结构力学课件之单自由度体系的振动
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振动单自由度系统的振动 PPT课件
1
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如
第三节单自由度体系的自由振动
v0 ω
代入上式， 代入上式，得到质点位移
v y (t ) = y 0 cos ωt + 0 sin ωt ω
由上式可知，自由振动由两部分 由上式可知， 组成：一部分是由初始位移y 组成：一部分是由初始位移 0引 起的，质点按余弦规律振动， 起的，质点按余弦规律振动，如 所示； 图 a所示；另一部分是由初始速 所示 引起的， 度v0引起的，质点按正弦规律振 如图b所示 动，如图 所示。两项均为简谐 函数，其合成运动仍为简谐运动, 函数，其合成运动仍为简谐运动, 如图C所示 如图 所示。
& y (t ) = −ωC1 sin ωt + ωC 2 cos ωt
C1和C2可由自由振动初始条件确定。设在初始时刻 时，质点有初始位移和 可由自由振动初始条件确定。设在初始时刻t=0时 初始速度v 初始速度 0，即
y (0) = y 0 ,
& y (0) = v0
可求出
C1 = y0 , C2 =
●
一、无阻尼自由振动 1.运动方程 的建立和求解 运动方程
如果不考虑阻尼， 如果不考虑阻尼，单自由度体系或其它单自由度体系的自由振动都可以 用下图所示的弹簧质点模型来描述。 用下图所示的弹簧质点模型来描述。
图11-14
单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程为
m&&(t ) + k11 y (t ) = 0 y
24 EI k11 = 3 h
ω=
k11 = m
24 EI mh 3
求图11-17a所示体系中质点 竖向振动的自振频率和自振周期。图中 所示体系中质点m竖向振动的自振频率和自振周期 例11-4 求图 所示体系中质点 竖向振动的自振频率和自振周期。 弹簧的刚度系数 k 1 = 2 EI 。 3
《单自由度系的振动》课件
应用领域
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
结构力学课件单自由度体系自由振动
y(t)
y0
cost
v0
sin t
y(t) Asin t
振幅
（amplitude of vibration）
初始相位角
A
y02
y0
2 ＝
y02
v0
2
arctan
y
y0
＝arctan
y
v0
y(t)
y0
cost
v0
sin t
yy
T
0
振动将以
-y
一个连续地
y
T
定常幅度振 v
动。经过一 固定时段又
l 2
FI02
3 2
l
FS
l
0
FI10
m1 A1 2
m l
2
2
FI2
m2 A2 2
m 3
3l
2
2
m
l
2
2
FS kl
m 2 k 0
k
m
练习
1. 计算图示结构的自振频率。
m EI
l /2
l /2
m EI
l /2
l /2
m EI
l /2
l /2
ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
y(t) et (C1 cosd t C2 sin d t)
由初始条件确定C1 和 C2
设
y(0) y(0)
y v
得 C1 y0
C2
v0
y0 d
y(t)
e t
y0
cosd t
v0
y0 d
sind t
y(t) et Asin( d t )
结构动力学-单自由度系统的振动
Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
2021/6/24
20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：
第二章 单自由度系统的振动(课件)
无阻尼
有阻尼
力 学 模 型
数 学 模 型
由初始条件 t＝0时 决定
第二章 单自由度系统的振动
减幅系数 对数系数
临界阻尼
第二章 单自由度系统的振动
响 应
实验
x-t曲线
第二章 单自由度系统的振动
，系
（一周期内阻尼力所做的功）
当激励力为
第二章 单自由度系统的振动
系统做简谐强迫振动，有
等效粘性阻尼系数
第二章 单自由度系统的振动
AR －－实际的阻力R在一个周期里所消耗的能量
例2－9 干摩擦阻尼 等效粘性阻尼
第二章 单自由度系统的振动
