圆锥体积公式的推导PPT
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55
想一想、填一填：
把圆柱体切割拼成近似（ ），它们
的（ ）相等。长方体的高就是圆柱体的
（ ），长方体的底面积就是圆柱体的
(
)，因为长方体的体积=( 底面积×高
),所以圆柱体的体积=（底面积×高）。用
字母“V”表示（ ），“S”表示
（
），“h”表示（ ），那么，圆柱
体体积用字母表示为（ ）
56
圆柱体积＝底面积×高
d 2
2
h
C
2
2
h
168
巩固练习
练习1
1、求下面各圆锥的体积。 (2)底面半径是2 厘米，高3厘米。 (3)底面直径是6分米，高6分米 。
1 2 3 主16页9
巩固练习
练习2
2、求下面各圆锥的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
7
8 10
3
1 2 3 主17页0
思 考：
1、一个圆锥与一个圆练柱习等底3等好高， 已知圆锥的体积是 8 立方米， 圆柱的体积是（ 24立方米 ）。
1 3
4、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面 积也相等，那么圆锥高是圆柱高的3倍。
172
判断：
1、圆柱体的体积一判定比断圆锥体的体积大（× ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
。
（）
√
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
（× ）
4、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的
圆锥体积
166
选择笔练：
S=3.14平方米 R=1米 D=2米 C=6.28米
H=3米 H=3米 H=3米 H=3米
167
想一想、填一填：
把圆柱体切割拼成近似（ ），它们
的（ ）相等。长方体的高就是圆柱体的
（ ），长方体的底面积就是圆柱体的
(
)，因为长方体的体积=( 底面积×高
),所以圆柱体的体积=（底面积×高）。用
字母“V”表示（ ），“S”表示
（
），“h”表示（ ），那么，圆柱
体体积用字母表示为（ ）
56
圆柱体积＝底面积×高
d 2
2
h
C
2
2
h
168
巩固练习
练习1
1、求下面各圆锥的体积。 (2)底面半径是2 厘米，高3厘米。 (3)底面直径是6分米，高6分米 。
1 2 3 主16页9
巩固练习
练习2
2、求下面各圆锥的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
7
8 10
3
1 2 3 主17页0
思 考：
1、一个圆锥与一个圆练柱习等底3等好高， 已知圆锥的体积是 8 立方米， 圆柱的体积是（ 24立方米 ）。
1 3
4、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面 积也相等，那么圆锥高是圆柱高的3倍。
172
判断：
1、圆柱体的体积一判定比断圆锥体的体积大（× ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
。
（）
√
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
（× ）
4、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的
圆锥体积
166
选择笔练：
S=3.14平方米 R=1米 D=2米 C=6.28米
H=3米 H=3米 H=3米 H=3米
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圆柱圆锥体积公式推导课件
圆柱的参数
底面半径（r）、高（h） 。
圆柱体积公式的推导过程
圆柱体积公式推导
利用微积分的知识，将圆柱底面 分割成无数个小的扇形，再将这 些扇形旋转成无数个小的圆柱体 ，求和得到圆柱的体积。
圆柱体积公式
V=πr²h，其中π是圆周率，r是底 面半径，h是高。
圆柱体积公式的应用
