押题第37道 椭圆中与面积有关的取值范围问题(原卷版)
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)椭圆中的面积问题 Word版含答案
先看例题：
例：已知椭圆的左右焦点分别为，若过点(，)及的直线交椭圆于两点，求的面积
解法一：由已知，直线过、两点，则直线方程为：
联立直线与椭圆方程：
可得，又
又三角形的高为到直线的距离，由点线距得：
归纳整理：
直线与椭圆两交点与原点形成的三角形面积求法：
（）一般情形，弦任意，点任意弦长×点线距
（）特殊情形，过轴上一定点的直线与椭圆交于、两点，求
（）特殊情形，过轴上一定点的直线与椭圆交于、两点，求
再看一个例题，加深印象
例：过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于两点为坐标原点,则△的面积为.
解：由已知椭圆，右焦点坐标为(),故直线(－)，与椭圆联立.
设()(),
可得,
利用,求得：.
注意：学会分解三角形面积，有时可以转化问题，回避求弦长等复杂计算。
总结：
.根据直线和椭圆的位置关系，如果弦任意，选择公式弦长×点线距。
.根据直线和椭圆的位置关系，如果直线过轴上一定点，设直线方程，代入椭圆方程计算弦长。
.根据直线和椭圆的位置关系，如果直线过轴上一定点，设直线方程，代入椭圆方程计算弦长。
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题
2－2sinθ－2cosθ＋2sinθcosθ ＝2.所以，四边形 AMNB 的面积为定值． 1－sinθ－cosθ＋sinθcosθ
1 说明：将四边形面积转化为2AN· BM，是顺利解题的关键．本例可 以拓展为一般的情形．
x2 2 变式 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 4 ＋y ＝1，点 A，B 分 别是椭圆的右顶点和上顶点，设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：AN· BM 为定值．
2 2 1 x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4 14＋4x0y0－4x0－8y0＋4 ＝ ＝2. ＝2 x0y0－x0－2y0＋2 2 x0y0－x0－2y0＋2
所以，四边形 AMNB 的面积为定值．
证法 2 设点 P(2cosθ，sinθ)，因为 P 在第三象限，所以不妨设 π＜θ 3π sinθ sinθ ＜ 2 ，直线 PA：y＝ (x－2)，令 x＝0，得 yM＝ .∴BM＝ 2cosθ－2 1－cosθ
x2 2 变式 2 如图，已知椭圆 2 ＋y ＝1，过椭圆的上顶点 A 作一条与两轴均 不平行的直线 l 交椭圆于另一点 P， 设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q， 若直线 AP，AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m，n，求证：mn 为 常数，并求出此常数．
答案：2.
x2 0 解析：设点 P(x0，y0)，则有 2 ＋y2 0＝1. y0－1 x0 所以 AP 方程：y＝ x x＋1，令 y＝0，得 m＝ . 1－y0 0 x0 由题意， 点 Q 与 P 关于 x 轴对称， 所以 Q(x0， －y0)， 同理得 n＝ . 1＋y0 x2 0 所以 mn＝ 2＝2.所以 mn＝2 为常数． 1－y0
椭圆面积练习题及其完整答案
椭圆面积练习题及其完整答案
本文档包含一系列椭圆面积的练题及其完整答案。
通过这些练题，你可以巩固和提升自己计算椭圆面积的能力。
练题一：求椭圆的面积
已知椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$。
请计算该椭圆的面积$S$。
答案：椭圆的面积可以通过公式$S = \pi \cdot a \cdot b$计算得出。
练题二：已知椭圆的周长，求其面积
已知椭圆的周长为$C$，长轴长度为$a$。
请计算该椭圆的面积$S$。
答案：首先，根据椭圆周长的公式$C = \pi \cdot (a + b)$，可以
求得短轴长度$b = \frac{C}{\pi} - a$。
然后，椭圆的面积可以通过
公式$S = \pi \cdot a \cdot b$计算得出。
练题三：已知椭圆的焦点坐标，求其面积
已知椭圆的焦点坐标为$F_1(x_1, y_1)$和$F_2(x_2, y_2)$，长
轴长度为$a$。
请计算该椭圆的面积$S$。
答案：首先，可以通过焦点坐标和长轴长度计算椭圆的离心率$e$，公式为$e = \frac{F_1F_2}{2a}$，其中$F_1F_2$代表两个焦点
之间的距离。
然后，可以根据离心率和长轴长度计算短轴长度$b$，公式为$b = a \cdot \sqrt{1 - e^2}$。
最后，可以使用公式$S = \pi
\cdot a \cdot b$计算椭圆的面积$S$。
以上就是椭圆面积练习题及其完整答案的内容，希望对你的学
习有所帮助。
如有任何疑问，请随时向我提问。
椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考
椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。
线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。
然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。
【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。
微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题
3．已知椭圆 E：x42＋y32＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为
k(k＞0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，AM⊥AN，且 AM 144
＝AN，则△AMN 的面积为 49 .
解析：椭圆 E 的方程为x42＋y32＝1，A 点坐标为(－2,0)，则直线 AM 的方 程为 y＝k(x＋2)．联立x42＋y32＝1， 并整理得(3＋4k2)x2＋16k2x y＝kx＋2， ＋16k2－12＝0，解得 x＝－2 或 x＝－38＋k2－4k62，则
过点 P，则有 xx12xx00＋ ＋yy12yy00＝ ＝22，.
所以 MN 坐标满足方程 xx0＋yy0＝2，所以 MN 直线方程为 x0x＋y0y ＝2.
所以 Ax20，0，B0，y20，所以 S△OAB＝12·x20·y20＝|x02y0|. 又因为1x620 ＋y420＝1≥2 x620y420＝|x04y0|，所以|x0y0|≤4，即 S△OAB≥12.
由2x52 ＋y92＝1，
消去 y，得 28x2＋200x＋325＝0，即(14x＋65)(2x
y＝ 3x＋4，
＋5)＝0，
方程组的解为x＝－6154， y＝－9143，
或x＝－25， y＝3 2 3.
因为
y＞0，所以
yP＝3
2
3 .
所以△PF1F2 的面积为 S△PF1F2＝12·F1F2·|yP|＝12×8×323＝6 3.
y＝x2＋y22＝1 ⇒4x2－2 2mx＋m2－2＝0，由△＝0 得 m2＝4，又 y＝－ 2＋m
P 在第一象限，∴m＝2.
