【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上， 那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题， 是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解 设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。
具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。
例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。
第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。
在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。
例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。
除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。
需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。
例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。
2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。
希望能对你有所帮助。
高考数学 核心考点 外接球与内切球的计算
A微专题 与球相关的外接与内切问题知识梳理1、若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球，计算外接球的两大方法：构造法、球心定位法。
2、若一个多面体的各面都与内部的一个球相切，那么这个球叫做这个多面体的内切球。
3、球的性质：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系：222dr R +=题型归纳方法一 构造法（补形法）处理外接球问题事实：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 类型一：三棱相互垂直型【例1】如图所示，设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝3， 若AD ＝R(R 为球O 的半径)，则球O 的表面积为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【解析】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，所以以AB ，AC ，AD 为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB ＝AC ＝3，所以AE ＝6，AD ＝R ，DE ＝2R ，则有R 2＋6＝(2R)2，解得R ＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选D 。
【点评】当一三棱锥的三侧棱a 、b 、c 两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，满足2222)2(c b a R ++=关系式。
变式1：如图所示，已知三棱锥A-BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ， BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为( )A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【解析】由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A-BCD 可以补成以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R)2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π.故选A 。
高中数学 外接球、内切球专题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，
小结1
如何求直棱柱的外接球半径呢？ （1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心 的线段的中点； （2） 再构造直角三角形，勾股定理求解。
二、棱锥与球
3.正四面体ABCD的棱长为a，求其 内切球半径r与外接球半径R.
1. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互 相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
变式1：
已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的长宽高分别为 3,4,5, 则该长方体的外接球的表面积等于_________。
A
O C
P
B
三、球面相切则称这个多面体是这个球的外切多面体这个球是这个多面体的外接球多面体的内切球外接球球心到各顶点的距离相等r内切球球心到各面的距离相等r球与正方体的切接问题一直棱柱与球正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径若正方体的棱长为a则abcd的长宽高分别为345则该长方体的外接球的表面积等于
高考数学中地内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.4 3 .2、求长方体的外接球的有关问题例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为.14 .例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. CA. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有6x 3, 1x ,29 326 x h,h 3．8 4∴正六棱柱的底面圆的半径 1r ，球心到底面的距离23d .∴外2接球的半径R 2 d . 体积：r24V 3 .RV 3 .3小结本题是运用公式 2 2 2R r d 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.9 .例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积 2S 4 R 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2 222Ra bc .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球
第三讲 球【考点分析】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，一般考查柱锥的外接球及内切球，与三视图综合考查。
【基础扫描】1.球的表面积：S ＝4πR 22. 球的体积：V ＝43πR 33.4. 5. 常用的结论结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． 6、求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）； ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.【知识运用】题型一 外接球类型一：长方体（正方体）的外接球【例1】（1）（2018海南模拟）若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________．【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线l ==为球的直径，所以球的表面积为24292l S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故填29π.（2）．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.类型二：各顶点都在长方体或正方体上的几何体【例2】（2018天津市模拟）．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：其中，三角形ABC 是腰长为4的直角三角形，侧面ACC A ''是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为=∴该几何体的外接球的表面积为(2448ππ⨯=.故答案为48π.【变式】1、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 272π B. 27π C. 27√3π D.27√32π 【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R 满足2R =√32+32+32=√27，所以外接球的表面积为S =4πR 2=27π，故选B.2．