2.5平面向量应用举例教案
高中数学 第二章 平面向量 第5节 平面向量应用举例教案(含解析)高一数学教案
2.5 平面向量应用举例[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P109～P112的内容，回答下列问题．(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题？提示：距离、夹角等问题．(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题？提示：可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题．2．归纳总结，核心必记(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．(2)向量在物理中的应用①物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．②向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中．③动量m v是向量的数乘运算．④功是力F与位移s的数量积．[问题思考]用向量解决几何问题时，有时需要选择合适的基底，你知道怎样选择合适的基底吗？提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．[课前反思](1)平面向量在平面几何中的应用：；(2)平面向量在物理中的应用： .平面几何中的平行、垂直问题知识点1讲一讲1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.[尝试解答] 法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，∴DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF)＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋2a×a×cos 45°＋2a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴DP⊥EF，即DP⊥EF.法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以DP＝(x，x－1)，EF＝(1－x，x)，由于DP·EF＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以DP⊥EF，即DP⊥EF.类题·通法(1)向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③证明AB·CD的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.方法二：先求AB，CD的坐标，AB＝(x1，y1)，CD＝(x2，y2)，再计算AB·CD的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.(2)用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法：方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③寻找实数λ，使AB＝λCD，即AB∥CD；④给出几何结论AB∥CD.方法二：先求AB，CD的坐标，AB＝(x1，y1)，CD＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到AB∥CD，再给出几何结论AB∥CD.以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有AB∥CD得到AB∥CD.练一练1．已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝FC ＝14AC ，试用向量方法证明四边形DEBF 也是平行四边形． 证明：设AD ＝a ，AB ＝b ，则DE ＝AE －AD ＝14AC －a ＝14b －34a ， FB ＝AB －AF ＝b －34AC ＝14b －34a ， 所以DE ＝FB ，且D ，E ，F ，B 四点不共线，所以四边形DEBF 是平行四边形.知识点2 平面几何中的长度问题讲一讲2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ； (2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．[尝试解答] (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)．∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2，∴|CD |＝12n 2＋m 2，| AB |＝m 2＋n 2， ∴|CD |＝12| AB |，即CD ＝12AB . (2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4， 设F (x,0)，则AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ，AF ＝(x ，－m )． ∵A ，E ，F 三点共线，∴AF ＝λAE .即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝n 4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，即x ＝n 3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0， ∴|AF |＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2. 类题·通法利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.练一练2．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则BD ＝a －b ，AC ＝a ＋b ，而|BD |＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12， 又|AC |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC |＝6，即AC ＝ 6.知识点3 向量在物理中的应用 讲一讲3．在风速为75(6－2)km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．[尝试解答] 设ω＝风速，v a ＝有风时飞机的航行速度，v b ＝无风时飞机的航行速度，v b ＝v a －ω.如图所示．设| AB |＝|v a |，|CB |＝|ω|，|AC |＝|v b |，作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，则∠BAD ＝45°.设| AB |＝150，则|CB |＝75(6－2)．∴|CD |＝|BE |＝|EA |＝752，|DA |＝75 6.从而|AC |＝1502，∠CAD ＝30°.∴|v b |＝1502，即没有风时飞机的航速为150 2 km/h ，方向为北偏西60°. 类题·通法利用向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．练一练3．已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g 取10 m/s 2)解：如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s＝|F||s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J)．将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F |sin 30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f ·s ＝|f ||s |·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 3 J 和－22 J.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用．2．要掌握平面向量的应用(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题，见讲1；(2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题，见讲2；(3)平面向量在物理中的应用，见讲3.课下能力提升(二十一)[学业水平达标练]题组1 平面向量在平面几何中的应用1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，AB＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是( )A．3x－2y＋6＝0 B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0解析：选B 由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以AB＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.2．在四边形ABCD中，AB＝DC，且| AB|＝|BC|，那么四边形ABCD为( )A．平行四边形 B．菱形C．长方形 D．正方形解析：选 B 由AB＝DC知四边形ABCD为平行四边形，由| AB|＝|BC|知▱ABCD的邻边相等，∴四边形ABCD 为菱形．3．已知非零向量AB 与AC 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC ＝0，且AB ―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选 D AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|是向量AB ，AC 方向上的两个单位向量的和，它在∠A 的平分线上，由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC ＝0，知此三角形为等腰三角形，再由AB ―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12知∠A 为60°，故此三角形为等边三角形． 4．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.解析：以A 为坐标原点，AD ，AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0，3)，C (3，3)，D (3,0)，AC ＝(3，3)，设AE ＝λAC ，则E 的坐标为(3λ，3λ)，故BE ＝(3λ，3λ－3)．因为BE ⊥AC ，所以BE ·AC ＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝14，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，34.故ED ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，－34，|ED |＝212，即ED ＝212. 答案：2125.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．求证：AF ⊥DE (利用向量证明)．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，ED ＝b －12a ， ∴AF ·ED ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝12b 2－12a 2＋34a ·b . 又AB ⊥AD ，且| AB |＝|AD |，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0， ∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ，即AF ⊥DE .题组2 向量在物理中的应用6．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪v 1v 2 解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．7．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60 m ，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.解析：所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 500 3 J.答案：1 50038．在水流速度为4 3 km/h 的河水中，一艘船以12 km/h 的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．解：如图所示，设AB 表示水流速度，AC 表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB 为一边，AC 为一对角线作▱ABCD ，则AD 就是船的航行速度．∵| AB |＝43，|AC |＝12，∴|AD |＝|BC |＝83，tan ∠ACB ＝4312＝33， ∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∠BAD ＝120°.即船的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.[能力提升综合练]1．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积解析：选A 假设a 与b 的夹角为θ，|b ·c |＝|b |·|c |·|cos 〈b ，c 〉|＝|b |·|a |·|cos(90°±θ)|＝|b |·|a |·sin θ，即为以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．2．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，则AO ·BC 等于( ) A.32 B.52 C ．2 D ．3解析：选B AO ·BC ＝AO ·(AC －AB )＝AO ·AC －AO ·AB ，因为OA ＝OB ，所以AO 在AB 上的投影为12| AB |，所以AO ·AB ＝12| AB |·| AB |＝2，同理AO ·AC ＝12|AC |·|AC |＝92，故AO ·BC ＝92－2＝52. 