lp：y＝－
2x＋2.两平行直线的距离为
2.d＝2
3－ 3
椭圆中的范围问题 专题练习
椭圆中的范围问题 专题练习一、单选题1．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【答案】B详解：若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得02m <<．故选B ．2．设e 是椭圆2214x yk +=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．1633,⎛⎫⎪⎝⎭C ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】由椭圆方程2214x y k+=，当04k <<时，24a =，2b k =，24c k =-，所以22244c ke a -==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得03k <<，当4k >时，2a k =，24b =，24c k =-，所以2224c k e a k -==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得163k >，故实数k 的取值范围为()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C.3．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅的最小值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2212x y=-，且有x ≤≤，()1,0F ，()1,FP x y =-，()22222212111211122O x P FP x x y x x x x x ⋅=-+=-+=--+=+-，2x -≤≤1x =时，OP FP ⋅取得最小值12. 故选：C.4．已知F 为椭圆22:162x y C +=的右焦点，过F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则M到x 轴的最大距离为（ ） A ．13B ．12CD．2【答案】C【详解】因为226,2a b ==，所以椭圆的右焦点坐标为()2,0．设()()1122,,,A x y B x y ，直线l ：x =2ty +，（显然当直线斜率为0时，不可能最大），与椭圆方程联立得，()223420ty ty ++-=，所以12243ty y t +=-+， 即弦AB 的中点M 纵坐标为122223y y tt +=-+，所以M 到x 轴的距离为223t t +． 当0t ≠时，22233t t t t=≤=++，故M 到x故选：C ．5．设,A B 是椭圆22:14x y C k+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足120APB ∠=︒，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,1][16,)⋃+∞ B ．10,[8,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．10,[16,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(0,1][8,)⋃+∞【答案】A【详解】①04k <<时，C 上存在点P 满足120APB ∠=︒， 设M 为椭圆短轴端点，当P 位于短轴的端点时，APB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点P 满足120APB ∠=︒则120AMB ∠≥︒，60AMO ∠≥︒，∴1cos cos6022AMO ∠=≤︒=，解得01k <≤； ②当椭圆的焦点在y 轴上时，4k >，同理可得16k ≥；∴k 的取值范围是(0,1][16,)⋃+∞. 故选：A.6．设12F F 、分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，M 的坐标为（6，4），则1||PM PF +的最大值为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C【详解】如图所示，由椭圆2212516x y +=可得：5a =，4b =，3c ==，()13,0F ∴-，()23,0F ，由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222210101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，则1PM PF +的最大值为15， 故选：C7．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，焦点分别为 12,F F ，P 为椭圆上不同于长轴两端点的动点，x 轴上的点M 满足 1212PF PF PM PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭.若点M 的横坐标的取值范围是(),e e -，则椭圆的焦距为( ) A ．2 B ．C 1D ．无法确定【答案】A【详解】由题意，P 为椭圆上的动点，x 轴上的点M 满足1212PF PF PM PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭可得PM 为12F PF ∠的平分线，所以1122MF PF MF PF =，即222M M a PF x c c x PF -+=-，解得()2,M c a PF x a-=又由()2,PF a c a c ∈-+，即22,M c c x a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，又因为ce a=，即(),M x ec ec ∈-，因为点M 的横坐标的取值范围是(),e e -，所以1c =，从而椭圆焦距为2. 故选：A .8．已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．1,32⎡⎢⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【详解】解：如图，因为线段1PF 的中垂线经过2F ，2122PF F F c ∴==即在椭圆上存在一点P ，使得22PF c =2min 2PF c ≤，12,3,3c a c c a c a -≤≤≥ 又1ca<， 所以椭圆离心率的取值范围是113ca≤<， 故选：A9．已知点P 是椭圆221169x y +=上任意一点，则点P 到直线70x y +-=的距离最大值为（ ）A．B．C．D ．6【答案】A【解析】：设与70x y +-=平行的直线为0x y m ++=，联立22{1169x y m x y ++=+=，消元得： 22251891440y my m ++-=，令22(18)100(9144)0m m ∆=--=，得：5m =±，当5m =时，d ==5m =-时，d ==P到直线的距离max d =A ．10．知12F F ，是椭圆22:18x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．(][)0,216,+∞B ．(][)0,416,+∞C ．(][)0,28,+∞D ．(][)0,48,+∞【答案】B【详解】先讨论当点P 在椭圆上时，角12F PF ∠的最大时，点P 的位置.()222221212121212121224cos 22PF PF PF PF c PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅2222212221212124244422222222a PF PF c b b b PF PF PF PF a PF PF -⋅-==-≥-=-⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭当且仅当12=PF PF 时取得等号,即当点P 在椭圆的短轴的端点上时，12cos F PF ∠最小. 此时12F PF ∠最大.要使得椭圆C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则只需12F PF ∠最大时的值大于等于90︒. 如图设椭圆的一个短轴的端点为B ，即只需145F BO∠≥︒. 当椭圆的焦点x 在轴上时，c =由题意可得tan 4508m ≥︒<<⎩， 当椭圆的焦点y 在轴上时，c =或tan 458,m ≥︒>⎩， 解得04m <≤或16.m ≥故选：B.11．已知动点P 在椭圆C ：2212516x y +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足1MF =，且MP MF ⊥，则PM 的最小值为（ ） A．3B ．2CD ．1【答案】C【详解】由已知，(3,0)F ，设(,)P x y ，则22161625x y =-，因P 在椭圆上，所以55x -≤≤，所以32535535PF x x ===-=-， 所以当5x =时，min ||2PF =，又MP MF ⊥，所以PM =minPM ==.故选：C12．椭圆2214y x +=上的动点P 到定点)A距离的最大值为（ ）A 1B 1C ．D ．3【答案】C【详解】设椭圆上的点为(),x y ，[]1,1x ∈-，则动点P 到定点)A距离d ==2214y x +=，可得2244y x =-，代入前式可得d ===当x =d 取到最大值，max d =故选：C13．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，12F F 、是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF ⋅>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()()3,00,3-B ．[)(]3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．(][),33,-∞⋃+∞【答案】C 【详解】椭圆2222:19x y C a a+=+，12F F 、是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ， 画出图象：根据图象可知当点P 移动到y 轴顶点时，12F PF ∠角度最大，此时120PF PF ⋅>，P 移动到椭圆其位置也必有120PF PF ⋅> 根据2222:19x y C a a +=+ ∴()13,0F -，()23,0F ，点P 移动到y 轴顶点时，()0,P a 可得：()13,PF a =--，()23,PF a =由120PF PF ⋅>，可得290a ->，即29<a 解得33a -<<其0a ≠ 故选：C.14．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．5C ．5D ．5【答案】C【详解】解：设直线l 的方程为y ＝x +t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1＝0，由题意得△＝（2t ）2﹣5（t 2﹣1）＞0，即t 2＜5．弦长|AB |＝≤． 故选：C ．15．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．0,2⎛ ⎝⎦【答案】C【详解】取AP 中点Q ，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥， 故三角形AFP 为等腰三角形，即FA FP =，且FA a ==由于P 在直线2a x c =上，故2a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥解得：e ≥e ≤01e <<故1e >≥故选：C16．已知椭圆C ：22197x y +=的左焦点为F ，点()A ，P 为椭圆C 上一动点，则PAF △的周长的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．10【答案】B【详解】设椭圆的右焦点为F '，3,a b c ===()A 在椭圆内，点()F ，且6PF PF '+=，1AF =，3AF '==，PAF △的周长为()16PA AF FP PA PF '++=++-()77PA PF AF ''=+-≥-，当且仅当P 位于射线F A '与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4. 故选：B.。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中与面积有关的取值范围问题》作业评价
θ∈(0，π2)．那么△ ACD的面积为ay0，△ BCD的面积为bx0，所以四边形面积SACBD＝ay0＋bx0
＝ab(cosθ＋sinθ)＝
2absinθ＋π4≤
2ab＝3b2.当且仅当θ＝π4时取“＝”，
所以b＝ a
32，所
以e＝ca＝
1－ba22＝
7 3.
图37-9
过椭圆
1x62 ＋
y2 4
∴C1－6－k212＋33k1，
3－2
3k21－6k1
k12＋3
∴kBC＝4123kk11＝ 3
∴直线BC的斜率为kBC＝ 3.
②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为 y＝ 3x＋m，代入方程x22＋y62＝1得 6x2＋2 3mx＋m2－6＝0， 其中Δ＝(2 3m)2－24(m2－6)＞0，所以m2＜12 ∴x1＋x2＝－ 33m，x1x2＝m26－6， ∴|BC|＝ 1＋( 3)2·|x1－x2|＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2＝23 3 12－m2，
①kBC＝ 3，②△ABC面积取得最大值 3.此时，直线BC的方程为y＝ 3x± 6.