（2018四川模拟）如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4m 、 ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4， 则13244,233m m ⨯⨯⨯∴=＝， 将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为3R =，故这个几何体的外接球的表面积为2436R ππ= ．故选C ．类型三：柱的外接球【例3】（2018安徽模拟）设直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA 1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________. 【解析】设三角形BAC 边长为a ，则三角形BAC外接圆半径为12sin 3a =，因为2244010R R ππ=∴=所以22210,2a R a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭即直三棱柱的高是【变式】1(江苏2018模拟)．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【解析】ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥AC ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A 1C 是球的直径，∴R =A 1C 2；∵AB ⊥BC ，∴AC =√32+42=5 ，∴A 1C 2=52+52=50 ；故该球的表面积为S =4πR 2=4π(A 1C 2)2=πA 1C 2=50π2. 【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B2类型四：锥的外接球（重点）【例4-1】【衡水金卷】已知正四棱锥P ABCD -，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ） A.1243π B. 62581π C. 50081π D. 2569π【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCDV PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=3OO PO PO R ∴-'=='-在 Rt OO D '中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪球故选C【变式】（2018衡阳模拟）．已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则12,2AO AC PA PO ==''=⊥平面ABCD,故PO =='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径故外接球的表面积为248,S R ππ==故选C.【例4-2】（2018攀枝花模拟）一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ）A. 4πB. 5πC. 8πD. 9π【解析】分析：先通过三视图找到几何体的原图，发现原图是一个三棱锥，再找到几何体的外接球的半径，再求该几何体的外接球的表面积.详解：由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=2,BD=1,AB=2. 由于△BCD 是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E,且r =12√CD =√52. 设外接球的球心为O,如图所示，由题得R 2=12+(√52)2=94.所以该几何体的外接球的表面积为4πR 2=4π×94=9π.故选D.【变式】如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π【解析】几何体的直观图如图所示为三棱锥O ABC -，三棱锥O ABC -中， 090AOC ABC ∠=∠=，所以外接球的直径为AC ，则半径12R AC ==球的表面积2432S R ππ==.2．（衡水金卷信息卷）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.214π3B.127π3C.115π3D.124π3【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A −BCD 其中AD =DC =2，BD =4且AD ⊥底面ABC ，∠BDC =120° 根据余弦定理可知：BC 2−BD 2+DC 2−2BD ∙DC ∙cos 120°=42+22−2×4×2×(−12)=28可知BC =2√7根据正弦定理可知∆BCD 外接圆直径2r =BCsin ∠BDC =2√7sin 120°=4√7√3∴r =2√213，如图，设三棱锥外接球的半径为R ，球心为O ，过球心O 向AD 作垂线，则垂足H 为AD 的中点 DH =1，在Rt∆ODH 中，R 2=OD 2=(2√213)2+1=313∴外接球的表面积S =4πR 3=4π×313=124π3故选D题型二：空间几何体的内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球，33)26(3434-==ππR V 球．∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球．变式：【衡水金卷】如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A.254π B. 2516πC. 11254πD. 112516π【答案】D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为： 202416，，的长方体1111ABCD A B C D -中 三棱锥B KLJ -即为所求的三棱锥其中19KC =， 1112C L LB ==， 116B B =1111KC LB C L B B∴=，则11K C L LB B ~， 90KLB ∠=︒ 故可求得三棱锥各面面积分别为：150BKLS=， 150JKLS=， 250JKBS=， 250JLBS=故表面积为800S =表 三棱锥体积1V 10003BKLS JK ==设内切球半径为r ，则3154V r S ==表故三棱锥内切球体积341125316V r ππ==球故选D 【强化练习】1．（2018山东模拟）在四面体ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AC =√62，BD =√2，则它的外接球的面积S =（ ）A. 4πB. 2πC. 43π D. 83π【解析】由题意AB2+AD2=BC2+CD2=2=BD2，可知ΔBAD和ΔBCD是以BD为公共边的等腰直角三角形，取BD的中点，则OA=OB=OC=OD=√22,所以外接球的半径为R=√22，所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√22)2=2π，故选B．2．在四面体ABCD中，AB=AC=2√3，BC=6，AD⊥底面ABC，△DBC的面积是6，若该四面体的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π【解析】四面体ABCD与球O的位置关系如图所示，设E为BC的中点，O1为ΔABC外接球的圆心，因为AB=AC=2√3，BC=6，由余弦定理可得∠BAC=2π3，由正弦定理可得2AO1=√32=4√3,AO1=2√3由勾股定理可得AE=√3，又SΔDBC=12×DE×BC=6,∴DE=2，∴AD=√DE2−AE2=√4−3=1，在四边形OO1AD中，OO1//AD,∠OO1A=90∘，OA=OD，计算可得R2=OA2=(2√3)2+(12)2=494，则球O的表面积是4π×494=49π，故选D.4、（2018湖南模拟）．某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球的表面积为A. 100π9 B. 9π C. 100π27D. 10π【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为R，则(3−R)2+1=R2解得R=53，所以球的表面积为S=4πR2=100π9，故选A.5．已知底面半径为1，高为√3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为（）A. 32√3π27 B. 4π C. 16π3D. 12π【解析】设球的半径为R，由已知有R2=12+(√3−R)2⇒R=√3，故球的表面积为4πR2=4π×(√3)2=16π3，故选C.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为41π4，则几何体的高x为A. 3B. 5C. 4D. 2【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥P−ABCD，如图.