＝犪，α－β＝犫（犪、犫是有理数），那么α＝犪＋犫２，β＝犪－犫２烅烄烆．显然与α、β是无理数的假设矛盾．所以“两个无理数的和与差有可能都是有理数”是错误的．　１．２．６　★计算：（１）（－１００）×（０．０１）×（－９９９）×０×－７（）１１；（２）（－８）×（－１２）×（－０．１２５）×－（）１３×（－０．２）．解析：（１）因为原式中有一因数是０，所以原式＝０．（２）原式＝－８×０．１２５×１２×１３×０．（）２＝－０．８．　１．２．７　★★计算：（１）－１４２÷１６－１７＋２３－３（）１４；（２）１６－１７＋２３－３（）１４÷－１（）４２．１４　解析：（１）原式＝－１４２÷７４２－６４２＋２８４２－９（）４２＝－１４２÷２０４２＝－１４２×４２２０＝－１２０．（２）方法１　根据上题计算结果可知１６－１７＋２３－３（）１４＝２０４２，所以原式＝２０４２×（－４２）＝－２０．方法２　原式＝１６×（－４２）－１７×（－４２）＋２３×（－４２）－３１４×（－４２）＝－７＋６－２８＋９＝－２０．　１．２．８　★★计算：（１）－０．３２÷０．５×２÷（－２）２；（２）（）２３３÷２３３·（－３）３÷（－３２）．解析：（１）原式＝－０．０９÷０．５×２÷４＝－０．０９×２×２×１４＝－０．０９．（２）原式＝８２７·３８·（－２７）·－（）１９＝１３．　１．２．９　★★计算：（１）（－２２）×（－１）２＋（－３）×（－２３）；（２）１３－（）１２２－（）１２２－－（）２３［］２；（３）３１３－８－２２÷（）１２２－２［］１４×｛｝１２；（４）－２４÷－２（）２３２＋５１２×－（）１６－［］１４÷１１２；（５）－１４－０．５－（）２３÷１３×［－２－（－３）３］－１８－０．５２；（６）（－２）３×（－１）３－１３÷－（）１２［］２０．１２５×２３＋［１－３２×（－２）］．解析：（１）原式＝（－４）×１＋（－３）×（－８）＝－４＋２４＝２０．（２）原式＝－（）１６２－１４－（）４９＝１３６－－７（）３６＝２９．（３）原式＝３１３－８－４÷１４－［］９４×｛｝１２＝３１３｛－８－４×－（）１２×｝１２＝３１３－｛８＋１｝＝－５２３．第１章　实 数１５　（４）原式＝－１６÷６４９＋１１２×－（）１６－［］１４÷１１２＝－９４－１１１２－［］１４×１２＝－２７－１１－３＝－４１．（５）原式＝－１－１２－（）２３×３×［－２＋２７］－１８－１４＝－１－－（）１６×３×２５－１８＝－１＋２５２－１８＝１１３８．（６）原式＝－８×（－１）－１３÷－［］１４０．１２５×８＋［１－３２×（－２）］＝８＋５２１＋１９＝６０２０＝３．　１．２．１０　★★化简：（１）－３２÷－）１２２＋＋π；（２）（－１）÷（）２－（＋１槡２－１．解析：（１）原式＝－９÷１４＋１＋π－３７＋π．（２）原式＝－１÷１２－１＋１＝－２＋１．２．１１　★★★计算：（１）９９３５３６×１８；（２）１２×（－１９４９）＋（－１９４９）×１３＋２０１０×５６；（３）１＋２－３－４＋５＋６－７－８＋…－２００７－２００８＋２００９＋２０１０；（４）１１×２－１２×３－１３×４－…－１９９×１００．解析：（１）原式＝１００－１（）３６×１８＝１８００－１２＝１７９９１２．（２）原式＝１２＋（）１３×（－１９４９）＋２０１０×５６＝５６×（－１９４９）＋２０１０×５６＝（－１９４９＋２０１０）×５６＝３０５６＝５０５６．（３）原式＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋…＋（２００６－２００７－２００８＋２００９）＋２０１０＝２０１１．（４）原式＝１－１１×２－１２×３－１３×４－…－１９９×１００＝１（－１１×２＋１２×３＋１６　１３×４＋…＋１９９×）１００＝１－１１－１２＋１２－１３＋…＋１９９－１（）１００＝１－１－１（）１００＝１１００．　１．２．１２　★★★对下列每组４个数进行适当的混合运算，每个数字都用到且只能用一次，使运算结果为－２４：（１）７，３，－６，－３；（２）１，－２，２，３．