沪教版(上海)高二数学第二学期-11.2 直线的倾斜角与斜率-教案

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直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时

直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时●教学目标(一)教学知识点1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.2.直线的倾斜角和斜率.3.斜率公式(二)能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.用联系的观点看问题.●教学重点直线的倾斜角和斜率概念.●教学难点斜率概念理解与斜率公式.●教学方法学导式本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.●教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2π，但斜率不存在，也就谈不上相等.［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；③倾斜角是90°的直线没有斜率.［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.3.斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4.例题讲解：［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝?-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?-??-?=又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.Ⅲ.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P 37习题7.11.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0l 2：2x －3y ＋6＝02.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝65π；（４）α＝32π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为33；(2)∵tan ４5°＝1，∴直线的斜率为1；(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－33，∴直线斜率为－33；(4)∵tan 32π＝－tan 3π＝－3，∴直线斜率为－3；(5)∵tan ８9°＝57.29，∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，∴直线的斜率为－2.1８４.(二)1.预习内容：斜率公式2.预习提纲：尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。

高二数学教案必修2 直线的方程点斜式(斜截式)

高二数学教案必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级姓名教学目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)．2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？【提示】 x ＝x 0.求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点(,)P x y 的坐标x 和y 之间的关系．直线l 经过点111(,)P x y ，当直线斜率不存在时，直线方程为1x x =；当斜率为k 时，直线方程为11()y y k x x -=-，该方程叫做直线的点斜式方程.例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．【解】∵直线经过点1(2,3)P -，且斜率为2，代入点斜式，得：)2(23+=-x y ，即07=+-y x ．点评:已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可直接利用斜截式写出直线方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．【解】代入直线的点斜式，得：(0)y b k x -=-，即y kx b =+．点评:方程y kx b =+叫做直线的斜截式方程，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．（1）直线l 与x 轴交点(,0)a ，与y 轴交点(0,)b ，称a 为直线l 在x 轴上的截距，称b 为直线l 在y 轴上的截距（截距可以大于0，也可以等于或小于0）；（2）方程由直线l 斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定，叫做直线方程的斜截式．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A -， 12)y x +-；（2）经过点(B ，倾斜角为30； 2y x -；（3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0;30y -=；（4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直． x ＝5.2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-； 3y x =-；（2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)． 36y x =-+．3. 方程(2)y k x =-表示()A 通过点(2,0)-的所有直线 ()B y 轴上的截距是-2k()C 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ()D 通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．【解】（1）设直线2)y x =-的倾斜角为α，则tan α=[0,180)α∈， ∴120α=；（2）∴所求的直线的倾斜角为1203090-=，且经过点(2,0)，所以，所求的直线方程为2x =．例4：在同一坐标作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-【解】图略；（1）这些直线在y 轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)；（2）这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．法一设直线l 的斜率为k ，由于这条直线过点P (－1，－2)，所以，它的点斜式方程是y －(－2)＝k [x －(－1)]，可化为斜截式方程是y ＝kx ＋k －2，所以直线l 在y 轴上的截距为k －2.由已知得2≤k －2≤6，所以4≤k ≤8.所以直线l 斜率的取值范围为[4,8]．法二设直线l 的斜截式方程为y ＝kx ＋b ，由于点P (－1，－2)在直线l 上，所以－2＝k (－1)＋b ，即k ＝b ＋2.又因为b ∈[2,6]，所以k ∈[4,8]．后记高二数学学案必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级姓名学习目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A - （2）经过点(B ，倾斜角为30；（3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0；（4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直．2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-；（2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)．3. 方程(2)y k x =-表示①通过点(2,0)-的所有直线 ②y 轴上的截距是-2k③通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ④通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．例4：在同一坐标作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．高二数学作业必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级姓名1．已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为________．2．过点P (－2,0)，且斜率为3的直线的方程是________．3．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________．4．斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________． 5．直线236x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别是6．（1）经过点(2,4)P ，且倾斜角为60的直线方程是；（2）倾斜角为150，在y 轴上的截距为2-的直线方程是．7．若ABC ∆在第一象限，(1,1),(5,1)A B ，且点C 在直线AB 的下方，60,45CAB B ∠=∠=，则直线AC 的方程是，直线BC 的方程是．8．直线22(252)(4)50a a x a y a -+--+=的倾斜角为45，则a 的值为9．直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件10．将直线l ：y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线l ′，则直线l ′的方程为________．11．已知直线l 经过点(2,1)，且它的倾斜角是直线1l ：2y +的一半，求直线l 的方程．12．设直线0ax by c ++=经过点(1,1)和(3,5)-，求::a b c ．13．将直线1l ：20x y -=绕着它上面的一点按逆时针方向旋转15得直线2l ，求2l 的方程．14．已知直线l 的斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．15．已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，如果AOB ∆的面积（O 为坐标原点）不大于1，求b 的范围是。

沪教版高二数学下期课程目录与教学计划表

沪教版高中数学高二下期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。

不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。

目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第11章坐标平面上的直线
11.1直线的方程
11.2直线的倾斜角和斜率
11.3两条直线的位置关系
11.4点到直线的距离
本章综合与测试
第12章圆椎曲线
12.1曲线和方程
12.2圆的方程
12.3椭圆的标准方程
12.4椭圆的性质
12.5双曲线的标准方程
12.6双曲线的性质
12.7抛物线的标准方程
12.8抛物线的性质
本章综合与测试
第13章复数
13.1复数的概念
13.2复数的坐标表示
13.3复数的加法与减法13.4复数的乘法与除法13.5复数的平方根与立方根13.6实系数一元二次方程本章综合与测试。

直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(第二课时)课件——2022-2023学年高二数学选择性必修一

x2 x1
故 k tan
且x1 x2 , y1 y2 , k y2 y1 无意义
x2 x1
@demon
抽象概括
一、直线的斜率与倾斜角的关系
1.2.2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
倾斜角不为的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足：
2
k
tan
其中
2
当
0，
2
)时，斜率
k
0.
当 ( , ]时，斜率 k 0.
（1）若
0
3
，求斜率k的取值范围；
（2）若 3 ，求斜率k的取值范围；
4
4
（3）若 3 k 3 ，求倾斜角α的取值范围；
3
（4）若 1 k 3 ，求倾斜角α的取值范围.
@demon
典例分析
1.2.2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
例 3 已知直线l的倾斜角为α，斜率为k. （1）若 0 ，求斜率k的取值范围；
义的？
如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ).
由平面向量的知识可知，向量P1P2是直线l的方向向量
追问1：你能表示该方向向量的坐标吗？
P1P2 =(x2 x1, y2 y1).
y P2
P1
α
x
l
O
追问2：观察该方向向量的坐标，说说它与斜率、倾斜角的关系？
4
4
解（2）由及正切函数的性质,可得
当时， k tan 1;
4
2
当 3 时，k tan ;
2
4
当时，斜率k不存在.
2
综上，斜率k的取值范围是{k | k -1或k 1}.

沪教版（上海）高二数学第二学期-11.2直线的倾斜角与斜率-教案

沪教版（上海）高二数学第二学期-11.2直线的倾斜角与斜率-教案直线的倾斜角和斜率【教学目标】1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用；3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养；4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想．【教学重点】斜率概念理解与斜率公式【教学难点】斜率概念理解与斜率公式【课时安排】1课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入：1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。

倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示。

3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。

提问：（1）哪些条件可以确定一条直线？（2）在平面直角坐标系中，过点P 的任何一条直线l ，对x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？（3）给定直线的倾斜角α，如何求斜率？（4）设α是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当0≥k 及0<=""> （5）判断正误：①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （）②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（）③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（）④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（）二、讲解新课：4．斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=推导：设直线21P P 的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的（如上图所示）。

高中数学_3.1 直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思

直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。

进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。

为后续的学习探究“埋好暗线”。

2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。

我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。

问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。

三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。

观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。

【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。

沪教版高中数学高二下册：11.2直线的倾斜角和斜率教案[001]

《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、教材分析1、教学内容本节主要讲直线的倾斜角和斜率，共分二课时。

这是第一课时，该节主要学习的内容是直线的倾斜角和斜率的概念以及斜率公式.2、教材所处地位及前后的联系本节是高中解析几何内容的开始，也是解析几何的重要概念之一，该节是学生学习用坐标法研究图形，研究几何问题的初步知识，这些知识是初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，本课有着开启全章，为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识的基础.二、教学目标1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2、通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念，培养学习的数学理解能力；通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力；3、学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用.三、学情分析作为教学对象的学生是学习主体，为了突出学生的主体的地位，教师须全面研究学生，了解学生.1、认知结构经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程.2、情感结构随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣.四、教学重难点重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式难点：斜率概念的理解和过两点的直线的斜率公式的推导五、教学方法本节课主要是教给学生“动眼看、动手算、动脑想、动口说、勤钻研”的研究式学习方法，这样增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生“学”有所“思”，“思”有新“得”，“练”有所“获”，让学生产生一种成就感，激发学生的兴兴趣.六、教学条件分析可以借用电子白板及几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素，倾斜角的变化与斜率变化之间的关系等.借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程.七、教学过程（一）引言在几何问题的研究中，我们常常依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质.现在，我们采用另外一种研究方法：坐标法.坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.从今天开始，我们就来学习解析几何的内容.（设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义）（二）倾斜角概念的形成我们知道，在平面直角坐标系内两点确定一条直线，一点能确定一条直线的位置吗？（不能）过一点有多少条直线？（无数条）. (倾斜程度不同)【师】这些直线区别在哪里呢？【生】倾斜程度不同【师】这节课我们来研究直线的倾斜角与斜率（设计意图：自然合理地提出问题，从最简单问题着手，创造轻松的氛围。