底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，过底面ABCD的中心N作底面ABCD的垂线，则该几何体的外接球的球心O在该垂线上，过O作OK⊥侧面PAD,则垂足K在AD的高线PM上，连接OA,OP，则OA,OP为球的半径，该几何体的外接球的表面积为S=41π4，即4π×4116=4πR2，R=√414，由OP2=PK2+OK2，得PK=√4116−1=54，由OA2=ON2+AN2，得4116=2+(x−54)2，解得x=2，或x=12，由PK=54，可得x=2，故选D．7．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 9πB. 8πC. 5πD. 4π【解析】 由三视图可知，几何体为一个三棱锥，且一边垂直于底面，其外接求的直径等于其补成一个长方体的外接球，且长方体的长宽高分别为2,1,2，根据长方体的对角线长等于球的直径，所以2R =2R =，所以22449S R πππ==⨯=⎝⎭，故选A ．8．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为1S ，外接球的表面积为2S ，则12S S =（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:8【解析】如图：由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r 则： 2122lR r π=，21222r R r ππ=，解得2R r = 故30ADC ∠=︒， 90DCB ∠=︒则12BC BD =， 12r r ∴=内外 故1214S S = 故选C9．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的表面积为1S ，外接球的表面积为2S ，则12S S =（ ） A. 3:8 B. 9:16 C. 1:4 D. 1:8【解析】设圆锥的底面半径是r ，母线长为l ，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， 22rl r ππ∴= ，解得2l r =，则圆锥的轴截面是正三角形，设圆锥的外接球的半径为,R，2,3R ∴=∴该圆锥的表面积2213,S rl r r πππ=+=外接球的表面积为22221644,33S R r r πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭212239.16163S r S r ππ∴== 故选B ． 10．在三棱锥P ABC -中， 2AP =，AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 40πB. 20πC. 12πD.203π【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边）. ∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=. ∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵()0,C π∈∴3C π= ∴由正弦定理，2sin3r =，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC∴()()()22222PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.11．在三棱锥P ABC -中，AB ==， 90ABC BCP PAB ∠=∠=∠=，cos 4CPA ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A. 5π B. 13π C. 6π D. 14π【解析】 如图所示，作PE ⊥平面ABC 于E 点，连接,EA EC ，因为,BC CP PA AB ⊥⊥，易得,EC CB EA AB ⊥⊥， 四边形EABC 为矩形， 22221,3PA PE PC PE =+=+， 在PAC ∆中，由余弦定理222cos 4PA PC PA PC CPA +-⋅∠= ， 代入整理得4PE =，设三棱锥P ABC -外接球的半径为，由1PE =得2R =2R =，所以球的表面积为245S R ππ==，故选A ．12．某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A. 2πB. 4πC. 5πD. 20π【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，且其中边长为1的侧棱与底面垂直，底面为底边长为2的等腰直角三角形，所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为√2，√2，1的长方体，所以该几何体的外接球O 的半径R ＝√2+2+12=√52，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝5π.故答案为：C.13．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.5003π B. 3 C. 1253π D. 3 【解析】由题得几何体的原图为图中的四棱锥A-BCDE, 四棱锥A-BCDE 的外接球和长方体的外接球重合，因为长方体的外接球直径22R R ===∴=所以该几何体的外接球的体积为343π⋅故选D. 14、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π【解析】由三视图可得该几何体是六棱锥，底面是边长为1的正六边形，有一条侧棱垂直底面，且长为2，可以将该几何体补成正六棱柱，其外接球与该正六棱柱外接球是同一个球．故该几何体的外接球的半径R ==248S R ππ==.故选B. 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：15．如图，在三棱锥B ACD -中， 3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=， 3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（ ）A.192πB. 19π【解析】如图，在,ACB ADB ∆∆中，由余弦定理得AC AD ==CD 的中点E ，连BE,AE ，则,BE CD AE CD ⊥⊥，且BE AE ==222BE AE AB +=，所以90AEB ∠=︒，从而可得BE ⊥平面ACD ．设ACD ∆的外接圆的半径为r ，圆心为1O ，则1O 在AE 上，由222211r O C O E CE ==+()22AE r CE =-+，可得)221r r=+，解得r =由题意得球心O 在过点1O 且与平面ACD 垂直的直线1O F 上，令1O F BE ==，设1OO d =，则由OC OB =可得2222221d O C d r OF FB +=+=+ )2d =)2r +，解得d =B ACD -的外接球的半径为R ，则22222198R d r =+=+=⎝⎭，所以外接球的表面积21942S R ππ==．选A ． 16．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.3 B. 1253π C. 3 D. 5003π 【解析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其外接球即为俯视图为底面的三棱柱的外接球，设几何体的外接球的半径为R ，则2R ==2R =，所以该外接球的体积为33443323V R ππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选A.17．已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒， 21AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13π 【答案】D【解析】∵30ACB ∠=︒， 2AC AB ==ABC 是以AC 为斜边的直角三角形其外接圆半径2ACr ==，则三棱锥外接球即为以ABC C 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径R 满足,2R ==故三棱锥外接球的体积34.36V R π== 故选D.18．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4、m，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则13×4×m×4＝323,∴m=2，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R=12√42+22+42＝3，故这个几何体的外接球的表面积为4πR2=36π．故选C．19．已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P−ABCD外接球的表面积是（）A. 20πB. 101π5C. 25πD. 22π【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得ME=√5,在直角△OME中，x2+5=R2(1)，又MF=OG=1,AF=√32−22=√5,AG=√R2−1,GF=x,∴√R2−1+x=√5(2)，解（1）（2）得R2=10120,∴S=4πR2=1015π.故选B.点睛：本题的难点在于作图找到关于R的方程，本题条件复杂，要通过两个三角形得到关于R的两个方程x2+5=R2(1)、√R2−1+x=√5（2），再解方程得到R的值.20．