特点： F为常力，大小不
变，方向改变。
共四个过程都是消耗能量
说明结构材料实际上不是完全弹 性的，在振动过程中也就是处在 加载卸载过程中，每一个振动周 期引成一次滞后曲线，从而产生 结构振动。由实验知，对大多数 金属而言，结构阻尼在一周期内 所消耗的能量与振动的振幅平方 成正比，而且在很大一个频率范 围内与频率无关。
第二章 单自由度系统的振动
§2-3 单自由度系统的自由振动
摩擦力所做的功（1/4周期）
全过程摩擦力所做的功（1周 期）
第二章 单自由度系统的振动
例2－10 流体阻尼 特点：当物体以较大的速度在粘性较小的流体中运动时，其阻 尼为 其在1周期内所做的功
例2-11 结构阻尼
滞
加载
后
回
线 卸载
双向 应变幅值
在一周期内:
第二章 单自由度系统的振动
由于材料本身内摩擦造成的阻尼。 阴影面积表示了材料在一循环中 单位体积释放的能量（热能）
二、等效刚度
（1）弹簧并联
第二章 单自由度系统的振动
第1讲 单自由度振动
k
0 x
/ n
t
t T
t
1.3 有阻尼单自由度体系的自由振动 2 (t ) 2 n x (t ) n x x(t ) 0 运动方程： c c 阻尼比： 2 n m cr (t ) t 0 x 0 初始条件： x(t ) t 0 x0 , x 1 为过阻尼及临界阻尼情况；无振动解 1 c cr 为欠阻尼情况、有振动解 自由振动响应：
x x x(t ) e nt x0 cos d t 0 0 n sin d t Ae nt sin( d t ) d
x 0 x0 n d x0 , tg x 0 x0 n d n t 2 对数衰减率： ln xi ln Ae nTd 2 xi 1 Ae n (t Td ) 1 2
tg
ห้องสมุดไป่ตู้
F0 k
1 (1 2 ) 2 (2 ) 2
x st
n
2 n 2 2 n 2 1 2
称为频率比
•
简谐激励下单自由度系统运动方程全解：
x x1 x2 e nt C1 cos d t C2 sin d t A sin(t )
• 式中，x st 静位移， 相位： arctg 1 2 共振频率：
max
1 2
n
，频率比
2
d 0 d
共振 n 1 2 2
共振 n
共振时，强迫振动滞后相位 90 0
n
1.4.2 稳态响应的振幅和相位
A x st 1 (1 ) (2 )
第二章 单自由度体系的振动 (2)经典.ppt
.......... .(c)
my(t) y 0
I(t)
1
可得与 (b) 相同的方程
k
刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
2.1.2 单自由度体系自由振动微分方程解答
my ky 0 .......... .......... .......... ......( b)
改写为 y k y 0 m
( 2 2 ) Asint F sint
m
y
F
m( 2 2 )
sin t
特解：y Asint
A
F
m( 2 2 )
方程通解：
y
C1
sin t
C2
cos t
F
m(2
2)
sin t
Page 24
其中：C1、C2 由初始条件确定，若： y(0) 0, y(0) 0
C1
F m(2
2 )
这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。
t
1 临界阻尼常数为： cr 2m （3） 1 (超阻尼）
临界阻尼比为： c
cr
体系不出现振动，很少遇到，不予讨论。
y0
Page 21
2.2单自由度体系的强迫振动
2.2.1 单自由度体系强迫振动微分方程的建立 2.2.2 简谐荷载作用下结构的动力反应 2.2.3 一般荷载作用下结构的动力反应 2.2.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 2.2.5 有阻尼时的杜哈梅积分
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
振幅 相位角
A
y2
v
2
. . . . . . . . .... . . . . . . .... . . . . . . . (g )
第3章 单自由度体系的振动分析工程,振动,稳定,全套,课件
（3-13） ） （3-14） ）
R R R
ρ ρ ρ
y0
y0 y0
y0 ρ y0 y0
ω
. .
. . y y0000
. . .
ρ
y0
.
