《创新设计 高考总复习》2014届高考数学一轮复习：易失分点清零(二)函数的概念、图象和性质
《创新设计·高考总复习》2014届高考数学湘教版(理)一轮复习【配套课件】易失分点清零六平面向量
易失分点4 判别不清向量的夹角 【示例 4】► 在△ABC 中，|A→C|＝5，|B→C|＝3，|A→B|＝6，则
A→B·C→A等于
( )．
A．13 B．26 C．－13 D．－26
解析 ∵A→B与C→A的夹角为 180°－∠A，而 cos A＝
|A→B|2＋|A→C|2－|B→C|2 →→
2|AB||AC|
设 t∈R，如果 3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么 t 为何值时， C，D，E 三点在一条直线上？
解 由题设知，C→D＝d－c＝2b－3a，C→E＝e－c＝(t－3)a ＋tb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实 数 k，使得C→E＝kC→D，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. ①若 a，b 共线，则 t 可为任意实数；
此时 a 与 b 的夹角 θ 的值为23π.
(2)由(1)知(a·b)max＝－12， ∴|a＋λb|2＝λ2－λ＋1＝λ－122＋34， ∴当 λ＝12时，|a＋λb|的值最小， 此时a＋12b·b＝0， 这表明a＋12b⊥b.
警示 本题可以通过对已知条件两端平方解决，容易出现 的问题是对向量模与数量积的关系不清导致错误，如认为 |a－kb|＝|a|－|kb|或|a－kb|2＝|a|2－2k|a||b|＋k2|b|2 等都会 得出错误的结果．还有就是在得到 a·b＝－1＋4kk2后，忽视 了 k>0 的限制条件，求错最值．
易失分点3 向量的模与数量积的关系不清致误
【示例 3】► 已知向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，且|a－kb|＝ 3|ka ＋b|，其中 k>0. (1)试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ 的值； (2)当a·b取得最大值时，求实数λ，使|a＋λb|的值最小，并 对这一结果作出几何解释．
[精品]【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学
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抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[解析]
由约束条件x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
由x3＝x＋1， 5y－25＝0，
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练3】 (2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植 面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
解得
A1，252
.
由xx＝ －14， y＋3＝0， 解得 C(1,1)，
由x3－x＋4y5＋y－3＝ 25＝0，0， 解得 B(5,2)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
Hale Waihona Puke (1)∵z＝yx＝yx－ －00.
∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．
观察图形可知 zmin＝kOB＝25.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练 2】 (2012·陕西)设函数 f(x)＝－ln 2xx，－x1＞，0x，≤0， D 是 由 x 轴和曲线 y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的 封闭区域，则 z＝x－2y 在 D 上的最大值为________． 解析 由题知在点(1,0)处的切线的斜率
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
x＋y－1≥0， 【训练 1】 若不等式组x－1≤0，
ax－y＋1≥0a为常数
面区域的面积等于 2，则 a 的值为
《创新设计 高考总复习》高考数学一轮复习：易失分点清零(十二) 解析几何
警示 直线与圆锥曲线相交于两点时，应满足Δ>0,有很多 同学在做此类题时易忽视Δ>0，有些题目，不用Δ>0，对最 终结果不受影响，但在做一些存在型探索题时，若忽视 Δ>0，就会导致错误结果，只要遇到直线与圆锥曲线相交 问题，就要想到Δ>0，可以一开始就利用Δ>0求出一个范围， 也可以最后利用Δ>0进行检验.
易失分点3 解决直线与圆锥曲线的相交问题时忽视Δ>0的条件
【示例 3】► 已知 m>1.直线 l：x－my－m22＝ 0，椭圆 C：mx22＋y2＝1，F1，F2 分别为椭 圆 C 的左、右焦点． (1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的 重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求 实数m的取值范围．
y1＋y2＝－m2 ，y1y2＝m82－12. 由于 F1(－c,0)，F2(c,0)，故 O 为 F1F2 的中点． 由 G、H 分别为△AF1F2，△BF1F2 的重心， 可知 Gx31，y31，Hx32，y32， |GH|2＝x1－9 x22＋y1－9 y22. 设 M 是 GH 的中点，则 Mx1＋6 x2，y1＋6 y2，由题意可知， 2|MO|<|GH|，
即 4x1＋6 x22＋y1＋6 y22<x1－9 x22＋y1－9 y22. 即 x1x2＋y1y2<0. 而 x1x2＋y1y2＝my1＋m22my2＋m22＋y1y2 ＝(m2＋1)m82－12， ∴m82－12<0，即 m2<4.又∵m>1 且 Δ>0， ∴1<m<2.∴m 的取值范围是(1,2)．
易失分点清零（十二） 解析几何（二）
《创新设计·高考总复习》2014届高考数学湘教版(理)一轮复习【配套课件】易失分点清零十一解析几何一
易失分点3 忽视零截距致误 【示例3】► 已知直线l1：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)在两坐标
轴上的截距相等，求直线l的方程． 解 当直线经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距 都为0，此时2＋a＝0，解得a＝－2，此时直线方程为－x ＋y＝0，即x－y＝0. 当直线不经过坐标原点，即a≠－2时，由直线在两坐标轴
①
过 A 可作该圆的两条切线，则 A 在圆 C 外，
∴1＋4＋a＋4＋a2>0，即 a2＋a＋9>0.