解析：本题为开放型问题，可结合有理数运算法则，进行适当的估算，结论一般并不惟一，如：（１）（７＋３）×（－３）－（－６）＝－２４；（－６）－（－３）－７×３＝－２４．（２）（－２）３×（１＋２）＝－２４．　１．２．１３　★★★某超市推出如下优惠方案：（１）一次性购物不超过１００元不享受优惠；（２）一次性购物超过１００元但不超过３００元一律九折；（３）一次性购物超过３００元一律八折．李明两次购物分别付款８０元和２５２元．如果他将这两次所购物品并在一次购买，应付款多少元？解析：李明第二次付款２５２元时，所购物品价值可能是２５２０．９＝２８０元，享受九折优惠后的付款数；也可能是２５２０．８＝３１５元，享受八折优惠后的付款数．所以李明一次性购买全部商品，应付款（８０＋２８０）×８０％＝２８８元或（８０＋３１５）×８０％＝３１６元．１犖－４０－３第１．２．１４题　１．２．１４　★★★如图所示的９个方格中，每行、每列以及每条对角线上三个数字的和相等，求犖的数值．解析：图中第１列三个方格内数字的和是－６，根据题意，第２行中间一格的数字应是－６－（－４）＝－２，同理，第３行左起第３格数字应是－５，这时第３行中间一格的数字应是２，所以犖＝－６．　１．２．１５　★★★对任意实数狓、狔，定义一个运算“ ”：狓 狔＝狓狔＋狔，若已知槡２＝７犽，求犽的值．：根据定义狓 狔＝狓狔＋狔，得犽＝７犽＋犽＝８犽．所以８犽，即犽＝　１．２．１６　★★某市有一块土地共１００亩，房地产商以每亩８０万元的价格购得此地，准备修建“和谐花园”住宅区．计划在该住宅区内建造八个小区（犃区、犅区、犆区…犎区），其中犃区、犅区各修建一栋２４层的楼房；犆区、犇区、犈区各修建一栋１８层的楼房；犉区、犌区、犎区各修建一栋１６层的楼房．为了满足市民不同的购房第１章　实 数１７　需求，开发商准备将犃区、犅区两个小区都修建成高档住宅，每层８００ｍ２，初步核算成本为８００元／ｍ２；将犆区、犇区、犈区三个小区都修建成中档住宅，每层８００ｍ２，初步核算成本为７００元／ｍ２；将犉区、犌区、犎区三个小区都修建成经济适用房，每层７５０ｍ２，初步核算成本为６００元／ｍ２．整个小区内其他空余土地用于修建小区道路通道，植树造林，建花园、运动场及居民生活公共设施等，共计需要９９００万元．开发商打算在修建完工后，将高档、中档和经济适用房以平均价格分别为３０００元／ｍ２、２６００元／ｍ２和２１００元／ｍ２的价格销售．若房屋全部出售完，请你帮忙计算出房地产开发商的赢利预计是多少元？解析：楼房全部售完总销售额为：３０００×８００×２４×２＋２６００×８００×１８×３＋２１００×７５０×１６×３＝３０３１２（万元）．成本总价为：８００×８００×２４×２＋７００×８００×１８×３＋６００×７５０×１６×３＋（８０×１００＋９９００）×１０４＝２６１５６（万元）．总赢利＝总销售额－成本总价＝３０３１２－２６１５６＝４１５６（万元）．答：房地产开发商的赢利预计是４１５６万元．１．２．１７　★★★某单位需以挂号信或特快专递方式向五所学校各寄一封信．这五封信的重量分别是７２ｇ、９０ｇ、２１５ｇ、３４０ｇ、４００ｇ．根据这五所学校的地址及信件的重量范围，在邮局查得相关邮费标准如表１．２．１：表１．２．１业务种类计　费　单　位资费标准（元）挂号费（元／封）特制信封（元／个）挂号信首重１００ｇ内，每重２０ｇ０．８０　续重１０１～２０００ｇ，每重１００ｇ２．００３０．５０特快专递首重１０００ｇ内５．００３１．００ （１）重量为９０ｇ的信若以挂号信方式寄出，邮寄费为多少元？若以特快专递方式寄出呢？（２）这五封信分别以怎样的方式寄出最合算？请说明理由．附：信函资费常识●挂号信：首重、续重计费方法：如：信的重量为２６０ｇ，则其中１００ｇ为“首重”，每２０ｇ按０．８元计费（不足２０ｇ按２０ｇ计费）；其余１６０ｇ为“续重”，每１００ｇ按２元计费．１６０ｇ超过１００ｇ，但不足２００ｇ，按２００ｇ计费．邮寄费（每封）＝首重资费＋续重资费＋挂号费＋特制信封费．