反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
反比例函数的图像与性质.
x 0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
b’
b B A a’ a
0 书本练习P53. 1 .2
x
已知直线y=kx（k>0） 绕原点旋转，与反比例函数 8 在第一象限交于点P。 y=— X 过点P向X轴，y轴作垂线， 垂足分别是A，B。 问 OAPB是一个什么图形？ 随着直线的转动，这个图形 的面积将如何变化？
B B
P
y=kx P
A
A
不变，等于8
C 4
x
Gibco胎牛血清/xueqing/ Gibco胎牛血清
mqu79hno
次装满一大海碗，对耿兰说：“兰儿，你去姥爷那儿跑一趟哇，这个饺子应该比饭店里做的好吃呢，让姥爷和舅舅他们也尝一 尝！”剩下的，郭氏装在干净的竹篮子里，吩咐耿英悬挂到地窖里去了。耿兰从姥爷那儿返回来的时候，娘和姐姐已经把所有 的剩饭剩菜都收拾妥当，并且把几大摞碗碟，以及酒瓶子酒盅筷子什么的都洗刷干净归置好了。郭氏说：“咱们都歇息一会儿 哇，晚上还要热闹呢！娘今儿个很高兴，可也有些个累了呢！”于是，娘三个就在东、西两个厢房内小睡去了。半下午时分， 耿英醒来了。看到妹妹还在酣睡呢，就轻手轻脚地起身下炕来。再轻轻走到西厢房的门口探头往里瞧瞧，见娘还睡得很沉，就 动作轻轻地把晚上“供月”的各色水果都洗干净了空在漏箩里。看到娘和妹妹还没有睡醒的迹象，耿英想，俺也看看水稻去！ 于是，她轻手轻脚地出门倒挂上院门，又尽量动作轻轻地拉齐了。然后，就脚步轻盈地往爹试种的水稻田那边去了。耿英先去 了自家的水田边，看到齐刷刷秀了穗儿的水稻在微风中略显沉重地摇曳着。用手捏一捏，真是已经灌了半饱的浆了呢！再看看 稻田周围的几十个草人儿，见它们“手”里绑着的那些个拉了很长的纸旗儿一飘一飘的忒好玩儿，耿英不觉笑出了声儿。高高 兴兴地独自观看一圈后，她又往不远处舅舅家的水田那边溜达过去了。一直到黄昏时分，父子四个才高高兴兴地返回家来。这 个时候，郭氏和耿兰已经把八仙桌和餐桌全都搬到当院儿里了，正在那里摆放各种鲜瓜和鲜果子呢。见父子四个回来了，郭氏 说：“哎呀，这一下午，睡得可真叫个香哇。醒来以后，一点儿都不觉得累了！英子啊，你还是那样经得起摔打哇，早早地就 起来洗好了瓜果，还去看你爹的水稻了？”耿英轻轻笑一笑说：“俺睡了一会儿就不觉得累了。咱们上午那点儿活计，小菜一 碟儿！”耿兰不好意思地说：“可俺像死猪一样，几乎睡了整整一个下午呢！”耿直夸张地瞪大眼睛大声儿对妹妹说：“兰兰 啊，你哪里能跟咱姐比哇！你是咱娘在暖房里养大的嫩苗苗，咱姐可是在旷野中疯长的圪针啊，不光是硬实无比，还扎人呢！” 耿英笑着说：“小直子你就摆忽哇。将来啊，非得让你在咱们家盖的大戏台上，好好儿地过一把你这个喜欢瞎摆忽的瘾不可！” 郭氏不解地看看耿英，又看看耿直，说：“你们都在说些什么呢？嫩苗苗、圪针的，还要让小直子过什么瞎摆忽的瘾？俺怎么 越听越糊涂了？”耿兰假装生气地斜了姐姐和二哥一眼，恨恨地说：“俺也只是听明白了一半呢！娘，咱俩不理他们，还给咱 们咬文嚼字呢！谝他们强，看俺将来不超过他们！”耿老爹听了小女儿这话却非常高兴，笑着说：“就是，俺兰儿一点儿也不 比他们差，将来一定能超过他们的！”耿正对爹说：“俺就喜欢兰
26.1.2反比例函数的图像和性质
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01
02
03
求导判断法
通过对反比例函数求导， 根据导数的正负判断函数 的单调性。
图像观察法
通过观察反比例函数的图 像，可以直接判断出函数 在不同区间的单调性。
特殊点比较法
选取反比例函数上的特殊 点，比较它们的函数值大 小，从而判断函数的单调 性。
奇偶性讨论
奇函数性质
02
反比例函数图像特点
图像形状及位置
01
反比例函数的图像是一条双曲线 ，该曲线以原点为中心，分布在 两个象限内。
02
当$k > 0$时，双曲线的两支分别 位于第一、第三象限；当$k < 0$ 时，双曲线的两支分别位于第二 、第四象限。
渐近线与坐标轴关系
反比例函数的图像无限接近于坐标轴 ，但永远不会与坐标轴相交。
的关系等。
工程学
在工程学中，复合反比例函数可用 于描述某些物理量之间的关系，如 电阻、电容和电感等。
数学建模
在数学建模中，复合反比例函数可 作为一种数学模型来描述实际问题 ，如人口增长、资源消耗等。
THANKS
感谢观看
在第一、三象限内，双曲线无限接近 于$x$轴和$y$轴的正半轴；在第二、 四象限内，双曲线无限接近于$x$轴和 $y$轴的负半轴。
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在双曲线上，则点$(-x, -y)$ 也在双曲线上。
