函数极限概念问题
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
函数极限((经济类《高等数学》)
[1
1 (1 R )
n
]
A R
高等数学 函数极限和计算(Functional limit and calculate)
advanced mathematics
故永续年金的现值计算公式为：
P A R
(1)、当奖金发放年限为10年时，所求为普通年金现值
P 10 0 . 05 [1 1 (1 0 . 05 )
advanced mathematics
定义4:
如果当 x x0 (或x x0 )趋于 x0 , 即 x x0
（或 x x ）时,函数f(x)无限接近于一个确定的 0
常数A,那么A 称为函数f(x)当 xx0时的左极限(或
右极限),记作 lim f(x) A 或 lim f(x) A
10
] 77 . 217
(2)、当奖金发放年限为 n 时，所求为永续年金现值 所以
P 10 0 . 05 200
高等数学 函数极限和计算(Functional limit and calculate)
advanced mathematics
实例 如果你计划工作五年后的存款达到30万元，想
A 1 R
A (1 R )
2
A (1 R )
3
,
A (1 R )
n
则每年年金现值之和为：
P A 1 R
A (1 R )
2
A (1 R )
3
A (1 R )
n
A R
[1
1 (1 R )
n
]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当年金的年数永远继续，即 n 时，称为永续年金
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一个点上的一种趋势或者特性。
计算函数极限可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为，有助于我们在实际问题中进行数学建模和分析。
在本文中，我们将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，以及应用这些方法进行问题求解的一些技巧和实例。
一、基本极限1. 常函数极限：对于任何一个常数C，有lim_x→a C = C。
这个极限很容易理解，因为常数C在a点的值就是C，没有任何变化。
2. 一次函数极限：对于一个一次函数f(x) = kx+b (k≠0)，有lim_x→a f(x) = ka+b。
这个极限的求解也比较简单，就是将x代入函数，得到在a点的函数值，也就是k*a+b。
3. 幂函数极限：对于一个幂函数f(x) = x^n (n为正整数)，有lim_x→a f(x) = a^n。
这个极限可以用夹逼定理来证明，也可以通过直接代入公式进行求解。
二、极限的四则运算法则在很多实际问题中，我们需要对函数进行加减乘除等运算，因此需要了解极限的四则运算法则。
这些法则包括：1. 两个函数之和的极限等于两个函数在该点的极限之和。
三、夹逼定理在实际问题中，我们有时会遇到一些复杂的函数，无法直接进行求解，这时候就需要用到夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是，我们可以找到两个比较简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数都可以收敛到某一个极限，然后我们就可以根据夹逼原理，得到我们要求解的函数的极限值。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，其核心思想是通过对函数求导来得到某一个点的导数，然后再求极限。
如果这个极限存在的话，那么这个极限就是函数在这个点的极限。
具体求解方法如下：1. 当极限的代数式飞涨或者现实复杂时，可以使用该方法求解。
2. 求出极限函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x带入f'(x)求出导数。
高等数学：极限的概念
极限的概念一、基本内容1. 数列极限：若当n 无限增大时，数列n x 无限接近于一个确定的常数a ，则a 就叫做数列n x 的极限，记为a x n n =∞→lim 或当∞→n 时，a x n →。
2. 函数极限：（1）函数)(x f 在点0x 处的极限及左右极限：在点0x 处的极限)(lim 0x f x x →； 左极限)(lim )0(00x f x f x x -→=-； 右极限)(lim )0(00x f x f x x +→=+。
关系：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是左、右极限均存在且相等。
（2）当∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x ∞→； 当-∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x -∞→； 当+∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x +∞→。
关系：极限)(lim x f x ∞→存在⇔)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→均存在且相等。
二、学习要求1. 理解极限的概念；2. 掌握函数极限存在的充要条件。
三、基本题型及解题方法题型1 求数列的极限解题方法：通过观察数列的项的变化，结合定义判断数列的敛散性。
【例1】 判断数列=n x 2)1(11+-+n 的敛散性。
解：由通项公式得该数列为1，0，1，0，…，2)1(11+-+n ，…，可见该数列随着n 的增大没有无限接近于一个确定的常数，所以该数列发散。
【例2】 判断数列nn x n n 1)1(--+=的敛散性。
解：由通项公式得该数列为 )1(43342121，，，，，，nn n --+，可见当n 无限增大时，表示数列nn x n n 1)1(--+=的点逐渐密集在1=x 的附近，即数列n x 无限接近于1，1)1(1lim 1=-++∞→nn n ，所以该数列收敛。