ρ y
I
0
I II y0
y0 .ω y0
ω
.
y0
ω
.
ω
ρ
y0
y0
y0
ω
.
y0
ω
.
y0
ω
.
ω .y0 ω y0 y0 ρ ω . . y0 y0 y
ω ω
0
.
ρ
ρ ρ y00 ρ y0000
1.临界阻尼 1.临界阻尼
自由振动方程： 自由振动方程： 特征方程： 特征方程：
m&& + cy + ky = 0 y &
2
（3-2） ）
c c 2 s=− ± −ω 2m 2m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为 ， 显然，应有c 作cc。显然，应有 c/2m=ω，即： ω
第 3 章 单自由度体系的振动分析
3.1 单自由度体系的自由振动分析
y (t) c F (t) m k
最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程： 已经得到单自由度体系的运动方程：
& m&& + cy + ky = FP (t ) y
位移反应： 位移反应：
y( t ) = A sin ωt + B cos ωt & & y ( 0) = y 0
课件：单自由度体系的自由振动
超静定结构，查表（形常数）
刚度系数 取决于结构的
柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
三、自由振动微分方程的解
方程： my ky 0
改写为 y k y 0 m
令： 2 k
m
则方程为 y 2 y 0
1.一般解
（二阶线性齐次微分方程）
m y(t)
y
I(t)
惯性力
（1）规定位移（速度、加速度）的正向（定坐标）
（2）考察质点受力
① 结构（弹簧）对质点的弹力（回复力——恒指向原点方向 S(t) ky(t)） ② 沿正向标注质点的惯性力（惯性力——恒与加速度反向 I (t) my(t) ）
（3）列动平衡方程 （动静法——将惯性力作为静力考虑）
Y 0
y A
（位移幅值）
y A2
（加速度幅值）
I mA2
（惯性力幅值）
在运动的任一瞬时质体m都处于平衡状态，在幅值出现时刻也
一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，
结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
正弦表达的通解：
y(t) Asin( t )
2.初位移（t=0 ） y Asin
3.初速度（t=0 ）
v yt0 A cos
4.振幅
A
y2
பைடு நூலகம்
v
2
5.初相角（t=0 ） tg 1 y
v
四、结构的自振周期和频率
∵y(t)为周期函数 sin( t) sin( t 2 ) sin[(t 2 )]
y(t) C1 sint C2 cost
I(t)
（积分常数C1，C2由初始条件确定）
刚度系数 取决于结构的
柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
三、自由振动微分方程的解
方程： my ky 0
改写为 y k y 0 m
令： 2 k
m
则方程为 y 2 y 0
1.一般解
（二阶线性齐次微分方程）
m y(t)
y
I(t)
惯性力
（1）规定位移（速度、加速度）的正向（定坐标）
（2）考察质点受力
① 结构（弹簧）对质点的弹力（回复力——恒指向原点方向 S(t) ky(t)） ② 沿正向标注质点的惯性力（惯性力——恒与加速度反向 I (t) my(t) ）
（3）列动平衡方程 （动静法——将惯性力作为静力考虑）
Y 0
y A
（位移幅值）
y A2
（加速度幅值）
I mA2
（惯性力幅值）
在运动的任一瞬时质体m都处于平衡状态，在幅值出现时刻也
一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，
结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
正弦表达的通解：
y(t) Asin( t )
2.初位移（t=0 ） y Asin
3.初速度（t=0 ）
v yt0 A cos
4.振幅
A
y2
பைடு நூலகம்
v
2
5.初相角（t=0 ） tg 1 y
v
四、结构的自振周期和频率
∵y(t)为周期函数 sin( t) sin( t 2 ) sin[(t 2 )]
y(t) C1 sint C2 cost
I(t)
（积分常数C1，C2由初始条件确定）
第四章单自由度系统振动分解PPT课件
建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律
能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法：
直线振动：
x(t)
Fs (t)
F (t )
Fd (t)
x(t)
m
F (t )
&& m x (t) F (t) Fs (t) Fd (t)
单自由度线性系统的微分方程：
&& & m x (t) cx(t) kx(t) F (t)
)
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t) Asin(nt )
（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条
件。
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
➢ 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。
单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，
这种系统称为单自由度系统.
