有限元 单元刚度矩阵单元方程推导
各单元类型的单元刚度矩阵
各单元的单元刚度矩阵一）杆件单元刚度矩阵局部坐标系中：整体坐标系中：αμαλsin ;cos ==二、）梁单元刚度矩阵剪弯梁局部坐标系下：坐标转换矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111][l EA ke ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k z z z z z z z z z z z z z z z z e 46612266122661246612][223223223223[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T轴剪弯梁局部坐标系下：坐标转化矩阵为：三、）平面三节点三角形单元刚度矩阵{}[]{}e N δδ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=m j i m j i N N N N N N N 000000][ )(21y c x b a AN i i i i ++=； ),,(m j i i = j m m j i y x y x a -=，m j i y y b -=，j m i x x c -=。
单元为等腰直角三角形，直角边长为1。
泊松比为0，弹性模量为1。
（单元节点编号为逆时针i ，j ，m ；直角顶点为m ）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA K e 460260612061200000260460612061200000222322222223[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000sin cos 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos ααααααααT⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=23211212102302121110002*********][E k e 1)集中力：}{][}{P N R T e =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧y x y x m m j j i i m m j j i i P P N N N N N N Y X Y X Y X p p ),(000000 2)体力：⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{3）分布面力：⎰=s T e tds P N R }{][}{例题3：在均质、等厚的三角形单元ijm 的ij 边上作用有沿x 方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
![[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/25867d5d31b765ce050814be.png)
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
计算结构力学第四章 单元刚度矩阵
(4)
2 l 1 2 l
(5)
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返回
由(4)式 {a} [G]1{ } 将(6)代入(1), 便得v( x)的结点位移插值式为
1 v( x) { X }T [ G ] } 14 44 {
(6) (7)
这里 [ N ( x)] [ N1 ( x)
2 3 x x 1 3 2 l l
计算结构力学
第四章 单元刚度矩阵
4-1
概
述
形成单元刚度矩阵是整个结构分析中的 一个重要环节。 静力法推导利用了结构力学中的转角位 移方程，也是采用了Euler梁理论的结果。 Euler梁：简单梁
有限元分析的计算精度在很大程度上取 决于单元刚度矩阵，也就是取决于 单元形状 函数(位移函数)的选择。
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d 2 [ N ( x)] ( x) z ( x) v( x) 2 dx 4 6 x 6 12 x 2 6x 6 12 x 2 3 2 3 2 2 l l l l l l l l [ B] (9)
2.在单元内点, Ni ( x)按u ( x)形式变化, 如(8)式又 称为Lagrange型插值(线性, 仅函数本身的边界 作内插函数).
1
y
N1 ( x)
N2 ( x)
0 i
j
x