高二数学复习考点知识与题型专题讲解7---直线的倾斜角与斜率

高二数学复习考点知识与题型专题讲解第二章直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（） A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒ B ．若k 是直线的斜率，则R k ∈C ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角2．（2022·全国·高二专题练习）下列四个命题中，正确的有（） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ3．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（）A0B ．0C．题型二：直线的斜率4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（）A．．5．（2022·福建宁德·高二期末）若直线经过两点)(,2A m ，)(1,1B 且倾斜角为45°，则m 的值为（） A ．2B ．32C ．1D ．32-6．20my ++=的倾斜角为23π，则m =（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2022·全国·高二专题练习）直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为（） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,,42πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．（2022·全国·高二专题练习）设直线l 的斜率为k ，且1k ≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（） A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．（2022·江苏·高二）已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（）A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭题型四：与斜率公式有关的问题10．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,3A ，()3,2B --，若直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（） A ．34k ≤或2k ≥B ．1k <C ．12k <<D ．324k <<11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为23π，则m =（）A ．13B ．1C ．32D ．－112．（2022·江苏·南师大二附中高二期末）过两点()222,3A m m +-、()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为45，则m 的值为（） A ．2-或1-B ．1-C ．12D ．2-题型五：斜率公式的应用13．（2022·全国·高二）已知正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B ，顶点C 在第一象限，若点(),P x y 是ABC 内部及其边界上一点，则1yx +的最大值为（）A ．12B ．32C ．23D14．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,1A -，()3,B m ，若1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角α的取值范围为（） A ．{}60150αα︒≤≤︒B ．{060αα︒≤≤︒或}150180α︒≤<︒C ．{6090αα︒≤<︒或90150}α︒<≤︒D ．{6090αα︒≤<︒或150180}α︒≤<︒15．（2020·湖北·宜城市第三高级中学高二期中）已知点()23A -，，()32B --，，直线l 方程为10kx y k +--=，且与线段AB 相交，求k 的取值范围为（） A ．34k ≤-或4k ≥B ．4k ≤或34k ≥C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤-题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-17．（2022·全国·高二专题练习）设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤18．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高二课时练习）将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l 的斜率是（） A ．32-B ．4C ．1D ．1220．（2022·全国·高二课时练习）设直线l 的斜率为k ，且1k -≤<l 的倾斜角α的取值范围为（）A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．30,,64πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭21．（2022·全国·高二课时练习）设P 为x 轴上的一点，(2,1),(7,5)A B -，若直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，则点P 的坐标为（）A ．(10)-，B ．()3,0-C ．(20)，D ．(4,0) 22．（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦23．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[]1,1-B ．(,1]-∞-C ．()1,1-D ．[1,)+∞24．（2022·江苏·高二）已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤25．（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（）． A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α B ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C ．平行于x 轴的直线的倾斜角为180D ．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为9026．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点(2,3)A a 和点(2,1)B -，分别求出满足下列条件的a 的取值或取值范围. (1)直线l 的倾斜角为直角； (2)直线l 的倾斜角为锐角； (3)直线l 的倾斜角为钝角.【高分突破】一：单选题27．（2022·全国·高二专题练习）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．(2,3)-B ．(2,0)(0,3)-⋃C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对28．（2022·江苏·高二课时练习）已知点Q (－2，0)，A (1，B (1，P为动点．当点P 在线段AB 上运动时，求直线PQ 的倾斜角的取值范围．29．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知动直线:20l x my +-=的倾斜角的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（）A ．()1-B ．1,⎛- ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．( 30．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知直线1l 的斜率为1，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°，则直线2l 的斜率为（）A ．－1B ．．131．（2022·全国·高二课时练习）直线m 过点()(00O A ，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．．-C ．2D ．-232．（2022·全国·高二专题练习）已知直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的倾斜角为（） A ．30°B．60°C．120°D．150°33．（2022·辽宁大连·高二期末）若直线l 经过()0,0O ，(A 两点，则直线l 的倾斜角为（） A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π34．（2022·青海海东·高二期末（理））已知直线l 经过(A -，(3,B -两点，则直线l 的倾斜角是（） A ．30°B．60°C．120°D．150°35．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（） A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭36．（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线l 过点()0,1P -且斜率为k ，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点，则k 的取值范围为（） A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．[]1,1-二、多选题37．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ38．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中正确的有（） A ．两条相交直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦B ．若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为1-D ．若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α-=+ 39．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是( )A ．向量(m =-在直线l 上，则直线l 的倾斜角为56πB ．若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角为4πθ-C ．若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，则代数式32y x ++的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则()12sin 1θθ-=是12l l ⊥的充要条件40．（2022·江苏·高二）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（） A ．45α+B ．45α-C ．135α-D ．135α-41．（2021·广东·江门市第二中学高二阶段练习）已知()1,2A -，()2,1B ，若直线l 恒过点()0,1-且与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值可能是（） A ．12-B ．2-C ．0D ．242．（2021·广东·深圳实验学校高二阶段练习）下列命题中，是假命题的是（）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角，则斜率k 的取值范围是([),1,-∞⋃+∞D ．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α43．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二期中）已知两点()23M -，，()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．4k ≤-B ．34k ≥C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤44．（2021·江苏·高二专题练习）已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 可能取值是（） A ．1-B ．1C ．14D ．4-三、填空题45．（2022·全国·高二课时练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率为______．（写出任意一条边所在直线的斜率即可） 46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<<，则k 的取值范围为______.47．（2022·全国·高二专题练习）()P x y ，在线段AB 上运动，已知()()2452A B -，，，，则11y x ++的取值范围是_______. 48．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过(3,1),(4,21)++A m B m 两点且倾斜角为5π6，则m 的值为_____.49．（2022·江苏·高二专题练习）若点(,)M x y 在一次函数28y x =-+的图像上，当[]2,5x ∈时，则211y x ++的取值范围是______． 50．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．51．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点()2,A a ､()1,21B a a ++､()4,1C a --在同一条直线上，则实数a 的值为___________.四、解答题52．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点()1,1A -，()1,1B ，()1C ． (1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为ABC 的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围．53．（2022·江苏·高二）已知直线l ：()120kx y k k -++=∈R ，()3,1P -，()3,3Q -，若直线l 与线段PQ 恒有公共点，求k 的取值范围.54．（2022·江苏·高二课时练习）（1）当m 为何值时，经过两点,6A m ，1,3B m 的直线的斜率是12？（2）当m 为何值时，经过两点(),2A m ，(),21B m m ---的直线的倾斜角是60°？（3）当m 为何值时，经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是钝角？55．（2022·江苏·高二单元测试）已知两点()()1,2,,3A B m -，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)已知实数1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的范围【答案详解】1．D 【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论．【详解】解：对于A ：α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒，故A 正确；对于B ：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故B 正确；对于C 、D ：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C 正确；D 错误．故选：D2．B 【分析】根据直线的倾斜角概念及范围，以及倾斜角和斜率的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，所以A 、C 均错误；B 正确；若直线的斜率4tan 3k π=3π，所以D 错误；故选：B3．A 【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =120°. 要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°，只需直线2l 的倾斜角为0°或60°，所以k 的值为0故选：A4．Bα，将直线绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率为tan(90)α+，化简求值即可得到答案.【详解】由30x =α，则tan α=将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，则sin(90)cos 1tan(90)cos(90)sin tan αααααα++===-=+-故新直线的斜率是故选：B.5．A 【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答. 【详解】因直线的倾斜角为45，则此直线的斜率tan 451k ==，而直线过点(,2),(1,1)A m B ，因此，2111k m -==-，解得2m =，所以m 的值为2. 故选：A6．A 【分析】根据直线方程的特征和斜率的定义即可求解.20my ++=的斜率为2tan 13m π=⇒=. 故选：A.7．D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线sin 10x y α-+=的倾斜角为θ，可得[]tan sin 1,1θα=∈-，所以θ的取值范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：D8．A 【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线l 的斜率为k ，且1k <≤，tan 1α≤，因为[0,π)α∈， 2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.9．B 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l 的方程为sin 10x α+-=，所以y x =+ 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B10．A 【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：直线PA 的斜率31221PA k -==-，直线PB 的斜率213314PB k --==--，因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象可得直线l 的斜率k 的取值范围是34k ≤或2k ≥．故选：A ．11．A 【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m . 【详解】因为直线l 的倾斜角为23π，所以斜率2tan33k π==-33m=-13m =.故选：A12．D 【解析】利用斜率公式可得出关于实数m 的等式与不等式，由此可解得实数m 的值.【详解】由斜率公式可得22223121210AB m m k m m m m ⎧--==⎪+-⎨⎪+-≠⎩，即22320210m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.故选：D.13．B 【分析】确定C 的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B 且顶点C 在第一象限，故顶点C 的坐标为(132)，1yx +可看作ABC 内部及其边界上一点与点()1,0-的连线斜率，当P 运动到点()1,3B 时，直线的斜率最大，故1y x +的最大值为33112=+故选：B.14．B 【分析】根据斜率的公式结合m 的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.【详解】根据题意，直线AB 的斜率1132m k m +==+-，由331m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得k 的取值范围为33⎡⎢⎣，即tan α的取值范围为33⎡⎢⎣．又0180α︒≤<︒，则060α︒≤≤︒或150180α︒≤<︒．故选：B ．15．A 【解析】直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出,PA PB 的斜率，从而得出直线l 的斜率的取值范围【详解】解：因为直线l 方程为10kx y k +--=，可化为(1)10k x y -+-=，所以直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，如图所示，则直线PA 的斜率为31421PA k --==--，直线PB 的斜率为213314PB k --==--，则直线l 与线段AB 相交时，它的斜率k 的取值范围为4k ≤-或34k ≥，故选：A16．