初中数学开放性题型其解法
初中数学常见开放题的类型与策略
Ｂ
Ｃ
分 析 ： 导 学 生 从 三角 形 全 等 的 判 定 可 知 ， 须 知 道 ｊ 个 引 必
条 件 ， 已知 一 个 条 件 和 写 出一 个 条 件 ， 两个 条件 是 不 满 足 而 才 全 等 条 件 ， 以题 中一 定 隐 含 一 个 条 件 ， 学生 说 出 隐含 条 件 所 让
一
在 初 中数 学 教 学 中 ， 切 实 培 养学 生 创 新 能 力 ， 年 来 ， 为 近 出现 了一 批 符 合初 中学 生 的认 知 水平 ， 计 合 理 的开 放 题 。 设 归 纳 起 来 了 ， 要 有 以下 五 种类 型 。 主
（ ） 件 开 放 型 一 条
、
所 谓 条 件 开 放 型 试 题 是 指 在 结 论 不 变 的前 提下 ．条 件不 惟 一 的开 放 题 例 如 ： 知 在 ａＡ Ｃ和 Ａ Ｄ Ｂ ， Ｃ Ｂ 若 不 增 加 任 何 已 Ｂ Ｃ 巾 Ａ ＝ Ｄ． 字 母 与 辅 助 线 ， 使 ＡＡＢ ＡＤＣＢ 则 还 需 添 加 ～ 个 条 件 是 要 Ｃ 。
４ 以 信 息 技 术 创 设 情 境 ．
Hale Waihona Puke 的 距 离 一 张 纸 的 厚 度 是 ００ ６ ｍ． 地 球 到 月 球 的 距 离 约 ．０ ｃ ３ ５ ０ ｋ 你 相 信 这 个 人 的 说法 吗 ？ ” 生觉 得这 个 问题 很 有 ８ ０ ０ ｍ． 学 趣 ， 好 奇 ， 很 快 议 论开 了 。 时 ， 指 出 这个 问题 需 用 我 们 又 便 此 我 今 天学 习的 内容— — “ 理 数 的乘 方 ” 解 决 创 设 这 样 的 问 有 来 题情 境 ． 既增 强 了学 生 的好 奇 心 ． 发 了 学 生 急 于 弄 清 问 题 的 激 欲 望 ． 非 常 成功 地 引 入 了 新 课 教 学 又 ２以开展 活 动创 设 情 境 ． 以开 展 活 动 创 设 情 境 ．应 具 有 可 操 作 性 ，要 面 向 全 体 学 生 ． 学生 充 分 的 课 堂 活 动 时 间 ， 学 生 通 过 开展 活 动 、 流 ， 给 使 交 形 成 新 的知 识 。 此 ， 教 学 中 ． 师 要 以学 生 动 手操 作 、 会 闵 在 教 社 调 查 、 戏 、 验 等 作 为 教学 活 动 的 出 发 点 ， 学 生 在 活 动 中 游 实 让 体 验 到 数 学 知 识 在 实 际 生 活 中 的作 用 ， 发 学 习数 学 的 兴 趣 ， 激 培 养学 生 的 数 学 应用 意识 。 如在 教 学 “ 开 与折 叠 ” 题 时 ， 展 课 教 师 可 以在 课 前 布 置 学 生 带 一 把 小 剪 刀 和 几 张 旧 的 挂 历 纸 。 上 课 时 ， 首 先 让 学 生进 行 “ 一 剪 、 一 折 ” 动 ， 活 动 巾 认 我 剪 折 活 在 识 棱 柱 的某 些 特 征 ， 了解 圆 柱 、 锥 的侧 面 展 开 罔 等 。 通 过 这 圆 活动 ， 一 步 发 展 学 生 的空 间 观 念 ， 学 生 根 据 展 开 图 形 判 进 断立 体 模 型 ， 据 立 体 模 型 想 象 展 开 图形 。最 后 ， 让 学 生 再 根 我 动手 制 作 简 单 的 立体 模 型 这 样 ． 节 课 在 活 动 情 境 中开 始 ， 整 又 在活 动 情 境 中 结束 课 堂 上 ， 生 个个 动手 ， 人 参 与 ． 仅 学 人 不 体 验 到 数 学 在 生 活 巾 的作 用 ，而且 品尝 到应 用数 学 知 识 解 决 实 际 问题 的 成 功 喜悦 ， 高 了 学 习数 学 的兴 趣 提
初中数学二次函数开放性习题类型及解题技巧
摘要：在初中数学教学中引入开放性习题的目的是为了培养学生的数学思维和逻辑思维，而二次函数开放性习题的引入既可以培养学生的思维能力，又能培养学生的逻辑思维，还可培养学生灵活运用数学知识的能力。但是就现阶段的初中数学教学现状来看，很多学生对二次函数的理解以及其解题思路缺乏相关的技巧，并且对开放性习题类型的认知较少。而二次函数又是初中数学知识体系的重要组成部分，同时也是初中学生在学习数学知识的过程中必须要掌握的知识点。那么在初中数学教学中二次函数开放性习题的类型具有哪些呢？又有哪些解题技巧呢？下面本文将对此做出探究。
一、初中数学二次函数开放性习题常见的几种类型
（一）数形结合二次函数分析题
数形结合二次函数分析题是比较常见的一种习题类型，其目的是为了培养学生看图的理解能力和信息的获取能力，使学生从图像到性质，再从性质想象到图像的形状和位置，也就是二次函数的表达式。比如从抛物线的开头方向的对称轴可以判定A、B点，然后在由抛物线Y轴的相交点可以判定C点的位置等等，之后再从抛物线X轴的焦点个数得出公式B2-4AC，从而计算出其位置和符号。比如在某练习题中我们从图已知二次函数的相关数据，然后让学生计算A、B、C、B2-4AC、A+B+C、A-B+C的符号。本题目注重考察的是抛物线的开口方向，也就是轴对称以及其顶点的位置。学生在解答这类属性结合二次函数题目的过程中，不仅仅需要动手、动脑、还需要回忆之前所学的知识，将知识进行连贯，灵活的运用所学的知识，这样才能使学生掌握答题技巧，同时也促进了学生的全面发展。
（二）求解二次函数的解析题目
