最小二乘估计(最新课件ppt)
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递推最小二乘法PPT课件
,
b0
bn
(n 1)
(n
2)
(n N )
N维噪声向量
N×(2n+1)维
测量矩阵
y(n)
y(1) u(n 1)
u(1)
y(n 1)
y(2) u(n 2)
u(2)
y(n N 1)
y(N) u(n N)
u(N )
则可写为
y
2
第2页/共31页
e y y y
PN 1 PN PN ψN 1 1 ψTN 1PN ψN 1 1 ψTN 1PN
PN
PN 1 PN ψ N 1
1
ψ
T N
1PN
ψ
N
1
1 ψTN 1PN
PN PN1 PN
ψ
N
1ψ
T N
1
1
ψ
T N
1PN
ψ
N
1
PN 0
7
第7页/共31页
数据饱和现象
可见，随着递推次数的增加，P(N)将越来越小,最
2）自适应滤波法
这种方法所选择的辅助变量 y(k) 和辅助变量矩阵Z 的形式与上一种方法完全相同，只是辅助模型中参数
向量 的估计方法与上一种方法有所不同。取 (k) (1 ) (k 1) (k d )
式中： 取0.01 0.1；d 取0 10； (k) 为k时刻所得到
的参数向量估计值。当u(k )是持续激励信号时，所
N 1
2ΦTNΦN
N
1
T N
1
1
2ΦTNYN
N 1 y(n
N
1)
ΦTN ΦN
1 ΦTNYN
ΦTN ΦN
最小二乘估计PPT教学课件
• ②存在x0∈I，使f(＝x0) M. • 那么M是函数y＝f(x)的最大值．
• 若M是函数y＝f(x)的最小值又如何填写条
件？
－5
• (2)函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为 ， 最大值为5.
－3
5
－3
• (40)函数y＝x2－2x－3在[－－24,0]上的最小值0. 为
，最大值为 ；在[2,3]上的最小
气温 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64
1）求线性回归方程
2）如果某天的气温是－30C，预测这天 能卖热茶多少杯？
i xi
1
1.4
2
1.5
3
1.6
4
1.7
5
1.8
6
1.9
7
2
8
2.1
x 1.75
y 1.9775
yi
xi 2
xi yi
1.7 1.79 1.88 1.95 2.03 2.1 2.16 2.21
分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量．
1. 散点图；
2.回归方程：
y 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
例2：上节中的练习热茶的杯数（y）与气温（x） 之间是线性相关的
• 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)．
• 3．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
课件：最小二乘估计
最小二乘估计是一种数学统计方法，用于刻画两个变量之间的线性关系。其基本原理是，通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。在具体应用中，通常用于求解线性回归方程的系数。当数据点分布在一条直线附近时，最小二乘法可以提供一个最优的直线方程来拟合这些数据点。求解过程中，首先计算各数据点与直线之间的距离差（即残差），然后求这些残差的平方和。通过调整直线的斜率和截距，使得残差平方和最小，从而得到最佳拟合直线。文档中还详细推导了最小二乘法的求解公式，包括斜率和截距的计算方法，并给出了具体的应用实例。例如，在热饮销售与气温关系研究中，可以利用最小二乘法求出线性回归方程，进而预测不同气温下的热饮销售量。总之，最小二乘估计是一种重要的数学工具，在数据分析、预测和建模等领域具有广泛的应用价值。
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
分步计算减 少出错
第十五页，共25页。
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x 2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃时，卖
出的热茶杯数为
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
第十六页，共25页。
1.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点 图观察数据是否具有线性关系
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
第一页，共25页。
1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程； 2、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式
建立线性回归方程.
第二页，共25页。
上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系，用了 很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依 据. 问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）.
程y=a+bx必经过点 (
（A）（2，2）
)D
（B）（1.5，0）
（C）（1，2）
（D）（1.5，4）
x0123 y1357
第十八页，共25页。
2、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
（1）画出销售额和利润额的散点图； （2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的 线性回归方程.