①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直．因此其斜率必存在，
y－ 3＝k1(x－1)，
且斜率不为0，设两腰的斜率分别为k1，k2，由x22＋y62＝1，
消去y，得
(3＋k21)x2＋2k1( 3－k1)x＋( 3－k1)2－6＝0，
3
|PF1|·|PF|2＝20，∴|PF1|·|PF2|＝ 16 ＝16(2－ 2＋ 3
3)，可得△ PF1F2的面积为S＝
1 2·|PF1
|·|PF2|·sin30°＝4(2－
3)．
若椭圆
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量例题：如图，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k21＋2k2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 2＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分例题答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)S∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将⎝⎛⎭⎪⎫1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 12＝22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA·OB2＝ （k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）. 令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)， S ＝t2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2，令u ＝1t ∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －12＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22. 变式联想变式1 答案： 2.解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22， 则C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 此时S △ABC ＝12×2×2＝2；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x 1，2＝4k 2±Δ2（1＋2k 2）， 所以AB ＝（1＋k 2）·|x 1－x 2|＝1＋k 2·Δ（1＋2k 2）＝221＋k21＋2k2.(弦长公式)另一方面点O 到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k|k 2＋1，∴S △ABC ＝12AB·2d＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·1＋k 21＋2k 2·2|k|k 2＋1＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2＝ 2214－14（2k 2＋1）2＜ 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.说明：O 为AC 中点，所以△ABC 的面积是△OAB 面积的两倍，而△OAB 的面积可以用公式S △OAB ＝12OF·|y 1－y 2|得出，所以S △ABC ＝2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k|·|x 1－x 2|＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2.这样计算可以简洁一些． 变式2答案：(1)2；(2)6 3.解析：(1)设P(x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)，因为x 024＋y 02＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 024＋20＝1，所以λ＝2，即OQ OP ＝2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m|·|x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）·m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t≤1.因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋2t ，故S≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.串讲激活串讲1 答案：43.解析：设S(22，t)，则t≠0，直线SA 1：y ＝t 32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t32（x ＋2），得x 2＋t 29(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9，即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t2（x －2），可得x N ＝2t 2－2t 2＋1.所以 S 1S 2＝12SA 1·SA 2·sin ∠S 12SM ·SN ·sin ∠S ＝SA 1·SA 2SM ·SN＝ |22＋2|·|22－2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋2t 2－92t 2＋9·⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－2t 2－2t 2＋1＝（t 2＋9）（t 2＋1）（t 2＋3）2＝1＋4t 2t 4＋6t 2＋9＝1＋4t 2＋9t2＋6≤1＋412＝43，等号当且仅当t 2＝3，即t ＝±3时成立． 所以，当S(22，±3)时，S 1S 2的最大值为43.说明：本题用三角形面积公式S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ，最后得到S 1S 2＝|x S －xA 1||x S －xA 2||x S －x M ||x S －x N |，这样运算就简单了．还有，用直线SA 1的方程求点M 坐标时，要注意方程组一定有一个解x A1，所以，也可以用韦达定理求出x M .串讲2答案：(1)x 24＋y2＝1；(2)y ＝72x －2或y ＝－72x －2.解析：(1)设F(c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法1：依题意，当l⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1，2＝8k±24k 2－31＋4k 2，从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2，又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·PQ＝44k 2－31＋4k 2，设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 解法2由题意知直线l 的斜率必存在．则S △OPQ ＝ 12OP 2·OQ 2－（OP →·OQ →）2，设P(2cos α，sin α)，Q(2cos β，sin β)．所以S △OPQ ＝12·2·|sin (α－β)|≤1，当sin (α－β)＝±1时，等号成立．此时α－β＝2k π＋π2或α－β＝2k π－π2(k∈Z)．又P (2cos α，sin α)，Q (2cos β，sin β)与A (0，－2)共线，则sin β＋22cos β＝sin α＋22cos αsin(α－β)＝2(cosα－cos β)＝±1cos α－cos β＝±12.又k PQ ＝sin α－sin β2（cos α－cos β）＝±(sin α－sinβ)．①若α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋β＝cos β，同理cos α＝－sin β.所以sin α－sin β＝sin α＋cos α.因为cos α－cos β＝12得到cos α－sin α＝12.且(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±72.②同理，当α－β＝2k π－π2(k ∈Z)时，sin α－sin β＝±72，所以k PQ ＝11 ±72.(以下同解法1) 新题在线答案：(0，1)．解析：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且x 1·x 2≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2，得－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 因为m ≠0，所以k 2＝14，所以k ＝±12. 因为Δ＞0，且x 1·x 2≠0，所以0＜m 2＜2且m 2≠1.设点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OPQ ＝12·d ·PQ ＝12d ·1＋k 2|x 1－x 2|＝m 2（2－m 2）＝－（m 2－1）2＋1. 所以△OPQ 面积的取值范围是(0，1)．说明：命题人用直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，是为了告知直线PQ 斜率为±12.。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中与面积有关的取值范围问题》
专题37椭圆中与面积有关的取值范围问题取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.如图37-1所示，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，左准线方程为x＝－2.图37-1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．求椭圆中某个三角形的面积的最值或范围问题，一般是从函数角度出发，本题也是如此，而构建函数是本题的关键，先是选择变量，条件OA⊥OB启示本题应选直线OA(或OB)的斜率k为变量，根据三角形的几何特征，通过代数计算建立三角形的面积关于k的函数，然后利换元法求出最终结果.如图37-3所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．图37-3设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图37-4所示．图37-4(1)求OQ OP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．如图37-5所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．图37-5已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．如图37-6所示．图37-6(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图37-7所示．图37-7(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值．(本小题满分14分)(2019·苏北七市三模)如图37-8所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A (0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M (0,1)．图37-8(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N . 若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率.(1)x 24＋y 23＝1；(2)±12.(1)因为椭圆C 的上顶点为A ()0 ， 3，所以b ＝3，又圆O : x 2＋y 2＝14a 2经过点M ()0 ， 1，所以a ＝2. …………………………………………………………………………………………2分(求出a )所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)若l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.…………………………………………………………………………………5分(检验l 1的斜率为0是否合理)设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1)消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，设P ()x 1 ， y 1，Q ()x 2 ， y 2，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2， 所以|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2||x 1－x 2＝461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2.…………………8分(利用弦长公式求出PQ )直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，圆心到直线的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以|MN |＝21－k 21＋k 2＝21＋k 2. …………………………………………………………………11分(由| MN |＝2 r 2－d 2 容易求得MN )所以△PQN 的面积S ＝12|PQ |·|MN |＝12×461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.…………………………………………………………14分(将求得的PQ ，MN 代入面积公式求出l 1的斜率)答题模板 第一步：由圆O 过点M ，求出a ；第二步：求出椭圆的方程；第三步：检验l 1的斜率为0时，题设是否成立；第四步：联立方程，由弦长公式求出PQ ；第五步：由圆心到直线的距离和半径求出圆的弦长MN ； 第六步：将求出的PQ ，MN 代入S △PQN ＝3求得斜率k .作业评价点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上的动点，F 1，F 2是左右焦点，若∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是_________．若椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是________．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，D ，动点P 满足P A PB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则此椭圆的离心率为_________．已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________．过椭圆x 216＋y 24＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________．椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．如图37-10所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．图37-10如图37-11所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B，C 两点，过B，C两点且分别与直线AB，AC垂直的直线相交于点D.已知椭圆E的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455.(1)求椭圆E的标准方程；(2)证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求△BCD面积的最大值．图37-11。
椭圆综合题中定值定点范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、 三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求 直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的 取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、 解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、 解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、 解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． 又因为2111b ==+,所以22a =,21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ； 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、 解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =； 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明： 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，． 所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。
椭圆中与面积有关的取值范围问题 作业答案
y＝x2＋y2＝1 2
y＝－ 2＋m
4x2－2 2mx＋m2－2＝0，由△＝0 得 m2＝4，又 P 在第一象限，∴m＝2.
lp：y＝－
2x＋2.两平行直线的距离为
2.d＝2
3－ 3
6，
∴S△AFP＝12|AF|·d＝12·2
3－6＝1－ 3
22.∴S
四边形
OAPF＝
22＋(1－
22)＝1＋
22.