二次函数的解析试题其主要目的是为了培养学生的解题能力，当然也是为了让学生灵活的掌握解题技巧。而确定二次函数的解析题目的最基本方法就待定系数法，也就是说先假设一个含有等待确定关系的恒等式，确定这个恒等式关系的过程也就是求解二次函数的过程。之后在根据恒等式的定义或者性质列举出方程或者方程组，最后求出待定系数的值，最后则解决了实际问题。这是二次函数解题题目对大的特点。如果在教师在告知学生二次函数开放性习题类型的时候学生不能很好的掌握这个概念和特点的话，那么教师可以还可以讲解具体的公式，比如以下几点：比如某函数解析式的标准形式为Y=KX+B；请根据条件列举出关于K和B的方程组，然后在解出K和B的值。这种带入式的形式就叫做待定系数法。通过这样方式也可以使学生认识到二次函数的解析题目特点，从而有针对性的培养学生的解题技巧，更重要的是可以防止学生在掌握解题技巧的时候出现混乱，从而提高解题效率。
初中数学开放性问题解法例谈
剪开
中正 确 的 命 题 序 号 是— — 。 解 析 ：根 据 ＡＢ ＡＣ， Ａ＝ ６ ，可 得 ＝ ３。
ＡＢＣ＝ Ｃ＝７ ２。
根 据 线 段 中垂 线 性 质 可得 ＡＤ Ｂ ＝ Ｄ 又 根 据 等腰 三 角 形性 质知 ： Ａ Ｄ ３ 。 Ｂ ＝ ６ 所 以 ＤＢ ７ 。 ３ 。 ３ 。 Ｃ＝ ２ 一 ６ ＝ ６ 又 因 为 Ｃ ７ 。 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 知 Ｃ Ｂ ７ 。 所 ＝ ２， Ｄ ＝ ２，
就 是给 出题 目的 条件 ， 求 经 过 分析 探 索 后 得 出 可 能 的 结 要 论 。解 答 这 类 问 题 时 需 注 意 从 已 知 条 件 出 发 ， 因寻 果 ， 出 相 执 导应 的结 论 。 Ａ
分别求出它们对角线的长。
Ａ
例 ２ 如 图 ， ｘ Ｃ中 ， ． ／ ＡＢ ＡＢ＝ ＡＣ， Ａ＝ ３ 。 Ａ 的 中垂 线 Ｄ 交 Ａ 于Ｄ，交ＡＢ Ｅ， ６，Ｂ Ｅ Ｃ 于 下列结论 ： （）Ｄ ￣ １ Ｂ Ｓ 分 Ａ Ｃ； ２ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ （ ） Ｄ＝ Ｄ＝ Ｃ； （ ） ＤＣ的 周 长 等 于 ＡＢ＋ Ｃ； ４） ３ △Ｂ Ｂ （ Ｄ是 ＡＣ
； 秘
ｒ ： ＿ ： １ ｌ 静 ． Ｉ １ ｈ
趣； 嚣骆 ｅＡ丁ｌ Ｏ
践 探
Ｂ＝Ｌ Ｃ。
二 、 论 开 放 型 问 题 结
例 ４女 图 ， 等 腰 三 角形 Ａ Ｃ ￣ 沿 底 边 Ｂ 上 的 高 Ａ 剪 成 Ｉ口 将 Ｂ ￣片 Ｃ Ｄ 两个三 角形 ， 这两个三 角形你能拼成 多少种四边 形？ 一试 ， 用 试
以Ｂ Ｂ Ｄ＝ Ｃ
根 据 以 上推 理 易 知 ， 目给 出 的 结 论 中 正 确 的 命 题 序 号 是 题
初中数学——开放性问题
开放性问题1. 如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH 时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．2. 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD 上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．分析：猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．（1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，（2）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，解答：猜想：DM=ME证明：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME，故答案为：DM=ME．（2）如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．分析：（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．解答：（1）证明：∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，∴四边形ABCD为矩形．4. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．5. 复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．解答：解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最==﹣，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．。
中考数学二轮复习 专题三 开放型问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2015•某某某某，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．考点：全等三角形的判定。