计算圆柱的体积
通过已知的底面半径和高 ，代入公式计算圆柱的体 积。
对圆柱圆锥体积公式的思考与探索
公式推导的局限性
01
公式推导过程中采用了微积分的方法，对于初学者来说可能存
在理解上的困难。
实际应用中的注意事项
02
在计算体积时，需要注意单位的一致性，以及在计算过程中避
免出现计算错误。
探索与拓展
03
可以尝试将圆柱和圆锥的体积公式应用到其他领域，如建筑设
计、机械制造等，以解决实际问题。
圆锥形烧杯
在物理实验中，圆锥形烧杯常用于测量液体的体积和密度等参数。
05 总结与思考
对圆柱圆锥体积公式的总结
圆柱体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高 。
圆锥体积公式
推导过程
通过将圆柱或圆锥分割成若干个小的 长方体或正方体，然后分别求出每个 小体的体积，再求和得到总体积。
V = (1/3)πr²h，其中r是底面半径，h 是高。
解决实际问题
在工程、建筑、地质等领域中，经常需要计算圆锥形物体的 体积，如土堆、矿山的体积等。
03
圆柱圆锥体积公式的比较与联 系
圆柱与圆锥的体积公式比较
圆柱体积公式
V₁=πr²h₁
圆锥体积公式
V₂=1/3πr²h₂
比较结果
从公式中可以看出，圆锥的体积是相应圆柱体积的1/3。
圆锥的体积公式推导
圆柱
圆锥的 认识
圆锥体积 的计算
圆锥
圆 柱 和
圆 锥
圆柱的特征：
1.有两个底面：面积相等
2.一个侧面：
宽高
底长面周长
圆锥的特征：
h
侧面展开
扇形
底面
圆形
从圆锥的顶点到底面圆心的 距离叫做圆锥的高。
基 本 圆柱侧面积= 底面周长×高 公 圆柱表面积= 侧面积＋底面积×2 式
圆 柱 体积= 底面积×高
选择题
1.把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是圆
柱体积的（ ）E ，圆柱体积是圆锥体积的（ ）D，
削去部分体积是圆锥体积（ C）。削去部分体积是
圆柱体积的（ ）A 。
A -- 2 B -- C1 2倍 D 3倍 E
1
3
2
3
2.有两个底面半径相等的圆柱，高的比是3：5，体积的
比是（ ）A 。
A 3：5 B 5：3 C 9：25 D 25：9
回答下面的问题，并列出算式： 一个圆柱形无盖的水桶，底面半径10分米，高20分米。
1.给这个水桶加个箍，是求什么？
底面周长
2×3.14×10
２.求这个水桶的占地面积，是求什么？ 底面积
3.14×102
３.做这样一个水桶用多少铁皮，是求什么？ 表面积
2×3.14×10×20＋ 3.14×102
４.这个水桶能装多少水，是求什么？ 容积
C、侧面积和高都相等
D、侧面积和高都不相等
5.如下图,有三块不同的硬纸片, 让它们分别绕PQ边旋转一周, 它们所掠过的空间是圆锥体的 是( B )。
P
B
P
AP
Q
C
Q
Q
6.一个圆锥的体积是a立 方米，和它等底等高的圆 柱体的体积是（ C ） 立方米。
圆锥的 认识
圆锥体积 的计算
圆锥
圆 柱 和
圆 锥
圆柱的特征：
1.有两个底面：面积相等
2.一个侧面：
宽高
底长面周长
圆锥的特征：
h
侧面展开
扇形
底面
圆形
从圆锥的顶点到底面圆心的 距离叫做圆锥的高。
基 本 圆柱侧面积= 底面周长×高 公 圆柱表面积= 侧面积＋底面积×2 式
圆 柱 体积= 底面积×高
选择题
1.把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是圆
柱体积的（ ）E ，圆柱体积是圆锥体积的（ ）D，
削去部分体积是圆锥体积（ C）。削去部分体积是
圆柱体积的（ ）A 。
A -- 2 B -- C1 2倍 D 3倍 E
1
3
2
3
2.有两个底面半径相等的圆柱，高的比是3：5，体积的
比是（ ）A 。
A 3：5 B 5：3 C 9：25 D 25：9
回答下面的问题，并列出算式： 一个圆柱形无盖的水桶，底面半径10分米，高20分米。
1.给这个水桶加个箍，是求什么？
底面周长
2×3.14×10
２.求这个水桶的占地面积，是求什么？ 底面积
3.14×102
３.做这样一个水桶用多少铁皮，是求什么？ 表面积
2×3.14×10×20＋ 3.14×102
