天津中考数学18题(全国最具观赏)
2024年天津中考数学试题及答案
2024年天津中考数学试题及答案本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第4页至第8页。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！第I 卷注意事项：1.每题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2.本卷共12题，共36分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算()33--的结果等于（ ）A ．—6B ．0C ．3D ．62．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3的值在（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）A ．70.0810´B ．60.810´C ．5810´D ．48010´61-o的值等于（ ）A ．0B ．1C 1-D 1-7．计算3311x x x ---的结果等于（ ）A ．3B ．x C ．1xx -D ．231x -8．若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x =的图象上，则312,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳子长y 尺，则可以列出的方程组为（ ）A ． 4.50.51y x x y -=ìí-=îB ． 4.50.51y x x y -=ìí+=îC ． 4.51x y x y +=ìí-=îD ． 4.51x y y x +=ìí-=î10．如图，Rt ABC △中，90,40C B ÐÐ==o o ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC Ð的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC Ð的大小为（ ）A ．60oB ．65oC ．70o D ．75o 11．如图，ABC △中，30B Ð=o ，将ABC △绕点C 顺时针旋转60o 得到DEC △，点,A B 的对应点分别为,D E ，延长BA 交DE 于点F ，下列结论一定正确的是（ ）A ．ACB ACDÐÐ=B ．AC DE ∥C ．AB EF =D ．BF CE^12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =-££．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ；②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32024年天津市初中学业水平考试试卷数学第II 卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B 铅笔）．2．本卷共13题，共84分．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______．14．计算86x x ¸的结果为______．15．计算)11+-的结果为______．16．若正比例函数y kx =（k 是常数，0k ¹）的图象经过第三、第一象限，则k 的值可以是______（写出一个即可）．17．如图，正方形ABCD 的边长为,AC BD 相交于点O ，点E 在CA 的延长线上，5OE =，连接DE ．（I ）线段AE 的长为______；（II ）若F 为DE 的中点，则线段AF 的长为______．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,,A F G 均在格点上．（I ）线段AG 的长为______；（II ）点E 在水平网格线上，过点,,A E F 作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中，点M 在边BC 上，点N 在边AB 上，点P 在边AC 上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点,,M N P ，使MNP △的周长最短，并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）19．（本小题8分）解不等式组213, 317. x x x +£ìí-³-î①②请结合题意填空，完成本题的解答．（I ）解不等式①，得______；（II ）解不等式②，得______；（III ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV ）原不等式组的解集为______．20．（本小题8分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h ），随机调查了该校八年级a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填空：a 的值为______，图①中m 的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；（II ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；（III ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为多少？21．（本小题10分）已知AOB △中，30,ABO AB Ð=o为O e 的弦，直线MN 与O e 相切于点C ．（I ）如图①，若AB MN ∥，直径CE 与AB 相交于点D ，求AOB Ð和BCE Ð的大小；（II ）如图②，若,OB MN CG AB ^∥，垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =，求线段OF 的长．22．（本小题10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =^，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB Ð）为45o ，测得桥塔底部A 的俯角（CDA Ð）为6o，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB Ð）为31o．（I ）求线段CD 的长（结果取整数）；（II ）求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1»»o o ．23．（本小题10分）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km ，文化广场离家1.5km ．张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，在画社停留了15min ，之后匀速骑行了6min 到文化广场，在文化广场停留6min 后，再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（I ）①填表：张华离开家的时间/min141330张华离家的距离/km 0.6②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km /min ；③当025x ££时，请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；（II ）当张华离开家8min 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）24．（本小题10分）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC Ð==o．（I ）填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；（II ）若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ^轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O ¢落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C ¢．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ¢¢与OABC Y 重叠部分为五边形时，O C ¢¢与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ££时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．25．（本小题10分）已知抛物线()2,,,0y ax bx c a b c a =++>为常数的顶点为P ，且20a b +=，对称轴与x 轴相交于点D ，点(),1M m 在抛物线上，1,m O >为坐标原点．（I ）当1,1a c ==-时，求该抛物线顶点P 的坐标；（II ）当OM OP ==a 的值；（III ）若N 是抛物线上的点，且点N 在第四象限，90,MDN DM DN Ð==o ，点E 在线段MN 上，点F 在线段DN 上，NE NF +=，当DE MF +a 的值．机密★启用前参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．D2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．A 10．B 11．D 12．C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．31014．2x 15．1016．1（答案不唯一，满足0k >即可）17．（I ）2；（II18．（I ；（II ）如图，根据题意，切点为M ；连接ME 并延长，与网格线相交于点1M ；取圆与网格线的交点D 和格点H ，连接DH 并延长，与网格线相交于点2M ；连接12M M ，分别与,AB AC 相交于点,N P ，则点,,M N P 即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共6619．（本小题8分）解：（I ）1x £；（II ）3x ³-；（III ）（IV ）31x -££．20．（本小题8分）解：（I ）50,34,8,8．（II ）观察条形统计图，63778179151088.36,3717158x ´+´+´+´+´==++++Q \这组数据的平均数是8.36．（III ）Q 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%，\根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有50030%150´=．\估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为150．21．（本小题10分）解：（I ）AB Q 为O e 的弦，OA OB \=．得A ABO ÐÐ=．AOB Q △中，180A ABO AOB ÐÐÐ++=o ，又30ABO Ð=o，1802120AOB ABO ÐÐ\=-=o o ．Q 直线MN 与O e 相切于点,C CE 为O e 的直径，CE MN \^．即90ECM Ð=o ．又AB MN ∥，90CDB ECM ÐÐ\==o ．在Rt ODB △中，9060BOE ABO Ð=-=o o ．12BCE BOE ÐÐ=Q ，30BCE Ð\=o ．（II ）如图，连接OC ．同（I ），得90COB Ð=o．CG AB ^Q ，得90FGB Ð=o ．\在Rt FGB △中，由30ABO Ð=o ，得9060BFG ABO ÐÐ=-=o o．60CFO BFG ÐÐ\==o ．在Rt COF △中，tan ,3OC CFO OC OA OFÐ===，3tan tan60OC OF CFO Ð\===o．22．（本小题10分）解：（I ）设CD x =，由36DE =，得36CE CD DE x =+=+．EC AB ^Q ，垂足为C ，90BCE ACD ÐÐ\==o ．在Rt BCD △中，tan ,45BC CDB CDB CDÐÐ==o ，tan tan45BC CD CDB x x Ð\=×=×=o ．在Rt BCE △中，tan ,31BC CEB CEB CEÐÐ==o ，()tan 36tan31BC CE CEB x Ð\=×=+×o ．()36tan31x x \=+×o．得36tan31360.6541tan3110.6x ´´=»=--o o ．答：线段CD 的长约为54m ．（II ）在Rt ACD △中，tan ,6AC CDA CDA CDÐÐ==o ，tan 54tan6540.1 5.4AC CD CDA Ð\=×»´»´=o ．5.45459AB AC BC \=+»+»．答：桥塔AB 的高度约为59m ．23．（本小题10分）解：（I ）①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当04x ££时，0.15y x =；当419x <£时，0.6y =；当1925x <£时，0.15 2.25y x =-．（II ）1.05km ．24．（本小题10分）解：（I ）((,．（II ）①由折叠知，60,OO C AOC O P OP t ÐÐ===¢¢¢=o ，则2OO t ¢=．Q 点()3,0A ，得3OA =．23AO OO OA t \¢==¢--．Q 四边形OABC 为平行四边形，2,AB OC AB OC \==∥．得60O AB AOC ÐÐ==¢o ．AO E \¢△为等边三角形．有23AE AO t ¢==-．BE AB AE =-Q ，即()22352BE t t =--=-，25BE t \=-+，其中t 的取值范围是3522t <<．S ££．25．（本小题10分）解：（I ）20,1a b a +==Q ，得22b a =-=-．又1c =-，\该抛物线的解析式为221y x x =--．()222112y x x x =--=--Q ，\该抛物线顶点P 的坐标为()1,2-．（II ）过点(),1M m 作MH x ^轴，垂足为,1H m >，则90,1,MHO HM OH m Ð===o．在Rt MOH △中，由222,HM OH OM OM +==，221m \+=．解得1233,22m m ==-（舍）．\点M 的坐标为3,12æöç÷èø．20a b +=Q ，即12b a-=．\抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为1x =．Q 对称轴与x 轴相交于点D ，则1,90OD ODP Ð==o ．在Rt OPD △中，由222,OD PD OP OP +==221PD \+=．解得32PD =．由0a >，得该抛物线顶点P 的坐标为31,2æö-ç÷èø．\该抛物线的解析式为()2312y a x =--．Q 点3,12M æöç÷èø在该抛物线上，有2331122a æö=--ç÷èø．10a \=．（III ）过点(),1M m 作MH x ^轴，垂足为,1H m >，则90,1,MHO HM OH m Ð===o．1DH OH OD m \=-=-．\在Rt DMH △中，()222211DM DH HM m =+=-+．过点N 作NK x ^轴，垂足为K ，则90DKN Ð=o ．90,MDN DM DN Ð==o Q ，又90DNK NDK MDH ÐÐÐ=-=o ，NDK DMH \≌△△．得点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中，45DMN DNM ÐÐ==o，22222MN DM DN DM =+=，即MN =．根据题意，NE NF +=，得ME NF =．在DMN △的外部，作45DNG Ð=o ，且NG DM =，连接GF ，得90MNG DNM DNG ÐÐÐ=+=o．GNF DME \≌△△．有GF DE =．DE MF GF MF GM \+=+³．当满足条件的点F 落在线段GM 上时，DE MF +取得最小值，即GM =．在Rt GMN △中，22223GM NG MN DM =+=，223DM \=．得25DM =．()2115m \-+=．解得123,1m m ==-（舍）．\点M 的坐标为()3,1，点N 的坐标为()2,2-．Q 点()()3,1,2,2M N -都在抛物线22y ax ax c =-+上，得196,244a a c a a c =-+-=-+．1a \=．。
2022天津市中考数学试卷
2022年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算(3)(2)-+-的结果等于( ) A ．5- B ．1- C ．5 D ．1 2．tan45︒的值等于( ) A ．2B ．1C ．22D ．333．将用科学记数法表示应为( )A ．60.2910⨯B ．52.910⨯C ．42910⨯D ．329010⨯4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．629( ) A ．3和4之间 B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间7．计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1 B ．22a +C ．2a +D ．2aa + 8．若点1(A x ，2)，2(B x ，1)-，3(C x ，4)都在反比例函数8y x=的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是( ) A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．213x x x <<9．方程2430x x ++=的两个根为( ) A ．11x =，23x = B ．11x =-，23x = C ．11x =，23x =- D ．11x =-，23x =- 10．如图，OAB ∆的顶点(0,0)O ，顶点A ，B 分别在第一、四象限，且AB x ⊥轴，若6AB =，5OA OB ==，则点A 的坐标是( )A ．(5,4)B ．(3,4)C ．(5,3)D ．(4,3)11．如图，在ABC ∆中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转得到ACN ∆，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是( )A ．AB AN = B ．//AB NC C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥ 12．已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a c <<经过点(1,0)，有下列结论： ①20a b +<；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；③关于x 的方程2()0ax bx b c +++=有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．计算7m m ⋅的结果等于 ．14．计算(191)(191)+-的结果等于 ． 15．不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ． 16．若一次函数(y x b b =+是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是 （写出一个即可）．17．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，AF 与DE 相交于点G ，则GF 的长等于 ．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A ，B ，C 及DPF ∠的一边上的点E ，F 均在格点上．（Ⅰ）线段EF 的长等于 ；（Ⅱ）若点M ，N 分别在射线PD ，PF 上，满足90MBN ∠=︒且BM BN =．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M ，N ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式组21,13x xx-⎧⎨+⋅⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．21．（10分）已知AB为O的直径，6AB=，C为O上一点，连接CA，CB．（Ⅰ）如图①，若C为AB的中点，求CAB∠的大小和AC的长；（Ⅱ）如图②，若2AC=，OD为O的半径，且OD CB⊥，垂足为E，过点D作O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．22．（10分）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42︒，测得塔底B的仰角为35︒．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan350.70︒≈．︒≈，tan420.9023．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y km与离开学生公寓的时间x min之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min585087112离学生公寓的距离/km0.5 1.6（Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为/km min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为min．x时，请直接写出y关于x的函数解析式．（Ⅲ）当09224．（10分）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点(0,0)A，点O，点(3,0) (0,6)C，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且30∠=︒，点O的对应点O'落在第一象限．设OPQOQ t=．（Ⅰ）如图①，当1∠'的大小和点O'的坐标；t=时，求O QA（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O Q'，O P'分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O E'的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为33t的值可以是（请直接写出两个不同的值即可）．25．（10分）已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a >的顶点为P ，与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ．（Ⅰ）若2b =-，3c =-， ①求点P 的坐标；②直线(x m m =是常数，13)m <<与抛物线相交于点M ，与BP 相交于点G ，当MG 取得最大值时，求点M ，G 的坐标；（Ⅱ）若32b c =，直线2x =与抛物线相交于点N ，E 是x 轴的正半轴上的动点，F 是y 轴的负半轴上的动点，当PF FE EN ++的最小值为5时，求点E ，F 的坐标．2022年天津市中考数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算(3)(2)-+-的结果等于()A．5-B．1-C．5D．1【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．解：原式(32)=-+5=-，故选：A．2．tan45︒的值等于()A．2B．1C．22D．33【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．解：tan45︒的值等于1，故选：B．3．将用科学记数法表示应为()A．60.2910⨯B．52.910⨯C．42910⨯D．329010⨯【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10na⨯，其中1||10a<，n为整数，据此判断即可．解：5290000 2.910=⨯．故选：B．4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可． 解：从正面看底层是两个正方形，左边是三个正方形， 则立体图形的主视图是A 中的图形， 故选：A ．629( ) A ．3和4之间 B ．4和5之间 C ．5和6之间 D ．6和7之间【分析】估算确定出所求数的范围即可． 解：252936<<，5296∴<<，即5和6之间， 故选：C ．7．计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1 B ．22a + C ．2a +D ．2aa + 【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．解：原式112a a ++=+22a a +=+ 1=．故选：A ．8．若点1(A x ，2)，2(B x ，1)-，3(C x ，4)都在反比例函数8y x=的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是( ) A ．123x x x << B ．231x x x << C ．132x x x << D ．213x x x << 【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．解：点1(A x ，2)，2(B x ，1)-，3(C x ，4)都在反比例函数8y x=的图象上，1842x ∴==，2881x ==--，3824x ==．231x x x ∴<<， 故选：B ．9．方程2430x x ++=的两个根为( ) A ．11x =，23x = B ．11x =-，23x = C ．