3、解析：椭圆 E 的方程为x2＋y2＝1，A 点坐标为(－2，0)，则直线 AM 的方程为 y＝k(x＋2)．联 43
x2＋y2＝1， 立4 3
并整理得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，解得 x＝－2 或 x＝－8k2－6，
y＝k（x＋2），
3＋4k2
| | 则 AM ＝
1＋k2 －83k＋2－4k62＋2 ＝
1＋k2
·
12 3＋4k2
.
因
为
AM⊥AN ， 所 以
AN ＝
－1 2
12
12
1＋
k
· 3＋4·
(2)解法 1：因为 S△AOB＝2S△AOM，所以 AB＝2AM，所以点 M 为 AB 的中点.
因为椭圆的方程为x2＋y2＝1，所以 42
A(－2，0)．设
M(x0，y0)，则
B(2x0＋2，2y0)，
所以 x02＋y02＝89，①（2x0＋ 4 2）2＋（2y20）2＝1，②
由①②，得 9x02－18x0－16＝0，解得 x0＝－23或 x0＝83(舍去)．
Δ m2＋
1
＝
2acb2 1＋m2 b2m2＋a2
.
令
1＋m2 ＝ t ， 则
押题第37道 椭圆中与面积有关的取值范围问题(解析版)
【押题背景】取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.【押题典例】典例1 已知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2292y⎛+=⎝⎭过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．【答案】（1）22184x y+=；（2）．【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为212OE F P=，所以P点坐标为(2，所以122a PF PF=+=则a=b＝2，因此椭圆的方程为22184x y+=；（2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为()42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0，所以x P x A228412kk--=+，所以x A224212kk--=+，直线l2的方程为y1k=-（x﹣3），所以点D坐标为14k⎛⎫⎪⎝⎭，押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题所以S △ABD 12=（4﹣x A ）|y B ﹣y D |12=•12k k +＝2k 3k ++≥，当且仅当2k 3k =，即k =时取等号，综上，△ABD 面积的最小值． 典例2如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围． 【答案】 (1)x 22＋y 2＝1；(2)S ∈⎣⎡⎦⎤23，22.【解析】 (1)由题设知，c ＝1，a 2c ＝2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝a 2－c 2＝1, 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)解法一：当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22； 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1， 同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝(k 2＋1)2(2k 2＋1)(k 2＋2).令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)，S ＝t 2(2t －1)(t ＋1)＝12＋1t －1t2， 令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OAOB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.①当直线AB 的斜率不存在时，△AOB 是等腰直角三角形．所以， 可设A (t ，t )，B (t ，－t )，则t 22＋t 2＝1，得t 2＝23.此时△AOB 面积S ＝t 2＝23；②当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.得1＋2k 2x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.所以Δ＝8(1＋2k 2－m 2)>0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－2－2k 21＋2k2，所以m 2＝23(1＋k 2)． 又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，O 到AB 的距离h ＝|m |1＋k 2，所以△AOB 面积S ＝12AB ·h ＝12|m ||x 1－x 2|＝2|m |·1＋2k 2－m 21＋2k 2＝ 2 3· 1＋5k 2＋4k 4 1＋2k 2＝ 23· 1＋k 21＋4k 2 ＋4k 4，当k ＝0时，S ＝ 2 3，当k≠0时，S ＝231＋ 14k 2＋1 k2＋4，∵4k 2＋1k 2≥4，当且仅当k 2＝12取“＝”，∴0＜ 1 4k 2＋1k 2＋4≤18∴S ∈(23，22]，综上，△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.【押题匹配】(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图所示．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值． 【答案】 (1)x 24＋y 2＝1；(2)2－1.【解析】（1）设c 2＝a 2－b 2，则c a ＝ 32，所以a 2＝4b 2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3，12在椭圆上，所以3a 2＋14b 2＝1.解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. （2）由题意，AP 直线斜率存在，所以设直线AP ：y ＝k(x ＋2)，P 在第四象限，所以－12<k <0.令x ＝0得y C ＝2k ，所以C (0,2k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2.又x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2－21＋4k 2，y P ＝k (x P＋2)＝4k 1＋4k 2.即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2－21＋4k 2，4k 1＋4k 2. 设D(m,0)，因为B(0,1)，P ，B ，D 三点共线，所以m －00－1＝－8k 2－21＋4k 24k 1＋4k 2－1，解得m ＝2(1＋2k )1－2k .即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ，0.所以S △PCD ＝S △P AD －S △CAD ＝12·AD ·||y P －y C ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k 2－2k ＝4||k (1＋2k )1＋4k 2. 因为－12<k <0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2(1－2k )1＋4k 2.令t ＝1－2k ，则1<t <2，所以2k ＝1－t ，所以S △PCD ＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤－2＋22 2－2＝2－1.当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.【押题变式】1、（2020江苏无锡高三）若椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是________． 【答案】 2【解析】根据题意可得a ＝2，c ＝4－b 2，S △F1BF 2＝12×2 4－b 2·b ＝ 4－b 2·b ≤4－b 2＋b 22＝2，当且仅当4－b 2＝b ，即b ＝2时等号成立．2、（2020江苏盐城高三）椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，D ，动点P 满足P APB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则此椭圆的离心率为_________．【答案】32【解析】设P (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，∵P APB ＝2，∴(x ＋a )2＋y 2＝4[(x －a )2＋y 2]，化简得⎝⎛⎭⎫x －53a 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫43a 2，∴点P 的轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫53a ，0，半径R ＝43a 的圆． 当S △P AB 最大时，有S △P AB ＝12·2a ·R ＝43a 2＝163，∴a ＝2.当S △PCD 最小时，有S △PCD ＝12·2b ·⎝⎛⎭⎫53a －R ＝ab 3＝23，∴b ＝1.∴椭圆离心率e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝32. 3、（2020江苏镇江高三）已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________． 【答案】73【解析】如图所示，不妨设点C 在第一象限，设C (x 0，y 0)，则x 0＝a cos θ，y 0＝b sin θ，θ∈(0，π2)．那么△ACD 的面积为ay 0，△BCD 的面积为bx 0，所以四边形面积S ACBD ＝ay 0＋bx 0＝ab (cos θ＋sin θ)＝ 2ab sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2ab ＝3b 2.当且仅当θ＝π4时取“＝”， 所以b a ＝23，所以e ＝c a＝1－b 2a 2＝73.4、（2020江苏连云港高三）过椭圆x 216＋y 24＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________． 【答案】 12【解析】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则切线PM ，PN 方程分别为x 1x ＋y 1y ＝2，x 2x ＋y 2y ＝2，两直线均过点P ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 0＋y 1y 0＝2，x 2x 0＋y 2y 0＝2.所以MN 坐标满足方程xx 0＋yy 0＝2，所以MN 直线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.所以A ⎝⎛⎭⎫2x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，2y 0，所以S △OAB ＝12·⎪⎪⎪⎪2x 0·2y 0＝2|x 0y 0|.又因为x 2016＋y 204＝1≥2x 20y 264＝|x 0y 0|4， 所以|x 0y 0|≤4，即S △OAB ≥12.当且当仅x 04＝y 02时，等号成立．所以△OAB 面积的最小值为12.5、（2020江苏泰州高三）椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．【答案】 x 225＋y 29＝1【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且c ＝4，设直线PF 2：x ＝my ＋c ，则由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＝my ＋c得(my ＋c )2a 2＋y 2b 2＝1，即⎝⎛⎭⎫m 2a 2＋1b 2y 2＋2cmy a 2－b 2a2＝0.