题型2 确定函数在0x 的左右极限及由此判定函数在0x 的极限解题方法：当)(x f 在0x 左右两侧的解析式不一致时，要求极限往往要根据极限存在的充要条件：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00 来确定函数的极限；当函数的解析式中有指数函数或反正、余切函数时，也需利用极限存在的充要条件。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
高考数学中的极限及相关概念
高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。
极限的定义是指当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。
为了更好地理解极限及其相关概念，本文将从以下几个方面进行分析。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某一特定值。
例如，当x趋近于1时，y趋近于2。
在高考数学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。
二、左极限和右极限左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。
例如，当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。
在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经济现象中的变化规律。
三、连续性连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。
具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。
连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。
四、无穷大与无穷小无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。
在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。
结语本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。
在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握极限及其相关概念是现代数学研究的基础。
希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。
对函数极限概念的理解
对函数极限概念的理解函数极限概念，不易理解。
由于极限概念具有高度的抽象性，因此，令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵，以致于学完了极限，极限的意识还很薄弱。
因此，要抓住理解的关键，我们体会，宜抓住以下三点：（一）将“任意近处”的描绘性语言，转化为可进行量化比较的准确表达考察数集X={x},若在点x0的任意近处包含有X中异于x0的x的值，则点x0称为这数集的聚点。
为着要更准确地表达这定义，我们引入点x0的邻域的概念：以点x0为中心的开区间（x0−δ，x0+δ）称为点x0的邻域。
下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达：若在点x0的任一邻域内包含X中异于x0的x的值，则x0是数集X的聚点。
关于“任一邻域”，δ=1cm算不算“任一邻域”？不算。
只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1mm算不算“任一邻域”？不算。
只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1nm算不算“任一邻域”？不算。
只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；……,点x0的邻域可以无穷小。
因此，“任一邻域”是一个无穷集。
对聚点x0本身来说，可以属于X，或不属于X。
也就是说x0在X上可以有定义或无定义。
x0在X上无定义时，它的邻域也存在，叫做空心领域。
（二）注意函数f(x)在x接近于x0时的性态。
设在区域X内给定函数f(x)，且x0是X的聚点。
这函数f(x)在x接近于x0时的性态是值得注意的。
相对于自变量x,通过法则f,得到f(x)，若出现了f(x)无限趋近于数A的性态，或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态，则可类似于x0的邻域δ，把ε看作A的邻域，而把这种性态更准确地表达为：Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。
这个表达就具备了可进行量化比较性。
（三）δ与ε的关系从x与f(x)的关系看，前者为因，后者为果。
但是从x0的邻域δ与A的邻域ε的关系看，则是前者依赖后者，总是要先给定任一ε>0，而后求那个能保证ε成立的δ。
函数在某点有极限的条件
函数在某点有极限的条件函数在某点有极限的条件函数在某点有极限是数学中一个研究点极限概念的问题，这个问题有严格的数学定义和推导方法。
点极限是一种非常重要的数学概念，对于学习微积分、数学分析、物理等领域都有着广泛的应用。
函数在某点有极限的条件需要满足一些基本的条件：1. 函数必须在该点的左边和右边都有定义。
2. 函数必须在该点的左右两边都存在，并且相等。
3. 对于任意给定的正数，都存在另一个正数，使得函数在该点附近的所有取值和此点的函数值之差小于它。
这些条件是函数在某点有极限的基本条件，我们可以从几个方面来对这些条件进行进一步的解析。
首先，函数必须在该点的左边和右边都有定义。
这是因为我们在考虑某个函数在某点是否有极限时，需要知道这个点左右两边的函数取值是多少，而函数在该点左右两侧都有定义，才能够进行这种讨论。
其次，函数必须在该点的左右两边都存在，并且相等。
这个条件是点极限的重要定义，它表明在该点附近的函数值非常接近，可以近似看作等于。
这个条件也可以表述为“函数的左极限和右极限相等”。
