实际问题与二次函数(面积问题)
实际问题与二次函数(1)
D
C B A
25m
实际问题与二次函数（1）
探究1：面积问题
例题：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？针对训练（一）
用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？针对训练（二）
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究（二）利润问题
例题：已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？
针对训练（一）
商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件。
每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
针对训练（二）
某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？。
实际问题与二次函数(面积问题)
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 (60 ml) ，场地的面积: S=l(30-l) 即(0S<=-ll<2+3300)l
2
要用总长为60米的铁栏杆，一面靠墙围成一个矩形的 花圃，怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？
解：设AB为x米，BC为（60－2x）米，
22.3 实际问题与二次函数 (面积最大问题)
1. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 x=-4 ， 顶点坐标是（-4，- .当x= -4 时，函数有最_大__ 值是 1 . 1）
2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 x=2 ，顶 点坐标是 （2,1）.当x= 2时，函数有最__小_____ 值是 1 .
矩形面积为y米2，则
A
D
y x60 2x (0<X<30)
即y 2x2 60 x
B
C
2x 152 450
当x=15时，y有最大值=450
这时，AB=15米，BC=60-2x=30米
所以当围成的花圃与墙垂直的一边15米，与墙平行的
一边长30米时，花圃的面积最大，最大面积为450米2
新知2 利用二次函数求图形的最大面积问
第1题
A
D
B
C
第2题
达标检测 反思目标
A A
25
用二次函数的知识解决图形面积等问 题的一般步骤：
把实际问题转化为数学问题
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案
3.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 最值？写出求二次函数最值的公式
（1）配方法求最值 （2）公式法求最值
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》教学反思
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问
题》的教学反思
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十二章第三节第一课时的内容。
首先以一般式为例复习二次函数的图象与性质，然后以现实中很多抛掷球类问题可以用二次函数来表示引入新课。
探究一中，学生通过建立平面直角坐标系、求解析式、确定图象与x轴的交点坐标得出小球运动时间和特定时刻的高度。
随之，教师引导学生及时归纳总结最值问题及表达形式。
探究二中，学生通过列实际问题的二次函数解析式，逐步探究熟悉的围篱笆问题，重点研究自变量的取值范围和最值问题。
同时也夯实了学生们心中的疑惑，因为之前学生掌握的一条规律，但又不知道为什么。
在周长一定的情况下，围成什么形状时，面积更大。
22.3实际问题与二次函数面积问题
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
b 当 x 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小 2a 4ac b 2 ． （大） 值 y 4a
方法点析
构造二次函数在几何图形中的应用，主要是求几何图
形的面积最大值的问题，求解这类问题，只要能充分运用 条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、
全等三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，构造
出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解．
探究1：
用总长为60m的篱笆围成矩形场地， 矩形的面积S随矩形一边长L的变化而 变化，当L是多少米时，场地的面积S 最大？ 分析：先写出S关于L的函数关系式
再求最大值。
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？ 解： 整理得:
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶 点坐标。 2 2 ( 2 ) y 4 x 8x 10 (1) y 6 x 12x ；