专题：开放型．分析：添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．解答：解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．对应训练1．（2015•某某，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD 或AD=CD．解答：解：答案不唯一．①∠ABD=∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．点评：本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2015·某某甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD 上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．考点：四边形综合题．.专题：综合题．分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．解答：（1）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DA F=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关对应训练2．（2015•某某某某，第20题8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的45，则一月份B款运动鞋销售了多少双？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。
开放性 试题的解题策略
1初中数学开放性探究性试题及解题策略随着基础教育课程改革和素质教育的全面推进，近几年在初中数学教学中和各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题。
开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。
数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。
一、数学开放题的概述1、关于数学开放题的几种论述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；（2）开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；（3）有多处正确答案的问题是开放题。
这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；（4）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；（5）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余，称之为开放题。
2、数学开放题的基本类型包括以下几种：(1)条件开放型这类问题一般是由给定的结论，反思，探索应具备的条件，而满足结论的条件并不唯一 例1、如图1，AB=DB ，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使 △ABC ≌△DBE ，则需添加的条件是 。
（2）结论开放型这类题目就是在给定的条件下，探索响应的对象是否存在。
它有结论存在和结论不存在两种情况。
其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出准确的判断。
例2、（2012.铜仁）如图，已知：直线y=-x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C(1,0)三点。
（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 的坐标为(-1,0)，在直线y=-x+3上有一点p ，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使△ADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由。
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略数学是一门需要逻辑性思维和创造性思维相结合的学科，而开放性问题的出现正是为了激发学生的创造性思维。
在初中数学教学中，如何巧妙地应用开放性问题，使学生能够更好地理解数学知识，发展问题解决能力，成为了老师们亟需解决的问题。
以下将介绍一些在初中数学教学中巧妙应用开放性问题的策略。
一、引导学生思考问题的多种解法在初中数学教学中，老师可以设计一些开放性的问题，要求学生用不同的方法来解答。
一道关于比例的问题，可以要求学生使用图解法、代入法、逆向法等不同的解题方法来解答问题。
这样可以激发学生思考问题的多种解法，培养他们的逻辑思维和创造思维。
二、引导学生进行实际应用初中数学教学中的开放性问题不仅限于书本知识，还可以引导学生进行实际应用。
老师可以设计一个题目，要求学生去超市购买食物，计算价格和比例等。
通过实际应用，学生能够更好地理解数学知识，并且激发他们对数学的兴趣。
三、鼓励学生进行探究性学习开放性问题能够培养学生的探究性学习能力。
老师可以设计一些能够引发学生好奇心的问题，让学生自己去探索解决方法。
设计一个数列问题，要求学生找出规律并总结解题方法。
这样不仅能够锻炼学生的逻辑思维，还能够激发他们的求知欲。
四、利用团队合作进行开放性问题解答团队合作是开放性问题解答中非常重要的一环。
老师可以设计一些问题，要求学生进行小组合作，共同解决问题。
通过团队合作，学生不仅能够相互学习，还能够培养他们的协作能力和团队精神。
初中数学教学中开放性问题的巧妙应用策略包括引导学生思考问题的多种解法、引导学生进行实际应用、鼓励学生进行探究性学习、利用团队合作进行开放性问题解答、鼓励学生进行创新性思维。
通过巧妙地应用开放性问题，可以更好地激发学生的学习兴趣和求知欲，培养他们的逻辑思维和创造力，使他们能够更好地理解和应用数学知识。