3．已知△ABC 满足AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：选C 由题意得，AB 2＝AB ·AC ＋AB ·CB ＋CA ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＋CA ·CB ＝AB 2＋CA ·CB ，∴CA ·CB ＝0，∴CA ⊥CB ，4．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2解析：选D W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.5．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________.解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－52. 答案：－526．三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，判断△ABC 的形状．解：由题意得|a |＝|b |＝|c |，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.所以a ＋c ＝－b .如图，作平行四边形APCD ，则其为菱形．因为PD ＝a ＋c ＝－b ，所以∠APC ＝120°.同理，∠APB ＝∠BPC ＝120°.又因为|a |＝|b |＝|c |，7.如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图．令|AD |＝1，则|DC |＝1，| AB |＝2.∵CE ⊥AB ，AD ＝DC ，∴四边形AECD 为正方形．∴各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)，A (－1,0)．(1)∵ED ＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， BC ＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED ＝BC ，∴ED ∥BC ，即DE ∥BC .(2)∵M 为EC 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12， ∴MD ＝(－1,1)－⎝⎛⎭⎪⎫0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12， FC ＝(1,0)－⎝⎛⎭⎪⎫0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.∵MD ＝－FC ， ∴MD ∥FC .又∵MD 与FC 有公共点M ，∴D ，M ，B 三点共线．。
平面向量应用举例(教学案)
2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教案目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教案重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教案方法1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教案准备：课前预习学案，课探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教案过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
必修四2-5-1~2平面向量应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ ＝a，AD → ＝b，由 E、F 分别为对应边的三等分点，得 解 设AB 1 1→ → → → FO＝FA＋AO＝－ a＋ AC 3 2 1 1 1 1 ＝－3a＋2(a＋b)＝6a＋2b. 1→ 1 → 1 1 1 1 → → → OE＝OC＋CE＝2AC＋3CD＝2(a＋b)－3a＝6a＋2b. → ＝OE → ，又 O 为其公共点，故 E、O、F 在同一直线上． ∴FO
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1． 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题及 其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运 算能力和解决实际问题的能力． 3． 掌握用向量方法解决实际问题的基本方法； 向量方法解决几 何问题的“三步曲”． 【核心扫描】 1．用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问 题．(重点) 2．用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．用向量解决平面几何问题的步骤及方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简述为：图形到向量→向量的运算→向量和数到图形．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)一般可选择以下两种方法： ①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基 底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算． ②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化 为向量的坐标运算．
课前探究学习
课堂讲练互动
数学ⅳ人版2.5平面向量应用教案
数学ⅳ人版2.5平面向量应用教案教学目标： 1.指示与技能：（1）能用向量方法解决某些简单的平面几何问题 （2）初步掌握向量在解析几何中的简单应用（3）能利用向量方法解决力向量、速度向量等物理问题 2.过程与方法通过学生自主学习用向量解决几何问题及物理问题，从而明确掌握过程及方法 3.情感态度与价值观：培养学生自主学习和合作探究的意识 教学方法：三学一教，四步教学法 教具准备：多媒体辅助教学 教学课时：1课时 教学过程：一、复习引入（2min)二、明标自学(8min) （1）学习目标(2min)1、能用向量方法解决某些简单的平面几何问题2、初步掌握向量在解析几何中的简单应用3、能利用向量方法解决力向量、速度向量等物理问题 （2）自学指导(6min)||||cos a b a b θ⋅=2j =1=2||j ||1i =||1j =1221//0a b b a x y x y λ⇔=⇔-=2i =121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=2||i 1212x x y a y b =+⋅0a b a b ⊥⇔⋅= 2.向量共线?||||cos a b a b θ⋅=|||0cos 9|a b =︒22||a a =|||0|a b ⨯=0=11i j xy 1=2||a x =+||a 已知求122),(,),y b x y =则：2x =1122(,),(,)a x y b x y ==||||a b a b ⋅cos θ=0i j ⋅=0j i ⋅=1、向量在几何表示中的作用及方法是什么？2、向量在坐标表示下的应用是什么？3、用向量理论讨论物理相关问题的步骤是什么？ 三、合作释疑，讲解新课(10min)知识要点一：平面向量在几何表示下的应用及方法通常先选取一组基底，基底中的向量，最好已知模及两者之间的夹角，然后将问 题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算率以及一些重要性质运算， 最后把运算结果还原为几何关系 常见方法有： bt -1ta c t c a 040,30//CD,2||||122）（，使数，只要证明存在一个实，或设成立，使存在一实数三点共线，只要证明，、、）要证（只要证明它们的数量积）要证明两线段（成立，使只要证明：存在一实数）要证明线段（或，可转化为证明）要证明线段（+====≠=⋅⊥=≠===CD AB C B A CD AB AB CD AB λλλλ知识要点二：平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化 知识要点三：用向量讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步：1、问题的转化，把物理问题转化为数学问题2、模型的建立，建立以向量为主题的数学模型3、参数的获取，求出数学模型的相关解4、问题的答案，回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象四、点拨拓展，例题讲解（10min ） 1、向量在平面几何中的作用解：以C 为坐标原点，以边CB,CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系 如下图,A(0,m),B(n,0)表示），的长度（用，求于并延长交的中点，连接为若的中点，求证：为斜边）若（，，】已知【例n m )2(211n m ,90,t 10AF F BC AE CD E AB CD AB D BC AC C ABC R ====∠∆等知识解题量共线、向量模的计算向量坐标化，再利用向角坐标系，将有关为坐标原点建立平面直先以思路点拨：解答本题可CABD AB D 21CD ||21||m n |AB |m n 21|CD |)2m2n ()1(2222==+=+=，即所以，所以，的中点，所以为因为22m 9n 31|AF |),03n (3n x 3443m-4n m -x ,m -x 43m-4n 0x )4m4n ()2(+=======所以，，即，即故），（），即（所以三点共线，、、）因为，（），，（），则，（，设，的中点，所以为因为F F E A F E CD E λλλBc C b a ABC cos cos c b a +=∆方法证明：，试用向量的，，三边长为变式训练：已知二、向量在解析几何中的应用解：(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)． 设点M(x ，y)是直线DE 上任意一点， 则∥，＝(x ＋1，y －1)，DE ＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0， x ＋y ＝0； (2)设点N(x ，y)是CH 所在的直线上任意一点，则⊥，·＝0， ＝(x ＋6，y －2)，＝(4,4)，∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求高线CH 所在的直线方程．法注意原点的选取底的选取，用坐标标法，用几何法注意基）灵活运用几何法和坐（可考虑坐标法系或某些角为特殊角时）平面图形中有垂直关（通过代数运算求解即可写出相应点的坐标决平面几何问题，只要）利用向量的坐标法解（方法技巧：321所在的直线方程边上的高线）求（的方程、、）求直线（的中点、、为边分别、、），点，（），，（），，（的三个顶点】已知【例CH AB FD EF DE AB CA BC F E D C B A ABC 2126-044-02∆问题转化为数的问题线与垂直，从而将形的与直线相关的向量的共虑垂直问题，常常转而考何中的有关直线平行与方法技巧：对于解析几变式练习：三、向量在物理中的应用【例3】 已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为 8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)思路点拨：物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量，前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是向量的数量积．解：如下图，设木块的位移为s ，则W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos 30°＝50×20×32＝500 3 (J)． 将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F |sin 30°＝50×12＝25 (N)，所以，摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1 (N)， 因此W f ＝f ·s ＝|f ||s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22 (J)． 即F 和f 所做的功分别为500 3 J 和－22 J.变式练习：有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝__________的方向行驶．五、当堂检测（12min ）1.求证：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍2. 如图， ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC交于R 、T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC的值最小使内求一点在222P,ABC ++∆ A B3.平面上三个力 作用于一点且处于平衡状态，的夹角为1200，求 的大小六、课时小结（2min ）1.向量在几何中的应用（三部曲）：2.（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题. （3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 七、布置作业（1min ）交送作业：书本P93第1，2，3 课后作业：高效 八、板书设计九、教后反思123,,F F F 12||1||2F N F N ==，，与12F F 3F。
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》优质课教案_3
