07点的加速度合成定理共18页文档
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牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
点的加速度合成定理
va ve vr
va
vO
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
aa
dv a dt
dv O dt
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
d2 dt
z
2
k
dv O dt
aO
aa ae ar
当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与 相对加速度的矢量和。这是牵连运动为平动时，点的加速度
求：BD
,
。
BD
解：1、动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点）
相对运动：直线运动（BC）
牵连运动：平动
2、速度
va ve vr
大小 rO ? ? 方向 √ √ √
vr ve va rO
BD
ve BD
rO
l
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
方向指向圆心Ｏ点。
aa ae ar 2vr
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 aa 并不 等于牵连加速度 ae 和相对加速度 ar 的矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢？ 2vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？
下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。
(1)动系：O’x’y’z’；定系：Oxyz，
合成定理 。 aa aan ae aen ar arn
Example 7-5 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度 ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且BD=CE=l。
求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
《速度合成定理》课件
实例1：汽车行 驶速度的合成， 如汽车在平直道 路上行驶，速度 合成为直线运动
实例2：火车行 驶速度的合成， 如火车在平直轨 道上行驶，速度 合成为直线运动
实例3：飞机飞 行速度的合成， 如飞机在平直航 线上飞行，速度 合成为直线运动
曲线运动的速度合成应用
速度合成定理：将物体在直线运动和曲线运动中的速度进行合成，得到物 体在任意时刻的速度
向的速度。
应用实例：卫星 绕地球转动时， 卫星的转动速度 可以分解为沿地 球自转方向的速 度和垂直于地球 自转方向的速度。
速度合成定理的扩 展和推广
速度合成定理的推广形式
速度合成定理的 推广形式包括： 平行四边形法则、 三角形法则、矢 量加法法则等。
平行四边形法则： 两个矢量的合成 可以用平行四边 形法则来表示， 即两个矢量的合 成矢量等于两个 矢量的矢量和。
速度合成定理还可以帮助我们理解和分析自然界中的各种现象，例如风速、水流速度等。
速度合成定理的推 导过程
相对速度和绝对速度的概念
相对速度：物体相对于另一个物体的速度 绝对速度：物体相对于静止参考系的速度 速度合成定理：描述两个或两个以上速度的合成关系 推导过程：通过数学公式和物理原理推导出速度合成定理
速度合成定理的证明过程
● 速度合成定理的定义：两个或两个以上物体的速度可以合成为一个新的速度 ● 证明方法：使用矢量加法和矢量减法 ● 证明步骤： a. 确定两个物体的速度矢量 b. 使用矢量加法将两个速度矢量相加 c. 使用矢量减法将
两个速度矢量相减 d. 得出结论：两个物体的速度可以合成为一个新的速度
实例1：汽车转弯时的速度合成，将汽车在直线运动和转弯时的速度进行 合成，得到汽车在转弯时的速度
实例2：卫星绕地球运动时的速度合成，将卫星在直线运动和绕地球运动 时的速度进行合成，得到卫星在绕地球运动时的速度
点的速度合成定理
va v r y
ve ＊
x
x
va
ve
tan30 2 3e
3
vr
2va
4 3e
3
vABva
2 3e
3
■ 点的速度合成定理 ★ 应用举例
1、选择动点、动系、定系
要选择合适的动点、动系。
解 2、运动分析
题
绝对运动与相对运动都是指点的运动，它可能作
步
直线运动或曲线运动。 牵连运动则是指参考体的运动即刚体的运动，它
O x
牵连点：M′（脚牵印连）点（：甲？板上）
va vr ve 三者关系？
★ 速度合成定理
z y
z o
x
刚性金属丝
y
O
小环
x
动点：小环（沿金属丝滑动）
定系（ oxy）z ：固定于地面
