高中数学《抛物线的简单几何性质》学案新人教版选修

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高中数学 2.4.3 抛物线的简单几何性质(二)学案新人教A版选修2-1

§2.4.3 抛物线的简单几何性质（二）学习目标：1、掌握抛物线的几何性质；2、掌握直线与抛物线位置关系等；3、在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合一、知识回顾：（见《三维设计》）1、焦半径：2、焦点弦的问题：二、典例分析：〖例1〗：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。

k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？〖例2〗：过抛物线22y x =的顶点作互相垂直的二弦,OA OB 。

（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）证明：AB 与x 轴的交点为定点。

〖例3〗：已知点()()()11222,8,,,,A B x y C x y 在抛物线22y px =上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F重合。

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。

〖例4〗：线段AB 过点()(),00M m m >，并且点,A B 到x 轴的距离之积为4m ，抛物线C 以x 轴为对称轴且经过,,O A B 三点。

（1）求抛物线C 的方程；（2）当1,2m AM MB ==，时，求直线AB 的方程。

三、课后作业：1、已知抛物线()220y px p =>上有一点()4,M y ，它到焦点F 的距离为5，O 为原点，则OFM S ∆=（）A 、1B C 、2 D 、 2、抛物线2y x =上到直线240x y -+=的距离最小的点是（）A 、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、93,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、()1,1D 、()4,2 3、过抛物线2y x =的焦点F 作弦AB ，若()()1122,,,A x y B x y ，则（）A 、1214x x ⋅=-B 、1214x x ⋅=C 、1214y y =-D 、1214y y = 4、已知定点()1,0F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，PN PM =，则动点N 的轨迹方程是（）A 、24y x =B 、24y x =-C 、22y x =D 、22y x =- 5、对于抛物线24y x =上任一点Q ，点(),0P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是（）A 、(),0-∞B 、()0,2C 、[]0,2D 、(],2-∞ 6、抛物线22x y =上离点()0,A a 最近的点恰好是顶点的充要条件（）A 、1a ≤B 、0a ≤C 、12a ≤D 、2a ≤7、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线24y x =-所得的弦长AB =则抛物线方程为。

【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p 2.直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ . 3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：、和．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ∈k ＝0时，直线与抛物线只有交点；∈k ≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有公共点． Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有公共点．Δ＜0∈直线与抛物线∈ 公共点．【小试牛刀】1．抛物线关于顶点对称．()2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．() 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．() 4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()5．抛物线y＝－18x2的准线方程为x＝132．()【经典例题】题型一抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．[跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是∈OAB 的重心，求∈OAB的周长．题型二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA∈OB.题型三中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．题型四抛物线的综合应用例4 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值．【当堂达标】1．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．184．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当∈AOB的面积等于10时，求k的值．9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA∈OB，求实数m的值．10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【参考答案】【自主学习】x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p2 x 轴 y 轴 (0,0) 1 x 1＋x 2＋p 相离相切相交一个相交两个相切一个相离没有【小试牛刀】 × √ √ √ × 【经典例题】例1 (1)y 2＝3x 或y 2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .](2)[解] 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∈BCD ＝30°，在Rt∈ACE 中，∈|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∈2|AE |＝|AC |，∈4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∈BD ∈FG ，∈43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x .[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA |＝|OB |可知AB ∈x 轴，垂足为点M ，又焦点F 是∈OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |. 因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)．故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24；所以m ＝26或m ＝－26，所以A (3,26)，B (3，－26)，所以|OA |＝|OB |＝33，所以∈OAB 的周长为233＋4 6. 例2 解联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x＝14，∈y ＝1，∈直线l 与C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．∈当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；∈当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ∈当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离．综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点；当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点；当k >1时，l 与C 没有公共点．[跟踪训练]2 [证明] 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∈直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∈可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∈OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∈OA →∈OB →，即OA ∈OB .例3 解由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ∈x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∈(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∈y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∈k AB ＝4. ∈AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y＝k (x －4)＋1.联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标．由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∈k ＝4.∈AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 例4 解方法一设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. 所以当t ＝23时，d 有最小值43.方法二如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∈Δ＝16＋12m ＝0，∈m ＝－43. 故最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 【当堂达标】1.D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎨⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y 2∈⎩⎨⎧ y 2＝16x ，x ＝2∈⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．] 2. C 解析设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∈2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∈抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3.A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]4.B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∈点A 的坐标为(1，±2)，故选B.]5. B 解析当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.6. 8解析因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7.158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∈|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∈y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 8.解过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋1，消去x 整理得ky 2＋y －k ＝0，Δ＝1＋4k 2>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∈S ∈OAB ＝S ∈OAN ＋S ∈OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∈S ∈AOB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.9.解由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意．(2)因为OA ∈OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)．所以m ＝－8，经检验符合题意．10.[解] 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∈x 1＋x 2＝6－p .∈ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∈x 1＋x 2＝3p ，代入∈式得3p ＝6－p ，∈p ＝32.∈所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学抛物线和简单几何性质教案新人教A版选修1-1

抛物线和简单几何性质一、教课目的( 一)知识教课点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．( 二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，进而培育学生剖析、概括、推理等能力．( 三)学科浸透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系观点的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材剖析1．要点：抛物线的几何性质及初步运用．( 解决方法：指引学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．( 解决方法：经过几个典型例题的解说，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．( 解决方法：指引学生证明并加以记忆．)三、活动设计发问、填表、解说、演板、口答．教课过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是如何的？答为：抛物线的标准方程是．与椭圆、双曲线同样，经过抛物线的标准方程能够研究它的几何性质．下边我们依据抛物线的标准方程：来研究它的几何性质．【探究研究】1．抛物线的几何性质（ 1）范围由于，由方程可知，因此抛物线在轴的右边，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无穷延长．（ 2）对称性以代，方程不变，因此抛物线对于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（ 3）极点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的极点，在方程中，当时，因此抛物线的极点就是坐标原点．（ 4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其余三种标准方程抛物线的几何性质可近似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出：与、双曲的几何性比，抛物的几何性有什么特色？学生和教共同小：（1）抛物只位于半个坐平面内，然它也能够无穷延长，但没有近；（2）抛物只有一条称，没有称中心；（3）抛物只有一个点、一个焦点、一条准；（4）抛物的离心率是确立的， 1．【例剖析】例 1 已知抛物对于称，它的点在座原点，而且点，求它的准方程，并用描点法画出形．求准方程，一名学生演板，教予以正．画可由教解，步如下：由求出的准方程，形，依据算抛物在的范内几个点的坐，得01234⋯⋯01 2.8 3.54⋯⋯描点画出抛物的一部分，再利用称性，就能够画出抛物的另一部分（如）．而后明利用抛物的通性，能方便地画出反应抛物基本特色的草．例 2 探照灯反射的截面是抛物的一部分，光源位于抛物的焦点．已知灯口的直径，灯深，求抛物的准方程和焦点地点．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内成立直角坐标系，使反光镜的极点（即抛物线的极点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，因此所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.（三）随堂练习1．求合适以下条件的抛物线方程①极点在原点，对于轴对称，而且经过点②极点在原点，焦点是③极点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条地道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2．( 要选成立坐标系 )（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差异较大．它的离心率等于 1；它只有一个焦点、一个极点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）部署作业1．极点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A．B．C．D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为 __________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水降落，则此时水面宽为 ___________.5．抛物线的极点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左极点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是 10 和 6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B2．C3．4．5． 6 ．9，（六）板书设计教课设计评论：本节课第一设置情境，让学生利用类比的思想，探究、概括、总结出与椭圆、双曲线近似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。