2．5 平面向量应用举例一、教学目标（一）核心素养会用平面向量知识解决几何问题、物理问题，体验向量在解决几何问题、物理问题中的工具作用，培养学生的创新精神和数学应用意识，提高应用数学的能力．（二）学习目标1．运用向量的有关知识解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题．2．通过力的合成与分解、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量概念和运算的认识．（三）学习重点理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题．（四）学习难点选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）向量方法在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．②证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．③求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝⋅a ba b＝④求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2．（2）向量方法在物理中的应用：①力、速度、加速度、位移都是向量．②力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成． ③动量m ν是 数乘向量 ．④功即是力F 与所产生位移s 的 数量积 ． 2．预习自测（1）在△ABC 中，已知A (4，1)、B (7，5)、C (－4，7)，则BC 边的中线AD 的长是（ ）A ．2 5B ．52 5C ．3 5D ．72 5【知识点】平面向量的模长公式．【解题过程】BC 中点为D 32（,6），AD →＝5-2（,5），∴|AD →|＝525．【思路点拨】先求出向量AD →的坐标，再求出模长． 【答案】B ．（2）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的（ ） A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高的交点【知识点】向量的垂直关系，向量的减法运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵OA →·OB →＝OB →·OC →．∴(OA →－OC →)·OB →＝0．∴OB →·CA →＝0． ∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为垂心．【思路点拨】将关系式OA →·OB →＝OB →·OC →，两边移到同侧，利用向量减法运算，得到OB →·CA →＝0，从而得到OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ． 【答案】D ．（3）用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为（ ）A ．|F |·sB ．F cos θ·sC ．F sin θ·sD ．|F |cos θ·s【知识点】向量的内积，物理中功的定义． 【解题过程】cos cos W s s s =⋅==θθF F F ． 【思路点拨】利用内积公式可求得结果． 【答案】D ．（4）已知作用在点A 的三个力f 1＝(3，4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3，1)且A (1，1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为（ ） A ．(9，1)B ．(1，9)C ．(9，0)D ．(0，9)【知识点】向量加法的坐标运算．【解题过程】f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则OP→＝OA →＋f ＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1)． 【思路点拨】直接采用向量加法的坐标运算求解． 【答案】A ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和．三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和． （2）平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2．其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （3）a ·b =|a ||b |cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0． 2．问题探究（1）水渠横断面是四边形ABCD ，12DC AB =uuu r uu u r，且AD BC =uuu r uu u r ，则这个四边形为等腰梯形．类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系? （2）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来．（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标．）探究一：平面向量解决平面几何中问题的优越性①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．证明：方法一：如图2．图2作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则Rt△ADF≌Rt△BCE．∴AD＝BC，AF＝BE．由于AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2．BD 2＝BF 2＋DF 2＝(AB －AF )2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AF 2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AD 2＝AB 2－2AB ·BE ＋BC 2． ∴AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋BC 2)． 方法二：如图3．图3以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系． 设B (a ，0)，D (b ，c )，则C (a ＋b ，c )． ∴|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2＝a 2＋2ab ＋b 2＋c 2， |BD |2＝(a －b )2＋(－c )2＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2． ∴|AC |2＋|BD |2＝2a 2＋2(b 2＋c 2)＝2(|AB |2＋|AD |2)．用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便．教学时应引导学生体会向量带来的优越性．因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系DB→＝AB →－AD →，AC →＝AB →＋AD →，教师可点拨学生设AB →＝a ，AD→＝b ，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|AC→|2与|DB →|2．因此有了方法三．方法三：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，|AB →|2＝|a |2，|AD →|2＝|b |2．∴|AC →|2＝AC →·AC →＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2． ① 同理|DB →|2＝|a|2－2a·b ＋|b |2． ② 观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得 |AC→|2＋|DB →|2＝2(|a|2＋|b |2)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 探究二：平面几何在物理中的应用两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力），就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos2θG ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，F 1F 2cos2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？答：θ=0时，|F 1|最小，等于2G ．探究三：应用示例例1．如下图，一条河的两岸平行，河的宽度d =500m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km /h ，水流的速度|v 2|=2km /h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？【知识点】向量的加法运算． 【数学思想】数形结合． 【解题过程】||v ==u v (km /h )，所以，60 3.1||d t v ==≈u v (min)．【思路点拨】如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这时船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了．【答案】行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．例2．如图4，Y ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图4【知识点】平面向量在平面几何中的应用． 【数学思想】转化思想，方程思想． 【解题过程】如图4，设AB→＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b ． 由于AR→与AC →共线，所以我们设r ＝n (a ＋b )，n ∈R ． 又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线， 所以我们设ER→＝mEB →＝m (a －12b )．因为AR→＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m (a －12b )． 因此n (a ＋b )＝12b ＋m (a －12b )，即(n －m )a ＋(n ＋m －12)b ＝0．由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0.解得n ＝m ＝13．所以AR→＝13AC →．同理TC→＝13AC →．于是RT →＝13AC →． 所以AR ＝RT ＝TC ． 【思路点拨】为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR 、RT 、TC 的长度，让学生发现AR ＝RT ＝TC ，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR ＝RT ＝TC 这个规律不变，因此猜想AR ＝RT ＝TC ．事实上，由于R 、T 是对角线AC 上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可．又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线，所以只需判断AD →，AR→，AT →与AC →之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR ＝RT ＝TC ．【答案】AR ＝RT ＝TC ．例3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BEEC 的值．【知识点】平面向量的运算，在平面几何中的应用． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】 方法一：(基向量法)设BA→＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2． a·b ＝|a||b |cos 60°＝1，BD→＝a ＋b ．设BE→＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a ． 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0．即(λb －a )·(a ＋b )＝0．解得λ＝25，∴225335BE EC ==．方法二：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B (0，0)，C (2，0)，A 12（，D 52（．又设E (m ，0)，则52BD ⎛= ⎝uu u r ，1-2AE m ⎛= ⎝uu u r ． 由AE ⊥BD ，得AE →·BD→＝0．即51-022m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得m ＝45，∴425635BE EC ==．【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明． 【答案】BE EC ＝23．同类训练 已知两恒力F 1＝(3，4)，F 2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 【知识点】平面几何在物理做功问题中的应用． 【解题过程】(1)AB→＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J )， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J )． ∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99J 和－3J ． (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)+(6,-5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J )．∴合力F 对质点所做的功为－102 J ．【思路点拨】物体在力F 作用下的位移为s ，则W ＝F·s ＝|F|·|s |cos θ．其中θ为F与s的夹角．【答案】（1）力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．（2）合力F对质点所做的功为－102 J．3．课堂总结知识梳理（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．重难点归纳用向量知识解决平面几何、物理问题时，要注意数形结合．一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．（三）课后作业基础型自主突破1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（）A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N【知识点】向量在力的合成中的应用．