构造法在解题中的运用
例析构造法在高中数学解题中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１６㊀例析构造法在高中数学解题中的应用例析构造法在高中数学解题中的应用Һ张文琴１㊀许零筝２㊀（１．台州市第一中学，浙江㊀台州㊀３１８０００；２．三门第二高级中学，浙江㊀台州㊀３１７１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造法是指依据题设条件㊁结论特征和性质，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等．构造法在数学解题中的应用，彻底打破了定向思维的束缚，开辟了全新的解题视角，有效提升了学生的数学解题能力．基于此，文章分析了构造法在高中数学解题中的应用价值，并针对构造法在高中数学解题中的具体应用进行了详细探究．ʌ关键词ɔ高中数学；解题能力；构造法；核心素养常规的解题思路基本上都是从已知条件向所求结论展开定向思考．但针对部分题目来说，常规的解题思路已经无法满足解题要求．此时，学生可以借助创造性的思维，根据题目中所给出的已知条件㊁结论特征等，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等，进而将已知条件和结论联系起来，形成解题思路．从构造法的内涵上来说，其中也蕴含了大量的数学思想，如：类比㊁归纳㊁转化．学生在创造性解答问题的过程中，不仅促进了数学知识的内化㊁迁移，也实现了数学思维的发展，这与数学核心素养的要求不谋而合．鉴于此，强化学生利用构造法解题，已经成为当前高中数学教学的重中之重．一㊁构造法与高中数学解题教学（一）构造法的内涵构造法在高中数学解题中尤为常见，主要思路是运用所学数学知识，以题目中的已知条件㊁所求结论作为解题出发点，通过综合性分析，构造出能够满足题目已知条件和所求结论的新形式，进而促进原有数学问题转化，使原本繁杂的数学问题变得简单㊁清晰，以便于学生迅速形成新的解题思路．鉴于构造法的内涵，其在解题中呈现出五个显著的特点：其一，构造性，主要是借助创新思维构造模型，立足于数学问题的本质，促进数学问题的简单化；其二，直观性，主要是借助已有数学知识，结合数学题目构建新的模型，形成解题思路；其三，可行性，构造法在高中数学解题中应用范围比较广，具备极强的实用性；其四，灵活性，在运用构造法解答数学问题时，学生必须具备丰厚的知识储备量，并结合自身的解题习惯，自行选择构造数学模型的类型；其五，多样性，构造法在应用时没有定式，学生可结合具体的题目要求，构造不同的解题模型．（二）构造法的应用价值首先，提高了学生的数学解题能力．构造法作为一种创造性解决问题的方法，可以使得题目中的隐藏条件变得可视化．因此，构造法的应用有效地消除了学生在解题过程中的畏难情绪，有助于强化学生的数学解题思路，使其逐渐强化解题能力．其次，提高了学生的数学思维能力．数学学科对学生的思维能力要求比较高，而学生的思维能力和解题能力之间息息相关．构造法的应用不仅促进了学生归纳㊁类比㊁转化数学思想的发展，也促进了学生数学思维能力的发展，这为学生更好地解决数学问题奠定了坚实的基础．最后，提高了学生的知识转化能力．高中数学题目极具综合性，学生在解题时，只有将各个部分的数学知识点整合起来，通过数学知识的迁移和转化，才能完成数学题目的解答．构造法的应用将代数㊁几何㊁函数等知识点整合起来，促进了数学知识的转化，使学生能灵活运用数学知识，从不同的角度思考问题㊁解决问题．二㊁构造法在高中数学解题中的具体应用（一）构造方程，解答数学问题构造方程在高中数学解题中尤为常见，主要是立足于方程与函数之间的关系，结合题目已知条件，构造方程，解答相关的数学问题．例１㊀已知（ｍ－ｎ）ｘ２－４（ｎ－ｘ）（ｘ－ｍ）＝０，求证：参数ｍ，ｘ，ｎ所构成的数列为等差数列．解析㊀这一数学题目与数列相关．如果按照传统的解题思路，那么学生所面临的求解难度比较大，甚㊀㊀㊀解题技巧与方法１１７㊀㊀至还需要大量的运算，极易出现错解的现象．鉴于此，可通过构造方程，从题目中所求结论出发，将其与题目中的已知条件结合起来，进而形成明确的证明思路：构造二次方程（ｎ－ｘ）ｔ２－（ｍ－ｎ）ｔ＋（ｘ－ｍ）＝０．观察其各项系数特点，可发现各项系数之和为零，故方程必有一根为１．又恰好该二次方程的根的判别式Δ＝０，故该二次方程有两个等根，即由根与系数的关系，得ｔ１ｔ２＝ｘ－ｍｎ－ｘ＝１，即２ｘ＝ｍ＋ｎ，所以得证．由此可见，借助构造方程的思想，从新的角度思考和分析问题，使得原本复杂的数学问题简单化，真正提升了学生的数学解题效率．（二）构造数列，解答数学问题在高中数学教学中，数列知识尤为重要．解答这一类型数学问题时，可灵活运用构造数列的方式，结合题目中相关信息和条件要求，通过替换等方式，构建新的数列，旨在简化数学问题，提升解题效率．例２㊀已知ｎ为正整数，求证：１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＞１．解析㊀在这一题目中，已知条件非常简单，只有ｎ为正整数．鉴于此，可运用构建数列的方式寻求证明思路：令１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＝ａｎ，则：ａｎ＋１－ａｎ＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋３＋１３ｎ＋２－１ｎ＋１＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋２－２３ｎ＋３＝２（３ｎ＋２）（３ｎ＋３）（３ｎ＋４）．