函数极限概念问题

函数极限概念问题

1、试判断下列命题之真伪.若正确证明之，否则举反例说明.

(1) ∈=→()(lim 0

A x f x x R )∈∀⇔n N ,n A x f x U x 2

1)(:),(,00o <-∈∀>∃δδ； (2) ∈=→()(lim 0A x f x x R )∈∃>∀⇔n ,0εN , ε<-∈∀A x f n

x U x )(:)1,(0o ； (3) ∈=→()(lim 0A x f x x R )2

0o )(:),(,0,0εδδε<-∈∀>∃>∀⇔A x f x U x ； (4) ∈=→()(lim 0A x f x x R )δεδδε<-∈∀>∃>∀⇔A x f x U x )(:),(,0,00o

； (5) ∈=→()(lim 0A x f x x R )εδεδε<-∈∀>∃>∀⇔A x f x U x )(:),(,0,00o

. 2、设)(lim )(lim 0

0x f x f x x x x +-→→<，证明 :),(),,(,00000δδδ+∈''∀-∈'∀>∃x x x x x x ).()(x f x f ''<'

3、设f 为R 上的周期函数，且0)(lim =+∞

→x f x . 证明：0)(≡x f . 4、设f 在),0(+∞上满足：)()2(x f x f =且A x f x =+∞

→)(lim . 证明：.)(A x f ≡ 5、设f 为(a ,+∞)上的严格单调增函数，N ∈+∞∈n a x n ,),(，且 )(lim )(lim x f x f x n n +∞

→∞→=. 证明：+∞=∞

→n n x lim . 6、试问：当0→x 时，下列式子是否成立？

(1) )()(2x o x o =； (2) )()(2

x o x O =；

(3) )()(2x O x o =； (4) )()(2x o x o x =⋅； (5) )()1(22x o o x =⋅； (6) )()(2x o x

x o =； (7) )()

()(2x o x o x o =； (8) )0()()()(>>=+n m x o x o x o n n m ； (9) )0,()()()(>=⋅+n m x o x o x o n m n m .