北师大版初三下册数学知识点总结

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九年级下数学北师大知识点

九年级下数学北师大知识点

九年级下数学北师大知识点数学作为一门学科,无疑对学生的思维能力和逻辑分析能力有着极大的提升作用。

而在九年级下学期,北师大数学知识点扮演着重要的角色。

本文将重点介绍九年级下数学北师大知识点的重要性及其内容。

首先,九年级下数学北师大知识点的学习对理解高中数学知识打下了坚实的基础。

北师大数学在全国享有盛誉,其数学体系严谨、深入,能够提高学生的数学思维能力和问题解决能力。

通过学习北师大数学,学生能够形成正确的数学思维方式,培养出良好的数学品味。

一、代数与函数代数与函数是九年级下数学的重点内容之一。

在代数与函数中,我们学习了多项式的四则运算、整式的因式分解、分式方程以及根式的运算等等。

这些内容的学习与应用能够提高学生的抽象思维能力和数学建模能力。

代数与函数还与我们的日常生活息息相关,例如,分式方程可以应用于解决实际生活中的比例问题,而多项式的因式分解则可以帮助我们简化复杂的数学运算。

二、几何几何是另一个重要的数学知识点,九年级下数学北师大知识点中的几何部分主要包括三角形的性质、向量与坐标等内容。

通过学习几何,我们能够加深对图形性质的理解和把握,培养我们的几何直观、空间想象能力。

三、概率与统计在九年级下学期,概率与统计是数学知识体系中不可或缺的一部分。

概率与统计是对事物随机性和不确定性进行量化和描述的一门学科。

学习概率与统计,我们需要了解概率的基本概念、事件的计算、统计分布以及抽样调查等等。

通过这些知识的学习,我们能够更好地理解和解决生活中的一些概率与统计问题,例如评估事件发生的可能性、分析数据并得出结论等。

总之,九年级下数学北师大知识点的学习不仅能够提高学生的数学思维能力和解决问题的能力,还对学生的高中数学学习打下了坚实的基础。

代数与函数、几何以及概率与统计等内容涵盖了数学学科的不同领域,通过学习这些知识,我们能够全面地了解和应用数学在生活中的各个方面。

因此,我们应该重视九年级下数学北师大知识点的学习,不断提高自己的数学水平。

(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结

(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一.锐角三角函数1.正切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,..即tan A=∠A的对边;∠A的邻边①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;③tanA不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A是锐角的正切;⑤tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。

2.正弦:..定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sin A=∠A的对边;斜边3.余弦:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cos A=∠A的邻边;斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二.特殊角的三角函数值sinαcosαtanα30º1245º60º3233222213212Bi=h:lhC A图13l图2三.三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2.俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。

4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。

用字母i表示,即.............i=h=tan A l5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。