因为ｎ为正整数，所以ａｎ＋１－ａｎ＞０，因此数列｛ａｎ｝为递增数列，根据ａ１＞１可得出该不等式成立．由此可见，按照常规思路很难求解此题，甚至还会在解题的过程中，由于步骤多㊁计算复杂等，导致出现错误．鉴于此，可通过构造数列，使复杂问题简单化，帮助学生顺利解题．（三）构建函数，求解数学问题在高中数学解题中，构造函数也尤为常见，其与构造方程本质相同．在解题中，可结合具体题目，构造函数，以此分析并解决数学问题．例３㊀已知ａ＜ｂ，ａ，ｂ，ｃ均为正实数，求证：ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．解析㊀对于这一题目，如果按照传统思路和方法进行证明，则极易陷入解题误区．鉴于此，可融入构造法，通过分析题目中已知条件，构建函数模型，形成证明思路：假设ｃ＝ｘ，将ａ＋ｃｂ＋ｃ构造成函数，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ，将ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ进行转化，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ＝ａ－ｂｂ＋ｘ＋１．该函数为增函数，递增区间为（０，＋ɕ）．又因为ａ，ｂ，ｃ均为正实数，因此ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．例４㊀已知关于ｘ的方程ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２＝０存在唯一的实数解，求实数ａ的值．解析㊀该题目为二次方程问题．因为题目中含有参数，所以学生在解题时常常毫无头绪．鉴于此，可结合已知条件和未知参数，通过构造函数的方式，形成解题思路：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２．因为ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以该函数为偶函数．假设ｘ０为ｆ（ｘ）＝０的解，则－ｘ０也为函数ｆ（ｘ）＝０的解，即－ｘ０＝ｘ０，因此，ｘ０＝０．所以ｆ（０）＝０２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓ０）＋１－４ａ２，即（２ａ＋１）（１－２ａ－ｓｉｎ１）＝０，解得ａ＝－１２或ａ＝１＋ｓｉｎ１２．由此可见，在遇到这一类型的问题时，学生可通过对已知条件㊁所求结论的分析，构造一个新的函数关系，将所求的问题转化为函数问题，进而运用函数的相关性质进行解答．（四）构造几何图形，解答数学问题在解答数学问题时，由于部分题目难度非常大，并且已知条件复杂，因此学生在分析题目时，常常难以理清思路，导致解题陷入困境．鉴于此，可运用构造法，结合题目中已知条件，构造出直观的几何图形，进而打开解题思路．例５㊀求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６的最小值．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１８㊀解析㊀这一题目已知条件简单，但如果按照常规思路进行解题，学生则难以形成清晰的解题思路．鉴于此，可通过构造图形的方式，将题目中的已知条件直观地呈现出来．㊀ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６＝（ｘ－２）２＋（０－３）２＋（ｘ－５）２＋［０－（－１）］２．㊀图１构造平面几何图形（如图１所示），假设平面上有一点Ｐ（ｘ，０），定点Ｍ（２，３），Ｎ（５，－１）．如此，所求问题转化为求Ｐ到Ｍ，Ｎ距离的最小值．结合所学知识可知，当三点共线时，ｆ（ｘ）存在最小值，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ＭＮ＝（２－５）２＋（３＋１）２＝５．由此可见，借助构造平面图形的方式，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生通过观察，构建已知条件和所求结论之间的关系，并运用所学知识灵活解答问题．（五）构造向量，解答数学问题在高中阶段，构造向量是一种非常重要的解题方式．在具体的高中数学解题中，可运用构造法，将不等式问题㊁函数问题等构造成向量问题，进而运用向量的相关知识进行解答．例６㊀假设函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ，求该函数的最大值．解析㊀这是一道经典的函数问题，如果按照传统的解题思路解答问题，则会产生大量的计算步骤，极易出现计算错误．鉴于此，可借助构造法，运用向量的相关知识㊁性质进行解答．假设向量ｍ＝（２，１），向量ｎ＝（ｘ＋１，４－ｘ）．由于ｍ㊃ｎɤｍ㊃ｎ，因此ｙ＝ｍ㊃ｎɤ５．故当ｘ＝３时，函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ存在最大值，为５．例７㊀在әＡＢＣ中，øＢＣＡ＝θ，ＣＢ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，试对әＡＢＣ的余弦定理进行证明．