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 36πC. 40πD. 400π【解析】几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为120度的等腰三角形BCD ，侧棱AC 垂直底面，2,BC CD BD AC ====设三角形BCD 外接圆圆心为O ，则242OC OC ==∴=,因此==即外接球的表面积为2440ππ=，选C.21．某几何体的三视图如图所示，其外接球表面积为（ ）A. 24πB.C. 6πD. 8π【解析】由题得，几何体原图是长方体中的三棱锥A-BCD ，所以球的直径2R所以22446R S R πππ=∴==⨯=⎝⎭,故选C.22．某几何体的正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，三视图如图所示，该几何体外接球的表面积是( )．A. 4πB.112π C. 3π D. 133π 【解析】由题意得该几何体的是如图所示的四棱锥P ABCD -，底面为俯视图所示的等腰梯形（上下底分别为1,2PE =．取AB 的中点1O ，由条件可得11111O A O B O C O D ====，故点1O 为底面梯形外接圆的圆心，过点1O 作1MO ⊥底面ABCD ，且使得1MO 1MO 上，设为点O ．设1OO x =，则2OM x =-，可得2222111OB OO O B x =+=+， 222OP OM MP =+ 22x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由,OB OP 均为外接球的半径可得2221x x ⎫+=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得6x =， 令外接球的半径为R ，则2213112R x =+=， 故四棱锥外接球的表面积为21343S R ππ==．选D ． 23．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注3π≈）（ ） A. 125.77 B. 864 C. 123.23 D. 369.69【解析】由题意知，大球半径6R =，空心金球的半径60.3 5.7r =-=，则其体积()334π6 5.7123.233V =-≈（立方寸）．因1立方寸金重1斤，则金球重123.23斤， 故选C ．23．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1体积为8，面A 1B 1C 1D 1在一个半球的底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. 323π B.4√23π C. 12π D. 4√6π 【解析】正方体体积为8，则棱长为2由题意可得底面A 1B 1C 1D 1的中心到上底面顶点距离为球的半径√22+(√2)2=√6 半球体积为12×43π×(√6)3=4√6π 故选D24．三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA =2,ΔABC 是边长为√3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 4π3 B. 4π C. 8π D. 20π【解析】根据已知中底面ΔABC是边长为√3的正三角形，，PA⊥平面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以ΔABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵ΔABC是边长为√3的正三角形，∴ΔABC的外接圆半径r=23√3−34=1，球心到ΔABC的外接圆圆心的距离d=1，故球的半径R=√r2+d2=√2，故三棱锥P−ABC外接球的表面积S=4πR2=8π.故选：C．25．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A. 81πB. 33πC. 56πD. 41π【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P−ABCD，其中ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD．设F为AB的中点，E为正方形ABCD的中心，O为四棱锥外接球的球心，O1为ΔPAB外接圆的圆心，则球心O为过点E且与平面ABCD垂直的直线与过O1且与平面PAB垂直的直线的交点．由于ΔPAB为钝角三角形，故O1在ΔPAB的外部，从而球心O与点P在平面ABCD的两侧．由题意得PF=1,OE=O1F,OO1=EF，设球半径为R，则R2=OE2+OB2=EF2+O1P2,即OE2+(2√2)2=22+(1+OE)2，解得OE=32，∴R 2=(32)2+(2√2)2=414， ∴S球表=4πR 2=41π．选D ．26．已知底面边长为√2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P −ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 2πC. 43π D. 4π【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为√1+1+1=√3，故其表面积为S =4×π×(√32)2=3π．选A ．27．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A. √3πB. √32π C. 3π D. 4π 【答案】B【解析】由三视图可知，该“阳马”是底面对角线长为√2的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R =√√22+1=√3,R =√32，球体积为V =43πR 3=√32π，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.28．在三棱锥S ABC -中， SA ⊥平面ABC ， 2SA =， 1AB =， BC =， AC =外接球表面积为________． 【答案】14π【解析】在△ABC 中，由余弦定理得cos sinBAC BAC ∠==∴∠=222,sin r r BAC =∴=∠22222141,,=4=14.4R R S R ππ∴+=∴=∴⨯⎝⎭球故填14π. 29．已知三棱锥S −ABC,SA ⊥平面ABC ，ΔABC 为等边三角形，SA =2,AB =3,则三棱锥S −ABC 外接球的体积为__________． 【答案】32π3. 【解析】根据已知中底面ΔABC 是边长为3的正三角形，SA ⊥平面ABC ，SA =2，可得此三棱锥外接球，即为以ΔABC 为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球. ∵ΔABC 是边长为3的正三角形∴ΔABC 外接圆的半径为r =√3，球心到ΔABC 的外接圆圆心的距离为d =1. ∴球的半径为R =√3+1=2 ∴三棱锥S −ABC 外接球的体积为V =4π3R 3=32π3故答案为32π3. 30．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________________.【解析】设四个实心铁球的球心为1234,,,O O O O ，其中12,O O 为下层两球的球心，四个球心连线组成棱长为1的正四面体， ,,,A B C D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为2的正方形，所以注水高为正四面体相对棱的距离与球半径的二倍的和，即为1+， 故应注水的体积等于以注入水的高度为高的圆柱的体积减去四个球的体积， 34114232ππ⎛⎛⎫+-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭＝132π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为3132cm π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.31．若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，∠BAC=60°,则球O 的表面积____________【解析】 如图所示，三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，以为SA ⊥平面0,1,2,60ABC SA AB AC BAC ===∠=，所以BC ==090ABC ∠=， 所以ABC ∆截球O 所得的圆O '的半径为112r AC ==,所以球O 的半径为2R ==，所以O 的表面积为2416S R ππ==.32．在正三棱锥A BCD -中， M ， N 分别是AB ， BC 上的点，且//MN AC ， 5AM MB =，MD MN ⊥，若侧棱1AB =，则正三棱锥A BCD -的外接球的表面积为__________．【解析】设底边边长为a ，则在三角形BCD 中， 11,.663BN BC a DBN DN π==∠=∴=在三角形ABD 中， 22cosA 2a -= ，在三角形AMD 中， 5,6AM DM == ，因为222211, 2.66MD MN MN AC DM MN DN a ⊥==+=∴= 设A 在底面BCD 上的射影为E ，则02sin603BE BC AE =⨯===设球半径为R ，则22232R R BE R ⎛⎫=-+∴= ⎪ ⎪⎝⎭ 正三棱锥A BCD -的外接球的表面积为243.S R ππ==33．