所以Δ＝4c 2m 2a 4＋4·b 2a 2⎝⎛⎭⎫m 2a 2＋1b 2＝4m 2a 2a 4＋4a 2＝4(1＋m 2)a 2.面积S ＝12·2c ·|y 1－y 2|＝c |y 1－y 2| ＝c ·Δm 2a 2＋1b 2＝2acb 21＋m 2b 2m 2＋a 2.令1＋m 2＝t ，则t ≥1，则S ＝2acb 2t b 2t 2＋c2＝2acb 2b 2t ＋c 2t≤2acb 22bc ＝ab ， 当且仅当t ＝c b 时“＝”成立．因为t ≥1，所以当c ≥b ，即b ≤4时，当t ＝cb 时，S 有最大值ab ；当b ＞4时，当t ＝1时，S 有最大值8b 2a ；当b ≤4时，令ab ＝15，即a a 2－16＝15，得a 4－16a 2－225＝0，解得a 2＝25(a 2＝－9舍去)，b 2＝9(符合题意)；当b ＞4时，令8b 2a＝15，即8a 2－15a －128＝0，解得a ＝116(15＋ 4 321)，b 2＝158a ≈9.46不合题意．综上所述，此时椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.6、（2020江苏通州高三）如图所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．【答案】 (1)x 22＋y 26＝1；(2)①k BC ＝3，②△ABC 面积取得最大值 3.此时，直线BC 的方程为y ＝3x ± 6.【解析】(1)把点A (1，3)代入x 22＋y 2n ＝1得n ＝6，故椭圆的标准方程为x 22＋y 26＝1.(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直．因此其斜率必存在，且斜率不为0，设两腰的斜率分别为k 1，k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k 1(x －1)，x 22＋y 26＝1，消去y ，得(3＋k 21)x 2＋2k 1(3－k 1)x ＋(3－k 1)2－6＝0，∴点B 的横坐标为x ＝1－6＋23k 1k 21＋3(x ＝1为点A 的横坐标)，∴点B 的纵坐标为y ＝3－23k 21＋6k 1k 21＋3，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 1k 21＋3，3－23k 21＋6k 1k 21＋3. 同理可得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－6＋23k 2k 22＋3，3－23k 22＋6k 2k 22＋3.∵k 1＋k 2＝0， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6－23k 1k 21＋3，3－23k 21－6k 1k 21＋3，∴k BC ＝12k 143k 1＝3，∴直线BC 的斜率为k BC ＝ 3. ②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 的方程为y ＝3x ＋m ，代入方程x 22＋y 26＝1得6x 2＋23mx ＋m 2－6＝0，其中Δ＝(23m )2－24(m 2－6)＞0，所以m 2＜12∴x 1＋x 2＝－33m ，x 1x 2＝m 2－66，∴|BC |＝1＋(3)2·|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝23312－m 2，又点A 到直线BC 的距离为d ＝|m |2，∴S △ABC ＝12|BC |·d ＝36m 2(12－m 2)＝36－(m 2－6)2＋36，∴当m 2＝6，满足Δ＞0即m ＝6或m ＝－6时，△ABC 面积取得最大值 3. 此时，直线BC 的方程为y ＝3x± 6.7、（2020江苏扬州高三）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3)求△BCD 面积的最大值．【答案】(1)x 29＋y 24＝1；(2)证明略；直线方程为x ＝3；(3)△BCD 面积的最大值为274.【解析】(1)由题意得c a ＝53，a 2c －c ＝455，解得a ＝3，c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)证明：设B (x 0，y 0)，C (－x 0，y 0)，显然直线AB ，AC ，BD ，CD 的斜率都存在，设为k 1，k 2，k 3，k 4，则k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0－x 0＋3，k 3＝－x 0＋3y 0，k 4＝x 0－3y 0.所以直线BD ，CD 的方程为y ＝－x 0＋3y 0(x －x 0)＋y 0，y ＝x 0－3y 0(x ＋x 0)＋y 0.消去y 得－x 0＋3y 0(x －x 0)＋y 0＝x 0－3y 0(x ＋x 0)＋y 0，化简得x ＝3，故点D 在定直线x ＝3上运动．(3)由(2)得点D 的纵坐标为y D ＝x 0－3y 0(3＋x 0)＋y 0＝x 20－9y 0＋y 0，又x 209＋y 204＝1，所以x 20－9＝－9y 204，则y D ＝－94y 20y 0＋y 0＝－54y 0，所以点D 到直线BC 的距离h 为|y D －y 0|＝⎪⎪⎪⎪－54y 0－y 0＝94|y 0|， 将y ＝y 0代入x 29＋y 24＝1得x ＝±31－y 204，所以BC ＝|x C －x B |＝61－y 204，所以△BCD 面积S △BCD ＝12|BC |·h ＝12×61－y 204·94|y 0|＝2721－y 204·12|y 0|≤272·1－y 204＋y 2042＝274，当且仅当1－y 204＝y 204，即y 0＝±2时等号成立，故y 0＝±2时，△BCD 面积的最大值为274.8、（2020江苏徐州高三）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．如图376所示．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．【答案】 (1)x 24＋y 2＝1；(2)y ＝72x －2或y ＝－72x －2.【解析】（1） 设F(c,0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.（2） 依题意，当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2，又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－31＋4k 2，设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t ≤1，当且仅当t ＝2即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 9、（2020江苏南京高三）如图所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．【答案】 43.【解析】 设S (22，t )，则t ≠0，直线SA 1：y ＝t 32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t2(x －2)．由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t32(x ＋2)，得x 2＋t 29(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9， 即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9.同理，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t2(x －2)，可得x N ＝2t 2－2t 2＋1.所以S 1S 2＝12SA 1·SA 2·sin ∠A 1SN12SM ·SN ·sin ∠A 1SN ＝SA 1·SA 2SM ·SN ＝|22＋2|·|22－2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋2t 2－92t 2＋9·⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－2t 2－2t 2＋1＝(t 2＋9)(t 2＋1)(t 2＋3)2＝1＋4t 2t 4＋6t 2＋9＝1＋4t 2＋9t 2＋6≤1＋412＝43，等号当且仅当t 2＝3，即t ＝±3时成立． 所以，当S (22，±3)时，S 1S 2的最大值为43.10、（2020江苏苏州高三）设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图所示．(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值． 【答案】(1)2；(2)6 3.【解析】 (1)设P (x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)，因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即OQ OP＝2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①，则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m |·|x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)·m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1.因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，∴当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.。
2023年高考数学考点复习——椭圆(原卷版)
2023年高考数学考点复习——椭圆考点一、椭圆的定义及应用例1、已知P 是椭圆22525x y +=上一点，1F ，2F 为椭圆的左，右焦点，且17PF =，则2PF =( ) A ．1B ．3C ．5D ．9例2、已知点(1,1)A ，且F 是椭圆22143x y+=的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3例3、已知1F ，2F 是椭圆C ：22221()x y a b a b +=>的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且1212||:||:||7:1:PF PF F F =则ab=（ ） A ．1 B ．2 C ．4D ．12跟踪练习1、在平面直角坐标系xOy 中，已知点((,0,A B ，动点M 满足4MA MB +=，则MA MB ⋅的最大值为（ ） A ．2- B ．0 C ．1D ．22、已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ）A ．1B ．－1CD ．3、已知P 为椭圆22194y x +=上一点，若P 到一个焦点的距离为1，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．124、椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k +=<<--关系为（ ）A ．有相等的长轴长B ．有相等的离心率C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距5、“ 410k << "是“方程221410x y k k +=-- 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF →→⊥．若12PF F 的面积为9，则b =____________．7、已知椭圆()2222:101x y C m m m+=>-的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，且12PF F △面积的最大C 的短轴长为_______________________．8、设点P 是椭圆22195x y +=上的点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，若12PF F △的面积为52，则12sin F PF ∠=_______．9、已知椭圆22:14x C y +=的焦点是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12PF F △的内切圆半径r 为（ ）A B ．2C ．2+D ．210、（多选）已知椭圆E ：22194x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，若12F PF △是直角三角形，则12F PF △的面积可能为（ ）A ．5B ．4CD 考点二 、椭圆的标准方程例1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F 2F 的直线l 交C 于A ，B两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=例2、椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，若112AF F B =，2120AF F F ⋅=，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y += 例3、阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C 的标准方程是（ ）A ．22143x y += B ．22134x y += C ．2212x = D ．22132x y += 跟踪练习1、已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C ，其长轴长为4，焦距为2，则C 的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．2211612x y +=或2211612y x +=C ．22143x y +=D ．22143x y +=或22143y x +=2、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，椭圆上的两点P ､Q 关于原点对称，若||||PF QF +=6，且椭圆C 的离心率为13，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22198x yB ．22132x y +=C ．22164x y += D ．22193x y +=3、（多选）若椭圆上存在点P ，使得点P 到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）A ．2211615x y +=B ．22189x y +=C ．2212521x y +=D ．2213336x y +=4、写出一个与椭圆22:153x y C +=有公共焦点的椭圆方程__________．5、古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，其面积为，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于点A ，B 且△F 2AB 的周长为32，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221643x y +=B ．221643y x +=C ．2216448x y +=D ．2216448y x +=6、已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，132AB AF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22165x y +=B ．22154x y += C ．22143x y +=D ．22132x y +=7、已知两定点()11,0F -、()21,0F 和一动点P ，若12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．221169x y += B ．22143x y += C ．221169x y -=D ．22143y x +=考法三、直线与椭圆的位置关系例1、当k 变化时，直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是___________例2、已知F 为椭圆22:12x C y +=的右焦点，直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点.若AF BF ⊥，则实数k的值为___________.例3、已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭跟踪练习 1、直线3yx 与曲线2||194y x x -=（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点2、已知椭圆22182x y +=上一点()2,1A 和该椭圆上两动点B 、C ，直线AB 、AC 的斜率分别为1k 、2k ，且120k k +=，则直线BC 的斜率k （ ）A ．12k >或12k <- B ．12k =-C ．12k =D ．k 的值不确定3、直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋22y ＝1的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定4、若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(](),11,-∞-⋃+∞D ．[1,0)(1,)-+∞5、已知两定点()1,0M -，()1,0N ，直线 l ：y x =+l 上满足PM PN += P 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或1或26、若直线4mx ny 和圆224x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y+=的交点个数为（ ）A ．2个B ．至少一个C ．1个D ．0个7、已知直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m 1≥ B ．m 1≥或01m << C ．m 1≥且5m ≠D ．05m <<且1m ≠8、已知以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知直线310x y -+=与椭圆22:12xy Γ+=相交于与A ，B 两点，若椭圆上存在点C ，使得90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为______________.10、已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，且椭圆与直线l ：7x y +=有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ）A ．10B ．7C ．D ．11、已知直线:30l x y +-=，椭圆2214xy +=，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交12、直线y kx k =-与椭圆22194x y +=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定考点四、弦长及中点弦例1、在平面直角坐标系O x y 中，直线1y x =+与椭圆2212x y +=相交于A 、B 两点，则OAB 的面积为（ ）A B ．1C ．23D例2、以椭圆22143x y +=内一点()1,1P 为中点的弦所在的直线方程是（ ） A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C 2(20y +-+=D ．2(20x -+=例3、已知椭圆22:143x y C +=，过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．3220x y --= B ．3240x y +-= C ．3450x y +-= D ．3410x y --=跟踪练习1、已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D2、已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ） A ．14-B ．34-C ．12-D ．13、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ） A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y +=D ．221189x y +=4、AB 是圆()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆221123x y +=经过,A B 两点，则AB 直线方程为______．5、椭圆221169x y +=内，过点()2,1M 且被该点平分的弦所在的直线方程为______．6、坐标原点O 且斜率为()0k k <的直线l 与椭圆2214x y +=交于M 、N 两点.若点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MAN △ 面积的最大值为（ ）AB ．CD ．17、已知直线l 交椭圆22142x y +=于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()1,1-，则直线l 的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．2D ．128、过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：0x y -=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22163x y +=B ．22175x y +=C ．22184x y +=D ．22196x y +=考点五、离心率例1、如图12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）2例2、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得122PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．1(0,]2B ．1[.1)2C ．D ． 例3、已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的半截距为c ，P 是E 上异于短轴端点的一点，若P 点的坐标为2,33a c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率为（ ）A B C D 跟踪练习1、已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12PF QF b +≥，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭2、椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅最大值取值范围为222,3c c ⎡⎤⎣⎦（其中222c a b =+），则椭圆M 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎣⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎤⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、设1F ，2F 是椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线43a x =上一点，12F PF △是底角为30的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．23C ．34D ．454、已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,e e ，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=.若12e e 2e =（ ）5、已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C D 6、已知F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左焦点，椭圆E 上一点()2,1P 关于原点的对称点为Q ，若PQF△的周长为e =（ ）A B 2C D ．37、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），且2FB AF =，则椭圆的离心率为___________.8、若椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有两个动点M ，N 满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点O 作OP MN ⊥，垂足P 的轨迹为圆，则称该圆为C 的内准圆.已知C 的内准圆方程为22223b x y +=，则C 的离心率为___________.9、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，过C 上一点P 作直线x a =的垂线，垂足为Q .若四边形12F PQF 为菱形，则椭圆C 的离心率为___________.10、焦点在x 轴上的椭圆方程为22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为___________.11、椭圆222211x y m m +=-（1m ）的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S =△，求椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C D ．1612、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，坐标原点为O ，若椭圆上存在一点P 使得△OAP 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D13、已知12,F F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点，椭圆上一点M 满足：12122,60MF MF F MF ∠==，则该椭圆离心率是（ ）A ．12B ．13C D 14、已知12,F F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点，椭圆上一点M 满足：1260F MF ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎣⎭15、如图，已知椭圆1E 和双曲线2E 在x 轴上具有相同的焦点1F ，2F ，设双曲线2E 与椭圆1E 的上半部分交于A ，B 两点，线段2AF 与双曲线2E 交于点C .若22223AF BF CF ==，则椭圆1E 的离心率是（ ）A ．23B ．12C D考点六、椭圆的综合运用例1、（多选）已知ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()5,0,5,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠且斜率之差等于n ，则正确的是（ ）A ．当0m >时，点C 的轨迹是双曲线.B ．当1m =-时，点C 在圆2225x y +=上运动.C ．当1m <-时，点C 所在的椭圆的离心率随着m 的增大而增大.D ．无论n 如何变化，点C 的运动轨迹是轴对称图形.例2、（多选）已知焦点在x 轴上的椭圆过点()3,0 ）A ．椭圆的标准方程为22193x y += B ．椭圆经过点(C ．椭圆与双曲线223x y -=的焦点相同D ．直线()11y k x -=-与椭圆恒有交点例3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>0ax by -=与圆22:10M x y mx +-+=相切，则实数m 的值是（ ） A ．±1 B ．2± C ．4± D ．8±跟踪练习1、双曲线222213x y a a -=与椭圆222216(0)x y a b a b +=>>有两个公共焦点1F ，2F ，其中1F 在y 轴左侧且该双曲线与直线:43l y bx =-相切，则a 的值是（ ）A ．92B ．32C D ．12、已知F 是椭圆2212y x +=的下焦点，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12⎛ ⎝⎦C ．⎛ ⎝⎦D ．⎤⎥⎣⎦3、已知函数log (1)1a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n+=上，则m n +的最小值为（ ） A ．12 B ．10C ．9D ．84、已知椭圆C ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22=1128x y +B ．22=1124x y +C ．22=132x y +D ．22=13x y +5、（多选）已知椭圆22:1169x y C +=上有一点P ，1F ､2F 分别为其左右焦点，12F PF θ∠=，12F PF △的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若60θ=︒，则S =B ．若3S =，则满足题意的点P 有4个；C ．若12F PF △是钝角三角形，则S ⎛∈ ⎝⎭； D ．椭圆C 的内接矩形的周长的最小值为12.6、已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为1(1,0)F -，经过点1F 的直线l 与圆222:(1)8F x y -+=相交于P ，Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||||MF MP =.（1）求椭圆C 的方程；（2）l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积.7、已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值．。
椭圆的面积问题专项训练
椭圆中的三角形面积专项训练1.设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E（1）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．2.已知)01(1，-F ，)01(2，F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，且点)231(，P 在椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程（2）直线l ：)0(>+=m m kx y 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M 、N ，当OMN ∆面积取最小值时,求此时直线l 的方程3.平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：)0(12222>>=+b a bx a y 焦点的直线022=-+y x 交M 于P 、Q 两点，G 为PQ 的中点，且OG 的斜率为9（1）求M 的方程（2）B A ,是M 的左、右顶点，D C ,是M 上的两点，若BD AC ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值4.设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，左顶点到直线022=-+y x 距离为554（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由（3）在（2）的条件下，试求OAB ∆面积S 的最小值5.如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右项点分别为21,A A ，左右焦点分别为21,F F 离心率为23，3221=F F ，O 为坐标原点（1）求椭圆C 的方程（2）设过点),4(m P 的直线21,P A P A 与椭圆分别交于点N M ,，其中0>m ，求OMN ∆的面积S 的最大值6.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2,左右焦点分别为21,F F ，以原点O 为圆心，以椭圆C 的半短轴长为半径的圆与直线0543=+-y x 相切（1）求椭圆C 的方程（2）设不过原点的直线l ：m kx y +=与椭圆C 交于A 、B 两点①若直线2AF 与2BF 的斜率分别为21,k k ，且021=+k k ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标②若直线l 的斜率是直线OA 、OB 斜率的等比中项，求OAB ∆面积的取值范围7.已知圆1F ：9)1(22=++y x ，圆2F ：1)1(22=+-y x ，动圆P 与圆1F 内切，与圆2F 外切，O 为坐标原点（1）求圆心P 的轨迹C 的方程（2）直线l ：2-=kx y 与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB ∆面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程8.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b 33（1）求椭圆C 的离心率（2）若点)233(，M 在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点,求OAB ∆面积的最大值9.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)01(，-F ，左准线为2-=x （1）求椭圆C 的标准方程（2）已知直线l 交椭圆C 于A ,B 两点①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足AF P A λ=，BF PB μ=，求证：μλ+为常数②若OB OA ⊥（O 为原点），求OAB ∆的面积的取值范围10.已知)20(-，A ，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为36，O 为原点（1）求椭圆的方程（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P 、Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程11.椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，B A ,是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为是1k ，直线MB 的斜率为2k ，3221-=k k （1）求椭圆C 的离心率（2）设直线l 与x 轴交于点)03(，-D ，交椭圆于P 、Q 两点，且满足QD DP 3=，当OPQ ∆的面积最大时,求椭圆C 的方程12.如图，圆O ：422=+y x ，)02(，A ，)02(，-B ，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线2=x 和2-=x 于E 、F 两点,连AF 、BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C（1）记AF ,BE 斜率分别为21,k k ,求21k k ⋅的值并求曲线C 的方程（2）设直线l ：)0(≠+=m m x y 与曲线C 有两个不同的交点P 、Q ，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值。
椭圆中与面积有关的取值范围问题
椭圆中与面积有关的取值范围问题
例题 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．
变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22
＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．
变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24
＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线OP 交椭圆E 于点Q.