解析㊀可结合题目中的已知条件，构造向量：向量ＣＢң＝ａ，向量ＣＡң＝ｂ，向量ＡＢң＝ｃ．已知ｃ＝ａ－ｂ，则ｃ２＝ｃ㊃ｃ＝（ａ－ｂ）㊃（ａ－ｂ）＝ａ㊃ａ＋ｂ㊃ｂ－２ａ㊃ｂ＝ａ２＋ｂ２－２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ．即ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓθ．由此可见，借助构造向量的方法，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生从新的视角出发，根据新的思维模式，运用所学的知识思考问题㊁分析问题㊁解答问题．三㊁基于构造法解答数学问题的教学启示课堂教学实践证明，通过构造法在高中数学解题中的应用，真正实现了 化繁为简㊁由难到易 的目的．学生结合题目中的已知条件和所求问题，构造新的关系，促进所求问题的转化．可以这样说，构造法在解题中的应用不仅提升了学生的数学解题能力，也发展了学生的思维能力，更加强了学生的数学综合素养．鉴于此，教师在日常教学中，应有意识地渗透构造法，加深学生对构造法的理解，使其能掌握构造法．一方面，学生的构造意识并不是在短时间内形成的，唯有通过潜移默化地渗透，才能达到预期的目标；另一方面，虽然构造法在解题中占据一定的优势，但并不意味着构造法适用于每一道题目，因此教师在日常解题中要带领学生积极开展一题多解训练，帮助学生掌握多种解题方法，便于学生在对比中了解构造法的解题优势和具体应用，使其在日后解题中能够合理利用这一方法．结㊀语构造法在高中数学解题中尤为常见，通过构造函数㊁构造方程㊁构造数列㊁构造平面图形等手段，可将原本复杂的数学问题简单化，便于学生形成新的解题思路，从新的视角分析问题㊁解答问题．鉴于此，教师在日常教学中，应结合实际情况，有意识地渗透构造法，不断提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］庄素慧．基于 构造法 的高中数学解题思路探索［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３１）：５５－５７．［２］张宏敏．应用构造法在高中数学中的解题策略［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１８）：４９－５１．［３］刘海杰．构造法在高中数学解题中的运用措施分析［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１２）：１４－１６．［４］丁爱年．高中数学解题教学中构造法运用分析［Ｊ］．数学之友，２０２２（０４）：２５－２７．［５］张焕生．解析构造法在高中数学解题中的运用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（０２）：１４－１５．［６］刘晓妮．高中数学解题中应用构造法的总结［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３１）：６５－６６．。
构造法在解题中的应用
构造法在解题中的应用
构造法是一种常见的解题技巧，它通过构造出满足特定条件的对象，来证明某个结论的存在性或者非存在性。
在解题中，构造法通常可以应用在以下几类问题中：
1.存在性证明问题。
比如，证明一个数列中存在质数，可以通过构造出一个满足条件的数列来证明。
2.反证法证明问题。
比如，证明某个命题不成立时，可以通过构造一个反例来证明。
3.计数问题。
比如，计算某个集合中元素的个数，可以通过构造一一对应的映射来计算。
4.结构问题。
比如，证明某个结构的存在性或者非存在性，可以通过构造出满足条件的结构来证明。
总之，构造法在解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理解问题，并且提供了解决问题的有效手段。
- 1 -。
构造法在数列解题中的应用
构造法在数列解题中的应用所谓构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。
解题中的构造法是指依据题设的特点，假借已知条件中的元素为“元件”，依托已知数学关系为“支架”，构造数学模型。
本文通过构造法解题训练学生的发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新，因为，构造法是数学中最富有活力和创造性的化归方法之一，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，同时它也渗透了思维的广泛性、深刻性和敏捷性。
就构造法的本质是什么，如何构造，进行了分析与研究，通过运用构造法进行解题的阐释，揭示了构造法的思维模式，教会学生如何去构造。
从而使学生思维和解题能力得到培养，培养学生多元化思维和创新精神，丰富学生的想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力，并为培养学生创新思维提供了有效途径。
一、构造辅助数列在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式，但实际上有些数列并不是等差、等比数列，给出数列的首项和递推公式，要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：1.利用倒数关系构造数列例1:在数列{an}中，a1=2,an+1=，（n∈N），求{an}的通项公式。