动系（ oxyz ）：固连于刚性金属丝
★ 速度合成定理
☆
z
zz
动 系 的
o z y x o x y o
oy
x
运
骤 可能作平动、转动或其它较复杂的运动。
3 、速度分析及其求解
牵连速度：某瞬时动系上与动点相重合的那一点
（称为牵连点）相对于定系的速度；
由 va vrve 作平行四边形，其对角线为v a ；
va vr ve 满足“6-4=2”方可求两个未知量。
■ 点的速度合成定理 ★ 讨论与思考
例 1中
动点：滑块A 动系：固连于O1B杆 绝对运动：绕O点的圆周运动 相对运动：沿滑杆的直线运动
牵连运动：绕O1轴的定轴转动
y
B
x
●A
O1
动点： O1B杆上的A点 动系：固连于OA杆
07点的合成运动--速度合成
牵连运动：转动
B
ve
va
O
C
vr
A
⑶ 由速度合成定理，作速度平行四边形
v v v a e r
？ √ √ √
大小 方向
？ √
v 2 l e ve va 2 3 l tan 30
30
点的速度合成分析计算步骤：
1. 选择一个动点, 二个坐标系 2. 分析三种运动（绝对运动，相对运 动， 牵连运动），速度分析。 3. 速度合成定理: 建立动点速度的关系
解： 杆AB作平移，各点速度相同，求出其上 A的速度即可。 1) 选取杆AB的端点A为动点。 动参考系随凸轮一起绕O轴转动。 2) 点A的绝对运动：是直线运动 相对运动： 凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动：是凸轮的定轴转动
B
A
C
q
O
e
x
y
绝对速度：方向沿AB 相对速度：方向沿凸轮圆周的切线， 牵连速度：凸轮上与杆端 A 点重合点的速度。 3) 速度合成定理:
动点： 曲柄端点A
动系： 在摇杆O1B上 绝对运动：以点O为圆心的圆周运动 相对运动：沿O1B 的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1 轴的转动 绝对速度：竖直方向
va
B
x'
O A
y'
O1
1
相对速度：方向线已知
牵连速度：方向线己知
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上 ⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
O
x' B va ve vr
A
牵连运动：转动
⑶ 由速度合成定理 v ， v v a e r
B
ve
va
O
C
vr
A
⑶ 由速度合成定理，作速度平行四边形
v v v a e r
？ √ √ √
大小 方向
？ √
v 2 l e ve va 2 3 l tan 30
30
点的速度合成分析计算步骤：
1. 选择一个动点, 二个坐标系 2. 分析三种运动（绝对运动，相对运 动， 牵连运动），速度分析。 3. 速度合成定理: 建立动点速度的关系
解： 杆AB作平移，各点速度相同，求出其上 A的速度即可。 1) 选取杆AB的端点A为动点。 动参考系随凸轮一起绕O轴转动。 2) 点A的绝对运动：是直线运动 相对运动： 凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动：是凸轮的定轴转动
B
A
C
q
O
e
x
y
绝对速度：方向沿AB 相对速度：方向沿凸轮圆周的切线， 牵连速度：凸轮上与杆端 A 点重合点的速度。 3) 速度合成定理:
动点： 曲柄端点A
动系： 在摇杆O1B上 绝对运动：以点O为圆心的圆周运动 相对运动：沿O1B 的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1 轴的转动 绝对速度：竖直方向
va
B
x'
O A
y'
O1
1
相对速度：方向线已知
牵连速度：方向线己知
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上 ⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
O
x' B va ve vr
A
牵连运动：转动
⑶ 由速度合成定理 v ， v v a e r
第七章 点的合成运动
~ d
上式可写成： va ve vr
~ dr dro d dt dt dt
z z
k
M M
k
r
j
j
(va vo vr )
dr va : dt
3、牵连加速度
ae：指某瞬时在动系与动点相重合的点
（牵连点）的加速度。
即该瞬时牵连点相对静系的加速度。 （即设想动点被固定在动参考系上，由于动系运动动点被 动系携带产生的加速度）
二、加速度合成定理证明： 加速度合成定理讨论动点相对于两参考系的加速度之间的 关系。仍采用矢量分析的方法，推导加速度合成定理，然后讨 论动系作平动、定轴转动和平面运动时定理的具体形式。
aa ae ar ak
其中
科氏加速度：
ak 2 vr
一、动点的绝对加速度、相对加速度、牵连加速度
1、绝对加速度 aa ：指动点相对于静系的加速度，
2、相对加速度 ar ：动点相对于动系的加速度，
即在动系上观察到的动点的加速度。
