2016年春季A-level数学P1试题分析与点评
A-level经济学历年试卷June 2016 QP - Paper 1 Edexcel (A) Economics AS-level
Turn over*P49594A0124*P49594A©2016 Pearson Education Ltd.1/1/1/1/1/1/1/1Instructions• Use black ink or ball-point pen.•Fill in the boxes at the top of this page with your name,centre number and candidate number.• A nswer all questions in Section A.•In Section B, answer all of questions 6(a) to 6(e) and one question from 6(f) or 6(g).•A nswer the questions in the spaces provided– there may be more space than you need.Information•The total mark for this paper is 80.•T he marks for each question are shown in brackets– use this as a guide as to how much time to spend on each question.•C alculators may be used.Advice•Read each question carefully before you start to answer it.•Check your answers if you have time at the end.*P49594A0224*2*P49594A0324*Turn over3*P49594A0424*4*P49594A0524*Turn over5*P49594A0624*6*P49594A0724*Turn over7BLANK PAGEQUESTION 6 BEGINS ON THE NEXT PAGE.*P49594A0824*8*P49594A0924*Turn over9Extract AProblems facing UK first time buyersOver a third of aspiring first time buyers in the UK have given up hope of ever being able to save for a deposit to buy a property, new research has found. A deposit is the minimum amount that must be paid upfront when buying a property, which is a proportion of the price of the property.The UK Government has a Help to Buy scheme designed to help people buy a home. The government subsidises the mortgage (loan) needed to buy a property, so buyers require a smaller amount saved as a deposit. Under this scheme, first time buyers need as little as a 5% deposit to qualify for a mortgage. This is due to end in the first few months of 2017. The research from mortgage insurer Genworth says this will mean a return to 20% deposits, which would see the average time needed to save for a deposit rise from three years to over 10 years.“Trying to buy your first home in the current climate is like chasing a runaway train. Even with good salaries that could comfortably support a mortgage, thousands of aspiring first time buyers can only save modest sums, especially those who are already paying rent. This deposit trap is why many feel they are left with the all or nothing choice of borrowing from family or waving goodbye to ever owning a home,” said Simon Crone, a vice president at Genworth.“Help to Buy has significantly improved access to mortgages with deposits that areactually realistic to save. The numbers using the scheme may be modest, but it has made significant inroads in the short-term to boost access at the lower end of the property market,” he pointed out.(Source: adapted from /news/europe/uk-first-time-buyers-201409309641.html September 2014)Extract BHousing and flood defencesA radical new approach to housing and a £2.3 billion of investment in flood defences were announced as part of the UK Government’s new National Infrastructure Plan 2014.One key proposal is for the government to plan, build and sell homes. An initial programme on a government-owned former airfield near Cambridge will see the development of 10 000 homes. This approach will fast track the development by providing certainty and making new homes available more quickly.The government will make the initial investment but expects that later costs will be met through the sale of land and homes. It will also evaluate the feasibility and economiceffects of rolling out this model on a wider scale, to support and accelerate housing supply.The plan also commits to £2.3 billion of capital investment to over 1400 flood defence projects in a 6-year programme of investment. As a result, over 300 000 homes will be better protected and over £30 billion of economic damages prevented. Majorprojects that will benefit include £42 million for the Oxford Flood Alleviation Scheme, £80 million for the Humber Estuary and over £17 million for Tonbridge, Yalding and the surrounding communities.(Source: adapted from https:///government/news/ambitious-plans-for-housing-flood-defence-and-roads-set-out-in-national-infrastructure-plan-2014)510152051510*P49594A01024*106 (a) With reference to Figure 1, explain one possible reason for the differences in priceelasticity of supply of new housing between countries.(5)(b) With reference to Extract A, assess the likely impact of the Help to Buy scheme onthe market for rented properties in the UK.(10)(c) Explain the likely impact on producer surplus of an increase in the demand forhousing. Use a diagram to illustrate your answer.(6)(d) With reference to Figure 2, calculate the percentage change in house pricesbetween the first quarter of 2009 and the first quarter of 2015. You are advised to show your working.(4)(e) With reference to Figures 1 and 2 and your own knowledge, discuss the functionsof the price mechanism in allocating housing.(15)Answer EITHER(f) Evaluate the likely microeconomic effects of government intervention in the UKhousing market.(20)OR(g) Evaluate the case for government provision of goods and services such as flooddefence schemes or housing.(20)(5) .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 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Use a diagram to illustrate your answer.(6) .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 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You are advised toshow your working.(4) .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 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2016考研数学一真题及解析汇报问题详解
2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016上半年资格证初、高级数学真题及解析
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13 . 以 三角形的中位线定理 教学为例,简述数学定理教学的主要环节㊂
三㊁解答题( 本大题共 1 小题,10 分) 14 . 设 A = 1 è3 æ1 1 2 4 0ö 1ø 1 ,求子空间 A( R3 ) = { Aa | aɪR3 } 的一组正交基㊂
4
四㊁论述题( 本大题共 1 小题,15 分)
D. 以上都不是
8 . 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程中,下 面的表述不适合在教学中培养学生创新意识的是( ㊀ ㊀ ) A. 发现和提出问题 C. 规范教学书写㊀ B. 寻求解决问题的不同途径 D. 探索结论的新应用
D. 数据处理㊀ 空间想象㊀ 抽象概括
二㊁简答题( 本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 9 . 设质点在平面上的运动轨迹为
学生乙的计算: æ -105 5 ö ː - - ˑ æ - 3 + 1 ö ( 5) 2 7ø è è 8 2ø = -105 = 528 5 3 ˑ5 + +1 7 4
学生丙的计算: æ -105 5 ö ː ( - ) - ˑ æ - 3 + 1 ö 5 2 7ø è è 8 2ø = 105 = 105 = 21 = 20 3 1 5 ː5 - é 2 ˑ æ - ö +2 ˑ ù 8 2 7 ø ë è û 5 1 3 ˑ + -1 7 5 4
针对上述解法一些学生提出了自己的想法㊂ 学生丙:怎么刚好有 S100 +S10 = -S110 呢,这是一种巧合吗? 上述所得到的结论是 否隐含着一般性的规律呢? 老师:同学丙说的规律是否就是:一般地, 在等差数列 { a n } 中, 若存在正整数 p, q,且 pʂq,使得 S p = q,S q = p,则 S p +S q = -S p+q( ∗) ,请同学们进行验证㊂ 问题: (1) 请分析学生甲和学生乙解法各自的特点,并解析学生乙设 S n = An2 + Bn 的理 由㊂ (12 分) (2) 请验证( ∗) 中的结论是否成立? (8 分)
五年级 Printed 2016 迎春杯A 初赛解析学而思
【难度】★★★★
【答案】42 【分析】同时出发的情况中，由于两人要减速也是同时减速（当然也许两人并未减速过），故无论哪个
时段，甲乙的速度比是固定的，所以任意时段行走的距离比也是固定的．总之，相遇点左、右距 A、 B 的距离比代表了两人的初始速度比．
乙先行的情况中，乙所先行的 20 分钟是以原速运动的，之后的过程类似上一段分析．故设甲、
(19 19 12 12) 12 19 19 19 12 12
1219 228
2. 有一种细胞，每隔 1 小时死亡 2 个细胞，余下的每个细胞分裂成 2 个．如果经过 8 小时后细胞的 个数为 1284，那么，最开始的时候有__________个细胞．
【考点】计算，数列，递推 【难度】★★ 【答案】9 【分析】方法一（逆推）：1284 2 2 644 ，644 2 2 324 ，324 2 2 164 ，164 2 2 84 ，
凡是 3n 1项都是 12，除去这些项，得到的数列即为首项为 19，公差为 12 的等差数列．第 167 项19 12(167 1) 2011，第 168 项19 12(1681) 2023第一次超过 2016，这个数列的第 168 项是原数列的第168 23 252 项．
综上，本题有唯一答案 6156．
4. 有一个数列，第一项为 12，第二项为 19，从第三项起，如果它的前两项和是奇数，那么该项就等 于前两项的和，如果它的前两项和是偶数，该项就等于前两项的差（较大数减较小数）．那么，这 列数中第__________项第一次超过 2016．
【考点】计算，数列，等差数列 【难度】★★★ 【答案】252 【分析】即奇偶性不同求和，奇偶性相同求差．12、19、31、12、43、55、12、67、79、12、…可见
2016年高考数学全国卷1(理数 解析版)
(B)-34
(C) 3
(D)2
(5) 如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活 动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A)24 (B)18 (C)12 (D)9 (6)
1
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D'EF 的位置,OD'= 10. (Ⅰ)证明:D'H⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 B-D'A-C 的正弦值.
(20) (本小题满分 12 分)
2
2
已知椭圆 E: 3 =1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N
283π,则它的表面积是
(A)17π
(B)18π
(C)20π
(D)28π
(7) 函数 y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为
6
(8) 若 a>b>1,0<c<1,则
(A)ac<bc
(B)abc<bac
(C)alogbc<blogac (D)logac<logbc
(9) 执行右面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1,则输出 x,y 的值满足 (A)y=2x (B)y=3x (C)y=4x (D)y=5x
(A){1}
(B){1,2}
(C){0,1,2,3} (D){-1,0,1,2,3}
(3) 已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m=
(A)-8
(B)-6
2016山东春季高考数学试题与详细讲解答案解析
省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项:１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则A∩B等于（）（A）{1，2，3} （B）{1，3} （C）{1，2} （D）{2}2．|x－1|＜5的解集是（）（A）(－6，4) （B）（－4，6）（C） (－∞, －6)∪(4, ＋∞) （D）(－∞, －4 )∪（6，＋∞)3．函数y＝x+1 +1x的定义域为（）（A）{x| x≥－1且x≠0} （B）{x|x≥－1}（C）{x x＞－1且x≠0} （D）{x|x＞－1}4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．在等比数列{a n}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（）（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA ＝→a ，→OB ＝→b ，则→AM 可以表示为（ ） （A ）→a + 12→b（B ） －→a + 12→b（C ）→a － 12→b （D ）－→a － 12→b7．终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） （A ）{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }（B ）{x |x ＝π2＋k π}（C ）{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }（D ）{x |x ＝－π2＋k π，k ∈Z }8．关于函数y ＝－x 2+2x ，下列叙述错误的是（ ） （A ）函数的最大值是1（B ）函数图象的对称轴是直线x =1（C ）函数的单调递减区间是[－1，＋∞)（D ）函数图象过点（2，0）9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） （A ）10（B ）20（C ）60（D ）10010．如图所示，直线l 的方程是（ ） （A ）3x －y －3＝0 （B ）3x －2y －3＝0（C ）3x －3y －1＝0（D ）x －3y －1＝011．对于命题p ，q ，若p ∧q 为假命题”，且p ∨q 为真命题，则（ ） （A ）p ，q 都是真命题（B ）p ，q 都是假命题 （C ）p ，q 一个是真命题一个是假命题 （D ）无法判断12．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2，则f (－1)的值是（ ） （A ）－3 （B ）－1 （C ）1 （D ）313．已知点P （m ，－2）在函数y ＝log 13x 的图象上，点A 的坐标是（4，3），则︱→AP ︱的值是（ ） （A ）10（B ）210（C ）6 2（D ）5 2BOMA14．关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。
2016年上海市春季高考数学试卷(解析版)解析
2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是．2．若log2（x+1）=3，则x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立24．对于椭圆．若点（x0，y0）满足．则称该点在椭圆C（a，b）内，在平面直角坐标系中，若点A在过点（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部B．矩形及其内部C．圆及其内部D．椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g={x|f（x）＞g（x）}．（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g；（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．2016年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log2（x+1）=3，则x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3||=（4×2+1×0）=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（2，1），∴函数的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i）=﹣a，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=，∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D．15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．故选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（±，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B．21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x 1x 2+y 1y 2+（x 2y 1+x 1y 2）=（x 2y 1+x 1y 2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A ．24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能（2）由已知利用累加法能求出b n=2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8）（2）b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1=1+==2﹣（）n﹣1．，，=2n ﹣19+2n由题意n ≥9，上式大于零，即c 9＜c 10＜…＜c n ， 进一步，2n+2n 是关于n 的增函数， ∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c 1＞c 2＞c 3＞c 4＜c 5＜…＜c 9＜c 10＜…＜c n ，∴．29．对于函数f （x ），g （x ），记集合D f ＞g ={x|f （x ）＞g （x ）}． （1）设f （x ）=2|x|，g （x ）=x+3，求D f ＞g ；（2）设f 1（x ）=x ﹣1，，h （x ）=0，如果．求实数a 的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法． 【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R 上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f ＞g ={x|x ＜﹣1或x ＞3}；（2）方法一：，，由，则在R 上恒成立，令，a ＞﹣t 2﹣t ，，∴a ≥0时成立．以下只讨论a ＜0的情况对于，=t ＞0，t 2+t+a ＞0，解得t ＜或t ＞，（a ＜0）又t ＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|==4，∴（x﹣1）2+y2=16，∴运动轨迹是圆，故选：D．32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则k BE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，∴k≠．排除D．故选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．2016年7月25日。
2016级高等数学I(1)试卷(A)评分标准
令
S
(t
)
0
得驻点
t
4
.
⑦
S(0) 1,
S
4
2 1,
S
2
2
1,
⑨ O
由于 2 1 1 1, 2
故当
t
0
时
S
最大,
当
t
4
时
S
最小.
⑩
y sin x
t
/2 x
本题 得分
七、(本题满分 6 分)设常数 a 0, 函数 f (x) 在闭区间[a, a] 上可微且 | f (x)| 1, 又
江南大学考试卷专用纸
2016 级高等数学 I(1)考试卷(A)
使用专业、班级
题号
一
二
得分 阅卷人
学号
三
四
姓名
五
六
七
l
总分
(2)
设
x y
ln cost, sin t t
cos
t,
求 dy dx
x 3
和 d2 y dx2
x . 3
dy dx
cos t
cost sin t
t
sin t
t
cos t,
cos t
③
dy dx
x 3
6
;
④
d2 y cost t sin t cost cot t t cost,
dx2
sin t
cos t
⑦
d2 y dx2
x 3
2016山东春季高考数学试题与详细讲解答案解析
省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项:１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则A∩B等于（）（A）{1，2，3} （B）{1，3} （C）{1，2} （D）{2}2．|x－1|＜5的解集是（）（A）(－6，4) （B）（－4，6）（C） (－∞, －6)∪(4, ＋∞) （D）(－∞, －4 )∪（6，＋∞)3．函数y＝x+1 +1x的定义域为（）（A）{x| x≥－1且x≠0} （B）{x|x≥－1}（C）{x x＞－1且x≠0} （D）{x|x＞－1}4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．在等比数列{a n}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（）（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA ＝→a ，→OB ＝→b ，则→AM 可以表示为（ ） （A ）→a + 12→b（B ） －→a + 12→b（C ）→a － 12→b （D ）－→a － 12→b7．终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） （A ）{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }（B ）{x |x ＝π2＋k π}（C ）{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }（D ）{x |x ＝－π2＋k π，k ∈Z }8．关于函数y ＝－x 2+2x ，下列叙述错误的是（ ） （A ）函数的最大值是1（B ）函数图象的对称轴是直线x =1（C ）函数的单调递减区间是[－1，＋∞)（D ）函数图象过点（2，0）9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） （A ）10（B ）20（C ）60（D ）10010．如图所示，直线l 的方程是（ ） （A ）3x －y －3＝0 （B ）3x －2y －3＝0（C ）3x －3y －1＝0（D ）x －3y －1＝011．对于命题p ，q ，若p ∧q 为假命题”，且p ∨q 为真命题，则（ ） （A ）p ，q 都是真命题（B ）p ，q 都是假命题 （C ）p ，q 一个是真命题一个是假命题 （D ）无法判断12．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2，则f (－1)的值是（ ） （A ）－3 （B ）－1 （C ）1 （D ）313．已知点P （m ，－2）在函数y ＝log 13x 的图象上，点A 的坐标是（4，3），则︱→AP ︱的值是（ ） （A ）10（B ）210（C ）6 2（D ）5 2BOMA14．关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。
2016年上海市春季高考数学试卷(解析版)
2016年上海市春季高考数学试卷一 填空题（本大题共 题，每题 分，共 分）．复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是．．若●☐♑（⌧ ） ，则⌧．．直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为．．函数的定义域为．．三阶行列式中，元素 的代数余子式的值为．．函数的反函数的图象经过点（ ， ），则实数♋． ．在△✌中，若✌ °， °，，则✌． ． 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．．无穷等比数列 ♋⏹❝的首项为 ，公比为，则 ♋⏹❝的各项的和为．．若 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则♋．．函数⍓⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最小值为 ，最大值为 ，则实数❍的取值范围是．．在平面直角坐标系⌧⍓中，点✌， 是圆⌧⍓﹣ ⌧上的两个动点，且满足，则的最小值为．二 选择题（本大题共 题，每题 分，共 分）．若♦♓⏹α＞ ，且♦♋⏹α＜ ，则角α的终边位于（）✌．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限．半径为 的球的表面积为（）✌．π ． ． π ． π．在（ ⌧） 的二项展开式中，⌧项的系数为（）✌． ． ． ． ．幂函数⍓⌧﹣ 的大致图象是（）✌． ． ．．．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）✌． ． ．（ ， ） ．（ ， ）．设直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，那么（）✌．直线●平行于直线❍ ．直线●与直线❍异面．直线●与直线❍没有公共点 ．直线●与直线❍不垂直．在用数学归纳法证明等式 … ⏹⏹⏹（⏹∈☠✉）的第（♓♓）步中，假设⏹时原等式成立，那么在⏹ 时需要证明的等式为（）✌． … （ ） （ ） （ ）． … （ ） （ ） （ ）． … （ ） （ ） （ ）． … （ ） （ ） （ ）．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）✌．焦距相等，渐近线相同 ．焦距相等，渐近线不相同．焦距不相等，渐近线相同 ．焦距不相等，渐近线不相同．设函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，则“♐（ ） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的（）✌．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件．下列关于实数♋，♌的不等式中，不恒成立的是（）✌．♋♌≥ ♋♌ ．♋♌≥﹣ ♋♌ ．．．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，则；②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）✌．①成立，②不成立 ．①不成立，②成立．①成立，②成立 ．①不成立，②不成立．对于椭圆．若点（⌧，⍓）满足．则称该点在椭圆 （♋，♌）内，在平面直角坐标系中，若点✌在过点（ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，则满足条件的点✌构成的图形为（）✌．三角形及其内部 ．矩形及其内部．圆及其内部 ．椭圆及其内部三 解答题（本大题共 题，共 分）．如图，已知正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为 ，求异面直线 与✌所成的角的大小．．已知函数，求♐（⌧）的最小正周期及最大值，并指出♐（⌧）取得最大值时⌧的值．．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点☞处．已知灯口直径是 ♍❍，灯深 ♍❍，求灯泡与反射镜的顶点 的距离．．已知数列 ♋⏹❝是公差为 的等差数列．（ ）♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求♋ 的值；（ ）设♋ ﹣ ，数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹．数列 ♌⏹❝满足，记（⏹∈☠✉），求数列 ♍⏹❝的最小项（即对任意⏹∈☠✉成立）．．对于函数♐（⌧），♑（⌧），记集合 ♐＞♑⌧♐（⌧）＞♑（⌧）❝．（ ）设♐（⌧） ⌧，♑（⌧） ⌧ ，求 ♐＞♑；（ ）设♐ （⌧） ⌧﹣ ，，♒（⌧） ，如果．求实数♋的取值范围．二卷一 选择题：．若函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，则⌫的一个值是（）✌． ． ．π ． π．在复平面上，满足 ﹣ 的复数 的所对应的轨迹是（）✌．两个点 ．一条线段 ．两条直线 ．一个圆．已知函数⍓♐（⌧）的图象是折线✌☜，如图，其中✌（ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， （ ， ），☜（ ， ），若直线⍓⌧♌与⍓♐（⌧）的图象恰有四个不同的公共点，则 的取值范围是（）✌．（﹣ ， ）∪（ ， ） ． ．（ ， ．二 填空题：．椭圆的长半轴的长为．．已知圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 °，则该圆锥的侧面积为．．小明用数列 ♋⏹❝记录某地区 年 月份 天中每天是否下过雨，方法为：当第 天下过雨时，记♋ ，当第 天没下过雨时，记♋﹣ （ ≤≤ ），他用数列 ♌⏹❝记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第 天有雨时，记♌⏹ ，当预报第 天没有雨时，记♌⏹﹣ 记录完毕后，小明计算出♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋♌ ，那么该月气象台预报准确的总天数为．三 解答题：．对于数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝，若对数列 ♍⏹❝的每一项♍⏹，均有♍♋或♍♌，则称数列 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”．（ ）设数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的前三项分别为♋ ，♋ ，♋ ，♌ ，♌，♌ ，若 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝一个“并数列”求所有可能的有序数组（♍ ，♍，♍）；（ ）已知数列 ♋⏹❝， ♍⏹❝均为等差数列， ♋⏹❝的公差为 ，首项为正整数♦； ♍⏹❝的前 项和为﹣ ，前 项的和为﹣ ，若存在唯一的数列 ♌⏹❝，使得 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”，求♦的值所构成的集合． 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一 填空题（本大题共 题，每题 分，共 分）．复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是 ．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是 ，故答案为： ．．若●☐♑（⌧ ） ，则⌧ ．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：●☐♑（⌧ ） ，可得⌧ ，解得⌧ ．故答案为： ．．直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线⍓⌧﹣ 的斜率为 ，故倾斜角为，又∵直线⍓的倾斜角为 ，故直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为，故答案为：．．函数的定义域为☯， ∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于 求解即可．【解答】解：由⌧﹣ ≥ 得，⌧≥ ．∴原函数的定义域为☯， ∞）．故答案为☯， ∞）．．三阶行列式中，元素 的代数余子式的值为 ．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第 行第 列后所余下的 阶行列式带上符号（﹣ ）♓，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素 的代数余子式为：（﹣ ） （ × × ） ．∴元素 的代数余子式的值为 ．故答案为： ．．函数的反函数的图象经过点（ ， ），则实数♋ ．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（ ， ），可得函数的图象经过点（ ， ），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（ ， ），∴函数的图象经过点（ ， ），∴ ♋，解得♋ ．故答案为： ．．在△✌中，若✌ °， °，，则✌．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵✌ °， °，，∴由正弦定理，可得：✌ ．故答案为： ．． 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 （结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解： 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为✌ 种，故答案为： ．．无穷等比数列 ♋⏹❝的首项为 ，公比为，则 ♋⏹❝的各项的和为 ．【考点】等比数列的前⏹项和．【分析】 ♋⏹❝的各项的和 ，即可得出．【解答】解： ♋⏹❝的各项的和为： ．故答案为： ．．若 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则♋﹣ ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则 ﹣♓（♓为虚数单位）也是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵ ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，∴ ﹣♓（♓为虚数单位）也是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，∴ ♓（ ﹣♓） ﹣♋，解得♋﹣ ．则♋﹣ ．故答案为：﹣ ．．函数⍓⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最小值为 ，最大值为 ，则实数❍的取值范围是☯ ， ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵♐（⌧） ⌧﹣ ⌧ （⌧﹣ ） ，∴对称轴⌧ ，∴♐（ ） ，♐（ ） ，♐（ ） ，∵♐（⌧） ⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最大值为 ，最小值为 ，∴，∴ ≤❍≤ ，故答案为： ≤❍≤ ．．在平面直角坐标系⌧⍓中，点✌， 是圆⌧⍓﹣ ⌧上的两个动点，且满足，则的最小值为 ．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用✌中点 去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据✌，得到 点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设✌（⌧ ，⍓ ）， （⌧，⍓），✌中点 （⌧′，⍓′）．∵⌧′ ，⍓′ ，∴ （⌧ ⌧，⍓ ⍓） ，∵圆 ：⌧⍓﹣ ⌧，∴（⌧﹣ ） ⍓ ，圆心 （ ， ），半径 ✌．∵点✌， 在圆 上，✌，∴ ✌﹣ （✌） ，即 ．点 在以 为圆心，半径❒ 的圆上．∴ ≥ ﹣❒ ﹣ ．∴ ≥ ，∴≥ ，∴的最小值为 ．故答案为： ．二 选择题（本大题共 题，每题 分，共 分）．若♦♓⏹α＞ ，且♦♋⏹α＜ ，则角α的终边位于（）✌．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由♦♓⏹α＞ ，则角α的终边位于一二象限，由♦♋⏹α＜ ，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵♦♓⏹α＞ ，则角α的终边位于一二象限，∵由♦♋⏹α＜ ，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择 ．．