11x =，23x =- D ．11x =-，23x =- 【分析】根据解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 解：2430x x ++=， (3)(1)0x x ++=， 30x +=或10x +=， 13x =-，21x =-， 故选：D ． 10．如图，OAB ∆的顶点(0,0)O ，顶点A ，B 分别在第一、四象限，且AB x ⊥轴，若6AB =，5OA OB ==，则点A 的坐标是( )A ．(5,4)B ．(3,4)C ．(5,3)D ．(4,3)【分析】根据等腰三角形的性质求出AC ，根据勾股定理求出OC ，根据坐标与图形性质写出点A 的坐标．解：设AB 与x 轴交于点C ，OA OB =，OC AB ⊥，6AB =，132AC AB ∴==，由勾股定理得：2222534OC OA AC =-=-=， ∴点A 的坐标为(4,3)， 故选：D ．11．如图，在ABC ∆中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转得到ACN ∆，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是( )A ．AB AN = B ．//AB NC C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥ 【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可． 解：A 、AB AC =， AB AM ∴>，由旋转的性质可知，AN AM =，AB AN ∴>，故本选项结论错误，不符合题意；B 、当ABC ∆为等边三角形时，//AB NC ，除此之外，AB 与NC 不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C 、由旋转的性质可知，BAC MAN ∠=∠，ABC ACN ∠=∠， AM AN =，AB AC =， ABC AMN ∴∠=∠，AMN ACN ∴∠=∠，本选项结论正确，符合题意；D 、只有当点M 为BC 的中点时，BAM CAM CAN ∠=∠=∠，才有MN AC ⊥，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：C ．12．已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a c <<经过点(1,0)，有下列结论： ①20a b +<；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；③关于x 的方程2()0ax bx b c +++=有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】根据抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③． 解：①抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)， 0a b c ∴++=， a c <，0a b a ∴++<，即20a b +<，本小题结论正确； ②0a b c ++=，0a c <<， 0b ∴<，∴对称轴12bx a =->，∴当12bx a<<-时，y 随x 的增大而减小，本小题结论错误；③0a b c ++=， b c a ∴+=-，对于方程2()0ax bx b c +++=，△2224()40b a b c b a =-⨯⨯+=+>，∴方程2()0ax bx b c +++=有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．计算7m m ⋅的结果等于 8m ．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 解：78m m m ⋅=． 故8m ．14．计算1)的结果等于 18 ． 【分析】根据平方差公式即可求出答案．解：原式221=- 191=- 18=， 故18． 15．不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 79．【分析】用绿球的个数除以球的总数即可．解：不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是79，故79． 16．若一次函数(y x b b =+是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是 1 （写出一个即可）．【分析】根据一次函数的图象可知0b >即可．解：一次函数(y x b b =+是常数）的图象经过第一、二、三象限，0b ∴>， 可取1b =， 故1．17．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，AF 与DE 相交于点G ，则GF 的长等于 194．【分析】如图，过点F 作//FH CD ，交DE 于H ，过点C 作CM AB ⊥，交AB 的延长线于M ，连接FB ，先证明FH 是CDE ∆的中位线，得1FH =，再证明()AEG FHG AAS ∆≅∆，得AG FG =，在Rt CBM ∆中计算BM 和CM 的长，再证明BF 是中位线，可得BF 的长，由勾股定理可得AF 的长，从而得结论．解：如图，过点F 作//FH CD ，交DE 于H ，过点C 作CM AB ⊥，交AB 的延长线于M ，连接FB ，四边形ABCD 是菱形，2AB CD BC ∴===，//AB CD ， //FH AB ∴，FHG AEG ∴∠=∠，F 是CE 的中点，//FH CD ， H ∴是DE 的中点，FH ∴是CDE ∆的中位线，112FH CD ∴==，E 是AB 的中点， 1AE BE ∴==， AE FH ∴=，AGE FGH ∠=∠，()AEG FHG AAS ∴∆≅∆， AG FG ∴=， //AD BC ，60CBM DAB ∴∠=∠=︒， Rt CBM ∆中，30BCM ∠=︒，112BM BC ∴==，22213CM =-=BE BM ∴=，F 是CE 的中点，FB ∴是CEM ∆的中位线，132BF CM ∴==，//FB CM ， 90EBF M ∴∠=∠=︒，Rt AFB ∆中，由勾股定理得：22223192()22AF AB BF =+=+=， 11924GF AF ∴==． 故194． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A ，B ，C 及DPF ∠的一边上的点E ，F 均在格点上． （Ⅰ）线段EF 的长等于 10 ；（Ⅱ）若点M ，N 分别在射线PD ，PF 上，满足90MBN ∠=︒且BM BN =．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M ，N ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明） ．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；（Ⅱ）连接AC ，与网格线交于点O ，取格点Q ，连接EQ 交PD 于点M ，连接BM 交O 于点G ，连接GO ，延长GO 交O 于点H ，连接BH ，延长BH 交PF 于点N ，则点M ，N 即为所求（证明BQM BFN ∆≅∆，可得结论）． 解：（Ⅰ）221310EF =+=．故10；（Ⅱ）如图，点M ，N 即为所求．步骤：连接AC ，与网格线交于点O ，取格点Q ，连接EQ 交PD 于点M ，连接BM 交O于点G ，连接GO ，延长GO 交O 于点H ，连接BH ，延长BH 交PF 于点N ，则点M ，N 即为所求．故连接AC ，与网格线交于点O ，取格点Q ，连接EQ 交PD 于点M ，连接BM 交O 于点G ，连接GO ，延长GO 交O 于点H ，连接BH ，延长BH 交PF 于点N ，则点M ，N 即为所求三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式组21,13x x x -⎧⎨+⋅⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 1x - ；（Ⅱ）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小找不到确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得1x -；（Ⅱ）解不等式②，得2x ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为12x -，故1x -，2x ，12x -．20．（8分）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 40 ，图①中m 的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．【分析】（Ⅰ）根据1项的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用4项的人数除以总人数，即可得出m 的值；（Ⅱ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数． 解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：1332.5%40÷=（人)，4%100%10%40m =⨯=，即10m =； 故40，10；（Ⅱ）这组项数数据的平均数是：1(1132183544)240⨯⨯+⨯+⨯+⨯=（项)； 2出现了18次，出现的次数最多，∴众数是2项；把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，则中位数是2222+=（项)． 21．（10分）已知AB 为O 的直径，6AB =，C 为O 上一点，连接CA ，CB ．（Ⅰ）如图①，若C 为AB 的中点，求CAB ∠的大小和AC 的长；（Ⅱ）如图②，若2AC =，OD 为O 的半径，且OD CB ⊥，垂足为E ，过点D 作O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到90ACB ∠=︒，CAB CBA ∠=∠，进而求出CAB ∠，根据余弦的定义求出AC ；（Ⅱ）根据切线的性质得到OD DF ⊥，证明四边形FCED 为矩形，根据矩形的性质得到FD EC =，根据勾股定理求出BC ，根据垂径定理解答即可．解：（Ⅰ）AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒， C 为AB 的中点，∴AC BC =，45CAB CBA ∴∠=∠=︒，cos 32AC AB CAB ∴=⋅∠=；（Ⅱ）DF 是O 的切线，OD DF ∴⊥，OD BC ⊥，90FCB ∠=︒，∴四边形FCED 为矩形，FD EC ∴=，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，6AB =，则2242BC AB AC =-=，OD BC ⊥，1222EC BC ∴==， 22FD ∴=．22．（10分）如图，某座山AB 的顶部有一座通讯塔BC ，且点A ，B ，C 在同一条直线上．从地面P 处测得塔顶C 的仰角为42︒，测得塔底B 的仰角为35︒．已知通讯塔BC 的高度为32m ，求这座山AB 的高度（结果取整数）． 参考数据：tan350.70︒≈，tan420.90︒≈．【分析】设AP x =米，在Rt APB ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，从而求出AC的长，然后在Rt APC ∆中，利用锐角三角函数的定义列出关于x 的方程，进行计算即可解答．解：设AP x =米，在Rt APB ∆中，35APB ∠=︒，tan350.7AB AP x ∴=⋅︒≈（米)，32BC =米，(320.7)AC AB BC x ∴=+=+米，在Rt APC ∆中，42APC ∠=︒， 0.732tan 420.9AC x AP x+∴︒==≈， 160x ∴=，经检验：160x =是原方程的根，0.7112AB x ∴==（米)，∴这座山AB 的高度约为112米．23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km ，超市离学生公寓2km ．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min 到阅览室；在阅览室停留70min 后，匀速步行了10min 到超市；在超市停留20min 后，匀速骑行了8min 返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y km 与离开学生公寓的时间x min 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/km0.5 0.8 1.6 （Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为 km ；②小琪从超市返回学生公寓的速度为 /km min ；③当小琪离学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为 min ． （Ⅲ）当092x 时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．【分析】（Ⅰ）观察函数图象即可得答案；（Ⅱ）①根据阅览室离学生公寓1.2km ，超市离学生公寓2km 可得答案；②用路程除以时间可得速度；③分两种情况，分别可得小琪离学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间； （Ⅲ）分段求出函数关系式即可．解：（Ⅰ）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min 到达离学生公寓1.2km 的阅览室，∴离开学生公寓的时间为8min ，离学生公寓的距离是1.280.8()12km ⨯=， 由图象可知：离开学生公寓的时间为50min ，离学生公寓的距离是1.2km ， 离开学生公寓的时间为112min ，离学生公寓的距离是2km ，故0.8，1.2，2；（Ⅱ）①阅览室到超市的距离为2 1.20.8()km -=，故0.8；②小琪从超市返回学生公寓的速度为20.25(/)120112km min =-， 故0.25；③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为110()1.212min =÷； 当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为21112116()28min -+=÷， 故10或116；（Ⅲ）当012x 时，0.1y x =； 当1282x <时， 1.2y =；当8292x <时，2 1.21.2(82)0.08 5.369282y x x -=+-=--， 0.1(012)1.2(1282)0.08 5.36(8292)x x y x x x ⎧⎪∴=<⎨⎪-<⎩．24．（10分）将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(3,0)A ，点(0,6)C ，点P 在边OC 上（点P 不与点O ，C 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且30OPQ ∠=︒，点O 的对应点O '落在第一象限．设OQ t =．（Ⅰ）如图①，当1t =时，求O QA ∠'的大小和点O '的坐标； （Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O Q '，O P '分别与边AB 相交于点E ，F ，试用含有t 的式子表示O E '的长，并直接写出t 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为33，则t 的值可以是 3或103（请直接写出两个不同的值即可）．【分析】（Ⅰ）过点O '作O H OA '⊥于点H ．解直角三角形求出QH ，O H '即可；（Ⅱ）解直角三角形求出QE ，可得结论；（Ⅲ）如图③中，当点Q 与A 重合时，重叠部分是APF ∆，过点P 作PG AB ⊥于点G ．判断出当323t <时，重叠部分的面积是定值33 解：（Ⅰ）如图①中，过点O '作O H OA '⊥于点H ．在Rt POQ ∆中，30OPQ ∠=︒，60PQO ∴∠=︒，由翻折的性质可知1QO QO ='=，60PQO PQO ∠=∠'=︒，180606060O QH ∴∠'=︒-︒-︒=︒， 1cos602QH QO ∴='⋅︒=，332O H QH '==， 32OH OQ QH ∴=+=， 3(2O ∴'，3)2；（Ⅱ）如图②中，(3,0)A ，3OA ∴=，OQ t =，3AQ t ∴=-．60EQA ∠=︒，262QE QA t ∴==-，OQ OQ t '==，(62)36(23)EO t t t t ∴'=--=-<<；（Ⅲ）如图③中，当点Q 与A 重合时，重叠部分是APF ∆，过点P 作PG AB ⊥于点G ．在Rt PGF ∆中，3PG OA ==，60PFG ∠=︒，23sin 60PG PF ∴==︒30OPA APF PAF ∠=∠=∠=︒，23FP FA ∴==，112333322APF S AF PG ∆∴=⋅⋅=⨯= 观察图象可知当323t <时，重叠部分的面积是定值33∴满足条件的t 的值可以为3或103（答案不唯一）． 故3或103． 25．（10分）已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a >的顶点为P ，与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ．（Ⅰ）若2b =-，3c =-，①求点P 的坐标；②直线(x m m =是常数，13)m <<与抛物线相交于点M ，与BP 相交于点G ，当MG 取得最大值时，求点M ，G 的坐标；（Ⅱ）若32b c =，直线2x =与抛物线相交于点N ，E 是x 轴的正半轴上的动点，F 是y 轴的负半轴上的动点，当PF FE EN ++的最小值为5时，求点E ，F 的坐标．【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P 的坐标； ②求出直线BP 的解析式，设点2(,23)M m m m --，则(,26)G m m -，表示出MG 的长，可得关于m 的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；（Ⅱ）由32b c =得2b a =-，3c a =-，抛物线的解析式为223y ax a a =--．可得顶点P 的坐标为(1,4)a -，点N 的坐标为(2,3)a -，作点P 关于y 轴的对称点P '，作点N 关于x 轴的对称点N '，得点P '的坐标为(1,4)a --，点N '的坐标为(2,3)a ，当满足条件的点E ，F 落在直线P N ''上时，PF FE EN ++取得最小值，此时，5PF FE EN P N ''++==延长P P '与直线2x =相交于点H ，则P H N H ''⊥．在Rt △P HN ''中，3P H '=，3(4)7HN a a a '=--=．由勾股定理可得222294925P N P H HN a '''=+=+=．解得147a =，247a =-（舍)．可得点P '的坐标为16(1,)7--，点N '的坐标为12(2,)7．利用待定系数法得直线P N ''的解析式为420321y x =-．即可得点E ，F 的坐标． 解：（Ⅰ）①若2b =-，3c =-，则抛物线2223y ax bx c ax x =++=--，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点(1,0)A -，230a ∴+-=，解得1a =，∴抛物线为2223(1)4y x x x =--=--，∴顶点P 的坐标为(1,4)-；②当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，(3,0)B ∴，设直线BP 的解析式为y kx n =+，∴304k n k n +=⎧⎨+=-⎩，解得26k n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BP 的解析式为26y x =-，直线(x m m =是常数，13)m <<与抛物线相交于点M ，与BP 相交于点G ， 设点2(,23)M m m m --，则(,26)G m m -，22226(23)43(2)1MG m m m m m m ∴=----=-+-=--+， ∴当2m =时，MG 取得最大值1，此时，点(2,3)M -，则(2,2)G -；（Ⅱ）抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点(1,0)A -， 0a b c ∴-+=，又32b c =，2b a =-，3(0)c a a =->，∴抛物线的解析式为223y ax a a =--．2223(1)4y ax a a a x a ∴=--=--，∴顶点P 的坐标为(1,4)a -，直线2x =与抛物线相交于点N ，∴点N 的坐标为(2,3)a -，作点P 关于y 轴的对称点P '，作点N 关于x 轴的对称点N '，得点P '的坐标为(1,4)a --，点N '的坐标为(2,3)a ，当满足条件的点E ，F 落在直线P N ''上时，PF FE EN ++取得最小值，此时，5PF FE EN P N ''++==．延长P P '与直线2x =相交于点H ，则P H N H ''⊥． 在Rt △P HN ''中，3P H '=，3(4)7HN a a a '=--=． 222294925P N P H HN a ''∴'=+=+=． 解得147a =，247a =-（舍)．∴点P'的坐标为16(1,)7--，点N'的坐标为12(2,)7．∴直线P N''的解析式为420321y x=-．∴点5(7E，0)，点20(0,)21F-．。
天津市2021年中考数学真题(解析版)
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，
∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，
∴A到பைடு நூலகம்也应向右移动4个单位长度，
∵点A的坐标为(0，1)，
则点D的坐标为(4，1)，
∴abc＞0，
∵ ,
∴△= = ＞0,
∴ 有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】∵抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，当 时，与其对应的函数值 ．
∴c=1＞0，a-b+c= -1 4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2 2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.计算 的结果等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据合并同类项的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式加减的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项的性质，从而完成求解．
2019年天津中考数学试题(解析版)
2019年天津市初中毕业生学生考试试卷数学试卷满分120分，考试时间100分钟。
