一【下】数学巧数图形(2)
8巧数图形
巧数图形
核心知识：
1、数线段和图形的基本要求：
不重复，即不能同一个图形数两次；
不遗漏，即不能把隐蔽的某一个图形漏掉不数；
要按一定的方式或某一个标准统一分类去数，即要有规律地数。
2、数线段和图形的方法：线段端点法、基本图形数量法、公式法、分类法。
典型例题：
例1、数出下面各图形中分别有多少条线段？
练习1、
1、数出下面各图形中分别有多少条线段？
例2、数一数下边两个图形中各有多少个三角形？
练习2：数一数下边两个图形中各有多少个三角形？
例3、数一数下图中各有多少个三角形？
例4、数出下边两个图形中各有多少个长方形？
练习4：
1、数一数下面两个图形中各有多少个长方形？例5、数一数下边两个图中各有多少个正方形？练习5：数一数下边两个图中各有多少个正方形？
课外作业：
1、数一数下面各图中分别有多少条线段？（1）、
（2）、
2、数一数，下列各图中各有多少个三角形？
3、数一数下图中有多少个长方形？
4、数一数下列图形中各有多少个正方形？。
巧数图形
巧数图形巧数图形数图形包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等，这看似简单，其实其中学问可大了．为了能准确地数出结果，我们必须有次序、有条理地数，既不能遗漏，也不能重复．只要我们掌握了数的方法，就能数得又对又快．例1．下图中有多少条线段？（1）思路分析：每条线段均有两个端点，可以根据左端点进行分类．以A为左端点的线段为AB、AC，共有2条；以B点为左端点的线段为BC，只有1条；以C点为左端点的线段不存在．因此共有2＋1＝3(条)．答：图中共有3条线段．(2)这题中左端点是A的线段有：AB、AC、AD、AE，共有4条；左端点是B的线段有BC、BD、BE，共有3条；左端点是C的线段有C D、CE，共有2条；左端点是D的线段有DE；左端点是E的线段不存在．所以共有4＋3＋2＋1＝10(条)．答：图中共有10条线段．例2．数出下面图中共有多少条线段？思路分析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来．例题解答：第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段．第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段．第三部分是FG一条线段．第四部分是JK一条线段．10＋10＋1＋1＝22(条)答：这幅图共有22条线段．方法指导：数线段可以根据左端点将线段分类，数出每一类有多少条线段，然后再相加得出线段的总的条数．例3．一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条？思路分析：将这条线段上的10个点从左到右依次标为、、…、、以为左端点的线段为、、、、、、、、共有9条；为左端点的线段为、、、…、，共有8条；…；以为左端点的线段为，只有1条；以为左端点的线段不存在．因此，共有线段：9＋8＋…＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(条)答：一共有45条线段．方法指导：一般地，如果线段上有几个点(其中n是大于或等于2的自然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2例4．下面图形中有几个角？思路分析：数角的个数为了不遗漏、不重复，也需要按一定的顺序去数，可以采用与数线段相同的方法．以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个；以OB为一边的角有：∠BOC、∠BOD，共2个．以OC为一边的角有：∠COD，只有1个．3＋2＋1＝6(个)答：图中共有6个角．例5．数出下面图中共有多少个三角形？思路分析：数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共有3个．以AD为边的三角形有：△ADE、△ADC，共有2个．以AE为边的三角形有：△AEC，只有1个．所以，图中一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．我们还可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形．底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．方法指导：数角的个数和三角形个数这些基本图形时，所采用的方法与数线段的方法相同．即角的个数＝射线数×(射线数－1)÷2．即三角形个数就是底边上的线段数．例6．数一数图中共有多少个三角形？