【解题过程】|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝102，当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N．【思路点拨】根据平行四边形法则求解．【答案】B．2．共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5，1)，则共点力对物体做的功W 为（ ）A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2【知识点】向量坐标运算，向量在物理做功问题中的应用．【解题过程】F 1＋F 2＝(1，2lg2)．∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2．【思路点拨】运用坐标运算，先求合力，再利用功的公式求解．【答案】D ．3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】∵|OB→－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB→＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB→－AC →|＝|AB →＋AC →|， ∴A ，B ，C 是同一矩形的三个顶点，且∠BAC ＝90°．∴△ABC 是直角三角形．【思路点拨】利用向量运算转化条件，并“翻译”为几何结论，判断三角形形状．【答案】B ．4．已知点A (3，1)，B (0，0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于（ ） A ．2 B ．12 C ．－3 D ．－13【知识点】平面向量共线．【解题过程】如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC→＝－3CE →．【思路点拨】先根据题意，画出图形，数形结合．【答案】C ．5．如图所示，两根绳子把重1kg 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g ＝10 N /kg)．【知识点】力的合成分解，平面向量在物理中的应用．【解题过程】设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°．∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53．|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5．∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N ．【思路点拨】作出受力分析，结合向量的平行四边形法则求解．【答案】在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N ．6．如图所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN ．【知识点】平面向量坐标运算．建立如图所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C (a ，0)，A (0，b )，E (a 2，b 2)．又设M (x 2，b )，N (x 1，0)，则AM →＝(x 2，0)，CN →＝(x 1－a ，0)． ∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)， ∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b 2)＝0．∴x 2＝a －x 1．∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a |． 而|CN →|＝(x 1－a )2＝|x 1－a |， ∴|AM→|＝|CN →|，即AM ＝CN ． 【思路点拨】图形非常规整，考虑先建系，利用向量的坐标运算求解，简化运算过程．【答案】略．能力型 师生共研7．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．【知识点】平面向量的运算，平面向量在物理中的应用．【数学思想】数形结合．设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ．∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．【思路点拨】根据受力分析，求出绳的拉力为F 和水的阻力为f 之间的关系式，由此分析浮力的变化情况．【答案】①③．8．如图，已知在等腰△ABC 中，BB ′、CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值．【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】建立如图所示的平面直角坐标系，取A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)， OA→＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0)． 因为BB ′、CC ′都是中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c ，0)＋(c ，a )]＝(3c 2，a 2)， 同理CC ′→＝(－3c 2，a 2)． 因为BB ′⊥CC ′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2．所以cos A ＝AB AC AB AC⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45． 【思路点拨】考虑利用向量的坐标运算，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算快捷地解决问题．【答案】45．探究型 多维突破9．已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：PA ＝EF 且PA ⊥EF ．【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】证明：以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy (如图所示)，设正方形边长为1，|OP →|＝λ，则A (0，1)，P ，E （1），F ,0），于是PA →＝,1（），EF →＝）．∵|PA →|＝λ2－2λ＋1， 同理|EF→|＝λ2－2λ＋1， ∴|PA→|＝|EF →|，∴PA ＝EF ．PA →·EF →＝（）1-）＋（）（）＝0， ∴PA→⊥EF →．∴PA ⊥EF ． 【思路点拨】根据题意，先作图．分析可知，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算证得结论．【答案】略．10．如图，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ．若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问：PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】方法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC→＝0． ∵AP→＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ→－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC→ ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB→－AC →) ＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ．当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0． 方法二：如下图，以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB |＝c ，|AC |＝b ，则A (0，0)，B (c ，0)，C (0，b )，且|PQ |＝2a ，|BC |＝a ．设点P 的坐标为(x ，y )，则Q (－x ，－y )．∴BP→＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ→＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by ．∵cos θ＝||||PQ BC PQ BC ⋅uu u r uu u r uu u r uu u r ＝cx －by a 2，∴cx －by ＝a 2cos θ． ∴BP →·CQ→＝－a 2＋a 2cos θ． 当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ →最大，其最大值为0．【思路点拨】利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．【答案】当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0．自助餐1．如图，非零向量OA→＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ等于（ ）A ．a·b |a|2B ．a·b |a||b|C ．a·b |b |2D ．|a||b|a·b【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】BC→＝OC →－OB →＝λa －b ． ∵BC ⊥OA ，∴BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，即λa 2－a·b ＝0．∴λ＝a·b |a |2． 【思路点拨】由 BC ⊥OA ，得到 BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，然后转化求解λ．【答案】A ．2．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5．则AB →·BC →＋BC →·CA→＋CA →·AB →＝______．【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】△ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×45（-）＝－16； CA →·AB →＝5×3×3()5＝－9． ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→＝－25． 【思路点拨】根据模长，得出B ＝90°，可得到各向量之间的夹角余弦．【答案】－253．一条河宽为800 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km /h ．水速为12 km /h ，船到达B 处所需时间为____________．【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．【解题过程】v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v |2＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km /h )．∴所需时间t ＝0.816＝0．05(小时)＝3(分钟)．∴该船到达B 处所需的时间为3分钟．【思路点拨】根据向量运算的平行四边形法则求解．【答案】3分钟．4．在风速为75(6－2) km /h 的西风中，飞机正以150 km /h 的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】设风速为v 0，有风时飞机的飞行速度为v a ，无风时飞机的飞行速度为v b ， 则v a ＝v b ＋v 0，且v a ，v b ，v 0可构成三角形(如图所示)，∵|AB →|＝|v a |＝150，|BC →|＝|v 0|＝75(6－2)，|AC →|＝|v b|， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，则∠BAD ＝45°，∴|CD→|＝|BE →|＝|EA →|＝752， ∴|DA→|＝|DE →|＋|EA →|＝|CB →|＋|EA →|＝75(6－2)＋752＝756， 从而tan ∠CAD ＝CD DAuu u r uu u r ＝752756＝33，∴∠CAD ＝30°， ∴|AC →|＝1502，∴v b＝150 2 km /h ， ∴没有风时飞机的飞行速度为150 2 km /h ，方向为北偏西60°． 【思路点拨】速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．【答案】没有风时飞机的飞行速度为150 2 km /h ，方向为北偏西60°．5．在△ABC 中，A (4，1)，B (7，5)，C (－4，7)，求∠A 的平分线的方程．【知识点】平面向量的坐标运算，直线的方程．【解题过程】AB→＝(3，4)，AC →＝(－8，6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB AC AB AC+uu u r uuu r uu u r uuu r ＝34()55，＋43()55-，＝17()55-，． ∵∠A 的平分线过点A ．∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0．整理得：7x ＋y －29＝0．【思路点拨】直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．【答案】7x＋y－29＝0．21 / 21。
高中数学人教A版必修4教案-2.5_平面向量应用举例_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
向量的应用
2. 教学重点/难点
向量的应用
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一. 内容归纳
1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题.
2. 重点难点: 向量的性质及相关知识的综合应用.
3. 思维方式: 能换一个角度看问题，善于应用向量的有关性质解题.
4. 特别注意: 向量性质的应用要准确无误，不能想当然.
思维点拔]正确熟练地应用向量的运算性质，同时要善于运用其他数学知识解题.