北师大版初中数学知识点总结最新最全

北师大版初中数学知识点总结最新最全

北师大版初中数学知识点总结以下是北师大版初中数学的知识点总结,涵盖了初中阶段的主要数学概念、定理、公式和解题方法。

一、数与代数1.1 有理数•定义:有理数是可以表示为两个整数比值的数,形式为a/b,其中a、b为整数,b不为0。

•分类:正有理数、负有理数、零。

•性质:有理数加减乘除运算遵循交换律、结合律和分配律。

1.2 实数•定义:实数是包含有理数和无理数的数集。

•无理数:不能表示为两个整数比值的数,如π、√2等。

1.3 函数•定义:函数是一种关系,使得一个集合(定义域)中的每个元素对应到另一个集合(值域)中的唯一元素。

•表示方法:解析式、表格、图象。

二、几何2.1 点、线、面•点:没有长度、宽度和高度的物体。

•线:由无数个点连成的直线、射线和线段。

•面:由无数个线段围成的平面图形。

2.2 三角形•定义:由三条边和三个角组成的图形。

•分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

•性质:三角形的内角和为180°,两边之和大于第三边。

2.3 四边形•定义:由四条边和四个角组成的图形。

•分类:矩形、平行四边形、梯形、菱形等。

•性质:四边形的内角和为360°。

2.4 圆•定义:平面上到一个固定点(圆心)距离相等的所有点的集合。

•性质:圆的半径相等,圆心到圆上任意一点的距离等于半径。

2.5 立体几何•定义:研究三维空间中的点、线、面及其相互关系的几何学。

•主要概念:平面、直线、球、锥、柱等。

三、统计与概率3.1 统计•定义:研究数据收集、整理、分析和解释的方法。

•主要内容:图表、平均数、中位数、众数等。

3.2 概率•定义:描述事件发生可能性大小的数学概念。

•计算方法:频率、树状图、列表等。

四、综合应用•定义:将数学知识应用到实际问题中的能力。

•主要类型:几何问题、概率问题、应用题等。

以上就是北师大版初中数学的知识点总结,希望能对您的学习有所帮助。

学习建议1.重视基础:掌握数学基础知识是解决复杂问题的关键。

初三数学知识点归纳北师大版

初三数学知识点归纳北师大版

初三数学知识点归纳北师大版初三数学知识点归纳北师大版涵盖了初中数学的核心内容,为学生提供了一个系统性的复习框架。

以下是北师大版初三数学的主要知识点归纳:1. 数与式- 实数的概念和分类,包括有理数和无理数。

- 绝对值的性质和运算法则。

- 代数式的运算,包括加减乘除和乘方运算。

- 因式分解的方法,如提公因式法、公式法和分组分解法。

2. 方程与不等式- 一元一次方程的解法,包括移项和合并同类项。

- 一元二次方程的解法,如直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

- 不等式的基本性质和解法,包括一元一次不等式和一元二次不等式。

- 含绝对值的不等式的解法。

3. 函数- 函数的概念,包括定义域、值域和对应法则。

- 一次函数的图象和性质,以及一次函数与一元一次方程的关系。

- 二次函数的图象和性质,包括开口方向、顶点坐标和对称轴。

- 反比例函数的图象和性质,以及反比例函数与一次函数的关系。

4. 几何图形- 线段、射线和直线的性质和关系。

- 角的概念和分类,包括锐角、直角、钝角和平角。

- 多边形的性质,如三角形的内角和定理和多边形的内角和定理。

- 圆的性质,包括圆心角、弧长和扇形面积的计算。

5. 统计与概率- 数据的收集和整理,包括统计表和统计图的绘制。

- 描述性统计,如众数、中位数和平均数的计算。

- 概率的基本概念,包括随机事件和概率的计算方法。

- 简单事件的概率计算,如古典概型和几何概型。

通过以上知识点的归纳,学生可以对初三数学有一个清晰的认识和掌握,为中考做好充分的准备。

在复习过程中,建议学生结合实际例题进行练习,以加深对知识点的理解和应用能力。

同时,定期进行模拟测试,以检验学习效果和查漏补缺。

初三数学知识点北师大版

初三数学知识点北师大版

初三数学知识点北师大版学习从来无捷径,循序渐进登高峰。

如果说学习一定有捷径,那只能是勤奋,因为努力永远不会骗人。

学习需要勤奋,做任何事情都需要勤奋。

下面是小编给大家整理的一些初三数学的知识点,希望对大家有所帮助。

九年级下册数学知识点归纳知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读:(1)两个图形相似,其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似,即不仅形状相同,大小也相同.(3)判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是不是形状相同,与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.解读:(1)正确理解相似多边形的定义,明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写,且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读:(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示,读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等,对应边的比相等;(2)对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理九年级下册数学知识点总结【篇一:直线与圆的位置关系】①直线和圆无公共点,称相离。

北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。

2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二.特殊角的三角函数值h三.三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。

4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。

用字母i 表示,即A lhi tan ==5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。

如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲

图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。

2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二.特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三.三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。

4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。

用字母i 表示,即A lhi tan ==5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。

北师大版数学九年级下册:二次函数知识点总结

北师大版数学九年级下册:二次函数知识点总结

北师大版数学九年级下册:二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念:二次函数是指形如y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数。

需要注意的是,和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式:y=ax^2的性质:a的绝对值越大,抛物线的开口越小,a的符号决定开口方向,顶点坐标在对称轴上方(a>0)或下方(a<0)。