最后，对于任意给定的正数，都存在另一个正数，使得函数在该点附近的所有取值和此点的函数值之差小于它。
这个条件是点极限的收敛性条件，它表明我们可以找到一个足够小的邻域，使得在这个邻域内函数值都非常接近指定的极限值。
这些条件是函数在某点有极限的基本条件，我们可以通过一些例子来更加深入地理解这些条件。
例如，我们考虑函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限。
首先，这个函数在$x=1$处除数为零，不满足条件1。
接着，我们通过计算发现，在$x=1$左侧$f(x)$的取值为$x+1$，在$x=1$右侧$f(x)$的取值为$x-1$，两者并不相等，因此也不符合条件2。
因此，我们可以得出，函数$f(x)$在$x=1$处没有极限。
再例如，我们考虑函数$g(x)=\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处的极限。
极限的定义与计算方法
极限的定义与计算方法极限是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点或者无穷远处的行为。
它在物理学、工程学以及其他应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍极限的定义以及计算方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、极限的定义在微积分学中，极限是用来描述函数在某一点或者无穷远处的趋势的数学概念。
通常用符号lim表示。
给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数f(x)的取值趋近于一个固定的值L，那么就说函数f(x)在x趋近a的过程中有极限，即lim(x→a) f(x) = L。
二、函数极限的计算方法要计算函数的极限，可以使用以下主要的方法：1. 代入法：针对简单的函数，我们可以直接将x的值代入函数，然后计算函数的取值。
例如，要计算lim(x→2) (3x^2 + 2x -1)，我们可以将x替换为2，然后计算出函数的值。
2. 分式的化简：当函数为分式形式时，可以通过化简的方法得到更简单的表达式，然后再进行计算。
例如，要计算lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)，我们可以对分子进行因式分解，然后化简分式，最后再代入x=1进行计算。
3. 极限的性质：极限有一些常用的性质，例如四则运算、乘法法则、除法法则等。
根据这些性质，我们可以将复杂的函数转化为简单的函数，然后再进行计算。
例如，要计算lim(x→0) 2x^3 + 3x^2 - 4x，我们可以将函数拆分为lim(x→0) 2x^3 + lim(x→0) 3x^2 - lim(x→0) 4x，然后分别计算每个部分的极限。
4. 单侧极限：当函数在某点处的左极限和右极限不相等时，我们可以使用单侧极限来描述该点的极限。
左极限表示x从左侧趋近于该点时的极限，右极限表示x从右侧趋近于该点时的极限。
三、极限在实际问题中的应用极限的概念不仅仅是数学中的一个抽象概念，它也具有实际应用价值。
以下是几个极限在实际问题中的应用案例：1. 建模和预测：在物理学或者经济学等领域中，研究人员常常需要建立数学模型来描述各种现象和趋势。
函数极限的概念(备课笔记)
（1） （2） （3） （4）
解：（1）函数 是常数函数，不论 取何值，函数值都等于c，所以当 时，恒有 ，因此
（2）当 时，函数 无限趋近于2，所以
（3））当 时，函数 无限趋近于0，所以
（4）当 时，函数 无限趋近于1，所以
例6讨论函数 ，当 时的极限
解：由于函数 的定义域为 ，所以函数 在 处无定义，但在 的左右近旁有定义，当 时， ，这是 ，又当
例4讨论当 时，函数 的极限
解： ，
说明在
一般地，有如下结论
练习11.2.1
二、当 时，函数的极限
定义2.4设函数 在点 及其附近有定义，如果当自变量 无限趋近于 时，函数 无限趋近于固定的常数A，则称当 时，函数 的极限为A，记作
或
如果当自变量 无限趋近于一个 时，函数 不是趋近于固定的常数，则称函数 在 处的极限不存在。
教师姓名
范梅
授课班级
09环境
09会计（2）
授课形式
面授
授课日期
2011年2月24日~
3月3日
第2~3周
授课时数
4课时
授课内容
§11.2函数极限的概念
教学目的
1．初步理解 时函数 的极限概念，会判断简单函数的极限的存在性。
2．初步理解 时函数 的极限概念，了解左、右极限的概念，掌握极限存在的充要条件。会判断较简单的分段函数在分断点处极限的存在性。
1.当 时，函数 的极限
定义2.1当自变量 取正值且无限增大时，函数 无限趋近于一个固定的常数A，则称当 无限趋近于正无穷大时， 的极限为A，记作
或
例1讨论：当 时，函数 的极限
解：从函数图像得知，当 取正值且无限增大时，函数 无限趋近于一个常数0，所以
(整理)函数的极限1
课 题：2.3函数的极限(一)教学目的：1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念.2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念.3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限 教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想. 教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3. 将a n 看成是n 的函数即a n =f (n ).自变量n ∈N *，a n 就是一个特殊的函数. 数列的项a n ,随着n 的增大a n 越来越接近于a ,也就是f (n ) 越来越接近于a ． 对于一般的函数f (x )，自变量x ∈R ，是否有同样的结论呢？这节课就来研究当x →∞时，函数f (x )的极限.二、讲解新课： 1. 举特殊例子 我们先来看函数y =x1(x ∈R ，x ≠0)，画出它的图象，或者列表观察.