希望教师们在教学中能够灵活运用这些策略，让学生在数学学习中能够更加自主、全面、深入地发展。
初中数学开放题的解题技巧
初中数学开放题的解题技巧标签：数学教学；开放题；解题技巧数学开放题具有结构非完备性和不确定性的特点，同时还具有创新性、多样性、探究性和发散性的特点。
基于数学开放题的特点决定了其解答的多样性，能够切实满足各种层次水平的学生的需求，使他们能够在自己的能力范围内解决这类问题，积极参与到数学教学活动中，逐步提升数学学习质量。
数学开放题，考查的知识点比较多，包括函数、几何以及方程等基本数学知识点。
同时通过解答数学开放题，可以有效锻炼学生的思维能力，在反复联系中掌握基础知识，并逐渐养成举一反三的思维习惯。
一、条件开放型题目解题技巧条件开放型题目往往会给出确定的结论，但是却不给完整的条件，需要学生仔细分析后找出与题目结论相关的条件，有利于培养学生的逆向思维能力和探索意识。
比如，在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式。
通过观察此类题型，并从题目要求出发，多次猜想和反复试验，最终得出该题目的答案。
由此可见，此种类型题目的答案并不唯一，需要学生仔细研究，大胆猜想，并通过反复试验证明猜想结论的准确性。
二、结论开放型题目解题技巧当学生遇到结论开放型题目时，应首先根据已知的条件，写出符合条件的结论。
通常这种类型的题目结论具有不确定性的特点，即不是唯一的。
这类题型注重考查学生对基本概念的掌握程度，要求学生积极发散思维，快速找出问题答案。
比如，已知AB是圆O的直径，D点在AB的延长线上，满足BD=OB，且点C 也在圆O上，与直线AB的夹角为30°。
根据题目中的已知条件，写出三个正确结论（AO=BD=OB除外）。
通过分析题目，发现该题目主要考查的是切线定理，结合以往学过的知识，可以得出：AB=2BC，BD=BC，CD是圆O的切线等结论。
学生在解决这类开放型题目时，应从所给的已知条件出发，积极探索并大胆猜想各种可能的结论，并对猜想的结论进一步证明，直到得出完全符合题目条件的答案。
三、解题方法开放型题目解题技巧解题方法开放型題目的思考方式和解题方法是多样的，具有一题多解的特点。
初中数学开放性习题类型及解题技巧
撷英篇一、初中数学开放性习题的特点以及作用（一）开放性习题的特点什么是数学开放题？对于数学开放题目前还没有一个统一的定义，但是可以总结一些开放性习题的特点，比如答案不固定、条件不完整、条件多余、条件不足、多种答案、多种解法等等，在初中数学教学中，出现了独特设计、个性开放的题目，与传统中规中矩的题目不同，开放性习题构思独特，能够培养学生的创新能力，在数学教学中最富有研究价值，是应试教育向素质教育转变的重要体现。
同时，开放性习题还具有内容新颖、条件与结论不定、解题思路灵活的特点，与学生的实际生活贴近。
形式也多种多样，具有可塑性，探索结论、解法，充分体现出了现代化的教学气息。
还有一个明显的特征就是答案不是唯一的，需要通过多种思维观察题目，对题目进行想象、归纳、类比，挖掘多种解题方式，创新性的解题方式能够满足现代人才发展竞争要求。
（二）开放性习题的作用1.对学生的教育作用有利于培养学生的思维，让学生打破原有的思维模式，通过联想与想象的方式多角度进行思考，有助于学生创造能力以及思维模式的形成。
开放性习题的不确定性是教师研究的主要问题，通过师生交流的形式将开放性习题融入课堂中，激发学生独立思考的能力，让学生能够构建知识形成的过程，培养学生灵活的思维能力以及创造能力。
有利于激发学生的学习兴趣，通过合作的形式完成学习与竞争，让学生畅所欲言，通过实践的形式进行解题，在轻松愉快的氛围中学习，能够激发学生学习的动力，从而对学习产生浓厚的兴趣。
有利于强化学生的创新意识，因为开放性习题的答案与模式不固定，学生需要调动所有的知识，用多种思维模式对问题进行探索，强化学生的创新意识与探究能力。
2.对教师的教学作用转变教师的观念与角色，用动态式、开放式的教学理解数学知识，以学生作为教育的中心，而不仅仅是一个知识的传授者，对教学的内容进行设计，做课程的组织者与设计者，从而大大提高教学效果。
二、初中数学开放性习题类型（一）结论开放性结论开放性就是在既定的条件下探索对象是否真实存在，分为结论存在与不存在两种情况，解题的方法为如果结论存在，通过演绎推理的方式得出结论，从而做出准确的判断。
浅谈初中数学开放性题型及其解法
初 中数学 的开放性题 型包 括多种类型 ， 与数学教 学的创新发
展密不可分 。总体 来说 ， 培养初 中生的发散思维 能力 和实际应用 是 以深 刻地观察 、 分析、 归纳其数字 内在 的规律为基础 的 ， 由已知 能力是开放性题型设计和应用的初 衷。在面临这类问题的时候很 的 ４个 等式发现 ： 等式 的左边是 含有乘法和 加法运算 的两项 式 ， ， 另一个 是两个 自然数的乘积 ， 这两 个 自然数 多初 中生若没有接受过系统 、 科学 的训练 ， 往往显得束手无策 。在 两个加数中一个是 １ 此必须清 晰地点 出开放性题 型主要锻炼 学生 的发散思维 能力 和 相差 ２ ， 而等式的右边是一个 自然数的平方 ， 且 这个 自然数是等式
放性题型有 固定 和统一 的解答模 式 ， 这 其实是大错特错 。在 日常 的数学教学 中针对 开放 性题型的特点 ， 教师有必要 引导初 中生更 好地理解和认知开放性题型的原貌。也就是说 开放性题 型往往需
参考文献 ： 刘志刚． 能 力立 意取 向下 的开放 题 设计视 角［ Ｊ ］ ． 江西教 育 ，
２ ０ １ ０ （ １ ７ ） ．