高中数学抛物线的简单几何性质(二)导学案新人教A版选修2-1

1抛物线的简单几何性质（二）导学案新人教A 版选修2-1【学习要求】1．提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性. 2．学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题. 【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想. 【双基检测】1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2．已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B ．(－2,22)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ．(－2，－22)3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在4．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________.【问题探究】题型一抛物线的标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程.跟踪训练1 求以双曲线x 28－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.题型二抛物线的几何性质例2 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.跟踪训练2 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .题型三抛物线中的定值、定点问题例3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.跟踪训练3 A 、B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证：直线AB 过定点.【当堂检测】1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则该点的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号).4．过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为________.【课堂小结】求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.【拓展提高】1．已知抛物线)0(22>=p px y 与)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（）A ．)6,0(π B ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ2．已知抛物线y x 42=，则以⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1为中点的弦所在的直线方程是（） A ．062=+-y x B ．042=-+y x C ．0924=+-y x D ．0124=-+y x 3．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是4．已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点（1）求实数k 的值（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，ABC ∆面积最大？。

高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质教案新人教A版

2.3.2 抛物线的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质．(2)与抛物线有关的轨迹的求法，直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法(1)灵活运用抛物线的性质．(2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)训练学生分析问题、解决问题的能力．(2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．●重点、难点重点：(1)掌握抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．难点：抛物线各个几何性质的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想法、观察分析法、练习巩固法．这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了．●教学流程提出问题：你能说出抛物线y2＝2px p＞0的几何性质吗？⇒引导学生结合图象得出抛物线四种形式的几何性质，并对比它们的区别与联系.⇒通过引导学生回顾直线与椭圆的位置关系问题，引出直线与抛物线的位置关系知识.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的性质及应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦问题.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第39页)课标解读1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)抛物线的几何性质类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？【提示】范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形续表标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线有哪几种位置关系？【提示】三种：相离、相切、相交．2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？【提示】不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．直线与抛物线的位置关系与公共点位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点(对应学生用书第40页)抛物线简单几何性质的应用如图2－3－3所示，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A图2－3－3是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x 轴的上方，点A 到抛物线的准线的距离等于5，过A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程．【思路探究】 (1)根据题意你能求出p 的值吗？ (2)M 点的坐标是多少？直线MN 的斜率呢？【自主解答】 (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)，F (1,0)， ∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)，直线MN 的方程为y －2＝－34x ，即3x ＋4y －8＝0.研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，离心率不变总为1.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，∴|AB |＝2|p |. ∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线标准方程为y 2＝±42x .直线与抛物线的位置关系问题已知：直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？【思路探究】 (1)联立直线l 与抛物线C 的方程，得到的关于x 的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗？【自主解答】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程变为－4x ＋1＝0，x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与C 只有一个公共点(14，1)，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：Δ＝(2k －4)2－4k 2×1＝16－16k①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时l 与C 相离．综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与C 有一个公共点； (2)当k ＜1，且k ≠0时，直线l 与C 有两个公共点； (3)当k ＞1时，直线l 与C 没有公共点．1．直线与抛物线的位置关系判断方法．通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，利用判别式解决．Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离．(2)当a ＝0时，方程只有一解x ＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合． 2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．若过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 有两个公共点，求直线的斜率k 的取值范围．【解】设直线方程为y －2＝k (x ＋3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋3y 2＝4x消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为y ＝2，直线y ＝2与抛物线y 2＝4x 相交，有一个公共点，不合要求； (2)当k ≠0时，Δ＝16－4k (8＋12k )＞0. ∴－1＜k ＜13，因此－1＜k ＜13且k ≠0.综上可知，斜率k 的取值范围为{k |－1＜k ＜13且k ≠0}.抛物线的焦点弦问题已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．【思路探究】 (1)焦点在x 轴上的抛物线方程如何设？(2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？【自主解答】当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程是y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F (p 2，0)，直线l 为y ＝x －p2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线AA 1、BB 1，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得(x －p2)2＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .1．本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉．2．过焦点F 和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法．本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．【解】如图，依题意当抛物线方程设为y 2＝2px (p ＞0)时，抛物线的准线为l ，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.于是x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2. 故所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .(对应学生用书第41页)忽略特殊直线致误求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【错解】设直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求的直线方程为y ＝1或y ＝12x ＋1.【错因分析】本题直接设出了直线的点斜式方程，而忽视了斜率不存在的情况，从而导致漏解．【防范措施】在解直线与抛物线的位置关系时，往往直接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了，而应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为0的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要优先考虑，画出草图是行之有效的方法．【正解】如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由错解可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以求出抛物线的方程．2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，求焦点弦长，一般不用弦长公式． 3．直线和抛物线的位置关系问题的通法与椭圆、双曲线一样，即联立方程消未知数，产生一元二次方程，用判别式Δ、根与系数关系解决问题．(对应学生用书第42页)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的对称轴为( ) A ．y 轴 B ．x 轴 C ．x ＝－a2D ．x ＝－a4【解析】形如y 2＝±2px (p ＞0)的抛物线的对称轴为x 轴．【答案】 B2．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y . 【答案】 C3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－12，则a ＝________.【解析】抛物线方程可化为x 2＝1a y ，由题意14a ＝12，∴a ＝12.【答案】 124．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P 的坐标．【解】根据题意可知：|PF |＝|PO |，其中O 为原点，F 为焦点，∴x P ＝x F 2＝18，∴y P ＝±18＝±122＝±24，∴P (18，±24).(对应学生用书第101页)一、选择题1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝8，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝±8xD ．x 2＝±8y【解析】由抛物线的定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2p ＝8，∴p ＝4，故标准方程为y 2＝±8x .【答案】 C2．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) A.18 B.14C.12D ．1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切， ∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14.【答案】 B3．(2013·长沙高二检测)过点M (2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线共有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由于M (2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x 轴平行的线，另一条是过M 的切线，如果点M 不在抛物线上，则有3条直线．【答案】 B4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是( )A ．11.25 cmB ．5.625 cmC ．20 cmD ．10 cm【解析】如图建立直角坐标系，则A (40,30)，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，将点(40,30)代入得p ＝454，所以p2＝5.625即光源到顶点的距离．【答案】 B5．若点P 在y 2＝x 上，点Q 在(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 【解析】设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为Q ′(3,0)，要求|PQ |的最小值，只需求|PQ ′|的最小值．设P 点坐标为(y 20，y 0)，则|PQ ′|＝y 20－32＋y 2＝y 202－5y 20＋9＝y 20－522＋114. ∴|PQ ′|的最小值为112，从而|PQ |的最小值为112－1. 【答案】 D 二、填空题6．(2013·台州高二检测)设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______.【解析】设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.【答案】 137．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．【解析】由已知得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B (p4，1)将其代入y 2＝2px 得p＝2，则点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.【答案】342 8．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3. ∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.【答案】 3三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，A (x 0，y 0)，由题知 M (0，－p2)．∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17， ∴x 20＋(y 0＋p2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2＝4y 上，点M (0,4)满足MA →＝λMB →(λ≠0)，求证：OA→⊥OB →.【证明】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．∵MA →＝λMB →，∴M 、A 、B 三点共线，即直线AB 过点M . 设l AB ∶y ＝kx ＋4(易知斜率存在)，与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －16＝0， Δ＝(－4k )2－4×(－16)＝16k 2＋64＞0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋4)(kx 2＋4) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝(1＋k 2)·(－16)＋4k ·(4k )＋16＝0， ∴OA →⊥OB →.11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x 2＝ay (a ＞0)，点O 为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点．(1)若直线l 过点D (0,2)且a ＝4，求△AOB 的面积；(2)若直线l 过抛物线的焦点且OA →·OB →＝－3，求抛物线的方程．【解】 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线方程x 2＝4y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ＋2，消去y ，得x 2－4x －8＝0.则Δ＝16－4×(－8)＝48＞0恒成立．设l 与抛物线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2. ∴x 1＝2－23，x 2＝2＋2 3. 则|x 2－x 1|＝4 3.∴S △AOB ＝12·|OD |·|x 2－x 1|＝12×2×43＝4 3.(2)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋a4.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a 4，x 2＝ay ，⇒x 2－ax －a 24＝0，∵Δ＞0，设直线l 与抛物线交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－a 24.又已知OA →·OB →＝－3，即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，∴x 1x 2＋(x 1＋a 4)(x 2＋a4)＝－3，∴2x 1x 2＋a 4(x 1＋x 2)＋a 216＝－3， ∵a ＞0，∴a ＝4.∴所求抛物线方程为x 2＝4y .(教师用书独具)已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．【解】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x＝(x ＋13)2＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增， ∴当x ＝0时，|PA |min ＝23，距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 22－y 0＋3|2＝|y 0－12＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为(12，1)．法二设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为(12，1)，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离，即d min ＝524.已知抛物线y 2＝4x 与直线x ＋y －2＝0的交点为A 、B ，抛物线的顶点为O ，在AOB 上求一点C ，使△ABC 的面积最大，并求出这个最大面积．【解】设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为x ＋y －b ＝0，将它与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x 得方程y 2＝4(b －y )，即y 2＋4y －4b ＝0.由Δ＝42－4(－4b )＝0得b ＝－1，故切线为x ＋y ＋1＝0. 求得切点C (1，－2)．因直线x ＋y ＋1＝0与x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋2|2＝322.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y 2＝4x ，解得交点坐标为A (4＋23，－2－23)、B (4－23，－2＋23)． ∴|AB |＝4 6.于是S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×46×322＝6 3.所以当C 点为(1，－2)时，S△ABC的最大值为6 3.。