思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形，在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形；在△BDC中，一共有5个三角形．15＋15＋5＝35(个)答：图中共有35个三角形．例7．图中共有多少个不同的三角形？思路分析：将本题分成(1)、(2)两部分来数：第(1)部分中共有三角形：3＋2＋1＝6(个)；第(2)部分中共有3＋2＋1＝6(个)三角形．所以，共有三角形6＋6＝12(个)．例8．数出下图中共有多少个三角形？思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中最小的一个三角形看作基本图形．由一个基本三角形构成的三角形共有8个；由两个基本三角形构成的三角形共有4个；由四个基本三角形构成的三角形共有4个．因此：8＋4＋4＝16(个)，所以，图中共有16个三角形．例9．数出下面图形中共有多少个三角形？思路分析：这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形，然后分类相加的方法．由一个基本三角形构成的三角形共有9个；由四个基本三角形构成的三角形共有3个；由九个基本三角形构成的三角形只有1个．因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形．例10．下面两幅图中各有多少个长方形？思路分析：(1)中长方形都是竖向的，可以利用对应的方法来数．因为每个长方形都和底边上的一条线段对应，因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数．所以，图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个)．(2)我们可用按基本图形组合的方法来数．由一个基本长方形构成的长方形共有6个；由两个基本长方形构成的长方形共有7个；由三个基本长方形构成的长方形共有2个；由四个基本长方形构成的长方形共有2个；由六个基本长方形构成的长方形有1个；所以，图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18(个)．本题还可以结合数线段的方法，这题中长方形的长被分成了3段，线段总数为3＋2＋1＝6条，宽被分成了2段，线段总数为2＋1＝3 (条)．由此可见，长方形的个数＝6×3＝18(个)．于是，可以整理出数长方形个数的方法：长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数．例11．数出各图中正方形的个数．思路分析：(1)中最基本的正方形有9个，即边长为1的正方形有9个(9＝3×3)；由4个基本正方形组成的正方形，即边长为2的正方形有4个(4＝2×2)；由9个基本正方形组成的正方形，即边长为3的正方形有1个(1＝1×1)所以共有正方形9＋4＋1＝14(个)．(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；边长为2的正方形有9个，即9＝3×3；边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个)．因此，如果一个正方形的各边被分成几个等份，那么正方形的个数便是1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n．方法指导：正确数出图形的个数，首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个．然后再从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少．有些图形被分成了几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和．例12．图中共有多少个正方形？思路分析：将正方形分类，将每一类的总数相加，就可得到所有正方形的个数．由两块小三角形构成的正方形有4个；由四块小三角形构成的正方形有4个；由八块小三角形构成的正方形有1个；由十六块小三角形构成的正方形有1个．由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形．例13．数出图中共有多少个正方形？思路分析：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：第1类：边长为1的正方形有24个；第2类：边长为2的正方形有13个；第3类：边长为3的正方形有4个；第4类：边长为4的正方形有1个．所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形．