A 【分析】画出图象，对a 进行分类讨论，结合图象求得a 的取值范围. 【详解】直线20x ay +-=过点()2,0C ，画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-，由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意，当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a-，根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A17．A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示：312134,21314PA PB k k ----==-==---，要想直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则34k ≥或4k ≤-，故选：A18．A 【分析】分别求出,PB PA k k ，即可得到答案. 【详解】直线:12l yk x 经过定点()1,2P -.因为()()2,3,2,1A B --，所以()()()321215,21213PA PB k k -----====----, 所以要使直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，只需：PB PA k k k <<，即153k -<<.所以k 的取值范围是1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A19．A 【分析】设直线l 上任意一点()00,P x y ，再根据题意可得()2002,3P x y +-也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点()00,P x y ，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()1002,P x y +，再沿y 轴负方向平移3个单位，则1P 点移动后为()2002,3Px y +-． ∵2,P P 都在直线l 上，∴直线l 的斜率00003322k y y x x --=-+-=．故选：A ．20．D 【分析】根据tan k α=，利用斜率的范围，求角的范围.【详解】直线l 的倾斜角为α，则[)0,a π∈，由13k -≤<1tan 3α-≤<∴30,,34a πππ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．故选：D ．21．B 【分析】设(,0)P x ，根据直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，列出方程，即可求得答案.【详解】设(,0)P x ，而(2,1),(7,5)A B -，则12PA k x =--，57PB k x=-， ∵直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍， ∴15227x x=⨯---，解得3x =-，即点P 的坐标为()3,0-，故选：B ．22．C 【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C23．A 【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.【详解】如图所示，直线PA的斜率为21110PAk-+==--，直线PB的斜率为11120PBk+==-．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率[1,1]k∈-．故选：A．24．B【分析】数形结合法，讨论直线l过A、B时对应的斜率，进而判断率k的范围. 【详解】如下图示，当直线l过A时，31421k--==--，当直线l过B时，211314k-==---，由图知：4k≤-或14k≥-.故选：B25．D 【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案. 【详解】对于A ，当π2α=时，直线的斜率不存在，故A 不正确；对于B ，当π4α=-时，斜率为1-，倾斜角为3π4α≠，故B 不正确；对于C ，平行于x 轴的直线的倾斜角为0，故C 不正确；对于D ，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90是正确的. 故选：D 26．(1)a ＝1； (2)()1,+∞； (3)(),1-∞.【分析】（1）解方程2a ＝2即得解；（2）解不等式201a >-即得解；（3）解不等式201a <-即得解. （1）解：当直线l 的倾斜角为直角时，2a ＝2，解得a ＝1. （2）解：当1a ≠时，直线l 的斜率()312221k a a --==--. 令201a >-，则1a >，所以直线l 的倾斜角为锐角时，a 的取值范围为()1,+∞. （3）解：当1a ≠时，令201a <-，则1a <，所以直线l 的倾斜角为钝角时，a 的取值范围为(),1-∞. 27．C 【分析】过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，利用数形结合，得到直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，进而求解即可【详解】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥ 或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C ．28．[0°， 30°]∪[150°， 180°)．【分析】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M ，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.【详解】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M .当点P 在线段AM (含端点)上时，因为30AQM ∠=︒，所以0°≤α≤30°；当点P 在线段BM (含端点B 但不含端点M )上时，因为30BQM ∠=︒，所以150°≤α＜180°.所以α的取值范围为[0°， 30°]∪[150°， 180°)． 29．B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可得113m<-<m 的范围. 【详解】由题设知：直线斜率范围为3)，即113m <-<31m -<<故选：B.30．C 【分析】根据直线1l 的斜率求出其倾斜角可求得答案. 【详解】设直线1l 的倾斜角为α，所以tan 1α=，因为0180α≤<，所以45α=，因为直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°，所以直线2l 的倾斜角为30，则直线2l 的斜率为3tan 303=31．B 【分析】由倾斜角和斜率的定义得tan OA k α=，tan 2k α=，再结合倍角公式即可求得结果【详解】由题，tan OA k α='m 的倾斜角为2α，故22tan tan 21tan1k ααα====---故选：B32．B 【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的斜率k =l 的倾斜角90α≠，于是得[)tan 0,ααπ∈，解得60α=，所以直线l 的倾斜角为60. 故选：B33．B 【分析】根据直线上两点求出斜率，从而可得倾斜角.【详解】解：由直线l 经过()0,0O ，(A 两点，得直线的斜率k = 所以直线l 的倾斜角为3π. 故选：B.34．C 【详解】设直线l 的倾斜角为α，由题意可得直线l 的斜率k ==tan α=∵)0,180α⎡∈⎣，∴直线l 的倾斜角为120︒，35．D 【分析】求出直线20ax y ++=经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D36．D 【分析】作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：如图，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点，则直线l 的斜率满足PA PB k k k ≤≤，因为1,1PA PB k k =-=，所以k 的取值范围为[]1,1-. 故选：D37．ACD 【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan 33k π==3π，故D 错误；故选：ACD38．ABD 【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A ：两条相交直线时，其所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ：若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-，故B 正确；对于C ：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C 不正确；对于D ：设直线11y k x b =+的倾斜角为1θ，直线22y k x b =+的倾斜角为2θ，则1122tan ,tan k k θθ==，所以()1221121212tan tan tan tan 1+tan tan 1k kk k θθαθθθθ--=-==+，故D 正确，故答案为：ABD.39．AC 【分析】A ：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B ：当θ＜4π时，4πθ-＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C ：3(3)2(2)y y x x +--=+--可看作(x ，y )与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D ：两直线垂直，则122πθθ-=，据此即可判断．【详解】①向量()3,3m =-在直线l 上，则直线l 的斜率为33-，故直线倾斜角为56π，故A 正确；②若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则4π≤θ＜π时，直线1l 的倾斜角为4πθ-；当0≤θ＜4π时，直线1l 的倾斜角为π＋(4πθ-)＝34πθ+；故B 错误； ③若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，设A (－1，4)，B (1，2)，则代数式3(3)2(2)y y x x +--=+--表示线段AB 上任意一点(x ，y )和点C (－2，－3)连线的斜率，由图可知，[]3(3),2(2)BC AC y y k k x x +--=∈=+--5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； ④若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则10θπ≤<，20θπ≤<，20πθ-<-≤， ∴12πθθπ-<-<，则()1212sin 12πθθθθ-=⇒-=12l l ⇒⊥；当12l l ⊥时，121222ππθθθθ-=⇒-=±；故()12sin 1θθ-=是12l l ⊥充分不必要条件，故D 错误﹒ 故选：AC ﹒40．AC 【分析】分别在0135α≤<和135180α<<求得旋转后倾斜角即可. 【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-. 故选：AC.41．AC 【分析】设(0,1)P -，求出,AP BP k k ，由数形结合求解即可. 【详解】设(0,1)P -, 则121(1)1,10120AP BP k k -+--==-==--，如图，由图可知，当11k -≤≤时，直线l 与线段AB 相交，故选：AC42．ABD 【分析】利用正切函数的图象判断选项AC 的真假； B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；举反例说明选项D 错误.【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C. 若直线倾斜角243，，则斜率k 的取值范围是([),31,-∞⋃+∞，所以该选项正确； D. 若直线的斜率为7tan 3π，则但是直线的倾斜角为不是73π，而是3π，所以该选项错误. 故选：ABD43．AB 【分析】由题可得PM k k ≤或PN k k ≥，即可求出. 【详解】解：31421PM k --==--，213314PN k --==--，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则PM k k ≤或PN k k ≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是：4k ≤-或34k ≥．故选：AB ．44．AC 【分析】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，利用斜率计算公式可得AP k 和AQ k ，由直线20ax y ++=与线段PQ 相交，利用斜率关系即可求出a 的范围，进而结合选项即可求出结果.【详解】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，斜率为a -，321202AP k -+==--，22433AQ k +==，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，由图象可知，1423a--，则4132a-，符合条件的为选项AC ．故选：AC ．45．－2(答案不唯一)【分析】根据图形结合斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式，求出正方形某边的斜率即可.【详解】由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形OABC ，其中对角线OB 所在直线的斜率为3．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 3θ=，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OC 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 451tan 451tan tan 452OA k θθθ-︒=-︒==+︒，()tan tan 45tan 4521tan tan 45OC k θθθ+︒=+︒==--︒，故答案为：－2（答案不唯一）．46．()(),11,-∞-⋃+∞【分析】分4590α<<、90α=、90135α<<三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得k 的取值范围.【详解】由正切函数的性质知，当4590α<<时，()tan 1,k α=∈+∞；当90α=时，k 不存在；当90135α<<时，()tan ,1k α=∈-∞-. 综上，k 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞. 故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.47．15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可【详解】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率，因为4(1)52(1)1,2(1)35(1)6AC BC k k -----====----- 所以由图可知11y x ++的取值范围是15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦48．3,A B 两点求得得斜率与倾斜角的正切值5tan π6相等可求得m .【详解】因直线AB 的倾斜角为5π6，则其斜率53tan π6==k又由(3,1)+A m ，42()1B m +,，则AB 的斜率(21)(1)43+-+==-m m k m ，则有3m = 故答案为：349．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由题意画出图形，再由211y x ++的几何意义，即线段AB 上的动点M 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍求解；【详解】解：如图，函数28y x =-+，[]2,5x ∈表示线段AB 其中(5,2)A -，(2,4)B ，1221211y y x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=++的几何意义为线段AB 上的动点(),M x y 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍，1212514PAk -+==-+，1432212PB k +==+，∴1342PM k -≤≤∴211y x ++的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦50．①②③【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误. 故答案为：①②③.51．12-或5【分析】根据斜率相等可求出结果.【详解】因为142AC a a k --=--216a -=，所以该直线斜率存在，又211121AB a a a k a a +-+==+--，根据题意得21161a a a -+=-，解得12a =-或5a =. 故答案为：12-或5.52．(1)0AB k =，BC k AC k =，直线AB 的倾斜角为0，直线BC 的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π．(2),63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可. （1）由斜率公式，得1101(1)AB k -==--，311321BC k +-==-，31132(1)3AC k +-==--，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是0, ，所以直线AB 的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π．（2）如图，当直线CD 绕点C 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时CD k 由AC k 增大到BC k ，所以CD k 的取值范围为3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即直线CD 的倾斜角的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．53．(]2,2,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先判断直线l 所过定点，再数形结合求k 的取值范围【详解】()12012kx y k y k x -++=⇒-=+故直线过定点()2,1T - 如下图所示：()112235TPk --==---，()13223TQk -==---- 若直线l 与线段恒有公共点，则TQ k k ≤或TP k k ≥即(]2,2,5k ∞∞⎡⎫∈--⋃-+⎪⎢⎣⎭54．（1）2-；（23(31)+（3）2m <或3m >．【分析】（1）由斜率公式计算斜率后可得；（2）由斜率公式计算斜率，由斜率等于tan 60︒可得；（3）由斜率公式计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系可得．【详解】（1）由题意36121m m-=+，2m =-；（2）由题意221tan 60m m m ++=︒+，解得3(31)m +=；（3）由题意3011AB m k m -=<-+，解得2m <或3m >．55．(1)答案见解析(2)2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分斜率存在和不存在两种情况求解即可，（2）利用不等式的性质求出斜率的范围，再由正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 (1)当1m =-时，直线AB 的斜率不存在，当1m ≠-时，直线AB 的斜率321(1)1k m m -==--+，(2)当1m =-时，2πα=，当1m ≠-时，11k m =+，因为1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1m ≠-，所以1m ≤+≤10m +≠，所以11m ≤+11m ≥+tan α≤tan α，所以2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，综上，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