2019-2020年高中数学《2.3.2 抛物线的简单几何性质》教案新人教A版选修1-1

2、已知抛物线的焦点是,准线是,求它的标准方程.
二、讲授新课：
1、教学直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程解的个数
1当时,
当时,直线和抛物线相交,有两个公共点;
当时,直线和抛物线相切,有一个公共点;
当时,直线和抛物线相离,无公共点
②若,则直线与抛物线相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜率不存在时,设,则当,与抛物线相交,有两个公共点;当时,与抛物线相切,有一个公共点,当时,与抛物线相离,无公共点.
上课时间
第周星期第节
课型
课题
教学目的
通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
教学设想
教学重点பைடு நூலகம்能运用性质解决与抛物线有关的问题.
教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.
教
学
过
程
1、提问：回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.
教
学
过
程
一、复习准备：
1、提问：你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程?
2、抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标
二、讲授新课：
1、教学抛物线的简单几何性质
抛物线的标准方程:
①范围:
②对称性:这条抛物线关于对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
③顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点
三、巩固练习：
①、过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,如果,那么的值为多少?
②、抛物线上一点到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点的坐标是
③、已知直线与抛物线相交与两点,若,(为坐标原点),且,求抛物线的方程.

人教版高中数学《抛物线的简单几何性质》优质教案

2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。

2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。

三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。

【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。

1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。

我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。

【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。

问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为0,0>≥y x问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程0,22>=p px y 中，y 并无限制，因此R y ∈。

而因为022≥=y px ，且0>p ，所以0≥x 。

【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。

高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案新人教A版选修2-1

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（一）学习目标：1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p ；2、会简单应用抛物线的几何性质。

一、知识回顾：1、抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径长。

2、抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是。

3、抛物线28y x =的焦点为F ，()4,2A -为定点，在抛物线上找一点M ，当MA MF +为最小时，则M 点的坐标，当MA MF -为最大时，则M 点的坐标。

二、典例分析：〖例1〗：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

〖例2〗：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长。

〖例3〗：定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y轴的最小距离。

〖例4〗：抛物线24y x =上有两个定点A 、B （位于x 轴的上下两侧），F 是抛物线的焦点，并且||2FA =，||5FB =。

在抛物线AOB 这段曲线上，求一点P ，使得APB ∆的面积最大，并求最大面积。

三、课后作业：1、已知点1,04F ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线l ：41=x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是（） A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线 2、若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（） A 、2- B 、2 C 、4- D 、43、过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A 、2p B 、p C 、2p D 、无法确定 4、设抛物线22y x =的焦点为F ，以9,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，PF 长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于,M N ，则MF NF +的值为（）A 、8B 、18C 、22D 、45、抛物线28y x =上一点P 到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（）A 、()2,4B 、()2,4±C 、(D 、(1,± 6、已知点P 是抛物线x y 42=上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为1d ，到圆()()22331x y ++-=上一动点Q 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（）A 、3B 、4C 、5D 、1+7、过定点()0,2P ，作直线l 与曲线x y 42=有且仅有１个公共点，则这样的直线l 共有条。

人教版高中数学选修(2-1)-2.4《抛物线的简单几何性质》参考教案2

2.3.2抛物线的简单几何性质一、教材分析《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学选修系列中的内容。

本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容。

本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法。

另外本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，对于训练学生用坐标法解题起着相当重要的作用。

对于抛物线的几何性质的应用是学生学习的重点，在教学过程中应予以特别关注，本节内容的学习，既是前面所需知识的深化和拓展，优势提高学生解决现实问题能力的一种途径。

二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：1.知识目标①理解抛物线的几何性质②与抛物线有关的轨迹的求法；直线与抛物线的位置关系2.能力目标①灵活运用抛物线的性质②养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力3.情感目标①训练学生分析问题、解决问题的能力②培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力三、重难点分析根据学生对已有知识的掌握和对学生认识能力的分析，根据以上目标和大纲需求确定重难点：重点：①掌握抛物线的几何性质②根据给出的条件求出抛物线的标准方程难点：抛物线各个几何性质的灵活应用四、教法、学法分析教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。

先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

学法上：教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心。

新人教A版(选修2-1)《抛物线的简单几何性质》word教案1

学校：临清一中学科：数学编写人：汪春普审稿人：张林抛物线的简单几何性质 (教案)教学目标：㈠知识目标：1.理解抛物线的定义；2.会求抛物线的标准方程；3.会利用抛物线的几何性质解决数学问题.㈡能力目标：⒈会利用抛物线的定义和几何性质解决有关问题⒉进一步加强数形结合思想；教学重点：利用抛物线的几何性质求抛物线方程，解决有关数学问题．教学难点：利用抛物线的几何性质解决数学问题.教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入1.提问抛物线的定义：2.提问抛物线的标准方程：3.提问抛物线的几何性质：3.求直线与抛物线位置关系问题的解题思路：二、例题例1．设抛物线22(0)y px p =>，Rt AOB ∆ 内接于抛物线，O 为坐标原点，,AO BO AO ⊥所在的直线方程为2y x =，||AB = 例2过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 。

（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数。

（例124y x =，例2（1）p ，（2）2-，0p y -）三. 教学反思抛物线有四种形式的标准方程，对应四种情况的几何性质.四.课后作业1.过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 2．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （）A ．1B ．12C ．12-D ．1- A3. 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB 则=α 。

4. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于．5.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB =6.已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线 85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线， M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥,轴（如图）。