0
x
k mt
m
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
动
➢系统的输出
振动
简谐振动 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量为 时间的正 弦或余弦
函数
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数
能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法：
直线振动：
x(t)
Fs (t)
F (t )
Fd (t)
x(t)
m
F (t )
&& m x (t) F (t) Fs (t) Fd (t)
单自由度线性系统的微分方程：
&& & m x (t) cx(t) kx(t) F (t)
)
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t) Asin(nt )
（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条
件。
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
➢ 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。
单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，
这种系统称为单自由度系统.
0
x
k mt
m
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
动
➢系统的输出
振动
简谐振动 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量为 时间的正 弦或余弦
函数
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数
结构力学-单自由度体系PPT课件
18
2. 刚架的弹性恢复力
y
y
意义：
B
D
质点单位侧移需施加的力-----侧移刚度K
1
1
K
A
变形图 C
K
要求K, 就要取水平力的平衡
VBA
VDC
因而，就要确定2个柱的剪力，这就
要作出结构在侧移为1 时的弯矩图。
19
K
Δ=1
取半结构
问题
支座水平移动单位位移下 引起的柱间剪力 = K/2
k/2
1
1
等价问题
EI
4．动力荷载 P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同
5．振动方程的建立
m FD
FE
FI
P(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
FD+ FE+ FI+ P(t) = 0
7
例题1: K2 A
EI=∞ C
D
E
m
K1
已知，阻尼系数为C
12EI K1 a3
K2
4EI a
试建立体系的运动微分方程
F G
K1
8
K2 EI=∞
DD
E
FF
m y(t)
G
A
C
K1
K1
解：1）动力自由度为1， 设E处的竖向位移是y(t)
9
K2
EI=∞
D
E
m
A
C
K1
2)考虑EFG部分的受力
E y(t)
F G
K1
x
F mdx
G
由∑MG=0 得：
R
K1y(t)/2
R
2L
2. 刚架的弹性恢复力
y
y
意义：
B
D
质点单位侧移需施加的力-----侧移刚度K
1
1
K
A
变形图 C
K
要求K, 就要取水平力的平衡
VBA
VDC
因而，就要确定2个柱的剪力，这就
要作出结构在侧移为1 时的弯矩图。
19
K
Δ=1
取半结构
问题
支座水平移动单位位移下 引起的柱间剪力 = K/2
k/2
1
1
等价问题
EI
4．动力荷载 P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同
5．振动方程的建立
m FD
FE
FI
P(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
FD+ FE+ FI+ P(t) = 0
7
例题1: K2 A
EI=∞ C
D
E
m
K1
已知，阻尼系数为C
12EI K1 a3
K2
4EI a
试建立体系的运动微分方程
F G
K1
8
K2 EI=∞
DD
E
FF
m y(t)
G
A
C
K1
K1
解：1）动力自由度为1， 设E处的竖向位移是y(t)
9
K2
EI=∞
D
E
m
A
C
K1
2)考虑EFG部分的受力
E y(t)
F G
K1
x
F mdx
G
由∑MG=0 得：
R
K1y(t)/2
R
2L
1--单自由度体系的自由振动
y sy(t)s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y§1 单自由度体系的自由振动一、无阻尼的自由振动：如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。
根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。
式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。
而 1y s W k=⋅ 即 y s W k =⋅因此，将()s k y y s =-+和y s W k =⋅代入式（1）得()0F t ky =-+ （2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。
这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将22()d yF t m dt =-代入式（2）得：22()0d ym ky t dt+= 令2k m ω= dyy dt= （速度） 22d y y dt =（加速度） 则 22()0d ym ky t dt+= 可变为 20y y ω+= （3）此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
