正弦定理-优质课件

《正弦定理》第一课时
《正弦定理》第一课学习目标
➢通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得 到正弦定理； ➢能证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法； ➢初步熟知正弦定理的两个重要应用。
情景引入
如图，设A、B两点在河的两岸，测量者只有皮尺和测角仪两种工具， 没法跨河测量，利用现有工具，你能利用所学的解三角形知识设计一 个测量A、B两点距离的方案吗？
实验3 多媒体演示
探究2 斜三角形边角数量关系
猜想
对于任意的斜三角形也存在以下边角数量关系：
abc sin A sin B sin C
探究2 斜三角形边角数量关系
证明1 如图，在锐角三角形中，设 BC a,CA b, AB c 。
证明：在ΔABC中作高线CD，
C
则在直角ΔADC和直角ΔBDC中
2 在 ABC 中，已知 A 45 ,a 1 ，b 3 ，求 B ;
2
谢谢观看
B
D
C
任意三角形中，有大角对大边，小角对小边的边角关系。
探究1 直角三角形边角数量关系
在直角三角形ABC中，设BC a, AC b, AB c, 探究边角数量关系
解：在根据Rt正A弦B函C数中定，义设可B得C： a, AC b, AB c A，
sin A a ;sin B b
c
c
a b c
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，解三角形.
学以致用
2：在ΔABC中，已知a 2 2,b 2 3, A 45o, 求B、C、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，解三角形.
定理应用归纳
正弦定理（law of sines）
设任意ΔABC中，BC a, AC b, AB c
B 60或120
当B 60时，C 75
c
a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
c
a sin C sin A
2
2 sin15 sin 45
2
2 sin 45 30 sin 45
6
2
定理应用总结
b
a sin B sin A
2sin 45o sin 30o
2
2
c
a sin C sin A
2 si 30o
6 2
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
CD b sin A,
CD a sin B
即b sin A a sin B
A
a b ,同理可证： a c
sin A sin B
sin A sin C
a b c sin A sin B sin C
D
B
概念生成，突出核心
正弦定理（law of sines） 在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.
即 任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
是否可以用其他的方法证明正弦定理?
其他证明方法介绍
证明2 如图：ΔABC中，圆O是其外接圆，设BC a,CA b, AB c.
证明：作直径CD,连接AD、BD得：CAD 90o,CBD=90o
sin A sin B
a、b、c A、B、C
b
c
sin C 1
a b c sin A sin B sin C
C
a
B
探究2 斜三角形边角数量关系
实验1
在等边
ABC
中，
A
B
C
60，,对验应证边的a 边长
a
b
:b
:
c
1c:1:1是否成立？
3
sin A sin B sin C
实验2
在等腰 ABC中，aa ::bbA:: cc11B::11:: 3330，，, 验验C证证ssiinn1aa2AA0，ss对iinnbb应BB 边 ss的iinncc边CC长是是否否成成立立？？
abc sin A sin B sin C
1、已知三角形的任意两个角与一边，解三 角形。
如：a b sin A sin B
2、已知三角形任意两边与其中一边的对角， 解三角形。
a 如：sin A sin B
b
课堂小结，总结回顾
1、正弦1、定正理弦的定内理容的（内容a（ a b b c c2R ） 2及R其）证及明其的证思明想的方思法想；方法； sin A sinsiAn B sins入
如图，设A、B 两点在河的两岸，测量者为了得到两点之间的距离.测 量者在 B 的同侧河岸选定一个点 C ,测出 BC的距离是 54m. B 45 C 60，根据这些数据能解决这个问题吗？
A
B
C
数学建模
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
AB、BC、AC A、B、C
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30o, B 45o, a 2,求C、b、c.
解：由三角形内角和可得：
C 180 30 45 105
由正弦定理 a b c 得： sin A sin B sin C
2、正弦定理的主要应用： 已知三角形的两角及一边，解三角形； 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形；
3、转化划归思想、分类讨论的思想、方程思想等.
课后作业
1、探索整理正弦定理的其他证明方法；
2、通过以下题目，在“已知三角形两条边和其中一边的对角”的条件下进一步 探究正弦定理的应用：
在 ABC 中，已知 A 45 ,a 6 ，b 3 ，求 B ; 在 ABC 中，已知 A 45 , a 6 ，b 3 ，求 B ;
又Q CDA B, CDB A 在直角ΔCAD和直角ΔCBD中 sin CDA b sin B 2R sin CDB a sin A 2R a b 2R sin A sin B 同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.