边长为2的等边ABC ∆的三个顶点A ， B ， C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为1483π，则三棱锥O ABC -的体积为__________．【来源】【全国市级联考】重庆市2018届高三4月调研测试（二诊）数学（文科）试题【解析】设球半径为R ，则214843R ππ=，解得2373R =．设ABC ∆所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则22323r ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故球心到ABC ∆所在平面的距离为d ===，即为三棱锥O ABC -的高，所以21123343O ABC ABC V S d -∆⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：334．如图，在四面体ABCD 中， AB ⊥平面BCD ， BCD ∆是边长为的等边三角形.若8AB =，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________．【来源】【全国市级联考】湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测文科数学试题 【答案】100π【解析】取CD 的中点E ，连结,,AE BE 在四面体ABCD 中， AB ⊥平面,BCD BCD ∆是边长为3的等边三角形，,Rt ABC Rt ABD ACD ∴∆≅∆∆是等腰三角形， BCD ∆的中心为G ，作//OG AB 交AB 的中垂线HO 于,O O为外接球的中心， 2BE BG == 2R ==，四面体ABCD 外接球的表面积为2416R ππ=，故答案为100π.35．三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的直角三角形,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积是________【解析】由题意可得AS BS⊥，所以取AB中点O,则O是三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为1.所以S=4.π填4π。
外接球内切球题型总结
外接球内切球题型总结和内切球是高中数学中常见的几何题型。
它们看似简单，但实际上需要一定的思维和推理能力。
在这篇文章中，我将总结和内切球的题型，并提供一些解题思路和方法。
一、题型是指一个球完全地包围住一个几何体，即几何体的各个顶点都在球的表面上。
以下是一些常见的题型：1. 外接圆题型外接圆是指一个圆正好切合于一个三角形的三条边上。
在解决外接圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式来简化问题。
例如，假设一个三角形的三个顶点分别是A、B、C。
若存在一个外接圆，那么圆心必然在三角形的垂直平分线的交点处。
因此，我们只需要求出垂直平分线的交点即可确定圆心的位置。
2. 题型与外接圆类似，也可以用类似的思路来解决。
我们可以通过求出几何体的垂直平分面的交线来确定球心的位置。
举个例子，假设我们有一个四面体ABCD，我们需要求出其。
首先，我们可以通过连接四面体的两个对角线来得到一个交点E。
然后，我们找出四面体的垂直平分面，分别与对角线DE、CE、BE、AE相交，这些相交点的集合就是球心所在的平面。
最后，我们通过球心与四面体任意一个顶点的距离就可以确定球的半径。
二、内切球题型内切球是指一个球正好与一个几何体的各个面相切。
以下是一些常见的内切球题型：1. 内切圆题型内切圆是指一个圆正好与一个三角形的三边内切。
解决内切圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式。
例如，假设我们有一个三角形ABC，其内切圆的半径为r，圆心为O。
根据内切圆的性质，我们可以知道三角形的三个角都是圆心O的切点。
因此，我们可以利用三角函数的关系式来求解r。
2. 内切球题型内切球题型相对来说会更加复杂一些。
我们需要找到几何体的内切面以及球心的位置。
举个例子，假设我们有一个四面体ABCD的内切球。
我们可以通过连接四面体相对面的交点的连线找到内切球的球心。
然后，我们继续找到相应的内切面，通过求解距离或者长度的关系还可以进一步确定内切球的半径。
高考数学立体几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学立体几何体的外接球与内切球常见题型介绍在高考数学中，立体几何是一个重要的考点。
其中，经常涉及到求解立体几何体的外接球和内切球的问题。
本文将介绍几种常见的题型以及解题方法，帮助考生更好地理解和应对这类题目。
以下是具体内容。
外接球的题型题型1：求立体几何体的外接球的半径或直径这类题型要求求解一个给定立体几何体的外接球的半径或直径。
解题的关键是找到立体几何体的特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 根据立体几何体的几何关系，得出外接球与立体几何体的关系。
3. 利用几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到外接球的半径或直径。
题型2：求多个立体几何体的共同外接球的半径或直径这类题型要求求解多个给定立体几何体的共同外接球的半径或直径。
解题的关键是找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
3. 根据几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到共同外接球的半径或直径。
内切球的题型题型1：求立体几何体的内切球的半径或直径这类题型要求求解一个给定立体几何体的内切球的半径或直径。
解题的关键是找到立体几何体的特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 根据立体几何体的几何关系，得出内切球与立体几何体的关系。
3. 利用几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到内切球的半径或直径。
题型2：求多个立体几何体的共同内切球的半径或直径这类题型要求求解多个给定立体几何体的共同内切球的半径或直径。
解题的关键是找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
3. 根据几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到共同内切球的半径或直径。
总结本文介绍了高考数学立体几何体的外接球和内切球常见题型，并给出了解题的步骤和方法。
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型
空间几何体的外接球与内切球经典类型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，(3)题-1(引理）AC∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36. （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，(6)题图图2-1⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R .例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 . （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ； 事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π （5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A．6B．6c3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：图5第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A ．π3B ．π2C ．316πD ．以上都不对类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则俯视图侧视图正视图三棱锥ABC P -外接球的半径为 .（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //， 90=∠A ，45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为（5）在四棱锥ABCD 中， 120=∠BDA ， 150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角C BD A --的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ．类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出图8-1A图8-23．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131 第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABC P S S S S V r -----+++=3 例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ）A.3B.6C.36D.92． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 .3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为 .。