沪教版(上海)数学高二下册-11.2 直线的倾斜角和斜率教案

11.2(1) 直线的倾斜角和斜率【教学目标】(一)知识与技能1．了解直线的倾斜角和斜率的概念；2．掌握直线的倾斜角、斜率和直线的方向向量三者之间的关系；3．会求经过已知两点的直线的斜率．(二)过程与方法探究直线的倾斜角、斜率和直线的方向向量三者之间的关系．(三)情感、态度与价值观通过积极参与课堂探究，认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题的辨证思想．【教学重点及难点】1．直线的倾斜角和斜率的概念；2．直线的倾斜角、斜率和直线的方向向量三者之间关系的探究．【教学过程】一、新课引入我们知道，在平面上，过一个已知点P有无穷条直线，即过一点P不能确定一条直线；若要确定一条直线，还必须确定直线的方向．也就是说只要已知直线上的一个点和直线的方向(一点一方向)，那么这条直线的位置就确定了．在前面的学习中我们已经知道直线的方向向量和法向量都可以确定直线的方向，那么还有什么量能确定直线的方向呢？让我们一起来探究吧！活动：和21y x=+的图像，并说明它们的异同．x轴来说，直线1l较平坦些，而2l较陡些，即两条直线相对于x轴的“倾斜程度”不同．二、学习新课2l1lyxO(一)直线的倾斜角和斜率问题1：我们可以用一个什么量来刻画直线相对于x 轴的“倾斜程度”呢？答：角(直线与x 轴的夹角)． 1．倾斜角的定义设直线l 与x 轴相交于点M ，将x 轴绕点M 按逆时针方向旋转至与直线l 重合时所成的最小正角α叫做直线l 的倾斜角．特别地：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定其倾斜角0α=．活动：请你在平面直角坐标系中表示出直线的倾斜角α，并说出倾斜角α的范围．倾斜角α的范围：[)0,απ∈．注：任何一条直线都有倾斜角．问题2：根据你的生活经验，除了角，你知道还有什么量可以表示“倾斜程度”吗？答：在生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，道路的倾斜程度，也就是坡度，常常表示为：αtan ==前进量升高量坡度．所以我们也可以用直线的倾斜角的正切值来表示直线的“倾斜程度”． 2．斜率的定义当2πα≠时，把α的正切值tan k α=叫做直线l 的斜率；当2πα=时，直线的斜率k 不存在(趋向无穷大)．说明：倾斜角为2π的直线不存在斜率，意思是不存在有限数来表示这个斜率．当倾斜角小于2π且趋近2π时，斜率趋向+∞；当倾斜角大于2π且趋近2π时，斜率趋向-∞．斜率k 的范围：k R ∈．注：垂直于x 轴的直线斜率不存在．(所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．) 3．直线的斜率和倾斜角之间的关系M l y x O α0α=2πα=αO k2π π α(1)当0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，斜率k 随着倾斜角α的增大而增大，得[)0,k ∈+∞；当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，斜率k 随着倾斜角α的增大而增大，得(),0k ∈-∞．(2)当0k >时，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当0k =时，0α=；当0k <时，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(3)直线的斜率k 和倾斜角α的互化①已知倾斜角α求斜率k口答练习一：(1)3πα=3k ⇒=； (2)56πα=3k ⇒=-； (3)0α=0k ⇒=；(4)2πα=k ⇒不存在； (5)arctan 2α=2k ⇒=．当0,,22ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，tan k α=；当2πα=时，直线的斜率不存在，即tan ()2()2k πααπα⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩不存在．②已知斜率k 求倾斜角α：口答练习二：(1)3k =arctan 33πα⇒==； (2)3k =-2arctan 33παπ⇒==-；(3)2k =arctan 2α⇒=； (4)21-=k 1arctan 2απ⇒=-．(5)0k =0arctan0α⇒==．当0k ≥时，0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故arctan k α=；当0k <时，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故arctan k απ=+，即arctan (0)arctan (0)k k k k απ≥⎧=⎨+<⎩．(二)探究直线的倾斜角、斜率与直线的方向向量三者之间的关系直线l 的方向向量()v u d ,=→、倾斜角α和斜率k 都可以刻画直线l 的方向，它们之间如何进行相互转化呢？探究一：已知直线l 的一个方向向量()v u d ,=→，如何求其斜率k 和倾斜角α？(1)当0u ≠时，v k u =，α可以由tan vu α=求得；(2)当0u =时，k 不存在，2πα=．(此时(0,1)d =)探究结果：已知),(v u =，则①当0u ≠时，v k u =，arctan (0)arctan (0)v v u uv v u u απ⎧≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩；②当0u =时，k 不存在，2πα=．探究二：已知直线l 的倾斜角α，如何求其斜率k 和方向向量d →？ (1)当2πα≠时，设()v u d ,=→且1d =，则sin cos vu ddαα==，cos sin u v αα⇒==，，(cos ,sin )d αα∴=；又由tan vuα=，令1u =，则tan v α=，(1,tan )d α∴=． (2)当2πα=时，(0,1)d =，k 不存在．探究结果：已知α，则 ①当2πα≠时，(cos ,sin )d αα=或(1,tan )d α=，tan k α=； ②当2πα=时，(0,1)d =，k 不存在．探究三：已知直线l 的斜率k ，如何求其倾斜角α和方向向量d →？已知直线l 的斜率k ，则此时2πα≠，α可以由tan k α=求得，(1,)d k =；说明：当斜率k 不存在时，2πα=，(0,1)d =．探究结果：已知k ，则arctan (0)arctan (0)k k k k απ≥⎧=⎨+<⎩，(1,)d k =．说明：当斜率k 不存在时，2πα=，(0,1)d =．或(1,d =d =特别地，当直线l 与x 轴垂直时，(0,1)d =，k 不存在，2α=．(三)巩固练习1．已知直线l 的斜率3k =-，求其倾斜角α及一个方向向量d →．2．已知直线l 的一个方向向量为(3,3)d =-，求直线l 的倾斜角和斜率.(四)概念的深化与应用例1 已知直线l 上的两点A B 、，求直线l 的斜率k 及倾斜角α． (1)(1,2)(3,4)A B ，； (2)(1,3)(5,1)A B -，；(3)(1,2)(1,1)A B -，； (4)(0,5)(1,5)A B -，．注：α⇒⇒→k d 问题3：已知直线l 上的两点),(11y x A ，),(22y x B ，如何求直线l 的斜率k ？一般地，直线l 经过点),(11y x A 和),(22y x B ，(1)当21x x ≠时，直线l 的斜率2121y y k x x -=-； (2)当12x x =时，直线l 的斜率k 不存在．三、课堂小结1．学习了直线的倾斜角和斜率的概念；2．探究了直线的倾斜角、斜率和直线的方向向量三者之间的关系，学会了已知三者中的一个，求其它两个；3．学会了求经过已知两点的直线的斜率．思考题：已知直线l 的斜率为k ，且通过点),(00y x N ，求直线l 的方程．四、作业布置校本作业五、教学反思。