2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数 有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别 是多少？
引例
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小 球最高？小球运动中的最大高度是多少？ b 30 t 3， 2a 2 （ 5） 2 2 4ac b 30 h 45． 4a 4 （ 5）
实际问题与二次函数
实际问题与二次函数引言：二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个实际问题入手，探讨二次函数在解决这些问题中的作用和应用。
第一部分：抛物线与物体运动问题一：一个物体从地面上以初速度v0竖直向上抛出，忽略空气阻力，求物体的运动轨迹。
解决方法：根据物体竖直上抛运动的运动方程，可以得到物体的高度y与时间t的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度。
这个运动方程正好是一个二次函数，它的图像是一个抛物线，描述了物体的运动轨迹。
问题二：一个人从桥上向下抛掷物体，求物体的最大高度和落地点。
解决方法：根据物体竖直抛体运动的运动方程，可以得到物体的高度与时间的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度，v0是初速度。
我们可以通过求解二次函数的顶点，得到物体的最大高度和落地点的位置。
第二部分：二次函数与开口方向问题三：一块矩形花坛，长边是20米，宽边是10米，现在要在花坛四周修建一圈高度为h的围墙，求围墙的最小高度h。
解决方法：假设围墙的高度为h，围墙的长度为L，围墙的宽度为W。
根据题意，可以得到L=2(20+2h)，W=2(10+2h)，围墙的面积为S=LW。
我们可以将围墙的面积S表示为关于h的二次函数，然后求解这个二次函数的最小值，即可得到围墙的最小高度h。
第三部分：二次函数与最值问题问题四：某公司生产某种产品，每生产x单位的产品需要花费C(x)=80x+2000元，售价为p(x)=0.1x^2+2000元，求使得利润最大的生产数量。
解决方法：利润等于售价减去成本，即P(x)=p(x)-C(x)=0.1x^2-80x。
我们可以求解二次函数P(x)的最大值，得到使得利润最大的生产数量。
问题五：某人在银行存款10000元，银行的年利率为r%，每年计息一次，求多少年后存款会翻倍。
解决方法：存款的本利和可以表示为S(t)=10000(1+r/100)^t，其中t为年数。
实际问题与二次函数反思
《实际问题与二次函数—面积问题》教学反思今天解决《实际问题与二次函数（第1课）》，这节课重点解决实际问题中的面积问题，我的目的是通过这节课我能解决三个问题 1.建立二次函数关系式；2.用配方法或公式法求最值；3.自变量的最值范围与最值的关系。
在课前我一直认为第一点不用建立坐标系不会太难，并且矩形面积对初三学生来说不会有什么问题，所以有在上课时对图形的认识这一点的分析上是欠缺的，当发现矩形的一边为x另一边很多学生表示成60-2x 时，我发现学生在建函数关系式时分析图形能力比较差，所以在变式练习1、2、3我就先放手让学生写关系式，同时加强巡查及对学生的指导，然后分析学生错误给出正确遥解答。
通过变式之后，学生基本能解决全闭合矩形与半闭合矩形和多边矩形的面积与过的关系，从而正确列出函数关系式。
后面我附加了一个自变量的取值不在取值范围内，如何求函数最大值问题，学生演板，效果还不错。
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x m.(1)若花园的面积为192 m2,求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.通过本节课的教学，启示我们在教学中要紧密结合实际，让学生学有所用，在教学中应注意以下几个问题：（一）把实际问题数学化。
首先要深入了解实际问题的背景，了解影响问题变化的主要因素，然后在舍弃问题中的非本质因素的基础上，应用有关知识把实际问题抽象成为数学问题，并进而解决它。
（二）函数的教学应注意自变量与函数之间的变化对应。
函数问题是一个研究动态变化的问题，让学生理解动态变化中自变量与函数之间的变化对应，可能更有助于学生对函数的学习。
（三）二次函数的教学应注意数形结合。
要把函数关系式与其图像结合起来学习，让学生感受到数和形结合分析解决问题的优势。
实际问题与二次函数(一)几何图形面积问题(课件)-2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
1 2
1
S
• x x 30 x ( x 30) 2 450
2
2
2
4.当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
18
不正确.
5.如何求自变量的取值范围？
0＜x≤18.
6.如何求最值？
由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.
【点睛】实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶
直线x=h
抛物线
点坐标是_______.