例5．一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从A处出发航行到河
的正对岸B处，船的航行
[思维点拔] 理解物理意义，用向量的知识解决.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例教学案数学教学案
第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W＝|F||s|cos_θ.(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos_θ.(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．2．归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义(2)①投影的概念：(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ．(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ．②数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．①a⊥b⇔a·b＝0．②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．③a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.④cos θ＝a·b|a||b|.⑤|a·b|≤|a||b|.(4)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[问题思考](1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.(5)a·b中的“·”能省略不写吗？提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．[课前反思](1)向量数量积的定义：；(2)向量数量积的几何意义：；(3)向量数量积的性质：；(4)向量数量积的运算律：.[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．[思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．讲一讲1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a －2b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，求a·b＋b·c＋c·a.[尝试解答] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．练一练1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：[思考] 如何求向量的模|a|?提示：|a|＝a·a ． 讲一讲2．(1)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1，则|a －3b |＝________． (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． [尝试解答] (1)因为a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1， 所以|a －3b |＝（a －3b ）2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝12＋9×12＝10. (2)因为|2a ＋b|＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1， 所以4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0， 解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)． 答案：(1)10 (2) 2向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2.练一练2．(1)已知非零向量a ＝2b ＋2c ，|b |＝|c |＝1，若a 与b 的夹角为π3，则|a |＝________；(2)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则|a －b |＝________． 解析：(1)由于c ＝12a －b ，所以c 2＝14|a |2＋|b |2－2×12|a ||b |×12，整理得|a |2－2|a |＝0，所以|a |＝2或|a |＝0(舍去)．(2)由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a·b ＋9＝16，即2a·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10 答案：(1)2 (2)10[思考1] 如何求a 与b 的夹角θ？名师指津：利用cos_θ＝a·b|a ||b |求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.[思考2] 两非零向量a 与b 垂直的充要条件是什么？ 名师指津：两非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0. 讲一讲3．(1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a|＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[尝试解答] (1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：(1)π3求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 练一练3．已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？解：由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d ，得c·d ＝0， 即c·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b ) ＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．2．要掌握与数量积相关的三个问题 (1)数量积的计算，见讲1； (2)向量的模的计算，见讲2； (3)向量的夹角及垂直问题，见讲3. 3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a·b ＝a·c (a ≠0)，则向量c ，b 在向量a 方向上的投影相同，因此由a·b ＝a ·c (a ≠0)不能得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b )·c 不一定等于a·(b·c )，这是由于(a·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．课下能力提升(十九) [学业水平达标练]题组1 向量数量积的运算1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )·c ＝a·(b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立； (3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( )A.92 B ．3 C ．2 D.12解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.A.49B.43 C ．－43 D ．－49 题组2 向量的模5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选A 由已知得，a 2＋a ·b －2b 2＝－32，∴|a |2＋|a |×4×cos 2π3－2×42＝－32.解得|a |＝2或|a |＝0(舍)．6．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________． 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝（5a －b ）2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 答案：77．已知非零向量a ，b ，满足a⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a||b|＝________． 解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ，∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.故cos 120°＝（a ＋2b ）·（a －2b ）|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b2（a 2＋4b 2）2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12，得a 2b 2＝43，即|a ||b |＝233. 答案：233题组3 两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°解析：选C 因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝0，所以a ·b ＝－12|b |2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－12，故θ＝120°.9．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由c⊥d 得c·d ＝0，即(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k |a |2＋(3k －8)a ·b －12|b |2＝0，所以2k ＋(3k －8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k ＝6.故选B.10．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________．解析：∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2k a ·b )．∴k 2＋1＋k ＝3(1＋k 2－k )．即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案：111．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12.(1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值． 解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12.∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22.(2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1，∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1. 令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24，即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24.[能力提升综合练]1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a 与b 的夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为( ) A.322B ．3C ．4D ．5 解析：选A 由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，而向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝3×22＝322. 2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 解析：选A ∵|a ＋b |＝10， ∴(a ＋b )2＝10， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.① ∵|a －b |＝6，∴(a －b )2＝6， 即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.② 由①②可得a ·b ＝1，故选A. A ．2 3 B.32 C.33D. 3 解析：画出图形知△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°，＝0＋4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－25.答案：－255．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1， 所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10. 答案：106．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， ∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2， ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ.则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32.∴θ＝30°.7．已知a ，b 是非零向量，t 为实数，设u ＝a ＋t b . (1)当|u |取最小值时，求实数t 的值； (2)当|u |取最小值时，向量b 与u 是否垂直？解：(1)|u |2＝|a ＋t b |2＝(a ＋t b )·(a ＋t b )＝|b |2t 2＋2(a ·b )t ＋|a |2＝|b |2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b |b |22＋|a |2－（a ·b ）2|b |2. ∵b 是非零向量，∴|b |≠0， ∴当t ＝－a ·b|b |2时，|u |＝|a ＋t b |的值最小． (2)∵b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b|b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0，∴b ⊥(a ＋t b )，即b ⊥u .第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 106～P 107的内容，回答下列问题．已知两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)若i ，j 是两个互相垂直且分别与x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量，则a ，b 如何用i ，j 表示？提示：a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j . (2)|a |，|b |分别用坐标怎样表示？ 提示：|a |＝（x 1i ＋y 1j ）2＝x 21＋y 21； |b |＝（x 2i ＋y 2j ）2＝x 22＋y 22. (3)能用a ，b 的坐标表示a ·b 吗？ 提示：a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2.2．归纳总结，核心必记 (1)平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(2)两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． (3)三个重要公式①向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.②两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ― ③向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ[问题思考](1)已知向量a ＝(x ，y )，你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a 垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝ ±⎝⎛⎭⎪⎫x |a |，y |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋y2，y x 2＋y 2，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向．