求多元函数极限的方法

求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生，尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解，极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数;求极限多种方法；求极限常出现的错误

【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法,例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对

于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2

12(3)

3n n n n a a a a a a

++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +１项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则

1

!

lim

!

n

k n k n =→∞

∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常

见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面，通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x →

12时函数y =21

x x +的极限。我们列出了当x →12

时某些函数值,考察

从列表可以看出,当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7,即x →2

时,y =21

x x +的极限是0．75。

2、利用四则运算法则求极限 例2(1)求2

3

32

1

lim(4)x x x →-+

（2）221

lim 21

x x x →-+

解(2）2

21lim 21x x x →-+=2

2

2

lim(1)3lim(21)5

x x x x →→-=+

3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0

1

lim sin

x x x

→

解因为0

lim x x →=0，且1sin

1x ≤即1sin x

有界，所以01

lim sin x x x →=０

4、利用两个重要极限求极限 例4 求11

lim sin

lim(1)x x x x x x

→∞

→∞- 解1lim sin x x x →∞=1sin

lim

1x x x

→∞=1(因为x →∞时10x

→)。 令u x =-则当x →∞时u →∞所以1lim(1)x x x →∞-=111

lim(1)lim 1(1)e x u u u e

x

-→∞→∞+==+

也可以直接计算1lim(1)x x x →∞-=11

11lim[(1)]x x e x e

---→∞+==

5、利用初等函数的连续性求极限 例5求2

lim ln sin x x π

→

解：点02

x π=

是初等函数()lnsin f x x =的一个定义区间(0,)π内的点，所以

2

limln sin ln sin

02

x

x x π

→

==

6、利用等价无穷小代换求极限 例6 求01cos lim

ln(12)

x x

x →-+

解:当0x →时，2

11cos 2

x x -≈

,ln(12)2x x +≈ 所以20011cos 2lim

lim 0ln(12)2x x x

x

x x

→→-==+ ７、利用罗比达法则求极限 例7 求0

ln sin 2lim ln sin 3x x

x

+

→

解：0ln sin 2lim ln sin 3x x x +→=0cos 22

sin 2lim cos33sin 3x x

x x

x

+→??=0sin 3cos 22lim 1sin 2cos33x x x x x +→??= ８、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限

232(0)()1(01)2(1)

x x f x x x x x ?

?+≤?

=+<≤???>?

求0lim ()x f x →,1

lim ()x f x →

解：因为0

lim ()x f x -→＝0

lim(32)2x x -

→+= 0

lim ()x f x +

→=20

lim(1)x x +→+＝1 00

lim ()lim ()x x f x f x -

+

→→≠ 所以0

lim ()x f x +→不存在 因为1

lim ()2x f x →=

1利用极限的定义来验证极限的存在

极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由n x A ε-<或()f x A ε-<去寻找满足条件的充分大的正整数 N 或充分小的正数δ或充分充分的正数 X 。 比如:证明22