这题如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．所以，图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形．例14．下图中共有多少个长方形？思路分析：我们可以先将大长方形中的5小块编上号：这5块都是符合要求的长方形．然后数由两小块拼成的长方形，共有4个，即①＋②，②＋③，③＋④，④＋⑤；再数由三小块拼成的长方形，共有2个，即①＋③＋④，③＋④＋⑤；没有由四小块拼成的长方形；最后数由5小块拼成的长方形只有最大的一个．所以，图中共有5＋4＋2＋1＝12(个)长方形．例15．数出下图中共有多少个三角形？思路分析：首先将大三角形中六小块分别编上号．通过观察，我们可以发现这6小块中，④和⑤不是三角形，因此，由一块形成的三角形有4个；由两块拼成的三角形有5个，即分别是①＋②，①＋③，③＋④，②＋④，⑤＋⑥；由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥；由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④；没有由五块拼成的三角形；由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形．所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．方法指导：数长方形、正方形、三角形以及一些不规则的图形都可以采用编号数图形的方法，就是将原来图中的每一小块都编上号，先看每一小块是否符合要求的图形，接着数由两个小块相拼成的图形中有几个是符合要求的图形，再依次数由三小块、四小块……拼成的图形中各有几个是符合要求的图形，最后将每一步数得的结果加起来．。
巧 数 图 形
巧数图形（二等奖）临安市石镜小学周小萍教学内容：自编活动课教学内容，适合四年级下册学生。
教学目标：1、通过数图形的实践活动，使学生能按一定规律去数，做到不重复不遗漏；2、通过动手数、猜测验证、交流讨论等方法，自主地发现并掌握有序地数图形的基本规律及基本方法，灵活运用规律解决问题；3、让学生体验有序的数法的优越性，养成有序思考的习惯。
4、在教学中渗透由简单到复杂，从特殊到一般的思想方法，使学生感受学习数学的乐趣，提高学习积极性。
教学重点：发展学生的有序思维。
教学难点：让学生掌握数图形的方法，做到不重复，不遗漏。
设计理念：本课从学生熟悉的基本图形——“线段”入手，通过数线段的活动，让学生初步体会有序思考的必要性。
利用线段这一基本图形为素材组织教学，使学生感到不陌生而显得亲切、乐于学习。
教学时可先让学生自主地数，由于图形中的线比较多，学生在初次数线段的条数时容易多数或少数，从而出现不同的答案引发学生的认知冲突，使学生产生探究的欲望，有一定的挑战性。
素材中隐藏着一种数学方法与策略，在数图形的过程中按一定的规律去数就会不重不漏，数数尤其是数大数更要讲究方法。
本课通过讨论从“一个端点出发有序地数线段”与“根据间隔不同有序地数线段”两种数法，体会有条理有顺序数法的多样性，并归纳出有序地数的基本规律及基本方法。
并且能发散学生的思维，把发现的规律巧妙地“转嫁”到数角、数三角形、数长方形等其他领域的问题中去，渗透事物是相互联系的辨证思想，提高学生的数学思维能力。
预设教学过程：一、课前游戏，激发兴趣1、出示一个谜语“图形王国里某一个家族有三兄弟，说他们不像，他们一眼看去几乎长得一样，说他们像，各自性格却完全不同。
老大做事有始有终，老二做事有始无终，老三做事更没有规律，可以说是无始无终。
”让学生猜一猜这三兄弟是几何家族里的哪三个成员。
2、简要说说线段的特征，并介绍一般描述线段的方式是读出两个端点的字母，说成“线段AB”这样的形式。
一年级下册数学习题课件 第2招 图形中的巧妙思维 人教版 (共11张PPT)
技巧 2 换角度摆图形
5．用火柴棒摆图形。 (1)用火柴棒摆正方形。
摆一个正方形至少要用( 4 )根火柴棒，摆两个正 方形至少要用( 7 )根火柴棒，摆三个正方形至少 要用( 10 )根火柴棒。
(2)用火柴棒摆三角形。(可以画一画) 摆一个三角形至少要用( 3 )根火柴棒，摆两个三 角形至少要用( 5 )根火柴棒，摆三个三角形至少 要用( 7 )根火柴棒。
画图略
技巧 3 按要求数图形
6.下图中，包含“★”的长方形和正方形一共有( 9 )个。
正方形：
1+1+1=6=9(个)
2+2+2=6(个)
第2招 图形中的巧妙思维
经典例题
怎样在图中画一个正方形，把这5只鸡都分开？
找出正方形四条边的中 点，连接起来就可以将 这5只鸡都分开了。
规范解答：
提示：点击 进入题组训练
1
23
4