第I 卷{题型:1-选择题}一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分） {题目}1.（2019年天津）计算（-3）×9的结果等于（ ） A. -27 B. -6 C. 27 D. 6 {答案}A{解析}本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，故原式=-3×9=-27，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-1-4-1]有理数的乘法} {考点:有理数的乘法法则} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2.（2019年天津）︒60sin 2的值等于（ ）C. 3D. 2 【解析】锐角三角函数计算，故选A. {答案}B{解析}本题考查了特殊角的锐角三角形函数，由于sin 60︒=︒60sin 2=2×23=3，因此本题选B ．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3.（2019年天津）据2019年3月21日《天津日报》报道：“伟大的变革---庆祝改革开放四十周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4 230 000人次，将4 230 000用科学记数法表示为（ ）A. 0.423×107B.4.23×106C.42.3×105D.423×104{答案}B{解析}本题考查了科学记数法，将一个数写成a ×10n的形式，叫做科学记数法.其中a 是整数数位有且仅有一位的数，即a 应满足1≤|a|＜10；当原数的绝对值不小于1时，n 等于原数的整数位数减去1所得的差；当原数的绝对值小于1时，n 等于原数左起第一位非零数字前面所有0的个数的相反数.4 230 000=4.23×106，因此本题选B ． 本题考查了，，因此本题选． {分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}4.（2019年天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了轴对称图形的识别，看一个图形是否轴对称图形，关键是看它能否沿着某条直线折叠后使得两边能完全重合，以此来判断可知：“”可以看做轴对称图形.因此本题选A．{分值}3{章节:[1-13-1-1]轴对称}{考点:轴对称图形}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5.右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B.C. D.{答案}B{解析}本题考查了三视图，从前面看到的图形叫做物体的主视图，容易看出图中的立体图形主视图为，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:几何体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}（2019年天津）6.估计33的值在（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间{答案}D{解析}＜335＜33＜6，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-6-3]实数}{考点:无理数的估值}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}7.（2019年天津）计算2211a a a +++的结果是（ ） A. 2 B. 22+a C. 1 D.14+a a{答案}A{解析}本题考查了同分母分式的加减，21221212=++=+++a a a a a ，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8.（2019年天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A 、B 两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C ，D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于（ ）A.5B.34C.54D. 20{答案}C{解析}本题考查了菱形的性质，∵A （2，0），B （0，1），∴OA=2，OB=1，由勾股定理可得AB=,由菱形的性质可知所以其周长等C.{分值}3{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}9.（2019年天津）方程组⎩⎨⎧=-=+1126723y x y x 的解是（ ）A.⎩⎨⎧=-=51y xB.⎩⎨⎧==21y xC.31x y =⎧⎨=-⎩D.⎪⎩⎪⎨⎧==212y x{答案}D{解析}本题考查了二元一次方程组的解法，用加减消元法解方程组⎩⎨⎧=-=+②①1126723y x y x ，①+②，得9x=18，∴x=2， 将x=2代入①得，726=+y ，解得21=y ，从而方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==212y x ，因此本题选D.{分值}3{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组} {考点:加减消元法}{类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}10.（2019年天津）若点A （-3，1y ），B （-2，2y ），C （1，3y ）都在反比函数xy 12-=的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A.312y y y <<B.213y y y <<C.321y y y <<D.123y y y << {答案}B{解析}本题考查了反比例函数的性质，将（-3，1y ），（-2，2y ），（1，3y ）代入xy 12-=，得：12-112,6212,4312321=-==--==--=y y y ，所以213y y y <<，因此本题选B ． {分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}11.（2019年天津）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是（ ）A.AC=ADB.AB ⊥EBC. BC=DED.∠A=∠EBC{答案}D{解析}本题考查了图形旋转的性质，由旋转性质可知，AC=CD ，AC 不一定等于AD ，∴A 选项错；由旋转性质可知，BC=EC ，BC 不一定等于DE ，∴C 错；由旋转性质可知，∠ACB=∠DCE ，∠ACD=∠ECB ， AC=CD ，BC=CE ，∴∠A=∠CDA=21（180°-∠ECB ），∠EBC=∠CEB=21（180°-∠ECB ），∴∠A=∠EBC ，∴D 正确；要想∠ABE=90°，需∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠A=90°，这就需要∠ACB=90°，而由题意不能得到∠ACB=90°，∴B 选项错误.因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:旋转的性质} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}12.（2019年天津）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）且当x=2-时，与其对应的函数值0>y ，有下列结论： ①abc ＞0；② －2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根；③0＜m +n ＜203.其中，正确结论的个数是（ ）A.0B.1C. 2D.3{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象与性质.由表格可知，抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，-2），（1，-2），∴c＝﹣2，a+b﹣2＝﹣2，∴a+b＝0，∵a≠0，∴ab＜0，从而可得abc＞0，∴①正确；抛物线为y＝ax2﹣ax﹣2，x=12是对称轴，x＝﹣2时y＝t，故由抛物线的轴对称性可知当x＝3时，y＝t，∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故②正确；将（-1，m）、（2，n）代入解析式y＝ax2﹣ax﹣2得m＝n＝2a﹣2，∴m＝n＝2a﹣2，∴m+n＝4a﹣4，∵当x=12-时，y＞0，∴112042a a+->，∴a＞83，∴m+n＞203，故③错误.因此本题选C．{分值}3{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）{题目}13.（2019年天津）计算x 5•x 的结果等于 . {答案}x 6{解析}本题考查了同底数幂的乘法，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可知x 5•x ＝x 6．因此本题答案为：x 6． {分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:同底数幂的乘法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}14.（20191）（13-）的结果等于 . {答案}2{解析}本题考查了二次根式的乘除，由平方差公式得原式＝221-＝3﹣1＝2．因此本题答案为：2． {分值}3{章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:二次根式的乘法法则} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15.（2019年天津）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球，3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 . {答案}37{解析}本题考查了等可能条件下的概率的计算，因为不透明袋子装有7个球，其中3个绿球，所以从袋子中随机取出一个球，有7种等可能的结果，其中是绿球的有三种，∴P （摸出1个球是绿球）=37.因此本题答案为：37． {分值}3{章节:[1-25-1-2]概率} {考点:一步事件的概率} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}16.（2019年天津）直线12-=x y 与x 轴交点坐标为 . {答案}（21，0） {解析}本题考查了一次函数图象的性质，求直线与x 轴的交点坐标，就要求出当y=0时，x 的值为多少.令0=y ，得21=x ，所以直线12-=x y 与x 轴交点坐标为（21，0）.因此本题答案为：（21，0）．{分值}3{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:一次函数的性质} {类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}17.（2019年天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .{解析}本题考查了正方形的性质、勾股定理及折叠的有关性质.设AE、BF交于点H.在正方形ABCD中，AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠FAH+∠AFH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠AFH＝∠BAH，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE＝5，由勾股定理得，AE=BF==13，S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，∴AB•AF=BF•AH，∴12×5＝13AH，∴AH=6013，∴AG＝2AH=12013，∴GE＝AE﹣AG＝13-12013=4913.因此本题答案为：4913．{分值}3{章节:[1-18-2-3] 正方形}{考点:正方形的性质}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}18.（2019年天津）如图，在每个小正方形得边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B 是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A、B的圆的圆心在边AC上.（1）线段AB的长等于；（2）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） .；（2）利用圆与网格线的交点画出一条直径与AC相交得到圆心O，取AB与{答案}（1）2网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，即可找到点P．{解析}本题第（1）问考查了勾股定理，由勾股定理得AB=；第（2）问考查了正方形网格和圆的背景下的网格直尺作图问题，综合性较强.先利用90°的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点为圆心找出圆心.如图，取圆与网格线的交点D，E，连接DE交AC于点O，则点O是圆心.再取AB与网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，则点P就是满足条件∠PAC＝∠PBC＝∠PCB的点.简要证明如下：根据题意容易知道∠OAF＝∠OBF＝30°，∠AOF＝∠BOF＝∠BOC＝∠GOC＝60°，从而可得∠OBC＝20°，利用“SAS”证明△GOC≌△GBC，得到∠G=∠OBC=20°，从而可求出∠OPG=40°，从而可得∠PCB＝∠OPG-∠PBC＝20°=∠PBC.利用“SAS”证明△GOP≌△AOP，得到∠PAC=∠G=20°，从而可证出∠PAC＝∠PBC＝∠PCB.因此本题答案为：（1；（2）利用圆与网格线的交点画出一条直径与AC相交得到圆心O，取AB与网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，即可找到点P．{分值}3{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理}{考点:直径所对的圆周角} {考点:几何综合} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {难度:6-竞赛题}三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） {题目}19.（2019年天津）（本小题8分） 解不等式11,211x x +≥-⎧⎨-≤⎩①，②请结合题意填空，完成本题的解答：（I ）解不等式①，得 ； （II ）解不等式②，得 ； （III ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV ）原不等式组的解集为 .{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，由于采用了填空的形式，因此考生只需按题中所提供的解题步骤依次完成即可． {答案}（Ⅰ）x ≥﹣2； （Ⅱ）x ≤1； （Ⅲ）（Ⅳ）﹣2≤x ≤1． {分值}8{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:解一元一次不等式组}{题目}20.（2019年天津）（本小题8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h ），随机调查了该校的部分初中学生，根据随机调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：图① 图②（I ）本次接受调查的初中生人数为 ，图①中m 的值为 ；（II ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数.{解析}本题考查了统计图，求平均数、众数、中位数，以及利用样本估计总体.（I ）根据公式频率=频数÷样本容量进行计算即可，样本容量=1.2÷20%=40，m%=10÷40=25%，所以m=25，故本小题答案为40、25；（II ）根据平均数、众数、中位数的定义计算即可；（Ⅲ）利用样本中体育活动时间大于1h 的学生人数的占比对总体作出估计即可. {答案}解： （I ）40，25；（II ）5.1310158431.2108.1155.182.149.0=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x∵在这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1.5；∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，故这两个数的平均数即这组数据的中位数是1.5.答：这组数据的平均数、众数、中位数都是1.5h.（III ）∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数占的比例为1-10%=90%，∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的人数约占90%，从而可计算得：800×90%=720，答：该校每天在校体育活动时间大于1h 的学生约有720人． {分值}3{章节:[1-10-1]统计调查} {章节:[1-20-1-1]平均数}{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:用样本估计总体} {考点:扇形统计图} {考点:条形统计图}{考点:加权平均数（频数为权重）} {考点:中位数} {考点:众数}{题目}21.（2019年天津）（本小题10分）已经PA,PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB=80°，C 为⊙O 上一点.如图①，求∠ACB 的大小；（II ）如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB=AD ，求∠EAC 的大小.图①图②{解析}本题考查了切线的性质、切线长定理、圆心角与圆周角的关系等相关知识．（I）连接OA、OB，根据切线的性质结合四边形内角和先求出∠AOB，再利用在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求出答案；（II）先求出∠PAB=50°，再求出∠BAD=40°，再根据AB=AD求出∠ADB=70°，再根据三角形外角的性质可得∠EAC=∠ADB-∠ACB=20°．{答案}解：（Ⅰ）连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠APB=80°，∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°，∴∠ACB=12∠AOB=50°；图①图②（II）如图②，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠APB=80°，∴∠PAB=∠PBA=50°，由（Ⅰ）知∠PAD=90°，∠ACB=50°，∴∠BAD=∠PAD-∠PAB=40°，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=70°，∵∠ADB=∠EAC+∠ACB，∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=20°.{分值}10{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:切线长定理}{题目}22.（2019年天津）（本小题10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).参考数据： sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60 .{解析}本题考查了解直角三角形的应用问题（增长率）．设所求灯塔高度为x，利用直角三角形的边角关系表示出AD和BD的长，再列出方程即可求解.{答案}解：设CD=x.在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=CDAD≈0.60，∴AD=tan31x≈53x.在Rt △CBD 中，∠CBD ＝45°，∴BD ＝CD =x ，∵AD ＝AB +BD ，∴53x ＝x +30，解得x ＝45. 答：这座灯塔的高度CD 约为45m ．{分值}10{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{题目}23.（2019年天津）（本小题10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超过50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg （x ＞0）．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/kg 30 50 150 …甲批发店花费/元 300 …乙批发店花费/元 350 …（Ⅱ）设在甲批发店花费y 1元，在乙批发店花费y 2元，分别求y 1，y 2关于x 的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．{解析}本题考查了一次函数的简单应用.（Ⅰ）根据题意计算即可，6×30＝180，6×150＝900，7×30＝210，7×50+5×（150﹣50）＝850，因此本小题答案为：（从左到右，从上往下）依次为180，900，210，850．（Ⅱ）根据题意直接列式即可，甲批发店花费 y 1（元）＝6×购买数量x （千克）；而乙批发店花费 y 2（元）是购买数量x （千克）的分段函数：花费 y 2（元）在一次购买数量不超过50kg 时，y 2（元）＝7×购买数量x （千克）；一次购买数量超过50kg 时，y 2（元）＝7×50+5（x ﹣50）．（Ⅲ）①根据花费相同，即y 1＝y 2列方程即可求出相应的x 的值；②求出在x ＝120时，所对应的y 1、y 2的值，比较得出结论；③求出当y ＝360时，两店所对应的x 的值，再通过比较得出结论．{答案}解：（Ⅰ）（从左到右，从上往下）依次为：180，900，210，850；（Ⅱ）y 1＝6x （x ＞0）；当0＜x ≤50时，y 2＝7x （0＜x ≤50）；当x ＞50时，y 2＝7×50+5（x ﹣50）＝5x +100 （x ＞50）.因此y 1，y 2与x 的函数解析式分别为：y 1＝6x （x ＞0）；⎩⎨⎧>+=-+⨯≤<=)50(,1005)50(5507)500(,72x x x x x y .（Ⅲ）①当0＜x ≤50时，由题知6x ＝7x ，解得x ＝0，不合题意舍去；当x ＞50时，由题知6x ＝5x +100，解得x ＝100，故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克，因此本小题的答案为：100；②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120+100＝700，∵720＞700，∴乙批发店花费少．故本小题答案为：乙；③当y 1＝6x ＝360时，解得x ＝60；当y 2＝7x =360时，解得x=3607（大于50，舍去）；当y 2＝5x +100＝360时，解得x ＝52.∵60＞52，∴甲批发店购买数量多．本小题答案为：甲．{分值}10{章节:[1-19-2-2]一次函数}{{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:分段函数的应用}{题目}24.（2019年天津）（本题10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2． （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ′O ′D ′E ′，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C ′，O ′，D ′，E ′．设OO ′＝t ，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分的面积为S ． ①如图②，当矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为五边形时，C ′E ′，E ′D ′分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②S ≤，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．图① 图②{解析}一次函数图像与几何图形的综合问题．（Ⅰ）先求出AD 的长，再解直角三角形ADE 求出ED ，即可得答案；（Ⅱ）①将阴影部分的面积化为矩形C ′O ′D ′E ′与ME ′F 的面积的差来求即可得S ；利用点C ′、E ′在直线AB 上这两种极端情况，可求得t 的取值范围.由（I ）知当点E ′落在AB 上时，t=0；当点C ′落在AB 上时，C ′O ′=43，可求出A ′O ′=4，从而得到C ′O ′=2，故t 的取值范围是0＜t ＜2.②先通过计算①中函数的值的范围确定≤S ≤，t 超过2.再分重叠部分为直角梯形、直角三角形两种情况进行探究，先分别确定重叠部分形状，再求出S 与t 的函数关系式.然后计算当S 为时的t 的值，就能得到t 的取值范围．{答案}解： （I ）由A （6，0），得OA=6，又OD=2，∴AD=OA-OD=4.在矩形CODE 中，由DE ∥CO ，得∠AED=∠ABO=30°，∴在Rt △AED 中，AE=2AD=8.∴由勾股定理得：ED=AE-AD=43，有∴E （2，43）；（II ）①由平移可知，2=''D O ，D E ''=43，t O O E M ='='，由D E ''∥BO ，得∠FM E '=∠ABO=30°，在Rt △MF E '中，MF=2t E M 2='，∴由勾股定理得t E M MF E F 322='-='.∴211222MFE S ME FE t '∆''=⋅==，而C O D E S O D E D ''''''''=⋅=矩形 ∴38232+-=t s （0＜t ＜2）.②由①知当20≤≤t 时，22S =-+S 随着t 的增大而减小.当t=0时，S 最大=；当t=2时，S 最小=∴≤S ≤，t ＞2.当2＜t ＜4时，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为直角梯形，如图③，设O ′C ′交AB 于N ，D ′E ′仍交AB 于F.∵AD ′=4-t ，AO ′=6-t ，∴D ′4-t ），O ′6-t ），O ′D ′=2，∴S=124-t ）（6-t ）]×2=-+，显然S 随着t 的增大而减小.当S=-+t=2.5；当t=4时，∴当2＜t ＜4时，S ＞．∴当2＜t ＜4S ≤的t 的取值范围是2.5≤t ＜4；（图③） （图④）当4≤t ＜6时，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为直角三角形，如图④，设O ′C ′仍交AB 于N ，则AO ′=6-t ，O ′6-t ），∴S=12（6-t ）（6-t ）6-t ）2，显然S 随着t 的增大而减小.当S=2（6-t ）2=时，解得16t =，26t =∴264-≤<t .∴当4≤t ＜6S ≤的t 的取值范围是4≤t ≤6.综上，本小题答案为：562t ≤≤{分值}10{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}{难度:4-较高难度}{类别:常考题}{考点:一次函数与几何图形综合}{题目}25.（本小题10分）已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）经过点A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b ＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM ＝AD ，m ＝5时，求b 的值；（Ⅲ）点Q （21+b ，y Q ）在抛物线上，当2AM +2QM 的最小值为4233时，求b 的值． {解析}本题考查了二次函数的图像与性质，综合性较强．（Ⅰ）将点A （﹣1，0）代入y ＝x 2﹣2x +c ，求出c 的值，进一步便可根据抛物线的解析式及求出其顶点坐标；（Ⅱ）将点D （b ，y D ）代入抛物线y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1，求出点D ，利用条件AM ＝AD 构造方程即可求出b 的值；AM+2QM=2（2AM+QM ），再通过构造以AM 为斜边的等腰直角三角形，将2AM+QM 及其最小值通过图形表示出来，“以形显数”，再利用等腰直角三角形的性质及点Q 的坐标列方程组求出m 和b ，就能解决问题.{答案}解： （I ）当b=2时，抛物线为y ＝x 2﹣2x +c ，将A （-1，0）代入，得1-2+c=0,∴c= - 3 ,∴抛物线解析式为4)1(3222--=--=x x x y ，∴其顶点坐标为（1，- 4）；（II ）A （-1，0）代入抛物线解析式得，1+b +c ＝0，∴c ＝﹣b ﹣1，∴抛物线为y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1. 设抛物线与y 轴交于点C ，则C （0,﹣b ﹣1）.当x=b 时，y D ＝b 2﹣b •b ﹣b ﹣1＝﹣b ﹣1，∴D （b ，﹣b ﹣1）.∵b ＞0，∴D 与C 不重合，点D 在第四象限.如图①，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E （b ，0），∴AE ＝DE ＝b +1，∴（b +1）.∵m ＝5，∴M （m ，0），∴AM=6.由已知AM ＝AD （b +1）=6，∴b ＝3√2−1；图① 图②（Ⅲ）把Q （21+b ，Q y ）代入12---=b bx x y ，得432--=b y Q ，∵b ＞0，抛物线对称轴为直线x=2b ，∴点Q （21+b ，432--b ）在第四象限、对称轴右侧.，则w=2AM+2QM=2（2AM+QM ）.如图，在x 轴上方取一点N ，使得△AMN 是以AM 为斜边的等腰直角三角形，则MN=2AM ，此时2AM+QM=MN+QM ≥NQ,∴w 最小=2NQ=4,∴NQ=8.∵∠MNH=45°，∴△NQH 为等腰直角三角形，∴NH=QH=338,∵AF=NF=12AM=12(m+1).∴1333(1)()22481133(1)(1)228bmb m⎧+++=⎪⎪⎨⎪++-+=⎪⎩,解得474bm=⎧⎪⎨=⎪⎩.综上，b=4.{分值}10{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{考点:其他二次函数综合题}。
探寻网格作图问题提升数学思维能力_省略_考试题第18题第_2_小题的思考_白丽娜
则 DF = BE = x．
如图 11，作 AH⊥BD 于点 H.
在 Rt△ABD 中，
由勾股定理，得
BD = 5，AH =
12 5
，DH =
16 5
．
D
C
F HE
AB 图 11
这种方法是作点 G′关于 BD 的对称点 G，如果我
进而在 Rt△ABE 和 Rt△AHF 中，分别计算出 AE =
姨 姨 姨 姨 姨 们想作点 A 关于 BD 的对称点，如何作呢？
设 BE = x， 则 DF = BE = x.
可得点 E 的坐标为 E（3，x），
点 F 的坐标为 F
3x 5
，4 -
4x 5
.
姨 进而 AE = 姨x2 + 32 ，AF =
4 - 4x 5
2+
3x 5
2．
将 AF 整理、配方，得
姨 姨 AF = 16 - 32x + x2 = 5
16 5
-x
2+
D
C
G′
F
A
B
M
D
CR
G
F
TS A′
NQ A
BZ
用代数方法或数形结合的方法求出最小值． 在网格中 用无刻度的直尺连接适当的格点构造 A 字型 （或 8 字 型） 相似三角形，可以将一条线段按任意有理数比进 行等分，即可确定动点的位置．
图9
图 10
在图 9 中，构造全等三角形△G′DF ≌ △ABE，则
姨x2 + 32 ，AF =
如图 10，取格点 M，N，Q，连接 DN，MQ，相交
16 5
-x
2+
12 5
天津市中考数学试卷及答案(Word解析版)
天津市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（•天津）计算（﹣3）+（﹣9）的结果等于（）A．12 B．﹣12 C．6D．﹣6考点：有理数的加法．分析：根据有理数的加法法则，先确定出结果的符号，再把绝对值相加即可．解答：解：（﹣3）+（﹣9）=﹣12；故选B．点评：本题考查了有理数的加法，用到的知识点是有理数的加法法则，比较简单，属于基础题．2．（3分）（•天津）tan60°的值等于（）A．1B．C．D．2考点：特殊角的三角函数值．分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．解答：解：tan60°=．故选C．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．3．（3分）（•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．（3分）（•天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 000m2，将8210 000用科学记数法表示应为（）A．821×102B．82.1×105C．8.21×106D．0.821×107考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：8 210 000=8.21×106，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（•天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（）A．（1）班比（2）班的成绩稳定B．（2）班比（1）班的成绩稳定C．两个班的成绩一样稳定D．无法确定哪班的成绩更稳定考点：方差．分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解答：解：∵（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，∴（1）班成绩的方差＞（2）班成绩的方差，∴（2）班比（1）班的成绩稳定．故选B．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．（3分）（•天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：所给图形的三视图是A选项所给的三个图形．故选A．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．7．（3分）（•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形考点：旋转的性质；矩形的判定．分析：根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．解答：解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF矩形．故选A．点评：本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．8．（3分）（•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C．1：2 D．：2 考点：正多边形和圆．分析：首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．解答：解：如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AC=AB=a，∴OC==a，∴正六边形的边心距与边长之比为：a：a=：2．故选B．点此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．（3分）（•天津）若x=﹣1，y=2，则﹣的值等于（）A．B．C．D．分式的化简求值．考点：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入进行计算即可．分析：解解：原式=﹣答：===，当x=﹣1，y=2时，原式==．故选D．点本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．评：10．（3分）（•天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y 升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P 与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（）A．0B．1C．2D．3考函数的图象．分析：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；解答：解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③如图所示：当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．故选C．点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）（•天津）计算a•a6的结果等于a7．考点：同底数幂的乘法．专题：计算题．分析：利用同底数幂的法则计算即可得到结果．解答：解：a•a6=a7．故答案为：a7点评：此题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3分）（•天津）一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是6．考点：解一元二次方程-因式分解法．专计算题．分析：原方程转化为x=0或x﹣6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．解答：解：∵x=0或x﹣6=0，∴x1=0，x2=6，∴原方程较大的根为6．故答案为6．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．13．（3分）（•天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是k＞0．考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．解答：解：∵一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0．故填：k＞0．点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．14．（3分）（•天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段AC=BD（答案不唯一）．考点：全等三角形的判定与性质．专题：开放型．分析：利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．解答：解：∵在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（AAS），∴AC=BD，AD=BC．故答案为：AC=BD（答案不唯一）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，关键在于公共边AB的应用，开放型题目，答案不唯一．15．（3分）（•天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为55（度）．考点：切线的性质．分析：首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．故答案为：55．点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．（3分）（•天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．解答：解：如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率=．故答案为．点评：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率=．17．（3分）（•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为7．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则=，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案为：7．点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．18．（3分）（•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于6；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．考点：作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求解答：解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求点评：此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）（•天津）解不等式组．考点：解一元一次不等式组．专计算题．题：分析：分别解两个不等式得到x＜3和x＞﹣3，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．解答：解：，解①得x＜3，解②得x＞﹣3，所以不等式组的解集为﹣3＜x＜3．点评：本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．20．（8分）（•天津）已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．（Ⅰ）求这个函数的解析式；（Ⅱ）判断点B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；（Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．（Ⅱ）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；（Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题．解答：解：（Ⅰ）∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），∴把点A的坐标代入解析式，得3=，解得，k=6，∴这个函数的解析式为：y=；（Ⅱ）∵反比例函数解析式y=，∴6=xy．分别把点B、C的坐标代入，得（﹣1）×6=﹣6≠6，则点B不在该函数图象上．3×2=6，则点C中该函数图象上；（Ⅲ）∵当x=﹣3时，y=﹣2，当x=﹣1时，y=﹣6，又∵k＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2．点评：本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．21．（8分）（•天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为50，图①中m的值是32；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．分析：（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．解答：解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为：16，∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，∴这组数据的众数为：10，∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，∴这组数据的中位数为：（15=15）=15；（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．故答案为：50，32．点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．22．（8分）（•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．分析：（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．解答：解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．23．（8分）（•天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD﹣112，继而求得答案．解答：解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，∴tan36°=，∴BD=CD•tan36°，∴CD•tan36°=CD﹣112，∴CD=≈≈415（m）．答：天塔的高度CD为：415m．点评：本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．（8分）（•天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100．（1）根据题题意，填写下表（单位：元）累计购物实际花费130 290 (x)在甲商场127 …在乙商场126 …（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？考一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．点：分析：（1）根据已知得出100+（290﹣100）×0.9以及50+（290﹣50）×0.95进而得出答案，同理即可得出累计购物x元的实际花费；（2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0.9x+10相等，从而得出正确结论；（3）根据0.95x+2.5与0.9x+10相比较，从而得出正确结论．解答：解：（1）在甲商场：100+（290﹣100）×0.9=271，100+（290﹣100）×0.9x=0.9x+10；在乙商场：50+（290﹣50）×0.95=278，50+（290﹣50）×0.95x=0.95x+2.5；（2）根据题意得出：0.9x+10=0.95x+2.5，解得：x=150，∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，解得：x＞150，0.9x+10＞0.95x+2.5，解得：x＜150，y B=0.95x+50（1﹣95%）=0.95x+2.5，正确；∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，此题问题较多且不是很简单，有一定难度．涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．25．（10分）（•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E 在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．考点：相似形综合题．分析：（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E（0，1）；（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得，OE=1，∴点E的坐标为（0，1）；（Ⅱ）①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OB﹣OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴==，∴AA′=×2=，∴EE′=AA′=，∴点E′的坐标是（，1）．点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．26．（10分）（•天津）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：（Ⅰ）求y1与x之间的函数关系式；（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）．（1）求y2与x之间的函数关系式；（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．x …﹣1 0 3 …y1=ax2+bx+c …0 0 …考点：二次函数综合题．专题：探究型．分析：（I）先根据物线经过点（0，）得出c的值，再把点（﹣1，0）、（3，0）代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式；（II）先根据（I）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y2﹣t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q （1，y2），故QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P 点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；②据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，求出y1﹣y2的值；若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，）在x 轴下方，因为3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=也符合题意．解解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0，），答：∴c=．∴y1=ax2+bx+，∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax2+bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=﹣x2+x+；（II）∵y1=﹣x2+x+，∴y1=﹣（x﹣1）2+3，∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ANMP为菱形，∴PA∥l，又∵点P（x，y2），∴点A（x，t）（x≠1），∴PM=PA=|y2﹣t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，∵PM2=QM2+PQ2，即（y2﹣t）2=（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2=（x﹣1）2+，即y2=x3﹣x+，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P（1，），∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=x3﹣x+（t≠3）；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），∵3＞，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，y1﹣y2=﹣（x﹣1）2+3﹣[（x﹣1）2+]=（x﹣1）2+，若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y=（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用．。
2013年天津中考数学试卷第18题第(Ⅱ)问详解
2013年天津中考数学试卷第18题第（Ⅱ）问详解（18）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上.（Ⅰ）△ABC 的面积等于 ；（Ⅱ）若四边形DEFG 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明） .这个题的解答分三部分，首先，要说明怎样的正方形面积是最大的，其次要说明这样的正方形是如何画的，最后还要证明所画图形就是所要求的正方形。
设锐角△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a ＜b ＜c ，BC 边上的高为h ，△ABC 的面积为S ，所要画的正方形的边长为x .易判断，当正方形一边落在三角形的某边上，而另两个顶点落在其他两边上时，会有面积最大的正方形. 如图，若正方形一边落在边BC 上，则△ADG ∽△ABC .同理，若正方形一边落在边AC 或AB 上，则22S x S b b =+或22Sx S c c=+. ∵22112()(2)()2()()(1)S S S a b ab S a b a b S a b a b a b ab ab--+-+=-+-=--=， 且,0220a b a b ab ah S ab S <-<>=->则，，则，∴22()0S Sa b a b+-+＜，即22S S a b a b +<+.同理可得222S S S a b c a b c +<+<+，因此，222222S S S S S S a b c a b c>>+++， 即当正方形一边落在三角形的最小边上，另两个顶点落在其他两边上时，它是该三角形中所能包含的面积最大的正方形。
此题中BC 为最小边，则所求正方形一边应落在边BC 上。
作法一：取格点P ，连接PC ，过点A 画PC 的平行线，与BC 交于点Q ，连接PQ 与AC 相交得点D ；过点D 画CB 的平行线，与AB 相交得点E ，分别过点D 、E 画PC 的平行线，与CB 相交得点G 、F .则四边形DEFG 即为所求.B,,1,22.2x h xa hahx a h S ah Sx S a a -∴=∴=+=∴=+且证明：由画图过程易得，四边形DEFG 为平行四边形. 由格点P 的位置可易判断PC ＝CB ，且PC ⊥CB . ∴DG ⊥CB ，则平行四边形DEFG 为矩形.,,..,.DE CB ADE ACB DE AD CB ACDG QD PC PQ PC AQ QD AD PQ AC DG DE PC CB DG DE DEFG ∴∆∆∴==∴=∴=∴∴∥∽同理，∥，，＝，矩形为正方形画法二：在AB 上任取一点P ，作PQ ⊥BC 于点Q ，以PQ 为一边在△ABC 内部画正方形PQMN ；作射线BN 交AC 于点D ，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，作DE ⊥DG 交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F .四边形DEFG 即为所求.证明：由画图过程易知四边形DEFG 与正方形PQMN 的四边分别平行或重合，且四对对应点的连线均交于点B ，则四边形DEFG 与正方形PQMN 关于点B 位似，所以，四边形DEFG ∽正方形PQMN .因此，四边形DEFG 即为所求的正方形.。
天津市中考数学真题试题(解析版)
2018年天津市初中毕业生学业考试试卷数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 计算的结果等于（）A. 5B.C. 9D.【答案】C【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算．详解：（-3）2=9，故选C．点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．2. 的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．详解：cos30°=．故选：B．点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．3. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：将77800用科学记数法表示为：．故选B．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．5. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．详解：这个几何体的主视图为：故选：A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．6. 估计的值在（）A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间【答案】D【解析】分析：利用“夹逼法”表示出的大致范围，然后确定答案．详解：∵64＜＜81，∴8＜＜9，故选：D．点睛：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题7. 计算的结果为（）A. 1B. 3C.D.【答案】C【解析】分析：根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．详解：原式=.故选：C．点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8. 方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．详解：，①-②得x=6，把x=6代入①，得y=4，原方程组的解为．故选A.点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．9. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．详解：∵反比例函数y＝中，k=12>0，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵y1＜y2＜0＜y3，∴．故选：B．点睛：本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．10. 如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由折叠的性质知，BC=BE．易得.详解：由折叠的性质知，BC=BE．∴.．故选：D．点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．∴PA+PE的最小值AE′；∵E为AD的中点，∴E′为CD的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,∴DE′=BF，∴ΔABF≌ΔAD E′，∴AE′=AF.故选D.点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．12. 已知抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.其中，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析：根据抛物线的对称性可以判断①错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断②正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断③正确，故可得解.详解：抛物线（，，为常数，）经过点，其对称轴在轴右侧，故抛物线不能经过点，因此①错误；抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②正确；∵对称轴在轴右侧，∴>0∵a<0∴b>0∵经过点，∴a-b+c=0∵经过点，∴c=3∴a-b=-3∴b=a+3，a=b-3∴-3<a<0，0<b<3∴-3<a+b<3.故③正确.故选C.点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 计算的结果等于__________．【答案】【解析】分析：依据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可．详解：原式=2x4+3=2x7．故答案为：2x7．点睛：本题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题的关键．14. 计算的结果等于__________．【答案】3【解析】分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．详解：原式=（）2-（）2=6-3=3，故答案为：3．点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．15. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．【答案】【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，∴摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为__________．【答案】【解析】分析：直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．详解：将直线y=x先向上平移2个单位，所得直线的解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．点睛：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．17. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G是EF的中点，∴EG=.在RtΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.（1）的大小为__________（度）；（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．【答案】(1). ；(2). 见解析【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，∴AC=，BC=，AB=,∵∴∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°故答案为90；（2）如图，即为所求.点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.）19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答.（Ⅰ）解不等式（1），得．（Ⅱ）解不等式（2），得．（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．【答案】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（Ⅳ）. 【解析】分析：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．详解：（Ⅰ）解不等式（1），得x≥-2；（Ⅱ）解不等式（2），得x≤1；（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为：-2≤x≤1.点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．20. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中的值为；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的约有多少只？【答案】（Ⅰ）28. （Ⅱ）平均数是1.52. 众数为1.8. 中位数为1.5. （Ⅲ）280只.【解析】分析：（Ⅰ）用整体1减去所有已知的百分比即可求出m的值；（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（Ⅲ）用总数乘以样本中2.0kg的鸡所占的比例即可得解.解：（Ⅰ）m%=1-22%-10%-8%-32%=28%.故m=28；（Ⅱ）观察条形统计图，∵，∴这组数据的平均数是1.52.∵在这组数据中，1.8出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.8.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有，∴这组数据的中位数为1.5.（Ⅲ）∵在所抽取的样本中，质量为的数量占.∴由样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的数量约占.有.∴这2500只鸡中，质量为的约有200只。
中考数学专题18 概率-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)
专题18 概率一、单选题1．（2021·广西玉林市·中考真题）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）A ．至少有1个白球B ．至少有2个白球C ．至少有1个黑球D ．至少有2个黑球2．（2021·湖北宜昌市·中考真题）在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．163．（2021·浙江衢州市·中考真题）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ）A ．13B ．23C ．15D ．254．（2021·北京中考真题）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为23cm 和212cm 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．49B ．59C ．25D ．356．（2021·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ）A ．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨B ．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯C ．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖D ．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上7．（2021·江苏扬州市·中考真题）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（）A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽8．（2021·湖南长沙市·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．9．（2021·湖南长沙市·中考真题）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（）A．19B．16C．14D．1310．（2021·安徽中考真题）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（）A．14B．13C．38D．4911．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（）A．16B．13C．12D．2312．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32B．0.55C．0.68D．0.8713．（2020·四川绵阳市·中考真题）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（）A．23B．12C．13D．1614．（2020·广西中考真题）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．16B．14C．13D．1215．（2020·辽宁营口市·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A．0.90B．0.82C．0.85D．0.8416．（2020·云南中考真题）下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360︒是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为2S甲、2乙S．若= x x 甲乙，2=0.4S甲，2=2S乙，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示抽奖20次就有1次中奖17．（2020·山西中考真题）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．13B．14C．16D．1818．（2020·湖南邵阳市·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．26m B．27m C．28m D．29m19．（2020·湖北武汉市·中考真题）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A．两个小球的标号之和等于1B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于1D．两个小球的标号之和大于620．（2020·湖南长沙市·中考真题）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（）A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球C．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球D．第一次摸出的球是红球的概率是13；两次摸出的球都是红球的概率是1921．（2019·贵州贵阳市·中考真题）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（）A．19B．16C．29D．1322．（2019·江苏泰州市·中考真题）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（）A．20B．300C．500D．80023．（2019·辽宁阜新市·中考真题）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为( )A．12B．10C．8D．624．（2019·台湾中考真题）箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？（）A．12B．13C．253D．255二、填空题目25．（2021·湖北宜昌市·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．26．（2021·湖南岳阳市·中考真题）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为_______．27．（2021·上海中考真题）有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为______．28．（2021·江苏苏州市·中考真题）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．29．（2021·浙江台州市·中考真题）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为_____．30．（2021·浙江宁波市·中考真题）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．31．（2021·浙江金华市·中考真题）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是____________．32．（2021·浙江温州市·中考真题）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为______．33．（2021·四川南充市·中考真题）在2-，1-，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是________．34．（2021·四川资阳市·中考真题）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为__________．35．（2021·重庆中考真题）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是_______．36．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．37．（2021·四川泸州市·中考真题）不透明袋子重病装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是_________．38．（2021·重庆中考真题）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是__________．39．（2021·浙江中考真题）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是_____．40．（2021·天津中考真题）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．41．（2020·辽宁锦州市·中考真题）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a ______．42．（2020·湖南益阳市·中考真题）时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。
专题18二次函数的应用(优选真题60道)三年(20212023)中考数学真题分项汇编【全国通用】(原
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】专题18二次函数的应用（优选真题60道）一．选择题（共6小题）1．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．32．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．23．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案24．（2021秋•鄄城县期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m5．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m6．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二．填空题（共18小题）7．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为．8．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民就商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面米．9．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝m．10．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．11．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．12．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O 点4m．13．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．14．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．15．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y=−132x2+12x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为m时，竖直高度达到最大值．16．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．17．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．18．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h 的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是；当2≤t≤3时，w的取值范围是．19．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53，则铅球推出的水平距离OA的长是m．20．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝．21．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．22．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是m．23．（2021•连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元．24．（2021•襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是m．三．解答题（共36小题）25．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】26．（2023•辽宁）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）…506070…月销量y（台）…908070…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？27．（2023•赤峰）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y （单位：cm ），乒乓球运行的水平距离记为x （单位：cm ），测得如下数据：水平距离x /cm0 10 50 90 130 170 230竖直高度y /cm28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x ，y ），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm ；②求满足条件的抛物线解析式；（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB 为274cm ，球网高CD 为15.25cm ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA 的值约为1.27cm ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值（乒乓球大小忽略不计）．28．（2023•内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x （x 为整数）个月每台的销售价格为y （单位：元），y 与x 的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m=110x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）29．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？30．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？31．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．32．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．33．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？34．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD 的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，S2=12√2m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．35．（2023•随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x 天（1≤x ≤30且x 为整数）的售价p （元/千克）与x 的函数关系式p ={mx +n ，1≤x ＜20，且x 为整数30，20≤x ≤30，且x 为整数销量q （千克）与x 的函数关系式为q ＝x +10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x 天的销售额为W 元．（1）m ＝ ，n ＝ ；（2）求第x 天的销售额W 元与x 之间的函数关系式；（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？36．（2023•河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点A （6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C 1：y ＝a （x ﹣3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B （0，c ）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C 2：y =−18x 2+n 8x +c +1的一部分．（1）写出C 1的最高点坐标，并求a ，c 的值；（2）若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n 的整数值．37．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x 元，日销售量为p 盒．（1）当x ＝60时，p ＝ ；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W （元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x 的范围为60≤x ≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．38．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．（1）当x＝m2时，y＝35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？39．（2023•临沂）综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价（元/盆）日销售量（盆）模型建立（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？40．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．41．（2023•南充）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】42．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y ＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）43．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A 品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？44．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y=−160x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？45．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？46．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？47．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．（1）求y关于x的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．48．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y=mx（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y=mx（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？49．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？50．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动。
天津市2018年中考数学试题(含答案)[中考真题]
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2018年天津市初中毕业生学业考试试卷数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 计算2(3)-的结果等于（ ）A ．5B ．5-C ．9D ．9- 2. cos30︒的值等于（ ） A ．2B ．3C ．1D ．33. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（ ）A ．50.77810⨯ B ．47.7810⨯ C ．377.810⨯ D ． 277810⨯ 4.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ． C. D ．5.下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ． C. D ．6.65 ）A ．5和6之间B ．6和7之间C. 7和8之间 D ．8和9之间7.计算23211x xx x +-++的结果为（ ） A ．1 B ．3 C. 31x + D ．31x x ++8.方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．64x y =⎧⎨=⎩ B ．56x y =⎧⎨=⎩ C. 36x y =⎧⎨=⎩ D ．28x y =⎧⎨=⎩9.若点1(,6)A x -，2(,2)B x -，3(,2)C x 在反比例函数12y x=的图像上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x << C. 231x x x << D ．321x x x << 10.如图，将一个三角形纸片ABC 沿过点B 的直线折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD BD =B ．AE AC = C.ED EB DB += D ．AE CB AB +=11.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP EP +最小值的是（ ）A ．AB B ．DE C.BD D ．AF12.已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点(1,0)-，(0,3)，其对称轴在y 轴右侧，有下列结论： ①抛物线经过点(1,0)；②方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③33a b -<+<.其中，正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.计算432x x ⋅的结果等于 ．14.计算(63)(63)+-的结果等于 ．15.不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 16.将直线y x =向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．17.如图，在边长为4的等边ABC △中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，EF AC ⊥于点F ，G 为EF 的中点，连接DG ，则DG 的长为 ．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC △的顶点A ，B ，C 均在格点上.（1）ACB ∠的大小为 （度）；（2）在如图所示的网格中，P 是BC 边上任意一点.A 为中心，取旋转角等于BAC ∠，把点P 逆时针旋转，点P 的对应点为'P .当'CP 最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点'P ，并简要说明点'P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题 （本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.）19. 解不等式组31(1)413(2)x x x +≥⎧⎨≤+⎩请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ）解不等式（1），得 ． （Ⅱ）解不等式（2），得 ．（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．20. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg ），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中m 的值为 ；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ） 根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg 的约有多少只？ 21. 已知AB 是O e 的直径，弦CD 与AB 相交，38BAC ∠=︒.（Ⅰ）如图①，若D 为»AB 的中点，求ABC ∠和ABD ∠的大小； （Ⅱ）如图②，过点D 作O e 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若//DP AC ，求OCD ∠的大小.22. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48︒，测得底部C 处的俯角为58︒，求甲、乙建筑物的高度AB 和DC （结果取整数）.参考数据：tan 48 1.11︒≈，tan58 1.60︒≈.23.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为x （x 为正整数）. （Ⅰ）根据题意，填写下表： 游泳次数1015 20 (x)方式一的总费用（元） 150 175 … 方式二的总费用（元） 90135…（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（Ⅲ）当20x >时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.24.在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标； （Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H . ① 求证ADB AOB △△≌； ② 求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.25.在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A .已知抛物线22y x mx m =+-（m 是常数），定点为P .（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求定点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ） 无论m 取何值，该抛物线都经过定点H .当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式.试卷答案一、选择题1-5:CBBAA 6-10:DCABD 11、12：DC二、填空题13.72x 14. 3 15.61116.2y x =+ 17.19218. （Ⅰ）90︒；（Ⅱ）如图，取格点D ，E ，连接DE 交AB 于点T ；取格点M ，N ，连接MN 交BC 延长线于点G ；取格点F ，连接FG 交TC 延长线于点'P ，则点'P 即为所求.三、解答题19. 解：（Ⅰ）2x ≥-； （Ⅱ）1x ≤；（Ⅲ）（Ⅳ）21x -≤≤. 20. 解：（Ⅰ）28. （Ⅱ）观察条形统计图， ∵ 1.05 1.211 1.514 1.816 2.041.5251114164x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++，∴这组数据的平均数是1.52.∵在这组数据中，1.8出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.8.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有1.5 1.51.52+=，∴这组数据的中位数为1.5.（Ⅲ）∵在所抽取的样本中，质量为2.0kg 的数量占8%.∴由样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg 的数量约占8%. 有25008%200⨯=.∴这2500只鸡中，质量为2.0kg 的约有200只。
2024年天津市中考真题数学试卷含答案解析
2024年天津市中考 数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算()33--的结果是（ ）A ．6B ．3C ．0D ．－6【答案】A【详解】试题解析：根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数得：3-（-3）=3+3=6．故选A ．2．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是指从正前方向看到的图形求解即可．【详解】解：由此从正面看，下面第一层是三个正方形，第二层是一个正方形（且在最右边），故选：B ．3．估算 的值在（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】C4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C ．5．据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）A ．70.0810⨯B ．60.810⨯C ．5810⨯D ．48010⨯61- 的值等于（ ）A ．0B ．1C 1D 17．计算3311x x x ---的结果等于（ ）A ．3B ．xC ．1x x -D ．231x -8．若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<∴10x <，∴132x x x <<.故选：B ．9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳子长y 尺，则可以列出的方程组为（ ）A ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩B ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨+=⎩C ． 4.51x y x y +=⎧⎨-=⎩D ． 4.51x y y x +=⎧⎨-=⎩【答案】A【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长5尺得： 4.5y x -=；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：0.51x y -=；从而可得答案.【详解】解：由题意可得方程组为：4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩，故选：A.10．如图，Rt ABC △中，90,40C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC ∠的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC ∠的大小为（ ）A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B11．如图，ABC 中，30B ∠= ，将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，延长BA 交DE 于点F ，下列结论一定正确的是（ ）A ．ACB ACD ∠=∠B ．AC DE ∥C ．AB EF =D ．BF CE⊥【答案】D【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得60BCE ACD ∠=∠=︒，结合30B ∠= ，即可得证BF CE ⊥，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC DE ∥不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A 和C 选项是错误的．【详解】解：记BF 与CE 相交于一点H ，如图所示：∵ABC 中，将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，∴60BCE ACD ∠=∠=︒∵30B ∠=︒∴在BHC 中，18090BHC BCE B ∠=︒-∠-∠=︒∴BF CE⊥故D 选项是正确的，符合题意；设ACH x ∠=︒∴60ACB x ∠=︒-︒，∵30B ∠=︒∴()180306090EDC BAC x x ∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒+︒∴9060150EDC ACD x x ∠+∠=︒+︒+︒=︒+︒∵x ︒不一定等于30︒∴EDC ACD ∠+∠不一定等于180︒∴AC DE ∥不一定成立，故B 选项不正确，不符合题意；∵6060ACB x ACD x ∠=︒-︒∠=︒︒，，不一定等于0︒∴ACB ACD ∠=∠不一定成立，故A 选项不正确，不符合题意；∵将ABC 绕点C 顺时针旋转60 得到DEC ，∴AB ED EF FD ==+∴BA EF>故C 选项不正确，不符合题意；故选：D12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ；②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令0= 解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把2t =和5t =代入计算即可判断③．【详解】解：令0= ，则23050t t -=，解得：10t =，26t =，∴小球从抛出到落地需要6s ，故①正确；∵()223055345t t x =-=--+ ，∴最大高度为45m ，∴小球运动中的高度可以是30m ，故②正确；当2t =时，23025240=⨯-⨯= ；当5t =时，23055525=⨯-⨯= ；∴小球运动2s 时的高度大于运动5s 时的高度，故③错误；故选C ．二、填空题13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．14．计算86x x ÷的结果为 ．【答案】2x 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．【详解】解：862x x x ÷=，故答案为：2x ．15．计算)11的结果为 ．【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式11110=-=．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．16．若正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象经过第一、第三象限，则k 的值可以是 （写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据正比例函数图象所经过的象限确定k 的符号．【详解】解： 正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象经过第一、三象限，0k ∴>．∴k 的值可以为1，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k 的关系．解答本题注意理解：直线y kx =所在的位置与k 的符号有直接的关系．0k >时，直线必经过一、三象限．0k <时，直线必经过二、四象限．17．如图，正方形ABCD 的边长为,AC BD 相交于点O ，点E 在CA 的延长线上，5OE =，连接DE ．（1）线段AE 的长为 ；（2）若F 为DE 的中点，则线段AF 的长为 ．∵F 为DE 的中点，A 为GD 的中点，∴AF 为DGE △的中位线，在Rt EAH △中，EAH DAC ∠=∠AH EH∴= 222AH EH AE +=，三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,,A F G 均在格点上．（1）线段AG 的长为 ；（2）点E 在水平网格线上，过点,,A E F 作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中，点M 在边BC 上，点N 在边AB 上，点P 在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点,,M N P ，使MNP △的周长最短，并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．19．解不等式组213317x x x +≤⎧⎨-≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______；(2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______．【答案】(1)1x ≤(2)3x ≥-(3)见解析(4)31x -≤≤【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．【详解】（1）解：解不等式①得1x ≤，故答案为：1x ≤；（2）解：解不等式②得3x ≥-，故答案为：3x ≥-；（3）解：在数轴上表示如下：（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为31x -≤≤，故答案为：31x -≤≤．20．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h ），随机调查了该校八年级a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？【答案】(1)50,34,8,8(2)8.36(3)150人【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据6h的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和8h的人数即可求出m；根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数；（2）根据平均数的定义进行解答即可；（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，用八年级共有学生数乘以30%即可得到答案．÷=（人)，【详解】（1）解：36%50m=÷⨯=，%1750100%34%∴=，34m在这组数据中，8出现了17次，次数最多，∴众数是8，将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，+÷=，∴中位数是(88)2821．已知AOB 中，30,ABO AB ∠=︒为O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ．(1)如图①，若AB MN ∥，直径CE 与AB 相交于点D ，求AOB ∠和BCE ∠的大小；(2)如图②，若,OB MN CG AB ⊥∥，垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =，求线段OF 的长．∴△AOB 中，A ABO ∠+∠又30ABO ∠=︒，1802AOB ABO ∴∠=︒-∠ 直线MN 与O 相切于点∵ 直线 MN 与 O ∴90OCM ∠=︒∵OC MN∴90OCM COB ∠=∠=22．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =⊥，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45︒，测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6︒，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31︒．(1)求线段CD 的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1︒≈︒≈．23．已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km ，文化广场离家1.5km ．张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，在画社停留了15min ，之后匀速骑行了6min 到文化广场，在文化广场停留6min 后，再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张华离开家的时间/min141330张华离家的距离/km 0.6②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km /min ；③当025x ≤≤时，请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；(2)当张华离开家8min 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）【答案】(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当04x ≤≤时，0.15y x =；当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，0.15 2.25y x =-(2)1.05km【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；③分段求解，04x ≤≤，可得出0.15y x =，当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，设次数的函数解析式为：y kx b =+，把()19,0.6，()25,1.5代入y kx b =+，用待定系数法求解即可.（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家km y '，则0.0750.6y x '=-，当两人相遇书时有600.1.005 2..2575x x --=，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．【详解】（1）解：①画社离家0.6km ，张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，∴张华的骑行速度为()0.640.15km /min ÷=，∴张华离家1min 时，张华离家0.1510.15km ⨯=，张华离家13min 时，还在画社，故此时张华离家还是0.6km ，张华离家30min 时，在文化广场，故此时张华离家还是1.5km ．故答案为：0.15,0.6,1.5.②()1.5 5.1 3.10.075km /min ÷-=,故答案为：0.075．③当04x ≤≤时，张华的匀速骑行速度为()0.640.15km /min ÷=，∴0.15y x =；当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，设次数的函数解析式为：y kx b =+，把()19,0.6，()25,1.5代入y kx b =+，可得出：190.625 1.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：0.152.25k b =⎧⎨=-⎩，∴0.15 2.25y x =-，综上：当04x ≤≤时，0.15y x =，当419x <≤时，0.6y =，当1925x <≤时，0.15 2.25y x =-．（2）张华爸爸的速度为：()1.5200.075km /min ÷=，设张华爸爸距家km y '，则()0.07580.0750.6y x x =-=-'，当两人从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时，有600.1.005 2..2575x x --=，解得：22x =，∴()0.07580.0750.60.075220.6 1.05km y x x =-=-=⨯-='，故从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是1.05km ．24．将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠== ．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．∵四边形OABC 是平行四边形，2,OC =∴23OC AB OA B AOC ====∠=∠，CB ，∵CH OA⊥∴30OCH ∠=︒此时AB与C O''的交点为E与A重合，OP 如图：当C'与点B重合时，此时AB与C O''的交点为E与B重合，OP=∴t的取值范围为35 22t<<；②如图：过点C作CH OA⊥由（1）得出()13C ，，60COA ∠=︒∴tan 60MP OP ︒=，3MP t =∴3MP t=当213t ≤<时，111222S O P OP MP t '==⨯=⨯()()1122S O P MC MP OP CM =+⨯''=+∴30>，S 随着t 的增大而增大∴在32t =时3333332222S =⨯-=-∵由①得出EO A ' 是等边三角形，EN AO⊥∴()11323222AN AO t t ==-=-'，∴tan 3EAO '∠=，3EN AN=∴332EN t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()31333222S t AO BC MP t =--⨯+⨯=-''∴30-<，S 随着t 的增大而减小∴在51124t ≤≤时，则把51124t t ==，分别代入得出57333S =-⨯+=，113S =-⨯+25．已知抛物线()20y ax bx c a b c a =++>，，为常数，的顶点为P ，且20a b +=，对称轴与x 轴相交于点D ，点(),1M m 在抛物线上，1m O >，为坐标原点．(1)当11a c ==-，时，求该抛物线顶点P 的坐标；(2)当OM OP ==a 的值；(3)若N 是抛物线上的点，且点N 在第四象限，90MDN DM DN ∠=︒=，，点E 在线段MN上，点F 在线段DN 上，NE NF +=，当DE MF +a 的值．则901MHO HM ∠=︒=，在Rt MOH 中，由2HM 221312m ⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭．解得123322m m ==-，（舍）90DNK NDK MDH ∠∠∠=︒-=NDK DMH ∴≌△△．∴1DK MH ==，NK DH ==∴点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中，DMN DNM ∠=∠。
2019 天津中考数学18 题解法——记中考18 题分析后的一点想法
1342019天津中考数学18题解法——记中考18题分析后的一点想法房 瑞 密恩慧正方形网格作图已经在天津市中考数学中兴起已经好几年了，19年前都没有和圆结合，但在2019年中考中如期而至。
笔者拿到题一时之间无法找到思路，只能借助于标答了解出题人的考察的内涵，并得益于和平教研室对18题的教研，聆听了老师们的分析，但是对于第三点还是没有得到论证的方法，引发笔者探索欲望，有了以下结论。
【题目呈现】18.如图，在每个小正方形得边长为1得网格中，△ABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A、B 的圆的圆心在边AC 上.（1）线段AB 的长等于 ；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中， 画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB， 并简要说说明点P 的位置是如何找到的 （不要求证明）【思路呈现】方法一：试卷标答如图，取圆与网络线的交点E、F，连接EF 与AC 相交，得圆心O；AB 与网络线相交与点D，连接QC 并延长，与点B,O 的连线BO 相交于P，连接AP， 则点P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB. 此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x, 在△OCP 中，∠COP=60°，∠PCO=100°-x，∠CPO=2x ∴60°+100°-x+2x=180°，x=20°， 即∠PAC=∠PBC=∠PCB=20°.其实根据对称性，可直接求出这三个角的度数，如图所示：由题可以知道△AOB 和△DOB 关于直线OB 对称， 得到∠OAB=∠OBA=∠OBD=∠ODB=30°∠AOE=∠BOE=∠DOF=∠ BOF=60°∴∠CBD=∠CDB=10°∴∠ODC=20°根据对称性得到∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°又可以得到此网格题其实是有这个模型联想到右图： △ADB 是等边三角形，O 为其中心，OA，OD 所在直线是此三角形的对称轴，由对称性得到所要的∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°方法二：记方法一中的点为P 1利用几何画板可以找到另外两个异与点P 的点，也满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.且都在△ABC 外部，其中一个在圆上，另一个在园内，分别记为P2 P 3.P 2作图步骤：在作出P1的基础上连接A P 1于AB 中垂线交于点D， 连接CD 并延长交圆于P 2.此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x,在△APC 中，∠APC=180°-x-（100°-x）=80°，∠APC+∠BPC=120°， ∴∠BPC=40°∴x=70°，即∠PAC=∠PBC=∠PCB=70°（其实可以直接得到∠PCB=70°）方法三：. All Rights Reserved.135P 3作图步骤：再求P 3时可以先求出∠PAC=∠PBC=∠PCB 的值，此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x，发现ABCP 四点共圆，∠CAP=∠PAB=x=15°，即作∠BAC的平分线，相当于作∠BAC 缩对弧或弦的中点，即过O 作AB 的平行线。
2018年天津市中考数学试卷(带解析)
17．（3 分）如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，
EF⊥AC 于点 F，G 为 EF 的中点，连接 DG，则 DG 的长为
．
【解答】解：连接 DE，
第 6页（共 18页）
∵在边长为 4 的等边△ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=2，且 DE∥AC，BD=BE=EC=2， ∵EF⊥AC 于点 F，∠C=60°， ∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，
23．（10 分）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，
每张会员证 100 元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费 5 元；方式二：不
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
第 1页（共 18页）
故选：A． 5．（3 分）如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．
B．Байду номын сангаасC．
第 7页（共 18页）
【解答】解：（1）由网格图可知
AC=
i
BC= h h i h
AB=
i
∵AC2+BC2=AB2
∴由勾股定理逆定理，△ABC 为直角三角形．
∴∠ACB=90°
故答案为：90°
（Ⅱ）作图过程如下：
取格点 D，E，连接 DE 交 AB 于点 T；取格点 M，N，连接 MN 交 BC 延长线于点
D．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，第三
2024年天津市中考 数学试题及答案
2024年天津市初中学业水平考试试卷数学第I 卷注意事项：1.每题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2.本卷共12题，共36分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算()33--的结果等于（ ） A ．—6B ．0C ．3D ．62．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3的值在（ ） A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ） A ．70.0810⨯B ．60.810⨯C ．5810⨯D ．48010⨯61-o 的值等于（ ）A ．0B ．1C ．12- D 17．计算3311x x x ---的结果等于（ ） A ．3B ．xC ．1x x - D ．231x - 8．若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x=的图象上，则312,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x << B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳子长y 尺，则可以列出的方程组为（ ） A ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨-=⎩ B ． 4.50.51y x x y -=⎧⎨+=⎩ C ． 4.51x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ． 4.51x y y x +=⎧⎨-=⎩10．如图，Rt ABC △中，90,40C B ∠∠==oo，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC∠的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC ∠的大小为（ ）A ．60oB ．65oC ．70oD ．75o11．如图，ABC △中，30B ∠=o ，将ABC △绕点C 顺时针旋转60o 得到DEC △，点,A B 的对应点分别为,D E ，延长BA 交DE 于点F ，下列结论一定正确的是（ ）A ．ACB ACD ∠∠=B ．AC DE ∥C ．AB EF =D ．BF CE ⊥12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t tt =-≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ； ②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 14．计算86x x ÷的结果为______．15．计算)11的结果为______．16．若正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象经过第三、第一象限，则k 的值可以是______（写出一个．．即可）．17．如图，正方形ABCD 的边长为,AC BD 相交于点O ，点E 在CA 的延长线上，5OE =，连接DE ．（I ）线段AE 的长为______；（II ）若F 为DE 的中点，则线段AF 的长为______．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,,A F G 均在格点上．（I ）线段AG 的长为______；（II ）点E 在水平网格线上，过点,,A E F 作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中，点M 在边BC 上，点N 在边AB 上，点P 在边AC 上．请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点,,M N P ，使MNP △的周长最短，并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明）______．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）19．（本小题8分） 解不等式组213, 317. x x x +≤⎧⎨-≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答． （I ）解不等式①，得______； （II ）解不等式②，得______；（III ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV ）原不等式组的解集为______．20．（本小题8分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h ），随机调查了该校八年级a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填空：a 的值为______，图①中m 的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；（II ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；（III ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为多少？21．（本小题10分）已知AOB △中，30,ABO AB ∠=o为O e 的弦，直线MN 与O e 相切于点C ．（I ）如图①，若AB MN ∥，直径CE 与AB 相交于点D ，求AOB ∠和BCE ∠的大小；（II ）如图②，若,OB MN CG AB ⊥∥，垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =，求线段OF 的长．22．（本小题10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =⊥，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45o ，测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6o ，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31o ．（I ）求线段CD 的长（结果取整数）； （II ）求桥塔AB 的高度（结果取整数）． 参考数据：tan310.6,tan60.1≈≈oo．23．（本小题10分）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km ，文化广场离家1.5km ．张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，在画社停留了15min ，之后匀速骑行了6min 到文化广场，在文化广场停留6min 后，再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （I ）①填表：②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；③当025x ≤≤时，请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；（II ）当张华离开家8min 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）24．（本小题10分）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==o．（I ）填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；（II ）若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC Y 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．25．（本小题10分）已知抛物线()2,,,0y ax bx c a b c a =++>为常数的顶点为P ，且20a b +=，对称轴与x 轴相交于点D ，点(),1M m 在抛物线上，1,m O >为坐标原点． （I ）当1,1a c ==-时，求该抛物线顶点P 的坐标；（II ）当2OM OP ==时，求a 的值； （III ）若N 是抛物线上的点，且点N 在第四象限，90,MDN DM DN ∠==o，点E 在线段MN 上，点F在线段DN 上，NE NF +=，当DE MF +a 的值．2024年天津市初中学业水平考试数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．D 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A8．B9．A10．B11．D12．C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．31014．2x 15．1016．1（答案不唯一，满足0k >即可）17．（I ）2；（II18．（I （II ）如图，根据题意，切点为M ；连接ME 并延长，与网格线相交于点1M ；取圆与网格线的交点D 和格点H ，连接DH 并延长，与网格线相交于点2M ；连接12M M ，分别与,AB AC 相交于点,N P ，则点,,M N P 即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（本小题8分） 解：（I ）1x ≤； （II ）3x ≥-；（III ）（IV ）31x -≤≤． 20．（本小题8分） 解：（I ）50,34,8,8． （II ）观察条形统计图，63778179151088.36,3717158x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++Q∴这组数据的平均数是8.36．（III ）Q 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%， ∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%，有50030%150⨯=．∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为150．21．（本小题10分）解：（I ）AB Q 为O e 的弦，OA OB ∴=．得A ABO ∠∠=．AOB Q △中，180A ABO AOB ∠∠∠++=o ，又30ABO ∠=o ，1802120AOB ABO ∠∠∴=-=o o ．Q 直线MN 与O e 相切于点,C CE 为O e 的直径，CE MN ∴⊥．即90ECM ∠=o ．又AB MN ∥，90CDB ECM ∠∠∴==o ．在Rt ODB △中，9060BOE ABO ∠∠=-=o o ．12BCE BOE ∠∠=Q ，30BCE ∠∴=o ．（II ）如图，连接OC ．同（I ），得90COB ∠=o ．CG AB ⊥Q ，得90FGB ∠=o ．∴在Rt FGB △中，由30ABO ∠=o ，得9060BFG ABO ∠∠=-=o o ．60CFO BFG ∠∠∴==o ．在Rt COF △中，tan ,3OC CFO OC OA OF∠===， 3tan tan60OC OF CFO ∠∴===o． 22．（本小题10分）解：（I ）设CD x =，由36DE =，得36CE CD DE x =+=+．EC AB ⊥Q ，垂足为C ，90BCE ACD ∠∠∴==o ．在Rt BCD △中，tan ,45BC CDB CDB CD∠∠==o ， tan tan45BC CD CDB x x ∠∴=⋅=⋅=o ．在Rt BCE △中，tan ,31BC CEB CEB CE∠∠==o ， ()tan 36tan31BC CE CEB x ∠∴=⋅=+⋅o ．()36tan31x x ∴=+⋅o ．得36tan31360.6541tan3110.6x ⨯⨯=≈=--o o ． 答：线段CD 的长约为54m ．（II ）在Rt ACD △中，tan ,6AC CDA CDA CD∠∠==o ， tan 54tan6540.1 5.4AC CD CDA ∠∴=⋅≈⨯≈⨯=o ．5.45459AB AC BC ∴=+≈+≈．答：桥塔AB 的高度约为59m ．23．（本小题10分）解：（I ）①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当04x ≤≤时，0.15y x =；当419x <≤时，0.6y =；当1925x <≤时，0.15 2.25y x =-．（II ）1.05km ．24．（本小题10分）解：（I ）((,．（II ）①由折叠知，60,OO C AOC O P OP t ∠∠==='''=o ，则2OO t '=． Q 点()3,0A ，得3OA =．23AO OO OA t ∴'=='--．Q 四边形OABC 为平行四边形，2,AB OC AB OC ∴==∥．得60O AB AOC ∠∠=='o ．AO E ∴'△为等边三角形．有23AE AO t '==-．BE AB AE =-Q ，即()22352BE t t =--=-，25BE t ∴=-+，其中t 的取值范围是3522t <<．S ≤≤ 25．（本小题10分）解：（I ）20,1a b a +==Q ，得22b a =-=-．又1c =-，∴该抛物线的解析式为221y x x =--．()222112y x x x =--=--Q ， ∴该抛物线顶点P 的坐标为()1,2-．（II ）过点(),1M m 作MH x ⊥轴，垂足为,1H m >，则90,1,MHO HM OH m ∠===o．在Rt MOH △中，由222,HM OH OM OM +==， 221m ∴+=⎝⎭．解得1233,22m m ==-（舍）． ∴点M 的坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20a b +=Q ，即12b a-=． ∴抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为1x =．Q 对称轴与x 轴相交于点D ，则1,90OD ODP ∠==o ．在Rt OPD △中，由222,OD PD OP OP +== 221PD ∴+=⎝⎭．解得32PD =． 由0a >，得该抛物线顶点P 的坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∴该抛物线的解析式为()2312y a x =--． Q 点3,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，有2331122a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 10a ∴=．（III ）过点(),1M m 作MH x ⊥轴，垂足为,1H m >，则90,1,MHO HM OH m ∠===o ． 1DH OH OD m ∴=-=-．∴在Rt DMH △中，()222211DM DH HM m =+=-+．过点N 作NK x ⊥轴，垂足为K ，则90DKN ∠=o ．90,MDN DM DN ∠==o Q ，又90DNK NDK MDH ∠∠∠=-=o ， NDK DMH ∴≌△△．得点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中，45DMN DNM ∠∠==o ，22222MN DM DN DM =+=，即MN =．根据题意，NE NF +=，得ME NF =．在DMN △的外部，作45DNG ∠=o ，且NG DM =，连接GF ，得90MNG DNM DNG ∠∠∠=+=o ．GNF DME ∴≌△△．有GF DE =．DE MF GF MF GM ∴+=+≥．当满足条件的点F 落在线段GM 上时，DE MF +取得最小值，即GM = 在Rt GMN △中，22223GM NG MN DM =+=，223DM ∴=．得25DM =．()2115m ∴-+=．解得123,1m m ==-（舍）． ∴点M 的坐标为()3,1，点N 的坐标为()2,2-．Q 点()()3,1,2,2M N -都在抛物线22y ax ax c =-+上，得196,244a a c a a c =-+-=-+．1a ∴=．。