性质:当x增大时,y随之增大,当x减小时,y随之减小,当x等于顶点时,y有最小值(a>0)。

当x增大时,y随之减小,当x减小时,y随之增大,当x等于顶点时,y有最大值(a<0)。

2.y=ax^2+c的性质:上加下减,a的符号决定开口方向,顶点坐标在对称轴上方(a>0)或下方(a<0)。

性质:当x增大时,y随之增大,当x减小时,y随之减小,当x等于顶点时,y有最小值c(a>0)。

当x增大时,y随之减小,当x减小时,y随之增大,当x等于顶点时,y有最大值c(a<0)。

3.y=a(x-h)^2的性质:左加右减,a的符号决定开口方向,顶点坐标为(h,k)。

性质:当x大于h时,y随之增大,当x小于h时,y随之减小,当x等于h时,y有最小值k。

当x大于h时,y随之减小,当x小于h时,y随之增大,当x等于h时,y有最大值k。

4.y=a(x-h)^2+k的性质:a的符号决定开口方向,顶点坐标为(h,k)。

性质:当x大于h时,y随之增大,当x小于h时,y随之减小,当x等于h时,y有最小值k。

当x大于h时,y随之减小,当x小于h时,y随之增大,当x等于h时,y有最大值k。

三、二次函数图象的平移平移步骤:方法一:将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k,确定其顶点坐标(h,k)处,具体平移方法如下:保持抛物线y=ax^2的形状不变,将其顶点平移到(h,k),向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位。

北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版总第一章特殊平行四边形一、平行四边形1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、性质:(1)平行四边形的对边平行且相等。

(2)平行四边形的对角相等,邻角互补。

(3)平行四边形的对角线互相平分,两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。

(4)平行四边形是中心对称图形。

3、判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3(4(54二、菱形12(2(3(43(2(3)四条边都相等的四边形是菱形。

4、面积:S菱形=底ⅹ高;S菱形=对角线乘积的一半三、矩形1、定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、性质:(1)矩形具有平行四边形的所有性质。

(2)矩形的四个角都是直角。

(3)矩形的对角线相等且互相平分,两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。

(4)推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(5)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。

3、判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

(3412(2(3(43(2(3(44、面积:S正方形=边长的平方;S正方形=对角线乘积的一半五、中点四边形1、定义:以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形2、中点四边形:一般四边形→平行四边形;平行四边形→平行四边形;菱形→矩形;矩形→菱形;正方形→正方形。

第二章一元二次方程一、定义:我们把形如2(,,)ax bx c o a b c a o ++=≠为常数,的方程,称为一元二次方程。

其中2ax ,bx ,c 分别称为二次项,一次项和常数项,a ,b 分别称为二次项系数和一次项系数。

二、解一元二次方程的方法1、配方法:移项→二次项系数化为1→配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)→开平方(有正负两个结果)→求解→写根。

2、公式法:化为一般形式(2ax bx c o ++=)→找出a ,b ,c (记得带上符号)→代40ac -≥)3(1(2(3(1)当(2)当(3)当如果方程2()ax bx c o a o ++=≠有两个实数根1x ,2x ,那么12b x x a +=-,12c x x a=五、应用一元二次方程(1、几何面积问题;2、销售问题)审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数(直接假设和间接假设)→列一元二次方程→解方程→检验→作答。

新北师大版九年级数学下册知识点复习汇总

新北师大版九年级数学下册知识点复习汇总

新北师大版九年级数学下册知识点汇总第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比;③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。

2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二.特殊角的三角函数值图1 图3 图4三.三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。

4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。

用字母i 表示,即A lh i tan == 5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。

如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

北师大版九年级数学(下)全书知识总结

北师大版九年级数学(下)全书知识总结
2、(1) 的值越大,梯子越陡。
(2) 的值越大,梯子越陡。
(3) 的值越小,梯子越陡。
3、导出公式
(1) ; 。
(2) 。
(3) .
要点诠释:
(1)公式成立的条件是
(2)锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.
1.230°、45°、60°角的三角函数值
要点一、1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
利用三角函数的定义,可求出30°、45°、60°角的各三角函数值,归纳如下:
锐角
30°
45°
1
60°
要点诠释:
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若 ,则锐角 .
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.
(4)由锐角三角函数的定义知:
当角度在0°<∠A<90°间变化时, , ,tanA>0.
要点二、梯子的倾斜程度与梯子的关系
1、坡度:坡面的铅直高度 与水平宽度 的比称为坡度(或坡比),用字母 表示。设坡角为 ,则坡度 = = ,如图,坡度通常写成 的形式.
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a>0
向上
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而增大;
x<0时,y随x增大而减小.
当x=0时,
y最小=0
y=ax2
a<0
向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而减小;