４.这个水桶能装多少水，是求什么？ 容积
C、侧面积和高都相等
D、侧面积和高都不相等
5.如下图,有三块不同的硬纸片, 让它们分别绕PQ边旋转一周, 它们所掠过的空间是圆锥体的 是( B )。
P
B
P
AP
Q
C
Q
Q
6.一个圆锥的体积是a立 方米，和它等底等高的圆 柱体的体积是（ C ） 立方米。
圆锥体积的推导公式
圆锥体积的推导公式
圆锥体积是指一个以圆锥为形状的立体图形的体积大小，其公式的推导如下：
设圆锥的底面半径为r，高为h，那么圆锥可以看做是许多个高为h，底面半径为x的小圆柱体拼接而成。
因此，圆锥的体积可以近似为这些小圆柱体的体积之和，即：
V ≈ ΣV（小圆柱体）= Σ(πx²h)
将小圆柱体的底面半径x与圆锥的高h联系起来，根据勾股定理可得：
x² + h² = r²
解出x，得：
x = √（r² - h²）
将x代入圆锥的体积公式中，即可得到圆锥体积的推导公式：
V = 1/3 πr²h
其中，1/3是由小圆柱体的高度与圆锥高度的比值（h：3h）所得出的。
圆锥体积公式的推导3
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
假设左图为 一个长方体。
假设左图为 一个长方体。 底面是一个
正方形。
假设左图为 一个长方体。 底面是一个 正方形。 高的长度是 底边的2倍 取它的中心。
******
3. PowerPoint自动切换到视频属性设 置状态，执行“插入剪辑/Windows视频” 命令，将事先准备好的视频文件插入到幻 灯片中。
也就是
兀r²×h/n ×(n-1/n )²
等同于
兀r²×h×1/n ×(n-1/n )²
参考刚才我们算出的结果，我们得出：
圆锥体积=兀r²×h×1/n ×[(n/n)²+ (n-1/n )²+(n-2/n )² +…… +(1/n )²] =兀r²×h×1/n³×[ 1²+ 2²+…… (n-2)²+(n-1)²+n²]
• 这种方法是将视频文件作为对象插入到幻 灯片中的，与以上两种方法不同的是，它可 以随心所欲地选择实际需要播放的视频片段， 然后再播放。实现步骤为：
• 1. 打开需要插入视频文件的幻灯片，单击 “插入/对象”命令，打开“插入对象”对话 框。
• 2. 选中“新建”选项后，再在对应的“对象 类型”设置栏处选中“视频剪辑”选项，单 击[确定]按钮。
******
• 6. 为了让插入的视频文件更好地与幻灯片 组织在一起，还可以修改“属性”设置界面 中控制栏、播放滑块条以及视频属性栏的位 置。
• • 7. 在播放过程中，可以通过媒体播放器中
的[播放]、[停止]、[暂停]和[调节音量]等按钮 对视频进行控制。
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
假设左图为 一个长方体。
假设左图为 一个长方体。 底面是一个
正方形。
假设左图为 一个长方体。 底面是一个 正方形。 高的长度是 底边的2倍 取它的中心。
******
3. PowerPoint自动切换到视频属性设 置状态，执行“插入剪辑/Windows视频” 命令，将事先准备好的视频文件插入到幻 灯片中。
也就是
兀r²×h/n ×(n-1/n )²
等同于
兀r²×h×1/n ×(n-1/n )²
参考刚才我们算出的结果，我们得出：
圆锥体积=兀r²×h×1/n ×[(n/n)²+ (n-1/n )²+(n-2/n )² +…… +(1/n )²] =兀r²×h×1/n³×[ 1²+ 2²+…… (n-2)²+(n-1)²+n²]
• 这种方法是将视频文件作为对象插入到幻 灯片中的，与以上两种方法不同的是，它可 以随心所欲地选择实际需要播放的视频片段， 然后再播放。实现步骤为：
• 1. 打开需要插入视频文件的幻灯片，单击 “插入/对象”命令，打开“插入对象”对话 框。
• 2. 选中“新建”选项后，再在对应的“对象 类型”设置栏处选中“视频剪辑”选项，单 击[确定]按钮。
******
• 6. 为了让插入的视频文件更好地与幻灯片 组织在一起，还可以修改“属性”设置界面 中控制栏、播放滑块条以及视频属性栏的位 置。
• • 7. 在播放过程中，可以通过媒体播放器中
