最小二乘估计(最新课件ppt)

2.应用线性回归方程的方法技巧 （1）求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性 相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据 作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系. （2）求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，由 于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避 免因计算产生失误. （3）得到的实验数据不同，则a、b的结果也不尽相同.
利用它的意义解答第（2）问.
4
【规范解答】(1) x=iyi3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5
i1
x=
3
wenku.baidu.com
4
4
=5 46.5
=
y 2.5=33.54 4.5
4
4 x=i232+42+52+62=86
i1
b6=6.5 4 4.5=3.5
86 4 4.52
66=.50.673
86 81
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
10
则 yi =y1i 72 9.28. i1
（3）因为179.28＞170,故用最小二乘法求出的10 yi yˆi 2 i1
较小.
回归方程的应用
1.回归方程的应用体现在以下几个方面： (1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程即可定 量的描述两个变量间的依赖关系. (2)利用回归方程可以进行预测,把预报因子(相当于随机变 量x)代入回归方程对预报量(相当于因变量y)进行估计,即 可得到个体y值的允许区间. (3)利用回归方程进行统计控制规定y值的变化,通过控制x 的范围来实现统计控制的目标.
2.有关线性回归的说法，不正确的是( ) (A)相关关系的两个变量是非确定关系 (B)散点图能直接地反映数据的相关程度 (C)线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系 (D)散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 【解析】选D.散点图上的点大致分布在通过散点图中心的 那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系 越强.
【例1】（2011·中山模拟)某公司近年来科研费用支出x万 元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线 性回归方程y=bx+a.
参考公式：
【审题指导】解答本题的关键是明确公式中各量的意义,分 别计算出结果.
甲,乙,丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y 之间的三个线性回归方程①y=-x+2.8;②y=-x+3;③y= -1.2x+2.6,其中正确的是____; 【解析】把 x, 代y 入可知. 答案:①
5.已知变量x，y线性相关，x与y有下列对应数据： 求y对x的线性回归方程.
【解析】
x
①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点
的直线的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否
可以用线性关系表示；
③通过回归直线y＝bx＋a及回归系数b，可以估计和预测变
量的取值和变化趋势.
其中正确的命题是( )
(A)①②
(B)①③
(C)②③
(D)①②③
【解析】选D.利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据 的点到直线的距离的平方和的最小值.利用线性回归方程， 可以进行预测.而从散点图的分布可以判断是否线性相关.
在线性回归方程中，b是线性回归方程的斜率，a是 截距；b的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代 表x每增加一个单位，y平均增加的单位数为b个单位.
【例2】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所 花费的时间,为此进行了10次实验,收集数据如下:
（1）画出散点图; （2）求线性回归方程. 【审题指导】先画散点图，判断其是否线性相关，再利用 最小二乘法求其回归方程.
求线性回归方程
求线性回归方程的一般步骤
（1）计算平均数 x、y ；
n
（2）计算xi与yi的积，求 xiyi ; i 1
（3）计算 xi2 ;
（4）将上述有关结果代入公式
求b、a，写出线性回归方程. 求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，
由于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行， 避免因计算产生失误.
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
【审题指导】解答本题的关键是最小二乘法求回归方程,再
4 52 4
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（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
【规范解答】（1)画出散点图如图：
【例】以下资料是一位销售经理收集来的销售员每年的销售 额和销售经验年数的关系表：
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
1＋2＋3＋4
＝5
1 ，y＝2
＋32 ＋2＋3＝7
，
4
2
4
4
4
xi2＝12＋22＋32＋42＝30，
i1
4
i1
x
i
yi＝1
1 2
＋2
3 2
＋3
2＋4
3＝43 2
，
4
b＝i14xxi yi2i44xx2y i1
＝
43－4 5 22 30－4 25
4
7 4
＝4 5
，
a＝y－bx＝7 －4 5＝－1 . y＝4 x－1 .
【规范解答】（1）散点图如图所示. 由散点图知二者呈线性相关关系.
（2）设线性回归方程为y=bx+a. 列表并利用科学计算器进行有关计算.
所以b=55 950 10 5≈50.9616.78,
38 500 10 552
a=y -bx=91.7-0.668×55=54.96.
故所求线性回归方程为y=0.668x+54.96.