②
由①②可得：－23
32 <a< 3
3 .
∴a
的取值范围是－2
3
3，2
3
3
答案
－2
3，2
3
3 3
警示 若已知圆的一般方程（含参数），切记注 意应用圆的充要条件，否则会导致错误．
交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23， 求△AOB 面积的最大值． 解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3. (2)当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝ kx＋m. 由已知 1|m＋|k2＝ 23，得 m2＝34(k2＋1)．
易失分点2 忽视圆存在的条件
【示例2】► 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，过 定点A(1,2)可作该圆的两条切线，则a的取值范围为 ________．
解析 圆 C 的方程可变形为：x＋a22＋(y＋1)2＝4－43a2，
其中4－43a2>0，即－2
3
32 <a<
3
3 .
标或纵坐标结合直线的斜率来表示弦长，即 1＋k2·|x1－x2|
《创新设计》2014届高考数学北师大版(文科)第一轮复习方案【配套word版文档】：第6讲_函数的奇偶性与周期性
课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·九江模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x （x ≥0），2x －1（x <0），则该函数是( ) A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减2．函数f (x )＝a 2x －1a x (a >0，a ≠1)的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－134＝( ) A.32 B ．－32C.12 D ．－126．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图像关于原点对称，则f a 2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．[2012·鹰潭模拟] 设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1. 11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( )A ．y ＝|x |B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．[2012·石嘴山二联] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．[2013·忻州一中月考] 命题p ：任意x ∈R ，3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( )A ．p 或q 真B ．p 且q 真C ．綈p 真D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．[2012·临川模拟] 设函数f (x )＝2 011x ＋1＋2 0102 011x ＋1＋2 012sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝__________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x 1－x. (1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ； (2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(六)A【基础热身】1．C [解析] x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；x <0时，f (－x )＝1－2x ＝－f (x )．所以f (x )为奇函数，又由图像知为增函数．故选C.2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a－x ＝－(a x －a －x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图像关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A.4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1，∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3.【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A. 6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A. 8．A [解析] 判断出函数f (x )为奇函数和增函数．故选A.9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．①②③ [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以①正确，由f (－x )＋f (x )＝0，可推得选项②③正确，④中，要求f (－x )≠0，故④错误．11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0；当x ≥0时，f (x )>－2恒成立．综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1. (2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x ＝－x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2， 因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法)【难点突破】13．解：(1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，所以b ＝1.所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，所以a ＝2. (2)方法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 方法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得 －2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0.整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 课时作业(六)B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x ＋e －x 为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13. 3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D. 6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图像向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，该图像的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－15[解析] 因为f (x ＋2)f (x )＝1，所以f (x ＋4)f (x ＋2)＝1，于是有f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，f (－5)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15. 10．－9 [解析] 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10，所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.11．4 021 [解析] f (x )＝2 011（2 011x ＋1）－12 011x ＋1＋2 012sin x ＝－12 011x ＋1＋2 012sin x ＋2 011.而g (x )＝－12 011x ＋1＋12＋2 012sin x 为奇函数，∴f (x )＝g (x )＋2 011－12，则可得出结论．12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：任意a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b 1＋ab 1－a ＋b 1＋ab＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， 所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b 1＋ab. (2)任意x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*)方法一：因为f (x )为偶函数，所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3. 所以x 的取值范围为x ⎪⎪－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5. 方法二：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以(*)等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64， ⎩⎨⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R . 所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3. 所以x 的取值范围为x⎪⎪⎪ )－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习：第二篇 第9讲 函数的应用