第10讲直线的倾斜角与斜率(学生版)-2023年新高二暑期数学衔接(新人教版)

第10讲直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直【基础知识】一、直线的倾斜角1.当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.2.规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,直线l 的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°二、直线的方向向量1.直线P 1P 2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.2.若P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是直线P 1P 2上的两点,则直线P 1P 2的一个方向向量的坐标为()2121,x x y x --三、直线的斜率1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α(α≠90°).2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.3.过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是k =2121y y x x --.4.直线的方向向量与斜率的关系(1)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线,其方向向量为12P P =(x 2-x 1,y 2-y 1)=(x 2-x 1) ,因此,当直线的斜率k 存在时,直线的一个方向向量的坐标为(1,k ).(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x ,y )(x ≠0)时,直线的斜率k =y x.四、两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在图示对应关系l1∥l2⇔k1=k2两直线斜率都不存在⇒l1∥l2五、两条直线垂直的判定类型斜率都存在有直线斜率不存在图示对应关系l1⊥l2⇔k1k2=-11l斜率不存在，2l斜率为0⇒l1⊥l2【考点剖析】考点一：求直线的倾斜角例1．若直线1l与直线2l垂直，直线1l的斜率为33-，则直线2l的倾斜角为______．考点二：求直线倾斜角的范围例2．已知直线斜率为k，且13k-≤≤，那么倾斜角α的取值范围是()．A．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭考点三：求直线的斜率例3．经过两点(0,1)A -,(2,4)B 的直线的斜率为()A ．32B ．52C ．25D ．32考点四：求直线斜率的范围例4．已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤考点五：两直线平行问题例5．若直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为2l 的倾斜角为___________.考点六：两直线垂直问题例6．已知直线1l 经过()3,A a ，()2,3B a -，直线2l 经过点()2,3C ，()1,2D a -．如果12l l ⊥，求a 的值．【真题演练】1.(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试)直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为30°，则2l 的斜率为()AB ．CD ．2.(2022学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末)若倾斜角为3π的直线过(A ，()2,B a 两点，则实数=a ()A ．2B C ．D ．3.(2022学年江西省南昌市实验中学高二12月月考)经过点(P 、()4,0Q 两点的直线l 的倾斜角α为()A ．90ºB ．120ºC ．135ºD ．150º4.(多选)(2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中)在下列四个命题中，错误的有()A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C ．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα5.(多选)(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中)已知经过点(20)A -，和点(13)B a ，的直线1l 与经过点(01)P -，和点(2)Q a a -，的直线2l 互相垂直，则实数=a ()．A ．1-B ．0C ．1D ．26.(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________.7.(2022学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考)若三点()3,1A ，()2,B b ，()8,11C 在同一条直线上，则实数b =___________.8.(2022学年河北省石家庄十二中高二上学期期中)已知两点()()1,2,,3A B m -，求：(1)直线AB 的斜率k ；(2)已知实数1m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的范围.【过关检测】1.(河北省保定市2022学年高二上学期期末)若直线l 经过()1,0A ，(B 两点，则直线l 的倾斜角为()A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π2.以点()1,1A -，()2,1B -，()1,4C 为顶点的三角形是()．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形3．(2022学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末)直线12,l l 的斜率是方程220x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是()A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直4．(2022学年河北省唐山市滦南县第一中学高二上学期10月月考)过点()1,2P -的直线l 与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，且P 恰好是AB 的中点，则AB 的斜率为()A ．12B ．12-C ．2-D ．25.(2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期月考)设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对6．(多选)下列四个命题中，错误的有()A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ7.(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是()A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°8.(2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中)如图所示，直线1l 的频斜角130α=，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为________．9．在△ABC 中，已知A (3，﹣2)，B (1，﹣3)，C (1，1).(1)求直线AB ，AC ，BC 的斜率；(2)判断直线AC 的倾斜角是锐角还是钝角或直角.--、(3,0)、(5,6)，求该平行四边形的第四个顶点坐标．10.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为(1,2)。

名师教学设计《直线的倾斜角和斜率》完整教学教案

1.直线的倾斜角与斜率的概念、直线的斜率坐标计算公式；
2.如何探究直线的斜率坐标计算公式。
三、学习者特征分析
学生掌握了平面内两点确定一条直线，以及在平面直角坐标系中点用坐标表示。直线如何表示直线的几何问题如何转化成代数问题从而研究几何性质是学生第一次学习，通过联系实际激发学生的学习兴趣、满足求知欲和好奇心。
学生小组讨论
理解斜率计算的代数式结构与坐标顺序无关，而且培养学生分类讨论的数学思想
六、教学评价设计
1.本节课从实际生活出发，引导学生通过观察抽象出直线的几何要素以及代数表示，让学生理解抽象的定义。
2.在教学过程中，借助多媒体加强动态演示，渗透解析几何从常量到变量转变的观点。通过合作探究让学生成为学习主体，有助于培养学习数学的兴趣，增强克服困难的自信心。
并且当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。
2.直线斜率的定义
直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写的字母k表示，所以
k= （ ≠ ， = 正切值不存在）
3.直线斜率的两点坐标计算公式
两点间斜率的计算公式（x1≠x2）
（三）巩固新知
例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
2. （x1≠x2）
八、教学反思
1.知识的讲解尽量联系实际，体现数学的应用性；
2.在数学能力方面应多强调；
3.加强学生教学生的合作交流意识；
4.应提高学生的求知欲。
四、教学过程
（一）情景引入：在直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗这就是我们本节课研究的主要内容。

