第3章 微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解

先回顾一下第一章的几个重要定理

1、0

lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关

系

2、=+()o αββαα⇔ ，这是两个等价无穷小之间的关系

3、零点定理：

条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得()0f ζ= 4、介值定理：

条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=

结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得

()f C ζ=。

5、介值定理的推论：

闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。

第三章 微分中值定理和导数的应用

1、罗尔定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得'()0f ζ=

2、拉格朗日中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-

3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ，使得

()()'()

()()'()

f b f a f

g b g a g ζζ-=-

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。

4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。

罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。

拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：

122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意

正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种：

000,,0*,,0,1,0∞∞

∞∞-∞∞∞

每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0

lim ()x x f x → 那么就在0

x 附近展开。如果极限是

lim ()x f x →∞

，

那么就变形成0

lim ()t t

f t →，再在0t 附近展开。一般都是化成0

lim ()t f t →用

迈克劳林展开式展开。

那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。分母一定会跟着分子有同样阶的。。。算吧，很大的计算量。。。

7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数'()0(0)f x >< 结论1：()f x 在闭区间[a,b]上单增（单减）

结论2：'()0f x =或不存在 则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点 8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点） 方法一：条件：区间连续。结论：

若1212()()

(

)22x x f x f x f ++<，则该曲线在(x1,x2)凹 若1212()()

(

)22

x x f x f x f ++>，则该曲线在(x1,x2)凸 方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数 结论1：''()0f x >在[a,b]凹；''()0f x <在[a,b]凸；

结论2：''()0f x =或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证

-''()''()f x f x +、的符号。异号则一定为拐点。

9．函数在区间上的极值点，最值点。 定理1：极值点处的导数0'()0f x = 定理2：

条件：()f x 在0x 点处连续，在0x 附近的去心邻域内可导

结论：00'()0,'()0f x f x +->< 则在0x 点取得极大值。00'()0,'()0f x f x +-<> 则在0x 点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。 定理3：

条件：()f x 在0x 点处的一阶导数0'()0f x =

结论：0''()0f x >，则在0x 点取得极小值。0''()0f x <，则在0x 点取得极小值。

0''()=0f x ,则该点可能是极值，也可能不是极值。

总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制

0'()0f x =。

最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。 10、曲率

曲率定义是：d K ds

α

=

，曲率半径用a 表示，是曲率的导数，即1a K =。所谓曲

率半径，是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K 。 如何推导曲率？