线性代数1

# A0 130 13 P ( A) . # 210 21
例1.3.5 分球入箱问题（分房问题，生日问题）
…
1 2 3
…
N
将n个球(可辨认)随意地放入N 个箱子中(N≥n),其中每个球都 等可能地放入任意一个箱子， 求下列各事件的概率：
（1）指定的n个箱子各放一球； （2）每个箱子最多放入一球；
性质1.3.2 （有限可加性）假设事件A1 ,, An两两互不相容， 则有 P ( Ai ) P( Ai ).
i 1 i 1 n n
特别地，如果两个事件A与B互不相容，则有 P( A B) P( A) P( B).
证明 由于A1 An A1 An 根据公理3和性质1.3.1得证.
1.3.3 概率的公理化定义
• 上面已经引入了概率的两种定义（古典定义与统计
定义）.前者要求只有有限个基本事件并且它们的
出现具有等可能性，而实际问题大多不同时具备这
两种条件；后者虽然无以上两个条件限制，但试验
次数应大到什么程度，频率究竟在什么意义下趋近
于概率都没有确切地说明.因此，两种定义都存在
一定的局限性.
我们称上式为广义加法公式.
利用数学归纳法，可将性质1.3.4推广到任意有限个 事件的情形：
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n
1 i j n

P ( Ai A j )