将图形巧妙分成大小、 形状都相同的几部分
5 换角度摆图形
6 按要求数图形
技巧 1
将图形巧妙分成大小、形状都相同的 几部分
1.请把下面的图形分成大小和形状都相同的两部分。用
不同的颜色涂一涂。
2.在下面的图形中画一个三角形，把这4只小鸡分隔 在4个相同的图形中。
取三角形各边的 中点，然后顺次 连接即可。
3.将下面的图形分割成大小和形状完全相同的四个图形， 使得每个图形中都含有一个半圆形，请你试着分一 分。
4.把下面的大正方形分割成大小、形状完全相同的四个 图形，使得每个图形中都含有一张小猪的图片。
巧数图形教案
备课人：教学目标：1、学会按照一定的顺序和类别数出某种图形的个数，数图形时能做到有条理，不重复，不遗漏。
2、会从组合图形中辨认出正方形和长方形。
3、帮助孩子在写作业时养成良好的握笔习惯。
教学重点和难点：1、学生能正确区分正方形和长方形。
2、数图形不重复不遗漏。
教学对策：带着学生一个一个地数清楚。
教学准备：PPT、多媒体教学过程：一、导入（回忆上节课内容）（3’）师：上节课我们学习了如何把一个复杂的图形简单化，只要把它分成小的我们熟悉的图形，数一数每种图形的个数，那么复杂的图形就会简单化。
今天我们继续研究这样的复杂图形。
可是，今天的复杂图形是由一种图形组成的，也就是组合图形。
我们看例1。
例1：下图中有多少个三角形？师：如果老师要求你们自己画出这幅图，你有什么简单的方法吗？预设1：学生可能会说出由两个三角形组成。
预设2：学生可能会说出有6个小三角形。
师：小朋友们从这幅图中看出了2个大三角形，也看出了有6个小三角形，还有没有其他的三角形了？生：没有了。
师：从这幅图中，我们很容易就看出三角形，有大的，也有小的，那我们就可以根据三角形的大小来分别数一数有多少个。
再请2名同学上黑板指一指大三角形和小三角形分别是哪几个。
（板书过程）学生跟着老师写下过程。
师：我们数过了三角形，你还知道哪些图形吗？生：圆，正方形，长方形......师：接下来我们就一起来数一数正方形。
出示例2。
例2：数一数，一共有多少个正方形？师：谁能说一说正方形是什么样子的？预设1：有四条边。
预设2：方方正正的。
预设3：四条边都是一样的。
师：正方形和哪个图形很像呢？生：长方形。
师：那怎么区分正方形和长方形呢？或者提问：谁能说一说正方形和长方形有什么相同和不同的地方吗？根据学生的回答进行总结：相同点：都有四条边，都是方方正正的。
不同点：正方形的四条边都是一样长的，而长方形不一定，只要对边一样长即可。
师：谁来说一说你的方法？根据学生的回答进行评价，可能会出现根据大小分、根据组成的块数分。
三年级上册奥数课件- 巧数图形2 通用版 (36页ppt)
•
4.每一座村落都有其自己的文化特色 ，不仅 表现在 当地村 民的衣 饰、建 筑和饮 食上， 还体现 了当地 特色的 节目和 生活习 惯等方 面的内 容。
•
5.正是这些文化代表着传统村落的特 色，所 以吸引 了各地 游客前 来体验 并参与 进来， 在传统 村落中 按照他 们的习 俗和饮 食习惯 体验不 一样的 生活
横竖法
（公式法）
【数长方形】
2+1＝3（层）
一共有3层
3+2+1＝6（个）
每层有6个长方形 每层个数×层数＝长方形的总数
练一练1 有多少个长方形？ 每层个数×层数＝总个数
2+1＝3（层）
一共有3层
2+1＝3（个）
每层有3个长方形
3×3＝9（个）
能力一 有多少个长方形？ 每层个数×层数＝总个数
15+6+1＝22（个）
有多少个三角形呢？
例三
9个
3个 1个
9＋3＋1＝13（个）
有多少个三角形呢？
练一练3
16个 7个
1个
3个
16＋7＋3＋1＝27（个）
有多少个三角形呢？
16＋7＋3＋1＝27（个）
27+27 = 54（个）
例四
有多少个三角形呢？
②③
①
④
⑥⑤
（1）（2）（3）（4）（5）（6） （23）（56） （123）（234）（456）（561）
•
6.这些都是非常重要的文化内容，不 要为了 现代化 进程的 推进， 使传统 村落的 文化遭 到摒弃 ，都要 尽可能 的像非 物质文 化一样 去保护 。
•
7.在对乡村进行保护的同时，需要注 重将传 统村落 中太过 落后的 设备和 设施条 件进行 现代化 建设， 将现代 化更方 便、有 利的设 施引进 到传统 村落中 ，将现 代化理 念也灌 输到村 落居民 的大脑 里，促 进乡村 的现代 化发展 。
小学数学数图形个数的巧妙方法
数图形个数的巧妙方法［要点解析］１．怎样数一条直线上线段的条数？一条线上有n条独立线段，我们将它们编号为1，2，3，…，n，则这条直线上所有线段的条数是：1＋2＋3＋…＋n２．用数线段条数的方法，也可以数数角、三角形、长方形和立方体的个数。
［范例解析1］例1数出图5-1中各条线上线段的总条数。