半径为 的球的表面积为（）✌．π ． ． π ． π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式 π 解答即可求得答案．【解答】解：半径为 的球的表面积为 π× π，故选： ．．在（ ⌧） 的二项展开式中，⌧项的系数为（）✌． ． ． ． 【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（ ⌧） 的二项展开式中，通项公式为：❆❒ • ﹣❒•⌧❒，令❒，得展开式中⌧的系数为：．故选： ．．幂函数⍓⌧﹣ 的大致图象是（）✌． ． ．．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数⍓⌧﹣ ，定义域为（﹣∞， ）∪（ ， ∞），可排除✌， ；值域为（ ， ∞）可排除 ，故选： ．．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）✌． ． ．（ ， ） ．（ ， ）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解： ， ， ，∴向量在向量方向上的投影 ．故选：✌．．设直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，那么（）✌．直线●平行于直线❍ ．直线●与直线❍异面．直线●与直线❍没有公共点 ．直线●与直线❍不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，可得直线●与直线❍异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，∴直线●与直线❍异面或平行，即直线●与直线❍没有公共点，故选： ．．在用数学归纳法证明等式 … ⏹⏹⏹（⏹∈☠✉）的第（♓♓）步中，假设⏹时原等式成立，那么在⏹ 时需要证明的等式为（）✌． … （ ） （ ） （ ）． … （ ） （ ） （ ）． … （ ） （ ） （ ）． … （ ） （ ） （ ）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知⏹时， … ，到⏹ 时，左端为 … （ ），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式 … ⏹⏹⏹时，当⏹ 左边所得的项是 ；假设⏹时，命题成立， … ，则当⏹ 时，左端为 … （ ），∴从“ → ”需增添的项是 （ ），∴ … （ ） （ ） （ ）．故选： ．．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）✌．焦距相等，渐近线相同 ．焦距相等，渐近线不相同．焦距不相等，渐近线相同 ．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在⌧轴上，可得焦点为（±， ），即为（± ， ），渐近线方程为⍓±⌧；的焦点在⍓轴上，可得焦点为（ ，± ），渐近线方程为⍓± ⌧．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选： ．．设函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，则“♐（ ） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的（）✌．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，若函数♐（⌧）为奇函数，则♐（ ） ，反之不成立，例如♐（⌧） ⌧．即可判断出结论．【解答】解：函数⍓♐（⌧）的定义域为 ，若函数♐（⌧）为奇函数，则♐（ ） ，反之不成立，例如♐（⌧） ⌧．∴“♐（ ） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的必要不充分条件．故选： ．．下列关于实数♋，♌的不等式中，不恒成立的是（）✌．♋♌≥ ♋♌ ．♋♌≥﹣ ♋♌ ．．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于✌：♋♌﹣ ♋♌（♋﹣♌） ≥ ，故✌恒成立；对于 ：♋♌♋♌（♋♌） ≥ ，故 恒成立；对于 ：﹣♋♌≥ ，故 恒成立； 不恒成立；故选： ．．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，则；②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）✌．①成立，②不成立 ．①不成立，②成立．①成立，②成立 ．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得 ，则 λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得⌧ λ⌧，⍓ λ⍓，即可判断出结论．②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则 （）•⌧ ⌧⍓ ⍓（⌧⍓ ⌧ ⍓） （⌧⍓ ⌧ ⍓），无法得到 ，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得 ，则 λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴⌧ λ⌧，⍓ λ⍓，满足⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，因此．②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则 （）• ⌧ ⌧⍓ ⍓（⌧⍓ ⌧ ⍓） （⌧⍓ ⌧ ⍓），无法得到 ，因此不一定正确．故选：✌．．对于椭圆．若点（⌧，⍓）满足．则称该点在椭圆 （♋，♌）内，在平面直角坐标系中，若点✌在过点（ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，则满足条件的点✌构成的图形为（）✌．三角形及其内部 ．矩形及其内部．圆及其内部 ．椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质．【分析】点✌（⌧，⍓）在过点 （ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，可得 ， ≤ ．由椭圆的对称性可知：点 （﹣ ， ），点 （﹣ ，﹣ ），点 （ ，﹣ ），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点✌（⌧，⍓）在过点 （ ， ）的任意椭圆 （♋，♌）内或椭圆 （♋，♌）上，则 ， ≤ ．∴ ≤ ，由椭圆的对称性可知：点 （﹣ ， ），点 （﹣ ，﹣ ），点 （ ，﹣ ），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点✌构成的图形为矩形 及其内部．故选： ．三 解答题（本大题共 题，共 分）．如图，已知正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为 ，求异面直线 与✌所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱✌﹣✌ 的体积求出高，由✌ 与✌平行，得∠ ✌ 是异面直线 与✌所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线 与✌所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为 ，∴，解得♒ ，∵✌ 与✌平行，∴∠ ✌ 是异面直线 与✌所成的角，在△✌ 中，✌ ， ✌ ，∴♍☐♦∠ ✌ ．∴∠ ✌ ♋❒♍♍☐♦．∴异面直线 与✌所成的角的大小为♋❒♍♍☐♦．．已知函数，求♐（⌧）的最小正周期及最大值，并指出♐（⌧）取得最大值时⌧的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简♐（⌧）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为❆π，函数的最大值为 ，且函数取得最大值时，⌧ π ，即⌧π ， ∈☪．．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点☞处．已知灯口直径是 ♍❍，灯深 ♍❍，求灯泡与反射镜的顶点 的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程⍓☐⌧（☐＞ ），点（ ， ）代入抛物线方程求得☐，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以 为坐标原点，水平方向为⌧轴，竖直方向为⍓轴，如图所示：则：设抛物线方程为⍓☐⌧（☐＞ ），点（ ， ）在抛物线⍓☐⌧上，∴ ☐× ．∴ ．∴灯泡与反射镜的顶点 的距离 ♍❍．．已知数列 ♋⏹❝是公差为 的等差数列．（ ）♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求♋ 的值；（ ）设♋ ﹣ ，数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹．数列 ♌⏹❝满足，记（⏹∈☠✉），求数列 ♍⏹❝的最小项（即对任意⏹∈☠✉成立）．【考点】等差数列的前⏹项和；等比数列的通项公式．【分析】（ ）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项♋的值．（ ）由已知利用累加法能求出♌⏹﹣（）⏹﹣ ．从而能求出♍⏹﹣♍⏹﹣ ⏹﹣ ⏹，由此能求出数列 ♍⏹❝的最小项．【解答】解：（ ）∵数列 ♋⏹❝是公差为 的等差数列．♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，∴．解得♎，♋ ﹣（ ）♌⏹♌ （♌﹣♌ ） （♌ ﹣♌） … （♌⏹﹣♌⏹﹣ ）﹣（）⏹﹣ ．，，⏹﹣ ⏹由题意⏹≥ ，上式大于零，即♍ ＜♍ ＜…＜♍⏹，进一步， ⏹⏹是关于⏹的增函数，∵ × ＞ ， × ＜ ，∴♍ ＞♍＞♍ ＞♍ ＜♍＜…＜♍ ＜♍ ＜…＜♍⏹，∴．．对于函数♐（⌧），♑（⌧），记集合 ♐＞♑⌧♐（⌧）＞♑（⌧）❝．（ ）设♐（⌧） ⌧，♑（⌧） ⌧ ，求 ♐＞♑；（ ）设♐ （⌧） ⌧﹣ ，，♒（⌧） ，如果．求实数♋的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（ ）直接根据新定义解不等式即可，（ ）方法一：由题意可得则在 上恒成立，分类讨论，即可求出♋的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出♋的取值范围．【解答】解：（ ）由 ⌧＞⌧ ，得 ♐＞♑⌧⌧＜﹣ 或⌧＞ ❝；（ ）方法一：，，由，则在 上恒成立，令，♋＞﹣♦﹣♦，，∴♋≥ 时成立．以下只讨论♋＜ 的情况对于，♦＞ ，♦♦♋＞ ，解得♦＜或♦＞，（♋＜ ）又♦＞ ，所以，∴综上所述：方法二（ ），，由♋≥ ．显然恒成立，即⌧∈ ♋＜ 时，，在⌧≤ 上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一 选择题：．若函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，则⌫的一个值是（）✌． ． ．π ． π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，∴♐（﹣⌧） ♐（⌧），即♦♓⏹（﹣⌧φ） ♦♓⏹（⌧φ），∴（﹣⌧φ） ⌧φ π或﹣⌧φ ⌧φ π π， ∈☪，当（﹣⌧φ） ⌧φ π时，可得⌧﹣ π，不满足函数定义；当﹣⌧φ ⌧φ π π时，φ π ， ∈☪，结合选项可得 为正确答案．故选： ．．在复平面上，满足 ﹣ 的复数 的所对应的轨迹是（）✌．两个点 ．一条线段 ．两条直线 ．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设 ⌧⍓♓，得到 ⌧⍓♓﹣ ，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设 ⌧⍓♓，则 ⌧⍓♓﹣ ，∴（⌧﹣ ） ⍓ ，∴运动轨迹是圆，故选： ．．已知函数⍓♐（⌧）的图象是折线✌☜，如图，其中✌（ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， （ ， ），☜（ ， ），若直线⍓⌧♌与⍓♐（⌧）的图象恰有四个不同的公共点，则 的取值范围是（）✌．（﹣ ， ）∪（ ， ） ． ．（ ， ．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当 ， ＜♌＜ 时，显然直线⍓♌与♐（⌧）图象交于四点，故 可以取 ，排除✌， ；作直线 ☜，则 ☜，直线 ☜与♐（⌧）图象交于三点，平行移动直线 可发现直线与♐（⌧）图象最多交于三点，即直线⍓与♐（⌧）图象最多交于三点，∴ ≠．排除 ．故选 ．二 填空题：．椭圆的长半轴的长为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，♋，∴椭圆的长半轴长♋．故答案为： ．．已知圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 °，则该圆锥的侧面积为 π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 °，∴圆锥的底面半径为 ，∴圆锥的侧面积为π× × π．故答案为： π．．小明用数列 ♋⏹❝记录某地区 年 月份 天中每天是否下过雨，方法为：当第 天下过雨时，记♋ ，当第 天没下过雨时，记♋﹣ （ ≤ ≤ ），他用数列 ♌⏹❝记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第 天有雨时，记♌⏹ ，当预报第 天没有雨时，记♌⏹﹣ 记录完毕后，小明计算出♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋♌ ，那么该月气象台预报准确的总天数为 ．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时♋♌，不准确时♋♌﹣ ，根据♋ ♌ ♋♌♋♌ … ♋ ♌ ﹣ ，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时♋♌ ，不准确时♋♌﹣ ，∵♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋ ♌ ﹣ ，∴该月气象台预报准确的总天数为 ．故答案为： ．三 解答题：．对于数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝，若对数列 ♍⏹❝的每一项♍⏹，均有♍♋或♍♌，则称数列 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”．（ ）设数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的前三项分别为♋ ，♋ ，♋ ，♌ ，♌，♌ ，若 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝一个“并数列”求所有可能的有序数组（♍ ，♍，♍）；（ ）已知数列 ♋⏹❝， ♍⏹❝均为等差数列， ♋⏹❝的公差为 ，首项为正整数♦； ♍⏹❝的前 项和为﹣ ，前 项的和为﹣ ，若存在唯一的数列 ♌⏹❝，使得 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”，求♦的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（ ）利用“并数列”的定义即可得出．（ ）利用等差数列的通项公式及其前⏹项和公式可得♋⏹，公差♎，♍⏹，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（ ）（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ）；（ ）♋⏹♦⏹﹣ ，设 ♍⏹❝的前 项和为❆⏹，❆ ﹣ ，❆﹣ ，得♎﹣ ，♍ ，所以♍⏹ ﹣ ⏹；♍♋或♍♌．，∴ ，♦；或 ，♦ ，所以 ≥ ． ∈☠✉时，♍♌，∵数列 ♌⏹❝唯一，所以只要♌ ，♌唯一确定即可．显然，♦，或♦ 时，♌ ，♌不唯一，．年 月 日。
A level高考数学试题P1分类
A wire, 80 cm long, is cut into two pieces. One piece is bent to form a square of side x cm and the
other piece is bent to form a circle of radius r cm (see diagram). The total area of the square and the circle is A cm2.
coordinates of the mid-point of QR.