4
49
28
5
81
45
17
200 112
利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果越好.但即使选取相同 的样本数，得到的直线方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成
的,样本量越大，所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系.
第二十一页，共25页。
《最小二乘估计》公开课教学PPT课件【高中数学必修3(北师大版)】
新课学习
利用线性回归方程对总体进行估计
（1）求线性回归方程 y=a+bx:
①列表求 x ， y , x1 y1+ x2 y2+···+ xn yn的值;
②由 b
x1 y1 x2 y2 x12 x22
求系数a和b。
xn yn nx y ; a y bx
xn2 nx 2
（2）利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。
即在 x=x0处的估计值为 y=a+bx0
新课学习
用最小二乘法推导3个点的线性回归方程
设有3个点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 则有最小二乘法可知直 线 y=a+bx与这3个点 的接近程度由下面表达式刻画:
y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 y3 a bx3 2 （※）即
把（※）式整理为关于a的二次函数 f(a), 即
f (a) 3 a2 2a y bx y1 bx1 2 y2 bx2 2 y3 bx3 2
从而当 b
x1 y1 x2 y2 x3 y3 3 x x12 x22 x32 3 x 2
y
时, 函数 f(a)达到最小值。
10 4 38 50
-1 （1）试用最小二乘法求出线性回归方
64
程;（2）如果某天的气温是-5oC, 请预 测这天可能会卖出热茶多少杯。
解:（1）根据要求列出表格，计算得
x
35 , y 3
115 3
1910 6 35 115
b
3 3 1.648,
由系数公式得，
1286 6 35 35 33
新课学习
某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天的气温(x)之间是线性相关的。数据如下表:
最小二乘估计课件(43张)
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30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘估计(最新课件ppt)
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
高中数学必修课件最小二乘估计
03
非线性回归模型与最小二乘估计
非线性回归模型概述
1 2
非线性回归模型定义
描述因变量与自变量之间非线性关系的回归模型 。
常见非线性回归模型
指数回归、对数回归、幂回归等。Βιβλιοθήκη 3非线性回归模型特点
模型参数估计复杂，但拟合效果可能更优于线性 回归。
最小二乘估计在非线性回归中应用
01
02
03
最小二乘法原理
参数估计性质与评价标准
参数估计性质
最小二乘估计具有线性性、无偏性、有效性等优良性质，是 实际应用中最常用的参数估计方法之一。
评价标准
评价最小二乘估计效果的标准包括残差图、均方误差、决定 系数等。其中，残差图用于直观判断模型拟合效果，均方误 差用于量化模型预测误差大小，决定系数用于衡量自变量对 因变量的解释程度。
通过介绍非线性回归模型的案例，如指数增长、周期性变化等，引 导学生理解最小二乘法在非线性回归中的推广和应用。
多重共线性问题
通过实际案例，让学生理解多重共线性对最小二乘估计的影响，以 及如何处理多重共线性问题。
实验设计与数据收集
实验设计
指导学生设计实验方案，明确实验目的、实验对象和实验 方法，确保数据的有效性和可靠性。
拓展应用
将最小二乘法应用于金融、生物、医学等领域的实际问题中，如股票价格预测、基因表达数据分析等。同时，可 以探索最小二乘法与其他数据分析方法的结合，如主成分分析、聚类分析等，以提高数据分析的准确性和效率。
THANKS
感谢观看
数据收集
教授学生如何收集和整理实验数据，包括直接观测、问卷 调查、实验测量等方法，强调数据的真实性和完整性。
预处理与探索性分析
引导学生对收集到的数据进行预处理，如数据清洗、缺失 值处理、异常值检测等，并进行探索性分析，初步了解数 据的分布和特征。
8.2.2一元线性回归模型的最小二乘估计课件(人教版)
ෝ =0.839x +28.957，令
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
第二十四讲：最小二乘估计、波形估计-课件
z(i)H (i)X 0w (i)
z k z(1 ) z(2 ) ... z(k )T
H k H ( 1 ) H (2 ) ... H (k )T
zk HkX0wk
X ˆ0 (k ) [(H k)T H k] 1 (H k)T z k
批处理算法，运算量太大。
递推算法：
X ˆ 0 ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) K ( k ) ( z ( k ) H ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) )