人教课标版高中数学选修1-1《抛物线的简单几何性质》教案-新版

2.3.2抛物线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）能借助抛物线的几何图形与标准方程理解抛物线的简单几何性质（2）能用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题，如判断直线与抛物线的位置关系以及定值、最值问题 3.学习重点抛物线的简单几何性质 4.学习难点用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题．二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材6063P P -，思考直线与抛物线的位置关系有哪些? 任务2 完成63P 的练习 2．预习自测1. 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质2．过抛物线22y px =(0)p >的焦点作一条直线交抛物线于A 11(,)x y 、22(,)B x y ，则1212y y x x 为（）A ．4B ．－4C ．2pD ．2p - 答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质3．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点．若126x x +=，则AB =____ ．答案：8解析：考查抛物线的简单几何性质（二）课堂设计 1.知识回顾关于抛物线的标准方程:①p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数． ②方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.③焦点的非零坐标是一次项系数的14. 2.问题探究问题探究一抛物线的简单几何性质1．抛物线 ()220y px p =>有哪些简单几何性质呢？(1)对称性：以－y 代y ，方程()220y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p(5)范围：由220,0y px p =≥>知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y | 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P 值越大，它开口越开阔2.直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交.（1）直线的斜率存在时，设直线y kx m =+与抛物线()220y px p =>相交于()()11122,,,A x y B x y 两点，将y kx m =+代入()220y px p =>，消去y 并化简，得2222()0k x mk p x m +-+=①当0k =时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点.②当0k ≠时， 0∆>⇔直线与抛物线相交⇔直线与抛物线有两个公共点；0∆=⇔直线与抛物线相切⇔直线与抛物线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与抛物线相离⇔直线与抛物线无公共点（2）直线的斜率不存在时，设直线:l x m =，抛物线：()220y px p =>，显然当0m <时，直线与抛物线相离，无交点；当0m =时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0m >时，直线与抛物线相交，有两个交点.（3）过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的焦点弦．（4）通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 称为抛物线的通径，通径|AB |的长等于2p（5）抛物线上的点到焦点的距离，叫做焦半径，当y 2＝2px (p >0)时，抛物线上的点的坐标()00,P x y ，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则焦半径02p PF x =+.问题探究二用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题例1.已知抛物线的方程为x y 22=，直线l 的方程为)(1R k kx y ∈+=，当k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点;有两个公共点；没有公共点.【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合，分类讨论】详解：221y xy kx ⎧=⎨=+⎩01)22(22=+-+⇒x k x k11.0-210,,2k x x 当时,则此时直线与抛物线只有一个公共点;=+== 2212.04140,,2k k k k 时,（）则直线与抛物线只有一个公共点;≠∆=--== 13.000,2k k k 当时,且直线与抛物线有两个公共点;≠∆>⇒<≠14.00,2k k 时,直线与抛物线没有交点.≠∆<⇒>例2.已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求此弦所在的直线的方程【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合】详解：∵过焦点的的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率不为0设直线为)1(-=x k y ，与抛物线的交点坐标为),(),,(2211y x B y x A()214y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，则有2221222242)0(0)42(k k x x k k x k x k +=+⇒≠=++- 3624222221=++=++=+=∴k k x x BF AF AB)1(42,42-±=±=∴x y k 所求直线的方程为例3.求过抛物线()220y px p =>的焦点F 的弦长的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解一：如图，设抛物线()220y px p =>的焦点弦的两个端点为()()1122,,A x y B x y 、并设焦点弦所在直线方程为2px my =+①，于是有112222p px my x my =+=+，，将①代入22y px =，得2220y pmy p --= 所以212122,y y pm y y p +==-.因为()()()2222121212441y y y y y y p m -=+-=+．所以()221AB p m ==+所以2AB p ≥，故当0m =，即过焦点的弦垂直于x 轴时，它的长度最小，其最小值为2p .详解二：如图所示，设焦点弦AB 的中点为E ，分别过,A E B ，作准线l 的垂线，垂足为,,D H C ，由抛物线定义知AD AF =，BC BF =，所以2AB AF BF AD BC EH =+=+=由图可知HE GF ≥，当且仅当AB 与x 轴垂直时，=HE GF ，即min 22AB GF p ==.点拔：解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x 轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点．例4.设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； (2)若()3,2B ，求PB PF +的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解： (1)如图，易知抛物线的焦点为()1,0F ，准线方程是1x =-，由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点()1,1A -的距离与点P 到()1,0F 的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P(2)如图把点B 的横坐标代入24y x =中，得2y =>，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于1P . 此时，由抛物线定义知：11PQ PF =.那么11+=314PB PF PB PQ BQ +≥=+= 即最小值为4.例5.已知抛物线22y x =.(1)设点A 的坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA ；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线30x y -+=的距离最短，并求出距离的最小值．【知识点：点到直线的距离，抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合，函数的思想】详解： (1)设抛物线上任一点(),P x y ，则22222221123333PA x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵0x ≥，且在此区间上函数单调递增，故当0x =时， min 23PA =，故距点A 最近的点的坐标为()0,0.(2)解法一：设点()00,P x y )是22y x =上任一点，则P 到直线30x y -+=的距离为d ===当01y =时，min 4d ==， ∴点P 的坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：设与直线30x y -+=平行的抛物线的切线为0x y t -+=，与22y x =联立，消去x ，得22+20y y t -=，由=0∆，得12t =，此时11,2y x ==，∴1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离，即min 4d =. 点拔：有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，将到焦点的距离与到准线的距离相互转化，用几何意义解决，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的函数关系式，转化为目标函数最值解决.例6.已知AOB ∆是一个顶点为抛物线x y 22=的顶点O ,B A 、两点都在抛物线上，且90AOB ∠=o（1）求证：直线AB 必过一定点（2）求AOB ∆面积最小值【知识点：抛物线的定义，直线的方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】详解：（1）解法一：直线OA 斜率存在且不为0，设OA 所在直线方程为)0(≠=k kx y ,OB 所在直线方程为x ky 1-= 2222022,(,)022x y kx x k A y k k y x y k ⎧=⎪==⎧⎧⎪⇒∴⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩或同理)2,2(2k k B -，则直线的方程为)2(22222222k x k k kk k y --+=+即22121k kx k k y ---=，过定点)0,2( 解法二：设直线n x my AB +=为，),(),,(2211y x B y x A22122,220,2,480.2my x ny my n y y n m n y x=+⎧⇒-+=⇒=∆=->⎨=⎩ 2222121221212,20,22,0,0y y x x n n n n x OA OB OA OB x x y y n 且∴==∴+=⇒=-⊥∴⋅=+=≠uu r uu u rQ22,0my x ∴=-直线为过定点（）. （2）设AB 直线方程为),(),,(,22211y x B y x A my x +=2+22x my y x =⎧⎨=⎩4,204221212-=+=⇒=--⇒y y m y y my y121211222AOBy y S OP y y Δ-==⇒=⋅-=⋅⋅当AOB S m ∆=,0的面积取得最小值4. 3.课堂总结【知识梳理】（1）焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点()00,A x y ，则四种标准方程形式下的焦半径公式为（2）焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线()220y px p =>)过焦点F 的一条弦，设()()1122,,A x y B x y 、，AB 的中点()00,M x y ，抛物线的准线为l . ①以AB 为直径的圆必与准线l 相切；②0=22p AB x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (焦点弦长与中点关系)；③12=AB x x p ++；④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即212=4p x x ，212=y y p -.【重点难点突破】（1）抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线．（2）为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．（3）要注意根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．（4）在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．（5）p 表示焦点到准线的距离，0,p p >值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄． 4.课堂检测1. 抛物线28x y =-的准线方程是( )A ．132x =B ．2y =C ．14x =D ．4y = 答案：B【知识点：抛物线的几何性质】2.已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M -，求它的方程（）A ．2x y =B ．2y =C ．2x y =D ．2x = 答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质】3. 已知抛物线的顶点在原点，准线与其平行线2x =的距离为3，求抛物线的方程．答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质】与直线2x =的距离为3的平行直线有两条，即：1x =-和5x =．设抛物线的方程为2y mx =，则14m -=-，或54m-=，∴4m =或20m =-．故所求抛物线的方程为24y x =或220y x =-．（三）课后作业基础型自在突破1．已知()8,P a 在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16 答案：B解析：【知识点：抛物线的几何性质】2. 