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3.应变插值形式（用结点位移表示(x)) du (x) dx d (x) [ N ( X )]{ } dx 1 1 [ ]{ } [ B]{ } l l 上式中[ B]矩阵称为应变矩阵。
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第2章3-单元刚度方程和单元刚度矩阵
i
u
j
6EI l2
v
j j
4EI
l
平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为:
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0
0
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
6EI
2
l
4EI
l
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
yy 33llEEII
33llEE22II
00ii 11 ll
vj=1
3EI 3llE22I
3EI 3llE33I
ll
xx
3EI 3llE33I
xx
33llEE22II
vvjj
1 1
3EI 3llE33I
ui=1
vi =1 θi=1
uj=1 vj=1
Ni
EA l
0
0
EA l
0
Qi 0 Mi 0
3EI l3
EA
端为铰结点, 则单元刚度 l
矩阵为:
0
K (e)
0
EA l
0
0
3EI l3 3EI l2 0
3EI l3
0
3EI l2
3EI l
0
3EI l2
EA l 0
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵
y
EA l EA l
x
平面梁单元的单元刚度矩阵
ui=1 vi =1 θi=1 uj=1 vj=1 θj=1
ui=1
y vi
1 6EI l2
ui
1
l
6EI l2 12EI l3 12EI l3
Ni
x
EA l
0
12 EI l3
0
− 6 EI l2
− EA l
0
0
vi=1
l
4EI l
Qi
x
6EI l2
0 0
第三节 单元刚度方程和单元 刚度矩阵
单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚 度方程反映出来的， 度方程反映出来的，本节重点掌握单元刚度矩阵中 每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的 每个刚度系数的物理意义， 刚度矩阵。 刚度矩阵。
（1）单元刚度方程
单元的刚度方程：
F ( e ) = K ( e )δ( e ) 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移δ(e)与杆端力F(e) 之间的关系. 之间的关系 称为单元刚度矩阵 单元刚度矩阵。 其中矩阵K(e) 称为 单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵是一 个方阵. 它的阶数和内容视单元而定。 个方阵 它的阶数和内容视单元而定 。如杆端位移 δ(e) 阶向量， 方阵。 阶向量 方阵 和杆端力F(e)为6阶向量，则K(e)为6X6方阵。
l
y
3EI l
0 0
− EA l
0 0
EA l
θi=1
3EI l2
0i
1 3EI l2
Mi
Nj
l
− 3EI l2
3EI l
3EI l2
c3d8有限元单元方程推导过程
有限元单元方程推导过程1.引言有限元分析是一种数值计算方法，用于求解结构力学、流体动力学等领域的物理问题。
在有限元分析中，有限元单元是构成整个有限元模型的基本单元，通过推导有限元单元的方程，可以实现对结构或系统的精确分析和计算。
本文将从有限元方法的基本原理出发，详细介绍有限元单元方程的推导过程。
2.有限元方法基本原理有限元方法是将连续的物理问题离散化，转化为有限个代表性元素的集合，通过对每个元素施加适当的边界条件和力学方程，最终得到整个系统的解。
有限元方法通过有限元单元之间的相互作用，从而模拟整个系统的行为。
3.有限元单元的概念有限元单元是有限元模型中最小的离散单元，它是对实际的结构或系统进行离散化的结果。
不同的物理问题和结构，可以采用不同类型的有限元单元进行离散化，如梁单元、壳单元、板单元等。
4.有限元单元方程的一般形式有限元单元方程的一般形式可以表示为：\[K_{e}U_{e}=F_{e}\]其中\(K_{e}\)为有限元单元的刚度矩阵，\(U_{e}\)为有限元单元的位移矢量，\(F_{e}\)为有限元单元的荷载矢量。
5.有限元单元方程推导的基本步骤有限元单元方程的推导主要包括以下几个基本步骤：5.1 单元刚度矩阵的推导首先需要根据有限元单元的几何形状和材料性质，推导出单元刚度矩阵。
单元刚度矩阵可以通过对单元内部的应变能量或者应力-应变关系进行积分得到。