此外，反比例函数的图像还关于直线$y = x$和$y = -x$对称。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解
矩形面积
当矩形的长度和宽度成反比例关系时 ，可以通过反比例函数求解其面积。
反比例函数的图象和性质
P(a,b)
X>0
例5.已知函数y=k/x 的图象如下右图，则y=k x-2 的图象大致是（ D ）
y y o (B) y y o x x y o x x
(A)
o
x
o
(C)
(D)
练一练
1.所受压力为F (F为常数且F≠ 0) 的物体，所受压 强P与所受面积S的图象大致为（ B）
P （A） P （B） O P （C） O S O （D） S S
8. 如图点Ｐ 是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意 点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则 Ｓ＝_____
4 2
P
-5
O
A
5
-2
9。已知反比例函数y =k/x 和一次函数 y=kx+b 的图象都经过点（2，1） （1）分别求出这个函数的解析式 （2）试判断是A（-2， -1）在哪个函数的图象上 （3）求这两个函数的交点坐标
P C
A B
o Q x
1.5 8 1 1、反比例函数y , y , y 的共同点是 （ C） x x 4x (A)图像位于同样的象限 (B)自变量取值是全体实数 (C)图像都不与坐标轴相交 (D)函数值都大于0
2、以下各图表示正比例函数y=kx与反比例函数 y y o (B) x o (C)
y
0
y x
0
x
如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 （k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例 函数，其中自变量不能为0。
y
k x
函数名称
函数解 析式和 自变量 取值范 围
正比例函数 y=kx(k≠0，k是 常数) x取一切实数 K>0 K<0 y x o y随着x 增大而 减小 x o
反比例函数的图像和性质
A S1 B
A. B. C. D.
S1 S1 S3 S1
= < < >
S2 S2 S1 S2
= S3 < S3 < S2 >S3
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
7.如图，过平面直角坐标系中的x轴上的整数 点1、2、3、4、5作x轴的垂线，分别交反比例函数 D、E作y轴的垂线。则图中阴影部分的面积是___.
1 4.如图在坐标系中，直线y=x+ 2
k与ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，点A、C是反比例函数
的图
像上的任意两点，过点A作x轴的垂线，过点C 作y轴的垂线，连接OA、OC，设Rt△OAB和 Rt△OCD（O为坐标原点）的面积分别是M和N， y 则M、N的大小关系是（ ） A.M>N B.M<N C.M=N D.M和N的大小关系不能确定.
S1
A
B
o
S2
x
C
D
1 5. .如图, 在 y ( x > 0 )的图像上有三点 A , B , C , x 经过三点分别向 x 轴引垂线 , 交 x 轴于 A1 , B1 , C 1 三点 , 边结 OA , OB , OC , 记 OAA 1 , OBB 1 , OCC 1的 面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则有 __ .
3 2
5 D. 2
y A D C O B
x
例1.如图：一次函数y=ax+b的图象与 k 反比例函数y= x 交于M （2，m） 、N （1，-4）两点。（1）求反比例函数和一次 函数的解析式；（2）根据图象写出反比 例函数的值大于一次函数 y 的值的x的取值范围。
反比例函数图象和性质
解：∵MN⊥x 轴，点 M(a,1)， ∴S△OMN＝12a＝2，∴a＝4. ∴M(4,1)． ∵正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0)的图 象交于点 M(4,1)， ∴k1＝14，k2＝4×1＝4. ∴正比例函数的解析式是 y＝14x，反比例函数的解析式是 y ＝4x.
足分别为 B，C，则四边形 OBAC 周长的最小值为( A )
A．4
B．3
C．2
D．1
图 26-1-5
解析：要使四边形的周长最小，则需要四边形为正方形，
此时 OB＝AB＝AC＝OC＝1，所以周长为 4.
