《勾股定理与旋转》专题

《勾股定理与旋转》专题

例1、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。

练习：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则∠APB的度数是________.

例2 . 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。

A B

C

D

P

练习1：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数。．

2、如图、中，

ABC

∆0

90

ACB=

∠，AC=BC，PA=6,PB=2,PC=4,

求∠CPB的度数。

A A

F

P P

B B

C C

A

P

图2

图1

A'

A A

B

C B

C

例3、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究2

2

2

BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.

【问题探究】 1、阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A '

,当点A 落在C A '

上时,此题可解（如图2）．

请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点，

则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）

2、阅读下面材料：

小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且

3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.

小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB =60°，∠DCB =30°，AC =5，CD =4.求四边形ABCD 的面积.

3、阅读下列材料：

问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且P A ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．

小娜同学的想法是：不妨设P A=1， PB=2，PC=3，设法把P A 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以

图3

D

C

B

A

图⑴ 图⑵ 图⑶

O

C

B

A

E

D

D

P

P

P

C

C

C

B

B

B

A

A

A

解决．

请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．

（1）在图3中画出并指明以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画

图痕迹）；

（2）求出以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等

于 ．

【练习

巩固】

1、阅读下列材料：

问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC 的度数． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP′A （如图2），然后连结PP′．

请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；

(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．

图1 图2 图3

2、在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的

面积．

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．

．若ABC △2a 、

13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）

画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：

（3）若ABC △2a 10a （0a >），且ABC △的面积为2

2a ，

试运用构图法．．．

在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．

3、阅读下面材料：

问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，

DC =2．求BD 的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．

（1）请你回答：图中BD 的长为 ；

（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，

若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．

图① 图②

4、已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP

为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ,连结QE 并延长交BP 于点F .

（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写

出结果）；

A

A