流体力学计算题复习

Q
v 1dt
Q质量流量
动量流量
2
Q体积流量
A1
A2
2'
v2dt
F 2Q2 v2 1Q1 v1
18
F dt 2Q2 v2 dt 1Q1 v1 dt
m F 2Q2 v2 1Q1 v1 dt
D O + H2 H1 C
A
450
O H2
D
45
0
D45 B
0
B
Pz gV g( AACO AADO ) 1 1 1 2 g [ ( 2H 2 ) ( H 2 )2 ] 2 4 2 11.19kN（铅直向上）
15
动量守恒问题专题
Q( 2 v2 x 1v1x ) F x Q( 2 v2 y 1v1 y ) Fy Q( 2 v2 z 1v1z ) Fz
12
（2）求上、下半圆筒所受的水压力。 上、下半圆筒所受水压力只有铅垂分力，上半圆筒压力体如图所示，
pm R2 Pz上 gV上 g （ R)2 R g l 2 23.72 103 0.52 9.8 1000 ( 0.5) 2 0.5 2 49.54 kN 3 2 9.8 10
pm R2 Pz下 gV下 g （ R)2 R g l 2 3 0.52 3 23.72 10 9.8 10 ( 0.5) 2 0.5 2 64.93 kN 3 2 9.8 10
下半圆筒为


B
10cm
O
13600 9.8 0.1 1000 9.8 0.15 11.858 kN/m
用水柱高表示为
2
5cm
pO ρP g 0.1 ρg 0.2 0.05
水
ρo
ρp
水银
pO 11.858 h= = 1.21m ρg 1000 9.8
这就是恒定流动量方程式。
21
F a02 2Q2 v2 a011Q1 v1
3.适用条件：恒定流
（3-13-2）
过水断面为均匀流或渐变流过水断面
无支流的汇入与分出。
如图所示的一分叉管路，
ρQ1 1
动量方程式应为：
1
v1
v2 v3 3 3 ρQ3
2
ρQ2 2
2 2
2 2
1Q11v1
不可压缩 流体
F Q v
2 2
Q1v1
对于恒定流动，所取流体段的动量在单位时间内的 变化，等于单位内流出该流段所占空间的流体动量 与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的 表面力与质量力之和，也即外力之和。
液体恒定总流的动量方程的三个投影形式的代数方程
F z A R B
8
h1
h2
水
在水箱底部接一测压管，水沿测压管上升，测压管液面 为自由液面，圆弧形钢板 AB 上所受的垂直水压力为图示虚 压力体ABB’A’A的水体重，且方向向上，大小为
2 Fz = ρgV = ρg h2 R R b 4 π 12 1000 9.8 3 1 1 4
② 过水断面1-1和2-2应选在均匀流或者渐变流断面上，以便 于计算断面平均流速和断面上的压力；
③ ∑F是作用在被截取的液流上的全部外力之和，外力应包
括质量力（通常为重力），以及作用在断 面 上 的压力和 固体边界对液流的压力及摩擦力；
④ 在初步计算中，可取动量修正系数β=1.0；
⑤ 当液流有分流或汇流的情况，可由与推导有分、汇流 时的连续性方程类似的方法，写出其动量方程。
Q( 2 v2 x 1v1x ) F x Q( 2 v2 y 1v1 y ) Fy Q( 2 v2 z 1v1z ) Fz
－－－同时适用于理想液体和实际液体。
应用动量方程时需注意以下各点：
① 液体流动需是恒定流；
= 21.70 kN
圆弧钢板AB上所受的水平压力为
F z A R B h1 h2
水
R Fx = ρghc Az = ρg h2 R b 2 1 = 1000 9.8 3 24.50 kN 1 1 2
方向向左。
9
20cm
例3．在封闭容器上部有一半球曲面AB如图所示，试求该曲面 AB上所受的液体压力的大小和方向。 其中， 水 P 汞 A o r=10cm 解：O点处压强p ：
2
1
v2
2
v1
3
1 (a)
3 v3
（a）有分流的情况
(Q2 2v2 x Q3 3v3 x Q11v1x ) Fx (Q2 2v2 y Q3 3v3 y Q11v1 y ) Fy (Q2 2v2 z Q3 3v3 z Q11v1z ) Fz
曲面上流体静压力计算
pa
pa
延伸面
Fz B A (a)
B
Fz A
(b)
2
pa B F C A (c)
3
B
Fz1 C A
Fz2
C
自由液面
自由液面的延长面
A A
B
实压力体 虚压力体
B
自由液面
A
自由液面 A
自由液面 A
C
C
C
B
B
B
4
三.曲面上的静水总压力
大小：
F = F +F
1
2 x
2 z
Fx Fz
（3）连接螺栓所受的总拉力 由上半圆筒计算可得：
T Pz上 49.54 kN
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例5．已知弧形闸门AB上游水深H1=4m，下游水深H2=2m， 闸门的轴心O，试求：单位宽度闸门上所受静水总压力的水 平分量及铅垂分量的大小和方向。
解：单位宽度闸门上所受 静水总压力的水平分量
A
45
0
Px P左 P右
现以恒定总流的一段为例，取1和2两个渐变流断面间的流 体为研究对象，两断面间流段1-2在dt时间后移动到1’-2’。
F dt d m v
F dt d mv 2Q2 dt v2 1Q1 dt v1