当x 取正值并无限增大，和当x 取负值并绝对值无限增大时，函数值的变化趋势. (1)函数 y =1(x ∈R ，x ≠0)的图象：从图中或表中可以看出，当x 取正值增大时，y 的值趋于0；当x 取负值并绝对值增大时，y 的值也趋于0.如果也用数列中的极限符号表示：01lim ,01lim==-∞→+∞→x x x x .2.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .3.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .注意：∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 三、讲解范例：例1分别就自变量x 趋向于+∞和－∞的情况,讨论下列函数的变化趋势.(1)y =(21)x分析：作出这个函数的图象，由图就能看出变化趋势. 解：由图可知，当x →+∞时，y =(21)x 无限趋近于0，即 +∞→x lim (21)x=0；当x →－∞时，y =(21)x无限趋近于+∞.极限不存在． (2)y =2x解：由图可知，当x →+∞时.y =2x无限趋近于+∞，极限不存在． 当x →－∞时，y =2x无限趋近于0，即-∞→x lim 2x =0.(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0(1)0(0)0(1)(时时时x x x x f解：由图可知，当x →+∞时，f (x )的值为1，即+∞→x lim f (x )=1;当x →－∞时，f (x )的值为－1，即-∞→x lim f (x )=－1．说明：当x →+∞时，f (x )不是无限趋近于某个常数a ，而是f (x )的值等于常数a ，那么函数f (x )当x →+∞时的极限也就是a .x →－∞时，情况也是如此.四、课堂练习： 1．1.对于函数y =21x，填写下表并画出函数的图象，观察当x →∞时，函数y 的变化趋势.答案：当x →∞时，y =21x 无限趋近于0.即∞→x lim21x =0. 2.写出下列函数极限的值. (1)xx 1lim+∞→； (2)-∞→x lim 10x； (3)35lim x x +∞→；(4)12lim ++∞→x x答案：⑴0 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 03.判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞→x答案：⑴0 ⑵0 ⑶0 ⑷ 4五、小结 ：当x 分别趋向于+∞，－∞，∞时，函数f (x )的极限，以及常数函数的极限，注意∞→x lim f (x )中的∞和数列极限∞→n lim a n 中的∞的不同意义.以概念为依据，结合函数图象，学会求一些函数的极限 六、课后作业：1.判断下列函数的极限：（1）xx 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41limxx ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）xx )45(lim -∞→（7）11lim 2+∞→x x （8）lim ∞→x答案： ⑴0 ⑵0 ⑶-1 ⑷0 ⑸0 ⑹0 ⑺0 ⑻5 七、板书设计（略）八、课后记：。
关于求函数极限方法的讨论
关于求函数极限方法的讨论求函数极限是微积分中的一大重要概念，它揭示了函数在其中一点或者无穷远处的趋势和特性。
随着微积分的不断深入发展，人们提出了多种方法来求函数的极限，其中最为常用的方法有极限定义法、夹逼准则、洛必达法则和泰勒展开等。
在本文中，我们将对这些方法进行讨论。
首先，我们来介绍极限定义法。
这是我们学习极限概念的第一个方法，它是基础也是最为直观的方法之一、极限定义法通过对函数在接近其中一点时的变化情况进行分析，可以求得函数在该点的极限值。
具体而言，根据定义，对于给定的函数f(x)和一个点a，我们可以说当自变量x足够接近点a时，函数f(x)的值也会趋近于其中一个常数L。
数学上可以表示为lim┬(x→a) f(x) = L。
在这个过程中，我们需要通过不断逼近x的过程来验证极限是否存在，具体步骤如下：1.对于任意给定的ε>0，我们需要找到一个相应的δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε成立。
2.如果能够满足上述条件，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。
极限定义法虽然直观，但是在实际计算中有时候较为繁琐。
因此，人们提出了夹逼准则。
夹逼准则是一种基于数列的概念来讨论函数极限的方法，它常用于解决一些复杂函数的极限问题。
具体而言，如果函数f(x)在[a,b]上的所有点上的值都位于两个函数g(x)和h(x)所包围的范围内，并且当x趋近于a或b时，g(x)和h(x)的值都趋近于同一个常数L，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。
夹逼准则的应用可以简化问题，使得我们可以更轻松地求出函数的极限。
另一个求极限的重要方法是洛必达法则。
洛必达法则是一种通过对函数的导数进行分析来求得函数的极限值的方法，它常常用于解决一些涉及到无穷大或无穷小量的极限问题。
具体而言，对于一个函数的极限lim┬(x→a) (f(x)/g(x))，如果分子和分母在x趋近于a时都收敛到0或者∞，且g'(x) ≠ 0，那么可以通过对函数的导数进行求解来求出该极限的值。
函数的极限(左右极限)
2 y
1
-1 0 1 x
(2) 结论：自变量 x 从 x 轴上点 x=1 的左右两边无限趋近
x 2 1 于1，函数 y 的值无限趋近于2. x 1
强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．
x 1 ( x 0 ) 3．考察函数 y (x 0) 0 x 1 ( x 0 )
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2） l i m f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限， 而 lim f( x ) 、 lim f( x ) 都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单