易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y2，x x 2＋y 2，其中正，负号表示不同的方向．(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2吗？[课前反思](1)平面向量数量积的坐标表示： ；(2)两个向量垂直的坐标表示： ；(3)向量模的公式： ；(4)向量的夹角公式： ． 讲一讲1．(1)在平面直角坐标系xOy 中，已知＝(－1，t )，＝(2，2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1)，求：①2a ·(b －a )；②(a ＋2b )·c . (2)法一：①∵2a ＝2(1，3)＝(2，6)，b －a ＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a ·(b －a )＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.②∵a ＋2b ＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)， ∴(a ＋2b )·c ＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23. 法二：①2a ·(b －a ) ＝2a ·b －2a 2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9) ＝14. ②(a ＋2b )·c ＝a ·c ＋2b ·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1) ＝23. 答案：(1)5数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．练一练1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2，4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．讲一讲2．(1)若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．(2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．[尝试解答] (1)∵a ＝(2x －1，3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，∴a －b ＝(2x －1，3－x )－(1－x ，2x －1)＝(3x －2，4－3x )，∴|a －b |＝（3x －2）2＋（4－3x ）2＝18x 2－36x ＋20＝18（x －1）2＋2. ∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2.(2)①∵a ＝AB ―→＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋（－3）2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.答案：(1) 2求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 练一练2．已知向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)，若a ·c ＝b ·c ，试求模为2的向量c 的坐标．解：法一：设c ＝(x ，y )，则a ·c ＝(3，－1)·(x ，y )＝3x －y ，b ·c ＝(1，3)·(x ，y )＝x ＋3y ，由a ·c ＝b ·c 及|c |＝2，得⎩⎨⎧3x －y ＝x ＋3y ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12，y ＝3－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12，y ＝－3－12，所以c ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.法二：由于a ·b ＝3×1＋(－1)×3＝0，且|a |＝|b |＝2，从而以a ，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于a ·c ＝b ·c ，所以c 与a ，b 的夹角相等，从而c 与正方形的对角线共线．此外，由于|c |＝2，即其长度为正方形对角线长度(2|b |＝22)的一半，故c ＝12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝－12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.[思考] 当a 与b 是非坐标形式时，如何求a 与b 的夹角？如果a 与b 是坐标形式时，又如何求a 与b 的夹角？名师指津：(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)若a ，b 是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． 讲一讲3．已知平面向量a ＝(3，4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． [尝试解答] (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3，∴b ＝(9，12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m 、n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋（－4）×1（－3）2＋（－4）272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m 、n 的夹角为3π4.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.练一练3．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围． (1)a 与b 的夹角为90°. (2)a 与b 的夹角为锐角． 解：(1)设a 与b 的夹角为θ. |a |＝12＋22＝5，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a 与b 不同向． 因此1＋2λ>0，所以λ>－12.又a 与b 共线且同向时，λ＝2.所以a 与b 的夹角为锐角时，λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题． 2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用 (1)求平面向量的数量积，见讲1； (2)解决向量模的问题，见讲2； (3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3. 3．本节课的易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况，如练3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 平面向量数量积的坐标运算1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1 解析：选D a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.选D. 3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1，0) 解析：选B 法一：设b ＝(x ，y )，其中y ≠0， 则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3y ≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.法二：利用排除法．D 中，y ＝0，∴D 不符合题意；C 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334不是单位向量，∴C 不符合题意；A 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12使得a ·b ＝2， ∴A 不符合题意．故选B. 题组2 向量模的问题4．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2解析：选D 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)， 所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.5．设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________． 解析：a ∥b ，则2×(－2)－1·y ＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1，2)，|3a ＋b |＝ 5. 答案： 56．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则||的最小值为________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝h ，则A (2，0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，则＝(2，－y )，＝(1，h －y )，∴||＝25＋（3h －4y ）2≥25＝5. 故||的最小值为5.答案：5题组3 向量的夹角与垂直问题7．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 8．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )， 又c ⊥(a ＋b )，得3m －n ＝0， 故m ＝－79，n ＝－73.9．以原点O 和点A (5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠B ＝90°，求点B 和向量的坐标．解：设点B 坐标为(x ，y )，则＝(x ，y )，＝(x －5，y －2)．∵⊥，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2＋y 2－5x －2y ＝0. 又∵||＝||，∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2， 即10x ＋4y ＝29.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－5x －2y ＝0，10x ＋4y ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝72.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，32.10．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， ∴x 2＋y 2＝20. 由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.[能力提升综合练]A.32 B ．－32C ．4D ．－4解得m ＝4.2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C 设P (x ，0)，则＝(x －2，－2)，＝(x －4，－1)，∴＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ―→·BP ―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4，3)，2a ＋b ＝(3，18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865C.1665 D ．－1665 解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x ，6＋y )＝(3，18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12， 故b ＝(－5，12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665. 4．已知a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________.解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 答案： 55．如图，已知点A (1，1)和单位圆上半部分上的动点B ，若⊥，则向量的坐标为________．解析：依题意设B (cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，即cos θ＋sin θ＝0，解得θ＝3π4， 所以＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 6．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 解析：因为a 与b 的夹角为锐角，所以0<a ·b |a ||b |<1， 即0<3λ2＋4λ5λ2×9λ2＋4<1， 解得λ<－43或0<λ<13或λ>13. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 7．已知O 为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使得？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M ，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴存在M (2，1)或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115满足题意．。
平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例一、学习目标设定1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．二、导入情境创设如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N 的灯具，则每根绳子的拉力是多少？三、学习策略分析本节课采用“情境—问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中发现并证明基本不等式，并在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。
四、自主学习设计1． 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 2． 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法 120o10N相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．五、课时对点练习1．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )．A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB→＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )．A ．4,0B ．16,0C ．2,0D ．16,44．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则 △ABC 为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________．六、课堂内容小结平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．七、探究延伸拓展1.以O 为原点，OF 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设OF ·FG =1，点F 的坐标为(t ，0)，t ∈［3，+∞)，点G 的坐标为(x 0，y 0).(1)求x 0关于t 的函数x 0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；(2)设△OFG 的面积S=631t ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当|OG |取得最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为(0，92)，C 、D 是椭圆上的两点，且PC =λPD (λ≠1)，求实数λ的取值范围.2.如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m 的线段,其端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动,设点M 满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E 、F,使得|ME |、||、||成等差数列?若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.3. 已知△OPQ的面积为S，且OP·PQ=1，OP=m，S=43m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.(1)当m∈(1，2)时，求|OQ|的最大值，并求出此时的椭圆C方程；(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且MP=λ1PN，MD=λ2DN请找出λ1、λ2之间的关系，并证明你的结论.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例教案 新人教A版必修4(1)(2021年整理)