(h,k)
b
1
1
BQ=t∴S=S△ABC－S△PBQ= ×AB×CB－ ×PB×QB
2
2
1
1
= ×8×6－ ×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）
2
2
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点
A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
解：(1)由题意解得：
= 40 × 30 − 4 − 5 = −4 2 + 20 + 1200；
6 ≤ ≤ 10
例1.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；
设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数面积问题优秀教学案例
4.结合学生的兴趣和经验，设计富有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，提高数学素养。
（二）问题导向
1.引导学生发现生活中的问题，将其转化为数学问题，激发学生的思考。
2.设计具有逻辑顺序的问题，引导学生逐步深入，提高学生的思维能力。
3.通过提问，引导学生反思自己的学习过程，培养学生的自我监控能力。
2.学生通过归纳总结，提高对二次函数的理解，为后续学习打下基础。
3.教师对学生的讨论成果进行点评，给予肯定和鼓励，增强学生的自信心。
（五）作业小结
1.布置具有代表性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
2.要求学生撰写作业心得，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，提高自我监控能力。
3.通过解决实际问题，让学生进一步理解二次函数的图象与性质，提高学生的数学素养。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式来解决问题，培养学生的数学思维能力和团队合作能力。
2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际问题中的应用，帮助学生建立直观的数学模型。
3.强调团队合作，让学生在合作交流中，培养良好的沟通能力和团队协作精神。
4.通过对实际问题的解决，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高学生的数.结合生活实际，设计具有代表性的例子，让学生在具体的情境中，感受到二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体手段，展示二次函数图象，使学生能够直观地理解二次函数的性质。
（三）学生小组讨论
1.学生分组讨论，每组选择一个实际问题进行研究，尝试运用二次函数的知识解决问题。
数学人教版九年级上册实际问题与二次函数问题(面积问题)
二次函数与图形面积
1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )
A ．60 m 2
B ．63 m 2
C ．64 m 2
D ．66 m 2
2．(咸宁中考)用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( )
A ．20
B ．40
C ．100
D ．120
3．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.6425 m 2
B.43 m 2
C.83 m 2 D ．4 m 2
4．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，
用80 m 长的篱笆围一个矩形场地．
当AD ＝________时，矩形场地的面积最大，最大
值为________．
6．将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm 2.
7．(淮安中考)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．。
22.3 实际问题与二次函数正式稿3
y O
C A
h 20 m
D B
x
y 1 92 3.24 25
（2）由题意可得D点的横坐标为9 上升的高度 4 3.24 0.76m
∴此时水深= 2+0.76= 2.76m
答：水深超过2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行
例3 如图，一名运动员在距篮圈下4m跳起投篮，篮球运行的路 线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心距离地面3.05m，若 该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m出手，问球出手时， 他跳离地面的高度是多少米？
∴3.05= a×1.52 +3.5
C
出手处
D
篮A圈
？E 3.05
解得a 1
P
5
抛物线的解析式为y 1 x2 3.5
2.5 O 1.5
Q
5
n 1 (2.5)2 3.5 2.25 5
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2
（2， 2）
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2 k
（0，2） （2，0）
①
③
②
④
对比一下，哪种建系方式最为简单？
（1）求宽度增加多 少需要什么数据？ （2）表示水面宽的 线段的端点在哪条 曲线上？
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
实际问题与二次函数教案
§26.3.1实际问题与二次函数（面积问题）教学任务分析教学流程安排教学过程设计例21．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12。
用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC，AB，BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？2．计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道。
如图，现有一张半径为45mm的磁盘（1）磁盘最内的磁道半径为rmm，其上每0.015的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？1小题融入了运动的观点，培养学生用运动的观点看待事物与实际相联系增强学生解决实际问题的能力[活动3] 总结反思检测反馈1．抓住图形的特点进行建模2．注意实际问题的自变量的取值范围检测：用一段长30m的篱笆，围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。
这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？通过小结和检测回顾本节内容，反馈课堂学习效果[活动4] 布置作业拓展升华作业：目标P96 1、2、P97 4思考题：1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，BE＝DF。
四边形ADGF是矩形，则矩形ADGF的面积随BE的长x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数关系来表示？2．已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3．如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四边上。
四边形EFGH也是正方形。
当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积随S出发时间如何变化？写出函数关系式及t的取值范围通过作业在一次内化知识，构建知识系统。
实际问题与二次函数_详细讲解与练习(含答案)
.. .. ..初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x的函数关系式；（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
实际问题和二次函数“最大面积问题”
实际问题和二次函数1. 教学目标1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。
2. 教学重点/难点将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。
教学过程一、设计问题，创设情境师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下：我们都是从哪些方面学习了一次函数？学生回答师：仿照一次函数的学习过程，我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质。
本节课我们将要学习实际问题与二次函数，在正式学习新课之前，大家做一做下面的问题：出示问题1：用总长为40m的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m2的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m2的矩形场地，若能说出围法；若不能，说明理由。
学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充。
（3）设矩形一边的长度为xm，面积为ym2，求矩形的最大面积。
师生活动：引导学生写出函数关系式，教师出示函数图像，学生结合图像求出矩形的最大面积。
追问：能否围成面积为130m2，80m2的矩形，你能马上判断出来吗？学生判断。
设计说明：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际问题与一元二次方程，从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受，另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系。
同时，通过解决此问题，能使学生初步了解运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤。
二、信息交流，例题讲解在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？问题2：欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？师生活动：１．学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论；2．学生尝试解答题目，初步形成做题思路。
16实际问题与二次函数专题训练(4大题型35题)
22.3实际问题与二次函数专题训练（4大题型35题）题型1：几何问题-面积问题1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成．（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为xm，宽为ym，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？（3）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．2．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮，为国家粮食安全，丰富农民收入来源，某区试点马铃薯种植，给予每亩地每年发放150元补贴．年初，种植户金大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的马铃薯销售收入为2000元，以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式．（2w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式．（总收入＝销售收入﹣种植成本+种植补贴）．3．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？4．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？5．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积的最大值为平方厘米．6．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）BC长为米（包含门宽，用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？7．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m．（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？8．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2．（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝，其中x的取值范围是；（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽；（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．9．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x 为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．题型2：几何问题-动点问题10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）．（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终点时，另一个点随即停止移动．（1）经过几秒，△PBQ18cm2？（2）在运动过程中，经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？12．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）直接写出△APD的面积的最大值．13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，（1）AP＝2tcm，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4tcm；（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？14．如图，在Rt△ABC中，∠C°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2．（1）求y与t的函数关系式；（2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值．16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F．设PE＝x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．题型3：利润问题18．某种产品按质量不同分等级，生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，求生产何种档次产品的利润最高？19．小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？20．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．21．某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值．22．我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元，调查发现，当销售价80元时，平均每月能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其它费用．为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于180元/台”，设售价为x元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．（1）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元．23．某文具店购进一批单价为12的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当x＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？24．为扩大销售，某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为10元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关系（其中14≤x≤25）．（1）写出y关于x的函数解析式，并求x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润；（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元，当销售单价x为多少元时，W最大？最大是多少元？25．某公司把一种原料加工成产品进行销售，已知某月共加工原料x吨，恰好生产相同吨数的产品并能完全销售．每吨原料的加工成本Q（万元）与x（吨）满足关系式：Q＝ax+﹣30（其中a，b均为常数），且经过统计得到如下数据：x（吨）3060Q（万元）7035（1）求a、b的值；（2）若该月的加工总成本为2052万元，求x的值；（3）若生产的产品每吨售价为60万元，则该月可获得的最大利润是多少万元？26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．题型4：抛物线形问题27．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？28．2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）点A的坐标；（2）该抛物线的函数表达式；（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：≈1.73）29．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．（1）求出抛物线的解析式．（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．30．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．31．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？（3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围．32．如图①是气势如虹、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．（20.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．33．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．34．如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE＝x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF＝y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：x（米）012345678 y（米）0 1.753 3.754 3.753 1.750（1）拱桥顶面离水面AB的最大高度为米；（2）请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；（3）测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：（填写“能”或“不能”）．35．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示．根据相关信息解答下列问题．飞行时间t/s012飞行高度h/m01520（1）求小球的飞行高度h（单位：m）关于飞行时间t（单位：s）的二次函数关系式．（2）小球从飞出到落地要用多少时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．。
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------面积问题 金晶学校： 王志伟
一、学习目标
1. 能够分析和解决实际问题中面积与边长之 间的二次函数关系； 2. 会运用二次函数的知识求出实际问题的解， 培养建模思想； 3.了解中考这种类型题的解题步骤和评分标 准。
二、自我展示 底乘高或对角线乘积的一半 1.菱形的面积公式是________________. 2 2. 二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋ c （ a ＜ 0）中， b 4ac b 大 值，是____. 当x=___ 4a 2a 时，函数y有最____ － 2 3.二次函数y=a(x-h) +k（a＜0）中，当 h 时，函数y有最___ k 大 值，是_____. x=___ 2 4.若抛物线y＝x -8x＋15的值是3，那么x x=2或x=6 满足的条件是______________.
