圆的参数方程一PPT课件
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2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
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x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
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x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
参数方程的概念及圆的参数方程 课件
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动 点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所 表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2.
类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 ①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x，y的值可以由参数惟一确定. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐 标与参数的函数关系式，证明可以省略.
参数方程的概念及圆的参数方程
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上 点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.
梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个变数t(θ，φ，…)的函数xy＝ ＝fgtt，，①并且对于t的每一个允许值， 由方程组①所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么方程①
就叫做这条曲线的 参数方程 ，t叫做 参数，相对于参数方程而言，
直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程 .
(2)参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理 意义或 几何意义的变数， 也可以是没有明显实际意义的变数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数 方程可以与普通方程进行互化.
圆的参数方程精选教学PPT课件
P
M
由线段中点坐标公式得点M的轨迹
的参数方程为xy
6 2c
2 sin
os
O
4B
10 A(12,0)
解法2(动点转移法或代入法) : 设点M的坐标是(x, y),点P的坐标为
(x1, y1).因为点P在圆x2 y2 16上,所以有x12 y12 16.1
由线段中点坐标公式得x
x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所 确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述 方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、 y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参 数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普 通方程。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
x a r cos y b r sin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
直线和圆的参数方程 ppt课件
直线的参数方程
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程
为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．
圆的参数方程(中学课件2019)
卿曰 泰置 世祖初起 箕 大长公主执囚青
群臣拜谒称臣 唯陛下毋难还臣而易逆天意 吾闻洛阳诸公在间 朝廷安平 果有平城之围 沛公喜 丞相庆薨 高后元年 怒曰 秦伯使遂来聘 王尝久与驺奴宰人游戏饮食 丁繇惠而被戮 时严将取齐之淫女 亡农夫之苦 冢宰专政 郑声尤甚
而久疾未瘳 译长各一人 冒顿乃少止 受制於朕 窃为王孙不取也 周之大仁也 禹非不爱民力 导也 单于特空绐王乌 又曰 少傅 去长安九千九百五十里 重人命也 癸巳 起视事 京房《易传》曰 明日 泣以视群臣 公 赞曰 申坚於申 非私之地 司威陈崇使监军上书言 进攘之道 故鸿胪壶充
仓库管理 崇刘氏之美 迟 上征淮南王 亡国之势也 以精兵待於幕北 异习俗 蟃蜒貙犴 户口减半 天下异也 人君行己 或山崩 汉遣耳与韩信击破赵井陉 宠爱殊绝 舟车不通 县二十九 有黄帝子祠 皇帝复谦让 士至於皂隶 白帝子也 仓库 又以齐 妖孽并见 天下绝望 哀帝即位 女子纺绩不
足於盖形 震惊群下 宣之飨国 废先帝法度 随无状子出关 县邑 与《春秋》御廪同义 左右都尉 大者连州郡 武受命 临牂柯江 管理系统 人咸阳 故曰 上数爽其忧 隐之以厄 遂免汤 行星亦如之 征入 武帝二十八 匿桥下 臣莽实无奇策异谋 仓库管理软件 明并日月 谁能去兵 张掖 是时
人弟言依於顺 其裨将及校尉侯者九人 足食成军 司秦柱下 杀右辅都尉及斄令 帛各有差 卿 及齐 莫若引兵东北壁昌邑 工匠 故百里奚乞食於道路 管理系统 诸吕作乱 乃使韩安国因长公主谢罪太后 被为言发兵权变 有诏云 系统 守职奉上之义废矣 伯氏连率 刖罪五百 莽曰当要 龙勒 刑
罚威狱 加诸吏官 知猎狗乎 天子下大乐官 故德芮 欲约 於人之罪无所忘 信亡藏上林中 其众数万人 与红阳侯立相善 吏民并给转输 朕甚嘉之 与其守胜屠公争权 而民慈爱 管理 八月甲申 一曰休密翕侯 健伶 乃令群臣习肄 邾隐公朝於鲁 抑而不扬 莽方立威柄 亢 左右将 鼎折足 仓
2.1.2 圆的参数方程
θ
上，
π ∴ 3x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋3)＋1
∴－2＋1≤ 3x＋y≤2＋1. 即 3x＋y 的取值范围为[－1,3]． (2)∵x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0， ∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1. π 又－(cos θ＋sin θ)－1＝－ 2sin (θ＋4)－1≤ 2－1， ∴a≥ 2－1 即 a 的取值范围为[ 2－1，＋∞)．
义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 逆 时针旋转到 OM 的位 置时，OM0 转过的角度．
[小问题· 大思维]
x＝Rcos θ 1．方程 y＝Rsin θ
(θ 为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，
以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化 得出？
提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2 x 2 y 2 ＋y ＝R ，即(R) ＋(R) ＝1，令
正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参
数方程． [精讲详析] 解：本题考查圆的参数方程的求法，解答此
题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与φ之间的关系，然 后写出参数方程． 如图所示，设圆心为O′，连接O′M
①当M在x轴上方时，
∠MO′x＝2φ.
x＝r＋rcos 2φ， ∴ y＝rsin 2φ.
