高等数学基础班常微分方程
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(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式.
【例9】设 连续，求解方程 .
【例10】过点 且满足关系式 的曲线方程为 .
【例11】求微分方程 的一个解 ，使得由曲线 与直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小。
【例12】函数 且满足等式
（1）求导数 ；
（2）证明：当
【考点六】二阶常系数非齐次线性微分方程：
1．大纲要求：会解自由项为多项式，指数、函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
2．二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是： ，其中 为常数，若特解为 ，对应的齐次微分方程 的通解为 ，则原方程的通解为
。
3．求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：
【考点分析】本章包括三个重点内容：
1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点一】形如 的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：
当 ，然后左、右两端积分
上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数， 的一个原函数， 表示函数 的一个原函数.
【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。
【考点四】二阶常系数齐次线性微分方程:
1．标准形式： ， 均为常数。
2．通解公式：①特征方程为 ；
②若特征方程有互异实根 ，则通解为 ；
③若特征方程有相等实根 ，则通解为 ；
④若特征根为共轭复根 （ 为常数， ），
则通解为
【例13】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【例14】设 （ 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________。
【例18】设函数 在 内连续， ，且对所有的 ，满足条件
，求
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
【例1】若连续函数 满足关系式 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例2】已知曲线 处的切线斜率为
则 .
【例3】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【考点二】形如 的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令 ，则 ，代入得 .分离变量，得 。两端积分，得 ，求出积分后，将 换成 ，即得齐次方程的通解
【例5】求下列微分方程的通解.
1、 2、
3、 4、
【考点三】1. 形如 的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为： .
【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分 ，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c。
2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。
第六章常微分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程 等价于 即
两边积分得 即
【例6】设 为连续函数，（1）求初值问题
的解 ，其中 是正常数；（2）若 （ 为常数）。
证明：当 时，有
【例7】求下列微分方程的通解.
1、 ，2、 3、
【例8】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件： ， ，且f(0)=0,
设 ，且对应齐欠微分方程
的通解为 ，其中 为任意常数。将
换成函数， 保持不变，即令
是 的通解，其中 是待定系数。函数 的求法如下：
先求方程组
解出 与 ，再积分就可得出 与Leabharlann Baidu代入得
就是原方程的通解。
【例15】求下列微分方程的通解
1、 2、 3、
【例16】设 在 上连续，且 ，求
【例17】设 ，其中 连续，求满足条件的
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
①设 ，其中 是 次多项式，设特解
，其中 也是 次多项式，当 不是 的单特征根时， ；当 是 的重特征根时， ，再设 ，将 代入微分方程 ，两端比较 同次幂系数，就可求出符定系数 。
②设 其特解为
其中 ，而 按 （或 ）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1。
4．求二阶线性常系数非齐次微分方程的常数变易法：
(2)求出F(x)的表达式.
【例9】设 连续，求解方程 .
【例10】过点 且满足关系式 的曲线方程为 .
【例11】求微分方程 的一个解 ，使得由曲线 与直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小。
【例12】函数 且满足等式
（1）求导数 ；
（2）证明：当
【考点六】二阶常系数非齐次线性微分方程：
1．大纲要求：会解自由项为多项式，指数、函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
2．二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是： ，其中 为常数，若特解为 ，对应的齐次微分方程 的通解为 ，则原方程的通解为
。
3．求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：
【考点分析】本章包括三个重点内容：
1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点一】形如 的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：
当 ，然后左、右两端积分
上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数， 的一个原函数， 表示函数 的一个原函数.
【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。
【考点四】二阶常系数齐次线性微分方程:
1．标准形式： ， 均为常数。
2．通解公式：①特征方程为 ；
②若特征方程有互异实根 ，则通解为 ；
③若特征方程有相等实根 ，则通解为 ；
④若特征根为共轭复根 （ 为常数， ），
则通解为
【例13】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【例14】设 （ 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________。
【例18】设函数 在 内连续， ，且对所有的 ，满足条件
，求
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
【例1】若连续函数 满足关系式 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例2】已知曲线 处的切线斜率为
则 .
【例3】求下列微分方程的解
1、 2、 3、
【考点二】形如 的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令 ，则 ，代入得 .分离变量，得 。两端积分，得 ，求出积分后，将 换成 ，即得齐次方程的通解
【例5】求下列微分方程的通解.
1、 2、
3、 4、
【考点三】1. 形如 的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为： .
【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分 ，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c。
2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。
第六章常微分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程 等价于 即
两边积分得 即
【例6】设 为连续函数，（1）求初值问题
的解 ，其中 是正常数；（2）若 （ 为常数）。
证明：当 时，有
【例7】求下列微分方程的通解.
1、 ，2、 3、
【例8】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件： ， ，且f(0)=0,
设 ，且对应齐欠微分方程
的通解为 ，其中 为任意常数。将
换成函数， 保持不变，即令
是 的通解，其中 是待定系数。函数 的求法如下：
先求方程组
解出 与 ，再积分就可得出 与Leabharlann Baidu代入得
就是原方程的通解。
【例15】求下列微分方程的通解
1、 2、 3、
【例16】设 在 上连续，且 ，求
【例17】设 ，其中 连续，求满足条件的
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
①设 ，其中 是 次多项式，设特解
，其中 也是 次多项式，当 不是 的单特征根时， ；当 是 的重特征根时， ，再设 ，将 代入微分方程 ，两端比较 同次幂系数，就可求出符定系数 。
②设 其特解为
其中 ，而 按 （或 ）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1。
4．求二阶线性常系数非齐次微分方程的常数变易法：