的[播放]、[停止]、[暂停]和[调节音量]等按钮 对视频进行控制。
圆锥的体积公式的推导 ppt课件
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想一想:
圆柱变成圆锥的过程中， 什么没有变化？
ppt课件
73
自学指导（二）： 圆柱和圆锥等底等高的情况下，体积有什么样的关系？
ppt课件
74
自学指导（二）： 圆柱和圆锥等底等高的情况下，体积有什么样的关系？
ppt课件
75
自学指导（二）： 圆柱和圆锥等底等高的情况下，体积有什么样的关系？
ppt课件
76
自学指导（二）： 圆柱和圆锥等底等高的情况下，体积有什么样的关系？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没 有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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自学指导（二）： 圆柱和圆锥等底等高的情况下，体积有什么样的关系？
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圆锥体积计算的推导
圆锥体积计算的推导圆锥的体积计算公式的推导基于两个关键概念：相似三角形和圆的体积。
相似三角形两个三角形称为相似三角形，当它们具有相同的形状，但大小可能不同。
相似三角形的对应边成比例。
在圆锥中，沿圆锥高度切开的平面会产生一个圆扇形，其底边与圆锥底面平行。
与圆锥体轴线形成的三角形与其顶点在圆锥顶点的三角形相似。
圆的体积圆的体积由公式V = (4/3)πr³给出，其中 V 是体积，π 是圆周率（约为 3.14），r 是圆的半径。
推导步骤1. 圆扇形的体积：将圆扇形视为圆锥内的圆锥部分。
其体积由公式 V =(1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)，其中 V 是体积，h 是圆扇形的高度，r₁和 r₂是底面半径。
2. 相似三角形：注意到沿圆锥高度切开的三角形的底边与圆锥底面平行，根据相似三角形，有：r₁/r₂ = h/H其中 r₁和 r₂是圆扇形底面半径，h 是圆扇形高度，H 是圆锥高度。
3. 代入并简化：将相似三角形的关系代入圆扇形体积公式中：V = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)= (1/3)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)= (1/3)πh(r + r)²= (1/3)πh(r)²其中 r = r₁ + r₂是圆锥底面半径。
4. 圆锥体积：圆锥由无限多个圆扇形组成，因此其体积等于圆扇形体积的总和：V = (1/3)πhr² n其中 n 是圆锥中圆扇形的数量。
当圆锥高度趋于无穷大时，圆扇形的数量也趋于无穷大。
因此，n 趋于无穷大，并且 V 趋于：V = lim (n→∞) (1/3)πhr² n= (1/3)πhr² ∞= (1/3)πhr²H其中 H 是圆锥高度。
这就是圆锥体积计算公式V = (1/3)πr²h，其中 V 是体积，π 是圆周率，r 是圆锥底面半径，h 是圆锥高度。
圆锥体积公式推导过程
圆锥体积公式推导过程
设圆锥高H，底面半径为R，底面积S=πR^2。
用平行于底面的平面把它切成n片，则每片的厚度为H/n。
可把每片近似看做底半径为k/nr的圆柱。
其体积为（πk/nr）^2h/n，对k=1到n求和得：
S=πR^2H（1/6/n^3）n（n+1）（2n+1）
令n=无穷大，则S=1/3πR^2H
也可以用实验法；
其实很简单。
任何物体的体积都离不开底面积×高的求法
圆柱的体积公式是V=Sh那么与它等底等高的圆锥的体积是多少呢？
把与它等底等高的圆锥装满水，倒进圆锥体里，你可以发现倒3次才能倒满圆柱。
所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一。
所以：圆锥的体积就是V=1/3Sh三分之一乘底面积乘高。
圆锥的体积公式的推导
第80页/共109页
你发现了吗?