5.2 单元位移矢量的表示在推导单元方程过程中，需要选择合适的位移矢量表示方式，可以采用基函数展开的方法，将位移矢量表示为一组未知系数乘以基函数的线性组合形式。
5.3 单元荷载矢量的求解单元荷载矢量是由外部施加的荷载和边界条件共同决定的，在推导单元方程的过程中需要将这些荷载转化为局部坐标系下的形式，并利用位移矢量的表示方式，将荷载矢量表达为位移矢量和未知系数的线性组合。
5.4 单元方程的组装需要将单元刚度矩阵、位移矢量和荷载矢量组装成完整的单元方程，可以通过坐标变换或者有限元单元之间的关系对单元方程进行组装。
有限元考试复习资料(华东交通大学)
有限元考试复习资料（含习题答案）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3.什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4.什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5.何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
①优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
《有限元分析基础教程》（曾攀）笔记二-梁单元有限元方程推导
《有限元分析基础教程》（曾攀）笔记⼆-梁单元有限元⽅程推导不得不说，Mathematica 真是个好东西，以前学习有限元的时候，对于书中的⽅程推导，看到了就看过去了，从没有想过要⾃⼰推导⼀遍，原因是⼿⼯推导太复杂。
有了MM ，原来很复杂的东西突然变得简单了。
1.单元⼏何描述上图是纯弯梁单元，长度l ，弹模E ，⾯积A ，惯性矩I 。
两个节点1和2的位移列阵为q e =[v 1,θ1,v 2,θ2]Tv 是挠度(defection)，或者叫位移；θ是转⾓(slope)。
需注意的是v 和θ的⽅向，⼀个是向上，⼀个是逆时针。
两个节点的节点⼒矩阵为P e =[P v 1,M 1,P v 2,M 2]T当然实际情况往往是在梁的长度⽅向上作⽤有荷载，⽽不是只在节点处有，这时就要进⾏荷载等效，后⾯会有说明。
注意这两个矩阵都是列矩阵。
需要注意的是，节点⼒矩阵表⽰的的是节点上的所有的⼒，不仅包括荷载引起的等效节点⼒，还包括节点的反⼒，反⼒矩等。
2.单元位移场表达由于有4个位移节点的已知条件，那么假设纯弯曲梁单元的位移挠度函数具有四个待定系数，如下形式v (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3对于两端节点，位移和转⾓分别为v 1,θ1,v 2,θ2，注意挠曲线⽅程在⼀点出的导数值即为改点的转⾓，所以四个边界条件为v (0)=v 1v ′(0)=θ1v (L )=v 2v ′(L )=θ2使⽤MM 求解⽅程组将求得的待定系数带⼊原⽅程，可得将四个位移合并同类项，可以得到即最终的挠曲线⽅程vfea 为 vfea =θ1x 3L 2−2x 2L +x +θ2x 3L 2−x 2L +v12x 3L 3−3x 2L 2+1+v23x 2L 2−2x 3L 3如果令ζ=x L ，上式中位移前的系数组成的矩阵称之为形函数矩阵，也就是常说的形函数。
即v (x )=N (x )q e 3.单元应变场，应⼒场的表达应变的表达式为ε=−yv ″其中B(x)=-yN''(x)，B(x)叫做单元的⼏何矩阵，表⽰应变与位移的⼏何关系。
2013有限元单元刚度矩阵(10-27讲课用
ci = xm − x j
其中 2 A = 1 x j 1 xm
1 u = [(ai +bx i +c i y)u i +(aj +bj x +cj y)uj +(a m +b mx +c my)um] 2A
1 v= [(ai +bx i +cy i )v i +(aj +bx j +cj y)vj +(a m +b mx+c my)v m] 2A
5
2-2 平面问题的常应变（三角形）单元
六个节点位移只能确定六个多项式的系 三结点三角形单元数，所以平面问题的3节点三角形单元的位 移函数如下，
6/14/2013
u = α1 + α 2 x + α 3 y ⎫ ⎬ v = α4 + α5 x + α6 y ⎭
该位移函数，将单元内部任一点的位移设 定为坐标的线性函数，该位移模式很简 α1 ~ α 6 单。其中 为广义坐标或待定系数， 可据节点i、j、m的位移值和坐标值求出。
´
⎧ ∂u ⎫ ⎡∂ ⎪ ⎢ ∂x ∂x ⎧ εx ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ v ε ε = = { } ⎨ y⎬ ⎨ ⎬=⎢ 0 ∂y ⎪γ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ xy ⎭ ⎪∂u + ∂v ⎪ ⎢ ∂ ∂x ⎭ ⎣ ∂y ⎩ ∂y
⎤ 0 ⎥ ⎡ Ni ∂ ⎥ ∂y ⎥ ⎢ 0 ⎥⎣ ∂ ⎥ ∂x ⎦
