押题第37道 椭圆中与面积有关的取值范围问题(原卷版)

【押题背景】

取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.

【押题典例】

典例1 已知椭圆C：

22

22

x y

a b

+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2

2

9

2

y

⎛

+=

⎝⎭

过点F2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．

【答案】（1）

22

1

84

x y

+=；（2）．

【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），

又因为

2

1

2

OE F P

=，所以P点坐标为(2，所以12

2a PF PF

=+=

则a=b＝2，因此椭圆的方程为

22

1

84

x y

+=；

（2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为()

42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0，

所以x P x A

2

2

84

12

k

k

--

=

+

，所以x A

2

2

42

12

k

k

--

=

+

，

直线l2的方程为y

1

k

=-（x﹣3），所以点D坐标为

1

4

k

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，

押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题

所以S △ABD 12=（4﹣x A ）|y B ﹣y D |12=•12k k +＝2k 3k ++≥，

当且仅当2k 3k =

，即k =时取等号，综上，△ABD 面积的最小值． 典例2如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围． 【答案】 (1)x 22＋y 2＝1；(2)S ∈⎣⎡⎦

⎤23，2

2.

【解析】 (1)由题设知，c ＝1，a 2c ＝2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝a 2－c 2＝1, 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2

＝1.

(2)解法一：当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22

； 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1

k x .

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以

x 21＝

22k 2＋1，y 21＝2k 2

2k 2＋1， 同理x 22＝

2k 22＋k 2，y 22

＝22＋k 2

，△AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝(k 2＋1)2

(2k 2＋1)(k 2＋2)

.

令

t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)，S ＝

t 2

(2t －1)(t ＋1)＝

1

2＋1t －1t

2

， 令u ＝1

t

∈(0,1)，则S ＝

1

－u 2＋u ＋2

＝

1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94

∈⎣⎡⎭⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，2

2. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OA

OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.

①当直线AB 的斜率不存在时，△AOB 是等腰直角三角形．所以， 可设A (t ，t )，B (t ，－t )，则t 22＋t 2＝1，得t 2＝23.此时△AOB 面积S ＝t 2＝2

3；

②当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝kx ＋m ，x 22

＋y 2＝1.

得1＋2k 2x 2

＋4kmx ＋2m 2

－2＝0.所以Δ＝8(1＋2k 2

－m 2

)>0，且⎩⎪⎨⎪⎧

x 1

＋x 2

＝－4km

1＋2k 2

，

x 1x 2

＝2m 2

－2

1＋2k

2

，

所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2

)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2

＝3m 2－2－2k 21＋2k

2，所以m 2＝2

3(1＋k 2)． 又AB ＝

(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝

1＋k 2|x 1－x 2|，O 到AB 的距离h ＝

|m |

1＋k 2

，

所以△AOB 面积S ＝12AB ·h ＝1

2|m ||x 1－x 2|＝2|m |·1＋2k 2－m 21＋2k 2

＝ 2 3· 1＋5k 2＋4k 4 1＋2k 2

＝ 2

3· 1＋k 2

1＋4k 2 ＋4k 4

，

当k ＝0时，S ＝ 2 3，当k≠0时，S ＝

2

3

1＋ 1

4k 2

＋1 k

2＋4

，

∵4k 2＋1k 2≥4，当且仅当k 2＝12取“＝”，∴0＜ 1 4k 2＋1k 2＋4

≤18∴S ∈(23，2

2

]，

综上，△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦

⎤23，2

2.

【押题匹配】

(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，1

2)，

点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图所示．

(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值． 【答案】 (1)x 24

＋y 2

＝1；(2)2－1.