高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____43π__________.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三1,2,3，则此球的表面积为.条棱长分别为解析：体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π解析：长、宽、高分别为2，2，43.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,384x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩．∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43V π∴=球.小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______9π________.解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.则有()()()()222223339R =++=.∴294R =.故表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
高考数学中的内切球和外接球问题 (1)
高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936⎪⎩⎪⎨⎧==213x h∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积ππ942==r S .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2222c b a R ++=练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。
多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。
解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。
多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。
一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。
解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。
由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。
故表面积为27π。
例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。
由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。
2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。
例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。
3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。
由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。
高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)
外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。
以下为常见模型。
1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。
公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。
①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。
2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。
设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。
补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。
提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。
3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。
4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。
2019高中数学 考点14 空间几何体的内切球、外接球庖丁解题 新人教A版必修2
考点14 空间几何体的内切球、外接球近年来在高考中经常有多面体与球的切与接的问题，充分体现了对学生空间想象能力，运算求解能力和转化思想的考查，题目难度为中等或偏难．为了便于学习和掌握此类问题的求解方法,下面结合高考题进行了以下归纳：类型一求多面体与内切球或外接球的表面积和体积类型二多面体的内切球或外接球的最值问题【例】一个正方体内接于球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( )A．（1）（3）B．(2）(4）C．（1）（2）（3）D．（2）（3）（4）【答案】C【思路归纳】解决此类问题，必须多观察几何体，提高空间想象力．1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，即a ＝2．故该正方体的内切球的半径r ＝1，所以该正方体的内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π．【解题技巧】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，可作出合适的截面图．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．【规律方法】已知几何体的结构特征求其内切球或外接球的表面积与体积，关键是正确分析已知几何体的各项数据，从中推导出其内切球或外接球的半径再代入公式即可．3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】S 表＝4πR 2＝6π，所以R ＝26．设正四棱柱底面边长为x ，则x 22＋1＝R 2，所以x ＝1．所以V 正四棱柱＝2．故选B ．4．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为( ) A ．34πB ．4πC ．36πD ．32π 【答案】D5．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】由题意得SO =r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是×2r ×r =r 2,所以三棱锥体积是，又球的体积为，则球的体积与三棱锥体积之比是4π．6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3 D ．cm 3【答案】A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R -2，则，解得R =5，∴球的体积为=3500π，故选A ．【解题技巧】分清球被正方体上面所截得的圆的半径为R ，然后再求出这个圆的圆心到球的对应顶点的距离，最后在球心、圆心、球的顶点所构成的直角三角形中运用勾股定理求球体的半径． 7．已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球、外接球及与各棱都相切的球半径．(2R )2＝(a )2＋a 2⇒R ＝23a ．（3）与正方体的各棱均相切的球与正方体相连结的点是正方体各棱的中点，应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图（3）所示，易求得球的半径为22a ．1．表面积为16π的球的内接正方体的体积为( ) A ．8 B ．24 C ．D ．16【答案】C【解析】设表面积为16π的球的半径为r,则4πr 2=16π,解得r =2．设内接正方体的棱长为a ，则a =2r ，所以a =．所以内接正方体的体积V =a 3=．2．在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．29πC ．6πD ．332π【答案】B【解析】由题意知，底面三角形的内切圆直径为4．三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为29π．3．面积为的正六边形的六个顶点都在球的球面上，球心到正六边形所在平面的距离为 ，记球的体积为，球的表面积为，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A黄海明珠烟台黄海游乐城中的海水中一个巨大的球形建筑，高30米，直径21．8米，由不锈钢网架结构筑成，叫做“黄海明珠”，球内共分六层，主要以游客餐饮娱乐为主．。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法在几何学中，内切球与外接球是常见的概念，它们在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。
