截长补短法例题精编版

截长补短法
例1.
已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .
求证：∠BAD +∠BCD =180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，
⎩
⎨
⎧==CD AD DF
DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .
又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°
例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2
∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，
⎩
⎨
⎧==BP BP PD
PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .
∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .
F
E
D
C
B
A
图1-2
A
B
C
D
P
12
N
图3-1
P
12
N
A
B
C
D
E 图3-2
A
B
C D
图1-1
A
D
B
C
E
图2-1
在Rt △APE 与Rt △CPD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°
例3. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2
在△FCE 与△BCE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.
又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE
DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .
A
D
B C
E
F
1
234图2-2
例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .
证明：方法一（补短法）
延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2
∴∠ACB ＝2∠E ，
∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）
在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .
D
C
B A 12
图4-1
E
D
C
B
A
12
图4-2
F
D
C
B A 12
图4-3。