6．已知：正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0) 的图象交于点 M(a,1)，MN⊥x 轴于点N(如图 26-1-6)，若△OMN 的面积等于 2，求这两个函数的解析式．
(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在 涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减 情况．
(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例 系数 k 的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减 性，也可以推断出 k 的符号．
(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数 的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．
(2)当 k<0 时，由于____x_y_____得负，因此可以判断 x，y 的符号__相__反____，所以点(x，y)在__第__二__或__第__四__象限，所以函数 图象位于___二__、__四___象限．
归纳：反比例函数的图象是_双__曲__线__，它有_两__个__分支． 当 k>0 时，函数图象位于____一__、__三____象限； 当 k<0 时，函数图象位于____二__、__四____象限．
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数的性质及图像
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
反比例函数的图象和性质课件
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质知识清理1、利用描点法画函数图象的步骤是列表、描点、连线。
2、反比例函数的解析式一般用待定系数法来求得，因为在反比例函数xk y =（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，就确定了反比例函数的解析式。
通常给出一组x 和y 的对应值或者图像上一点的坐标，代入xk y =中，即可以求出k 值，从而求得反比例函数的解析式。
3、反比例函数k y =（k 为常数，且k ≠0）的图像是双曲线具有以下性质：4、反比例函数xk y =（k ≠0）中的比例系数k 的几何意义。
如图：矩形PMON 的面积S=PM ×PM=y x y x ∙=∙，因为xk y =，所以xy=k 。
所以S=K ，即多双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为K ，若已知矩形的面积k 的绝对值时，应当依据双曲线的位置确定k 值的符号。
例题精讲：例题1、已知正比例函数与反比例函数图像交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式。
例题2、在反比例函数xk y =（k ≠0）的图像上有一点p ，它的横坐标m 和纵坐标n 是方程0242=--t t 的两个根： （1）求k 的值。
（2）求点p 到原点o 的距离。
例题3、函数1-=kx y 与xk y -=（k ≠0）在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）（多项选择）例题4、设函数552)2(+--=m mx m y ，当m 取何值时，它是反比例函数？它的图像位于哪些象限内？（1）在每个象限内，当x 的值增大时，对应的y 值是如何变化的？ （2）画出函数草图。
（3）利用图像求出当221≤≤x 时，函数值y 的变化范围。
作业练习 一、选择题1. （2011广东汕头）已知反比例函数xk y =的图象经过（1，－2）．则________．2．（2011湖南邵阳）已知点（1,1）在反比例函数xk y =（k 为常数，k ≠0）的图像上，则这个反比例函数的大致图像是（ ）3. （2011江苏连云港）关于反比例函数xy 4=的图象，下列说法正确的是（ ）A ．必经过点（1，1）B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称4. （2011湖南怀化）函数x y 2=与函数xy 1-=-在同一坐标系中的大致图像是k=5. （2011江苏淮安）如上右图，反比例函数xk y=的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（）A.y＞1B.0＜y＜1C. y＞2D.0＜y＜26. （2011湖北黄石）若双曲线xky12-=的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是A.k＞21B. k＜21C. k=21D. 不存在7. （2011贵州贵阳）如图，反比例函数y1=k1xy2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k1x＞k2x，则x的取值范围是（A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1 （C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞18. （2011广东茂名）若函数xmy2+=的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是A．B．C．D．9（2011山东东营）如图,直线和双曲线)0(>=kxky交于A、B两点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（）A. S1＜S2＜S3B. S1>S2>S3C. S1=S2>S3D. S1=S2<S310. （2011福建福州）下图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．11. （2011山东威海）下列各点中，在函数xy6-=图象上的是（）A．（－2，－4）B．（2，3）C．（－1，6）D．(3,21-)12. （2011四川南充）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图像是（）y xm2->m2-<m2>m2<ml2y x=4yx=3yx=-12y x=13. （2011浙江杭州）如图，函数和函数xy 22=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．14. （2011浙江台州）如图，反比例函数xm y =的图象与一次函数的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程xm =的解为（ ）A. －3,1B. －3,3C. －1,1D.3，-115（2011河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ,Q ，连接OP ,OQ.则以下结论 ①x ＜0时，xy 2=， ②△OPQ 的面积为定值，③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90°其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤11y x =-12y y >102x x <-<<或12x x <->或1002x x -<<<<或102x x -<<>或b kx y -=b kx -yoABx第16题图16. （ 2011重庆江津）已知如图,A 是反比例函数xk y =的图像上的一点,AB ⊥x 轴于点B,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6·17. （2011湖北宜昌）如图，直线y=+2与双曲线xm y 3-=在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）二、填空题1. （2011浙江金华）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y= k x ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是_________________。
26.2.4反比例函数图像和性质
不可能，请说明理由.