本文将介绍内切球与外接球的常见解法，并探讨它们的应用领域。
一、内切球的解法内切球是指一个球与给定的几何图形相切于一个点，并且这个点同时也是几何图形的内部点。
以下是内切球的几个常见解法：1. 数学计算法内切球的数学计算法适用于各种几何图形，如三角形、矩形、多边形等。
以三角形为例，内切球的半径可以通过三角形的三条边长进行计算。
根据三角形的半周长和面积公式，可以得到内切球半径的表达式。
对于其他几何图形也有相应的计算公式。
2. 切线法切线法是通过确定一个几何图形上的切线来确定内切球的位置。
以圆形为例，可以通过确定圆上的一个点，以及与该点相切的一条切线来确定内切球的位置。
通过切线与圆的性质，可以计算出内切球的半径和位置。
3. 递归法递归法是指通过重复应用内切球的概念来构造内切球。
以正多边形为例，可以通过不断细分正多边形，计算每一次细分后的内切球半径，并将细分次数趋近于无穷大，从而得到内切圆。
二、外接球的解法外接球是指一个球与给定的几何图形相切于图形的每一条边，使得球的球心与几何图形的外部一致。
以下是外接球的几个常见解法：1. 最小二乘法最小二乘法是一种通过优化求解的方法，可以用于计算外接球的位置和半径。
以平面上的点集为例，可以通过确定一组最优的参数来使得这些点到外接球的距离最小化。
通过数学计算和迭代计算，可以得到外接球的位置和半径。
2. 外接圆的性质对于特定的几何图形，如正多边形和三角形，存在外接圆的性质。
以三角形为例，外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线的交点上，半径等于垂直平分线与三角形顶点的距离。
通过利用这些性质，可以直接确定外接球的位置和半径。
3. 边界凸包法边界凸包法是一种通过凸包的性质来计算外接球的方法。
凸包是指包含所有给定点的最小凸多边形，可以通过计算凸包的顶点和中心来确定外接球的位置和半径。
高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2, 3 ，则此球的表面积为. 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面8 周长为3 ，则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎧6x = 3 ⎪ ⎧h = 3⎪ ⎨9 = 6 ⨯ 3 x 2h ⎨x = 1 ⎪⎩8 ⎩⎪ 2a 2 +b 2 +c 2 ∴正六棱柱的底面圆的半径r = 1 ，球心到底面的距离d =2 3 .∴2外接球的半径R = . 体积：V = 4R 3 . 3小结 本题是运用公式R 2 = r 2 + d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积S = 4r 2 = 9.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a , b , c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体 的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 长方体。
. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a , b , c ，则体对角线长为l = ，几何体的外接球直径为2R 体对角线长l 即R =2r 2 + d 2a 2 +b 2 +c 2 a 2 + b 2 + c 2AO练习：在四面体 ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1, 6,3 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
难点突破立体图形的外接球与内切球问题
2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题一、基础知识与概念：1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面．3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+．4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切．球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱三棱锥四棱锥例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．π34π2π4π【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1h =，1R =，底面半径为r ，则由R =得：222213124r r ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭，234V r h ππ==．2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．B ．C ．D ．【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，h a =，r =，222222724312h a a a R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以该球的表面积2227744123a a S R ππ==⨯=．答案B ． 3．（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A ．B ．C ．D ．【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，4h =，2r ==221629284h r R h ++===， 所以2818144164S R πππ==⨯=，答案：A ． 4．（2013年全国卷I 第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π【解析】设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =，球与正方体上表面相交圆的半径4r =，有：()2222R r R -+=，2454r R +⇒==，所以球的体积3450033V R ππ==． 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心．例2：1．已知边长为ABCD 中，60∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28πD ．32πa 2a π273a π2113a π25a π814π16π9π274π2．在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为___________．3．在边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线将菱形折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为_____________． 四、正多面体的内切球（体中球）例3：1．一个球的外切正方体的全面积为，则球的体积为_________．2．某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______．3．（2016年全国卷III 第10题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是A ．B ．C ．D ．【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，有()13681068222AA R R ++=⨯⇒=>=，故当球半径为32时球的体积最大为344273382V R πππ9==⨯=．答案B ． 练习：1．（2015年全国卷II 第9题）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 A ． B ． C ． D ．2．（2016年福建漳州市5月质检）三棱锥S ABC -中，SB ⊥平面ABC ，SB =ABC ∆形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．5π C ．9π D ．