2018年高中数学北师大版必修五：第1章 §1-1.1 数列的概念包含解析

[A 基础达标]
1．下列说法中不正确的是( )
A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列
B ．1，－3，45
，－7，－8，10不是一个数列 C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列
D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列
解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B 不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋（－1）n ＋
12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1，0，1，0
B ．0，1，0，1 C.12，0，12，0 D ．2，0，2，0
解析：选A.当n 分别等于1，2，3，4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.
3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，那么( )
A ．30是数列{a n }的一项
B ．44是数列{a n }的一项
C ．66是数列{a n }的一项
D ．90是数列{a n }的一项
解析：选C.分别令2n 2－n 的值为30，44，66，90，可知只有2n 2－n ＝66时，n ＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{a n }的一项．
4．已知数列的通项公式是a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，n 2－2，n ≥2，则该数列的前两项分别是( ) A ．2，4
B ．2，2
C ．2，0
D ．1，2
解析：选B.当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝22－2＝2.
5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公
式是
( )
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝n （n －1）2
C ．a n ＝n （n ＋1）2
D ．a n ＝n （n ＋2）2 解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.
法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察
点的个数的增加趋势可以发现，a 1＝1×22，a 2＝2×32，a 3＝3×42，a 4＝4×52，所以猜想a n ＝n （n ＋1）2
，故选C.
6．若数列{a n }的通项满足a n n
＝n －2，那么15是这个数列的第________项． 解析：由a n n
＝n －2可知，a n ＝n 2－2n . 令n 2－2n ＝15，得n ＝5.
答案：5
7．已知数列{a n }的前4项为11，102，1 003，10 004，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n .
答案：a n ＝10n ＋n
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 017－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．
解析：由a n ＝2 017－3n >0，得n <2 0173＝67213
，又因为n ∈N ＋，所以正整数n 的最大值为672. 答案：672
9．已知数列{n (n ＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：(1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，所以a 8＝80，a 20＝440.
(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17.
所以323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项．
10．已知数列2，74，2，…的通项公式为a n ＝an 2＋b cn
，求a 4，a 5. 解：将a 1＝2，a 2＝74
代入通项公式， 得⎩⎨⎧a ＋b c
＝2，4a ＋b 2c ＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ，c ＝2a ，所以a n ＝n 2＋32n ， 所以a 4＝42＋32×4＝198，a 5＝52＋32×5＝145
. [B 能力提升]
11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝sin n θ，0<θ<π6，若a 3＝12
，则a 15＝____________． 解析：a 3＝sin 3θ＝12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ＝π6，所以a 15＝sin 15θ＝sin 56π＝12
. 答案：12
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整
除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 017这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．
解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n ＝15n －14.
由a n ＝15n －14≤2 017得n ≤135.4，当n ＝1时，此时a 1＝1，不符合，故此数列的项数为135－1＝134.
答案：134
13．在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求a 2 016；
(3)2 017是否为数列{a n }中的项？若是，为第几项？
解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)．
由a 1＝3，且a 17＝67，得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝317k ＋b ＝67， 解之得k ＝4且b ＝－1.所以a n ＝4n －1.
(2)易得a 2 016＝4×2 016－1＝8 063.
(3)令2 017＝4n －1，得n ＝2 0184＝1 0092
∉N ＋， 所以2 017不是数列{a n }中的项．
14．(选做题)已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1， (1)求这个数列的第10项；
(2)98101
是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；
(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内是否有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
解：(1)设a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1
.令n ＝10，得第10项a 10＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101
，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1
， 又n ∈N ＋，所以0<33n ＋1
<1，所以0<a n <1. 所以数列中的各项都在区间(0，1)内．
(4)令13<3n －23n ＋1<23，所以⎩
⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，
所以⎩
⎨⎧n >76，n <83.所以76<n <83. 当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47
.。