⑴ └──┴──┴──┘⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┘分析⑴图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图5-2：1 2 3└──┴──┴──┘图5-2现在，我们这样来数，其中单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条；由两条独立线段合并成一条线段的有：（1，2）、（2，3）这两条；由三条独立线段合并成一条线段的有：（1，2，3）这一条。
由3＋2＋1 =6（条），我们数得图中有6条线段，他趣的是，这个得数6正是我们所编号码1、2、3这三个连续数的和。
这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶的结果。
⑵我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编上号码，如图5-3：1 2 3 4 5 6└─┴─┴─┴─┴─┴─┘图5-3单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共6条；两条合并成一条有：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）一共5条；三条并成一条的有：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）一共有4条；四条并成一条的有：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）一共有3条；五条并成一条的有：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）一共有2条；六条并成一条的有：（1，2，3，4，5、6）只1条。
总条数也正好是编号的六和连续数的和，即1＋2＋3＋4＋5＋6 21（条）。
说明：从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个连续数）。
这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，不漏算。
巧数图形详解-小学奥数
题目三：数长方形
总结词
数长方形是巧数图形中的高级题目，主要考 察学生的空间想象力和细致的观察能力。
详细描述
题目通常会给出一张由不同形状组成的图形 ，其中包含长方形。学生需要通过空间想象 和细致的观察，数出长方形的数量。在数长 方形的过程中，学生需要注意长方形的定义 ，即两组相对边等长。此外，学生还需要注 意长方形可能存在不同的方向和旋转，确保
枚举法
总结词
逐一列举所有可能的情况，找出符合条件的结果。
详细描述
枚举法适用于图形数量较少、情况较为简单的问题。在解题时，需要逐一列举出 所有可能的情况，并逐一检验是否符合题目要求。通过排除不符合条件的情况， 最终找出符合条件的结果。
排除法
总结词
通过排除不符合条件的情况，逐步缩小范围，最终找出答案。
常见类型与实例
类型
常见的巧数图形题目包括数线段、数三角形、数正方形、数 立方体等。
实例
如数线段，给定一条直线段，在直线段上任意取n个点，将线 段分成n+1段，求这些小段的线段长度之和。
巧数图形的解题思路
观察
首先观察题目所给的图 形，寻找其中的规律或
特征。
分析
分析图形的构成和数量 关系，确定解进行逻 辑推理，得出正确的答
案。
计算
进行必要的计算，得出 最终答案。
02 巧数图形的解题技巧
观察法
总结词
通过细致观察图形特点，找出规律，解决问题。
详细描述
观察法是解决巧数图形问题的一种常用方法。在解题过程中，首先要仔细观察 图形，注意图形的形状、大小、对称性等特征，以及各图形之间的相互关系。 通过观察找出规律，从而解决问题。
详细描述
排除法是解决巧数图形问题的一种常用方法。在解题过程中，首先根据题目的要求和图形的特征，排除一些不可 能的情况。然后逐步缩小范围，最终找出符合条件的结果。排除法可以有效地减少计算量，提高解题效率。
2巧数图形(2)
第二讲巧数图形
【专题导航】
例1：先数图形，再填空。
数图形的时候，一定要认真仔细地观察，并按照一定的顺序，有条理地一个一个地数，这样才不会遗漏和重复。
下面的图形是由哪些图形组成？共有多少个？
大显身手
思路点拨
【专题导航】
例2：数数下面的图形中有几个三角形？
（）个三角形
对于那些交错在一起的图形，尤其不要漏数重叠在一起的图形。
1 个大三角形中含有2个小三角形，数的时候，往往只数了小三角形而忘记数大三角形，这一点一定要注意。
下面的每个图形里各有几个？
（）个三角形（）个三角形（）个长方形
（）个正方形（）个正方形
思路点拨
大显身手。