第三章 从弹性波到地震波

递推公式
地面反射地震道合成
3.4多相介质弹性波 Gassmann模型
• 将沉积岩石简化为固体骨架和流体孔隙两部分 组成，并认为孔隙全部为流体充满（饱和）。 为建立物理模型，Gassmann作出的最简化假 设是：固体骨架是线性各向同性弹性体，而且 它和流体孔隙之间的相对运动可以忽略不计。 这时，假设Φ为孔隙度，与实际情况符合，Φ 一般小于0.25。用下角标s或f分别注记固体骨 架和流体孔隙，则双相介质的密度为两种介质 的加权平均： • ρ=Φρf +(1-Φ)ρs (3.49)
简化的地球模型V(x,y,z)
• 1. 连续性模型, V为连续可微函数，无界面
• 2. 离散模型：很多边界面，之间为常数 • 3. 混合模型
层状地球模型
• （1）地层界面用二变量单值函数zi(x,y)定义， i=1,2,…, 它必须是连续函数；（2）层间介质 弹性参数，如，Vpi(x,yz)，为单值光滑函数， 实际上通常用层间波速Vpi(x,y,z)垂直方向的 平均值作为层速度，记为Vpi(x,y)，以它代 替层间波速；（3）变系数波动方程中不存 在对t的一阶偏导数项，即在不考虑波频散 和衰减的情况下，变系数波动方程的广义 解存在
3.2 地震记录与波传播方程
3.2.2 陆地二维单分量地震记录与波 传播方程
3.2.3 陆地三分量记录与波传播方程
3.3 多个水平层介质中弹性波的传播
柱坐标弹性波传播方程
三组方程式都不含对z的偏导数，即假设在地层内介质为均匀 介质时，剪切位移与应力分量的偏导数为0，即不随层内体 元垂向变化。
3.1 变系数波动方程
u(x,t)<<<->>>u[x,t;V(x)]
• 解的存在性?
• 对边界的依赖性? • 解的唯一性? • 间断面的处理：边界层假设
常系数波动方程<->变系数波动方程
• 常系数波动方程(2.19)具有一些优越的性质，如对坐标 平移的不变性，对时间变量t是对称的，基本解的存在 性是可以证明的，任何一个充分光滑的解的偏导数也是 原方程的解，等等。 • 变系数波动方程(3.1)并不一定具有这些优越的性质。实 际上，的基本解不一定存在。 • 1变系数波动方程与常系数波动方程不同之处在于，要 研究它的共轭方程（伴方程）才知道它的解的存在性和 唯一性。2变系数波动方程初边值问题属于广义的初边 值问题，唯一解的存在性是没有保证的，常常要导出更 多的附加条件才能求出广义的唯一解。3广义解是否存 在还与边界类型有关，即对相同的方程与初始条件，某 些类型的边界解存在，对另一些类型的边界解不存在。
广义解
变系数波动方程间断的初边值
• “边界层”理论。所谓间断面只是一种简化的 理论模型，代表一个复杂的薄层区域。间断面 条件可用来研究波场穿过薄层时物理量在薄层 外的总体变化特征，但不宜用于波场穿过薄层 时内部物理量的变化特征研究。于是，连续介 质力学应用就与研究对象的尺度有关。数学家 早已发现，双曲型方程初边值问题解的非唯一 性多出现在个别的局部邻域（即奇点）上，它 们就是用不能用连续介质力学描述的微尺度波 场分布的局部邻域。
扩展的Gassmann模型
如何把压力波动场随时间的变化与 流体运动联系起来?