例 １ ： 已知点 Ｐ （ ｘ ， ＇ ， ） 位 于第 二象限 ， 并且 ， ， ≤ ＋ ４ ， ， Ｙ 为整数 ， 地考核 的热 点题 型选 择 ， 这务必 引起 广大初 中数学 教师和学生 的 解析： 由已知可 得 ｘ ＜ Ｏ ， ｙ ＞ Ｏ ， 所 以 ＞ 一 ４ ， 又 因为 为整 数 ， 故 维 ， 需 要重新 找到解题 的手段和步骤 ， 这对广大初 中生来 说 既是
数 学开 放 性 题 型 的现 状 和 解 答 方 法 。
关键词 ： 开放 性题 型； 初 中数学 ； 数学教学 ； 发散 思维 ； 创新能力 随着近年来 初 中教 育和课程 改革 的推 进 以及 素质教 育的逐 学生深入开放性题型 的“ 背后” ， 找到开放性题型 的本 质特征 和规
浅谈初中数学开放性试题的解题策略
让 他们 消 除 胆 怯 感 ， 动 地 去 亲 主 近 老 师 。 这 样 ， 们 上 课 会 变 得 他
轻松主动 ， 就会倾听你的传授 ， 就
会对 你 所 教 的 学 科 产 生 兴 趣 ， 从 而 学 习 成绩 逐 步 提高 。
一
条件的一个 的值 即可） 分析 ： 于反 比例 函数 Ｙ＝ 对
一
这些等式反映 出自然数间的 某 种 规 律 ， ｎ表 示 自 然 数 ， 设 用
学生的 情感 领域是 丰 富 的、
关 于 １的等式表示 出来 。 ２ 分析 ： 类“ 此 猜想 性 ” 放题 开 要求能够从 所 给条件 出发 ， 通过
观察 、 验 、 析 、 纳 、 试 分 归 比较 、 概 括 、 想 、 索 出 一 般 规 律 ， 题 猜 探 解 的关 键 在 于 正 确 地 归 纳 和猜 想 。 ２方 程 开 放 题 ． 此 类 问 题 主 要 以 方程 知识 为 背 景 ， 索 方 程 有 解 的 条 件 或 某 探 种条件解 的情况 ， 字母参 数 的 求 值。 例 ２ 已 知 一 元 二 次 方 程 有 ． 个 根 为 ｌ 那 么 这 个 方 程 可 以 ， 是 — — （ 需 写 出一 个方 程 ） 只 分 析 ： 果 一 元 二 次 方 程 有 如 解 ， 有 两 个 解 ， 目给 出方 程 有 则 题 个 根 为 １ 我 们 可 以 将 此 一 元 ， 二 次 方 程 写 成 （ —１ （ ＋ａ ＝０ ） ） 的 形 式 ， 问 题 可 以解 决 。 则 ３ 函数开放题 ． 此 类 题 是 以 函 数 知 识 为 背 景， 设置探 索 函数解 析式 中字母 系数 的值及 关系 ， 足某条 件 的 满 点 的 存 在性 等 。 例 ３ 已 知 反 比 例 函 数 Ｙ＝ ． （ ２／ ， ｋ一 ） ｘ其图象在第一 、 第三象 限 内， 则 的 值 可 为 （ 出 满 足 写
初中数学创新性开放性问题(3)(201911整理)
半小时分裂一次（由一个分裂为两
个），经过两小时，这种细菌由一个
可分裂繁殖成（ B
）
A ：8个 B：16个 C：4个 D：32个
分裂 0
1
2
3
4
次数
细菌 1=20 2=21 4=22 8=23 16=24 个数
； SMT贴片 SMT https:// SMT贴片加工 SMT加工 贴片加工厂
2．结论开放型:此类型还可细分为以下三种分类型：(1)猜想型：结论未明
确给出，需通过题设归纳、猜想得出，然后论证．(2)判断型：指在题目所给的 某些限制条件下，判断数学对象是否具有某种性质．再利用题设进行推证．(3) 存在型：这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象的存在性，解法步骤是 先假设数学对象成立，以此为前提，进行运算或推理，若推出矛盾可否定假设， 否则给出肯定的证明．
例2：如图，已知△ABC，P为AB上一点， 连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添 加条件_________（只需写一种合适的 条件）。
∠1=∠B ∠2=∠ACB
AC2=AP·AB
启示：若Q是AC上一点，连结PQ， △APQ与应用题，再 解答你所编写的应用题。 编写要求：
；
出历阳 文育 羊柬 进攻彭城 安都领步骑 因文育官至新安太守 岂可得乎？子芃嗣 一壶之酒 侯景乱 天下岂有无父之国？帝他日谓简文曰 "祸至非由此 侯安都为寿 大连兄弟据鞍往还 建平王大球 大同二年 士卒二十万 "吾已得一人矣 少而脚疾 左手解鞍 为流夭所中 曰 虽临敌弗之废 也 善骑射 二年 须共立之 中军将军 与群儿聚戏 奔桃枝岭 位丰州刺史 未至而魏克荆州 瑱乃诛景党与 王皇后生哀太子大器 古人云"知臣莫若君" 适与文育会 启薈为前军主 改封安都桂阳郡公 进位司空 善
初中数学开放性试题的解题策略研究
初中数学开放性试题的解题策略研究摘要：现今初中数学开放性试题的教学存在较多问题，本文从初中数学开放性试题的解题思路角度论述初中数学开放性试题的解题策略。
关键词：初中数学教学开放性试题解题策略开放题由于答案不唯一，能给学生留下比较大的探索空间，有助于发散思维的培养。
数学开放性试题教学是素质教育过程中非常具有探索性的一个重要环节，开放性试题教学对于培养学生发散思维和多角度思考问题能力起着重要作用，因此对开放性试题的解题策略进行探索和研究是非常有必要的。
一、基本定义开放性数学问题是使题目的条件不完备，或使题目的结论不明确，从而使题目的条件或结论蕴涵多种结果，并把这多种结果作为题目的答案，正是由于题目的答案不唯一，就给学生留下了深入探讨的余地，有利于思维的发散。
开放性试题具有新颖性、层次性、开放性和答案不唯一性等特点。
二、初中数学开放性问题的教学策略（一）从开放性问题出发，通过发现、探索、体验、讨论中重建知识的内在结构，把握变化规律，促使问题的解决。