(08义乌市)已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置
如图，点A的坐标为（3 3,3 ），点B的坐标为（－6，0）
如图点A在双曲线y=5/x上，点B在双曲线y=8/x 上，且AB//x轴，则△OAB的面积= 3/2 。
如图，A，B两点在反比例函数y=K1/x的图象上， C，D两点在反比例函数y=k2/x的图象上，AC⊥y 轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，
则k1-k2的值是（ ）
2
-k2 k1
如图1，已知双曲线
y
k x
(k
0)与直线
y
kx
交于A,B两点，点A在第一象限.试解答下列问题:
（1）若点A的坐标为（4,2）,则点B的坐标
y A
为
；若点A的横坐标为m, 则点B的坐
O
x
标可表示为
；
B
图1
（2）如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲 线 y k (k 0) 于P,Q两点,点P在第一象限.
OB//AD
E
如图直线y=k1x+b与x、y轴相交于P,Q两点，与
y连③的=接 S解k△2/O集AxAOP的是,=OS图XB△<，B像-O2下Q相;或列④交0结<不于x论<等A1（：,式其-①2中，kk1正km1x2）确<0B的;b（有②1，kx2nm）②两③12 n点④。0，
如图正比例函数y=2x和反比例函数的图像交于点 A（m,-2）. （1）求反比例函数解析式； （2）观察图像，直接写出正比例函数值大于反 比例函数值时自变量x的取值范围； （3）若反比例函数的图像 上点C（2，n）沿OA方向平 移 5 个单位长度得到 点B，判断四边形OABC的 形状并证明你的结论。
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的图象，它们有什么相同点和不同点？
请大家再仔细观察图像，看每个图像是 否是对称图形？
做一做
观察反比例函数：y=
2 x
y=
4 x
Байду номын сангаасy=
6 x
他们在形式上有什么共同点？
观察反比例函数：y=
-2 x
y=
-4 x
y=
-6 x
他们在形式上有什么共同点？
小结 拓展
反比例函数图象作图步骤：
本节课我们学习了画反比例函数的步骤为： 列表、描点、连线.进一步巩固了画函数图象的步骤， 同时在画反比例函数图象时要注意以下几点：
1.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的 一对一对的数值，这样既可以简化计算.又便于描点；
2.列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点， 这样方便连线；
3.在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线.
小结 拓展
反比例函数的图象和性质
(1)图象是由两支曲线组成，称为双曲线； (2)图像不与坐标轴相交； (3)图像不过原点； (4)图像是轴对称图形，也是中心对称图形. (5)当k>0时，图象的两支曲线分别在第一、三象限内， 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，图象的两支曲线分别位于第二、四象限， 在每个象限内，y随x的增大而增大。
九年级数学(上)第五章 《反比例函数》
5.2反比例函数的图象与性质
二0一一年十一月十三日 兰州
回顾与思考
一次函数的图象与性质
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一
条直线,称直线y=kx+b.
当k>0时, y
当k<0时, y
b<0
b>0
b=0
o
x
B>0
b=0 o
x
b<0
y随x的增大而增大; y随x的增大而减小.
列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点, 这样既可以方便连线(平滑的曲线),又较准确地表达 函数的变化趋势;
描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序 依次画线,从中体会函数的自变量与应变量之间的变 化关系；
我思我进步
“行家”看门道
反比例函数的图象和性质
观察并比较反比例函数 y=
4 x
和 y=
-4 x
回顾与思考
给反比例函数“照相”
一般地，如果两个变量x,y之间的关系
可以表示成：y=
k x
(K为常数，K≠0）
的形式，那么称y是x的反比例函数.
回顾与思考
反比例函数的图象又会是什么样子呢? 你还记得作函数图象的一般步骤吗?
用图象法表示函数关系时,首先在自变 量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线 (按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的 曲线连接起来).
做一做
作反比例函数
y=
4 x
的图象
列表
(在自变量取值勤范围内取一些值,并计算相应的函数值)
x
-8
-4
-3
-2
y4 x
1 2
-1
4 3
-2
-1 1 2
-4 -8
x
1 2
1
2
y4 8
4
2
描点x 连线
3
4
3
4
8
1
1
2
做一做
“心动”不如行动
作反比例函数y=
-4 x
的图象
作图时请注意以下问题：
列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的 值,这样既可简化计算,又便于对称性描点;