12π 3．（2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2013年辽宁卷理10）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，111ABC A B C -4π92π6π323πA B O 90AOB ∠=︒C O ABC -O 36π64π144π256π4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）A．2B．C ．132D．5．（2012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A ．BC．D．6．在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．πB ．3πC ．4πD ．43π 7．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π 8．（2017年福建省质检）．空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且,EF AB EF CD ⊥⊥，若8,4AB CD EF ===，则该球的半径等于A B CD 9．若三棱锥P ABC -的最长的棱2PA =，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是__________． 10．（2008年高考浙江卷理14）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DA AB BC ===，则球O 的体积为____________．11．（2016年东北三省三校联考）三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，120ACB ∠=︒，CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为____________．12．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，且三棱柱111ABC A B C -的体积为3，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为_________．13．在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是____________．14．在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，AD BC ==AC BD ==，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为__________． 15．（2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．16．（2017年江苏卷）如图，在圆柱12O O 内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记S ABC -O ABC ∆1SC O 2SC =632圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是_____________．。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________________ 27—例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为_________________ 3届.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 _________ .14.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16，则这个球的表面积为（）.CA. 16兀B. 20兀C. 24兀D. 32兀3•求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知 8，底面周长为3，则这个球的体积为的半径的常用公式.二、构造法（补形法） 1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ' 3，则其外 接球的表面积是 __________________ 护.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3,则其外 接球的表面积是 ________ .2故其外接球的表面积S=4「：R =9二.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a 、b 、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R ,该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 解 设正六棱柱的底面边长为x ，咼为h，则有6x =3, 9 3 2U 6 x h,841 x ,2_ h = . 3.二正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径R ^-：r 2d 2.体积:小结本题是运用公式R 2 1r = 2 ,球心到底面的距离4兀3VR 3. 3d 2求球的半径的，该公式是求球则有 2R 二、•. a 2 b 2 c 2 .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
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【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，
体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8
9，底面周长为3，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 2436893
6 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h
∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2
3=
d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
故其外接球的表面积ππ942==r S .
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2
222c b a R ++=
练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表
面积。
球的表面积为ππ1642==R S
例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此 球的表面积为（ ）
A. π3
B. π4
C. π33
D. π6
例7 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥， 3===BC AB DA ，则球O 的体积等于 . 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为3===BC AB DA ，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3=CD .故球O 的体积等于π29.（如图4）
D A C B O 图4 A C B D
O 图5
2、例8已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，
BCD AB 平面⊥，BC DC ⊥， 若8,132,6===AD AC AB ，则球的体积是
解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，4==OC OB 为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在ABC Rt ∆中，求出4=BC ，所以 60=∠BOC ，故B 、C 两点间的球面距离是π34.（如图5）
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16， 则这个球的表面积是
A.π16
B.π20
C.π24
D.π32.
小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，点
D C B A S ,,,,都在同一球面上，则此球的体积为 解:设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，
如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCD OO 平面⊥1.
又ABCD SO 平面⊥1，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接
圆的半径就是外接球的半径.
在ASC ∆中，由222,2,2AC SC SA AC SC SA =+===得， C D A B S
O 1图3。