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2.2 单自由度体系的强迫振动
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y m受力图 y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
tg
1
y0 0 v
2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 y 从微分方程的解： (t) a sin(t ) 知位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间； T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数； f 1 T 2 圆频率或角频率：2 时间内的振动次数； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：
2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
0.25l 2n 2 500 52.36 / s 2. 荷载频率： 60 60 M 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不 计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。 解：解题的依据 T 2 2 m 2 m m k
1. 水平振动
刚度系数：即位移法的基本体系在质点处单位位移 作用下的杆端力。 M A 3i 3EI k 2 3 l l l 柔度系数：即体系在质点处单位力作用下的位移。 3 2 2 1 1 1l l l EI 2 3 3EI k 3 m 2 m 2 m l T 2 k 3EI
I
l
1
2. 竖向振动
k EA l
I
I
l
EA
T 2 m 2 m 2 ml k EA
3i l
A M图
l
l
例2：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KN，试计算结构 I=∞ 的自振周期。EI1=3.528107Nm2来自EI11
T 2 2 m 2 Wl k 24EI1g
y
y ky
m
k
m y
2.1 单自由度体系的自由振动
二、自由振动微分方程的解 2 微分方程： m ky 0 令： k 方程可改写为： y m 2 y 0 y y(t) C1 sin t C2 cost 方程通解： 根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定 C1 , C2
1.
例3：图示梁l=4m，截面抗弯系数W=534 cm2 ，惯性矩I=7480 cm4 ，弹模E=2.1104KN/cm2 。在跨中有电动机，重量Q=35KN， 转速n=500r/min。电机转动的离心力P=10KN，离心力的竖向分力 为Psint。不计梁的质量，试求梁振动的动力系数和最大正应力。 Psint 1 2 1. 体系自由振动的圆频率： 1 2 3 1 1 1 l l 2 l l
第二节 单自由度体系的振动
1. 2.
单自由度体系的自由振动； 单自由度体系的强迫振动；
3.
阻尼对振动的影响；
2.1 单自由度体系的自由振动
一、自由振动微分方程的建立
y k
m
1. 刚度法：从力系平衡的角度考虑
m受力： 弹性力：-ky，与位移方向相反； y 惯性力： m，与加速度方向相反； 根据达朗伯原理： m ky 0 y 2. 柔度法：从变形协调角度考虑 y 体系受惯性力： fI m m的位移： y fI m y 其中：k— 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力； 1 k — 柔度系数；单位力作用下m产生的位移：
m P(t)
ye
c t 2m
a(sinrt )
其中 a, r, 为与 , c, m, y0, v0 有关的系数。 结论：阻尼是振动的振幅逐渐衰减为0的原因。对于强 迫振动，当 发生共振时，振幅也不会无穷 大。因此阻尼也是结构振动的一个重要因素。
返回目录
3 3 3
EI1
EI1
20 10 6 T 2 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8 A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 l3
l=6m
结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。 EI1 考虑梁AB的平衡可得： 24EI k 3 1 1 l 结构的自振周期：
4.
48 2.1 10 73.48 10 9.8 57.43/ s 3 35 10 4
跨中最大正应力： 3 3 M max Ql Pl (35 10 5.93 10 10 ) 4 17.66 107P max 4 a W 4W 4W 4 5.34 10
自由振动的组成： 一部分由初始位移y0引起的； 另一部分由初始速度v0引起的。 方程的解也可以写成： y(t) a sin(t )
根据初始条件可解得： a y02 v
2 0 2
C2 y0 y(t) C1 cost C2 sin v C1 v0 C1 0 方程的解： (t) y0 sin t v0 cost y
1
2
1
57.43
2
力的放大倍数。
2.3 阻尼对振动的影响
1. 2.
单自由度体系有阻尼振动的微分方程： m cy ky P(t) y k 有阻尼自由振动： 2 m cy ky 0 y k m 微分方程的解为：
y C P(t)
y
ky
cy m y