即站在静系上观察到的动点的加速度。
四．动系的选择原则
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对 运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
动点： AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上 静系： 固结在地面上
绝对运动： 直线
凸轮顶杆机构 相对运动： 曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平动
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动： 曲线（圆弧） 相对运动： 曲线 牵连运动： 定轴转动
va ve vr
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
加速度合成定理
例8-5 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度 ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运 动，且O、A、B 共线。凸轮上与点A接触的点为A`， 图示瞬时凸轮上点A`曲率半径为ρA ，点A`的法线与 OA夹角为θ，OA=l。 求：该瞬时AB的速度及加速度。
已知： 常数, O, A, B共线, OA l , A A , CAO , 求：v AB , a AB
点1的牵连加速度与相对加速度在同一直 2 线上，于是得 aa ae ar 1700 mm s 点２的牵连加速度
相对加速度大小为
科氏加速度大小为
ae 0 , 2 2 ar R1 1250 mm s , aC 2 e vr sin 90 1500 mm s 2 ,
2 1 2 2 2
r
2
vr va cos
l r rl
2
2
ve ve r 2 1 2 2 2 2 O1 A l r l r
3 加速度
l r
2
2
aan aet aen
2 2
ar ac
√ √
大小 r ? 1 O1 A ? 21vr 方向 √
√ √
已知：OA 常数, OA r , OO1 l , OA水平, 求：1
va ve tan l tan
3 加速度 a a a t a e r
vr
arn aC
ve
cos
l
cos
? l 方向 √ √ 大
2
? v A √ √
2 r
21vr √
沿 轴投影
aa cos ae cos arn aC
理论力学 加速度合成定理
选点M为动点，动系固结与圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动
ve wR , ae w 2R
相对运动为匀速圆周运动，
有vr 常 数,
ar vr2 R
由速度合成定理可得出
ae ar
va ve vr wR vr 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
aa
va 2 R
(Rw vr )2
R
Rw 2
相对速度 vr = ? , 方向CA; 相对加速度 art =? 方向CA
牵连速度 ve=v0 , 方向 →;
a
n r
vr2
/
R
方向沿CA指向C
由速度合成定理 va ve vr , 牵连加速度 ae=a0 , 方向→
vr
ve
sin j
v0 sin 60oFra bibliotek2 v0
3
j
j
因牵连运动为平动，故有
作加速度矢量图如图示，将上式 投影到法线上，得
科氏加速度：
ac 2w2vrsin180 0
由加速度合成定理
aa ae ar 1700 mm s2
计算点2的加速度 动点： 圆盘上的2点
ac
vr
ar
aa
动系： 与框架固结
牵连运动： 以匀角速度w2作定轴转动
牵连加速度： ae 0
相对运动： 以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动
相对加速度：a
w2r(1 rsec3 / 2sec2 )
[例4] 矩形板ABCD以匀角速度w 绕固定
轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线
BD和边线CD运动，在图示位置时相对于 A
D
板的速度分别为 v1和 v2 ，计算点M1 、 M2
合成运动--加速度合成
va r0 vevar0
ve r 0 DB l
⑷ 牵连运动为平移，由加速度
合成定理
aa
ae ar
得
aaaenaet ar
大小 √ √ ？ ？ B 方向 √ √ √ √
y'
A
aenDC 0 30
ar
E
60
x'
aet O aa
aa r02
2）取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒 B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝 对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：