北师大版初三(下)数学重点知识点汇总

北师大版初三(下)数学重点知识点汇总

初三(下)重点知识点汇总第1课锐角三角函数1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)正弦:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______,记作sinA.即sinA=∠A的对边斜边=ac.(2)余弦:锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______,记作cosA.即cosA=∠A的邻边斜边=bc.(3)正切:锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的______,记作tanA.即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab.(4)三角函数:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.2.锐角三角函数的增减性(1)锐角三角函数值都是___值.(2)当角度在0°~90°间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).(3)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,0≤sinA≤1,0≤cosA≤1.当角度在0°<∠A<90°间变化时,tanA>0.3.互余两角三角函数的关系在直角三角形中,∠A+∠B=90°时,正余弦之间的关系为:(1)一个角的正弦值等于这个角的余角的______值,即sinA=(90°﹣∠A);(2)一个角的余弦值等于这个角的余角的______值,即cosA=sin(90°﹣∠A);也可以理解成若∠A+∠B=90°,那么sinA=cosB或sinB=cosA.参考答案:1.(1)正弦;(2)余弦;(3)正切2.(1)正3.(1)余弦正弦第2课特殊角的三角函数值1.特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值.sin30°=;cos30°=;tan30°=;sin45°=;cos45°=;tan45°=1;sin60°=;cos60°=;tan60°=;2.特殊角的三角函数值的应用(1)应用中熟记特殊角的三角函数值,一是按值的变化规律去记,正弦逐渐_______,余弦逐渐_______,正切逐渐_______;二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.(2)特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.参考答案:1. 30°、45°、60°2.(1)增大减小增大第2课解直角三角形(1)1.解直角三角形(1)解直角三角形的定义在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.(2)解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系:∠A+∠B=90°;②三边之间的关系:__________;③边角之间的关系:sinA=∠A的对边:斜边=a:c,cosA=∠A的邻边:斜边=b:c,tanA=∠A的对边:邻边=a:b.(a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边)2.特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值.sin30°=;cos30°=;tan30°=;sin45°=;cos45°=;tan45°=1;sin60°=;cos60°=;tan60°=;参考答案:1.(2)a2+b2=c22. 30°、45°、60°第3课解直角三角形(2)1.解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如:测不易直接测量的物体的高度、测河宽等,关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是:①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做_____,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常写成i=1:m的形式.(2)把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=h/l=tanα.(3)在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形,坡角即是一锐角,坡度实际就是一锐角的正切值,水平宽度或铅直高度都是直角边,实质也是解直角三角形问题.应用领域:①测量领域;②航空领域③航海领域:④工程领域等.3.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(1)概念:仰角是_____的视线与水平线的夹角;俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角.(2)解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.4.解直角三角形的应用-方向角问题(1)在辨别方向角问题中:一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.(2)在解决有关方向角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方向角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.参考答案:2.(1)坡比3.(1)向上看向下看第4课二次函数1.二次函数的定义(1)二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为_____,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.(2)二次函数的取值范围:一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是__________,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题有意义.2.二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是______________,对称轴直线____________,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向____,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向____,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.3.根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定.①描点猜想问题需要动手操作,这类问题需要真正的去描点,观察图象后再判断是二次函数还是其他函数,再利用待定系数法求解相关的问题.②函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化;有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式.参考答案:1.(1)整式;(2)全体实数2.(﹣,)x=﹣①上;②下3.自变量第5课二次函数的图像1.二次函数的图象(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法:①_______:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.②_______:在平面直角坐标系中描出表中的各点.③_______:用平滑的曲线按顺序连接各点.④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接起来.画抛物线y=ax2(a≠0)的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位,再向上或向下平移||个单位得到的.2.二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)①二次项系数a决定抛物线的______和_______.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;|a|还可以决定开口大小,|a|越大,开口就越___.②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).④抛物线与x轴交点个数.△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.3.二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状____,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.参考答案:1.(1)①列表;②描点;③连线;2.①开口方向大小小3.不变第6课二次函数解析式的判定1.二次函数解析式的三种常见形式二次函数的解析式有三种常见形式:①_________:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0);②_________:y=a(x﹣h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标;③_________:y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a,b,c是常数,a≠0);2.待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式.在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择________,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为________来求解;当已知抛物线与x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为_______来求解.参考答案:1.①一般式;②顶点式;③交点式2. 一般式 顶点式 交点式第7课 用函数观点看一元二次函数1.二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x 轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当时,函数的值是0,因此______就是方程ax bx c 20++=的一个根。