圆柱和圆锥等底等高的情况下，体积有什么样的关系？
圆柱的体积是与它 等底圆等锥高
体积的 倍. 3
第81页/共109页
自学指导（三）：
• 等底等高的条件下，探究圆鼓锥起勇的气体，勇积于探公索式
第82页/共109页
第83页/共109页
圆柱体积＝底面积 高
第84页/共109页
第10页/共109页
圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
第11页/共109页
圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
第12页/共109页
圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
第13页/共109页
圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
第14页/共109页
圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
第15页/共109页
4、一个圆锥的底面积是12平方厘米，高 是6厘米，体积是（第12024页/共109页）立方厘米。
二、判断：
1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
（√ ）
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
（× ）
4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的体积 是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（ √ ）
13×19 ×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
第101页/共109页
一、填空：
1、圆锥的体积=（
用字母表示是（V=
1 3
s
1 3
×底面积×高
h ）。
），
2、圆柱体积的
1 3
与和它（等底等高）的圆
锥的体积相等。
你发现了吗?
圆柱和圆锥等底等高的情况下，体积有什么样的关系？
圆柱的体积是与它 等底圆等锥高
体积的 倍. 3
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自学指导（三）：
• 等底等高的条件下，探究圆鼓锥起勇的气体，勇积于探公索式
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圆柱体积＝底面积 高
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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圆柱变成圆锥的过程中，什么没有变化？
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4、一个圆锥的底面积是12平方厘米，高 是6厘米，体积是（第12024页/共109页）立方厘米。
二、判断：
1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
（√ ）
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
（× ）
4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的体积 是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（ √ ）
13×19 ×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
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一、填空：
1、圆锥的体积=（
用字母表示是（V=
1 3
s
1 3
×底面积×高
h ）。
），
2、圆柱体积的
1 3
与和它（等底等高）的圆
锥的体积相等。
圆锥体积公式推导
圆锥体积公式推导
实验 小实验
圆锥的体积V等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一
V圆柱＝sh
1 V＝ 3sh
圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一
思 考：
1、一个圆锥与一个圆柱等底等高，
已知圆锥的体积是 8 立方米，
圆柱的体积是（
）。
练习3好
2、一个圆锥与一个圆柱等底等体积，
已知圆柱的高是 2 厘米， 圆锥的
高是（
）。
24立方米
3、一个圆锥与一个圆柱等高等体积，
已知圆柱的底面积是 6平方米，
圆锥的底面积是（
）。
6 厘米
18平方米
1
2
3
主页
判断
1 V＝ 3sh
2
1、一个圆柱体体积是27立方分米，与它等底等高的圆锥的体积是（
）立方分米。
2、一个圆锥体积是15立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方厘米.
巩固练习
2、求下面各圆锥的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
练习2
7
8 10
3
1
2
3
主页
一堆大米，近似于圆锥形，量得 底面周 长是18.84分米，高6分米。它的体积是多 少立方分米？如果每立方分米大米重0.5 克，这堆大米有多少千克？
动动手： 1.一堆圆锥形的煤体积是12立方米，底面积是6立方米，高是多少？
2.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋转轴旋转一周，所成几何图形的体积是多少?
A
D 6
4
B
C
3
3.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋转轴旋转一周，所成几何图形的体积是多少?
A
A
2 D
实验 小实验
圆锥的体积V等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一
V圆柱＝sh
1 V＝ 3sh
圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一
思 考：
1、一个圆锥与一个圆柱等底等高，
已知圆锥的体积是 8 立方米，
圆柱的体积是（
）。
练习3好
2、一个圆锥与一个圆柱等底等体积，
已知圆柱的高是 2 厘米， 圆锥的
高是（
）。
24立方米
3、一个圆锥与一个圆柱等高等体积，
已知圆柱的底面积是 6平方米，
圆锥的底面积是（
）。
6 厘米
18平方米
1
2
3
主页
判断
1 V＝ 3sh
2
1、一个圆柱体体积是27立方分米，与它等底等高的圆锥的体积是（
）立方分米。
2、一个圆锥体积是15立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方厘米.