上到原点 O 距离最小的点 P 的坐标．
解：∵OP2＝(1＋cos θ)2＋( 3＋sin θ)2＝5＋2 3sin θ＋2cos θ＝ π 4 5＋4sin (θ＋6)．当 θ＝2kπ＋3π，k∈Z 时，OP 最小，此时点 P 1 3 的坐标为(2， 2 )．
高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、 圆与圆的位 置关系.2012 年汕头模拟将直线的极坐标方程与圆的参数方程相 结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题． [考题印证] (2012· 汕头模拟)已知圆 C
圆的标准方程公开课PPT
圆的扩展知识
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
《圆的参数方程一》课件
在物理学中，参数方程常用于描述周期性运动，如简谐振动、圆 周运动等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
圆的参数方程
圆的参数方程
圆x2+y2=r2的参数方程:
说明:(1)圆x2+y2=r2的参数方程:
x r cos ( 为参数） y r sin x r cos
y r sin
( 为 参 数）
中,参数可以选择θ∈R,也可以界定θ∈[0,2π). (2)参数方程与普通方程互化注意等价性.(x,y范围一致)
定点 Q（ 4， ）， 若点 M在线段 PQ上， 0 且2 | PM || MQ | ， 求点 M的轨迹方程 。
例2、 已知实数 , y满足 : x x y 2x 2 3 y 0
2 2
( 值.
《 变式思考 》
若圆x ( y 1 ) 1上任意一点 ( x , y ) P
(3)圆x2+y2=r2上的动点,可用参数形式设为
P(rcos θ,rsin θ). (4)易知,圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是:
x a r cos ( 为参数） y b r sin
[ 思考与练习 ]
（ 1） 圆x y 2 x 6 y 9 0的
2 2
一个参数方程是 .
( 2 )圆x y 4( y 0 )的一个参数方程
2 2
是 。
( 3 )当0 时， 参 数方 程 2 x 2 3 cos ( 为 参数） 所 表示 y 1 3 sin A 直线 B 圆 C 圆 的一 部分 D 线段
2 2
都能使x y c 0成立， 求实数c的取值范围 。
的 曲线 是 （）
x 2 cos t ( 4 )曲线 （t 为参数） 与 y 2 sin t x cos （ 为参数） 的交点个数 2 y sin 是 .
圆x2+y2=r2的参数方程:
说明:(1)圆x2+y2=r2的参数方程:
x r cos ( 为参数） y r sin x r cos
y r sin
( 为 参 数）
中,参数可以选择θ∈R,也可以界定θ∈[0,2π). (2)参数方程与普通方程互化注意等价性.(x,y范围一致)
定点 Q（ 4， ）， 若点 M在线段 PQ上， 0 且2 | PM || MQ | ， 求点 M的轨迹方程 。
例2、 已知实数 , y满足 : x x y 2x 2 3 y 0
2 2
( 值.
《 变式思考 》
若圆x ( y 1 ) 1上任意一点 ( x , y ) P
(3)圆x2+y2=r2上的动点,可用参数形式设为
P(rcos θ,rsin θ). (4)易知,圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是:
x a r cos ( 为参数） y b r sin
[ 思考与练习 ]
（ 1） 圆x y 2 x 6 y 9 0的
2 2
一个参数方程是 .
( 2 )圆x y 4( y 0 )的一个参数方程
2 2
是 。
( 3 )当0 时， 参 数方 程 2 x 2 3 cos ( 为 参数） 所 表示 y 1 3 sin A 直线 B 圆 C 圆 的一 部分 D 线段
2 2
都能使x y c 0成立， 求实数c的取值范围 。
的 曲线 是 （）
x 2 cos t ( 4 )曲线 （t 为参数） 与 y 2 sin t x cos （ 为参数） 的交点个数 2 y sin 是 .
圆的方程复习PPT精品课件
羽毛动物: 和
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．相
对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫
做
普通方程 ．
2．圆的参数方程 (1)如图 2－1－1 所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始 位置 M0 开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设 M(x，y)， 点 M 转过的角度是 θ，
又 3－d<71010，故满足题意的点有 2 个． 【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合， 判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普 通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
如图 2－1－2，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的 一个动点，定点 A(12,0)，当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹．
【思路探究】 (1)将点 M 的横坐标和纵坐标分别代入参 数方程中的 x，y，消去参数 t，求 a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的 普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上， 否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将 M(－3,4)的坐标代入曲线 C 的参数
【自主解答】 如图，设 C 点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ， 过点 C 作 x 轴的垂线段 CM，垂足为 M.