[5]
(ii) Find the equation of the curve.
[4]
10
The diagram shows the curve y = x3 − 3x2 − 9x + k, where k is a constant. The curve has a minimum point on the x-axis.
[3]
(ii) Use the substitution u = x + x2 in your answer to part (i) to find the coefficient of x2 in the
expansion of 2 + x + x2 5.
[2]
1
Find the coefficient of x2 in the expansion of
(iii) Find the acute angle, in degrees correct to 1 decimal place, between the two tangents.
[4]
Differenciation and integration 4
alevel三角函数p1刷题
A-Level三角函数题目集锦一、简介A-Level数学考试中的三角函数部分一直以来是考生备战的难点之一。
尤其是三角函数的求解和证明题型，更是需要考生具备扎实的基础知识和灵活运用能力。
为了帮助考生更好地备战A-Level数学考试，我们整理了一份精选的三角函数题目集锦，旨在帮助考生系统地复习和巩固相关知识点，同时提升解题能力。
二、题目类型A-Level数学考试中的三角函数题目大体可以分为求值、证明和图像分析三种类型。
其中求值题目多为简单计算和代入题，要求考生熟练掌握基本的三角函数公式和性质；证明题目则需要考生运用三角函数的性质和恒等式进行推导和证明；图像分析题目则需要考生根据给定的函数图像进行分析和理解。
在解题过程中，考生需注意运用常用的三角函数公式，如和差化积公式、倍角公式、半角公式等，同时要善于利用三角函数的周期性质和对称性质进行推导和简化。
三、经典题目解析1. 求证题目给定等式：$\frac{1-cosx}{sinx}+\frac{1+cosx}{sinx} = 2cotx$解析：将左边的两个分式相加并通分，得到：$\frac{2}{sinx} =2cotx$，化简得到恒等式，证毕。
2. 求值题目已知$cosx = \frac{1}{3}$，求$sinx$和$tanx$的值。
解析：根据三角函数的定义和性质，可得$sinx = \sqrt{1-cos^2x} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，$tanx = \frac{sinx}{cosx} = 2\sqrt{2}$。
3. 图像分析题目已知函数$y = 2sin(3x+\frac{\pi}{4})$，求其周期、振幅、相位和图像特征。
解析：根据三角函数图像的性质和公式，可得到该函数的周期为$\frac{2\pi}{3}$，振幅为2，相位为$-\frac{\pi}{12}$，图像为正弦曲线的纵向压缩、横向伸缩。
四、解题技巧1. 掌握基本公式和性质：三角函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等是解题的重要基础，在备考过程中要反复巩固和运用。
2016年高考新课标Ⅰ卷理数试题解析(正式版)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =I（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2（D ）3(,3)2【答案】D考点：集合运算（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,i x yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=所以故故选B.考点：复数运算（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C. 考点：等差数列及其运算（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B考点：几何概型（5）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得：21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 考点：双曲线的性质（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质（8）若101a b c >><<，，则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C 【解析】试题分析：当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥；2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236x y +≥；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C.考点：程序框图与算法案例（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.考点：抛物线的性质（11）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）13【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角（12）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（13）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = . 【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ，得⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算 （14）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】10 【解析】 试题分析：5(2)x x+的展开式的通项为555255C (2)()2C r r rr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.考点:二项式定理（15）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2鬃?a n 的最大值为 . 【答案】64考点：等比数列及其应用（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩„„„……目标函数2100900z x y =+.约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?„„……①作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，作直线：73y x =-并平移，当直线73900z y x =-+经过点M 时，z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标为(60,100).所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若7,c ABC △=的面积为332，求ABC △的周长． 【答案】（I ）C 3π=（II ）57+【解析】试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 （18）（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 【答案】（I ）见解析（II ）219【解析】试题分析：（I ）证明F A ⊥平面FDC E ，结合F A ⊂平面F ABE ，可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立空间坐标系，利用向量求解.试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥，F F A ⊥E ，所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ，故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ，垂足为G ，由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点，GF u u u r 的方向为x 轴正方向，GF u u u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =o，则DF 2=，DG 3=，可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，(D 3．学科&网考点：垂直问题的证明及空间向量的应用（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =考点：概率与统计、随机变量的分布列 （20）（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
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(i) 3 sin x tan x cos x 1 0
3 sin x
sin x cos x 1 0 cos x
3 sin x
sin x cos x 1 0 cos x
3 sin 2 x cos 2 x cos x 0
4 cos 2 x cos x 3 0 1 x cos 1 ( ) 1.32 4
Therefore the greatest possible value of q 2 （iii） fg ( x) 6 x 21,
2
x 3
fg (3) 6 9 21 33
The range is fg ( x) 33
(iv) y 6 x 2 21
x y 21 6
1 2 1 AB 5 3 2 P 4 P 4
1 5 4 CB 5 0 5 P 2 P 2
(i) f ( x) 2 x 3
g ( x) ax 2 b fg ( x) 2ax 2 2b 3 6 x 2 21 2a 6 3 2b 21
(ii) g ( x) 3 x 12 0
2
a 3, b 12
x 2 x2
4.965
【考点】 5.4 use the identities
x tan x ， sin 2 x cos 2 x 1 cos x
5.5 find all the solutions of simple trigonometrical equations lying in a specified interval (general forms of solution are not included) 【点评】 ： 利用三角恒等式化解成关于 cosx 的一元二次方程， 然后正确解三角方程， 每年必考题型。
y 21 6 x 2
fg 1 ( x) x 21 , 6 x 33
2.1 understand the terms function, domain, range, one-one function, inverse function and 【考点】 composition of functions 理解函数表达式，定义域，值域，一对一函数，反函数及复合函 2.2 identify the range of a given function in simple cases, and find the composition of two given functions（会求已知简单函数的值域，求给定两个函数的复合函数） 【点评】 ：本题是今年难度最大一道。求复合函数表达式，以及复合函数的定义域，90%同学不能有 效理解，该知识点容易被老师和同学复习时候忽略，导致失分现象严重。另外求二次函数的反函数 部分同学不能给出正确表达式。
dy dy dx , dt dx dt
1 2
dx 1 dy 1 dy dx dy , 2 dt 2 dx 2 dx dt dx
2 x 5 x 5 2 (2 x 3)( x 1) 0
x 1, x
9 4
【考点】8.3 apply differentiation to gradients, tangents and normals, increasing and decreasing functions and rates of change (including connected rates of change) 【点评】 ： 本题有一定难度， 复习时容易被遗漏 是知识的盲区， 部分同学不能正确建立变化率概念， 特别应用 chain rule 建立 Y 变量随时间的变化率，在小范围押题班中我特意提醒考生注意此类习 题，被有效押中。
6
2 2 tan A , A tan 1 ( ) 0.588 3 3 3 3 tan B , B tan 1 ( ) 0.983 2 2
Area of the shaded region is given by
1 1 1 1 A 3 4 32 0.588 1 2 2 0.983 0.603cm 2 2 2 2 2 2 2 【考点】 4.2 use the formulae l r and A r in solving problems concerning the arc length and 2
2
n
2 2 1 V y 2 dx ( x 3 1)dx x 4 x 6 0 0 0 4
2
【考点】 9.4use definite integration to find:
B) a volume of revolution about one of the axes.