流体饱和双相介质中第II类压力波波 动方程
流体饱和双相介质中第II类压力波波 动方程
3.5 多相介质中波的理论I I: Biot理论
• Biot理论用相互连接的等轴状夥粒描述双相介质中的固体骨架， 典型的等轴状夥粒就是球体。因此，空的固体骨架在微观上与 线性各向同性弹性体相同，而孔隙为粘滞性流体所充填。他区 分了固体夥粒的位移矢量与孔隙流体的平均位移，描述了体积 元内二者之间的相对运动和波动场。固体夥粒与孔隙流体之间 的位移速度之差称为相对速度，它与固体夥粒与孔隙流体之间 的振动摩擦力成正比。此摩擦力也与流体的粘滞系数成正比， 是双相介质波动方程力源项所特有的。他通过体积元位移势表 示的应变，导出用以描述含孔隙流体的双相介质应力应变关系 式和运动平衡方程式，并进一步导出一对描述固体和流体介质 中波动传播的微分方程。最后，他得出结论：对于无限大双相 介质，有两类胀缩波和一类旋转波存在，第II类胀缩波频散严重， 频散有一个阶跃区段，其中心称为临界频率。只有在流体粘滞 系数很小（对应岩石渗透率很大）时，胀缩波和旋转波的频散 和衰减才可以忽略。
Berrymann的理论
• Berryman(1993)进一步研究了同时包含孔洞 和缝隙的介质模型，称为双隙隙介质模型。 针对裂缝-孔隙型储层岩石，双孔隙介质模 型是指具有两种不同孔隙类型（如孔隙、 裂隙）的介质模型，研究弹性波传播的一 般规律，以及波属性与双孔隙岩石特性参 数之间的基本关系。在声波测井与地震资 料解释中，Kuster- Toksöz和Berrymann的理 论是判别油气储层孔隙类型、计算地层渗 透率参数和流体饱和度的理论基础。
第三章 从弹性波到地震波
地震波专指地球内部传播的声波与 弹性波，而物理学中讨论的是均匀 介质中传播的声波与弹性波
地震波在海洋、岩石及地球外核熔 体中传播，传播介质更为复杂
• 从理论上看地震波理论必须进一步解决以下五 个问题： • 变系数波动方程的合法性及使用条件， • 地震观测记录的准确描述 • 多层介质中弹性波的传播理论 • 无相变多相介质中弹性波的传播理论， • 可流变熔体中波的传播理论， • 组构复杂地层的连续介质弹性力学模型，包括 其中的边界层模型
3.5.1 低频段流体饱和多孔隙固体中 的弹性波
表示固体胀缩对流体的耦合--压力， 相邻体积元流体的牵引力
作用于体积元固体上的运动方程， 作用于体积元流体上的运动方程
两个方程代表两种相互耦合的波动， 它们分别是第I类和第II类波。
流体饱和多孔隙固体旋转波速度
第I-II类波的胀缩波方程组
Kuster-Toksöz的模型
体积元总体体积模量?
两个弹性参数k和μ便可以得到地震 波速度
两个弹性参数k和μ便可以得到地震 波速度
• Φ大到固体骨架断开时ks>>kt，方程(3.46)右边 第二项在沉积岩石的弹性参数中起主要作用， 沉积岩石的总体体积模量中kf起重要作用。 • 双相介质中的地震波速度可以从弹性参数k和μ 求出。在孔隙的尺度远小于地震波长的条件下， 平面纵波和横波的传播速度的分别为 • Vp=[(3k+4μ)/(3ρ)]1/2 • Vs=[μ/ρ]1/2 (3.57) • Gassmann的模型是用弹性力学中完全弹性介 质理论对多相介质理论的最简练的推广，仿照 的是导出标量波动方程的例子。
如何表述双相介质的弹性参数?
• Gassmann选择了体积模量k。体积模量k的定义 是∆P和∆V/V比值的负值，其中V为体积元的体 积，∆P=-k (∆V/V)。在双相介质中，流体压力的 变化引起不仅固体骨架和流体孔隙体积的变化， 即 • ∆Vf=-ΦV∆Pf /kf (3.52) • ∆Vs1=-(1-Φ)V∆Pf/ks ; (3. 53) • 而且，相邻的骨架压力的变化会使体积元总体 积发生变化: • ∆Vs2=-V∆Pt/kt; (3. 54)
如何表述波动场?
• 在流体中波动用压力，而固体中用位移矢量，在双 相介质中用什么？Gassmann选择了压力。设双相介 质体积元相对前一时刻的压力差为∆P，∆V为体积元 相对前一时刻的体积差，由于假设固体骨架和流体 孔隙之间的相对运动可以忽略不计， 有 • ∆P=∆Pt+∆Pf (3. 50) • ∆V=∆Vs+∆Vf (3. 51) • 式中∆Vs为骨架的体积变化，∆Pf为流体压力，∆Pt为 骨架承受的压力，它由两部分组成，其一为来自流 体的压力∆Pf，其二为来自相邻体积元骨架的应力 ∆Ps。
利用Fourier-Bessel变换将位移变化到 频率域
位移-应力关系便可用以下常微分矩 阵方程
位移应力矢量=传播关联矩阵*位移 应力矢量+体力矢量
传播关联矩阵为A，位移应力矢量的 矩阵方程
3.3.2 边界条件的加入
பைடு நூலகம் 传播矩阵P
3.3.3 平面波垂直入射层状介质半空 间中波的传播
位移矩阵方程与传播矩阵
• 以上的Gassmann与Boit岩石模型用于描述砂岩 等均匀分布的夥粒碎屑沉积岩石是可以的，但 是对于含不规则孔洞和裂缝的灰岩就不行了。 含不规则孔洞和裂缝的平面波散射理论，是由 Kuster和Toksöz在1974年提出的。Kuster-Toksöz 的模型似乎把Gassmann模型反过来，把无限 均匀的完全弹性介质作为固体骨架，而把其中 椭球形孔洞充填以流体，根据后者对平面波的 散射来表述双相介质中的波动规律。当然，理 论上也可以把无限均匀的介质作为流体，，而 把其中的椭球形孔洞充填以完全弹性固体，但 这种模型更接近悬浮介质模型。