{ z(k), k= n0, n0+1,...,nf }对区间内的某一个时刻 n(n0<n<nf)的信号进行估计，内插也称为平滑。
数据
n0
n
nf
sˆ ( n )
波形估计宜采用可建立递推算法的线性最小均方估 计或最小二乘估计。
z ( n ) s ( n ) v ( n ) n 0 ,1 ,...,N 1
A
n0
Aˆ
1
N 1
z(n)
N n0
例：正弦信号频率的估计
s(n)cos2f0n
N1
J(f0) (z(n)cos2f0n)2 n0
最小化难以得到闭合性形式的解，原因是信号与 未知参数f0之间存在高度的非线性关系。
zHθv
zz1,z2,...,zNT
θ1,2,...,MT
vv1,v2,...,vNT
θ ˆlsw(H TW H )1H TW z
讨论：
（1） 当观测噪声的均值为零时，最小二乘与加权最小二 乘是无偏估计。
E[θˆls ] (HT H)1HT E[z] (HT H)1HT E[Hθ v] (HT H)1HT Hθ θ
（2）估计的方差阵
V a r ( θ l s ) E { [ θ θ ˆ l s ] [ θ θ ˆ l s ] T } ( H T H ) 1 H T R H ( H T H ) 1
z k z(1 ) z(2 ) ... z(k )T
H k H ( 1 ) H (2 ) ... H (k )T
zk HkX0wk
X ˆ0 (k ) [(H k)T H k] 1 (H k)T z k
批处理算法，运算量太大。
递推算法：
X ˆ 0 ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) K ( k ) ( z ( k ) H ( k ) X ˆ 0 ( k 1 ) )
{ z(k), k= n0, n0+1,...,nf }对区间内的某一个时刻 n(n0<n<nf)的信号进行估计，内插也称为平滑。
数据
n0
n
nf
sˆ ( n )
波形估计宜采用可建立递推算法的线性最小均方估 计或最小二乘估计。
z ( n ) s ( n ) v ( n ) n 0 ,1 ,...,N 1
A
n0
Aˆ
1
N 1
z(n)
N n0
例：正弦信号频率的估计
s(n)cos2f0n
N1
J(f0) (z(n)cos2f0n)2 n0
最小化难以得到闭合性形式的解，原因是信号与 未知参数f0之间存在高度的非线性关系。
zHθv
zz1,z2,...,zNT
θ1,2,...,MT
vv1,v2,...,vNT
θ ˆlsw(H TW H )1H TW z
讨论：
（1） 当观测噪声的均值为零时，最小二乘与加权最小二 乘是无偏估计。
E[θˆls ] (HT H)1HT E[z] (HT H)1HT E[Hθ v] (HT H)1HT Hθ θ
（2）估计的方差阵
V a r ( θ l s ) E { [ θ θ ˆ l s ] [ θ θ ˆ l s ] T } ( H T H ) 1 H T R H ( H T H ) 1
最小二乘法PPT课件
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一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
第6页/共74页
正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
第23页/共74页
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
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（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
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正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
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线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
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的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
精品PPT课件----最小二乘估计共26页
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
精品PPT课件----最小二乘估计
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
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【规范解答】（1)画出散点图如图：
【例】以下资料是一位销售经理收集来的销售员每年的销售 额和销售经验年数的关系表：
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 y011·中山模拟)某公司近年来科研费用支出x万 元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线 性回归方程y=bx+a.
