样本平均数
用样本平均数估计总体平均数
第3课时 用样本平均数估计总体平均数
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问题1 果园里有100 棵梨树，在收获前，果农常 会先估计果园里梨的产量．你认为该怎样估计呢
新课导入
所以，平均每棵梨树上梨的个数为154．
分析：读图，从图中可以得到哪些信息如何计算样本平均数 各组数据是明确的一个值还是一个范围，若是一个范围，则应用组中值作为代表.
练习
故估计这个新品种黄瓜平均每株结13根黄瓜.
解：
（根）
随堂演练
基础巩固
1.某商场四月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.0，3.1，3.7，试估算该商场四月份的总营业额大约是_____万元。
解：据上表得各小组的组中值，于是
使用寿命 x/h
600≤x＜1 000
1 000≤x＜1 400
1 400≤x＜1 800
1 800≤x＜2 200
2200≤x＜2 600
灯泡只数
5
10
12
17
6
用样本平均数估计总体平均数
知识点
即样本平均数为1 672． 因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1 672 h．
综合应用
1.样本估计总体的思想.
2.平均数的计算方法与意义.
何时用样本估计总体
所要考察的对象很多时
考察本身带有破坏性时
课堂小结
完成名校课堂本课时的习题.
课后作业
样本估计总体
1. 为了测量这批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式合适吗 2. 在本例的抽样调查中，样本、总体分别是什么样本数据是如何整理的 3. 如何估计全部灯泡的使用寿命
第2课时 用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差
第2课时用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差教学目标【知识与技能】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【过程与方法】经历用样本平均数、方差估计总体的平均数方差的过程，积累统计经验.【情感态度】培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义.【教学重点】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【教学难点】理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断.教学过程一、创设情境，导入新课某园艺场采摘苹果，边采摘、边装箱，共装了2 000箱.苹果的市场收购价为4元/kg.现在要估计出这2 000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？方法一：全面调查，就是一箱箱的称，再根据苹果的总质量估计这2 000箱苹果的销售收入.方法二：采取抽样的方法.该园艺场从中任意抽出了10箱苹果，称出它们的质量，算出平均质量，再估计2 000箱苹果的总质量，从而估计这2 000箱苹果的销售收入.你觉得哪一种方法最合适？【教学说明】教师出示一个实际问题让学生思考，比较两种调查方法，提出自己的观点，激发学生探究的兴趣.二、合作探究，探索新知1.上述问题中，如果10箱苹果的质量分别如下(单位：kg)16，15，16.5，16.5，15.5，14.5，14，14，14.5，15你能估计出2 000箱苹果的销售收入是多少吗？怎样计算？学生尝试解答：(1)算出它们的平均数：x＝15.15kg(2)把x作为每箱苹果的平均质量，由此估计出2 000箱苹果的销售收入为：4×15.15×2 000＝121 200(元)2.小结：现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.【教学说明】学生通过解决问题，体会用样本平均数估计总体平均数的方法和过程，教师强调应该注意的问题.3.我们可以用样本的平均数估计总体的平均数，那么，怎样用样本的方差估计总体的方差呢？问题：甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的白糖，怎样比较这两种包装机那一台质量更好呢？4.学生尝试解答：从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下(单位：g)甲：501 500 503 506 504 506 500 498 497 495乙：503 504 502 498 499 501 505 497 502 499(1)分别计算两个样本的平均数；(2)分别计算两个样本的方差；(3)哪台包装机包装的质量较稳定？解：(1)x甲＝(501＋500＋503＋506＋504＋506＋500＋498＋497＋495)÷10＝501，x乙＝(503＋504＋502＋498＋499＋501＋505＋497＋502＋499)÷10＝501；(2)s2甲＝110[(501－501)2＋(500－501)2＋…＋(495－501)2]＝12.6，s2乙＝110[(503－501)2＋(504－501)2＋…＋(499－501)2]＝6.4；(3)∵s2甲＝s2乙，∴乙包装机包装10袋糖果的质量比较稳定.5.小结：我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.【教学说明】教师引导学生解决实际问题，经历用样本方差估计总体方差的过程，对解题过程有一个清晰的认识.三、示例讲解，掌握新知【例】王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%.