线性系统理论Matlab实践仿真报告指南

线性系统理论实验报告

学院：电信学院

姓名：邵昌娟

学号：152085270006

专业：电气工程

线性系统理论Matlab实验报告

1、由分析可知系统的状态空间描述，因系统综合实质上是通过引入适当状态反馈矩阵K，使得闭环系统的特征值均位于复平面S的期望位置。而只有当特征根均位于S的左半平面时系统稳定。故当特征根是正数时系统不稳定，设计无意义。所以设满足题目中所需要求的系统的期望特征根分别为λ1*=-2，λ2*=-4。

(a) 判断系统的能控性，即得系统的能控性判别矩阵Q c，然后判断rankQ c，若rank Q c =n=2则可得系统可控；利用Matlab判断系统可控性的程序如图1(a)所示。由程序运行结果可知：rank Q c =n=2，故系统完全可控，可对其进行状态反馈设计。

(b) 求状态反馈器中的反馈矩阵K，因设系统的期望特征根分别为λ1*=-2，λ2*=-4；所以利用Matlab求反馈矩阵K的程序如图1(b)所示。由程序运行结果可知：K即为所求状态反馈控制器的状态反馈矩阵，即由该状态反馈矩阵所构成的状态反馈控制器能够满足题目要求。

图1(a) 系统的能控性图1(b) 状态反馈矩阵

2、(a) 求系统的能控型矩阵Q c，验证若rank Q c

(b) 求u到y的传递函数，并确定新的状态变量模型。利用Matlab求u到y的传递函数及新的状态变量模型的程序如图2(b)和2(c)所示：由程序运行结果可知所得的新的状态变量模型的n=4，造成这种情况的原因在于原系统为不可控系统，因rank Q c =4，传递函数只能表述系统中可控的部分，故新的状态变量模型为4阶系统。

(c) 证明新的状态变量的模型为可控的，即若rank Q c1 =n=4则新的状态变量的模型即为可控的；故利用Matlab证明新的状态变量的模型为可控的程序如图2(d)所示：由程序的运行结果可知：rank Q c1 =n=4，即可得新的状态变量的模型完全能控。

(d) 判断系统的稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图2(e)所示：由程序的运行结果可知：特征值的根的实部均不为正数，故系统在李雅普洛夫意义下稳定。

图2(a) 系统的能控性

图2(b) u到y的传递函数

图2(c) 系统脉冲传递函数与状态空间表达

(c) 证明新的状态变量的模型为可控的，即若rank Q c1 =n=4则新的状态变量的模型即为可控的；故利用Matlab证明新的状态变量的模型为可控的程序如图2(d)所示：由程序的运行结果可知：rank Q c1 =n=4，即可得新的状态变量的模型完全能控。

(d) 判断系统的稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图2(e)所示：由程序的运行结果可知：特征值的根的实部均不为正数，故系统在李雅普洛夫意义下稳定。

(e) 讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系。因一个系统能控需能控型判别矩阵的秩等于系统的维数，即rank Q c =n，也即等于状态变量的个数。但系统越复杂，状态空间描述中应用的状态变量的个数也越多，rank Q c =n也就越大，也就越难达到要求，所以系统的能控性就越难以满足。综上所述可知，越复杂的系统就越难实现完全可控。

图2(d) 状态变量的模型能控性

图2(e) 系统的稳定性

3、(a) 求系统矩阵A的特征值，并判断其稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；

图3(a) 系统的稳定性

图3(b) 系统矩阵A 的特征值

图3(c) 系统的能控性

利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图3(a)所示：由程序的运行结果可知：系统矩

阵的特征值有两个根的实部为正数，故系统不稳定。

(b) 利用Matlab的poly函数求系统矩阵A 的特征值的程序如图3(b)所示：由程序的运行结果可知：poly函数与eig函数所求出的特征值不同，但结果都表明系统是不稳定的。

(c) 判断当u1与u2分别发挥作用时，系统的能控性；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图3(c)所示：由程序的运行结果可知：当u1与u2分别发挥作用时，rank Q c1 = rank Q c2 =n=4，即其秩等于系统的维数，故可得系统在u1与u2分别发挥作用时，系统均能控。

4、(a) 判断系统的稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图4(a)所示：

图4(a) 系统的稳定性

由程序的运行结果可知：系统矩阵A的特征值中有一个为正数，故系统不稳定。

图4(b) 系统的能控性

(b) 求当u1发挥作用时的能控型判别矩阵Q c1，若rank Q c1 =n=6，则系统可控；利用

Matlab判断系统的能控性的程序如图4(b)所示：由程序的运行结果可知：当u1发挥作用时rank Q c1 =4

(c) 求当u2发挥作用时的能控型判别矩阵Q c2，若rank Q c2 =n=6，则系统可控；利用Matlab 判断系统的能控性的程序如图4(c)所示：当u2发挥作用时rank Q c2 =4

图4(c) 系统的能控性

图4(d) 系统的能控性

(d) 求当u3发挥作用时的能控型判别矩阵Q c3，若rank Q c3 =n=6，则系统可控；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(d)所示：由程序的运行结果可知：当u3发挥作用时rank Q c3 =2

(e) 求由u2到漂移量的传递函数；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(e)所示：

图4(e) 系统的能控性

由程序的运行结果可得所求传递函数G。

(f) 求G所对应的状态变量模型，并验证其为能控系统；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(f)和4(g)所示：由程序的运行结果可知：新的状态变量模型的能控型判别矩阵Q c1的秩，即rank Q c1 =n=4，故新的状态变量系统可控。

图4(f) 系统的能控性