参考公式：
【审题指导】解答本题的关键是明确公式中各量的意义,分 别计算出结果.
2.应用线性回归方程的方法技巧 （1）求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性 相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据 作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系. （2）求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，由 于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避 免因计算产生失误. （3）得到的实验数据不同，则a、b的结果也不尽相同.
甲,乙,丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y 之间的三个线性回归方程①y=-x+2.8;②y=-x+3;③y= -1.2x+2.6,其中正确的是____; 【解析】把 x, 代y 入可知. 答案:①
5.已知变量x，y线性相关，x与y有下列对应数据： 求y对x的线性回归方程.
【解析】
x
10
则 yi =y1i 72 9.28. i1
（3）因为179.28＞170,故用最小二乘法求出的10 yi yˆi 2 i1
较小.
回归方程的应用
1.回归方程的应用体现在以下几个方面： (1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程即可定 量的描述两个变量间的依赖关系. (2)利用回归方程可以进行预测,把预报因子(相当于随机变 量x)代入回归方程对预报量(相当于因变量y)进行估计,即 可得到个体y值的允许区间. (3)利用回归方程进行统计控制规定y值的变化,通过控制x 的范围来实现统计控制的目标.
【规范解答】（1）散点图如图所示. 由散点图知二者呈线性相关关系.
（2）设线性回归方程为y=bx+a. 列表并利用科学计算器进行有关计算.
所以b=55 950 10 5≈50.9616.78,
38 500 10 552
a=y -bx=91.7-0.668×55=54.96.
故所求线性回归方程为y=0.668x+54.96.
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
4 52 4
54
在线性回归方程中，b是线性回归方程的斜率，a是 截距；b的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代 表x每增加一个单位，y平均增加的单位数为b个单位.
【例2】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所 花费的时间,为此进行了10次实验,收集数据如下:
（1）画出散点图; （2）求线性回归方程. 【审题指导】先画散点图，判断其是否线性相关，再利用 最小二乘法求其回归方程.
2.有关线性回归的说法，不正确的是( ) (A)相关关系的两个变量是非确定关系 (B)散点图能直接地反映数据的相关程度 (C)线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系 (D)散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 【解析】选D.散点图上的点大致分布在通过散点图中心的 那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系 越强.
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
1＋2＋3＋4
＝5
1 ，y＝2
＋32 ＋2＋3＝7
，
4
2
4
4
4
xi2＝12＋22＋32＋42＝30，
i1
4
i1
x
i
yi＝1
1 2
＋2
3 2
＋3
2＋4
3＝43 2
，
4
b＝i14xxi yi2i44xx2y i1
＝
43－4 5 22 30－4 25
4
7 4
＝4 5
，
a＝y－bx＝7 －4 5＝－1 . y＝4 x－1 .
求线性回归方程
求线性回归方程的一般步骤
（1）计算平均数 x、y ；
n
（2）计算xi与yi的积，求 xiyi ; i 1
（3）计算 xi2 ;
（4）将上述有关结果代入公式
求b、a，写出线性回归方程. 求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，
由于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行， 避免因计算产生失误.
①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点
的直线的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否
可以用线性关系表示；
③通过回归直线y＝bx＋a及回归系数b，可以估计和预测变
量的取值和变化趋势.
其中正确的命题是( )
(A)①②
(B)①③
(C)②③
(D)①②③
【解析】选D.利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据 的点到直线的距离的平方和的最小值.利用线性回归方程， 可以进行预测.而从散点图的分布可以判断是否线性相关.
利用它的意义解答第（2）问.
4
【规范解答】(1) x=iyi3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5
i1
x=
3
4
4
=5 46.5
=
y 2.5=33.54 4.5
4
4 x=i232+42+52+62=86
i1
b6=6.5 4 4.5=3.5
86 4 4.52
66=.50.673
86 81
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
【审题指导】解答本题的关键是最小二乘法求回归方程,再
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：