x x 0 x x 0
x x 0
侧极m f(x) lim f(x) a
x x 0 x x 0
四 例析概念,深化理解
例1 当x→ 时，写出下列函数的极限 2 ①y=x2 ②y=sinx ③y=x
④y=5
设C为常数，则
x x0
lim C C
例2 ①
写出下列函数当x→0时的左右极限，哪些有极限？
x (x 0) f ( x ) 0 ( x 0 ) x 2 ( x 0 )
从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)． 从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x2的 极 限是4．记作：l i mx 2
x 2
4
强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从 左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．
x 2 1 2. 考察函数 y （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
函数在一点处的极限与左、右极限的定义
极限的定义与极限存在的判定方法
极限的定义与极限存在的判定方法极限是高等数学中最基础和最重要的概念之一，是计算微积分、微分方程等高级数学问题的基础。
极限的存在性也是判断函数是否可导、连续等重要性质的基础。
那么，什么是极限？极限存在的判定方法又有哪些呢？一、极限的定义极限的定义是通过无穷小和无穷大的概念来描述的。
对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，若f(x)可以无限接近于一个确定的数L，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L$其中，a为x的极限点。
如果对于任意一个ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么称L为f(x)在x=a时的极限。
二、极限存在的判定方法1. 函数存在左、右极限且相等当a为函数f(x)的间断点，但其左右极限都存在且相等，则f(x)在x=a时的极限存在。
例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1$在x=0时，函数的左右极限均为1。
2. 夹逼准则对于函数f(x)，若存在两个函数g(x)和h(x)，满足当x趋近于a 时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim\limits_{x\rightarrowa}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则函数f(x)在x=a时的极限存在，且等于L。
例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$证明：由于|x|≥0，所以-1≤sin(x)≤1，于是有$-|x|\leq x\sin(\frac{1}{x})\leq |x|,\ \ x\neq0$当x趋近于0时，左右两边的夹逼条件都成立，因此可以得到$\lim\limits_{x\rightarrow0}-|x|\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}|x|$即$0\leq \lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq 0$由夹逼准则，可得$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$3. 函数具有保号性如果当x趋近于a时，函数f(x)的极限存在，且极限不为0，则函数f(x)在x=a时的符号和极限的符号相同。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。
用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。
例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。
函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。
3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。
同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。
2. 函数在a点的极限存在。
3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。
常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。
2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。
3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。
例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。
考研高数总复习函数的极限(讲义)
因为0 a 1, 有an+1 a x an
由于x + n +
且 lim an1 lim an 0
n
n
即 lim a[ x]1 lim a[ x] 0
x
x
由夹逼定理，所以 lim a x 0. x
子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义1. 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中， 有数列xn ( a), 使得n 时xn a.则称数列
定义4：lim x x0
f
(x)
A
0,
0,
使得当0
|
x
x0
|
时,
恒有 | f (x) A | 成立.