(1)求OQ OP
的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．
串讲 如图，已知椭圆C ：x 22
＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，
S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2
的最大值．。
椭圆的周长和面积练习题
椭圆的周长和面积练习题椭圆是二维几何中的一种曲线，具有特殊的形状和性质。
了解椭圆的周长和面积计算方法，对于深入了解椭圆的基本特征非常重要。
周长的计算方法：椭圆的周长可以通过将长轴长度和短轴长度进行简单的计算得到。
长轴长度记为2a，短轴长度记为2b，则椭圆的周长L可以通过下面的公式计算得到：L = 2π * √((a^2 + b^2)/2)面积的计算方法：椭圆的面积可以通过将长轴长度和短轴长度进行简单的计算得到。
长轴长度记为2a，短轴长度记为2b，则椭圆的面积A可以通过下面的公式计算得到：A = π * a * b练题：1. 已知椭圆的长轴长度为12 cm，短轴长度为8 cm，求其周长和面积。
2. 已知椭圆的周长为32π cm，长轴长度为12 cm，求其短轴长度和面积。
3. 若椭圆的周长为20 cm，面积为16π cm^2，求其长轴长度和短轴长度。
4. 若椭圆的周长为40 cm，面积为36π cm^2，求其长轴长度和短轴长度。
解答：1. 根据给定的长轴长度和短轴长度，长轴长度为12 cm，短轴长度为8 cm，则可以使用周长和面积的计算公式进行计算：周长 L = 2π * √((a^2 + b^2)/2) = 2π * √((12^2 + 8^2)/2) ≈ 2π * √(160/2) ≈ 2π * √80 ≈ 2π * 4√5 ≈ 8π√5 cm面积A = π * a * b = π * 12 * 8 = 96π cm^22. 根据给定的周长和长轴长度，周长为32π cm，长轴长度为12 cm，则可以使用周长和面积的计算公式进行计算：短轴长度b = √((L/(2π))^2 - a^2) = √((32π/(2π))^2 - 12^2) =√(16^2 - 12^2) = √(256 - 144) = √112 ≈ 4√7 cm面积A = π * a * b = π * 12 * 4√7 = 48π√7 cm^23. 根据给定的周长和面积，周长为20 cm，面积为16π cm^2，则可以使用周长和面积的计算公式进行计算：将周长的公式改写为a^2 + b^2 = 2((L/(2π))^2) = 2(10^2) = 200将面积的公式改写为A = π * a * b = 16π通过求解方程组 a^2 + b^2 = 200 和A = 16π，可以得到a ≈ 4.472 cm，b ≈ 6.325 cm因此，长轴长度为2a ≈ 8.944 cm，短轴长度为2b ≈ 12.65 cm4. 根据给定的周长和面积，周长为40 cm，面积为36π cm^2，则可以使用周长和面积的计算公式进行计算：将周长的公式改写为a^2 + b^2 = 2((L/(2π))^2) = 2(20^2) = 800将面积的公式改写为A = π * a * b = 36π通过求解方程组 a^2 + b^2 = 800 和A = 36π，可以得到a ≈ 8 cm，b ≈ 2.261 cm因此，长轴长度为2a ≈ 16 cm，短轴长度为2b ≈ 4.522 cm。
圆锥曲线综合经典押题三：取值范围问题(含详解答案)
圆锥曲线综合经典押题三：取值范围问题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF ∆.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求AMN ∆的面积S 的取值范围.2．已知抛物线C ：()220x py p =>，焦点为F ，准线与y 轴交于点E .若点P 在C 上，横坐标为2，且满足：PE =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线PE 交x 轴于点Q ，过点Q 做直线l ，与抛物线C 有两个交点M ，N （其中，点M 在第一象限）.若QM MN λ=u u u u v u u u u v ，当()1,2λ∈时，求OMP ONP S S ∆∆的取值范围. 3．已知圆()22125x y ++=与抛物线C ：()220y px p =>的准线交于M ，N 两点，且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：y x m =+与曲线C 交于A ，B 两点，且曲线C 上存在两点D ，E 关于直线l 对称，求实数m 的取值范围及AB DE -的取值范围．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若圆222:O x y a +=上存在两点M ，N ，椭圆C 上存在两个点,P Q满足：1,,M N F 三点共线，1,,P Q F 三点共线，且0PQ MN ⋅=u u u r u u u u r ，求四边形PMQN 面积的取值范围.5．已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=u u u v u u u v (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．6．已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右顶点和上顶点，且直线AB 的斜率为2-，右焦点F 到直线AB ．()1求椭圆C 的方程；()2若直线:l y kx m(m 1)=+>与椭圆交于,M N 两点，且直线,BM BN 的斜率之和为1，求实数k 的取值范围．7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两焦点分别是())12,F F ，点2E ⎭在椭圆C 上， （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点,M N ，使得2MP PN =u u u v u u u v，求以1F P 为直径的圆面积的取值范围． 8．设12,F F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点． (1)若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅u u u v u u u u v 的最大值和最小值；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2PF 斜率为(0)k k ≠，且2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ，使得||||?TP TQ =若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆1C ：2214x y +=的左、右两个顶点分别为,A B ，点P 为椭圆1C 上异于,A B 的一个动点，设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若动点Q 与,A B 的连线斜率分别为34,k k ，且3412(0)k k k k λλ=≠，记动点Q 的轨迹为曲线2C .（1）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（2）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于,E F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1,3]λ∈，求12S S 的取值范围. 11．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.12．已知椭圆C 1：23x +y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：22221x y a b-=的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2（1）求双曲线C 2的方程； （2）若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且1OQ u u u u r •2OQ =-u u u u r 5，。
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【押题背景】取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.【押题典例】典例1 已知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2292y⎛+=⎝⎭过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．【答案】（1）22184x y+=；（2）．【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为212OE F P=，所以P点坐标为(2，所以122a PF PF=+=则a=b＝2，因此椭圆的方程为22184x y+=；（2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为()42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0，所以x P x A228412kk--=+，所以x A224212kk--=+，直线l2的方程为y1k=-（x﹣3），所以点D坐标为14k⎛⎫⎪⎝⎭，押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题所以S △ABD 12=（4﹣x A ）|y B ﹣y D |12=•12k k +＝2k 3k ++≥，当且仅当2k 3k =，即k =时取等号，综上，△ABD 面积的最小值． 典例2如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围． 【答案】 (1)x 22＋y 2＝1；(2)S ∈⎣⎡⎦⎤23，22.【解析】 (1)由题设知，c ＝1，a 2c ＝2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝a 2－c 2＝1, 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)解法一：当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22； 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1， 同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝(k 2＋1)2(2k 2＋1)(k 2＋2).令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)，S ＝t 2(2t －1)(t ＋1)＝12＋1t －1t2， 令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OAOB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.①当直线AB 的斜率不存在时，△AOB 是等腰直角三角形．所以， 可设A (t ，t )，B (t ，－t )，则t 22＋t 2＝1，得t 2＝23.此时△AOB 面积S ＝t 2＝23；②当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.得1＋2k 2x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.所以Δ＝8(1＋2k 2－m 2)>0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－2－2k 21＋2k2，所以m 2＝23(1＋k 2)． 又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，O 到AB 的距离h ＝|m |1＋k 2，所以△AOB 面积S ＝12AB ·h ＝12|m ||x 1－x 2|＝2|m |·1＋2k 2－m 21＋2k 2＝ 2 3· 1＋5k 2＋4k 4 1＋2k 2＝ 23· 1＋k 21＋4k 2 ＋4k 4，当k ＝0时，S ＝ 2 3，当k≠0时，S ＝231＋ 14k 2＋1 k2＋4，∵4k 2＋1k 2≥4，当且仅当k 2＝12取“＝”，∴0＜ 1 4k 2＋1k 2＋4≤18∴S ∈(23，22]，综上，△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.【押题匹配】(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图所示．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值． 【答案】 (1)x 24＋y 2＝1；(2)2－1.【解析】（1）设c 2＝a 2－b 2，则c a ＝ 32，所以a 2＝4b 2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3，12在椭圆上，所以3a 2＋14b 2＝1.解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. （2）由题意，AP 直线斜率存在，所以设直线AP ：y ＝k(x ＋2)，P 在第四象限，所以－12<k <0.令x ＝0得y C ＝2k ，所以C (0,2k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2.又x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2－21＋4k 2，y P ＝k (x P＋2)＝4k 1＋4k 2.即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2－21＋4k 2，4k 1＋4k 2. 设D(m,0)，因为B(0,1)，P ，B ，D 三点共线，所以m －00－1＝－8k 2－21＋4k 24k 1＋4k 2－1，解得m ＝2(1＋2k )1－2k .即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ，0.所以S △PCD ＝S △P AD －S △CAD ＝12·AD ·||y P －y C ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k 2－2k ＝4||k (1＋2k )1＋4k 2. 因为－12<k <0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2(1－2k )1＋4k 2.令t ＝1－2k ，则1<t <2，所以2k ＝1－t ，所以S △PCD ＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤－2＋22 2－2＝2－1.当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.【押题变式】1、（2020江苏无锡高三）若椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是________．2、（2020江苏盐城高三）椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，D ，动点P 满足P APB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则此椭圆的离心率为_________．3、（2020江苏镇江高三）已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________．4、（2020江苏连云港高三）过椭圆x 216＋y 24＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________．5、（2020江苏泰州高三）椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．6、（2020江苏通州高三）如图所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．7、（2020江苏扬州高三）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3)求△BCD 面积的最大值．8、（2020江苏徐州高三）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．如图376所示．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．9、（2020江苏南京高三）如图所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．10、（2020江苏苏州高三）设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图所示．(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．。