《理论力学》第七章点的合成运动习题解

2v v e =1v v =ABr v v =04545v r =NBC.第七章 点的合成运动习题解[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。

求在B 车上观察到的Ａ车的速度。

解： 动点：A 车。

动系：固连于B 车的坐标系。

静系：固连地面的坐标系。

绝对运动：动点A 相对于地面的运动。

相对运动：动点A 相对于B 车的运动。

牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点，即牵连点相对于静系（地面）的运动。

当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。

2v v e =。

由速度合成定理得：→→→+=r e v v v 。

用作图法求得：h km v v AB r /40== （↑）故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。

[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。

问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。

动系：固连在流水上。

静系：固连在岸上。

绝对运动：岸上的人看到的船的运动。

相对运动：船上的有看到的船的运动。

牵连运动：与船相重合的水体的运动。

绝对速度：未知待求，如图所示的v 。

相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。

牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。

由速度合成定理得：→→→+=re v v vv r1=NBsm /2sm v e /1=v)/(118.115.02222s m v v v r e =+=+=435.635.01arctanarctan===er v v θ)(50021000tan 1000m AC ===θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。

如图所示，Ａ为出发点，Ｂ为靠岸点。

渡河所花的时间：秒分4016)(1000/110001===s sm m t（２） 03015.0arcsinarcsin===re v v α)/(866.05.012222s m v v v e r =+=-=即船头对准方向为北偏西030 渡河所花的时间：秒分1519)(1155/866.010002===s sm m t[习题7-3] 播种机以匀速率s m v /11=直线前进。

种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度s m v /22=。

求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间水平距离。

解： 动点：种子。

动系：固连于输种管的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。

相对速度：s m v v r /22== 牵连速度：s m v v e /11==→→→+=r e v v v)/(65.2120cos 21221022s m v =⨯⨯-+=120sin 65.2)60sin(1=-θ07.1965.2120sin arcsin60==-θ93.40=θ即→v 与→1v 之间的夹角为093.40=θ。

种子走过的水平距离为：t v t v s x ⋅==θcos221gt t v h y += 221sin gt t v h +=θ28.95.093.40sin 65.225.0t t ⨯+= 025.0736.19.42=-+t t ⎩⎨⎧-=±-=⨯-⨯⨯-±-=不合舍去）)((464.0)(11.08.9813.2736.19.42)25.0(9.44736.1736.12s s t )(22.011.093.40cos 65.20m s =⨯⨯=[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为s m v /41=，其方向与铅直线成30角。

设传送带Ｂ与水平面成015角，其速度为s m v /22=，求此时砂石料对于传送带Ｂ的相对速度。

又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B 带垂直。

解：动点：砂石料。

动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：砂石料相对于地面的速度，s m v v /41==。

相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。

牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：s m v v e /22==→→→+=r e a v v v)/(98.375cos 42242022s m v r =⨯⨯-+=e Aa v v =vev 当B r v v ⊥时，传送带Ｂ的速度为：)/(04.115sin 415sin 0s m v v a B ===[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成α角。

杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度v 向右运动，求活塞Ｂ的速度。

解： 动点：Ａ。

动系：固连于凸轮上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。

相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。

牵连速度：凸轮相对于地面的速度。

→→→+=r e a v v vαtan v v A =因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为： αtan v v v A B ==[习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长r OA =的曲柄，以匀角速度ω绕Ｏ轴转动。

装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成060角。

求当曲柄与水平线的夹角ϕ分别为00、030、060时，杆ＢＣ的速度。

解： 动点：Ａ。

a90BCOaevC动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。

动系平动，BCCBDEAvvv==静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度。

相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。

牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。

→→→+=reavvvωrva=0120sin)90120180sin(aBCvv=+--ϕ0120sin)30sin(ϕϕrvBC=-ωϕrvBC⋅-=120sin)30sin(ωωωϕrrrvBC332321120sin)30sin(|-=-=⋅-==负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。

120sin)3030sin(|300=-==ϕBCv，此时往复运动改变方向。

ωωωϕrrrvBC332321120sin)3060sin(|600==⋅-==，向右。

[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。

在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω０＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。

解：动点：C。

动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

av ev rv A3090绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。

相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。

牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。

)/(231.05.030cos 4.00s m OC v e =⨯=⋅=ω→→→+=r e a v v v )/(267.030cos2.030cos 02s m v v e a ===75.0/2.01===ωr v v AB a)/(33.505.075.0/2.0/267.011s rad r ===ω即齿轮的角速度为s rad /33.51=ω[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长l ，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。

已知在图所示位置 ＯＡ⊥ＯＯ１，l AB 2=，求该瞬时ＢＣ杆的速度。

解： 动点：Ａ。

动系：固连于D O 1杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度，0ωl v a =。

相对速度：Ａ相对于D O 1杆的速度。

牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。

→→→+=re a v v v002130sin ωl v v a e == 01211ωωl A O v D O e =⋅=02121ωωl l D O =⋅0411ωω=D O动点：Ｂ。

avrv Beav rvaa n 动系：固连于D O 1杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。

相对速度：Ｂ相对于D O 1杆的速度。

牵连速度：D O 1杆相对于地面的速度。

→→→+=r e a v v v0014141ωωωl l B O v D O e =⨯=⋅=000155.1866.030cos ωωl l v v e a ===BC 作平动，故0155.1ωl v v a BC ==[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ２。

凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。

设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。

解：动点：Ｂ。

动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。

相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。

牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。

→→→+=r e a v v v凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。

A e v v =)/(23.1039360030cot 30cot 0s mm v v v v v A e a B BC ======)/(12006002230sin 0s mm v v v e e r =⨯===→→→→→→++=+=τr n re r e a a a a a a aeCv rv ra aa ea 上式在x 轴上的投影为：nr e a a a a -=030cos 60cosrv a aa a r e n re a 22323⋅-=-=)/(4.8214300)1200(2800732.122s mm a a -=⨯-⨯=，负号表示方向向下。

[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。

ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。

求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。

解：动点：Ｃ。

动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。

相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。

牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。

→→→+=r e a v v v)/(20021001s mm A O v v v A C e =⨯=⋅===ω )/(1005.020060cos 0s mm v v e a =⨯==)/(100s mm v v v a C CD ===→→→+=r e a a a aA e a a = 0=τe a)/(4002100222112s mm A O AO vaa n ee =⨯=⋅===ω)/(4.346866.040060sin 2s mm a a e a =⨯==)/(4.346s mm a a a a C CD ===[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。