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2.5 平面向量应用举例目标要求：1、使学生运用向量的有关知识解决几何中的点共线、线段长度、直线的夹角等问题。
2、使学生运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力.3、通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题。
教学重难点:重点：用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.难点：实际问题转化为向量问题。
教学课时安排：2课时教学过程：分 析：①作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）;②引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识,得出:2cos 2212cos 11θθG F F G =⇒= ③讨论:（1） 当θ逐渐增大时，1F 的大小怎样变化？为什么? （2） 当θ为何值时，1F 最小，最小值是多少？ （3） 当θ为何值时,G F =1?（4） 如果N G N F 882,5881==，θ在什么范围时,绳子不会断？ （5） 请同学们自行设定1F 与G 的大小,研究1F 与θ的关系？分 析:速度是向量（1）启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了。
平面向量的应用数学学案010
2.5 平面向量应用举例【目标要求】1.能用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．能利用向量方法解决力向量、速度向量等物理问题．3．体会用向量方法解决实际问题的过程，了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．【热点提示】1.用向量解决物理问题，要将物理问题抽象为数学问题，建立数学模型解决．反过来，能用数学解释一些物理现象．2．用向量解决物理问题应首先作出图来，然后运用向量知识解决．3．向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接化为向量，对这些向量借助它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果.【知识梳理】1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系；2．向量在物理问题中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解运用的就是向量的加减法，其运算法则就是平行四边形法则和三角形法则；(3)动量m v 就是数学上的数与向量的乘法运算；(4)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．【课堂互动】平面向量在平面几何中的应用【例1】 已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ； (2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．练1 已知△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，试用向量的方法证明：a ＝b cos C ＋c cos B .平面向量在解析几何中的应用【例2】 已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点．(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程．练2 如下图所示，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，若OA →＝(0，－4)，M在y 轴上，且AM →＝12(AB →＋AC →)，点C 在x 轴上移动．求点B 的轨迹方程．平面向量在物理中的应用【例3】 已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为80 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)练3 已知两恒力F 1(3,4)，F 2(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．试求(1)力F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)F 1，F 2的合力对质点所做的功．【限时训练】1．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，若OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，λ∈(1,2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点共线2．一个质量为m 的物体，受到三个水平力作用后，静止在光滑的水平面上，将其中一个水平向南的力|F |减少34，其他力保持不变，那么该物体在时间t 内的位移是( ) A ．0 B.t 28m |F |，向南 C.t 28m |F |，向北 D.3t 28m|F |，向北 3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)4．当两人提起重量为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则三者的关系式为( )A ．|F |＝|G |2cos θB ．|F |＝|G |2sin θC ．F ＝|G |2cos θ2D ．|F |＝|G |2cos θ25．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝06．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC ( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心。
高中数学第二章平面向量2.5向量的应用教案
2.5 向量的应用整体设计教学分析1．在生产和日常生活中，有时会遇到既有大小，又有方向的量，这就为采用向量法解决问题提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．这样向量又为解决几何问题提供了理论基础，本节主要在于让学生了解向量来源于实际又为解决实际问题及几何问题提供方便，教学中注意难度的控制，同时还要注意，向量也是解决许多物理问题的有力工具．2．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．3．研究几何可以采取不同的方法．这些方法包括：综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．前三种方法都是中学数学中出现的内容．有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．三维目标1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．2．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：如何将实际问题化归为向量问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．推进新课新知探究一、向量在几何中的应用1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的条件a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(b ≠0)．2．证明垂直问题，常用向量垂直的条件a ⊥b a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．求夹角问题 利用夹角公式cosθ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 4．求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2或|AB|＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 5．用向量处理其他代数或几何问题．二、用向量法解决几何问题的“三步曲”1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3．把运算结果“翻译”成几何关系．引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．即：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．这个“三步曲”用流程图表示为： 应用示例思路1例1课本本节例2.变式训练1.如图1，连结平行四边形ABCD 的顶点B 至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图1活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR 、RT 、TC 的长度，让学生发现AR ＝RT ＝TC ，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR ＝RT ＝TC 这个规律不变，因此猜想AR ＝RT ＝TC.事实上，由于R 、T 是对角线AC 上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可．又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线，所以只需判断AR →，AT →与AC →之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR ＝RT ＝TC.解：如图1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b .由于AR →与AC →共线，所以，我们设r ＝n(a ＋b )，n∈R ，又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以我们设ER →＝mEB →＝m(a －12b )．因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m(a －12b )． 因此n(a ＋b )＝12b ＋m(a －b )，即(n －m)a ＋(n ＋m －12)b ＝0. 由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧ n －m ＝0，n ＋m －12＝0.解得n ＝m ＝13. 所以AR →＝13AC →.同理TC →＝13AC →. 于是RT →＝13AC →，所以AR ＝RT ＝TC. 2.如图2，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高．求证：AD 、BE 、CF 相交于一点．图2证明：设BE 、CF 相交于H ，并设AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b .因为BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，所以(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b ，化简得h·(c －b )＝0.所以AH →⊥BC →.所以AH 与AD 共线，即AD 、BE 、CF 相交于一点H.例2课本本节例3.思路21如图3，已知在等腰△ABC 中，BB′、CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A 的余弦值．图3活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题．可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标．如果能比较方便的建立起平面直角坐标系，如本例中的图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．解：建立如图3所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，OA →＝(0，a)，BA →＝(c ，a)，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)，因为BB′、CC′为两中线，所以BB′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c,0)＋(c ，a)]＝(3c 2，a 2)．同理CC′→＝(－3c 2，a 2)．因为BB′⊥CC′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2. 所以cosA ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45. 变式训练如图4，在Rt△ABC 中，已知BC ＝a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问：PQ →与BC→的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．图4解：方法一：如图4.∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →)＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cosθ，故当cosθ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.方法二：如图5.图5以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB|＝c ，|AC|＝b ，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a ，|BC|＝a.设点P 的坐标为(x ，y)，则Q(－x ，－y)，∴BP →＝(x －c ，y)，CQ →＝(－x ，－y －b)，BC →＝(－c ，b)，PQ →＝(－2x ，－2y)．∴BP →·CQ →＝(x －c)(－x)＋y(－y －b)＝－(x 2＋y 2)＋cx －by.∵cosθ＝PQ →·BC →|PQ →||BC →|＝cx －by a 2，∴cx－by ＝a 2cosθ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cosθ.故当cosθ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0.知能训练课本本节练习2、3、4.课堂小结1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．作业课本习题2.5 3、4、6、7.设计感想1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点的激发学生的智慧火花．2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题，因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续的解析几何内容等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果．现举几例以供教师学生进一步探究使用．1．证明线线平行例1如图6，在梯形ABCD 中，E ，F 分别为腰AB ，CD 的中点．图6求证：EF∥BC，且|EF →|＝12(|AD →|＋|BC →|)． 证明：连ED ，EC ，∵AD∥BC，可设AD →＝λBC →(λ>0)．又E ，F 是中点，∴EA →＋EB →＝0.且EF →＝12(ED →＋EC →)，而ED →＋EC →＝EA →＋AD →＋EB →＋BC →＝AD →＋BC →＝(1＋λ)BC →， ∴EF →＝1＋λ2BC →.EF 与BC 无公共点，∴EF∥BC. 又λ>0，∴|EF →|＝12(|BC →|＋|λBC →|)＝12(|AD →|＋|BC →|)． 2．证明线线垂直例2如图7，在△ABC 中，由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE ，且AD 与BE 交于H ，连结CH ，求证：CH⊥AB.