１８　●特快专递：如：首重不超过１０００ｇ，则邮寄费（每封）＝首重资费（５元）＋挂号费（３元）＋特制信封费（１元）．解析：（１）重量为９０ｇ的信以挂号信方式寄出，则邮寄费为５×０．８＋３＋０．５＝７．５（元）；以特快专递方式寄出，邮寄费为５＋３＋１＝９（元）．（２）这五封信的重量均小于１０００ｇ，若以特快专递方式寄出，邮寄费均为５＋３＋１＝９（元）．由（１）得知，重量为９０ｇ的信以挂号信方式寄出，费用为７．５元，小于９元；重量为７２ｇ的信以挂号信方式寄出，费用也小于９元；若重量为２１５ｇ的信以挂号信方式寄出，则邮寄费为５×０．８＋２×２＋３＋０．５＝１１．５（元）＞９（元）．显然，重量为４００ｇ、３４０ｇ的信以挂号信方式寄出，费用均超过９元．因此，将这五封信的前两封以挂号信方式寄出，后三封以特快专递方式寄出最合算．　１．２．１８　★★★今年，某市市政府的一项实事工程就是由政府投入１０００万元资金，对城区４万户家庭的老式水龙头和１３升抽水马桶进行免费改造，某社区为配合政府完成该项工作，对社区内１２００户家庭中的１２０户进行了随机抽样调查，并汇总成表１．２．２：表１．２．２改造情况不需改造需改造水龙头需改造马桶１个２个３个４个１个２个户　数２０３１２８２１１２６９２ （１）试估计该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有 户．（２）改造后，一只水龙头一年大约可节省５吨水，一只马桶一年大约可节省１５吨水，试估计该社区改造后一年共可节约多少吨自来水？（３）在抽样的１２０户家庭中，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多少户？解析：（１）１２００×１２０－２０１２０＝１０００．（２）抽样的１２０户家庭一年共可节约用水：　（１×３１＋２×２８＋３×２１＋４×１２）×５＋（１×６９＋２×２）×１５＝１９８×５＋７３×１５＝２０８５． ２０８５×１２００１２０＝２０８５０（吨）．答：估计该社区一年共可节约用水２０８５０吨．（３）方法１　设既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有狓户，则只改造水龙第１章　实 数１９　头不改造马桶的家庭共有（９２－狓）户，只改造马桶不改造水龙头的家庭共有（７１－狓）户．由题意，得狓＋（９２－狓）＋（７１－狓）＝１００，解得狓＝６３（户）．答：既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有６３户．方法２　表１．２．２中改造水龙头９２户中包含只改造水龙头与同时改造水龙头和马桶两类家庭；同理，改造马桶７１户中包含只改造马桶与同时改造水龙头和马桶两类．所以既要改造水龙头又要改造马桶的家庭户数为９２＋７１－１００＝６３．１．２．１９　★★★★２００８年５月１２日四川汶川地区发生８．０级特大地震．举国上下通过各种方式表达爱心．某企业决定用狆万元援助灾区狀所学校，用于搭建帐篷和添置教学设备．根据各校不同的受灾情况，该企业捐款的分配方法如表１．２．３所示（其中狆、狀、犪都是正整数）．结果捐款恰好分完，且所有学校得到的捐款数都相等．表１．２．３分配顺序分配数额（单位：万元）帐篷费用教学设备费用第１所学校５剩余款的１犪第２所学校１０再剩余款的１犪第３所学校１５再剩余款的１犪………第（狀－１）所学校５（狀－１）再剩余款的１犪第狀所学校５狀０ 根据以上信息，解答下列问题：（１）写出狆与狀的关系式；（２）当狆＝１２５时，该企业能援助多少所学校？（３）根据震区灾情，该企业计划再次提供不超过２０犪万元的捐款，按照原来的分配方案援助其他学校．若犪由（２）中条件确定，则再次提供的捐款最多又可以援助多少所学校？解析：（１）根据题意，所有学校得到的捐款数都与第狀所学校相等，即都为５狀万元，所以狆＝狀×５狀＝５狀２（狀为正整数）．（２）当狆＝１２５时，可得５狀２＝１２５，取正整数解狀＝５．即该企业的捐款可以援助５所学校．。