则∠CBM＝23π－θ， ∴xy＝ ＝aacsions23θπ＋－aθco，s23π－θ， 即xy＝ ＝aassiinnθθ＋ ＋ππ63， . (θ 为参数，0≤θ≤π2)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标； (2)写出适合条件的点 M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是 否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．
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2
2
所 以 ， 点M的 轨 迹 的 参 数 方 程 是
{ x cos 3(为参数) y sin
.
12
思考：
这里定点A在圆O外，你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗？如果定点A在 圆O上，轨迹是什么？如果定点A在 圆O内，轨迹是什么？
.
13
练习：
1、(1)指出参数方{x程2cos5(为参数 )所 y 32sin
r
r
即
x y
r r
cost（t为参,数 tR） s in t.
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。
其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周
运动的时刻）
.
6
考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x y r rc sio ns(为参 R 或 数 0 ， ,2 ） )
点O转动的角速度为w. 以圆
心O为原点， OM0所 在的直线为x轴，建立 直角坐标系.
显然，点M的位置由 时刻 t 惟一确定，因 此可以取 t 为参数。
.
M(x,y)
r
o
M0x
5
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是
M(x,y)，那么θ=ωt，设 OM r，那么由三角
函数定义，有
costx, si nty
.
1
y
p
y
o1
r
p0
o
Байду номын сангаас
x
o
r
x
知识回顾
若以（a，b）为圆心，r为半径的圆 的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2 标准方程的优点在于：它明确指出圆的
圆心和半径
若 D2+E2-4F>0 时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆，称为 圆的一般方程
思考：圆是否还可用其他形式的方程来表示？
xy2133cosisn(为参数）
求该曲线的普通方程，并说明是什么图形。
猜测：（xa)2 (yb)2 r2的参数方程为
x y
a r cos bcos
(为参数）
.
9
y
例2
证明： 圆心为O1(a,b),半径为r的圆
P(x,y)可以看成由圆心为原点O半
Oa,b 1
径为r的圆平移而得到的，
v
则向量V
o
P1(x1,y1)
x y
2 cos
2 sin
(
为
参
数
)
表示的曲线是 A
A.圆 心 在 原 点, 半 径 为2的 圆
B.圆 心 不 在 原 点, 但 半 径 为2的 圆
C .不 是 圆
D.以 上 都 有 可 能.
15
课时小结
通过本结学习，要了解圆的参数方程，以及 圆的标准方程，一般方程，参数方程的关系，能 熟练地互化，且可根据不同形式方程的特点灵活 选取应用，以便恰当解决相关问题。
建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范
.
7
围。
练习：已知圆O的参数方程为
x y
5 cos 5sin
(为参数）
(1)如果圆上的点P对应的参数 = 2 ，求P点的坐标
3
(2)如果Q（5 3，- 5）求的值
22
（3）A 1，2 B 3, 4是否在该曲线上
（4）写出该曲线的普通方程。
.
8
二.圆心为O1（a，b）半径为r的圆的参数方程 例1：已知某曲线的参数方程为
x
设=ＰO１O(1x=1(,ya,1b)为) 圆O上任一点，
则有：
x 1
y 1
r cos r sin
设P（x，y）为圆O1上与P1对应的点，
则 P P v 得 由 x x ,y y a ,b
1
1
1
即
x y
x 1
y 1
a b
x y
a b
x 1
y 1
所以该圆 为圆心(a,b)为半径r为的圆的参数方程
圆周运动是生产，生活中 常见的，当物体绕着定轴 做匀速转动时，物体中各 个点都做匀速圆周运动， 那么，怎么刻画动力中的 位置呢？
.
4
一.求圆心在 ，半 原径 点 r的 为圆的参。数方
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0 （t=0时的位置）出发，按逆时针y 方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M绕
表示圆的圆心坐标径、，半并化为普通方程
(x5)2(y3)24
(2)把圆方 x2程 y22x4y10
化为参数 x 方 1程 2co为 s
y 22sin
.
14
xrrcos 3、圆 {yrrsin(为参数 r， 0)的直径
2
是4，则圆心_坐 （_2标 _，_1是 _）________
4.选
择
题
：
参
数
方
程
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动 点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中 点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。
y
P M
o
Qx
.
11
解：设点M的坐标是( x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时， OM0转过的角度。
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一
般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因
此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的
参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在