解：⑴ 取曲柄OA上的A点为动点，动系在丁字杆上
⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
va
ve
vr
D A
牵连运动：平移
O
⑶
由速度合成定理
va
ve
vr，
B
C
作速度平行四边形
E
va ve vr
va r
大小 √ ？ ？ 方向 √ √ √
vevasinrsin
在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上
⑵ 研究三种运动
x'
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动源自 veva
B
vr
牵连运动：转动
O
A
⑶
由速度合成定理
va
ac
21vr
2r3 2l
(r2 l2 )3
2
07点的合成运动--速度合成
所以va ve vr
三、点的速度合成定理：
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢
量和。
va
ve
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
大小 ？ 方向 ？
？
？
？
？
只要知道六个量中的四个 就能求出其余变量
求牵连速度
例7-3 急回机构的曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转
动, 滑块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆 动。OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速 度ω1 。
牵 连 点 相 对 于 定 系 的 矢 径 ： r r1r r1= r r'r rO'x'i'y'j'z'k'r rO' 牵 di连 'x速 'd 度 j'vy e' (d 认 k'为 z'牵 +连 dr rO 点 ' 在 动 系 中 的 坐 标 不 变 ， 即 x',y',z' 不 变 ) dt dt dt dt
v r 1 2 v c o s 3 0 o 1 7 .3 2 ( m /s )
(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。
ve2O A50v5m/s 北
va2 10m/s
v r2v e2 2 v r2 2 1 1 .2 m /s
R
B
tanve2 5 0.5
ve2 Φ=30°
va2 10
相对速度
vr (ar )
动点相对于动系的运动速度
牵连速度
ve (ae )
动系上与动点重合的点
某瞬时, 牵连点相对于定系的速度
三、点的速度合成定理：
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢
量和。
va
ve
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
大小 ？ 方向 ？
？
？
？
？
只要知道六个量中的四个 就能求出其余变量
求牵连速度
例7-3 急回机构的曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转
动, 滑块在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆 动。OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速 度ω1 。
牵 连 点 相 对 于 定 系 的 矢 径 ： r r1r r1= r r'r rO'x'i'y'j'z'k'r rO' 牵 di连 'x速 'd 度 j'vy e' (d 认 k'为 z'牵 +连 dr rO 点 ' 在 动 系 中 的 坐 标 不 变 ， 即 x',y',z' 不 变 ) dt dt dt dt
v r 1 2 v c o s 3 0 o 1 7 .3 2 ( m /s )
(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。
ve2O A50v5m/s 北
va2 10m/s
v r2v e2 2 v r2 2 1 1 .2 m /s
R
B
tanve2 5 0.5
ve2 Φ=30°
va2 10
相对速度
vr (ar )
动点相对于动系的运动速度
牵连速度
ve (ae )
动系上与动点重合的点
某瞬时, 牵连点相对于定系的速度
7点的合成运动
注意：
ve
drM dt
rO
xi
yj zk
1）牵连点相对动系静止。 2）不同时刻动系牵连点不同。
va
drM dt
rO xi yj zk xi yj zk
第七章 点的合成运动
三 点的速度合成定理
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
动点：M 动系：喷管
：
x O
'
0
y O
'
0
wt
绝对运动：
x
y
xO yO
x cos xsin
y y
sin cos
vt cos(wt) vtsin( wt)
第七章 点的合成运动
二 运动方程关系
动点：M 动系：喷管
ve ae
vr
ar 0
绝对运动：
xy
vt cos(wt) vtsin( wt)
va aa
相对运动：
x vt
y
0
牵连运动：
xO'
0
yO' 0
wt
vr v ar 0
ve w OM wvt
ae w2 OM w2vt
x y v2 (wvt)2
x y (2wv)2 (w2vt)2
可见： va vr ve
点的运动
牵连运动
Convected Motion
刚体的运动
绝对速度va
v 相对速度 r
——————
a a 绝对加速度 a 相对加速度 r -——————
牵连点的运动
点的运动
牵连速度ve 牵连加速度ae
第七章 点的合成运动
点的加速度合成定理
2
rM rO'
O
r'
z'
k' j'
y'
drM y + x O xi i y j z k =r j z k dt = ve v r va =
i'
x'
O' y
d 2 rM aa = 2 = r O x i y j z k dt + xi yj zk y ) i k + 2( x j z y ) i k ae ar 2( x j z
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
aa ae a r ？
8.3 点的加速度合成定理
一、当牵连运动是定轴转动时，动系
i, j, k
(2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；
(3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点 ( 牵连点 ) ，因此 定义：
rM rO'
O
r'
z'
k' j'
y'
drM y + x O xi i y j z k =r j z k dt = ve v r va =
i'
x'
O' y
d 2 rM aa = 2 = r O x i y j z k dt + xi yj zk y ) i k + 2( x j z y ) i k ae ar 2( x j z
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
aa ae a r ？
8.3 点的加速度合成定理
一、当牵连运动是定轴转动时，动系
i, j, k
(2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；
(3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点 ( 牵连点 ) ，因此 定义：
点的加速度合成定理
ae = ao
ae = α × r + ω × (ω × r )
动系绕定轴 作旋转运动
aa = ae +ar +ac
ae = ao +α × r + ω × (ω × r )
aa = ae +ar +ac
动系作其他 更复杂的运动
动系作平移运动
科氏加速度是怎样产生的？有什么物理意义？ 科氏加速度是怎样产生的？有什么物理意义？ 下面举例说明,如图，动点M沿杆向右运动，同时杆绕 O点定轴转动，经过时间间隔 ∆t 后动点M移动到M’,不同 位置的各速度如图所示。
方向垂直向下. 方向垂直向下.
vr
下
D. ac=ωvr, 方向沿直径向右.
课堂练习
半径为R的圆轮以匀角速度ω转动,动点M 半径为R的圆轮以匀角速度ω转动,动点M沿轮缘以相 对速度v 运动,如图示. 对速度vr=Rω=C 运动,如图示. (1) 当相对速度与轮的 转向同向时,动点M的绝对加速度( 转向同向时,动点M的绝对加速度( 4Rω2 ); (2) 当相对速 度与轮的转向相反时,动点M的绝对加速度为( 0 ). 度与轮的转向相反时,动点M的绝对加速度为(
r
) (r
r
)
综合（4）、（5）、 （6）式，可得
= ae +ar +2ω×vr = ae +ar +ac
其中
ac = 2ω× vr e
称为科氏加速度(由法国工程师科里奥利首先提出 的)，显然它等于动系转动角速度与动点相对速度矢量 积的两倍，它是由牵连运动和相对运动相互影响而产 生的。 科氏加速度的大小
~ dR （其中 dt
为相对导数）
当我们站在定参考系上观察，认为定系不动时，矢量对 时间的导数为绝对导数；当我们站在动参考系中观察，认为 动系不动时，矢量对时间的导数为相对导数。 （基于的参考系不同，对矢量的表示也不同。）
ae = α × r + ω × (ω × r )
动系绕定轴 作旋转运动
aa = ae +ar +ac
ae = ao +α × r + ω × (ω × r )
aa = ae +ar +ac
动系作其他 更复杂的运动
动系作平移运动
科氏加速度是怎样产生的？有什么物理意义？ 科氏加速度是怎样产生的？有什么物理意义？ 下面举例说明,如图，动点M沿杆向右运动，同时杆绕 O点定轴转动，经过时间间隔 ∆t 后动点M移动到M’,不同 位置的各速度如图所示。
方向垂直向下. 方向垂直向下.
vr
下
D. ac=ωvr, 方向沿直径向右.
课堂练习
半径为R的圆轮以匀角速度ω转动,动点M 半径为R的圆轮以匀角速度ω转动,动点M沿轮缘以相 对速度v 运动,如图示. 对速度vr=Rω=C 运动,如图示. (1) 当相对速度与轮的 转向同向时,动点M的绝对加速度( 转向同向时,动点M的绝对加速度( 4Rω2 ); (2) 当相对速 度与轮的转向相反时,动点M的绝对加速度为( 0 ). 度与轮的转向相反时,动点M的绝对加速度为(
r
) (r
r
)
综合（4）、（5）、 （6）式，可得
= ae +ar +2ω×vr = ae +ar +ac
其中
ac = 2ω× vr e
称为科氏加速度(由法国工程师科里奥利首先提出 的)，显然它等于动系转动角速度与动点相对速度矢量 积的两倍，它是由牵连运动和相对运动相互影响而产 生的。 科氏加速度的大小
~ dR （其中 dt
为相对导数）
当我们站在定参考系上观察，认为定系不动时，矢量对 时间的导数为绝对导数；当我们站在动参考系中观察，认为 动系不动时，矢量对时间的导数为相对导数。 （基于的参考系不同，对矢量的表示也不同。）
加速度合成定理公式
加速度合成定理公式加速度合成定理公式是物理学中一个重要的概念，在我们理解物体运动的变化方面发挥着关键作用。
咱先来说说啥是加速度合成定理公式。
简单来讲，就是当一个物体同时参与几个不同方向的运动时，它总的加速度等于各个分加速度的矢量和。
这就好比你在操场跑步，同时有风在吹，你实际感受到的加速的感觉，就是你自己跑步的加速度加上风的影响产生的加速度。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别有意思。
当时我在黑板上写下公式，开始讲解，大家都听得挺认真，可就这个小家伙一脸懵。
我问他是不是没听懂，他挠挠头说：“老师，这感觉好复杂，我脑子都乱了。
”我就笑了，跟他说：“别着急，咱们来举个例子。
”我就拿他喜欢的足球来说事儿。
假设一个足球在操场上，被一个小朋友用力往前踢，这时候足球有一个向前的加速度。
可同时呢，操场上还有侧风在吹，这风又给足球一个侧向的加速度。
那足球实际运动时的加速度，就是这两个加速度合成之后的结果。
我一边说，一边在纸上画图给他看。
这小家伙眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像懂啦！”在实际生活中，加速度合成定理公式的应用可不少。
比如开车的时候，车辆本身在加速前进，要是突然来个急转弯，这时候车辆的加速度就不是单纯的直线加速了，而是直线加速和转弯产生的向心加速度的合成。
再比如说飞机飞行，飞机既要向前飞，又可能因为气流的影响有上下左右的晃动，那飞机实际的加速度就是各种方向加速度的总和。
对于我们研究物体的运动，加速度合成定理公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解复杂运动的大门。
通过这个公式，我们能更准确地预测物体的运动轨迹，也能更好地控制和设计各种运动系统。
总之，加速度合成定理公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多结合实际例子去理解，多去思考生活中的各种运动现象，就能发现它其实就在我们身边，而且特别有用。
希望大家都能把这个公式掌握好，让它成为我们探索物理世界的有力工具！。
点的加速度合成定理.
