矩形波导中波模截止频率

rr 2E k2E 0
E 0
nr

r E

0
区域里 边界上
rr 2E k2E 0
2u k 2u 0
u(x, y, z) : Ex , Ey , Ez
四、矩形谐振腔电磁波模
直角坐标，电场（磁场）任一分量满足： z
2u k 2u 0 k2 @2
vv D2 D1



nv1

vv B2 B1
0
理想导体边界条件（内部电磁场为零）
理想导体１
rr E1 H1 0
E２rr2真nr空Err或, 介质nvnvHEvv

0
v
H2 H
电场垂直于（理想）导体表面 磁场平行于（理想）导体表面
导体边界的电磁波方程
§4.4 谐振腔和波导
cavity resonator and Wave Guide
-- 谐振腔 -一．有界空间中的电磁波
1．无界空间中横电磁波（TEM波） TEM波：电场和磁场在垂直传播方向上振动的电磁波。
平面电磁波在无界空间中传播时就是典型的TEM波。
2．有界空间中的电磁波――边值问题 金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因此，若空
分离变量，令u x, y, z X (x)Y(y)Z(z)
L3
d2X

dx2

k
2 x
X
0
d 2Y

dy
2

k y2Y

0
d 2Z

dz 2

k
2 z
Z

0
O
y
L1
L2
x kx2

k
2 y

kz2

k2
导体构成边界的正六面腔体
通解：u x, y, z C1 cos kxx D1 sin kxx
L1
L2
fmnp
mnp 2
f min

f110

2
1

x
1 L1 2 1 L2 2
L3
y
L1
L2
Ez


0
kE 0
mnp

2
k
源自文库
2[( m )2 ( n )2 ( p )2 ]1/2
L1
L2
L3

k L1 ex L2 e y
max
Ex A1 cos kx x sin ky y sin kz z Ey A2 sin kx x cos ky y sin kz z Ez A3 sin kx x sin ky y cos kz z
z
L3
O
y
L1
L2
x
Ex x xL1 0 Ex yL2 0 Ex zL3 0 Ey xL1 0 Ey y yL2 0 Ey zL3 0 Ez xL1 0 Ez yL2 0 Ez z zL3 0
k
( m )2 ( n )2 ( p )2 本征模式的频率
L1
L2
L3 是分立的
截止频率（最低频率）
z mnp

( m )2 ( n )2 ( p )2
L1 v L2
L3
如果 L1, L2 L3
E
min 110 =

( 1 )2 ( 1 )2
Ez A3 s in(m x / L1) sin(n y / L2 ) cos( p z / L3)
r
rr
在整个腔内： E 0 k A 0
kx A1 ky A2 kz A3 0
mn
p
L1
A1
L2
A2
rL3
A3
0
本征模：
(m, n, p, A)
腔模
mnp
间中的良导体构成电磁波存在的边界，特别是若电磁波在中 空的金属管中传播，金属边界制约管内电磁波的存在形式。 在这种情况下，亥姆霍兹方程的解不再是平面波解。 以介质或金属为边界构成的有限区域中的电磁波运动模式 例:金属空腔、平形镜面、介质微腔 电磁波怎样分布？是否存在TEM波？
二、理想导体边界条件
定态情况下，散度方程是冗余的
r H
区域里 边界上
三．谐振腔
低频电磁波
LC 回路振荡器
1 频率越高，辐射损耗越大，焦耳热损耗越大
LC
趋肤效应，电磁能量大量损耗;
L、C 越小，电容电感不能集中分布电场和磁场，
向外辐射。
高频振荡电磁波 谐振腔：由几个金属板或反射镜（光学）构成。
例: 金属空腔、平形镜面、介质微腔
谐振腔基本问题：
C2 cos ky y D2 sin ky y
C3 cos kz z D3 sin kz z
诸C、D为常数
矩形谐振腔驻波解
Ex x x0 0 Ex y0 0 Ex z0 0 Ey x0 0 Ey y y0 0 Ey z0 0 Ez x0 0 Ez y0 0 Ez z z0 0
2
~L
( 1 )2 ( 1 )2



v E


v H

v B
vt D t
v
iB
v
v
J iD

v J
电荷守恒
v


D v


B 0
边界条件
nv1
vv E2 E1
0
nv1
vv H2 H1
v
nv1
对真空（均匀介质）电磁波方程（Helmholtz）
vv 2E k2E 0
v E 0
k2 @2
导体边界条件

EP

0

En n
0
其它物理量的获取
电场的平行分量为零
电场的垂直分量法向导数为零
v E 0
v B


i
v E

v

nv
kx

m L1
ky

n L2
kz

p L3
m、n、p 为整数
电场各分量的 m、n、p，每一组表示一种本征模式
矩形谐振腔波模性质
Ex A1 cos(m x / L1) sin(n y / L2 ) sin( p z / L3)
Ey A2 sin(m x / L1) cos(n y / L2 ) sin( p z / L3)
v H
v H

1
v B



nv
v D
vv
D E
理想导体为边界的边值问题 谐振腔
nr

r E

0,
r n

r H

r
谐振腔基本问题： （理想导体为边界的边值问题 ）
rr 2E k2E 0
区域里
E 0
nr

r E

0
边界上
r B

i
r E
r r
H B/
r

nr