21

lim

44

x x x →-=- 证明对0ε?>,要使

22144x x ε--<-,只要2221

4442

x x x x ε---=<-+因为2x →，不妨设21

x -<,此

时

13

x <<，从而

325

x <+<,因此，

22144x x ---242

x x --+<111

224312x x c ?---<,于是取min{}δε=，从而min{1,12}δε?=，当02x δ<-<时，总有

22144x x ---ε<，从而2221

lim 44

x x x →-=-

2利用化简来求极限（分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形) 比如

求21

2

lim

2

x x x →+-

此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式

解：21

2lim

2x x x →+

-1x →=

=1112

x →= 3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限

比如

求lim )x x →+∞

本题是“∞-∞”型的极限,先对分子有理化，可转化为∞

∞

型将分子分母同时除以 ｘ的最高次幂变形后求解。

解lim )x x →+∞

=lim

x →+∞

lim

x

=1

lim

2x =

在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极

限。比如 求sin lim 2

n

x e n →∞+

解 注意到sin n

e ≤且1

lim 02

x n →∞=+所以由无穷小的性质得sin lim

02n x e n →∞=+

又比如求0x →

解 当0x →时

,ln(1+

,2arctan x ，2x

所以0

x →=

513

3

20lim 1x x x

x →= 4．2重要极限2

1lim(1)x

x e x

→∞+=，101lim(1)x x e x →+=，01

()lim(1())f x x x f x e →+=，0()1lim(1)()f x x x e f x →+

= 特征:①“１ ”型；②底数中要转化为有“１”的形式；③ “1”的后面的变量与幂指数互

为倒数。

比如 求2

1

lim(cos )x x x →

解2

1

lim(cos )x x x →=2

1cos 1cos 10

lim(1(cos 1))

x x x x x --→+-＝12

e

5利用极限存在准则(夹逼定理、单调有界原理)来求极限 5．1利用夹逼定理求极限 比如 求22211

1

lim (

)11

x n n n n n

→∞

+++

+++

解 因为

21n n

+≤

2211

1

n k n ≤

++,k =1,２，3n ，从而

22n n n +≤

22211

1

()11

n n n n n

++++++≤22

1n n + 而22lim 1x n n n →∞=+,22lim 11x n n →∞=+所以222

11

1

lim ()11

x n n n n n

→∞++

+

+++ ５.

２利用“单调有界数列必有极限”定理求极限 特点:①能出现关系式

;②可转化为关系式

解题方法 :一是利用数学归纳法证有界,二是证单调。 比如 设111,2,),n

x n +===试证数{}n x 列极限存在，并求此极限。

显然102x <=<

，

22x =

假设2n x <因12n x +=<=由数学

归纳法知对n ?,0

n ? ０<

n x ＜2,即{n x ｝有界，又

10n n n x x x +-==

>,则1n x + ＞n x ,所以{n x }单调增加。

因此lim n x x →∞

存在。

不妨设lim n x x →∞

=

a ,由1n x +=得a =

从而a ＝２即lim 2n x x →∞

=

6利用洛必达法则求极限 用洛必达法则时要注意:

①要注意洛必达法法则条件， ②有时要用多次洛必达法则,

③无限次循环型号不能用洛必达法则,如0lim x x

x x

x e e e e --→-+，

④每次用洛必达法则前,要先化简, ⑤x →0(或x →∞)时,极限中含有si ｎ

1x ,cos 1

x

(或sinx,co ｘ）不能用洛必达法则。 ⑥“0g ∞”,“∞-∞”,“1 ”,“0∞

”，“0

∞”,“0

0”型未定式,通过变形、通分、有理化分子、取对数等方式转化为“

00”或“∞

∞

”未定式极限后再用洛必达法则。 比如求1lim 1ln x

x ex e x x

→--+

解1lim

1ln x x ex e x x →--+111()lim lim lim 1111x x x x

x x x e e x e e e e xe e x x

→→→----====---+

7利用连续性求极限

比如 求1ln(1)

lim arctan x x e x

→+

解注意到ln(1)

()arctan x e f x x +=在ｘ=1处连续,所以

1ln(1)lim arctan x x e x →+=1ln(1)4ln(1)arctan1e e π

++= 8利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某

些特殊函数在一些点处的极限时，可用此方法。如求111

10

lim

x x x x

x

e e e e

→-+

解11110

lim x x x x

x

e e e e

+

→-+2

20

1lim 11x x x

e e

+

→-==+，1121

12

1lim lim 11

x x x

x x x

x

x

e e e e e

e -

-

→→--==-++，

所以1

1110

lim

x x x x

x

e e e e

→-+不存在。

９利用导数求极限

比如设'(0)1,(0)0f f ==求0

()

lim

x f x x

→ 解0

()lim

x f x x →=0()(0)

lim 0

x f x f x →--='(0)1f = 10利用泰勒公式求极限

特点①“00”型；②1122

()()()()f x g x f x g x --或22()()k

x f x g x -或11()()k

f x

g x x - ③用洛必达法则较复杂或根本不可能用。

解题的关键是展开到含n

x 项,

或相互抵消后的后一项。比如求22

20

12lim (cos )sin x x x x e x

→+--

解22

2

12lim (cos )sin x x x x e x →+--＝

2244

2460424

1(10()228lim 0()0()243x x x x x x x x x x x →+-+-+??????