现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示.(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？【分析】(1)根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答.(2)要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答.解：(1)x甲＝40(千克)，x乙＝40(千克)，总产量为40×100×98%×2＝7 840(千克)；(2)s2甲＝14[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，s2乙＝14[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，∵s2甲＞s2乙，∴乙山上的杨梅产量较稳定.【教学说明】教师要引导学生先观察图像获取相关的信息，然后结合问题尝试进行解答，教师对相关的方法进行总结.四、练习反馈，巩固提高为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成家庭作业所需时间(单位：min)分别为：60，55，75，55，55，43，65，40.(1)求这组数据的众数、中位数.(2)求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？解：(1)在这8个数据中，55出现了3次，出现的次数最多，即这组数据的众数是55；将这8个数据按从小到大的顺序排列为40，43，55，55，55，60，65，75，其中最中间的两个数据都是55，即这组数据的中位数是55.(2)这8个数据的平均数是56，所以这8名学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟.所以该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求.五、师生互动，课堂小结1.现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.2.我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.课后作业完成同步练习册中本课时的练习.。
理解样本平均数和总体平均数会用样本平均数估计总体平均
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
2、样本方差
(2)从甲、乙两个生产日光灯管的厂家中抽取5～6只 日光灯管进行检测，灯管的使用寿命如表:
（单位：100h）。
甲厂
9.8
9.9
10.1
10
10.2
10
乙厂
9.8
10.3 10.8
9.7
9.8
当样本数据的极差较大时数据较分散，极差较小时数据 较集中，运用极差对两组数据进行比较，可以简单方便地估 计总体的相关指标的稳定能。 当两组数据的集中程度差异不大时，还可以考察每一个样本 中的每一个数据与均值的差的平方和，此平方和越小，稳定性就 越高。由于两组数据的容量有可能不同，因此应将上述平方和除 以数据的个数。我们把由此所得的值称为这组数据的方差。
2、样本方差
思考交流 样本标准差与频率直方图有什么关系？
本节主要知识： (1)样本平均数的计算； (2)用样本平均数估计总体平均数的方法； (3)样本方差和样本标准差的计算； (4)用样本标准差估计总体标准差的方法； (5)样本频率直方图、样本平均数、样本标 准差三种方法估计总体的差异.
教材P189练习第2题．
1.样本平均数
例3 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表 （单位：h），度估算该学生的日平均睡眠时间。 睡眠时间 人数 频率
6～6.5
6.5～7
5
17
0.05
0.17
7～7.5
7.5～8
33
37
0.33
0.37
8～8.5
8.5～9 合计
6
2 100
0.06
0.02 1
1.样本平均数
样本平均数的方差的推导
样本平均数的方差的推导：
假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本，则有
即每一个样本单位都是与总体同分布的。
在此基础上，
证明样本平均数以总体平均数为期望值。
接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。
在此，需要注意方差的计算公式为：
以下需要反复使用这一定义：
在证明中，一个关键的步骤是，其原因在于这一项事实上是与的协方差。
由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。
如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。
此时样本均值的方差为
样本方差的期望：
证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。
先构造一个统计量为，我们来求它的期望。
根据方差的简捷计算公式：，可得
其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：
；
原式化为
等式的两端同除以右侧的系数项，得到
令
则有。
第3章 平均数、标准差与变异系数
复习题
试分别写出样本平均数、方差和标准差的统计量及参数 符号. 试写出平均数、方差、标准差、几何平均数、变异系数 的计算公式. 平方和的计算公式有-----、-------和-------。 已知∑xi2=45180，平均值=67，n=10，则其方差和标准 差分别为------和------ 。 已知样本平方和为360，样本容量为10，则其标准差等 于-------。