过抛物线28y x =的焦点，作倾斜角为45︒的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．61 答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】3．过点（0，2）且与抛物线22y px =(0)p >只有一个公共点的直线有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4．已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，则12d d +的最小值是( )A.B ．C ．D ．3 答案：C解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】5.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于A B 、两点O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值是( ) A ．12 B ． 12- C ． 3D ．3- 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，平面向量的数量积】设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222212121212,,4416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵AB 过焦点，则有212=4y y p -=-， ∴()22212124=431616y yOA OB y y -⋅=+-=-故选D.6．若直线20x y m ++=与抛物线210y x =-恰有两个交点，那么实数m 的取值范围是___________．答案：54m >-解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，一元二次方程的解，二元二次方程的解】能力型师生共研7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1，则点A 的坐标为( )A ． (2B ．(2，-C ．(2D．(2±，答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，三角形的面积】如图，由题意可得，1OF =，由抛物线定义得， AF AM =， ∵AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1， ∴()1sin 231sin 2AMF AOFAF AM MAF S S OF AF MAF π∆∆⨯⨯⨯∠==⨯⨯⨯-∠ ∴3AM =，设22000,1344y y A ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，y ，解得20024y y =±∴=， ∴点A的坐标是(2±，，故选D. 8．若P 点在抛物线2y x =上，点Q 在圆22(3)1x y -+=上，则PQ 的最小值为_____．1解析：【知识点：抛物线的标准方程；数学思想：数形结合】9.过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A B 、两点，若A B 、在抛物线的准线上的射影是11A B 、，则11A FB ∠=____________．答案：90︒解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质；数学思想：数形结合】探究型多维突破10. 已知点()()2,0,4,0A B ，动点P 在抛物线24y x =-上运动，则AP BP ⋅取得最小值时的点P 的坐标是______．答案：()0,0解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质，平面向量的数量积，函数的最小值；数学思想：数形结合】设2,4y P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,4,44y y AP y BP y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222252,4,8844162y y y AP BP y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当0y =时取等号，此时点P 的坐标为()0,0．11.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆22+11652x y =的焦点，求抛物线的方程．答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，椭圆的几何性质】由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p .椭圆22+11652x y =的焦点在p 轴上，焦点坐标为()()06,0,6-，．故抛物线的准线方程为66y y =-=或.当准线方程为6y =-时，设抛物线方程为 ()220x py p =>，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =；当准线方程为6y =时，设抛物线方程为()220x py p =->，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =-.故所求抛物线的方程为224x y =或224x y =-12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于A B 、两点，且52AB p =，求AB 所在的直线方程．答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦，弦长公式，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】解法1：焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()()1122,,A x y B x y 、，若AB Ox ⊥，则522AB p p =<，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x ，整理得22220k y py kp --=. 由韦达定理得，212122,py y y y p k+==-.∴12AB y =-21512p pk ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得2k =±.∴AB 所在直线方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解法2：如图所示，抛物线()220y px p =>的准线为2px =-，()()1122,,A x y B x y 、，设A B 、到准线的距离分别为12,d d ，由抛物线的定义知，1122,,22p p AF d x BF d x ==+==+ 于是121253=,22pAB x x p p x x ++=+= 当12=x x 时，522AB p p =<，直线AB Ox 与不垂直．设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()222221204k x p k x k p -++=. ()2122232p k px x k ++==，解得2k =±. ∴直线AB 的方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（四）自助餐1. 直线=2y kx +交抛物线28y x =于A B 、两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝（）A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】2. 已知直线l 与抛物线28y x =交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为（8，8），则线段AB 的中点到准线的距离是（） A ．254 B ．252C ．258D ．25 答案：A解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】3.抛物线22y px =与直线40ax y +-=的一个交点是 ()1,2，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )A.B.C.D.2答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4. 双曲线()2210x y mn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为( ) A. 316B. 38 C. 163D.83答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质，双曲线的标准方程】5.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．如果直线AF 的斜率为PF = ( )A ．B ．8C ．D ．16 答案：B解析：【知识点：直线倾斜角与斜率，抛物线的定义及几何性质】6．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =(0)p >，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是（）A ．28pB ．24pC ．22pD ．2p 答案：B解析：【知识点：三角形的面积，抛物线的定义及几何性质】7.抛物线2y ax =（0a >）与直线(0)y kx b k =+≠有两个公共点，其横坐标分别是1x 、2x ．而直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标是3x ，则1x 、2x 、3x 之间的关系是（） A ．312x x x =+B ．31211x x x =+ C ．131223x x x x x x =+ D ．121323x x x x x x =+ 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及几何性质，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】8.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理】9．过（0，－2）的直线与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为2，则AB =_____________．答案：解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】10. 求过点()0,1P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程．答案：见解析解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】(1)若直线斜率不存在，则过点()0,1P 的直线方程为0x =，由22x y x=⎧⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩即直线0x =与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点()0,1P 的直线方程为1y kx =+，由方程组2+12y kx y x=⎧⎨=⎩消去y ，得()222110k x k x +-+=. 当0k =时，得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 即直线1y =与抛物线只有一个公共点；当0k ≠时，直线与抛物线只有一个公共点，则()22=4140k k ∆--=，所以12k =，直线方程为1+12y x =.综上所述，所求直线方程为0x =或1y =或1+12y x =.11.已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，抛物线2y px =（0p >）与椭圆在第一象限内交点为Q ．若1260FQF ∠=．(1)求△12FQF 的面积； (2)求此抛物线的方程．答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的定义及几何性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】∵2a =，1b =，∴12F F =∴2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-∙21212()3PF PF PF PF =+-∙． 1243PF PF ∙=． ∴S △12F QF 1213sin 602PF PF =⋅=．(2)设00(,)Q x y 12012F F y =∴013y =代入椭圆方程得0x =．将1)3Q 代入2y px =得p =．∴224y x =． 12.抛物线的焦点F 是圆2240x y x +-=的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于,,,,A B C D ，求AB CD +.答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义、方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系】 (1)由圆的方程知圆心坐标为()2,0．因为所求的抛物线以()2,0为焦点，所以抛物线的标准方程为28y x =.(2)如下图，=AB CD AD BC +-，又=4BC ，所以只需求出AD 即可．由题意，AD 所在直线方程为()22y x =-，与抛物线方程28y x =联立得()22864022y x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y D x y ，所以()()121212126,4,A 2210x x x x AD F DF x x x x +===+=+++=+=，所以==6AB CD AD BC +-.本题求出12126,4x x x x +==后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得12A AD F DF x x p =+=++，则简单利落.数学视野抛物线、椭圆、双曲线各有其所谓“光学特性”，这些“光学特性”被应用于光学、声学、热学、电子学的各个领域而大放异彩．如光学中灯具与望远镜的设计；声学中的音乐台的抛物面屏墙，椭圆听音实验；电子学中的冲击波排石及激光消痣椭圆；在微波通讯、聚热、发电（如太阳灶、太阳炉、太阳能光电站等）也都用到了圆锥曲线尤其是抛物线的“光学特性”．圆锥曲线在许多大型拱形、薄壳建筑上，在大量生产、生活用品制造上，亦有许多出众表现．如诸多著名桥梁的抛物线型设计，薄壳结构类建筑的椭圆状穹顶，热电站的双曲面冷淋塔．同样，抛物线、椭圆、双曲线也广泛存在于人们日常生活用品和生产用具上，这些妙用是由其特殊的形状和内在特性决定的．。