高二数学教案直线的倾斜角和斜率人教版教案

高二数学教案直线的倾斜角和斜率【基础知识精讲】课本从此节开始较系统地介绍平面直角坐标系内直线的表示及其性质的运用，建议同学们先复习一次函数的图像与性质，以及正切函数的定义与性质，向量的坐标表示，便于更好地学习本节知识.本节知识要点：1.直线的方程和方程的直线的概念.2.直线的倾斜角的概念，倾斜角X 围：0°≤α°＜180°.3.斜率的概念，k ＝tanα.(0°≤α＜180°且α≠90°).4.过两点的直线的斜率公式k ＝1212x x y y --.5.当直线不垂直于x 轴时，其方向向量的坐标为(1，k). 本节学习要求坐标系的建立，使得平面内的点和坐标、曲线和方程等联系起来，为我们运用代数的方法研究几何问题架起了一座“桥梁”，达到了形和数的结合.坐标法是我们研究直线的一种重要方法，也是广泛应用于其它领域的重要数学方法.本节的斜率公式就是通过直线上两点的坐标对直角坐标平面内的直线相对于x 轴的倾斜程度的定量刻画.学习过程中注意体会数形结合的数学思想，逐步学会运用观察、分析、联想、转化等数学方法解决问题.【重点难点解析】本小节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式，难点是斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立.1.倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的.倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值.2.过两点的直线的斜率公式是对斜率的定义式的坐标化.关于斜率公式，应弄清以下几点：(1)斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒；(2)斜率公式表明，直线对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而，使用时较方便；(3)当x 1＝x 2,y 1≠y 2(即直线和x 轴垂直)时，直线的倾斜角α等于90°，没有斜率；(4)当α＝0°时，k ＝tanα＝0,斜率公式仍适用，只不过此时不必再用公式求得.例1 经过两点(2，3)和(4，-5)的直线的倾斜角是( )解：由斜率公式k ＝1212x x y y --＝42)5(3---＝-4知，直线的倾斜角为钝角，因正切值为-4的相应钝角是π-arctan4，故选C.例2 设直线的斜率为k ，且-3<k<33，则直线的倾斜角α的取值X 围是.解：由斜率的X 围，求倾斜角的X 围必须注意倾斜角应在［0，π］内取值.答：α∈［0，6π)∪(32π,π]例3 直线l 过点A(1，2)、B(m,3)，求l 的斜率和倾斜角. 分析这里m 的X 围不足，求l 的斜率和倾斜角需分类讨论求解. 解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α.(1)当m ＝1时，直线l 与x 轴垂直，斜率k 不存在，倾斜角α＝2π.(2)当m≠1时，k ＝tanα＝123--m ＝11-m . 1°当m>1时，α＝arctan 11-m 2°当m<1时，α＝π-arctan 11-m .【难题巧解点拨】例1 (1)如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C ＝0不通过( )解：直线方程可变形为y ＝-B A x-B C由BC<0知该直线在y 轴上的截距-B C>0.由AC<0,BC<0得ABC 2>0,∴AB>0，故该直线的斜率k<0，倾斜角为钝角.作出该直线的示意图知该直线不经过第三象限，选C.(2)对于直线xcosα+y+1＝0，其倾斜角θ的取值X 围是( )A.［-4π，4π］ B.［4π,43π］C.［0，4π］∪［π43，π)D.［0，4π］∪［2π，π)解：斜率为-cosα∈［-1，1］∴选C.(3)过点A(-1，2)作直线l ，使它在x 轴、y 轴上的截距相等，则这样的直线( )解：过原点和斜率为-1的两条直线满足题意，选B.例2 已知3x+5y+14＝0，其中x∈［-3，2］，求：｜12++x y ｜的最小值.解：由已知得线段：3x+5y+14＝0,x∈［-3，2］的两个端点A(-3，-1)，B(2，4)，而｜12++x y ｜可以看作线段AB 上的点与点(-1，-2)连线斜率的绝对值，记P(-1，-2)，则k PA ＝-21，k PB ＝-32，当3x+5y+14＝0,x∈［-3，2］时，k ＝12++x y ,x∈［-32,-21］,∴｜k ｜min ＝21.即｜12++x y ｜的最小值是21.【命题趋势分析】本节考点为直线倾斜角的概念、X 围，过两点的直线的斜率公式及简单应用，考题通常是与直线方程、三角函数的性质、公式等相联系的综合题.预测考题：1.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C ＝0，不通过( )的起点A 和终点B 的坐标分别为A(-1，1)和B(2，2)，过点(0，-1)的直线l与有向线段不相交，则直线l 的斜率的取值X 围是.【典型热点考题】例1 已知一条直线的倾角是arcsin 53，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求此直线方程.解：因为所求直线的倾角是arcsin 5343，所以直线的斜率为43. 设所求直线的方程为y ＝43x+b直线与坐标轴的交点分别是(-34b,0)和(0,b)由题意得21｜b ｜·｜-34b ｜＝6∴｜b 2｜＝9 即b 2＝9 ∴b＝±3∴所求直线的方程为y ＝43x±3即3x-4y+12＝0和3x-4y-12＝0例2 已知直线l 经过点P(2，1)，且它的倾斜角等于已知直线l ′：3x-4y-17＝0的倾斜角的21，求l 的方程.分析求l 的方程可借助求一次函数解析式的方法，用待定系数法由已知倾斜角的关系求斜率，用已知线上的点求纵截距.解：设直线l ′的倾角为α，则l 的倾角为2α.∴tanα＝43>0,0<x<2π， ∴cosα＝α2tan 11+＝54∴tan 2α＝ααcos 1cos 1+-＝541541+-＝31故所求直线方程为x-3y+1＝0 说明：求半角的正切值，根据2α所在象限确定符号，只取正值得一解.如果求出的tanα＝-3或tanα＝31有二解，从而忽视了对α所在象限的讨论，不会舍去tanα＝-3而多解. 【同步达纲练习】A 级一、选择题1.经过两点M(6，8)、N(9，4)的直线的倾斜角为( )3434C.arctan(-3434l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则有( )1<k 2<k 33<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 11<k 3<k 23.若三点A(3，1)，B(-2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A.2 B.3 C4.直线ax+by ＝ab(a>0,b<0)的倾斜角是( )A.arctan(-b a b ab aD. 2π+arctan b a5.若α是直线的倾斜角，则sin(4π-α)的取值X 围是( )A.［-1，22］B.(-1，22)C.(- 22,22)D.［-22,22)二、填空题6.若ab<0，则方程ax+by ＝1表示的直线的倾斜角的取值X 围是.7.已知点P(3，-1)，MP 连线的倾斜角为arctan 43，且｜MP ｜＝3,则点M 的坐标为.3，则此直线的倾斜角为.三、解答题9.已知A(-3，2)、B(a,3)，求直线AB 的斜率与倾斜角.AA 级一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角.B.直线的倾斜角α的取值X 围是第一或第二象限角.C.和x 轴平行的直线，它的倾斜角为180°.D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率. 2.下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-31),(7，2)D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)l 1的方程是ax-y+b ＝0,l 2的方程是bx-y-a ＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )4.设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l 过点P(1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值X 围是( )A.k≥43或k≤-4B.k≥43或k≤-41C.-4≤k≤43D.- 43≤k≤4l ，使l 与连接A(1，1)和B(1，-1)两点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值X 围是.6.已知A(-3sinθ,cos 2θ),B(0,1)是相异两点，则直线AB 的倾斜角的取值X 围是.7.要使三点A(2，cos 2θ),B(sin 2θ,- 32),C(-4,-4)共线，则角θ的值为.8.已知直线(2a 2-7a+3)x+(a 2-9)y+3a 2＝0的倾斜角为4π，则实数a ＝.【素质优化训练】1.已知点M(rcosα,rsinα),N(rcosβ,rsinβ),(-2π< 2βα+ <2π)，则直线MN 的倾斜角为( )A.2βαπ++ B.2βα+ C.2πβα-+ D.α+β-π1(2，3)，P 2(3，a)，P 3(4，b)共线，则( )A.a ＝4,b ＝5B.b-a ＝1C.2a-b ＝3D.a-2b ＝33.在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点是A(0，3)、B(3，3)、C(2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分成面积相等的两部分，则实数a 的值为( )A.3B.1+22C.1+33224.点(a+b,c)、(b+c,a)和(c+a,b)的位置关系是( )l 的倾斜角，且满足：sin α+cosα＝51，则直线l 的斜率为( ) A. 4343或-34C. 34D.- 346.过点P(-1，2)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 分AB 所成的比PB AP ＝21，求直线l 的斜率和倾斜角.补充题：1.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C ＝0，不通过( )的起点A 和终点B 的坐标分别为A(-1，1)和B(2，2)，过点(0，-1)的直线l与有向线段不相交，则直线l 的斜率的取值X 围是.参考答案【同步达纲练习】A 级1.D2.D3.D4.A5.A6.(0，2π)7.( 527，54)或(53，-514) 8.60°或120 9.解：a=-3时，斜率不存在，倾斜角为2π;a≠-3时，斜率k=323+-a =31+a .当a ＞-3时，倾斜角为arctan 31+a ;当a＜-3时，倾斜角为π+arctan 31+aAA 级1.D2.C3.D4.A5.［0, 4π］∪［43π，π］6.(0, 6π)∪［65π，π］ 7.θ=2πk 32【素质优化训练】6.解：设A(x,0),B(0,y)，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+•+=-21121022110211y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=623y x 即得A(-23，0)，B(0，6)∴k AB=)23(006---=4,倾斜角α=arctan4.a 补充题：1.C2.(-2，23)。

高二数学集体备课教案

备课时间：8月15日上课时间：8月24日§3.1.1倾斜角与斜率一、教学目标：（1）知识与技能：理解直线倾斜角和斜率的概，掌握过两点的直线的斜率公式及其应用.（2）过程与方法：培养学生对数学知识的理解应用能力及转化能力；使学生初步了解数形结合分类讨论思想. （3）情感态度与价值观：从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力。