S
x ( x ) / n
2 2
n 1
2955000 5400 / 10
2
10 1
65.828
三、标准差的特性
1、各观测值间变异大，标准差也大，反之则小。 2、各观测值加或减一个常数，其标准差值不变。 3、每观测值乘或除一个常数a，则标准差是原来的
a倍或1/a倍。
Excel计算统计量
二、几何平均数
使用（适用）条件； 定义； 计算方法； 实例。
一、几何平均数适用条件
呈倍数关系或偏态分布的资料，描述
其集中性时可用几何平均数表示。
如畜禽 、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药 物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，可用几何平均 数表示其平均水平。
2、几何平均数定义
n个观测值相乘之积开n次方所得的方根， 称为几何平均数，记为G。
S
x
2
(
x)
2
n
n 1
6、
测定北京肉鸭周龄(x)与体重(g , y)如下:
周龄：0 1 2 3 4 5 体重 48.5 206 535 969 1467 1975 相对数： 4.25 2.60 1.81 1.51 1.35
试求其周平均生长速度。
心理统计样本平均数的分布
样本均值的分布
f 2 1 3 2 4 3 5 4 6 3 7 2 8 1
step 3: 现在可以回答这个问题: 选取一个均 值大于7 p( > 7)的样本的概率是多少? 考察样本均值的分布, 我们发现 16 个样本当 中有1个样本其均值大于 7。 问题：从2、4、6、8四个数中每次随机抽2个 数作为样本，问样本均数为4的概率是多少？ 这样我们就可以了解样本分布的规律，从而推 论总体。
x= ）。
（2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 4 + 5 + 6 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 + 6 + 7 + 8）/16=80/16=5 如果在同一总体中选择一组样本，大部分均值 应当堆积在总体均值μ附近(如果不是这样，取 样一定有偏差)
3.样本平均数的标准差：标准误（standard error of X；SE）
样本平均数的分布（distribution of sample mean）：总体中可抽取的所有可能的特定容量 (n)的随机样本的样本平均数的分布。
我们所要做的就是考察所有可能的样本 (n一 定，这点很重要；不同n的分布不同) 然后根 据其特性对总体特性（如总体平均数）作出预 测。 一个具体例子: 考虑下列总体： 2, 4, 6, 8 这个总体很小，我们知道其平均数 (和方 差): M = 5, 但假定我们不知道, 想根据样本进 行估计。 如何作到?
考虑下列总体分布
假定我们猜测均值是85。这个猜测的置 信性如何? 假定我们猜测均值是在 71和99之间的某 处? 这个猜测的置信性如何? 也许你觉得后者的置信度较高。 这个差 异对应于点估计和区间估计间的差别。
12.2.2用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差
方差越小，数据的波动越小。
例2、甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了 对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出 20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲： 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙： 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
如：有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ 乙：９ ８ ５ ７ ７ ９ ８ ５ ７ ４ ６ ９ ８ １０ ６ ７ ７ ４ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 7，x乙 7 思考：两人射击的平均成绩是一样的.那么两个 人的水平就没有什么差异吗?若有差异你能说明 其水平差异在那里吗？
(1) s
( x1 x2 xn ) x
(3)数据kx1，kx2， ，kxn的平均数为k x,方差为k s .
2 2
(4)数据kx1 b，kx2 b， ，kxn b的 平均数为k x+b,方差为k s
2 2
练习： 1.在数据统计中，能反映一组数据变化范围大小的 指标是 （ A ）A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对
总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数知识要点整理