第9讲 函数的应用A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )．解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .答案 D2．(2013·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( )．A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B4．(2013·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x－25x ＋12，∵x ∈N *，∴y x ≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2013·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )．解析 由题意得2xy ＝20，即y ＝10x ，当x ＝2时，y ＝5，当x ＝10时，y ＝1时，排除C ，D ，又2≤x ≤10，排除B.答案 A2．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克 解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·阜阳检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y＝f (x )，则y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．解析 将P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1. 答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速度移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c .6．(13分)(2013·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r ×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π. (2)设运动场的造价为y 元，y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r)－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π. 令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2，当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0，∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r ＝40时，y min ≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习配套word版文档：第十二篇 第3讲 数学归纳法.pdf
第 3 讲 数学归纳法
A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1＞16247(n∈N*)成立，其初始值至
少应取
( )．
A．7
B．8
C．9
D．10
解析
左边＝1＋12＋14＋…＋2n1－1＝11－－2112n＝2－2n1－1，代入验证可知 n 的最小
4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；
5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；
一个整数 n 所拥有数对为(n－1)对．
学海无涯
(n－1)n 设 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴ 2 ＝60，
∴n＝11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12，
12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，
∴第 60 个数对为(5,7)．
(1)求 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，试求使得 Sn<2n 成立的最小正整数 n，并给出 证明． 解 (1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想 an＝2n＋1. (2)Sn＝n(3＋22n＋1)＝n2＋2n，使得 Sn<2n 成立的最小正整数 n＝6. 下证：n≥6(n∈N*)时都有 2n>n2＋2n. ①n＝6 时，26>62＋2×6，即 64>48 成立； ②假设 n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k 成立，那么 2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2 ＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即 n＝k＋1 时，不等式成立； 由①、②可得，对于所有的 n≥6(n∈N*)
《创新设计·高考总复习》2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习【配套word版文档】：第3篇 第1讲
第三篇导数及其应用第1讲导数及导数的计算分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为()．A．1 B．2C．e D.1 e解析由题意知y′＝e x，故所求切线斜率k＝e x|x＝0＝1.答案 A2．(2013·合肥模拟)函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是()．A．0 B．2cos 1－sin 1C．cos 1－sin 1 D．1解析y′＝2x cos x－x2sin x，当x＝1时，y′＝2cos 1－sin 1.答案 B3．(2012·青岛一模)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()．A．－1 B.1 2C．－2 D．2解析∵y′＝－sin2x－(1＋cos x)cos xsin2x＝－1－cos xsin2x，∴y′|x＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a＝－1，故选A.答案 A4．(2013·广州模拟)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()．A.278B．－2C．2 D．－27 8解析设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a，①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0或t＝3 2.分别将t＝0和t＝32代入①式，得k＝－a和k＝274－a，由题意得它们互为相反数得a＝27 8.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．解析由已知条件可得直线的斜率k＝12，y′＝(ln x)′＝1x＝12，得切点的横坐标为x＝2，切点坐标为(2，ln 2)．由点(2，ln 2)在切线y＝12x＋b上可得b＝ln 2－12×2＝ln 2－1.答案ln 2－16．(2012·金华十校联考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x ＋3上，且在第二象限内．已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析由y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.曲线C在点P处的切线的斜率为2，令y′＝3x2－10＝2，得x2＝4，因为点P在第二象限，∴x＝－2，又点P在曲线C上，∴y＝－8＋20＋3＝15，则点P的坐标为(－2,15)．答案(－2,15)三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，已知A(-1,2)为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a(a<-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S.解(1)由条件知点A(-1,2)为直线l1与抛物线C的切点，∵y′=4x，∴直线l1的斜率k=-4，所以直线l1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0.(2)点A的坐标为(-1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，-4a-2)，∴△ABD的面积为S＝12×|2a2－(－4a－2)|×|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1，∴⎩⎨⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－18，所以切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)． 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.分层B 级 创新能力提升1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *，则f 2 013(x )等于( )．A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析 f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f 2 013(x )＝cos x . 答案 C2．(2013·豫东、豫北十所名校测试)在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1，得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A. 答案 A3．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴f ′(1)∈[2，2]． 答案 [2，2]4．(2013·湖南十二校联考)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 013的值为________．解析 ∵y ′＝(n ＋1)x n ，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，即y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·x 3·…·x 2 013＝12×23×34×…×2 0132 014＝12 014. 答案 12 0145．(2012·佛山调研)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14， 曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8，∴曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －14＝8(x －2)，即8x －y －2＝0.(2)由已知得a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x 3， ∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在[1,2]上是减函数． g (x )min ＝g (2)＝92，∴a >92， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞.6．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。
《创新设计 高考总复习》2014届高考数学(人教B版 全国专用)一轮复习：易失分点清零(十二) 解析几何(二)
易失分点清零(十二) 解析几何(二)1. 已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则P 点的轨迹是( )．A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆解析 由已知，得(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|5，即动点P (x ，y )到定点(1,2)和定直线3x ＋4y －11＝0的距离相等，而定点(1,2)在直线3x ＋4y －11＝0上，所以P 点的轨迹是过点(1,2)且与直线3x ＋4y －11＝0垂直的直线． 答案 A2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 要使mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y21n ＝1是焦点在y 轴上的椭圆须有⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，1m <1n⇔m >n >0，故互为充要条件．答案 C3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )．A.52B.32C.352D.23解析 双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，整理得b 2＝54a 2，所以有c 2－a 2＝54a 2，c 2＝94a 2，即c ＝32a ，离心率e ＝32，选B.答案 B4．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )．A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1解析 设AP 中点为(x ，y )，则P (2x,2y ＋1)在2x 2－y ＝0上，即2(2x )2－(2y ＋1)＝0，∴2y ＝8x 2－1.答案 C5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( )．A ．28B ．32C ．20D ．40解析 双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．所以|AB |＝2p sin 2α＝2×8⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32(α为直线AB 的倾斜角)．答案 B6．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 解析 由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP→＝(x ＋2，y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y ·y ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．答案 B7．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是点M 的坐标满足方程y ＝－2x 的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 点M 在曲线y 2＝4x 上，其坐标不一定满足方程y ＝－2x ，但当点M 的坐标满足方程y ＝－2x 时，则点M 一定在曲线y 2＝4x 上，如点M (4,4)时，故选B. 答案 B8．设θ是三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝15，则方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线为( )．A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析 由条件知sin θ·cos θ＝－1225，且θ∈(0，π)，从而sin θ>0，cos θ<0，故选C. 答案 C9．(2012·山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为9.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D10．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e ，且|PF 1|＝e |PF 2|，则e 的值为( )．A.22B ．2－ 3C.33D ．2－ 2解析 设椭圆的中心在原点，焦距为2c ，则由题意，知抛物线的准线为x ＝－3c ，由|PF 1|＝e |PF 2|，得|PF 1|PF 2＝e ，由于P 为椭圆与抛物线的一个公共点，设点P 到抛物线的准线的距离为d ，则由抛物线的定义，知|PF 1|d ＝e .又点P 是椭圆上的点，故抛物线的准线也是椭圆的左准线，所以a 2c ＝3c ，解得e ＝33. 答案 C11．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1(m >0)的离心率等于32，则m ＝________.解析 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，则由方程，得a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1.(2)当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1. 则由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ， 所以a ＝4.故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. 答案 1或1612．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，且原点到直线l 的距离为34c (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为________．解析 因为直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，所以其方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.又原点到直线l 的距离为34c ，所以ab a 2＋b2＝34c .又a 2＋b 2＝c 2，所以4ab ＝3c 2，即16a 2(c 2－a 2)＝3c 4.所以3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a >0，e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2>a 2＋a 2a 2＝2.所以e 2＝4，故e ＝2.答案 213．已知F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.当点P在y 轴上运动时，N 点的轨迹C 的方程为________．解析 ∵MN →＝2 MP →，故P 为MN 中点．又∵PM →⊥PF →，P 在y 轴上，F 为(1,0)，故M 在x 轴的负半轴上，设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2，又∵PM →⊥PF →，∴PM →·PF →＝0，即－x ＋y 24＝0，∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程． 答案 y 2＝4x (x >0)14．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，则F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2.当y ≠0时，则kF 1P ＝cy b 2＋2c 2，kQF 2＝cy b 2－2c2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝(b 2＋2c 2)(2c 2－b 2)c 2，y 2>0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1；当y ＝0时，此时F 2为PF 1的中点，由a 2c －c ＝2c ，得e ＝33.综上，得33≤e <1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，115.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M (3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点． (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2＝0. (1)解 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，9a 2＋1b2＝1⇒⎩⎨⎧a 2＝18，b 2＝2.所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1.(2)解 ∵直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m ， ∴直线l 的方程为y ＝13x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋m ，x 218＋y 22＝1⇒2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0.∵直线l 交椭圆于A ，B 两点，∴Δ＝(6m )2－4×2×(9m 2－18)>0⇒－2<m <2， 所以m 的取值范围是(－2,0)∪(0,2)． (3)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则k 1＝y 1－1x 1－3，k 2＝y 2－1x 2－3.由2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0，得 x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝92m 2－9. 又y 1＝13x 1＋m ，y 2＝13x 2＋m ，代入k 1＋k 2＝(y 1－1)(x 2－3)＋(y 2－1)(x 1－3)(x 1－3)(x 2－3)，整理得k 1＋k 2＝23x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)＋6－6m(x 1－3)(x 2－3)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫92m 2－9＋(m －2)(－3m )＋6－6m (x 1－3)(x 2－3)＝0，∴k1＋k2＝0.。
《创新设计·高考总复习》2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习【配套word版文档】：第10篇 第2讲
第2讲排列与组合分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()．A．12种B．18种C．24种D．36种解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．答案 A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()．A．24种B．60种C．90种D．120种解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案 B3．如果n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2＋C n n＝()．nA．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排除答案D.故选B.答案 B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()．A．42 B．30C．20 D．12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案636．(2013·郑州模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．解析a，b，c中不含0时，有A37个；a，b，c中含有0时，有2A27个．故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数．答案294三、解答题(共25分)7．(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C310＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C510＝252种选法．(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C512－C15·C47－C57＝596种选法．(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有C17·C15种选法．第2步，选2男1女补足5人有C26·C14种选法．第3步，为这3人安排工作有A33方法．由分步乘法计数原理，共有C17C15·C26C14·A33＝12 600种选法．8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C25A22种涂法；第2类，用五色中三种色，共有C35C13C12A22种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A44种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A22＋C35C13C12A22＋C45A44＝260种不同的涂色方法．分层B级创新能力提升1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()．A．576种B．720种C．864种D．1 152种解析由题意，先排1,3,5,7，有A44种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A24种排法，所以共有A44×3×A24＝864种排法．答案 C2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()．A．232 B．252C．472 D．484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，乘余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.答案 C3．(2013·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A45种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C23A35种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法．因此，共有不同的出牌方法A55＋A25＋A45＋C23A35＋A35＋C23A45＝860(种)．答案8604．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F 有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法． 答案 205．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；(4)法一 (直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)．6．在m (m ≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i ＜j ≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i 与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n (n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6.(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明：2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，…. (1)解 由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15，则a n ＝C 2n ＋1＝n (n ＋1)2.(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3.。
【创新方案】2014年高考数学一轮复习资料
第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图【2013年高考会这样考】1．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点．2．三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势．【复习指导】1．备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．2．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．基础梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x 轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变．一个规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列说法正确的是( )． A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D ．棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D2．(2012²杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )． A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面． 答案 C3．(2011²陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3解析 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝22³2－13³π³12³2＝8－23π，正确选项为A. 答案 A4．(2011²浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析 所给选项中，A 、C 选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项B 符合． 答案 B5．(2011²天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m 3. 解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3³2³1＋13π³3＝6＋π(m 3)．答案 6＋π考向一 空间几何体的结构特征【例1】►(2012²天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )． A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上[审题视点] 可借助几何图形进行判断．解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．选B.答案 B三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【训练1】以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 B考向二空间几何体的三视图【例2】►(2011²全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．解析由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.答案 D(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【训练2】(2011²浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图不对，故B错．C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D.答案 D考向三空间几何体的直观图【例3】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )．A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2[审题视点] 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可．解析如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′²C ′D ′＝12³a ³68a ＝616a 2.答案 D直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论． 【训练3】 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )． A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形解析将直观图还原得▱OABC ，则∵O ′D ′＝2O ′C ′＝2 2 (cm)，OD ＝2O ′D ′＝4 2 (cm)，C ′D ′＝O ′C ′＝2 (cm)，∴CD ＝2 (cm)， OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋422＝6 (cm)，OA ＝O ′A ′＝6 (cm)＝OC ，故原图形为菱形． 答案 C阅卷报告9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点.【防范措施】应从多角度细心观察.【示例】►一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.实录①②⑤正解①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形．答案①②③⑤【试一试】(2011²山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是( )．A． 3 B．2C．1 D．0[尝试解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选A.答案 A第2讲空间几何体的表面积与体积【2013年高考会这样考】考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．基础梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积 体 积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h圆锥S 侧＝πrlV ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)lV ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12Ch ′ V ＝13Sh正棱台 S 侧＝12(C ＋C ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．两种方法(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A ．4πS B ．2πS C ．πSD.233πS 解析 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，则r ＝ Sπ，又h ＝2πr ＝2πS ，∴S 圆柱侧＝(2πS )2＝4πS . 答案 A2．(2012²东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，则长方体的体对角线长为2a 2＋a 2＋a2＝6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a .∴S 球＝4πR 2＝6πa 2. 答案 B3．(2011²北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C4．(2011²湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2³32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18.答案 B5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 解析 V ＝4π3R 3＝43π，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝4π²3＝12π.答案 12π考向一 几何体的表面积【例1】►(2011²安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积． 解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.答案 C以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )．A. 3 B．2C．2 3 D．6解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2³1³3＝6.答案 D考向二几何体的体积【例2】►(2011²广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3³3³3＝9 3.答案 C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． 【训练2】 (2012²东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．A.283πB.163π C.43π＋8 D ．12 π 解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π³22³2＋43π＝283π.答案 A考向三 几何体的展开与折叠【例3】►(2012²广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ²BC ＝13³2³22＝423，由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423.(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题． 【训练3】 已知在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋PA 1的最小值为________．解析 PA 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．铺平平面A 1BC 1、平面BCC 1，如图所示．CP ＋PA 1≥A 1C .在△AC 1C 中，由余弦定理得A 1C ＝62＋22－2²6²2²cos 135°＝50＝52，故(CP ＋PA 1)min ＝5 2.答案 5 2难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．【示例1】► (2010²安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )．A ．280B ．292C ．360D ．372【示例2】► (2011²全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系【2013年高考会这样考】1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【复习指导】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( )． A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确． 答案 D2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析 由已知直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾.答案 C3．(2011²浙江)下列命题中错误的是( )．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析 对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的． 答案 D4．(2011²武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )．A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对 解析如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1；CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12³42＝24(对)． 答案 B5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分． 答案 3或4考向一 平面的基本性质【例1】►正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形[审题视点] 过正方体棱上的点P 、Q 、R 的截面要和正方体的每个面有交线． 解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】►(2011²宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[审题视点] (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解如图，取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.考向四 点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． [审题视点] (1)由EF ∥CD 1可得； (2)先证CE 与D 1F 相交于P ，再证P ∈AD . 证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B .∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1，。
【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质增分特色训练 理 湘教版
易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质1.下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析 对于A ，f (x )是反比例函数，可知其在(0，＋∞)上是减函数，所以A 符合题意；对于B ，可知其是开口向上的抛物线，在(－∞，1]上是减函数，故不符合题意；对于C ，可知其是指数函数，且底数e>1，故其在(0，＋∞)上是增函数；对于D ，可知其是底数大于1的对数函数，其在(－1，＋∞)上递增． 答案 A2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －－f x －，x >0，则f (3)的值为( )． A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析 f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. 答案 D3．f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )．A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调递减时，由⎩⎪⎨⎪⎧f，f 得a ≤－3；当f (x )在[1,3]上单调递增时，f ′(x )≥0中，Δ＝4a 2－4×5≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a <1，f或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a >3，f，得a ∈[－5，＋∞)．综上：a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)，故选C. 答案 C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是 ( )．解析 根据分段函数的解析式，可得此函数的图象，如图所示．由于此函数在x ∈[－1,1]上函数值恒为非负值，所以|f (x )|的图象不发生改变，故D 选项错误． 答案 D5．(2013·哈尔滨月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1B ．(1,2)C ．(1,2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由题意得a >0，所以内函数u ＝2－ax 2在(0,1)上为减函数，而函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上也为减函数，则外函数y ＝log a u 必是增函数(复合函数单调性是同增异减)，所以a >1.同时u >0在(0,1)上恒成立，故2－a ×1≥0即a ≤2.综上有a ∈(1,2]． 答案 C6．已知函数f (x )的定义域为[1,9]，且当1≤x ≤9时，f (x )＝x ＋2，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为( )．A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]解析∵函数f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9，解得1≤x≤3.∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．∵当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，∴当1≤x≤3时，也有f(x)＝x＋2，即y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(x＋2)2＋(x2＋2)＝2(x＋1)2＋4，∴当x＝1时，y取得最小值，y min＝12，当x＝3时，y取得最大值，y max＝36，∴所求函数的值域为[12,36]，故选C.答案 C7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是 ( )．解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B项．又g(x)在x＝0处无意义，故f(x)·g(x)在x＝0处无意义，排除C、D两项．答案 A8．(2013·山西四校联考)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是 ( )．A．(3,7) B．(9,25) C．(13,49) D．(9,49)解析函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R上是增函数，故有f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)恒成立，即f(x2－6x＋21)<f(－y2＋8y)恒成立，即(x－3)2＋(y－4)2<4恒成立，故以(x，y)为坐标的点在以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内，且直线x＝3右边的部分，而x2＋y2的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距离的平方，故最大值是原点到圆心的距离加上半径的长的平方49，最小值是原点到(3,2)的距离的平方13，故选C.答案 C9．(2013·衡阳六校联考)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 因为函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 为奇函数，且在x ＝0处有定义，故f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1.故函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x .令f (x )<0得0<1＋x 1－x <1，即x∈(－1,0)． 答案 A10．(2013·九江质检)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案 B11．(2013·东北五校联考)函数y ＝log 0.5x －的定义域是________．解析 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1，34<x ≤1.因此，函数y ＝log 0.5x －的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 12．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )＝________.解析 由题意，知x >0，设t ＝2x ＋|x |＝1x .则x ＝1t. 故log 2x |x |＝12log 2x 2＝log 2x ＝log 21t ＝－log 2t ，所以f (t )＝－log 2t ，即f (x )＝－log 2x (x >0)． 答案 －log 2x (x >0)13．(2013·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④. 答案 ①②④14．已知f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________． 解析 复合函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)可以分解为外函数y ＝lg u 和内函数u ＝－x 2＋8x －7.外函数是增函数，故内函数在(m ，m ＋1)上必是增函数．故有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3. 答案 [1,3]15．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，其中所有正确命题的序号是________． 解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案 ①②④。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第二篇 第2讲 函数的单调性与最值
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第2讲函数的单调性与最值A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·长沙一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是()．A．y＝x2B．y＝|x|＋1C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|解析对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．答案 C2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x ＋4的解集为()．A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析法一由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)>2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6>2x ＋4，得x>－1，选B.法二设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2>0，g(x)在R上为增函数．由g(x)>0，即g(x)>g(－1)．∴x>－1，选B.答案 B3．(2012·浙江)设a>0，b>0. ()．A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b解析利用原命题与逆否命题的真假性相同求解．当0<a≤b时，显然2a≤2b,2a≤2b<3b，∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．∴它的逆否命题：若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >b 成立，故A 正确，B 错误．当0<a ≤b 时，由2a ≤2b,2a <3b ，知2a －2a 与2b －3b 的大小关系不确定，∴C 不正确，同理D 不正确．答案 A4．(2013·苏州调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )．A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析 g (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________. 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧ a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1. 答案 ⎩⎨⎧a 2－2a ，－2≤a <1－1，a ≥1 6．奇函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式(x 2－4)f (x )<0的解集为________．解析 当x 2－4>0，即x <－2或x >2时，f (x )<0.由f (x )的图象知，x <－4或2<x <4；当x 2－4<0，即－2<x <2时，f (x )>0，则－2<x <0.故x ∈(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)．答案(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.(1)证明设x1<x2，∴Δx＝x2－x1>0，∴f(Δx)>1，∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．(2)解f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，∴－1<m<4 3.8．(13分)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0. f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2. f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 C2．(2013·太原质检)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间 为( )． A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 解析 f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |，2－|x |≤12，12，2－|x |>12⇔ f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，x ≤－1或x ≥1，12，－1<x <1.f 12(x )的图象如右图所示，因此f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析 法一 奇函数关于原点对称.∵当0<x <2时，f (x )>0⇒－2<x <0时，f (x )<0；当2<x ≤5时，f (x )<0⇒－5≤x <－2时，f (x )>0.∴综上，f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．法二 由于f (x )为在[－5,5]上的奇函数，通过数形结合可解决问题． 作图可得{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案 {x |－2<x <0或2<x ≤5}4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是____________．解析 根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确． 答案 ①③④三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递增，所以函数f (x )单调递增；当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递减，所以函数f (x )单调递减．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.(i)当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ， 解得x >log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；(ii)当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ， 解得x <log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 6．(13分)(2012·潍坊一模)已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，当且仅当0<x <1时，f (x )<0，且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1,1)上单调递减．证明 (1)函数f (x )的定义域为(－1,1)，再由f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ， 令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0， ∴f (x )＝－f (－x )，即f (x )为奇函数．(2)先证f (x )在(0,1)上单调递减．令0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，即x 2－x 11－x 2x 1>0. 又∵(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1＋1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1，∴0<x 2－x 11－x 2x 1<1. 由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2<0，即f (x 2)<f (x 1)， ∴f (x )在(0,1)上单调递减，又f (x )为奇函数且f (0)＝0，∴f (x )在(－1,1)上单调递减.。
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易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质1.下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析 对于A ，f (x )是反比例函数，可知其在(0，＋∞)上是减函数，所以A 符合题意；对于B ，可知其是开口向上的抛物线，在(－∞，1]上是减函数，故不符合题意；对于C ，可知其是指数函数，且底数e>1，故其在(0，＋∞)上是增函数；对于D ，可知其是底数大于1的对数函数，其在(－1，＋∞)上递增． 答案 A2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ⎩⎨⎧log 2(8－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为 ( )．A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析 f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. 答案 D3．f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )．A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调递减时，由⎩⎨⎧f ′(1)≤0，f ′(3)≤0得a ≤－3；当f (x )在[1,3]上单调递增时，f ′(x )≥0中，Δ＝4a 2－4×5≤0或⎩⎨⎧Δ>0，－a <1，f ′(1)≥0或⎩⎨⎧Δ>0，－a >3，f ′(3)≥0，得a ∈[－5，＋∞)．综上：a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)，故选C.答案 C4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是( )．解析 根据分段函数的解析式，可得此函数的图象，如图所示．由于此函数在x ∈[－1,1]上函数值恒为非负值，所以|f (x )|的图象不发生改变，故D 选项错误． 答案 D5．(2013·哈尔滨月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(1,2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析由题意得a>0，所以内函数u＝2－ax2在(0,1)上为减函数，而函数f(x)＝log a(2－ax2)在(0,1)上也为减函数，则外函数y＝log a u必是增函数(复合函数单调性是同增异减)，所以a>1.同时u>0在(0,1)上恒成立，故2－a×1≥0即a≤2.综上有a∈(1,2]．答案 C6．已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为()．A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]解析∵函数f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9，解得1≤x≤3.∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．∵当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，∴当1≤x≤3时，也有f(x)＝x＋2，即y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(x＋2)2＋(x2＋2)＝2(x＋1)2＋4，∴当x＝1时，y取得最小值，y min＝12，当x＝3时，y取得最大值，y max＝36，∴所求函数的值域为[12,36]，故选C.答案 C7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()．解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B项．又g(x)在x＝0处无意义，故f(x)·g(x)在x＝0处无意义，排除C、D两项．答案 A8．(2013·山西四校联考)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y )<0恒成立，则当x >3时，x 2＋y 2的取值范围是 ( )．A ．(3,7)B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49)解析 函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R 上是增函数，故有f (x 2－6x ＋21)<－f (y 2－8y )恒成立，即f (x 2－6x ＋21)<f (－y 2＋8y )恒成立，即(x －3)2＋(y－4)2<4恒成立，故以(x ，y )为坐标的点在以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内，且直线x ＝3右边的部分，而x 2＋y 2的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距离的平方，故最大值是原点到圆心的距离加上半径的长的平方49，最小值是原点到(3,2)的距离的平方13，故选C. 答案 C9．(2013·衡阳六校联考)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 因为函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 为奇函数，且在x ＝0处有定义，故f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1.故函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x .令f (x )<0得0<1＋x 1－x <1，即x ∈(－1,0)． 答案 A10．(2013·九江质检)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案 B11．(2013·东北五校联考)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是________． 解析 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1，34<x ≤1.因此，函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤34，112．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )＝________.解析 由题意，知x >0，设t ＝2x ＋|x |＝1x .则x ＝1t .故log 2x |x |＝12log 2x 2＝log 2x ＝log 21t ＝－log 2t ， 所以f (t )＝－log 2t ，即f (x )＝－log 2x (x >0)． 答案 －log 2x (x >0)13．(2013·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案 ①②④14．已知f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析 复合函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)可以分解为外函数y ＝lg u 和内函数u ＝－x 2＋8x －7.外函数是增函数，故内函数在(m ，m ＋1)上必是增函数．故有⎩⎨⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0， 解得1≤m ≤3. 答案 [1,3]15．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，其中所有正确命题的序号是________． 解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．答案 ①②④。