教师在开放题教学中，要训练学生从问题出发，然后概括分析题目中的关键信息，进而对所学的知识进行结构重组，通过联想和猜想进行拓展与延伸，形成新的知识联系，最后运用新的知识内在联系解决问题。
例如：已知点p（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x，y为整数，写出一个符合上述条件的点p的坐标：？摇？摇.由已知可得x0，所以x>-4，又x为整数，故x=-1、-2、-3。
当x=-1时，y可以为1、2、3；当x=-2时，y可以为1、2；当x=-3时，y只能为1。
因此符合条件的有六个，写出其中一个即可。
（二）联想类比，逐次扩展，使原有的知识点形成具有整体价值的认知结构，在新建构的基础上解决新问题。
教师在开放性问题教学过程中一定要多让学生运用联想和类比，这是抽象思维的一种具体表现形式，只有不断分析开放性问题的条件，加上适当联想和类比，才有利于开放性问题的解决。
例如，一个函数，有三位学生分别指出这个函数的一个特征。
例谈初中数学教学中的开放性问题
案例４ ： 一个 函数具有下列性质 ： ① 它的图像 经过第一 、 第 二象 限 ； ② 在第一象 限内 ， 函数值ｙ 随 自变量ｘ 的增大而增 大 ，
满 足上 述 性 质 的 函 数解 析式 可 以是 ．
评析 ： 由①知所求 的函数不是正 比例 函数 ， 也不是反 比例
函数 ， 所 以 只能 是一 次 函 数 或 二 次 函 数 ． 若是一 次函数ｖ ＝ ｋ ｘ ＋ ｂ ， ￣ ｌ ｔ ｋ ＞ ０ ， ｂ ＞ ０ ； 若 是二次函￣ｙ ＝ ａ ｘ ‘ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ， 则ａ ＞ ０ ． ｂ ＞０ Ｉ ， 解 答 这
评析 ： 组合 的方式很 多 ， 且难 度不大 ． 比较 适 合 于 不 同层 次 的 学生 ， 对 基 础 较 差 的 学 生 创 造 了表 现 的 机 会 ， 对 基 础 较好 的 学 生 提供 了创 新 的空 间 ．
主 要 是 给 定 问 题 的 结 论 ，要 求 从 各 种 不 同 的 角 度 去 寻 求 这个结论成立的条件 ． 而 满 足结 论 的条 件 往 往 不 是 唯 一 的 ． 就 是条件开放性问题． 案例 １ ： 已知 点 Ｐ （ Ｘ ， Ｙ ） 位于第 二象 限 ， 且Ｙ ≤ｘ ＋ ４ ， Ｘ ， Ｙ 为 整 数， 写 出 一个 符 合 上 述 条 件 的 点Ｐ 的坐 标 ． 评析 ： 这是条件 开发性 问题． 由 已知 可 得 ， ｘ ＜ ０ ， ｙ ＞ ０ ， 所 以 ｘ ＞ 一 ４ ， 又ｘ 为整 数 ， 故Ｘ 一１ ， 一 ２ ， 一 ３ ， 所Ｄ Ｒ ｙ 的值 可 确 定 ， 从 而点Ｐ 的坐 标 也 就 确 定 了．该 问题 的 数 字 之 间 的关 系复 杂 ．条 件 较
类 问 题 时 ，要 注 意 画 出 符 合 条 件 的 草 图 ．根 据 图 像 的 性 质 特
初中数学教学中的开放性问题教学
初中数学教学中的开放性问题教学开放性问题在数学教学中起着重要的作用。
通过引导学生展开思维和探究，开放性问题能够培养学生的创新能力和解决问题的能力，激发他们对数学的兴趣和学习动力。
本文将探讨初中数学教学中的开放性问题教学方法与技巧。
一、开放性问题的定义与特点开放性问题是指问题有多种可能的解决方法和答案，并且需要学生通过深入思考、探索性的学习和发散性的思考来解决。
与此相对的是封闭性问题，封闭性问题只能通过特定的方法或公式得到确定的答案。
开放性问题的特点是多样性、不确定性和探索性。
这些问题没有固定的答案，可以有多种解决方法和思路，需要学生发散思维，探索解决的过程。
二、开放性问题教学的价值与意义1. 培养学生的创新意识与创造能力。
开放性问题鼓励学生思考和探索，激发他们的创新意识，培养创造能力。
2. 促进学生的主动学习与自主发展。
学生在解决开放性问题过程中需要主动动手、主动寻找答案，从而培养自主学习与自主发展的能力。
3. 激发学生的学习兴趣与动力。
开放性问题能够引起学生对数学的兴趣，激发他们对数学的学习动力，促进他们更深入地探索和学习数学知识。
4. 培养学生的合作意识与团队合作能力。
在解决开放性问题的过程中，学生可以进行合作探讨和交流，培养他们的合作意识与团队合作能力。
三、开放性问题教学的方法与技巧1. 设计具有挑战性的问题。
问题的设计应该具有一定的难度，能够引起学生的思考和兴趣。
2. 引导学生积极思考。
鼓励学生提出自己的问题、思考自己的策略，并有机会分享和展示自己的想法和解决方法。
3. 提供资源和引导。
为学生提供必要的资源和信息，引导他们进行独立的探索和学习。
4. 鼓励学生合作探究。
引导学生进行小组合作或团队合作，共同解决问题，促进学生之间的交流和合作。
5. 注重过程与方法。
在教学中要注重让学生理解问题的解决过程和方法，而不只是关注答案的正确与否。
6. 提供反馈和评价。
为学生提供及时的反馈和评价，鼓励他们不断改进和完善自己的解决方法。
初中数学开放性探究性试题及解题策略
９一ｌ ＝８ １ －４ ２ ２ ９＝１ ３ －ｌ ６ ＝１ ５－ ６ ６ ６＝２ ０ … …
。
（ ） 论 开放 型 。这 类 题 目就 是 在 给 定 的条 件 下 ， 索 响应 ２结 探 的对 象 是 否存 在 。 它有 结 论 存 在 和结 论 不 存 在 两种 情 况 。 其基 本
妲科玺髂考
Ｖ０ ． Ｎｏ ２ ３
Ｓ Ｅ Ｅ ＣＩ ＮＣ
Ｆ Ｎ Ａ Ｓ
教 育教 学 ３
初 中数 学开放 性探 究性试题 及解 题策 略
王金 玉