中考参考答案及评分标准
30 2 x 15 x 解：（1）根据题意AD= 2
………… 1分
S =x(15-x)= -x2+15x …………2分 （2）当S=50时，-x2+15x=50，整理得 x2-15x+50=0，
解得，
x1 5, x2 10
…………… 2分
当AB=5时，AD=10； 当AB=10时，AD=5； ∵AB＜AD ,∴AB=5 ……………… 1分 答：当矩形的面积为50平方米且AB＜AD时，AB的长为5米。
答：x=8时，S有最大值，最大值是128.
变式训练：（本题6分） 体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的 游戏场地，围成的场地是如图所示的矩ABCD．设 边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S （单位：平方米）． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自 变量x的取值范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜ AD，请求出此时AB的长。
A B G F E
C
H
D
实际问题
抽象 转化
数学问题
运用 二次函数知识
问题的解决
求函数最值的方法： １.利用顶点坐标公式； ２.配方后利用二次函数的顶点式 ３.把顶点的横坐标代入二次函数的一般式
解题步骤： 1、分析题意，建立函数关系式； 2、选方法，求解； 3 、写出结论。
作业：
搜集并整理近几年中考 试题中与二次函数面积 有关的题。
2. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝， 这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱 2 形的面积S（单位：cm ）随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化。 (1) 求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量 x的取值范围）
(2) 当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积 是多少？
生活是数学的源泉， 我们是数学学习的主 人.
A B 2m
C
2、如图，要建立一个形状是直角梯形的存料 场，其中有两边是夹角为150度的两面墙， 另外两边是总长为30m的篱笆，篱笆两边 各是多少米时，存料场的面积最大？最大 面积是多少？
3. 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗 框ACDF，其中BE,GH均是铝合金制成的格条， 且BE∥AF，GH⊥CD，EF＝0.5米，设AF的长为 x（单位：米），AC的长为y（单位：米） （1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值 范围） （2）若这个矩形窗框ACDF的面积等于10平方米， 且AF＜AC，求出此时AF的长。
中考参考答案及评分标准
解：（1）S=
（2）∵S= ∴S有最大值 ∴x=
b 2a
1 ……………… 2分 - x 30 x 2 1 1 ，a= - ＜0, - x 30 x 2 2
2
2
=-
30 2 ( 1 ) 2
30 ……………… 2分
S的最大值为
2 cm ∴当x为30cm时，菱形风筝面积最大，最大面积是450 .
4ac b 2 302 450 1 4a 4 ( ) 2
………… 2分
实际问题
抽象 转化
数学问题
运用 二次函数知识
问题的解决
解题步骤： 1、分析题意，建立函数关系式； 2、选方法，求解； 3 、写出结论。
四、反馈提升
1. 某小区要用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的 斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰 好为17米。围成的花坛是如图所示的直角△ABC，其 中∠ACB＝90°，设AC边的长为x米，直角△ABC的 面积为S平方米。 (1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的 取值范围） (2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛面 积是30平方米，问直角三角形的两条直角边的长各为 多少米？
2
求函数最值的方法：
１.利用顶点坐标公式；
２.配方后利用二次函数的顶点式
３.把顶点的横坐标代入二次函数的一般式
三、合作交流
（本题5分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长 的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图 所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平 方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
中考参考答案பைடு நூலகம்评分标准
解：由题意得S=AB· BC=x(32-2x), ∴S=-2x2+32x ……………… 2 分 ∵a=-2＜0 , ∴S有最大值 ……………… 1分
∴x=
b 2a
=
32 8 2 (2)
……………… 1分
……………… 1分
S 最大值
4ac b 2 322 128 4a 4 (2)