8.3 点的加速度合成定理
va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
aa ae ar ？
8.3 点的加速度合成定理
一、当牵连运动是定轴转动时，动系
i, j , k
坐标的单位矢量
的方向随时间不断变化，是时间t 的函数。先分析i, j , k 对时间的导数
2 2
ve 2 l r
ae 2 l 2 r 2 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
8.2 点的速度合成定理
rM rO r
r = xi yj zk
动系上与动点重合的点(牵连点)在定 系中的矢径记为rM' ，在图示瞬时有 rM rO'
O
z M(M') z' k' i' x' O' j' y'
r 4 2 (l r )
2 2 3 2
O1
r 2 vr , e 1 2 2 l r l2 r2
aC 2 2 r 3l (l r )
2 2 3 2
rl
为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h 投影：
B
aah a a arh aCh
n eh t eh
第 8 章
点的合成运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
8.2 点的速度合成定理
8.3 点的加速度合成定理
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
y
y' M o' x' x v
o
通过观察可以发现，物体对一参考体的运动可以由几个运动 组合而成。例如，在上述的例子中，车轮上的点M是沿旋轮线运 动，但是如果以车厢作为参考体，则点M对于车厢的运动是简单 的圆周运动，车厢对于地面的运动是简单的平动。这样，轮缘上 一点的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车 厢作圆周运动，同时车厢对地面作平动。于是，相对于某一参考 体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运 动为合成运动。
点的加速度合成定理
点的加速度合成定理点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的情形。
即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定理。
一．牵连运动为平移时点的加速度合成定理设O′x′y′z′为平移参考系，由于x′、y′、z′各轴方向不变，可使与定坐标轴x、y、z分别平行。
其中动点M相对于动系的相对坐标为x′、y′、z′，由于i′、j′、k′ 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M的相对速度和相对加速度为（１）（２）利用点的速度合成定理及牵连运动为平移而得到：两边对时间求导，并注意到因动系平移，故i′、j′、k′ 为常矢量，于是得到其中，所以有：（３）这就是牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
例题１如下图所示，铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆O1A以等角速度ω=2rad/s绕轴O1转动。
AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
试求:当 =60o时，CD杆的加速度。
解：1. 运动分析动点：CD上的C点；动系：固连于AB杆于是三种运动分别为：绝对运动：Ｃ点的上下直线运动；相对运动：Ｃ点沿AB直线运动；牵连运动：随AB杆铅垂平面内曲线平移2.加速度分析：其中由于动系作平移，故动系AB杆上各点的加速度相同，因此动系AB杆上与动点套筒C相重合点C1的加速度即牵连加速度，如下图所示，则:由平行四边形法则，得二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，加速度合成定理与牵连运动为平移时所得到的结果是不相同的。
如下图所示，圆盘半径为R并以等角速度绕轴O转动，在邻近其边缘的上方，静止地悬挂一个小球P。
若以P为动点，圆盘为动系，则三种运动为：绝对运动静止；牵连运动是绕O轴作定轴转动；相对运动是以点O为圆心、R为半径，与盘上重合点反向的等速圆周运动。
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Z
e r
ε
X1ω XO
Z1 M
r
Y Y1
r 相x 对1 i1 速 度y 1j1 z 1 k 1
a 由速 度r 合x 成1 i1 定 理y 1 j1 z 1 k 1
对t求导，有
a a d d t r d d r t x 1 i1 x 1d d it1
y 1 j1 y 1d d j t 1 z 1 k 1 z 1d d k t1
因为
d dt有
, dr
dt
e
泊桑公式
r
, di1 dt
×i1,...
a a r (e r) a r (x 1 i1 ..
a a r e r a r r
a a a e a r 2r
aaaearak 此中ak2r
这就是点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
aaaearak
aMk1点的2 科氏加速r 度
2rsin450j
2r j
M2点的科氏加速度
ak2r0
M3点的科氏加速度
ak 2r
2r j
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
07点的加速度合成定理
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
运动学
C A I课件
吉林工业大学工程力学系
以AB杆上的B 为动点，以凸 轮D为动系，作 加速度合成图
anr
aτr
aa
a a a a 先求出
a= nr R
再由 aaco3s0arn
求得
aa
U 8 3 2
9R O
点的加速度合成定理---动系转动情况
设动系X1Y1Z1绕Z轴转，动动，点M的牵连速度
其中 ak 2 r称为科氏加速度，是法
国工程师科里奥利（G.G.de Coriolis）于1832年
在研究水轮机时首先提出的。是由于牵连运动 和相对运动互相影响而产生的。
点的绝对加速度等于牵连加速度，相 对加速度和科氏加速度的矢量和。
它适于动系作任何形式的运动。
直角等腰三角板绕Z轴转动 求三个点的科氏加速度。