(完整版)北师大版《数学》(九年级下册)重点知识点总结

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北师大版初中数学定理知识点汇总 [九年级 (下册 )第一章直角三角形边的关系※一 . 正切:A 的对边 定义:在 Rt △ABC 中,锐角∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正.切.,记作 tanA ,即 tan A;的邻边 A①tanA 是一个完整的符号,它表示∠ A 的正切,记号里习惯省去角的符号 “∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠ ③tanA 不表示 “tan 乘”以 “A ”;A 的对边与邻边的比; ④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠ A 是锐角的正切;∠A 越大,梯子越陡, tanA 的值越大。

⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠ ※二. 正.弦.: A 越大; A 的对边 斜边定义:在 Rt △ ABC 中,锐角∠ A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦, 记作 sinA ,即 sin A ;※三. 余弦:A 的邻边 斜边 定义:在 Rt △ ABC 中,锐角∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦,记作 cosA ,即 cos A ;※余切:A 的邻边 A 的对定义:在 Rt △ ABC 中,锐角∠ A 的邻边与对边的比叫做∠ A 的余切,记作 cotA ,即 cotA;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

(通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三 角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠ A 为锐角,则0o 30 1 2o45 o 2 22 2 60 o3 21 290 o ①sin A cos(90 A) ; cos A sin( 90 A) sin α 0 1 ②tan A cot( 90 A) ; cot A tan(90A)3 2 3 3cos α 1 0 ※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为仰角..※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成 的锐角称为俯.角.tan α — 0 1 33 3cot α—31※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1) 当角度在 0°~ 90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大 (或减小 ) 而增大 (或减小 );余弦值、余切值随着角度的增大 (或减小 )而减小 (或增大 ) 。

北师大版九年级下册数学知识点

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北师大版九年级下册数学知识点北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线] ;重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x 3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式x是自变量,y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

(最新整理)北师大版初三下册数学知识点总结

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自变量的取值范围是全体实数.
y ax2 (a 0) 是二次函数的特例,此时常数 b=c=0.
※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并
确定自变量的取值范围.
※二次函数 y=ax2 的图象是一条顶点在原点关于 y 轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.
描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线
◎在△ABC 中,∠C 为直角,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,则有 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;
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(3)边与角之间的关系:
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
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第一章 直角三角形边的关系 ※一。 正切:
定义:在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作 tanA, 即 tan A A的对边 ;
A的邻边
①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠"; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A"; ④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切; ⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大. ※二. 正弦: 定义:在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sinA,即 sin A A的对边 ;
斜边
※三. 余弦: 定义:在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作 cosA,即 cos A A的邻边 ;

北师大版初中数学总复习知识点总结

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北师大版初中数学总复习知识点总结一、代数1.认识代数及其应用:代数表达式的含义和性质,代数表达式的算术运算法则。