巩固练习
2、求下面各圆锥的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
练习2
7
8 10
3
1
2
3
主页
一堆大米，近似于圆锥形，量得 底面周 长是18.84分米，高6分米。它的体积是多 少立方分米？如果每立方分米大米重0.5 克，这堆大米有多少千克？
动动手： 1.一堆圆锥形的煤体积是12立方米，底面积是6立方米，高是多少？
2.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋转轴旋转一周，所成几何图形的体积是多少?
A
D 6
4
B
C
3
3.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋转轴旋转一周，所成几何图形的体积是多少?
A
A
2 D
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r= d÷2 ÷ S=∏ S=∏ r V= 3 S h
r
ｈ，如 ３、已知圆锥的底面周长Ｃ和高ｈ，如 已知圆锥的底面周长Ｃ和高ｈ， 何求体积Ｖ？ 何求体积Ｖ？
r =C÷∏÷2 ÷ ÷ S=∏
V= 3 S h
1 3S
r
2
V=
h
三、填表： 填表： 已知条 件 圆锥底面半径2厘米， 圆锥底面半径 厘米，高9厘米 厘米 厘米 圆锥底面直径6厘米， 圆锥底面直径 厘米，高3厘米 厘米 厘米 体积 37.68立方厘米 立方厘米 28.26立方厘米 立方厘米
研究问题
1、等底等高圆柱和圆锥的体积之间存 在着怎样的关系? 在着怎样的关系? 2、能用一个公式表示出来吗? 能用一个公式表示出来吗?
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积
高
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积
高
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积
立方厘米） × ＝ －×19×12＝ 76（立方厘米） 3 答：这个零件体积是76立方厘米。 这个零件体积是76立方厘米。 76立方厘米 1
ｈ，如 １、已知圆锥的底面半径ｒ和高ｈ，如 已知圆锥的底面半径ｒ和高ｈ， 何求体积Ｖ？ 何求体积Ｖ？ 2 1 ２、已知圆锥的底面直径ｄ和高ｈ，如 ｈ，如 已知圆锥的底面直径ｄ和高ｈ， 何求体积Ｖ？ 何求体积Ｖ？ 2 1
有一根底面直径是6厘米，长是 厘米的圆 有一根底面直径是 厘米，长是15厘米的圆 厘米 柱形钢材， 柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥形 零件。要削去钢材多少立方厘米？ 零件。要削去钢材多少立方厘米？ 6厘米 厘米 15厘米 厘米
圆锥体积公式的推导
执教： 执教：李萍
说出圆柱和圆锥各部分的名称及特征： 说出圆柱和圆锥各部分的名称及特征：
高 侧面 底面 有无数条 展开后是长方形或正方形 有两个底面， 有两个底面，是相等的圆形
圆柱的体积公式用字母表示是（ ）。如果已知 如果已知d=6厘 圆柱的体积公式用字母表示是（ V=s h ）。如果已知 厘 厘米。 立方厘米。 米，h=10厘米。那么圆柱的体积是（282.6）立方厘米。如果已知 厘米 那么圆柱的体积是（ c=6.28分米 分米,h=5分米。那么圆柱的体积是（15.7 ）立方分米。 分米。 立方分米。 分米 分米 那么圆柱的体积是（ 顶点 侧面 高 底面 有一个顶点 展开后是扇形 只有一条 有一个底面， 有一个底面，是圆形
高
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
高
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
高
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝底面积
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝底面积
高 高
研究问题
1、等底等高圆柱和圆锥的体积之间存 在着怎样的关系? 在着怎样的关系? 2、能用一个公式表示出来吗? 能用一个公式表示出来吗?