二、教学重难点：（1）教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式；（2）教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。

三：课时计划：1课时四、教学过程：学习目标：1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；2、掌握过两点的直线的斜率计算公式及其简单的应用。

（一）课题导入前面，我们学习了两点确定一条直线。

问题1：一点能够确定一条直线？问题2：了加多一个点外，在已知一个点的基础上能不能加上另外一个条件使到它能确定一条直线？【老师板书】画坐标平面以及一条直线，点出直线上一点，过此点画多条直线。

问题3：这些直线有什么共同点（过同一点，倾斜程度不一样）如何刻画直线的倾斜程度呢？这就是本节课我们要学习的内容……（二）讲授新课1、直线倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

例题：最后在黑板上用尺子依照定义说法比画出倾斜角将直线倾斜角的可能情况显示出来（共四种情况：平行于x 轴，经过一、三象限，垂直于x 轴，经过二、四象限）注意：（1）直线的向上方向；（2）x 轴的正方向；（3）倾斜角范围是)180,0[︒︒。

练习：下列三个图中所指的角是不是直线的倾斜角？过渡：平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

因此，我们可用倾斜来刻画直线的倾斜程度。

直线的倾斜角与斜率(原卷版)--新高二暑假数学讲义

第5讲直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

知识梳理一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法常用小写字母k 表示,即k=tan α范围R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P (x ,y ),P (x ,y ),(x ≠x ),则直线的斜率公式为k=y 2-y 1x -x .四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是()A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是()A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是()A ．6πB ．4πC ．2πD ．34π【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒知识点2过两点的直线的斜率【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为()A ．23B ．23-C ．32D ．32-【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m =)A ．-B ．0C ．D ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为()A ．2-B ．12-C ．12D ．2【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为()A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒知识点3直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为.【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x =．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[1,+∞)B.[-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -=．知识点4两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为.知识点5两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135 ，那么1l 与2l （）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直知识点6平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C .（1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．6π2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是()A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒3．，则此直线的倾斜角等于()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y =)A ．9-B ．3-C ．5D ．65．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是()A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是()A ．04παB ．2παπ<<C ．42ππα<D ．324ππα<8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是()A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α10．（多选）下列命题中正确的为()A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-.11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a =．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，3π，则l 的斜率的取值范围是．15．已知()1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标．20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ．（1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．（2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ．（1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示()A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是()A ．1425B ．35C ．1625D ．17253．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数3[13m ∈--1]-，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．。

沪教版高中数学高二下册：11.2直线的倾斜角和斜率教案

11.2直线的倾斜角和斜率教学设计一、教学内容分析1.教材的内容及地位本课是沪教课标版高二下册第11章坐标平面上的直线第二节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课。

主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。

通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，因而本节课的数学思想和方法尤显重要。

2.教学重点1理解直线的倾斜角与斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程2倾斜角和斜率的对应关系和变化范围3.教学难点倾斜角和斜率的对应关系和变化范围二、教学目标分析1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角及斜率之间的对应关系。

2.初步感受解析几何的本质，用代数的方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。

3.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。

三、学生学情分析学生在初中阶段已了解在坐标系中点与坐标一一对应的关系，本节课是学习直线在直角坐标系中的表示，直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础，所以本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，引导学生注重倾斜角、斜率的相互关系。

在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，学生对三角函数的认识可能淡忘，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但要求学生掌握特殊角度正切值及正切函数图像，始终贯穿数形结合的解题思想。

四、教学策略分析1、教学方法：本节课采用贯穿数形结合，以引导发现为主的教学方法2、学法指导：通过自主学习，小组合作学习的方式，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

沪教版高中数学高二下册第十一章11.2直线的倾斜角和斜率教案

11.2直线的倾斜角和斜率【教学目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，会计算直线的斜率和倾斜角； 2．掌握直线斜率、方向向量、法向量三者的相互转化； 3．会求直线的点斜式方程；4．通过直线斜率、方向向量、法向量三者相互转化的探究，感受知识之间的有机联系。

【重点难点】重点：直线的倾斜角、斜率的概念及运算；难点：用直线的斜率表示直线的倾斜角。

【教学过程】一、问题引入如图所示，过点M 作直线1l 、2l 。

显然，相对于x 轴来说，直线2l 较平坦些，而2l 较陡些。

那么我们如何用数学概念来刻画直线的“陡”的程度？二、学习新课 1．定义：（1）直线的倾斜角：设直线l 与x 轴相交于点M ，将x 轴绕点M 按逆时针方向旋转至与直线l 重合时所成的最小正角α叫做直线l 的倾斜角。

①当直线l 与x 轴平行或重合时，规定其倾斜角0α=，②根据倾斜角定义知，直线的倾斜角α的取值范围是[)0,π。

（2）直线的斜率：当2πα≠，把α的正切值叫做直线l 的斜率k ，即=k tan α；当2πα=，直线的斜率k 不存在。

2．探究：（1）随着倾斜角α在[)0,π内的取值逐渐增大，斜率的值如何变化呢？当2πα≠时，作出函数()αf k =的大致图像，易知：当∈α0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[)∞+∈，0k ，函数在该区间内单调递增；当∈α,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，()0，∞-∈k ，函数在该区间内单调递增。

（2）直线l 的斜率k 、方向向量d u r 、法向量n r三者的相互转化。

3．例题讲解例1 已知直线l 上的两点B A 、，求直线l 的一个方向向量、斜率k 和倾斜角α：（1）()()1135-，，，B A ；（2）()()5150，，，-B A ；（3）()()2,3,2,5A B ；（4）()()2230，，，B A 。

归纳：（1）若直线l 经过点()()222111y x P y x P ，、，，当12x x ≠时，那么直线l 的斜率公式为2121y y k x x -=-；（2）由tan k α=得arctan 0arctank 02k k a k k ππ⎧⎪≥⎪=+<⎨⎪⎪⎩不存在变式：已知直线l 过点()1,2A ，(),3B m ，求直线l 的斜率和倾斜角。

2024-2025上海沪教版同步精品培优课堂高二-13-直线的倾斜角与斜率-教师版(pdf))