2.算式的含义和性质:加、减、乘、除的定义和性质,整数、分数、小数的四则运算。

3.平方根和立方根:平方根和立方根的定义和应用。

4.一元一次方程:一元一次方程及其组成部分,一元一次方程的解的性质和求解方法,应用题。

5.代数式与方程的转换:用代数式表示方程。

6.数的性质:整数、分数、小数的大小比较,证明数之间的一些关系。

二、图形1.二维图形及其拼合:认识二维图形及其拼合,拼和成面积图形和拼成周长图形。

2.二维图形的性质:正方形、长方形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的性质。

3.二维图形的度量:线段的度量,角的度量(度、直角、弧度),角与弧的关系等。

4.合同图形和相似图形:合同图形的概念,相似图形的概念、性质和判定条件。

5.坐标系和平面图形:平面直角坐标系、平面直角坐标系中的点与坐标的关系,图像在坐标平面中的位置等。

三、数据与概率1.概率实验及其频率:概率的基本概念,概率实验和试验结果,频率的概念与计算。

2.样本空间和事件:样本空间的概念和表示方法,事件的概念与表示方法,事件间的关系与运算。

3.概率的运算:事件的概率,概率的加法定理,概率的乘法定理,概率的完全事件和独立事件。

4.数据处理和统计:调查数据的收集与整理,频数和比例的概念,数据的图表统计和分析。

四、精通题1.实际问题和应用:根据实际问题化解为数学问题,并运用各种数学方法进行求解。

2.精通题和发布结构:对各种类型的精通题进行分析,归纳各种类型的题目解题方法。

3.解决实际问题的能力:培养学生解决实际问题的能力,思考问题,提出问题,解决问题的方法和策略。

以上就是北师大版初中数学总复习知识点的总结,希望能对你的学习有所帮助。

北师大初三下册数学知识点总结

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北师大初三下册数学知识点总结一、内容综述初三下册数学,知识点众多且密集,但别担心我们来一起梳理一下。

这册数学书可是咱们迈向高中数学殿堂的重要阶梯,里面涵盖了各种数学小技巧和大学问。

三角函数、相似图形、概率统计等等,这些都是我们即将深入学习的大主题。

每个知识点都像数学世界中的一颗珍珠,串联起来就能形成美丽的数学项链。

那么让我们一起打开这册数学书的大门,开启探索之旅吧!1. 简述北师大初三下册数学课程的重要性进入初三数学课程的学习愈发重要,北师大初三下册数学,不仅仅是知识点的学习,更是思维能力的培养。

这门课程仿佛打开了一扇探索数学世界的门户,让我们在数字与图形的世界里自由遨游。

说到其重要性,不只是因为它关系到升学考试,更是因为它培养了我们的逻辑思维、空间想象等核心能力。

数学是百科之基础,而北师大初三下册数学课程更是这一基础的关键部分。

那么接下来,我们就来详细梳理一下这本教材中的知识点。

2. 概括本文的目的和主要内容开篇先给大家介绍一下,这篇文章主要是为大家梳理北师大初三下册数学的知识点。

目的呢就是帮助大家更好地理解和掌握数学知识,为中考打好基础。

咱们都知道,初三下册的数学知识点那可是一大堆,要是不理出个头绪来,复习的时候肯定会手忙脚乱。

所以这篇文章就是来帮助大家解决这个问题,让大家对北师大初三下册的数学知识点有个清晰的了解。

接下来咱们就一起来看看这些重要的知识点都有哪些吧!二、数与代数数字的世界:我们会复习整数、小数、百分数等基础知识,还会接触到新的数,如二次根式等。

这些都是数学世界的基础砖块,得打好扎实的基础才行。

式的演变:我们将深入学习代数式,理解什么是变量、什么是表达式,如何化简代数式等。

这就像解读一本充满未知字母的书,每一次的解析都会让我们离答案更近一步。

方程与不等式:通过解一元一次方程、不等式等,我们学习如何找到未知数的秘密。

这些方程在生活中无处不在,掌握了它我们就能更好地解决实际问题。

函数的初步认识:函数是数学的一个重要概念,我们会学习如何识别函数、如何画出函数的图像等。

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第一章 直角三角形边的关系※一. 正切:定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切; ⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。

※二. 正弦..: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;※三. 余弦: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切: 定义:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

(通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A 为锐角,则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=;)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=;)90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.. ※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..图1图 3 图4※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。

