直线和圆锥曲线的参数方程

高二数学(下)
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M0（x0，y0） M（x，y） e=（cos α ，sin α ） MM0∥e
l
e
M
M0
α
直线的参数方程

x y

x0 y0

t t
cos sin
问：α的含义？ 问：参数t的含义？
l
e
M
M0
α
例7 当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成， 并以40km/h的速度向西偏北45°方向移动。已知距台 风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那 么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？
海滨城市O受台风侵袭大概持
y
续多长时间?
M
O
Px
思考:上例中, 如果台风侵袭的半径也发生变化(比 如:当前半径为250km,并以10km/h的速度不断增大), 那么问题又该如何解决?
y
M
O
Px
例8 如图所示,AB,CD是中心为O的椭圆的两条相交弦, 交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠ 1, ∠2,且∠1= ∠2.
求证:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|
C
B
2源自文库1
P
A
D
C
B
2O1
P
A
D
探究:如果把椭圆改为双曲线,是否会有类似的结论?
直线的参数方程

x y

x0 y0

t t
cos sin
例1：化直线l1的普通方程 x 3 y 1 0
为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣ 的几何意义.
例2：化直线l2的参数方程
x 3 t y 1 3 t
（t为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t∣ 的几何意义.
(4)求l被曲线x2-y2=-3+4 3 所截得弦长及中点坐 标.
例6 经过点M(2,1)作直线l,交椭圆 x2 y2 1 16 4
于两点A,B.如果点M恰好为线段AB的中点,求直 线l的方程.
探究:例2的解法对一般圆锥曲线适用吗?有其他 方法吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？
练习：1.直线
x 3 t sin 20

（t为参数）的倾斜角
.
y 4 t cos 20
2.写出经过点M0（－2，3），倾斜角为
3
4
的直线
的标准参数方程，并且求出直线上与点M0相距为2 的点的坐标.
3.已知直线l的参数方程是
x 1
3t
y 2 t
分别为t1,t2. (1)曲线的弦M1M2的长是多少? (2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少? (3)你还能提出和解决哪些问题?
例5
已知直线l的参数方程是

x

1

3t
y 2 t
(1)画出直线,指出t= -1对应的点p;
(2)求p到M(-1,2)的距离;
(3)求l的倾斜角;
(1)画出直线,指出t= -1对应的点p;
(2)求p到M(-1,2)的距离;
(3)求l的倾斜角;
例4 已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两 点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距 离之积.
探究:对于直线与曲线相交问题,例1的思路可行吗? 直线与曲线若交于M1,M2两点，对应的参数
例3：已知直线l过点M0（1，3），倾斜角为

3

判断方程

x 1 1t 2
（t为参数）

y

3

3 t
2
和方程

x 1t
（t为参数）是否为直线
y 3 3 t
的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中 的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.
x

y

x0 y0

at bt
(1)当a2+b2=1时，则t的几何意义是有向线段 M0M 的数量.
（2）当a2+b2 ≠1时，则t不具有上述的几何意义.
可化为

x

x0



y

y0

a ( a2 b2t) a2 b2
b ( a2 b2t) a2 b2
令t= a2 b2 t