图7证明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，有AH →·BC →＝0，BH →·AC →＝0，又AH →＝AC →＋CH →，BH →＝BC →＋CH →，故有(AC →＋CH →)·BC →＝0，且(BC →＋CH →)·AC →＝0，两式相减，得CH →·(CB →－CA →)＝0，即CH →·AB →＝0，∴CH →⊥AB →，即CH⊥AB.3．证明线共点或点共线例3求证：三角形三边中线共点，且该点到顶点的距离等于该中线长的23. 解：已知：△ABC 的三边中点分别为D ，E ，F(如图8)，图8 求证：AE ，BF ，CD 共点，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 证明：设AE ，BF 相交于点G ，AG →＝λ1GE →，由定比分点的向量式有BG →＝BA →＋λ1BE →1＋λ1＝11＋λ1BA →＋λ121＋λ1BC →， 又F 是AC 的中点，BF →＝12(BA →＋BC →)， 设BG →＝λ2BF →，则11＋λ1BA →＋λ121＋λ1BC →＝λ22BA →＋λ22BC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11＋λ1＝λ22，λ121＋λ1＝λ22.∴11＋λ1＝λ121＋λ1 λ1＝2，λ2＝23，即AG AE ＝BG BF ＝23. 又CG →＝CA →＋λ1CE →1＋λ1＝13(CA →＋2CE →)＝23·12(CA →＋CB →)＝23CD →， ∴C，G ，D 共线，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 二、备用习题1．有一边长为1的正方形ABCD ，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |＝________.2．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，则使λb －a 与a 垂直的λ＝________.3．在等边△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且|a |＝1，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.4．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，且A ，B ，C 三点共线，则k＝________.5．如图9所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN.图96．已知四边形ABCD 满足|AB →|2＋|BC →|2＝|AD →|2＋|DC →|2，M 为对角线AC 的中点．求证：|MB →|＝|MD →|.7．求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 参考答案：1．2 2.2 3.－324.－2或11 5解：建立如图10所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C(a,0)，A(0，b)，E(a 2，b 2)．图10又设M(x 2，b)，N(x 1,0)，则AM →＝(x 2,0)，CN →＝(x 1－a,0)，∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)， ∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b 2)＝0.∴x 2＝a －x 1. ∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a|.而|CN →|＝x 1－a 2＝|x 1－a|，∴|AM →|＝|CN →|，即AM ＝CN.6．解：设AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )． ∴a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2＋d 2＋2c·d .①∵|AB →|2＋|BC →|2＝|AD →|2＋|DC →|2，∴a 2＋b 2＝(－d )2＋(－c )2＝c 2＋d 2.②由①②得a·b ＝c·d .∵M 是AC 的中点，如图11所示，则DM →＝12(d －c )，BM →＝12(b －a )，图11∴|MB →|2＝BM →2＝14(b 2＋a 2－2a·b )， |MD →|2＝DM →2＝14(d 2＋c 2－2c·d )． ∴|MB →|2＝|MD →|2.∴|MB →|＝|MD →|.7．解：已知OA∥O′A′，OB∥O′B′，求证：∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝π.证明：∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴可设OA →＝λO′A′→(λ∈R ，λ≠0)，OB →＝μO′B′→(μ∈R ，μ≠0)．∴cos∠AOB＝OA →·OB →|OA →||OB →|， cos∠A′O′B′＝O′A′→·O′B′→|O′A′→||O′B′→|＝λOA →·μOB →|λOA →||μOB →|＝λμOA →·OB →|λμ||OA →||OB →|＝±OA →·OB →|OA →||OB →|. 当OA →与O′A′→，OB →与O′B′→均同向或反向时，取正号，即cos∠AOB＝cos∠A′O′B′. ∵∠AOB，∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝∠A′O′B′.当OA →与O′A′→，OB →与O′B′→只有一个反向时，取负号，即cos∠AOB＝－cos∠A′O′B′＝cos(π－∠A′O′B′)．∵∠AOB，π－∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝π－∠A′O′B′.∴∠AOB＋∠A′O′B′＝π.∴命题成立．第2课时导入新课(问题导入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然的引入新课．推进新课新知探究向量在物理中的应用1．向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用．2．向量在速度的分解与合成中的应用．如何用向量法来解决物理问题1．将相关物理量用几何图形表示出来．2．将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题．3．最后将数学问题还原为物理问题．应用示例例1课本本节例1.图12在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在图13例2在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？解：如图14，船航行的方向是与河岸垂直方向成30°夹角，即指向河的上游．图14知能训练1．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3小时，该船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km2．如图15，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________ N ；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F ，则F ＝________.图153．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小．参考答案：1．B点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求． 2.41 (5,4)3．解：如图16所示，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，∠AOC＝30°，|OB →|＝5 km/h.图16因为四边形OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|cot30°＝|OB →|cot30°＝5 3 km/h ，|OC →|＝|OA →|cos30°＝5332＝10 km/h. 答：水流速度的大小为5 3 km/h ，船的实际速度的大小为10 km/h.点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .作业1．习题2.5 1、2、5、8.2．归纳总结物理学中哪些地方可用向量．设计感想1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而且简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．。
2.5平面向量应用举例
2020-2021学年第一学期主备人电子教案的有关三角函数的知识的基础上，对三角函数的图象的画法进行讲解。
教师通过数形结合的方法对三角函数的图象位置的变化进行比较，引导学生思考。
1.解决平面几何问题的一般方法：综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法——以数（代数式）和数（代数式）的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法2.用向量工具解决平面几何问题的“三步曲”⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系.3.利用实数与向量的积证明共线、平行、长度问题.二、例题讲解：例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，,AC AB AD=+,?BD AB AD=-你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗分析：,AB AD==a b令，则,,AC DB=+=-a b a b2222,AB AD==a b涉及长度问题常常考虑向量的数量积.解：()()2AC AC AC=•=+•+a b a b =•+•+•+•a a ab b a b b222 (1)=+•+a ab b2222 (2)BD=-•+a ab b①+②得()() 22222222AC BD AB AD+=+=+a b平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 例2 如图,连接□ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？教师通过数形结合的方法对三角函数的图象位置的变化进行比较，引导学生思考。
师生一起通过五点画图法画出函数的图图象，并掌握其方法。
分析:由于AR,RT,TC在AC上,只要判断AR,RT,TC与AC的关系,,.AD AR AT AC判断与之间的关系即可解：,,,,AB AD AR AT AC=====+a b r t a b设则(),n n R=+∈r a b设又因为12EB AB AE=-=-a bER EB与共线，所以可以1,2ER mEB m m R⎛⎫==-∈⎪⎝⎭a b设∴1122m⎛⎫=+-⎪⎝⎭r b a b因此()1122n m⎛⎫+=+-⎪⎝⎭a b b a b即()12mn m n-⎛⎫-++=⎪⎝⎭a b0∴12n mmn-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得13n m==∴1,3AR AC=同理13TC AC=，于是13RT AC=所以AR RT TC==例3 两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小1F与两绳子间的夹角θ的关系分析：①作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；②引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：AR AE ER=+112G G F F ⇒=1F 1F 最小，最小值是多少？1F G =1,882F G ==请同学们自行设定1F 与G 的大小，研究1F 与利用结论解释教材上给出的两个物理现象图，启发学生将物理现B1sinνθ⋅，到河的正对岸B分析:如果水是静止的，则船只要取垂直于河对岸的方向行驶就可以了，但由于水流的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v 1与v 2的合速度的方向正好垂直于河岸方向。
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2.5.1 平面向量应用举例
一．【教材分析】
前面已学习了向量的概念及向量的线性运算以及向量的数量积，本节课应用向量的知识来解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题！
二．【教学目标】
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究几何结论和生活中的实际问题；
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.
三．【教学重难点】
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.
难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.
四．【教学过程】
(一).
(二).【新课引入】
平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．本节课，我们就通过几个具体实例，来研讨
建议
说明向量方法在平面几何中的运用
（三）【典例精讲】
例1. 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：2222
2()
AC BD AB BC
+=+
证明：不妨设AB=a，AD=b，则
AC=a+b，DB=a-b，2
||
AB=|a|2，2
||
AD=|b|2．
得2
||
AC AC AC
=⋅=( a+b)·( a+b)
= a·a+ a·b+b·a+b·b
=|a|2+2a·b+|b|2．①
同理,2
||
DB=|a|2-2a·b+|b|2．②
①+②得2
||
AC+2
||
DB=2(|a|2+|b|2)=2(2
||
AB+2
||
AD)．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
对比其他方法：
建系设坐标法和做辅助线勾股定理等方法体验向量法的优越性.
跟踪练习应用上述结论解题
引导学生归纳，用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：
⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面
几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
⑶把运算结果“翻译”成几何关系．
简述为：
几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化
例2、如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？
解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ． 因为AR 与AC 共线，因此，存在实数m ，使得AR =m (a +b )．
又因为BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR =n BE = n (1
2
b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (
1
2
b - a )． 整理得(1)m n +-a ＋1
()2
m n -b ＝0．
由于向量a 、b 不共线，所以有 10,1
0,2m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1,3
2.3m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以13AR AC =
．同理 13TC AC =．于是 1
3
RT AC =． 所以 AR ＝RT ＝TC ．
引导学生小组讨论合作探究出其它方法一一展示、对比、点拨、点评
练习 1.矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，E,F 分别为BC,CD 的中点，则
BD AF AE ⋅+)(=_____
练习2.在三角形ABC 中，∠BAC=120°AB=AC=3，点D 在线段BC 上，DC=2BD,求： （1）AD 的长； （2）∠DAC 的大小.
如有时间，爬黑板展示
(四) 【课堂小结】
1.向量法：基底法和坐标法
2.利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲” （1） 建立平面几何与向量的联系，
（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系.
数学思想与方法：转化，数形结合，几何问题代数化
（五） 【板书设计】
§ 2.5.1 平面向量的应用举例
例1 例2 练习 小结。