）

（1-++）（-+）！！！444040()8lim 30()2x x x x x →+=-+=112- 11利用定积分和积分中值定理求极限 比如设n x 2)

()

n n +,(1,2,

)n =，求lim n n x →∞

解因为11ln ln(1)n n i i

x n n

==+∑

所以1

1lim lim ln(1)n n n n i i

x n n →∞→∞==+∑＝10ln(1)2ln 21x dx +=-?

1２利用函数极限与数列极限关系求极限 比如求2

1

lim(sin )n n n n

→∞

解2

1lim(sin )n n n n

→∞＝210sin lim ()x n x x +→＝3

sin sin 0sin lim (1)x x x x x x

n x x x +

-?-→-+=1

6

e

13利用级数收敛的必要条件求极限

比如 求3!

lim n n n n n →∞,考察级数13!n n i n n

∞

=∑,

而1113(1)!33

lim lim lim 1(1)3!(1)n n n n n n n n n n u n n u n n e

n +++→∞→∞→∞+=?==++＜1 由正项级数比值判别法知13!

n n i n n

∞

=∑收敛,再由级数收敛的必要

条件知3!

lim n n n n n

→∞＝0

14利用幂级数的和函数求极限 比如 求1111lim(1)1!2!3!

!

n n →∞+

++++

由于

01,(,)!

n

x n x e n ∞

==-∞+∞∑ 当1x =时，

01!

n n ∞

=∑=1

e =e

因此111

1

lim(1)1!2!3!

!n n →∞++++

+=01!

n n ∞

=∑=1e =e 以上是求极限常用的一些方法,在求极限的过程中,先要用观察极限属于什么类型,才能去采取相应的方法。

同学们在求二元函数极限时,常出现错误。我们将其归纳为一下三种,今写于此,以供参考。 Ⅰ第一种错误是把沿在平面上过00(,)x y 点的射线方向，代替沿任何方向趋向于00(,)x y ，求0

lim (,)x f x y →

例1求2

22

00

lim x y x x y →→+

在同学们的解题过程中常出现的错误做法是令cos ;sin x y ρθρθ==于是有

232222

sin cos 0x y x y ρθθρρ

≤=<+ 当(,)(0,0)x y →时，0ρ→,由夹逼定理即得2

22

00

lim x y x x y →→+=0

欲指出此种解法的错误，只需注意二元函数极限的定义：

设函数(,)f x y 在平面的某一个点集D 上有定义，

000(,)P x y 是Ｄ的一个据点(0P 不一定属于

D ）,A 为一定数，如果对于任意给定的正数δ,总存在相应的正数δ，使得定义域D 上满足不等式0δ<<的一切点(,)P x y ，能都恒有不等式(,)f x y A ε-<成立,则称定数A 为函数当(,)x y 00(,)x y →时的极限,记为0