sector area of a circle.（会用弧长公式和扇形面积公式）
【点评】 ：本题考法比较新颖，利用三角比求出各个角度的弧度值，再利用直角三角形面积减去三 个扇形面积公式进行有关计算，部分同学失分较多。
y x2
1 10 3 dy ( x ) 2 5 x, 2 x 5x 2 5 3 dx
dy 8 2(2 x 1) 2 dx dy 1 0 (2 x 1) 2 dx 4 3 1 x ,x 4 4 y 8 x (2 x 1) 1 d2y 8 2 dx (2 x 1) 3
When x
1 , 4
d2y 64 ＞0 dx 2 d2y 64 ＜0 dx 2
【考点】9.2 solve problems involving the evaluation of a constant of integration, e.g. to find the equation of the curve through (1, –2) for which
2 5 x2
dy 2x 1 dx
(ii) 4 cos 2 x cos 2 x 3 0
2
1 cos x , cos x 3(impossible) 4
1 cos 2 x , 4
cos 2 x 3(impossible)
1 2 x cos 1 ( ) 1.318 , 4 x 0.659 , 2.48
1 1 1 1 ( 3 x 2 ) 5 ( ) 5 5( ) 4 (3x 2 ) 10( ) 3 (3 x 2 ) 2 x x x x 1 1 5 15 2 90 x x x
The coefficient of x is 90 n 【考点】 7.1 use the expansion of ( a b) , where n is a positive integer (knowledge of the greatest term and properties of the coefficients are not required, but the notations r ，n! should be known); 【点评】 ：常规题型，正确应用二项式展开式，一般不会出什么问题，但是往往有时候计算正确性 不能得到有效保障。
AB CB 1 4 ( p 4) 2 16 25 ( p 2) 2
p2
When p 1
1 4 AB 2 , CB 5 5 1
1 4 2 5 1 4 25 16 25 1 cos 5 1
It is min. point
x
3 , 4
It is max. point
【考点】 8.4locate stationary points, and use information about stationary points in sketching graphs (the ability to distinguish between maximum points and minimum points is required, but identification of points of inflexion is not included). 【点评】 ：微分常规题目，也是微分的基本技能，要求较低，容易得分，
【点评】 ：积分应用题，今年降低了旋转体体积计算，运用基本公式，本题比较容易得分
(i) (ii)
When x 1 ,
dy 2 6 k 2, k 4 dx 4 2 2 3 (6 x x 3 )dx 2 x x 2 c
When x 1 , y 9
9 2 2 c, c 5 ,Therefore, y 2 x 3
cos
9 76.8 30 52
【考点】 6.4calculate the magnitude of a vector and the scalar product of two vectors; 【点评】 ：矢量大小计算与利用矢量的点乘求角度，也是历年必考的题型，题型常规，没有太多难 度。
【点评】 ：本题也是微分与积分应用，题型比较熟悉，做起来容易上手，部分同学忘记积 3 12d 3 2d 3 12d (3 2d ) 2 3(3 12d ) 3 3 2d
d 2 6d 0, d 6, d 0
2016 年春季 CIE 数学 P1 真题详解与点评
（点评人： 瑞玛教育 首席数学教师 时兆飞）
一、试题概述 本年试卷共 11 道试题，总分 75 分钟，考试时间 1 小时 45 分钟，今年试题难度稳重有变，虽然考 试题型基本不变， 但是有一点新颖和灵活性， 对学生数学分析能力和推理能力等综合能力要求较高。 二、考点分布 知识点涵盖：二项式分布，积分应用求体积，求曲线方程，微分应用找驻点并判断极值问题，变化 率的计算，扇形面积计算 ，三角恒等式和解三角方程，矢量 ，函数与反函数几何坐标。所有考点 在考前小范围押题班上课时候全部押中，特别是 Q7/Q10/Q11. 三、试卷难度 常规题型如 Q1、Q2 、Q3、Q4 和 Q5 此类型题目属于考查学生的数学基础知识和概念，只要计算 精准度达到，比较容易得到分。 中等难度题型如 Q6、Q7、Q8 和 Q9，此类题目对考生的数学能力有一定要求，有一定的灵活性。 难题题型如：Q10 和 Q11,特别 Q10 求复合函数的定义域问题，应该 90%学生出错，平时教学老师 容易忽视的考点。Q11 部分同学不能正确应用余弦定理找出角度的正弦值并计算出正确的面积。 四、试卷特点 试卷在平稳中追求新颖， 改变传统一成不变的题型， 特别是求变化率以及几何坐标题目灵活性较强， 需要考生具备灵活性和实际问题分析与处理能力。 微积分综合应用所占权重增加，分值达到 23 分，百分比为 31%。