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
例1：一个圆锥的零件，底面积是 ：一个圆锥的零件， 19平方厘米，高是12厘米。 19平方厘米，高是12厘米。这个零 平方厘米 厘米 件的体积是多少？ 件的体积是多少？
立方分米 圆锥底面周长6.28分米，高6分米 6.28立方分米 分米， 分米 圆锥底面周长 分米
二、判断： 判断： 1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ） 、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ （√ ）
1 2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的 3 。 、
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面 、正方体、长方体、 积×高。 （ ） × 4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的体积 、等底等高的圆柱和圆锥， 立方米， 立方米（ 是27立方米，那么圆锥的体积是 立方米（ ） 立方米 那么圆锥的体积是9立方米 √
r
ｈ，如 ３、已知圆锥的底面周长Ｃ和高ｈ，如 已知圆锥的底面周长Ｃ和高ｈ， 何求体积Ｖ？ 何求体积Ｖ？
r =C÷∏÷2 ÷ ÷ S=∏
V= 3 S h
1 3S
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2
V=
h
三、填表： 填表： 已知条 件 圆锥底面半径2厘米， 圆锥底面半径 厘米，高9厘米 厘米 厘米 圆锥底面直径6厘米， 圆锥底面直径 厘米，高3厘米 厘米 厘米 体积 37.68立方厘米 立方厘米 28.26立方厘米 立方厘米
研究问题
1、等底等高圆柱和圆锥的体积之间存 在着怎样的关系? 在着怎样的关系? 2、能用一个公式表示出来吗? 能用一个公式表示出来吗?
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积
高
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积
高
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积
立方厘米） × ＝ －×19×12＝ 76（立方厘米） 3 答：这个零件体积是76立方厘米。 这个零件体积是76立方厘米。 76立方厘米 1
ｈ，如 １、已知圆锥的底面半径ｒ和高ｈ，如 已知圆锥的底面半径ｒ和高ｈ， 何求体积Ｖ？ 何求体积Ｖ？ 2 1 ２、已知圆锥的底面直径ｄ和高ｈ，如 ｈ，如 已知圆锥的底面直径ｄ和高ｈ， 何求体积Ｖ？ 何求体积Ｖ？ 2 1
有一根底面直径是6厘米，长是 厘米的圆 有一根底面直径是 厘米，长是15厘米的圆 厘米 柱形钢材， 柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥形 零件。要削去钢材多少立方厘米？ 零件。要削去钢材多少立方厘米？ 6厘米 厘米 15厘米 厘米
圆锥体积公式的推导
执教： 执教：李萍
说出圆柱和圆锥各部分的名称及特征： 说出圆柱和圆锥各部分的名称及特征：
高 侧面 底面 有无数条 展开后是长方形或正方形 有两个底面， 有两个底面，是相等的圆形
圆柱的体积公式用字母表示是（ ）。如果已知 如果已知d=6厘 圆柱的体积公式用字母表示是（ V=s h ）。如果已知 厘 厘米。 立方厘米。 米，h=10厘米。那么圆柱的体积是（282.6）立方厘米。如果已知 厘米 那么圆柱的体积是（ c=6.28分米 分米,h=5分米。那么圆柱的体积是（15.7 ）立方分米。 分米。 立方分米。 分米 分米 那么圆柱的体积是（ 顶点 侧面 高 底面 有一个顶点 展开后是扇形 只有一条 有一个底面， 有一个底面，是圆形
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝底面积
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圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝底面积
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研究问题
1、等底等高圆柱和圆锥的体积之间存 在着怎样的关系? 在着怎样的关系? 2、能用一个公式表示出来吗? 能用一个公式表示出来吗?
圆柱体积＝ 圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝ 圆锥体积＝底面积
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例1：一个圆锥的零件，底面积是 ：一个圆锥的零件， 19平方厘米，高是12厘米。 19平方厘米，高是12厘米。这个零 平方厘米 厘米 件的体积是多少？ 件的体积是多少？
立方分米 圆锥底面周长6.28分米，高6分米 6.28立方分米 分米， 分米 圆锥底面周长 分米
二、判断： 判断： 1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ） 、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ （√ ）
1 2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的 3 。 、
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面 、正方体、长方体、 积×高。 （ ） × 4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的体积 、等底等高的圆柱和圆锥， 立方米， 立方米（ 是27立方米，那么圆锥的体积是 立方米（ ） 立方米 那么圆锥的体积是9立方米 √