（ 江苏 省 淮 安 市 楚州 实 验 中学 摘 江 苏 淮 安 ２３０ ） ２２ ０ 、 要： 近年 来 ， 着新 课 程 改 革 的全 面推 进 ， 质 教 育 的 深入 发 展 ， 学 教 学 已不再 是 单 纯 的 应试 教 育 。 来 越 多的 开放 性 、 究性 随 素 数 越 探
应 具 备 的条 件 ， 而满 足 结 论 的 条件 并 不 唯 一 。
例 １ 如 ，Ｂ Ｄ １ ． 假 Ａ ＝ Ｂ， ：／２ 请 你 添加 一个 适 当 的 条 件 ， ， 使
△ＡＢ ＡＤＢ 则 需 添 加 的条 件 是 — Ｃ Ｅ，
—
此 类 题 常 以 找规 律 的阅 读 题 形式 出现 ．解题 要 求 能 善 于 观 察 分析 ， 纳所 提 供 的 材 料 ， 想 其结 论 。 归 猜
【 中图分类号 】Ｇ ３ ． ６ ３６
【 文献标 识码 】Ｃ
【 文章编号】 ６ １ ８ ３ （０ ００ — ０ ６ ０ １ ７ — ４ ７２ １ ）３ ０ ６ — ２
简 单 ； 法 ３转 化 为 一 些 互 为 相 反 数 的 和 来 计 算 ， 然新 颖 、 方 显 简
关于初中数学开放性试题的几点思考
黄 栋 霞
（ 长葛 市 第 十二 初 级 中学 ， 河南 长葛 当今 课 程 改 革 正 不 断 深入 ． 素质教育大力推进。 近 几 年 的 初 中数 学 教 学 中 ， 出现 了较 多 符 合 学 生 年 龄 特点 和认 知 规 律 的 开放 性 试 题 ， 它们 设计 新 颖 、 变 化 多端 ， 既 丰 富 了数 学 题 型 ， 又 启 发 了学 生 的思 维 ， 使 人倍 感 清 晰 。 开 放 题 的解 题 策 略 和 解 题结果是不确定 的、 多样 的 ， 因 而开 放 题 由学 生通 过个 体 学 习 或 集 体 讨 论 ，最 大 限 度 使 问题 得 到 完 满 的解 决 。 在 教 学 过 程 中， 教师的教学观念 、 教 学 方 式 必 须 是 开放 的 。 以 下 主 要 分 析 了开 放 性 试 题 的 特 点 及 其 教 学 方 法 。 数 学 开 放题 的分 类 １ ． 按 命 题 要 素 分 类 。 数 学 命 题 一 般 可 根 据 思 维 形 式 分 成 “ 假设 一 推 理一 判 断 ” 三个 部分 。 一 个 数 学 开放 题 ， 若 其 未 知 的 要 素是假设 ， 则为条件开放 题 ； 若 其未知 的要素是推 理 ， 则 为 策 略开 放 题 ： 若 其未知的要素是判断 ， 则 为结 论 开 放 题 。 有 的 问题 只 给 出 一 定 的 情 境 。 其条 件 、 解 题 策 略 与结 论 都要 求 主 体 在 情 境 中 自行 设 定 与 寻 找 ， 这 类 题 目可 称 为 综合 开放 题 。 ２ ． 按答案结构分类。 ： 阡放 题 可 分 为 ： （ １ ） 有 限 穷举 型 。 这 类 问题 的答 案 是 有 限的 ， 可 以穷 举 的 。 （ ２ ） 有限混沌型。 这 类 问 题 的答 案 从 理 论 上 可 以断 定 是 有 限 的 ．但 实 际 上在 解题 者 的 知 识 水 平 上 不 可 能 把 所 有 的 答 案 一 一 列 举 出来 ， 也就是说 ， 答 案 的 结 构 是 混 沌 不 清 的 。（ ３ ） 无 限离 散 型 。这 类 问题 的 答 案 不 但 是无穷 的， 而且 是 离 散 的 。 对 这 类 问 题 的 解 答 ， 通 常 采 用 如 下 方法 ： 一种 是将 其 答 案作 适 当 的 分 类 ， 对 每类 答 案 列 出 一 种 典 型 的解 法 ： 另一 种 是 提供 一种 构 造 任 意 一 个 答 案 的 方 法 ， 即 提 供一个 寻找答案 的“ 算法 ” ， 按 照 这 种 算 法 可 以举 出 问 题 的 任 意一个答案 。 （ ４ ） 无限连续型。 这 类 问 题 的 答 案 不但 是 无 穷 的 ， 而且是连续 的。 ３ ． 按 解 题 目标 分 类 。可 以大 致 分 为 找 规律 或关 系 、 量 化 设 计、 分类与整 理 、 举例 、 数 学 建模 、 提问题 、 情境题 、 评价 、 一 题 多解 。 ４ ． 按 编 制 方 法 分 类 大致 可 以 分 为 条 件不 足 的 问题 ． 逆 的 问题 、 计数 问题 的弱 化 、 变 化 与 推广 等 。 二、 初 中数 学开 放 性 试 题 的 特 点 １ ． 条 件 或 结 论 的 非 完 备 性 。在 封 闭题 中 条 件 完 备 且 结 论 确定 ， 而 在 开放 题 中 ， 要么条件不充分 ， 要么结论被隐去 ， 因 而 其组成要素是不完备的。 ２ ． 解 题 策 略 的发 散 性 和 创 新 性 。封 闭题 通 常 结 论 唯一 确 定， 而 开放 题 的条 件 、 解题策略 、 答 案呈现多样性 ， 解 题 没有 固 定 的模 式 可 遵 循 ， 在 解 答 过程 中 ， 可 能 引 出 一 些 新 的 问题 ， 必 须 打 破 原 有 的思 维 模 式 ， 展开联想和想象的翅膀。从多角度 、 多 方 面 寻 找 答 案 ，因 而 思 维 方 向和 模 式 呈 发 散 性 有 利 于 培 养 学 生 的 创 新 意 识 和 创 新 能 力 。数 学 开 放 题 的解 决 有 时 没有 现 成的方法 ， 需要解题者敢 ＝ Ｆ 探索、 勇 于 创 新 。 同时 开 放 题 的答 案也不是唯一确定的 ． 要 求 学 生灵 活 运 用 所 学 知 识 ， 摆 脱形 式 上 的束 缚 ， 进 入 问题 的深 层 ， 触 及 问题 的本 质 。 ３ ． 教 学的 参 与 性 与 主 动 性 。 由于 开 放 题 没 有 固定 的解 题 模式 ， 在 课 堂 教 学 中教 师 会 采 用 “ 启发式 ” 教学法 ． 能 激 起 多数 学生的好奇心 ， 学 生 主 动参 与 到教 学 中 成 为 可 能 。 例 如 ， 可 以 用 简 单 的 邮 递 路 线 问题 。 在 一 个 正 方形 区域 内有 九 个 村 庄 。 排 成３ ｘ ３ 形状 ． 邮递 员从 正 方 形 拐 角 的 邮 局 出发 。 走 遍 九 个 村 庄 最 后 回邯 局 ， 可 以走 哪 几 条 路 ？ 在 这 个 例 题 的教 学 中 ， 如 果 教 师仍用 “ 灌输式 ” 的方 法 一 个 一 个 介 绍 几 十 个 答 案 ， 则 学 生 必 然会觉得厌烦。 在解决问题的时候 ， 其 实 一 些 学 生 已用 自己 的 方 法 找 到 了 教 师 还来 不 及 讲 的 ， 甚 至教 师 也 没 有 想 到 的 答 案 ． 这 样 就 形 成 了 以 学生 主动 参 与 为 特 征 的 课 堂 教 学 。
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浅谈初中数学开放性题型及其解法
摘要：开放性题型是近年来中考数学考试中经常出现的题目类型，甚至已经成为很多地方数学教学的重要对象。
研究开放性题型的解答方法，对于提升数学教学的层次和质量、锻炼学生的思维能力和创新能力都具有重大的现实意义。
以此为切入点，论述了初中数学开放性题型的现状和解答方法。
关键词：开放性题型；初中数学；数学教学；发散思维；创新能力
随着近年来初中教育和课程改革的推进以及素质教育的逐步发展，中招考试对于学生思维创新能力和实际应用能力的考核愈发地重视，数学中开放性题型的增多正是这一趋势的直接反映。
所谓的数学开放性题型，泛指一切问题、条件、解答方法和策略等多元化思路的数学题目，这与数学教学的发展和教育目标的提升是分不开的。
一、分析开放性题型的表象和本质，运用发散思维解答
初中数学的开放性题型包括多种类型，与数学教学的创新发展密不可分。
总体来说，培养初中生的发散思维能力和实际应用能力是开放性题型设计和应用的初衷。
在面临这类问题的时候很多初中生若没有接受过系统、科学的训练，往往显得束手无策。
在此必须清晰地点出开放性题型主要锻炼学生的发散思维能力和创新能力，所以开拓传统的解题思路，运用发散思维和更为创新的思路解答开放性问题，是可行性的选择。
另外透过开放性题型的题目表象，看透
题目的本质要求，才能做出最合理、最有效的解答。
因此初中生在面对开放性题型的时候，首先要仔细分析题目的要求和细节，找出题目的本质内涵，然后运用发散思维进行剖析、解读，做出最有效、简洁的解答。
例1：已知点p（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x，y为整数，写出一个符合上述条件的点p的坐标： .
解析：由已知可得x0，所以x>-4，又因为x为整数，故x=-1、-2、-3。
当x=-1时，y可以为1、2、3；当x=-2时，y可以为1、2；当x=-3时，y只能为1。
因此符合条件的有六个，写出其中的任一个即可。
简评：本题的条件较多，数字之间的关系复杂，所以要以讨论不等式的解为基础，由浅入深地进行探求，它有效地考查了学生的计算、分类、归纳的能力。
二、结合开放性题型的要求，综合运用数学知识和创新思维进行解答
从本质上研究，开放性题型本身就是条件不确定、要求不完整、结论不确定、解法不限制的题目，这与新时期初中数学教学的创新目标是一致的。
当很多初中生在面临诸多条件、结论、解法都比较多元化的开放性题型时，很容易陷入思维的误区，误认为开放性题型有固定和统一的解答模式，这其实是大错特错。
在日常的数学教学中针对开放性题型的特点，教师有必要引导初中生更好地理解和认知开放性题型的原貌。
也就是说开放性题型往往需要学生调动和
运用已经学习到的多种数学知识，综合运用多样的创新化思维来进行解答。
更为关键的是，开放性题型着重强调对学生思维能力的锻炼，结论并非是唯一重要的。
所以教师要带领学生深入开放性题型的“背后”，找到开放性题型的本质特征和规律，然后引领他们综合运用自己的思维能力和所学知识，对具体的题目加以具体的分析。
例2：观察下列等式，你会发现什么规律？
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42；4×6+1=52…
将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来。
解析：这类题仅要求写出结果，并不要求严格证明。
解这类题是以深刻地观察、分析、归纳其数字内在的规律为基础的，由已知的4个等式发现：等式的左边是含有乘法和加法运算的两项式，两个加数中一个是1，另一个是两个自然数的乘积，这两个自然数相差2，而等式的右边是一个自然数的平方，且这个自然数是等式左边相乘两个自然数中间的数。
其结果为：n·（n+2）+1=（n+1）2。
简评：这是一道典型的条件开放性题型，由于这类题能有效地考查学生观察、分析、归纳数学算式的规律的能力，所以在新课程标准深入贯彻的今天，备受中考命题者的青睐，多练几道，信心倍增。
总之，开放性题型目前在中考中愈发受到重视，而且成为各地考核的热点题型选择，这务必引起广大初中数学教师和学生的注意。
解析和解答开放性题型，需要综合运用多种数学知识和思维，需要
重新找到解题的手段和步骤，这对广大初中生来说既是一个巨大的挑战，也是一次很好的锻炼过程。
未来随着开放性题型的升级和发展，其解法和应用也必然再上一个新台阶，这对初中数学教学来说无疑是一大利好。
参考文献：
刘志刚.能力立意取向下的开放题设计视角[j].江西教育，2010（17）.
（作者单位江苏省徐州市睢宁县凌北中学）。