知识点一、倾斜角与斜率1. 倾斜角：在平面直角坐标系中，把x轴绕直线l与x轴的交点A（如下图）按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转的最小正角θ叫做直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°，故倾斜角θ的范围是θ∈[)0π，.特别地，当倾斜角2πθ=时，直线l与x轴垂直.注：求直线倾斜角的方法：（1）直线斜率k不存在，倾斜角2πθ=；（2）当12x x≠时，直线斜率存在，是一实数，当0k≥时，arctan kθ=；0k<时，arctan kθπ=−.2. 斜率：当直线l的倾斜角2πθ≠时，定义tanθ为直线l的斜率，通常用字母k表示，即tankθ=，当2πθ=时，即直线l与x轴垂直，斜率不存在.3. 斜率公式：在平面直角坐标系中，经过不同的两点11(,)A x y、22(,)B x y（12x x≠）的直线l的斜率为2121y ykx x−=−.注：求斜率的方法（斜率存在）（1）定义法：已知直线的倾斜角，则tankθ=；（2）公式法：当12x x≠时，2121y ykx x−=−；（3）方向向量法：若(,)m nα=为直线的方向向量，则直线的斜率nkm=.第13讲直线的倾斜角与斜率知识梳理题型一、倾斜角【例1】下列说法中正确的个数是（）①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为30−︒； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{}0180αα︒≤<︒与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】A【解析】对于①，若两直线的倾斜角都等于2π，则它们的斜率不存在，故不正确；对于②，一条直线的倾斜角的范围是{}0180αα︒≤<︒，因此不可能为30−︒，故不正确；对于③，所有与y 轴垂直的直线的倾斜角都为0°，即倾斜角为0︒的直线有无数条，故不正确；对于④，不同的直线可以有相同的倾斜角，即直线的倾斜角α的集合{}0180αα︒≤<︒与直线集合不是一一对应关系，故不正确．【例2】直线l 过原点()0,0，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是（） A ．090α︒≤≤︒B ．90180α︒≤<︒C ．90180α︒≤<︒或0α=︒D ．90135α︒≤≤︒【难度】★ 【答案】C【例3】已知直线l 平行于第二、四象限的角平分线，则直线l 的倾斜角为（用弧度制表示）．【难度】★【答案】34π例题分析【例4】直线210x y +−=的倾斜角为（）. A ．arctan 2 B ．arctan 2−C ．()arctan 2π−−D ．arctan 2π−【难度】★ 【答案】D【详解】因为直线210x y +−=的斜率2k =−，所以[)tan =20ααπ−∈，，，所以=arctan 2απ−. 所以直线210x y +−=的倾斜角为arctan 2π−.【例5】直线0(0,0)ax by c a b ++=<<的倾斜角是（）． A ．arctanab− B ．arctan a b π+ C ．arctan a b π⎛⎫+− ⎪⎝⎭D ．arctan2a bπ+ 【难度】★【答案】C【详解】线0(0,0)ax by c a b ++=<<，则0a k b =−<，故倾斜角为arc tan a b π⎛⎫+− ⎪⎝⎭.【例6】直线cos130sin13010x y ︒⋅−︒⋅+=的倾斜角是（） A ．40° B ．50° C ．140° D ．130°【难度】★★ 【答案】C【详解】由题：直线cos130sin13010x y ︒︒⋅−⋅+=的斜率cos130sin 40sin140tan140sin130cos 40cos140k ︒︒︒︒︒︒︒==−==，所以其倾斜角为140︒.【例7】若02πθ−<<，则直线cot y x θ=⋅的倾斜角等于（）.A ．θ−B ．2πθ+C ．2θπ− D ．πθ+【难度】★★ 【答案】C【详解】解：设直线的倾斜角为α，[)0,απ∈依题意可得tan cot αθ= 又cot tan 2πθθ⎛⎫=− ⎪⎝⎭且02θπ−<<所以,22ππθπ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭所以2παθ=−【难度】★★)(]0,1，则)1]1,[+∞，所以π3π,24⎫⎛⎤⎪ ⎥⎭⎝⎦；【例910y −−=与直线0x =的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π6【难度】★★【例10】若一条直线的斜率(1,1)k ∈−，则该直线的倾斜角的取值范围是____________. 【难度】★★【答案】30,,44πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【详解】因为直线的斜率(1,1)k ∈−，记该直线的倾斜角为α，所以当[)0,1k ∈时，0tan 1α≤<，因此倾斜角0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，当(1,0)k ∈−时，1tan 0α−<<，因此倾斜角3,4παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.题型二、直线的斜率】若(3,3)n =−【难度】★ 的一个方向向量为(3,3)n =−，即倾斜角为【例2】过点(0,1)M 和N （1，m 2+1）2(1,1)N m +（m ∈R ）的直线的倾斜角的范围是________. 【难度】★★【答案】π[0,)2【详解】由题意直线MN 的斜率为2211010m k m +−==≥−，设MN 的倾斜角为θ，则tan 0θ≥，又[0,)θπ∈，∴[0,)2πθ∈．【例3】若直线1l 的斜率为2，直线2l 的倾斜角比1l 的倾斜角大,4π则直线2l 的斜率为____.【难度】★★ 【答案】3−【详解】直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β，因为直线1l 的斜率为2，所以tan tan214tan tan 341211tan tan 4παπβαπα++⎛⎫=+===− ⎪−⨯⎝⎭−⨯，)(]0,1][11,⋃+∞α，因α∈【例5】图中的直线123l l l ､､的斜率分别为123k k k ､､，则（） A ．123k k k << B ．312k k k << C ．321k k k << D ．132k k k <<【难度】★★ 【答案】D【例6】过(),0A a ，()1,2B 的直线的斜率大于2，则满足条件的一个a 值可以为 . 【难度】★★【难度】★★()2−∞−，题型三、斜率的应用两点的直线的倾斜角是钝角，则实数m 的范围是【例3】已知点()0,8A −，()2,2B −，()4,C m ，若线段AB ，AC ，BC 不能构成三角形，则m 的值是 . 【难度】★★1，构成的直线的斜率，的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦．题型四、直线与线段相交问题【例1】设点()2,3A −、()3,2B −−，若直线l 过点()1,1P 且与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是．【难度】★★【例3】已知A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线l 与线段AB 有公共点. （1）求l 的倾斜角α的取值范围；（2）求l 的斜率k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）344ππα≤≤（2）k ≤﹣1或k ≥1 （1）如图，当直线l 过B 时设直线l 的倾斜角为α（0≤α＜π），则tan α20131−==−，4πα=，当直线l 过A 时设直线l 的倾斜角为β（0≤β＜π），则tan 40131β−==−−−，34πβ=， ∴要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是344ππα≤≤；（2）由344ππα≤≤，可得tanα≤﹣1或tanα≥1， ∴直线l 的斜率的取值范围是k ≤﹣1或k ≥1.题型五、斜率综合【难度】★★【例2】已知()1,2A −、(),3B m . （1）求直线AB 的斜率k 和倾斜角α；（2）已知实数1,0m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】（1）当1m =−时，直线AB 的斜率不存在，倾斜角为2π. 当1m ≠−时，11k m =+；若1m >−，则1arctan1m α=+；若1m <−，则1arctan1m απ=++. （2）当1m =−时，直线AB 的倾斜角为2π；当1m ≠−时，([),1,k ∈−∞+∞，2,,4223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上可得直线AB 的倾斜角α的取值范围为2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【例3】已知坐标平面内两点()()3,35,21,1M m m N m ++−.（1）当直线MN 的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m 的取值范围；（2）若直线MN 的方向向量为()1,2023a =−，求m 的值. 【难度】★★3）由已知(MN m =−的方向向量为(1,2023a =−4)3m −=−【例4】已知()2,3A ，()4,1B −，()0,3C −．（1）求直线AB 和AC 的斜率；（2）若点D 在线段BC （包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．【难度】★★【答案】(1)直线AB 的斜率为13，直线AC 的斜率为3(2)1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由斜率公式可得直线AB 的斜率131423AB k −==−−，直线AC 的斜率()33320AC k −−==−，故直线AB 的斜率为13，直线AC 的斜率为3．（2）当D 由B 运动到C 时，直线AD 的倾斜角增大且为锐角，直线AD 的斜率由AB k 增大到AC k ，所以直线AD 的斜率的变化范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.1. 下列命题为真命题的是（）A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αB ．若直线的倾斜角为α，则[]0,πα∈C ．若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率较小D ．倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度【难度】★ 【答案】D2. 已知下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα； ②直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α；师生总结巩固练习③直线的倾斜角为α，则sinα＞0．上述命题中不正确的是（） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【难度】★【解答】解：对于①，直线的倾斜角为α，α＝90°，直线的斜率不存在，α≠90°时，直线的斜率为tanα，所以①错误；对于②，直线的斜率为tanα时，α不一定是直线的倾斜角，如α＝﹣45°时，直线的斜率为﹣1，倾斜角为135°，所以②错误；对于③，直线的倾斜角为α，α＝0时，sinα＝0，所以③错误．综上知，错误的命题序号是①②③．故选：D ．3. 直线310x y ++=的倾斜角为___________. 【难度】★【答案】1tan 3arc π−【详解】解：直线310x y ++=，即1133y x =−−，即斜率为13−，设倾斜角为θ，则1tan 3θ=−，所以1tan 3arc θπ=−；【答案】B5. 直线10x ++=10y ++=的夹角为_________. 【难度】★【答案】π66. 如图所示，若直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（） A ．213k k k << B ．123k k k << C ．321k k k << D ．312k k k <<【难度】★★ 【答案】A7. 若直线l 的方程为cos 30x y α−+=()R α∈，则其倾斜角的取值范围是___________. 【难度】★★【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】解：cos 30x y α−+=，即cos 3y x α=+，∴直线的斜率cos k α=，即[]1,1k ∈−，设直线的倾斜角为θ，则[]tan 1,1θ∈−，即30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，8. 若直线l 过点()4,1A ，()()23,B aa R ∈，则直线的倾斜角取值范围是（）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,,422ππππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【难度】★★ 【答案】D【详解】解：设直线的倾斜角为θ，则221tan 134a a θ−==−−，因为a R ∈，所以211a −≤，即tan 1θ≤，因为[0,)θπ∈，所以04πθ≤≤或2πθπ<<，所以直线的倾斜角取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，10. 已知点()2,2A −−，()5,3B 和()5,4P −，若过点P 的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是________. 【难度】★★【答案】2,arctan 27ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【详解】点()2,2A −−，()5,3B 和()5,4P −，若过点P 的直线l 与线段AB 有公共点，直线PA 的斜率为242257−+=−−−，PB 的斜率不存在，故直线PA 的倾斜角为2arctan 7π−，直线PB 的倾斜角为2π，则l 的倾斜角的取值范围为2,arctan 27ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，【难度】★★0； 120； 45；(4)不存在.12. 已知坐标平面内三点()1,1A −，()1,1B ，()2,31C +. （1）求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；（2）若D 为ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）答案见解析；（2）3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）由斜率公式，得()11011AB k −==−−，311321BC k +−==−，()3113213AC k +−==−−，所以直线AB 的倾斜角为0°，直线BC 的倾斜角为60°，直线AC 的倾斜角为30°. （2）如图，当直线CD 由CA 绕点C 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由AC k 增大到BC k ，所以k 的取值范围为3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.1. 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点1(2,)P a −的所有直线中A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有(2)n n ≥条直线，每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点D ．每条直线至多过一个有理点【难度】★★★ 【答案】C能力提升【难度】★★★。