2018年天津市中考数学试卷(答案+解析)
2018年天津市中考数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(3分)计算(﹣3)2的结果等于( ) A ．5B ．﹣5C ．9D ．﹣92．(3分)cos 30°的值等于( ) A ．√22B ．√32C ．1D ．√33．(3分)今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为( ) A ．0.778×105B ．7.78×104C ．77.8×103D ．778×1024．(3分)下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．5．(3分)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．6．(3分)估计√65的值在( ) A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间7．(3分)计算2x+3x+1−2x x+1的结果为( ) A ．1B ．3C ．3x+1D ．x+3x+18．(3分)方程组{x +y =102x +y =16的解是( )A ．{x =6y =4B ．{x =5y =6C ．{x =3y =6D ．{x =2y =89．(3分)若点A (x 1，﹣6)，B (x 2，﹣2)，C (x 3，2)在反比例函数y =12x的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 1＜x 3C ．x 2＜x 3＜x 1D ．x 3＜x 2＜x 110．(3分)如图，将一个三角形纸片ABC 沿过点B 的直线折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则下列结论一定正确的是( )A ．AD =BDB ．AE =AC C ．ED +EB =DB D ．AE +CB =AB11．(3分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP 最小值的是()A．AB B．DE C．BD D．AF12．(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(﹣1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为()A．0B．1C．2D．3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．(3分)计算2x4•x3的结果等于．14．(3分)计算(√6+√3)(√6﹣√3)的结果等于．15．(3分)不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．(3分)将直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为．17．(3分)如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．18．(3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，(I)∠ACB的大小为(度)；(Ⅱ)在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的(不要求证明)．三、解答题(本大题共7小题，共66分。
2021年天津市中考数学真题试卷及参考答案
2021年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算（﹣5）×3的结果等于（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣15D ．152．tan30°的值等于（ ） A ．33 B ．22 C ．1 D ．23．据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（ ） A ．0.141178×106 B ．1.41178×105C ．14.1178×104D ．141.178×1034．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．估计17的值在（ ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间7．方程组⎩⎨⎧=+=+432y x y x 的解是（ ）A ．⎩⎨⎧==20y xB ．⎩⎨⎧==11y xC ．⎩⎨⎧-==22y xD ．⎩⎨⎧-==33y x8．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是（0，1）， （﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D 的坐标是（ ） A ．（﹣4，1） B ．（4，﹣2）C ．（4，1）D ．（2，1）9．计算ba bb a a ---33的结果是（ ） A ．3 B ．3a +3bC ．1D ．b a a -610．若点A （﹣5，y 1），B （1，y 2），C （5，y 3）都在反比例函数y ＝﹣x5的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 1＜y 211．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADCB ．CB ＝CDC ．DE +DC ＝BCD ．AB ∥CD12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x ＝﹣2时，与其对应的函数值y ＞1．有下列结论：①abc ＞0； ②关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣3＝0有两个不等的实数根； ③a +b +c ＞7． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．计算4a +2a ﹣a 的结果等于 ．14．计算（10+1）（10﹣1）的结果等于 ．15．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．16．将直线y ＝﹣6x 向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．17．如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BC ，CD 的延长线上，且CE ＝2，DF ＝1，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为 ．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段AC 的长等于 ；（Ⅱ）以AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段AB 上有一点P ，满足AP ＝AC ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组⎩⎨⎧+≤≥+②，①35634x x x 请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．20．某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t ）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为 ，图①中m 的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．21．已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝42°，点D 是⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．22．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C 的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，3取1.73．23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学校的时间/h0.10.50.813离学校的距离/km212（Ⅱ）填空：①书店到陈列馆的距离为km；②李华在陈列馆参观学习的时间为h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为km/h；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为h．（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．24．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE 的顶点E （﹣27，0），点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ． （Ⅰ）如图①，求点B 的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE 沿x 轴向右平移，得到矩形O ′C ′D ′E ′，点O ，C ，D ，E 的对应点分别为O ′，C ′，D ′，E ′．设OO ′＝t ，矩形O ′C ′D ′E ′与△OAB 重叠部分的面积为S ．①如图②，当点E ′在x 轴正半轴上，且矩形O ′C ′D ′E ′与△OAB 重叠部分为四边形时，D ′E ′与OB 相交于点F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当25≤t ≤29时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．25．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c （a ，c 为常数，a ≠0）经过点C （0，﹣1），顶点为D ． （1）当a ＝1时，求该抛物线的顶点坐标；（2）当a ＞0时，点E （0，1+a ），若DE ＝22DC ，求该抛物线的解析式；（3）当a ＜﹣1时，点F （0，1﹣a ），过点C 作直线l 平行于x 轴，M （m ，0）是x 轴上的动点，N （m +3，﹣1）是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM +DN 的最小值为210，并求此时点M ，N 的坐标．2021年天津市中考数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．A 10．B 11．D 12．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．5a 14．9 15．7316．y ＝﹣6x ﹣2 17．21318．（1）5；（Ⅱ）取BC 与网格线的交点D ，连接OD 延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE 交BC 于点G ，连接BE ，延长AC 交BE 的延长线于F ，连接FG 延长FG 交AB 于点P ，点P 即为所求三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．解：（Ⅰ）x ≥﹣1； （Ⅱ）x ≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）﹣1≤x ≤3． 20．解：（1）50，20； （Ⅱ）观察条形统计图：9.55047105.6166125.585=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x∴这组数据的平均数是5.9∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6；∵将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6， ∴这组数据的中位数是6266=+． 21．解：（Ⅰ）如图①，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝21（180°﹣∠BAC ）＝21×（180°﹣42°）＝69°，∵BD 为直径， ∴∠BCD ＝90°， ∵∠D ＝∠BAC ＝42°，∴∠DBC ＝90°﹣∠D ＝90°﹣42°＝48°；∴∠ACD ＝∠ABD ＝∠ABC ﹣∠DBC ＝69°﹣48°＝21°； （Ⅱ）如图②，连接OD ， ∵CD ∥AB ，∴∠ACD ＝∠BAC ＝42°，∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠B +∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝180°﹣∠B ＝180°﹣69°＝111°，∴∠CAD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠ADC ＝180°﹣42°﹣111°＝27°， ∴∠COD ＝2∠COD ＝54°， ∵DE 为切线， ∴OD ⊥DE ， ∴∠ODE ＝90°，∴∠E ＝90°﹣∠DOE ＝90°﹣54°＝36°． 22．解：如图，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ， 由题意得，∠BAC ＝60°，∠BCA ＝40°，AC ＝257， 在Rt △ABH 中，∵tan ∠BAH ＝AH BH ，cos ∠BAH ＝ABAH， ∴BH ＝AH •tan60°＝3AH ，AB ＝︒60cos AH＝2AH ，在Rt △BCH 中，∵tan ∠BCH ＝CH BH， ∴CH ＝︒=︒40tan 340tan AHBH ，又∵CA ＝CH +AH ，∴257＝︒=︒40tan 340tan AHBH +AH ，所以AH ＝340tan 40tan 25740tan +︒︒⨯=︒BH ，∴AB ＝16873.184.084.02572340tan 40tan 2572=+⨯⨯≈+︒︒⨯⨯（海里），答：AB 的长约为168海里．23．解：（Ⅰ）10；12；20； （Ⅱ）①8；②3；③28；④51或631； （Ⅲ）由题意可得，y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤)5.11(416)16.0(12)6.00(20x x x x x ．24．解：（1）如图①，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H ， 由点A （4，0），得OA ＝4， ∵BO ＝BA ，∠OBA ＝90°， ∴OH ＝BH ＝21OA ＝421⨯＝2， ∴点B 的坐标为（2，2）；（2）①由点E （﹣27，0），得OE ＝27，由平移知，四边形O 'C 'D 'E '是矩形，得∠O 'E 'D '＝90°，O 'E '＝OE ＝27， ∴OE '＝OO '﹣O 'E '＝t ﹣27，∠27FE 'O ＝90°，∵BO ＝BA ，∠OBA ＝90°， ∴∠BOA ＝∠BAO ＝45°， ∴∠OFE '＝90°﹣∠BOA ＝45°， ∴∠FOE '＝∠OFE '， ∴FE '＝OE '＝t ﹣27， ∴S △FOE '＝21OE '•FE '＝21（t ﹣27）2， ∴S ＝S △OAB ﹣S △FOE '＝2)27(212421--⨯⨯t ，即S ＝﹣21t 2+27t ﹣817（4≤t ＜211）；②S 的取值范围为1663823≤≤S ． 25．解：抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c （a ，c 为常数，a ≠0）经过点C （0，﹣1），则c ＝﹣1， （Ⅰ）当a ＝1时，抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣1＝（x ﹣1）2﹣2，故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；（Ⅱ）∵y ＝ax 2﹣2ax ﹣1＝a （x ﹣1）2﹣a ﹣1， 故点D （1，﹣a ﹣1），由DE ＝22DC 得：DE 2＝8CD 2，即（1﹣0）2+（a +1+a +1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a ﹣1+1）2]， 解得a ＝21或23， 故抛物线的表达式为y ＝21x 2﹣x ﹣1或y ＝23x 2﹣3x ﹣1； （Ⅲ）将点D 向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D ′（﹣2，﹣a ）， 作点F 关于x 轴的对称点F ′，则点F ′的坐标为（0，a ﹣1），当满足条件的点M 落在F ′D ′上时，由图象的平移知DN ＝D ′M ，故此时FM +ND 最小，理由： ∵FM +ND ＝F ′M +D ′M ＝F ′D ′为最小，即F ′D ′＝210， 则D ′F ′＝102)12()02(22=+--+--a ， 解得a ＝27（舍去）或﹣25， 则点D ′、F ′的坐标分别为（﹣2，25）、（0，﹣27）， 由点D ′、F ′的坐标得，直线D ′F ′的表达式为y ＝﹣3x ﹣27， 当y ＝0时，y ＝﹣3x ﹣27＝0，解得x ＝﹣67＝m ， 则m +3＝611， 即点M 的坐标为（﹣67，0）、点N 的坐标为（611，﹣1）．。
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天津中考数学18题（全国最具观赏08-13）
2008天津中考18．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，
请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，
C ，
D ，
E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．
分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
18．1O ，3O ，如图① （提示：答案不惟一，过31O O 与42O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；
5O ，O ，如图② （提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．
2009天津中考18．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD ，要将其剪拼成边长分别
为a b ，的两个小正方形，使得2225a b +=．①a b ，的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小
正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性： __________________________________________ _________________________________________ _________________________________________
18．①3，4（提示：答案不惟一）； ②裁剪线及拼接方法如图所示：图中的点E 可以是以BC 为直径的半圆上的任意一点（点B C ，除外）.BE CE ，的长分别为两个小正方形的边长.
第（18）题图①
第（18）题图②
第（18）题图②
第（18）题
D
C B
A
E 2 3
1 2
3
2010天津中考（18）有一矩形纸片ABCD ，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 、D 重合，点C 落在点C '处，得
折痕EF ；
第二步：如图②，将五边形AEFC D '折叠，使AE 、C F '重合，得折痕DG ，再打开； 第三步：如图③，进一步折叠，使AE 、C F '均落在DG 上，点A 、C '落在点A '处，
点E 、F 落在点E '处，得折痕MN 、QP .
这样，就可以折出一个五边形DMNPQ .
（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段 （写出一组即可）；
（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ （如图③）恰好是一个正五边形，当AB a =，AD b =，
DM m =时，有下列结论：
①222tan18a b ab -=︒；
②tan18m =︒；
③tan18b m a =+︒； ④3
tan182
b m m =+︒.
其中，正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都．
填上）. （18）（Ⅰ）AD C D '=(答案不惟一，也可以是AE C F '=等)；（Ⅱ）①②③
第（18）题
A
D
C ' C B E
F
G
A
D
C '
C
B
E
F 图①
图② 图③
C '
D F
C
A
E
N
P B
E '
A '
M Q
G
2011天津中考
(18) 如图，有一长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
(Ⅰ) 该正方形的边长为_________。
(结果保留根号)
(Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：_________。
（18）（Ⅰ）15
（Ⅱ）如图．①作出BN=15(BM=4，MN=1，∠MNB=90°)：
②画出两条裁剪线AK，BE
(AK=BE=15．BE⊥AK)：
③平移△ABE和△ADK．
此时，得到的四边形BEF'G即为所求．
2012天津中考（18）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角MAN
∠，设
1 3MAN
α
∠=∠．
（Ⅰ）当69
MAN
∠=︒时，α
∠的大小为（度）；
（Ⅱ）如图，将MAN
∠放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且 2.5
AB=cm．现要求只
能使用带刻度
．．．的直尺，请你在图中作出α
∠，并简要说明作法（不要求证明）．
（18）（Ⅰ）23︒；（Ⅱ）如图，让直尺有刻度一边过点A ，设该边与过点B 的竖直方向的网
格线交于点C ，与过点B 的水平方向的网格线交于点D ；保持直尺有刻度的一边过点A ，调整点
C 、
D 的位置，使5cm CD =，画射线AD ，此时
M AD ∠即为所求的α∠．
2013天津中考
（18）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，
点A 、B 、C 均落在格点上.
（Ⅰ）△ABC 的面积等于 ；
（Ⅱ）若四边形DEFG 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明） .
B
M
A
N
第（18）题
第（18）题
B M
A
N
C
D
（Ⅱ）的另一解法：在AB上任取一点P，作PQ⊥BC于点Q，以PQ为一边在△ABC部作正方形PQMN；作射线BN交AC于点D，过点D作DG⊥BC于点G，作DE
⊥DG交AB于点E，过点E作EF⊥BC于点F.四边形DEFG即为所求.
F
E
G
D M
N
Q
C
B A P。