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤⎪ ⎪u j ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ Nm ⎥ ⎦ ⎪vj ⎪ ⎪um ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ vm ⎭
有限元
但在 23 边两端节点仅有二个节点法向导数值，不能唯
一确定 的二次函数，它与单元另一个节点 1 处的变
形有关。
2.2单元刚度矩阵
• 与上节矩形板弯曲单元的推导过程一样，单元刚度矩阵［k］的 计算公式是
• 式中
（2.7）
考虑到
式中
为常数矩阵，上式可改写为
（2.8）
式中
• 根据面积坐标求导公式
• 和
确定。由此证明，相邻单元在共同边界上位移连续， 在单元边界上由于法向
导数是 y(或 x)的三次多项式，而边界两端的两个节点上仅已知两个法向导数，
不能维一确定法向导数，故相邻单元在共同边界上法向导数不连续。
• 将节点坐标 1(-a,-b),2(a,-b),3(a,b),4(-a,b)代入挠度表达式(1.2)及其转 角表达式 中，列出各节点挠度值及转角值与待定系数
• 等等，代回(2.9)式得
（2.11）
左侧小孔固定 右侧小孔下侧受 压力作用
这是一个直角 支架的结构静 力分析的例子
ANSYS中支 架计算模型
ANSYS中计算 模型的网格划 分图
支架应力
彩图
• 及(1.9)式，得内力列阵
（1.14）
式中 为内力矩阵。弹性矩阵 见上页式，
见(1.8)式。 。再由(1.14)
求解线性方程组，就可得到单元节点位移列阵
式求出内力列阵
有 x、y坐标变量，因此内力列阵 有关。
。值得指出的是， 矩阵内含
与计算点的坐标值 x、y
有了计算点(x,y)处的内力列阵，就可计算该处的应力列阵 ｛σ｝，考虑到在板表面 处有最大应力，因此
是保证刚体运动条件所必需的，中间三项
是保证常曲
有限元基础讲解
有限元基础讲解
有限元分析是一种工程数值分析方法，用于解决复杂结构的力学问题。
它将结构划分为有限数量的小单元，通过对这些小单元进行数值计算，得到整个结构的力学行为。
有限元分析的基本步骤包括：
1. 离散化：将结构划分为有限数量的小单元，如三角形、四边形、六面体等。
每个小单元具有一些自由度，用于描述该单元的位移、应力等信息。
2. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，计算每个小单元的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了小单元受力和位移之间的关系。
3. 组装全局刚度矩阵：将所有小单元的刚度矩阵组装成整个结构的全局刚度矩阵。
这个过程涉及到将小单元的自由度与整个结构的自由度进行匹配。
4. 施加边界条件：确定结构的边界条件，如固支、受力等。
将这些边界条件转化为对应的约束条件，将其应用于全局刚度矩阵中。
5. 求解方程：将约束条件应用于全局刚度矩阵，得到未知位移的方程。
通过求解这些方程，可以得到结构的位移、应力等信息。
6. 后处理：根据求解结果，进行后处理分析。
可以计算结构的应力、变形、位移等，并进行可视化展示。
有限元分析的优点包括可以处理复杂的几何形状和边界条件，具有较高的计算精度和灵活性。
但也存在一些限制，如需要对结构进行合理的离散化、需要大量的计算资源等。
单元刚度矩阵建立的两种方法
单元刚度矩阵推导的两种方法：
一拉伸杆，长度为l ，截面积为A ，弹性模量为E ,在杆端力F 作用下，杆端产生位移为∆，求F 和∆的关系。
1 结构力学方法：
平衡条件 F A =σ A
F =σ 几何关系 l
∆=ε 物理关系 εσE =
由以上三式可得 l
E E A
F ∆===εσ
所以得节点力和节点位移之间的关系
2 利用插值函数及虚位移原理：
假设单元的位移函数，当单元很小时，往往可以取线性分布，即 b ax u +=
式中的参数，由节点位移来决定：
0=x ， 0=u ， 得0=b
l x =， ∆=u ， 得l
a ∆= 由位移的微分可得应变：
l
a dx
b ax d dx du ∆==+==)(ε 物理关系 εσE =
节点力和节点位移之间的关系由虚位移原理求得：
22
00∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆===∆⎰⎰l EA Al l E Adx E Adx F l l εεσε 同样得到：。
有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵资料
x)
(
x (
l
2 l
)(x )(l)
l
)
u1
(
x
0)(x l(l )
l 2
)
u2
(x (l
0)(x )( l )
l)
u3
2
2
22
令 N1 (2 1)( 1) 212 1 N2 2 2 222 2 N3 4 (1 ) 412
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
●一次三角形单元
●面积坐标与直角坐标的关系
11 1
(1) 1 x 2
x2
x3
y y2 y3
11 1
(2) 1 x 2
x3
x1
y y3 y1
11 1
(3) 1 x 2
x1
x2
y y1 y2
三、二维单元及其单元刚度阵
1.三角形单元
●一次三角形单元
●面积坐标与直角坐标的关系
1
PA2 A3 A1 A2 A3
二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为 题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐 标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种 平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一 次和二次三角形单元以及一次四边形单元。
1.三角形单元
三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。
●一次三角形单元
第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标 的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角 形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。
y A5
A3 G A4
A1 A6
A2
o
x
有限元第4章刚度矩阵方程的处理
k122(F2k21x1(1)
k23x3(1))
x(2) 3
k133(F3k31x1(1)
k32x2(1))
如果不断重复上述计算方法，便可得出第r次近似值，继续进行一直到所得结果满 足要去为止。
通常用相邻二次迭代所得近似值之差是否小于某一预先选定的值
xi(r) xi(r)xi(r1)
max|
x(r) i
(2)迭代法
k111k122k133F 1 k2 11k2 22k2 33F 2
k3 11k3 22k3 33F 3
1F 1 k 1 22 k 1 33/k 1 1
2 F 2 k 2 11 k 2 33/k 2 2
3 F 3 k 3 11 k 3 22/k 3 3
F (1) 2
k (1) 22
其它各行元素为
k(2) ij
k(1) ij
ki(22)
k(1) 2j
k212
第l次消元时，第l行各元素为
F(2) i
F(1) i
ki(21)
F(1) 2
k(1) 22
(l 1)
k ( 1 )
lj
k lj
(l 1)
k ll
其它各行元素为
(l1)
k (l)
(l1) (l) lj
F2 Fn
k 1 1 d 1 k 1 2 d 2 ... k 1 n d n F 1 k 2 1 d 1 k 2 2 d 2 ... k 2 n d n F 2
k n 1 d 1 k n 2 d 2 ... k n n d n F n
由于刚阵都是正定矩阵，即矩阵各主子阵有
k11 0
可以先估计一下方程组的一组近似值，如果没有较好的初始估计值，可以假设 为零，即：
有限元法的直接刚度法杆单元
0i
0uj
（2-65）
f jj
0 0
0 0
0 0
s in
0
cos
0
10vjj
2.2 平面刚架的有限元分析
上式写成分块形式为
i'j'
e
0
0i e
j
或简写为
'eTee
（2-66） （2-67）
e 其中：T e ——单元 的坐标变换矩阵，描述局部坐标系和整体坐标系
下 阵节 具点 有位相移同分的量形之式间，的 见变 式换 （关2-6系8）。，对只于是不同的角单不元同，。单元坐标变换矩
2 cos1 s in1 0 0
f2
s in1
cos1
0
0
0 0u2
0
0v2
Hale Waihona Puke 210 00 0
10
0 cos1
0
s in1
00u12
（2-70）
f1
0
1 0
0
0
s in1
cos1
0v1
00 0
0 11
2.2 平面刚架的有限元分析
在前面的推导中，若把节点位移都换成节点力，同理可得节点力
K' e KKi''jeeii
K'e ij
K'e jj
（2-60）
将局部坐标系下平面刚架单元的单元刚度矩阵的通用公式应用于
I l 每一个单元，即把每一个单元的参数 E 、 、 、 A 代入
式（2-59），即得到该单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵。
2.2 平面刚架的有限元分析
2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换
材料力学的知识已知，在线弹性范围内，轴向拉压杆的轴向变形与轴