人教课标版高中数学选修2-1：《抛物线的简单几何性质(第2课时)》教案-新版

2.4.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）一、教学目标（一）学习目标1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化. （二）学习重点抛物线的几何性质及其运用. （三）学习难点抛物线几何性质的运用. 二、教学设计（一）预习任务设计 1.预习任务写一写：直线与抛物线的位置关系：以22y px =为例，解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y （或者消去x ），得出关于x 的一个方程，20Ax Bx C ++=. 当A =0时，直线与抛物线有 1个交点；当A ≠0时，若0∆>，则直线与抛物线有 2个公共点；若0∆=，则直线与抛物线有 1个公共点，即切点；若0∆<，则直线与抛物线有 0个公共点，即相离 . 2.预习自测下列正确的命题个数是（）（1）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.（2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. （3）直线210x y -+=与抛物线2y x =的位置关系是相交.（4）过焦点(,0)2pF 的直线与抛物线22y px =交于,A B 两点，则||AB 的最小值为2p . A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】当直线与抛物线对称轴平行时直线与抛物线相交，而且只有一点，故（1）错误；联立210x y -+=与2y x =知0∆=，故（3）错误. 点拨：注意直线与抛物线只有一个交点，两者关系可能为相交与相切. （二）课堂设计 1.知识回顾：（1）抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 2.新知讲解我们在学习了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，今天来学习直线与抛物线的位置关系.通过这节课的学习，我们比较一下直线与抛物线的位置关系与直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些异同点. 探究一：直线与抛物线 ●活动①师生互动，探究关系先请学生回顾直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些？（形状）那么，直线与抛物线的位置关系有哪些呢？注意：有一个公共点不一定相切.问题：针对每一种位置关系，我们如何用“数”加以证明呢？【设计意图】通过直线与椭圆位置关系的回顾，培养学生类比学习能力.在图象认识的基础上，逐渐由“形”上升到“数”. 例1.已知直线l 过(0,1)A ，抛物线方程为24y x =.（1）若直线与抛物线没有交点，求直线l 的斜率k 的取值范围；（2）若直线与抛物线有两个交点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 【知识点】直线与抛物线.【解题过程】由题意知直线l 的方程为：1y kx =+.联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得：22(24)10k x k x +-+=. ①（1）直线与抛物线没有交点，即方程①无解，故22(24)40k k k ≠⎧⎨∆=--<⎩，解得：1k >.（2）直线与抛物线有两个交点，即方程①有两个不同的实数解，故22(24)40k k k ≠⎧⎨∆=-->⎩，解得：1k <且0k ≠. 【思路点拨】用方程组的解的个数来讨论两曲线公共点的个数时，要注意到二次项系数为零的情况.【答案】（1）1k >；（2）1k <且0k ≠. ●活动② 归纳总结，提炼结论直线与抛物线的位置关系：设直线方程为y kx b =+，抛物线22y px =，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax .当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则：若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点（相离）同类训练已知直线l 过下面任意一个定点，抛物线方程为24y x =，若直线与抛物线仅有一个交点，则这样的直线有几条？(0,1),(1,2),(1,1)A B C答案：分别有3,2,1条.解析：【知识点】直线与抛物线位置关系.【解题过程】根据,,A B C 与抛物线的位置关系，可知分别过,,A B C 且与抛物线仅有一个交点的直线条数分别为：3，2,1.点拨：动直线过定点问题与抛物线恰有一个交点问题，首先要验证定点与抛物线的位置关系，从而确定满足条件的直线有几条. 探究二：抛物线的焦点弦. ●活动①例题出发，发现关系例2.已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（2）若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F 3(,0)2. 所以直线l 的方程为y ＝33()2x -.联立263)2y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3. 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.【思路点拨】过焦点的弦长问题注意利用好抛物线的定义可简化运算. 【答案】（1）|AB |＝8；（2）92.同类训练已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：（1）12x x 为定值；（2）11||||FA FB +为定值. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）设直线:()(0)2pAB y k x k =-≠由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：22222(2)04k p k x p k x -++=，故2124p x x =为定值.（2）由抛物线的定义知：12||,||22p p AF x BF x =+=+ 故121221212121211112||||()()22224x x p x x p p p p p p FA FB p x x x x p x x x x +++++=+===+++++++. 点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理. ●活动②师生合作，探究弦长我们把过焦点的直线割抛物线所成的相交弦称为抛物线的焦点弦.过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，设两交点),(),(2211y x B y x A .可以通过两次焦半径公式得到：（1）当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关：抛物线)0(22>=p px y ，)(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关：抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-= （2）若已知过焦点的直线倾斜角θ.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ （3）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =●活动③强化提升，灵活应用例3.如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP |-|FP |cos2a 为定值，并求此定值.【知识点】抛物线方程及其几何性质.【解题过程】设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2(p F 的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为2p x -=. 从而所求准线l 的方程为2-=x .（2）如图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知AC AF =，|FB |=|BD |. 记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则 |F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+a FA p p a FA p x x 解得aFA cos 14||-=. 类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得aFB cos 14||+=.记直线m 与AB 的交点为E ，则aaa a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-=所以aa FE FP 2sin 4cos ||||==. 故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=-aa a aa FP FP .【思路点拨】涉及到直线倾斜角，我们可以利用抛物线的定义寻找几何关系，利用倾斜角α来表示焦半径,AF BF 解题.【答案】（1）F （2，0），2-=x ；（2）||||cos28FP FP a -=，证明见解题过程.同类训练已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆13422=+y x 的右焦点重合，抛物线C 与椭圆的交于点P ，延长PF 交抛物线C 于点Q . （1）求抛物线C 的方程；（2）求||PQ 的值. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】（1）由题意：(1,0)F ，2P ∴=，抛物线C 的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224144y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得123x =,设:1PQ x my =+，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=，124y y ∴=-221212144y y x x ∴=⋅=，232x ∴=.12256PQ PF QF x x p ∴=+=++=. 点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理. 3.课堂总结知识梳理直线与抛物线的位置关系：设直线方程为y kx b =+，抛物线22y px =，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax .当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则：若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点（相离）重难点归纳焦半径与焦点弦：过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，设两交点1122(,)(,),0A x y B x y p >. （1）1||2p AF x =+，2||2pBF x =+；12||AB x x p =++. （2）421px x =，212y y p =-. （3）若已知过焦点的直线倾斜角θ，则22sin pAB θ=. （三）课后作业基础型自主突破1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝（） A ．2或－2 B ．－1 C ．2 D ．3 答案：C.【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由⎩⎨⎧y 2＝8x y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则24(2)k k +＝4，即k ＝2.（当1k =-时，直线与抛物线相切）点拨：联立方程利用韦达定理解题.2．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是（） A ．(2，－1) B ．(1，－1) C ．(14，－14) D ．(116，－116) 答案：A.【知识点】对称问题.【解题过程】y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．点拨：点关于直线对称注意两个关键词：“垂直”，“中点”.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是（） A ．1 B ．2 C.58 D ．158 答案：D.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.点拨：注意结合定义用几何关系处理.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB→＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|等于（） A ．9B ．6C ．4D ．3答案：B.【知识点】抛物线的焦半径.【解题过程】设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B. 点拨：抛物线22y px =的焦半径：0||2p PF x =+ 5．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，当水面升高1米后，水面宽度是________m .答案：解析：【知识点】抛物线的方程.【解题过程】设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ，∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ，水面升高1 m时，即y＝－1时，x＝±2 2.则水面宽为42m.点拨：根据开口方程假设标准方程求解.6．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值是_________．答案：解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由|AF|＝4及抛物线定义得A到准线的距离为4.∴A点横坐标为－2，∴A(－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|P A|＋|PO|的最小值为：|AB|＝36＋16＝213.点拨：利用抛物线的定义解题.能力型师生共研7．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是________．答案：4.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．点拨：利用抛物线的定义解题.8．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋92对称，则k的取值范围为________．答案：k>14或k<－14.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称，∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.点拨：利用中点在抛物线内建立不等式求解.探究型多维突破9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O .答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p 2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程设为：x ＝my ＋p 2代入抛物线方程得：y 2－2pmy－p 2＝0若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标为(－p 2，y 2)，故直线CO 的斜率为：k ＝22y p＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点．点拨：利用斜率相等说明三点共线.10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．答案：16k =± 解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】（1）由2(1)y x y k x ⎧=-⎨=+⎩消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥O B. （2）设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0.令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|，∴S △OAB ＝112⋅= ∵S △OAB ＝10，∴10＝16k =±. 点拨：注意利用坐标关系解题.自助餐1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB→的值是（）A ．12B ．－12C ．3D ．－3答案：D.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB→＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝21212()316y y y y +=-，故选D. 点拨：焦点弦AB ：212y y p =-.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案：B.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有两条．点拨：利用焦点弦的最小值2p 判断直线条数.3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于（）A ． 3B ．2C ． 5D ． 6答案：C.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .∵渐近线与y ＝x 2＋1相切，∴x 2＋b a x ＋1＝0有两相等根，∴Δ＝b 2a 2－4＝0，∴b 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 5.点拨：利用圆锥曲线的几何性质解题.4．抛物线y 2＝9x 与直线2x －3y －8＝0交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为（）A ．(1138，－274)B ．(1138，274)C ．(－1138，－274)D ．(－1138，274)答案：B.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由2x －3y －8＝0得，x ＝32y ＋4，代入y 2＝9x 中得y 2－272y －36＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝274，x 0＝x 1＋x 22＝12(32y 1＋4＋32y 2＋4)＝34(y 1＋y 2)＋4＝32y 0＋4＝1138，故选B.点拨：联立方程利用韦达定理解题.5．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．答案：610解析：【知识点】抛物线的弦长.【解题过程】由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)，B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB→＝0. 由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36 ①∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24.将①式代入，得y 1＋y 2＝－6 ②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |610.点拨：联立方程利用韦达定理解题.6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1,2)-．（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答案：（1）x ＝－1；（2）存在，2x ＋y －1＝0.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】（1）将(1,2)-代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t|5＝15，解得t＝±1.综上知：t＝1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. 点拨：直线与抛物线方程联立求解.。

