立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练

1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD

(2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD

2（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ；

（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=︒，

求证：平面PEF ⊥平面PBC ．

P

A

C E

B

F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点，

//EF AB ∴. ……………………2分

又⊄EF 平面PAB ，⊆AB 平面PAB ，

∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点，

PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC

PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点，

//EF AB ∴

090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分

EF PE E =

BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ⊂面PBC

∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分

3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。

4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点．

(1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ；

(3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

5．（本小题满分12分）

如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，

矩形⊥的中点． （1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；

6.如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面；

（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．

（1）证明：取AD 的中点N,连结FN,MN,则MN ∥ED ，FN ∥CD

∴平面FMN ∥平面ECD. ∵ MF 在平面FMN 内,

∴ FM ∥平面ECD ......5分 （2）连接EN, ∵AE=ED ，N 为AD 的中点， ∴ EN ⊥AD.

又∵面ADE ⊥面ABCD ，∴EN ⊥面ABCD. 作NP ⊥BD,连接EP,则EP ⊥BD ，

∴∠EPN 即二面角E-BD-A 的平面角，

设AD=a,∵ABCD 为正方形，⊿ADE 为等腰三角形，∴EN=

1

2

a,NP=24 a.

∴tan ∠EPN=2 . ......10分

N

M

P

D

C

B

A

7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为 x cm 的内接圆柱.

(1)试用x 表示圆柱的侧面积；

（2）当

x 为何值时，圆柱的侧面积最大.

19.（1） 解：设所求的圆柱的底面半径为r

则有

662x r -=

,即3

2x

r -=. ∴2

3

24)32(22x x x x rx S ππππ-=-==圆柱侧.......5分

（2）由（1）知当3)

3

2(24=--

=ππ

x 时，这个二次函数有最大值为π6

所以当圆柱的高为3cm 时，它的侧面积最大为2

6cm

π......10分

8．（10分）

如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º. （1）证明：AB ⊥PC ；

（2）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积.

解：

（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。 如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,

所以AB PC ⊥ ......5分 （2）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ．

因为

Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，

所以AE PC ⊥，AE BE =．

由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒． 因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形。 由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三角锥P ABC -的体积 18

33

V S PC =

⨯⨯= ......10分 9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，

∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．

(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面PAC ；

(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．

解析： (1)证明：如图，连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．

又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .

(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .