水平面的圆盘模型史上最全版

水平面的圆盘模型史上最全版
模型概述：
水平方向上的“圆盘”模型大多围绕着物体与圆盘间的最大静摩擦力为中心展开的，因此最大静摩擦力的判断对物体临界状态起着关键性的作用。

静摩擦力通常属于被动力，应根据物体所受主动力的情况以及其运动状态判断物体的静摩擦力的大小，如果物体受到的静摩擦力已经达到最大静摩擦力，则应考虑物体是否还受到其他力的作用。

模型讲解：
1.单个物体置于水平圆盘上
如图所示，水平圆盘上放有质量为m 的物块A （可视为质点），物块A 到转轴的距离为r 。

物块A 和圆盘间最大静摩擦力f m 等于滑动摩擦力，动摩擦因数为μ。

当圆盘以角速度ω转动时：
(1) 若物体与圆盘无相对滑动，则物体随圆盘一起做匀速圆周运动的向心力全部由静摩擦力提供，所以有mg f r m f m μω=≤=2
，解得r
g
μω≤。

(2) 当r
g
μω>
时，mg f r m F m n μω=>=2
，物体所受静摩擦力不足以提供其做圆
周运动的向心力，物体将从圆周与切线的夹角范围内飞出。

(3) 若在物体A 与转轴间有一不可伸长的细线相连，一开始绳子只是拉直，没有张力。

设线对物体的拉力为T ，当r
g
μω≤
时，静摩擦力提供向心力，0=T ；当r
g
μω>
时，
必有r m T mg 2
ωμ=+，所以必有0>T ，物体必受到指向圆心O 点的细线的拉力，而且当ω增大时，T 也随之增大。

若此时剪断细线，物体将从圆周与切线的夹角范围内飞出。

2.两个物体叠放在水平圆盘上
如图所示，质量为m 1的物体A 叠放在质量为m 2的物体B 上，A 与B 、B 与圆盘的动摩擦因数分别为μ1和μ2。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

当圆盘以角速度ω转动时，分别对B 和A 受力分析可知：
（1）若21μμ<，当r
g
1μω≤
时，A 与B 、B 与圆盘无相对滑动；当r
g
1μω>
时，
物体A 将从圆周与切线的夹角范围内飞出，此时B 受到圆盘的静摩擦力由()r
m m f B 2
21ω+=突变为r m f B 2
2ω=；当r
g
2μω>
时，B 也将从圆周与切线的夹角范围内飞出；若将B 与转
轴用细线连接，当r
g
2μω>
时，细线将对B 产生拉力T ，且当ω增大时，T 也增大；若将A
与转轴用细线连接，当r
g
1μω=
时，细线将对A 产生拉力T ，然后，对A 有：
r m g m T 2111ωμ=+，对B 有：r m g m f B 2211ωμ=-，所以当ω增大时，T 和B f 也增大，当B f 达到最大时，A 受到B 的摩擦力A f 将逐渐减小到0，然后反向增大，当A f 再次达到最大
时，B 将飞出。

（2）若21μμ>，当r
g
2μω≤
，A 与B 、B 与圆盘无相对滑动；当r
g
2μω=
时，B 、
A 将一起从圆周与切线的夹角范围内飞出；若将
B 与转轴用细线连接，当r
g
2μω>
时，细
线将对B 产生拉力T ；当r
g
1μω>
时，A 将从圆周与切线的夹角范围内飞出，此时B 受到
圆盘的静摩擦力由()g m m f B 212+=μ突变为g m f B 22μ=，细线对B 的拉力将由
()()g m m T 2121+-=μμ突变为()g m T 221μμ-=，然后再随ω的增大而增大；若将A 与转
轴用细线连接，当r
g
2μω>
时，细线将对A 产生拉力T ，然后，对A 有：r m f T A 2
1ω=+，
对B 有：()r m f g m m A 2
2212ωμ=-+，所以当ω增大时，T 也增大，而A f 将逐渐减小到0，然后反向增大，当A f 达到最大时，B 将飞出。

总结：当有细绳与A 相连时，在ω增大的过程中，当某个物体受到的摩擦力达到最大时，细绳将产生拉力T 。

当B 受到圆盘的摩擦力B f 达到最大时，A 、B 间的摩擦力A f 将逐渐减小到0，然后反向增大，此过程中B f 将保持最大保不变。

当A f 反向增加到最大时，B 将从A 与圆盘中间飞出。

当两个物体分别放置在圆盘上，或再在物体上叠放一个物体，可以综合利用上述两种模型进行分析。

3.两个物体分别放在圆盘转轴的两侧，且用细线相连
如图所示，质量为m 1的物体A 和质量为m 2的物体B 分别放置在圆盘转轴的两侧，并用细线连接，细线正好经过转轴且刚好被拉直,物体A 和物体B 与圆盘的动摩擦因数都为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

当圆盘以角速度ω转动时:
对A ，有12
1r m T f A ω=+,g m f A 1μ≤；对B ，有22
2r m T f B ω=+，g m f B 2μ≤。

（1）若r r r ==21，当r
g
μω≤
时，0=T ，A f 和B f 随ω增大而同时增大到最大值。

当r
g
μω>
时，对A 有：r m T f A 21ω=+，对B 有：r m T f B 2
2ω=+，两式相减可得：
()r m m f f B A 221ω-=-，所以：
①若21m m =，A f 和B f 将保持最大值不变，T 将随ω增大而增大，物体A 、B 将与圆盘保持相对静止直到绳断为止。

②若21m m >，此时A f 已经达到最大值，所以B f 将逐渐减小到0，然后反向增加到最大值，然后物体A 、B 将一起从A 侧飞出。

整个过程中，T 从0一直增大。

（2）若21r r >，A f 先达到最大值。

当1
r g
μω≤
时，0=T 。

当1
r g
μω>
时，对A 有：
121r m T f A ω=+；对B 有：222r m T f B ω=+，两式相减可得()22211ωr m r m f f B A -=-，此
时可得以下几种情况：
①2211r m r m =：A f 和B f 将保持不变，而T 随ω增大而增大，直到绳断为止。

②2211r m r m >：因为此时A f 已经达到最大值，所以A f 将保持不变，B f 将随ω增大而逐渐减小到0，然后反向增加到最大值，然后物体A 、B 将一起从A 侧飞出。

整个过程中，T 从0一直增大。

③当2211r m r m <：因为此时A f 已经达到最大值，所以A f 将保持不变，B f 将继续增加到最大值，然后A f 开始从最大值逐渐减小到0，然后反向增加到最大值，然后物体A 、B 将一起从B 侧飞出。

整个过程中，B f 达到最大值后将一直保持不变直到飞出，T 从0一直增大。

总结：①物体受到的摩擦力随ω增加而增大，具距离转轴较大一侧的物体摩擦力先达到最大，若距离相等，则同时达到最大。

②如果2211r m r m =，则整个过程中两物体将一直与圆盘保持相对静止直到绳被拉断。

③如果2211r m r m ≠，则较小一侧摩擦力将会增大到一定值，等到较大侧达到最大时开始逐渐减小到0，然后反向增加到最大值，然后整体从较大侧飞出。

较大一侧受到的摩擦力将一直增大到最大值然后保持不变，直到飞出。

应用推广：
（1）在如下图情形中，将第三个物体C叠放在物体A或B上时，无非两种情况：①物体C先飞出，然后A和B按上述过程分析；②物体C和物体A、B一起飞出，此时可以把叠放在一起的两个物体看作一个整体，然后按上述过程分析。

（2）在如下图情形中，在物体A或B下方垫上另一个物体C时，无非也是两种情况：①物体C先从物体A底下飞出，此时物体A和B也会同时飞出，此过程可以参考两个物体叠放在水平圆盘上的情形；②物体A和B先飞出，物体C后飞出，此过程中可先将C视作圆盘的一部分，然后按上述过程分析即可。