人教课标版高中数学选修2-1《抛物线的简单几何性质(第1课时)》教案-新版

2.4.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）一、教学目标（一）学习目标1. 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2. 能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论.（二）学习重点抛物线的几何性质及其运用.（三）学习难点抛物线几何性质的运用.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第68页至第69页.（2）想一想：如何推导抛物线的焦半径公式？（3）写一写：焦点分别在,x y轴上的抛物线的范围、对称性、顶点.2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）抛物线的图象关于点(0,0)对称.（）（2）抛物线没有渐近线.（）（3）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.（）（4）抛物线的离心率等于1.（）【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】抛物线只是轴对称图形，没有对称中心，故（1）错误；由抛物线的定义知：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p，故（3）错误.【思路点拨】结合抛物线的定义和抛物线的方程判断.【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）√.（二）课堂设计1.知识回顾（1）抛物线的定义.（2）抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程. 2.新知讲解探究一：探究抛物线的几何性质 ●活动① 师生互动，探索性质类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课我们来研究“抛物线的几何性质”. 提醒学生从数(方程)和形(图像)两个角度去研究抛物线的几何性质.请学生自己先类比椭圆双曲线的几何性质的研究方法，必要时可与同桌讨论. 类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022>=p px y 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：（1）范围数：由抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的范围为0x ≥，y R ∈. 形：抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.（2）对称性数：(),x y 与 (),x y -关于x 轴对称，若点(),x y 在抛物线上，即满足22y px =，则()22y px -=，即点(),x y -也在抛物线上，故抛物线22y px =()0p >关于x 轴对称. 形：从图像观察，关于x 轴对称，显而易见. 注意：抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. （3）顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.数：()220y px p ∴=>中，令0y =则0x =，即抛物线()220y px p =>的顶0,0点是()形：从图像看，显然原点既是顶点.注意：这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.（4）离心率定义：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率.由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.●活动②类比学习，归纳梳理对于其它几种形式的方程，它们的性质如何，学生分析回答：(通过对照完成表)【设计意图】通过填表，培养学生类比、归纳学习能力.●活动③对比分析，深入理解【提出问题】与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？（由学生回答）（1）抛物线只位于___________个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有___________条对称轴，___________对称中心；（3）抛物线只有___________个顶点、___________个焦点、___________条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，其值为___________．探究二：抛物线的特殊量●活动① 结合性质，研究概念（1）通径：标准方程中2p 的几何意义.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度2p = p 越大开口越开阔利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 设抛物线22(0)y px p =>上一点00(,)P x y ,则由抛物线的定义可得：焦半径公式：02p PF x =+思考：其他三种标准的抛物线对应的焦半径公式呢？ ●活动② 巩固基础，检查反馈例1.已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ，所以22)22(2⋅=-p ，即2=p 因此，所求的抛物线方程为x y 42=．【思路点拨】首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．【答案】x y 42=．同类训练抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆229436x y +=短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程. 【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】椭圆方程为：22149x y +=，则抛物线的对称轴为x 轴，设抛物线的方程为2(0)y ax a =≠.又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则||34a=，即12a =±. 故所求抛物线方程为212y x =或212y x =-.【思路点拨】先确定抛物线的形式，再依条件求待定参数. 【答案】212y x =或212y x =-.例2.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）A. 10B. 8C. 6D. 4 【知识点】焦半径.【解题过程】设抛物线焦点为F ，则12||||||822p p AB AF BF x x =+=+++= 【思路点拨】过焦点的弦长分为上下两个焦半径，利用焦半径公式直接求解. 【答案】B同类训练已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 【知识点】抛物线定义.【解题过程】由y 2＝4x ，知p ＝2，F (1,0)，由抛物线定义，x A ＋p2＝|AF |， ∴x A ＝2－1＝1，因此AB ⊥x 轴，F 为AB 中点，从而|BF |＝|AF |＝2. 【思路点拨】先利用焦半径公式2A pAF x =+求出A x ，再计算||BF . 【答案】2.例3.已知圆x y x 22+-9=0与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A ,B两点，AOB ∆的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程. 【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】依题意设所求抛物线方程为()y px p 2=2>0，焦点(,),(,),(,)pF A x y B x y 00000-2，则y px x y x 20022000⎧=2⎪⎨+-9=0⎪⎩()x p x 200+2-9=0 ①,OA BF OA BF k k ⊥∴=-1,即,()y y px x p p p x x x x 0000000025∴=-1=-1∴=2--22②把②代入①得p =2，∴所求抛物线方程为y x 2=4【思路点拨】求抛物线的方程时，一定要先根据题目条件准确地确定其形式，然后再由题目条件求出待定的系数. 【答案】y x 2=4同类训练已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若||||OA OB =，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程.【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由题意知：,A B 关于x 轴对称，焦点(,0)2pF .设0000(,),(,)A x y B x y -，则1FA OB k k ⋅=-，故：200()2p y x x =-. 又2002y px =，所以0002()2p px x x =-，即：052x p =.所以直线AB 方程为：52x p =.【思路点拨】利用抛物线的几何关系解题.【答案】直线AB 方程为：52x p =.3.课堂总结知识梳理（1）范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；（4）离心率：抛物线的离心率是确定的，等于1；重难点归纳设F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，00(,)P x y 为抛物线上一点，则焦半径公式：02pPF x =+. （三）课后作业基础型自主突破1．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为（）A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4【知识点】抛物线焦半径.【解题过程】设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.【思路点拨】抛物线的焦半径公式：0||2pPF x =+. 【答案】C2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于（）A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 【知识点】抛物线焦半径.【解题过程】由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则24k p =.∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4. 【思路点拨】抛物线的焦半径公式：0||2pPF x =+. 【答案】B.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（）A. 2 B ． 3 C ．2D ．2 3【知识点】抛物线几何性质..【解题过程】∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3，又ba ＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得e ＝3，故选B. 【思路点拨】利用圆锥曲线的几何性质解题. 【答案】B4．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】设抛物线方为y 2＝2px (p >0)．如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B . 又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ， ∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题. 【答案】C.5．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】设正三角形边长为x . 363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23，当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】 .6．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是________________．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】设P 24y y （-，），则AP →＝224y y （--，），BP →＝244y y （--，），AP →·BP→＝224y y （--，）244y y （--，）＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．【思路点拨】数量积问题坐标化转化为函数最值. 【答案】(0,0). 能力型师生共研7．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________________．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为F 02p（-，），准线方程为x ＝p 2，设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6，∴M (－9,6)或M (－9，－6)．【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题. 【答案】(－9,6)或M (－9，－6)8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】如图，k AF ＝－3， ∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |.【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题. 【答案】8. 探究型多维突破9．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .（1）若点C 的纵坐标为2，求|MN |；（2）若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.（2）设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0. 所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332. 【思路点拨】利用抛物线的定义结合几何关系解题.【答案】（1）|MN |=2；（2）332.10．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝| BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32. 设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14， ∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ，由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 2)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴12y y +=122y y += ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.【思路点拨】本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程求解，这样解答简捷准确．【答案】M 到y 轴距离的最小值为54，M (54，±22). 自助餐1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（）A ．(6,)+∞B ．[6,)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由抛物线的定义知：抛物线的顶点到准线的距离最短. 【思路点拨】利用抛物线的定义解题. 【答案】D2．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点（）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵圆心到直线x ＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．【思路点拨】利用抛物线的定义解题. 【答案】B3. 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为（）A. 102 B ．2 C. 5D ．52【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32， ∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102.【思路点拨】注意利用两曲线的交点同时满足两种定义. 【答案】A.4．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是（）A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0【知识点】抛物线的几何性质. 【解题过程】如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，|OA |＝|OB |，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1，即22221(2)22pt ppt pt -=--（），解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.【思路点拨】利用几何关系处理. 【答案】C.5．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切．【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，M为AB的中心，作MM′⊥l于M′，则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，在直角梯形BB′A′A中，|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|，即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径．故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切．【思路点拨】注意结合抛物线的定义利用几何关系解题.【答案】见解题过程.6．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？【知识点】抛物线的定义.【解题过程】如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－1 26，∵6.5－126>6，∴能安全通过．【思路点拨】根据抛物线的开口方向假设方程，通过待定系数法求方程. 【答案】能安全通过.。