x x0
0 | x x0 |
x x0
0 x0 x
x x0
0 x x0
定义5：设函数y f (x)在点 x0 的某左邻域内有定义，A是常数，
若 0, 0, 使得当0 x0 x 时, 恒有 | f (x) A | 成立，
A
(1) lim 1 0. x x
(2) lim sin x 0. x x
(3) lim arctan x 不存在. x
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
自变量 x 趋于有限值 x0 包括三种情况：
1). x x0 2). x x0 3). x x0
x趋于x0正（或x0加）. x趋于x0负（或x0减）. x趋于x0 .
0，满足n
时，xn
0,
则数列{sin(xn )}就是函数sin x当x 0时的一个子列,
即，lim sin( 1 ) 0.
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在, 且相等.
数学 函数极限知识点总结
数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。
1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。
特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。
1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。
其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。
1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。
二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。
具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。
通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。
高数知识问答
第一章 函数与极限问答题1．本章的基本概念是函数、极限和连续，简要概括这些概念在整个微积分中的地位与作用。
答：这几个概念是微积分学的基础。
连续函数是微积分学的主要研究对象，极限方法是微积分学的基本研究方法。
2．无界函数与无穷大的区别是什么？答：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。
无穷大是在某个极限过程中整体趋势都是很大，而无界函数的很大不是整体趋势。
例如x 与sinx 的乘积当x 趋于无穷大时是无界的，但不是无穷大(因为该函数在这个极限过程中始终有等于0的点存在，即并不是整体趋于∞的)。
3．复合函数的极限的计算中，为什么要注意验证0u u ≠，如果该条件不成立，原来的计算结论会不成立吗？答：对于由)(u f y =与)(x g u =构成的复合函数)]([x g f y =，如果函数)(u f 在0u u =处连续，那么0)(u x g =时结论仍成立，否则可能不成立。
例如)sgn()(u u f =，当0→u 时极限为1；但是如果)(x g 为常函数0，则当0→x 时,u 当然趋于0,但复合函数的极限为0，而不是1。
4．数列极限存在准则中的条件),3,2,1( =≤≤n z x y n n n 是否可以改为：N ∃，当N n >时， n n n z x y ≤≤。
为什么？答：可以。
因为数列极限研究的是∞→n 时的趋势，与前面有限项的大小无关。
换句话说，去掉前面不符合n n n z x y ≤≤的有限项之后形成的新的三个数列的极限其实和以前的三个数列的极限相等。
5．无穷小之和一定是无穷小吗？举例说明。
答：不一定。
正确的说法是有限个无穷小之和仍然是无穷小。
例如21)1(21lim 21lim 21lim 22222=+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n 这里是无限个无穷小的和等于21 6．利用等价无穷小替换的方法可使极限运算更加方便，常用的等价无穷小替换公式有哪些？ 答：（1）x x ~sin （2）x x ~tan （3）x x ~arcsin （4）x x ~arctan （5）x x ~)1ln(+（6）x e x ~1-（7）a x a x ln ~1-（8）221~cos 1x x -（9）x x 21~11-+ （10）x x α-+α~1)1(7．如何理解研究0x 是否)(x f 间断点必须以)(x f 在点0x 的某去心邻域内有定义为前提？答：如果)(x f 在0x 的附近没有定义，那么研究函数在0x 处是否间断或连续就失去了意义。