lim (,)x y f x y →→=Ａ由极限的定义可

以看出,若00

lim (,)x y f x y →→=A 则必须是动点(,)P x y 沿定义域内的任何曲线趋向于聚点

00(,)P x y 时,都得有不等式(,)f x y A ε-<成立。

而在例1的解法中,即便是

θ取遍了0~2π之间的所有值，都有不等式

232222

sin cos 0x y x y ρθθρρ

≤=<+成立,这也只能说明动点(,)P x y 沿过原点的直线族()y tg x θ=?趋向于点(0，0）时，都有2

22

00

lim 0x y x x y →→=+。 本题的正确解法是，由2

2

2x y xy +≥有2222

022

x x y x y x y xy ≤≤=+

可见，动点(,)P x y 不论沿平面上任何曲线趋于点(０，0）是,对于任意给定的正数ε,只要

取δε=时,

δε<=时，永远有222

02

x x y

x y ε-≤<+成立。这即得证2

22

00

lim x y x x y →→+=0

例2求2

24

00

lim x y xy x y →→+

若仿照例1

中所有用过的错误解法,有cos ;sin x y ρθθ==，且

22222422442220000

cos sin cos sin lim lim lim cos sin sin x y xy x y cos ρρρθρθρθθρθρθθρθ

→→→→?==+++ 不难讨论不论上式右端θ为任何值,只要0ρ→时，就有224

00

lim x y xy x y →→+＝

22240cos sin lim cos sin ρρθθθρθ

→?+=0 但实际上22400

lim x y xy x y

→→-是不存在的，这只要取动点(,)P x y 沿曲线2

x ky =趋向于点（0，０）时则有22242424244200

lim lim lim 1

x y x ky y y xy xy ky k x y x y k y y k →→∞→→→===++++ 由于不同的k 值对应着不同的极限值,即得证224

00

lim x y xy x y →→+是不存在的。

例3求22400

lim x y xy x y

→→+本题的正确解法，是由2422

2x y x y +≥ 所以有22224

42222

111

0()22x y x y x y x y y x

++≤≤=++ 由夹逼定理便有2

2

4

00

lim 0x y xy x y →→=+而此题如果用例1所提出过的错误做法虽然也有2224444422222

1112

1(cos sin )(1sin cos )2

x y x y ρρθθρθθρρ+==≤?=++-并由此得出

222

4444400

lim lim 0(cos sin )

x y x y x y ρρρθθ+→→∞→==++其结果虽然也是对的,但其理论根据却是错误的。

Ⅱ第二种错误是引用了“有限个无穷大之和仍为无穷大”的错误结论。 例4000

1

lim

lim 011

x x y y xy x y y x

→→→→==++ 这种解法很明显是错误的，因为0011lim

,lim x y x y →→=∞=∞但00

11

lim()x y x y

→→+并不一定是无穷大,这

道理虽然很明显，但在做题时却常被疏忽而导致得出错误的结论。

事实上,本例所给的极限是不存在的,这只有注意，若动点(,)P x y 沿直线y x =-趋向于点（0,０)时,原式均无意义就行了，就是避开这条使函数无意义的直线也就不行的，这只要取动点

(,)P x y 沿曲线2y kx x =-趋向于点(0，0）时，就有2

00

lim lim x x y y kx x

xy xy

x y x y →→→=-=++＝

220()1

lim x x kx x kx k

→-=-,k 可以取关于零的任何值。 即得00

lim

x y xy

x y

→→+是不存在。 Ⅲ第三种错误是由于忽视开方时应去算数跟，而造成的错误。

000

x x y y →→→→=＝0

此题的解法是错误的,因为将分子及分母同除xy ，它的恒等变形详细过程如下

：

==

这个恒等变形只有xy ＞0时成立，而当xy <0

≠

本例的正确解法应该是由2

2

2x y xy +≥有

22

0≤

≤= 可见不论动点(,)P x y 沿什么曲线,趋向于点（0,０)时,总有此不等式成立。由夹逼定理知

00

x y →→=0忽视算数跟所造成的错误，在求一元函数极限时也常发生。

例９lim

111x x x x

→∞→∞==++ 例１

01

)lim

2x x x x →∞

→∞

===

这两个例子的错误均是由于忽视了x =

例9的正确解法

是lim 1(1)

x x x x x →∞→∞=++可见当x →+∞

时

11

x →+当x →-∞

时11x →-+

所以1

x +是不存在的。 例10

的正确解法是)lim

lim

x x x x →∞

→∞

==

可见x →+∞

时)x x

1

2=

→ x →-∞

时)x x

=

→-∞

所以)x x →∞

是不存在的。

【1】王伟珠.常用求极限方法浅析【Ｊ】中国科教创新导刊,2０07（23) 【2】姜伟.对求极限方法的探究【Ｊ】中国科教创新导刊2008（2８）