《抛物线的简单几何性质》学案1(人教A版选修2-1)

§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）学习目标1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程一、课前准备（预习教材理P 68~P 70，文P 60~P 61找出疑惑之处）复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．复习2：双曲线221169x y 有哪些几何性质？二、新课导学※学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点准线顶点对称轴x 轴离心率试试：画出抛物线28y x 的图形，顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程、对称轴、离心率．※典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M ，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,22)M 的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x 于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．※动手试试练1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ；⑶焦点是(0,8)F ，准线是8y ．三、总结提升※学习小结1．抛物线的几何性质；2．求过一点的抛物线方程；3．求抛物线的弦长．※知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．下列抛物线中，开口最大的是（）．A ．212yx B ．2y x C ．22y x D ．24yx 2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（）．A ．220y x B ．220xy C ．2120y x D ．2120x y 3．过抛物线24y x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（）．A ．10B ．8C ．6D ．44．抛物线2(0)yax a 的准线方程是．5．过抛物线22y x 的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x ，则AB =．课后作业1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；⑵顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P ．2M 是抛物线24y x 上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ，求FA ．。

高中数学 2.3.4抛物线的简单几何性质(2)导学案新人教版选修1-1(1)

§2.3.4 抛物线的简单几何性质（2）学习目标1．掌握抛物线的几何性质；2．抛物线与直线的关系．学习过程一、课前准备7072，文P61~ P63找出疑惑之处）复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点(2,3)P-的抛物线的方程为（）．A．29 4y x= B. 29 4y x=-或24 3x y=-C. 24 3x y= D. 29 2y x=-或24 3x y=复习2：已知抛物线22(0)y px p=->的焦点恰好是椭圆2211612x y+=的左焦点，则p= ．二、新课导学※学习探究探究1：抛物线22(0)y px p=>上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：①这点到准线的距离为；②焦点到准线的距离为；③抛物线方程；④这点的坐标是；⑤此抛物线过焦点的最短的弦长为．※典型例题例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．（理）例2已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？小结：① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；②直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交．※ 动手试试练1. 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⊥．2．垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，且AB =，求直线AB 的方程．三、总结提升※ 学习小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线与直线的关系．※ 知识拓展过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M ,N 两点，则11MF NF +为定值，其值为2p ．学习评价※ 当堂检测1．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）．A. 2p B. p C. 2p D. 无法确定 2．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（）．A. 52B. 5C. 152D. 10 3．过点(0,1)且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条4．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是_______________．5．抛物线上一点(5,25)-到焦点(,0)F x 的距离是6，则抛物线的标准方程是．课后作业※ 夯基达标1.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.1122⎡⎤-,⎢⎥⎣⎦B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4] 2.过点M (2,4)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.03.对于抛物线C :24y x =,我们称满足2004y x <的点0(M x 0)y ,在抛物线的内部,若点00()M x y ,在抛物线的内部,则直线l :0y y 02()x x =+与抛物线C 的位置关系是( )A.恰有一个公共点B.恰有两个公共点C.可能有一个,也可能有两个公共点D.无公共点4.抛物线2y x =-上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D.3 5.设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点PA l A ,⊥,为垂足,如果直线AF 的斜率为3,那么|PF |= .6．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P ，Q 两点， PQ =15，求抛物线的方程．7．从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．8.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,求抛物线方程.9.已知抛物线C:22(0)y px p =>的准线为l ,过M (1, 0)3的直线与l 相交于点A ,与C 另一个交点为B,若AM =MB ,求抛物线C 的方程.※ 能力提升10.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为 ( ) A.2 B.2 C.32 D.22 11.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,且|AF |=2,则|BF |= .12.已知抛物线的方程为22y x =,直线l 的方程为y =kx +1(k ∈R ),当k 分别为何值时,直线l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.13.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A,B 是抛物线上的两个点，线段AB 的中点M 的坐标为(2,2),求△ABF 的面积.14.已知A,B 是抛物线24y x =上的两点,O 是抛物线的顶点,且OA OB ⊥,求证:直线AB 过定点.※ 拓展探究15.天体运行的轨道经常是一个二次曲线,而地球恰好位于轨道的焦点处,研究天体的运行轨道问题可以转化为研究二次曲线的问题,天体运行轨道的分析并不是深不可测的,只要用我们所学的知识就可以研究.看下面的问题:设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为d (万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30,求这颗彗星与地球的最短距离.。

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高中数学《抛物线的简单几何性质》学案新人
教版选修
92、4、2抛物线的简单几何性质
【课程标准】
了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线的几何性质
【学习目标】
1、通过自主学习了解抛物线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质
2、能从抛物线的标准方程出发推导抛物线的性质，从而培养学生的分析、归纳、推理能力
3、通过例题和练习逐步掌握对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质
【自主学习】
请类比椭圆、双曲线的几何性质，讨论抛物线的性质以为例
1、范围
2、对称性
3、顶点
4、离心率
【典型例题】
例
1、轻松判断（1）顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线有4条（）（2）像椭圆、双曲线一样，一条抛物线有两个焦点，两条对称轴，一个对称中心（）（3）抛物线的的取值范围是不同的，但其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同（）（4）过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A,B,则与抛物线标准方程的一次项系数相等( )例
2、边长为4的正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求抛物线方程例
3、已知抛物线 ,设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离、变式: 抛物线x2=4y的焦点为F, 斜率为2的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长、拓展提高：
抛物线y2=4x的焦点为F, 点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求|MA|+|MF|的最小值、
【课堂练习】
1、若抛物线上一点P到准线的距离等于它到顶点O的距离，则P点的坐标为（）
2、连接抛物线上任意四点组成的图形有可能是（填写所有正确序号）①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形
3、求顶点在原点，焦点在y轴上且通径长为8的抛物线方程
4、已知抛物线C: ,焦点F到准线的距离为
2、（1）求p的值（2）过点F作直线交抛物线于
A、B，交于点M，若点M的纵坐标为-2，求。

高中数学《抛物线的简单几何性质》学案 新人教版选修

高中数学 2.4.3 抛物线的简单几何性质(二)学案 新人教A版选修2-1

最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线的简单几何性质》示范教案(第1课时)