1 i j k n

P ( Ai A j Ak ) (1) n 1 P ( A1 A2 An )
（3）某指定的箱子不空；
（4）某指定的箱子恰好放入k（k≤n）个球。
解： 将n个球随意地放入N个箱子，共有
分别记上述四事件为A,B,C,D。
N
n
种放法，
n! (1) P ( A) n N
(2)每个箱子最多放入一球等价于将n个球放进任
n 意的n个箱子中，每箱一个球，其放法有C N ( n !) n PN n （或记作PN）种，则有P ( B ) n . N
公理1 非负性 对于任何事件A, P( A) 0;
公理2 规范性 对于必然事件，P() 1;
公理3 可列可加性 对于任意可列个两两互不相容的事件 若A1 , A2 ,, An ,有, P( Ai ) P( Ai ).
i 1 i 1
•
上述三条公理称为概率论的公理化定义.这三条公理 是随机事件的概率所应具备的三个基本属性，也是研 究概率的基础与出发点.概率论的公理化结构的建立使 概率论具有严密的逻辑基础，从而确立了它在严格数 学中的地位. • 如在公理化定义的基础上，我们可以证明反映“频
小概率事件.
• 例1.3.2 12个球中有5个红球，4个白球，3个黑球，
从中任取2个球，计算没有取到红球的概率.
解 记A " 取到的2个球中没有红球 "，则 # A C 21, # C 66.
2 7 2 12
# A 21 7 P( A) . # 66 22
例1.3.3 一箱产品有100个，其中有10个次品，90个 正品.从中任取3个.计算： （1）没有取到次品的概率；
的古典定义很容易计算出事件A发生的概率为P(A)=0.5 .
定义1.3.2 在相同的条件下，重复进行n次试验，当试 验次数n充分大时，事件A发生的频率稳定地在某一 数值p附近摆动.而且一般说来，随着试验次数的增加， 这种摆动的幅度将减小.我们称这个客观存在的频率
的稳定值p为事件A在上述条件下，一次试验中发生
1.3.2 概率的统计定义
随机试验并不限于古典概型一类，若随机试验不是古典 概型，为判定事件发生的可能性大小，一个可靠的方法 是进行大量重复地试验.
一般地，记n( A)为n次试验中事件A出现的次数，称为A的 频数.记 ( A)为n次试验中事件A出现的次数与试验总次数 n( A) 的比值，称为A的频率，即 ( A) . n
§1.3 概率
概率论作为应用数学的一个重要分支，它研究的 是随机现象量的规律性.因此，对于一个随机试验，仅 仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对 事件发生的可能性大小进行量的描述.即希望用一个数 字来描述一个随机事件发生的可能性大小，这就是概 率的粗略含义.
概率的统计定义:概率的客观存在性的描述性定义； 古典定义：特定试验中概率的古典定义，在概率论发 展史上人们最早研究的是概率的古典定义； 描述概率的基本属性的公理化定义. 描述事件发生可能性大小的数量指标称为事件发 生的概率，记作P(A).
的概率.记为p(A)=p.这个定义通常称为概率的统计定
义.
• 严格地讲，概率的统计定义只是一种描述性的定义.
在大多数情况下，定义中提到的客观存在的数值p
无法具体地确定.一般只是在大量重复试验的条件
下，通过频率值或一系列频率的均值作为概率p(A)
的近似值.但是，频率的稳定性及频率与概率之间 的联系为我们进一步研究概率奠定了基础.
( N 1)n (3) P (C ) Nn N n ( N 1)n P (C ) 1 P (C ) Nn
k C n ( N 1)n k (4) P ( D ) n N
练习
1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
1 5 2 4 1 2 1 2 2 5
# A0 130 13 得P( A) . # 210 21
解法二 4只中恰好有2只配成1双的取法按下列步骤进行：先 从5双中任取1双，再从余下的8只中任取2只，但须 剔除其中配成1双的种数.于是
1 2 1 2 # A C5 (C8 C4 ) C5 130.
推论1.3.1 如果事件A1 , , An构成一个完备事件组， 则有
P( A ) 1.
i 1 i
n
特别地，两个对立事件概率之和为1，即 P( A) 1 P( A). 证明 由于事件A1 ,, An构成一个完备事件组，即两两
不相容且 ( Ai ) .于是有
n
P( A ) P( A ) P() 1.
• 频率也可以反映事件发生的可能性大小，它是从 多次试验的结果来考察随机事件发生的可能性大 小，因而有随机性.它的数值依赖于试验.对于同 一事件，不仅试验次数不同可以得出不同的频率， 就是试验次数相同，得到的频率也可能不同.
• 概率是由随机事件本身的结构决定的，它反 映了随机事件所固有的客观属性，它是客观 存在的，它的大小与是否试验及试验的次数 无关.
（2）最多取到1个次品的概率.
解 记Ai “取出的3个产品中有i个次品”，i 0,1.
3 # A0 C90 117480 则(1) P( A0 ) 3 0.727. # C100 161700 3 1 2 #( A0 A1 ) C90 C10 C90 (2) P( A0 A1 ) 3 # C100 117480 40050 157530 0.974. 3 C100 161700
1.3.1 概率的古典定义
把具有以下两个特点的随机试验的数学模型称为 古典概型： • （1）有限性 试验的基本事件总数为有限个； • （2）等可能性 每次试验中，各个基本事件出现的 可能性相同.
定义1.3.1 在古典概型中，随机事件A发生的概率为 #A P( A) # 其中 # A、 分别表示A包含的基本事件个数和试验 # 的基本事件总数.
例1.3.1 一个五位数字的号码锁，每位上都有0,1, …9十 个数码，若不知道该锁的号码，问开一次锁就能将该
锁打开的概率有多大？
解 设A “开一次就把锁打开”， 则 # A 1， 105， # #A 1 于是 P( A) 5 0.00001. # 10
• 若不知道锁的号码，要想一次就将锁打开的可能 性是很小的.通常我们把这种概率很小的事件称为
A B ( A B) ( B A) AB ( A AB) ( B AB) AB
A AB
B
又A AB、B AB与AB互不相容，则由性质1.3.3, P( A B) P ( A AB) P ( B AB) P ( AB)
P ( A) P ( B) P ( AB).
(答案: 3! 33 )
例1.3.6 生日问题
求n个人中至少有两个人生日相同的概率(n 365).
(365 解:他们的生日各不相同的概率为365 364 n n 1) 365
365 364 ( 365 n 1) p 1 365n
我们利用软件包进行数值计算.
i 1 i i 1 i
n
i 1
n
当n 2时，易得P( A) P( A) 1.
性质1.3.3 若事件A B，则有，P( A B) P( A) P( B).
证明由于A B，所以AB B，A B与AB互不相容，
且A ( A B) AB， .
因此，P( A) P[( A B) AB] P( A B) P( AB) P( A B) P( B).
特别地，对于任意三个事件有
P( A B C ) P( A) P(B) P(C ) P( AB) P( AC ) P(BC ) P( ABC ).
(3)若A1 , A2 ,, An两两互不相容,则有,
( A1 A2 An ) ( Ai ).
i 1
n
定义1.3.3
假设随机试验的样本空间为，对于该试验
的每一个随机事件A, 即对于样本空间的每一个子集A， 都赋予一个实数P( A)，如果P( A)满足下面三条公理，则 称P ( A)为事件A的概率.
1.3.3 概率的公理化定义
在古典概型中定义的概率满足下列性质： (1)0 P( A) 1; (2) P() 1, P() 0;
(3)若A1 , A2 ,, An两两互不相容,则有, P( A1 A2 An ) P( Ai ).
i 1 n
随机事件的频率也满足下面三个性质： (1)0 ( A) 1; (2) () 1, () 0;
• 在大量重复试验的条件下，随机事件出现的 频率将会随着试验次数n的增大而逐渐趋于稳 定.我们称频率的稳定值为事件A发生的概率P.
以抛掷一枚硬币的试验为例，设事件表示“正面向上” 即徽花向上.表1-1列举了几位著名学者的试验结果.
• 表1-1
• 当n充分大时，事件A发生的频率稳定于常数值0.5.称这一现象 为频率的稳定性.事实上，上述试验属于wenku.baidu.com典概型，利用概率
推论1.3.2 若事件A B，则有，P( A) P( B).
推论1.3.3 对任何事件A，有P( A) 1.
证 因A , 所以P( A) P() 1.
性质1.3.4对于任意两事件 A, B , 有P( A B) P( A) P( B) P( AB).
证明 由图可得
率稳定性”的大数定律，为在实际中用频率近似代
替概率提供了理论依据.因此公理化定义的建立，在 概率论的发展史中起着极其重要的作用.
性质1.3.1 不可能事件的概率等于0，即P() 0.
证明 由于
由公理3有P() P() P()
上式成立的充要条件是P() 0.
例1.3.4 从5双不同尺码的手套中任取4只，求至少有 2只配成一双的概率.
解 设A "4只手套中至少2只配成双".
解一
# C 210.
4 10
4只中恰有2只配成一双的取法数C C C C ，
1 5 2 4 1 2 1 2
4只中恰好配成2双的取法数C ，
2 5
于是 # A C C C C C 130.