1 1'
e
f
g
解：将受压曲面分为 ab、bc 和 cd 三个曲面分别讨论： ①水平总压力：曲面 bc 和 cd 位于相同的 水深处，所以它们的水平总压力互相抵消， 曲面ab上的水平总压力等于其竖直投影面 上的静水总压力，其方向向右，大小为
h Fz
a o d c r b
r 0.8 3 Fx ρg(h )r b 10 9.8(2.4 ) 0.8 1 115.7 kN 2 2
O H2
H1 H1 H2 g H1 1 g H 2 1 2 2 1000 9.8 (42 22 ) / 2
58.8kN（水平向右）
450
B
14
单位宽度闸门上所受静水总压力的铅垂分量 压力体如图所示
A H1 C
450
A O = H2 B H1 C
450 450
系统与控制体
系统：是一团确定不变的流体质点的集合。 系统外的一切称为外界。 控制体：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的 需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面
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方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀 分布的，以动量修正系数a0修正。 a0定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：
合力大小：
P Pz wenku.baidu.com353N
合力方向：铅垂向上。
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例4 圆柱形压力罐，由螺栓将两半圆筒连接而成。半径 R＝0.5m，长l＝2m，压力表读数 pm 23.73 kPa 如图所示。试求：（1）端部平面盖板所受的水压力； （2）上、下半圆筒所受的水压力； （3）连接螺栓所受的总拉力。 解：（1）求端部盖板所受的力。
水平分力的合力：
Px Px1 Px 2 0
10
压力体体积：压力体如图所示
2 3 V = π r h π r 3
2
Pz A
o r=10cm ρo
5cm
h
2 = π 0.1 1.21 π 0.13 3 0.036m3
2
B
10cm
20cm
水
铅直分力：
ρp
水银
Pz 水gV 1000 9.8 0.036 0.353kN 353N
6
②竖直总压力 ab的压力体abgf ， 其竖直方向的水压力向上， bc的压力体cbgf ， 其竖直方向的水压力向下， cd的压力体cdef ， 其竖直方向的水压力向下。
e
f
g
h Fz
a o d r c b
将三部分曲面相加后， 总压力体如图中阴影线范围所示，竖直方向的总压力的大小为：
3 2 Fz = ρgV = ρg(h r + π r ) b 4 3 0.82 103 9.8(2.4 0.8 ) 1 33.59 kN 4
Fx a02 Q v2 x a01Q v1 x Fy a02 Q v2 y a01Q v1 y Fz a02 Q v2 z a01Q v1z
工程计算中，通常取a01=a02=1
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（3-13-4）
F Q v
2.公式说明：
将物质系统的动量定理应用于流体时，动量定理的表 述形式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它 是由流体构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单 位时间内流出该流段所占空间的流体动量与流进的流体 动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之 和，即外力之和。
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F dt 2Q2 v2 dt 1Q1 v1 dt m
a0
u 2 dA
A
Qv

u 2dA
A
（3-13-1）
Av 2
a0取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大， a0越大，一般取a0 =1.05
工程计算中取a0=1。动量方程式改写为：
F d mv a02 2Q2 v2 a011Q1 v1
pm 23.72 103 Hm 2.42m g 9.8 1000
中心点压强
p0 pm gR 23.72 103 103 9.8 0.5 28.62 kN
受压面为圆形平面，则水平压力为
Px p0 A p0 R2 28.62 3.14 0.52 22.48kN

Fz 方向： θ = tan Fx
这个交点不一定在曲面上 对于圆柱面，P作用线通过圆心。
F
作用线： F 作用线必通过 Fx 和 Fz 作用线的交点，
5
例1:截面形状为3/4个圆的圆柱面abcd，如图所示，已知半径 r=0.8m，圆柱面长 为l，中心点位于水面以下h=2.4m处。求该曲面所受的静水总压力的水平分力和 竖直分力的大小。
作用方向向下。
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例2 如图所示封闭水箱，左下端有一四分之一圆的弧形钢板 AB，宽 ( 垂直于纸面方向 ) 为 1 m，半径R为 1 m，h1= 2 m， h2= 3 m。试求钢板 AB上所受的水平分力与垂直分力的大小 及方向。
解 因为容器为封闭水箱，欲求 AB上所受静水总压力，首先要 找出自由液面，才能求得 A点及 B点处的压强，从而求得 AB 曲 面铅垂投影面形心点的压强，以 及该曲面的压力体。
恒定流动量方程
恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，特别是流体 与固体之间的总作用力。
动量定律：作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。
F dt d m v
d m F dt
质点系动量的变化率，等于作用于质点系上各外力的矢量和。
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1. 动量方程的推导
F 02 2Q2 v2 033Q3 v3 011Q1 v1
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对于不可压缩流体，ρ1=ρ2=ρ和连续性方程Q1=Q2，其恒定流动能 量方程为：
F a02 Q v2 a01Q v1
在直角坐标系中的分量式为：
（3-13-3）