● 本章重点：1．了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，会作频数直方图和频率直方图．2．掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法．● 知识要点：1. 样本均值：∑=i x nx 1 2. 加权平均： 0,1,11>==∑∑==i ni i n i i i p p p x x3. 方差：∑∑==-=-=n i i n i i x x n x x n s 1221221)(1 标准差（均方差）2s s =4. 中位数：将数据),,2,1(n i x i=由小到大重新排列为**2*1n x x x ，，， ，其中位数（处于中间位置的数）⎪⎩⎪⎨⎧+=++为偶数为奇数n x x n x m x n n n )(21*12*2215. 众数：重复出现次数最多的那个数给定一组数据x 1, x 2, …, x n ，则这组数据的均值、方差和标准差分别为：∑==n j j x n x 11，∑=-=n j j x x n s 122)(1，∑=-=n j j x x n s 12)(1若存在一组数p 1, p 2, …, p n ，满足11=∑=n j j p ，则数据x 1, x 2, …, x n 的加权平均数为， ∑==n j j j x p n x 11● 例题示范 例1 设有一组5个数据: x 1=0.051, x 2=0.055, x 3=0.045, x 4=0.065, x 5=0.048. 记 0528.05151==∑=k k x x , 则∑=-51)(51k k x x =( )A.0B.0.0528C.150⨯.0528D. 1500000(.051.055.045.065.048)++++解 因为∑=-51)(51k k x x =∑∑==-51515151k k k x x =x x -= 0所以，应该选A ．例2 一组数据19，16，22，25，35，20，32，24的中位数是（ ）．A . 22B . 23C . 24D . 25解 因为将这组数据按大小顺序排列：35，32，25，24，22，20，19，16，所以这些数据的中位数为23)2224(21=+所以，应该选B ．例 3 设一组数据1x =0, 2x =1, 3x =2，它们的权数分别为1.01=p ,6.02=p , 3.03=p ，则这组数据的加权平均数是x = .解 加权平均数x =∑=31j j j x p =23.016.001.0⨯+⨯+⨯= 1.2 所以，应该填写：1.2。
用样本平均数估计总体平均数课件
中心极限定理
01
中心极限定理是指无论总体分布 是什么形状，只要样本量足够大， 样本平均数的分布将趋于正态分布。
02
中心极限定理是统计学中非常重 要的原理，它为我们提供了用样 本平均数估计总体平均数的理论 基础。
簇随机样本的平均数计算
总结词
簇随机抽样是将总体分成若干簇，然后在每一簇内进行随机抽样。
详细描述
在簇随机抽样中，首先将总体分成若干簇，然后在每一簇内进行随机抽样。样本平均数的计算需要考虑各簇的权 重，计算公式为：$overline{x} = frac{sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{sum_{i=1}^{n} w_i}$，其中 $w_i$ 是第 $i$ 簇 的权重。
在市场调估计总体消费水平、满 意度等指标，帮助企业了解市场需求和消费者行为。
通过样本平均数，企业可以评估市场趋势，制定更加精准的 市场策略和营销计划。
在质量控制中的应用
在质量控制中，样本平均数可以用来评估生产过程中的质量水平，帮助企业及时 发现和解决质量问题。
课程目标
掌握样本平均数的计 算方法。
学会在实际问题中应 用样本平均数估计总 体平均数的技巧。
理解用样本平均数估 计总体平均数的原理。
02
样本平均数与总体平均数的关系
定义与概念
定义
样本平均数是指从总体中随机抽 取的一部分个体的平均值，而总 体平均数是指总体中所有个体的 平均值。
概念
样本平均数和总体平均数都是描 述数据集中趋势的统计量，但样 本平均数是估计总体平均数的工具。
样本平均数的分布
样本平均数是所有样本数据的加权平均值，其分布受到样本量和总体分布的影响。
生物统计学两个样本平均数假设检验
生物统计学两个样本平均数假设检验假设检验是一种基于样本数据来进行参数推断的统计方法，其基本思想是根据样本数据对总体参数进行估计，并根据估计结果进行参数假设的判断。
对于两个样本平均数的假设检验，通常分为独立样本和配对样本两种情况。
对于独立样本平均数假设检验，我们需要考虑两组样本来自于同一总体的情况。
首先，我们需要建立假设，通常分为零假设和备择假设。
零假设(H0)表示两个样本的平均数无显著差异，备择假设(H1)表示两个样本的平均数存在显著差异。
接下来，我们需要选择合适的统计检验方法。
当两个样本均为正态分布且方差已知时，可以使用Z检验；当两个样本均为正态分布但方差未知时，可以使用t检验；当两个样本均不服从正态分布时，可以使用非参数检验方法，如Wilcoxon秩和检验。
然后，我们需要计算检验统计量的值。
对于Z检验，检验统计量为差值的标准差除以差值的均值，再除以标准差的平方根。
对于t检验，检验统计量为差值的均值除以差值的标准差除以样本容量的平方根。
对于Wilcoxon秩和检验，检验统计量为两个样本的秩和之差。
最后，我们需要根据显著性水平来进行判断。
显著性水平是我们事先设定的，通常为0.05或0.01、我们可以计算出检验统计量对应的P值，P值表示在零假设成立的情况下，观察到样本数据或更极端情况出现的概率。
当P值小于显著性水平时，我们拒绝零假设，认为两组样本的平均数存在显著差异；当P值大于等于显著性水平时，我们接受零假设，认为两组样本的平均数无显著差异。
配对样本平均数假设检验是用于比较同一组样本在不同条件下的平均数是否存在显著差异。
其检验方法与独立样本平均数假设检验类似，只是在计算检验统计量时需要考虑两个样本之间的配对关系。
总之，两个样本平均数假设检验是生物统计学中常用的一种方法，通过对两组样本数据进行比较来判断它们的平均数是否存在显著差异。
我们需要建立适当的假设、选择合适的统计检验方法、计算检验统计量的值，并根据显著性水平来进行判断。
【课件】样本平均数与总体平均数+课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+
上面我们通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并用样本平均身高来估计树人中学高一年级学生的平均身高.
由此可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右.
总体平均数：
4. 总体平均数与样本平均数
样本平均数：
4. 总体平均数与样本平均数
（2） 该公司对质监局的这种检验方法并不认可，公司自己的质检部门随机抽取了100袋袋装牛奶，按照（1）中的标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足 ，样本的平均质量为 ，你认为质监局和该公司质检部门的检验结果哪一个更可靠？为什么？
[答案] 该公司质检部门的检验结果更可靠.因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大.一般来说，样本量较大的样本的估计效果会好于样本量较小的样本的估计效果，尤其是当样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果.
总体平均数是总体的一项重要特征. 另外，某类个体在总体中所占的比例也是人们关心的一项总体特征，例如全部产品中合格品所占的比例、赞成某项政策的人在整个人群中所占的比例等.
问题7 眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要. 树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎样做？总体、个体、变量分别是什么？
方法规律
课堂练习
变式：已知一组数据x1, x2, x3, x4, x5的平均数是5，那么另一组数据2x1+1,2x2+1,……,2xn+1的平均数为________.
11
所以估计该校三年级全体学生每天午餐的平均费用为8.8元，在全体学生中，午餐费用不低于10元的比例约为0.35.
5样本平均数差数
2 1
m
2 2
3.71 3.46
n
0.46 0.37 25 30
1.426
查正态分布表，得：u0.975=1.960 > u。∴ 差异不显著，接受H0， 应认为两工厂收率相同
例2-1
新旧两个小麦品系进行对比试验，旧品系共收获25个小区， 平均产量为 x1 36.75kg ，样本标准差S1=2.77kg; 新品系收获 20个小区，平均产量 x 2 =40.35kg, S2=1.56kg，问新品系是否 值得推广？
u / 2 u a
二、双样本检验步骤 双样本检验步骤与单样本基本相同。 （1）只是H0中的μ=μ0要改为μ1=μ2，即现在不再是检验总体参数 是否等于某一数值，而是检验两个总体参数是否相等。 （2）统计量和分布都有所变化。 （ 3 ）检验步骤相同，建立统计假设、选择显著性水平、建立拒 绝域、计算统计量并解释结果等。
解：由于方差未知，为了选择统计量首先须检验方差是 否相等： S12 2.77 2 H : 2 2; H : 2 2
0 1 2 A 1 2
F
S
2 S
பைடு நூலகம்
1.56
2
3.1529
查F分布表，得：F0.975(24, 19)=2.45, F0.995(24, 19)=2.92；F > F0.995，∴差异极显著
1 1 ( 0 . 02137 0 . 00424 ) ( 0 . 02561 ) 39
1
例3-1
用两种不同的配合饲料饲养肉鸡，56日龄后体重分别为 饲料A：2.56, 2.73, 3.05, 2.87, 2.46, 2.93, 2.41, 2.58, 2.89, 2.76; 饲料B：3.12, 3.03, 2.86, 2.53, 2.79, 2.80, 2.96, 2.68, 2.89。 问这二种饲料效果是否有差异？
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7
4.众数（Mode）
众数：数据集中出现频率最多的数值。 优点：不正常数据对平均数的影响很大，而对众数的 影响很小。
孵化天数 19 20 21 22 23 24 次数 2 3 10 24 9 2
8
5.调和平均数harmonic mean
定义：各变量倒数平均数的倒数。 用途：畜禽不同阶段的平均增长率或畜禽不同规模的平 均规模
S1=0.80
S2=7.06 Range1=2.3 Range2=18.3
变异系数
Coefficient of variation
s CV 100 % X
CV没有单位。
17
数据编辑
如果原始数据被加上一个数或者减去一个数，则算术平 均数会因此增加或者减少，但方差不会因此而改变。
Xc
X
1
9
总结
对于同一资料：
算术平均数>几何平均数>调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
10
第二节
数据离散程度描述 Measures of Dispersion and Variability
11
方差（variance）
离差(deviate)：
Xi X
2 ( X X ) i i 1 N
2
14
全距(range)
• 数据集中最大值和最小值的差。 • 样本全距：Xn-X1 • 总体全距：XN-X1
15
方差与全距
金 枪 鱼 体 重
顺序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mode 样本1 8.9 9.4 9.6 9.7 9.9 10.4 10.9 11.0 11.2 9.9 样本2 2.9 3.1 3.8 5.1 9.9 10.0 17.0 18.0 21.2 9.9 Depth 1 2 3 4 5 4 3 2 1 Mean1=10.11 Mean2=10.11
年度 1997 1998 1999 2000 存栏数 140 200 280 350 增长率 0.429 0.400 0.250 Lgx -0.368 -0.398 -0.602 lgx=-1.368
1 G lg [ (lg x1 lg x2 lg x3 )] n 1 1 lg [ (1.368)] 0.3501 3
2
x 2 2 xx x 2 x 2 2 xx x 2
x x n
2
2
13
标准差（standard deviation）
Xi
i 1 N 2
Xi i 1 N N
N n
2
s
Xi
i 1
n
2
Xi i 1 n n 1
H 1
1 n 1 (x 1 1 x2
x1n )
1 n
1x
1
某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为：0世代 200头，1世代220头，2世代210头； 3世代190头， 4世代210头，试求其平均规模
1 1 H1 1 1 208.33 1 1 1 1 0.0048 5 ( 200 220 210 190 210 ) 5 (0.024 )
c
n
X c
i
n X c
c n
n Xi n
c
s c2
X
2 i c X c
X
i
X
n 1
2
X
i
c X c n 1
2
n 1
s2
数据编辑
如果原始数据乘上一个数，则平均数和方差都改 变。
Xc cX n
i
c X i n
2
cX
X
2
s c2
cX
i
cX
2
c 2 X i X n 1
n 1
cX
i
n 1
c2s2
20
平均数和标准差的特性
标准差与概率
平均数 平均数 平均数 平均数
1倍标准差: 2倍标准差: 3倍标准差: 6倍标准差:
X
i
i
c
n
X c
i
n X c
s
2 c
c n
n Xi n
2
c
X
X
i
i
c X c X n 1
2
X
i
c X c n 1
2
n 1
s2
18
Xc
X
X
i
i
第三章
数据的描述统计学 summary statistics
1
第一节
数据集中程度的描述 Measures of Central Tendency
2
1.算术平均数arithmetic mean
总体平均数(mean)：用“mu”表示。
N 1 6 4 5 6 3 8 7 5 8
5
3.几何平均数 Geometric Mean
定义： G x1 x2 x3 xn
计算： 用途
1 n
1 G lg 1 (lg x1 lg x2 lg xn ) n
平均增长率 抗体的滴度 药物有效价 疾病的潜伏期
6
N
n
样本方差
s
2
(X
i 1
i
X)
2
n 1
12
公式推导
x 2 2 x x x 2 x 2 2 x nx nx x x nx x n n
2 2 2
x x
X
i 1
N
i
样本平均数
X
X
i 1
n
i
n
3
1.算术平均数arithmetic mean
1. 2. 3.
样本各观察值与平均数之差的和为零 样本各观察值与平均数之差的平方和小于样本 观察值与其它任何数之差的平方和 样本平均数是总体平均数的无偏估计
4
2.中（位）数Median
中数：样本观察值排序后，中间的那个数值。 例: 144,145,147,149,150,151,153,156,157 中数:149
68.26% 95.43% 99.73% 全距
21