※同角的三角函数间的关系:倒数关系:tg α·ctg α=1。

※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。

◎在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;(2)两锐角的关系:∠A +∠B=90°; (3)边与角之间的关系:;cot ,tan ,cos ,sin a bA b aA c bA c aA ====;cot ,tan ,cos ,sin baB abB caB cbB ====(4)面积公式:c ch ab 2121S ==∆(h c 为C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2cb a r -+=(6)直角三角形的外接圆半径c R 21=◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:※如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角.. (或叫做坡比..)。

用字母i 表示,即A lhi tan ==图2h i=h:lBC◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。

如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角...。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。

第二章 二次函数※二次函数的概念:形如c bx ax y ++=2(a 、b 、c 是常数,a ≠0)的函数,叫做x 的二次..函数..。

自变量的取值范围是全体实数。

)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例,此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围........。

※二次函数y =ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线...。

描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。

①函数的取值范围是全体实数;②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y 轴(或称直线x =0)。

③当a >0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。

当a <0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。

④函数的增减性:A 、当a >0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时x y x x y xB 、当a <0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时x y x x y x⑤当|a |越大,抛物线开口越小;当|a |越小,抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值:当a >0,且x =0时函数有最小值,最小值是0;当a <0,且x =0时函数有最大值,最大值是0。

※二次函数c ax y +=2的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线※二次函数c bx ax y ++=2的图象是以abx 2-=为对称轴,顶点在 (ab2-,a b ac 442-)的抛物线。

(开口方向和大小由a 来决定)※|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴,y 随x 增长(或下降)速度越慢。

※二次函数c ax y +=2的图象中,a 的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c 决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。

※二次函数c bx ax y ++=2的图象与y =ax 2的图象的关系:c bx ax y ++=2的图象可以由y =ax 2的图象平移得到,其步骤如下:① 将c bx ax y ++=2配方成k h x a y +-=2)(的形式;(其中h=ab2-,k=a b ac 442-);②把抛物线2ax y =向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象;③再把抛物线2)(h x a y -=向上(k>0)或向下(k<0)平移| k|个单位,便得到k h x a y +-=2)(的图象。

※二次函数c bx ax y ++=2的性质:二次函数c bx ax y ++=2配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=则抛物线的①对称轴:x =a b2-②顶点坐标:(ab 2-,a b ac 442-) ③增减性:若a>0,则当x<ab2-时,y 随x 的增大而减小.....; 当x>ab2-时,y 随x 的增大而增大。

...... 若a<0,则当x<ab2-时,y 随x 的增大而增大.....; 当x>ab2-时,y 随x 的增大而减小。

...... ④最值:若a>0,则当x=ab2-时,a b ac y 442-=最小;若a<0,则当x=ab2-时,a b ac y 442-=最大※画二次函数c bx ax y ++=2的图象:我们可以利用它与函数2ax y =的关系,平移抛物线而得到,但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象,其步骤如下:①先找出顶点(a b 2-,ab ac 442-),画出对称轴x=ab2-;②找出图象上关于直线x=ab2-对称的四个点(如与坐标的交点等); ③把上述五点连成光滑的曲线。

¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k 的形式求得,也可以借助图象观察。

¤解决最大(小)值问题的基本思路是:①理解问题;②分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; ③用数学的方式表示它们之间的关系;④做数学求解;⑤检验结果的合理性、拓展性等。

※二次函数c bx ax y ++=2的图象(抛物线)与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根※抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:ac b 42->0 <===> 抛物线与x 轴有2个交点; ac b 42-=0 <===> 抛物线与x 轴有1个交点;ac b 42-<0 <===> 抛物线与x 轴有0个交点(无交点);※当ac b 42->0时,设抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,则这两个点之间的距离:2122121224)()(||||1x x x x x x x x AB -+=-=+=化简后即为:)04(||4||22>--=ac b a ac b AB ------ 这就是抛物线与x 轴的两交点之间的距离公式。

第三章 圆一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义:描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆.;固定的端点O 叫做圆心..;线段OA 叫做半径..;以点O 为圆心的圆,记作⊙O ,读作“圆O ”集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆.心.,定长叫做圆的半径....,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆..。

对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。

※2. 点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念:①弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.。

直径:经过圆心的弦叫做直径..。

②弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧..,简称弧.,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆..。

优弧:大于半圆的弧叫做优弧..。

劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧..。

(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。

)③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形..。

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