解：由已知条件，将an+1=，（n∈N）两边取倒，得到=，=+3，设bn=，则bn+1=bn+3，即bn+1-bn=3，∴{bn}是以首项，3为公差的等差数列。
通过等差数列的通项公式求出bn=+3（n-1)=3n-=，∴数列{an}的通项公式an=。
2.构造形如bn=an+m，bn=lgan的数列例2：已知数列{an}中，若a1=1;an+1＝3an+1（n∈N）,求数列{an}的通项公式。
浅谈“构造法”在解题中的妙用
浅谈“构造法”在解题中的妙用作者：游庆灯黄华敏来源：《新教育时代·教师版》2018年第34期摘要：在化未知为已知的众多思维方法中，“构造法”是一种富有创造性的化归手段，它的实质就是通过深入分析问题的结构特征和内在规律，发现需解决的问题与已有知识的内在联系，将问题转化为另一个比较熟悉的问题，再予以解决.本文通过几个具体的案例谈谈对构造法的初步认识.关键词：构造法转化数形结合创新意识及思维构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法” .怎样构造呢？构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取的相应的解决方法，基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法，在解题过程中，若按习惯定式思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己的思维，运用构造法解题也是培养我们创新意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助。
[1]案例：人教版八（上）教材第130页第11题：一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以米/秒和米/秒匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？[2]思考：本题从表面上似乎与函数没有关联，但却可以构造函数关系并运用函数的相关知识予以解决，由于小明和小刚两人是匀速跑，我们可以将路程看成是时间的一次函数，依题意可画出如下函数图象（图1）：根据函数图象，可设，，当=100时，；当=200时对应的与=300时对应的相等，及，，联立解得，，故此次越野跑的全程为：200×3+1450=2050.回顾本题的解答过程，通过巧妙地构造一次函数并通过函数图象形象、直观地使问题得以解决，思维活跃，解法新颖，令人回味！同类变式：方程的解的个数是.思考：尽管本道题超出了课程标准要求（可化为一元二次方程的分式方程问题），但我们仍能打破常规，从中体会到构造法的妙用！可以将方程两边分别视为反比例函数和一次函数，在同一直角坐标系中画出它们的图象（图2），观察两个图象交点的个数，即知原方程解的个数.反思：本道题的初衷是将分式方程转化为一元二次方程，再通过判断一元二次方程解的个数得到原分式方程解的个数，可在上述解决问题过程中，通过构造两个函数，将判断方程解的个数问题转化为判断两个函数图象交点个数问题，既体现了方程与函数的本质联系，又发散了思维，培养了创新意识，数学课程标准（2011版）明确指出，创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终，而创新意识正是学生所缺乏的.我们不能错失这样的好机会！可以看到，构造法虽然算不上是解决数学问题的一般方法，其技巧性较强，但是在数学很多领域都有它的身影，只要我们发散思维，丰富联想，合理构造，勇于创新，它就在你身边！对“构造法” 的理解和运用有助于我们打破思维定势，完善思维品质，达到解题境界上的升华！参考文献[1][美]波利亚.怎样解题.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.[2]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2012.。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究1. 引言1.1 构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种在数学问题中常用的解题方法，它利用构造新对象或者研究已有对象的性质来解决问题。
在高考数学中，构造法被广泛运用于各种类型的题目中，包括代数、几何、概率、数学建模以及解答题等。
通过构造法，可以更加灵活地解决问题，提高解题效率。
在代数题中，构造法常常用于证明方程的解法是否正确或者求解特定的解。
通过构造新的代数式或者等式，可以更加直观地理解问题，简化解题过程。
构造法可以用于证明一元二次方程有两个不同实数根的情况。
在几何题中，构造法可以用来构造特殊的图形或者角度，从而推导出问题的解。
通过构造各种几何图形，可以更清晰地看到几何关系，简化证明过程。
构造法可以用来证明三角形的角平分线相交于内心。
在概率题中，构造法可以用来构造特定的概率空间或者事件，帮助求解概率问题。
通过构造不同的概率模型，可以更好地理解问题，找到解题思路。
构造法可以用来计算抛硬币的概率问题。
在数学建模中，构造法可以用来构造数学模型，帮助分析实际问题。
通过构造各种数学模型，可以更准确地描述实际情况，指导解决问题的方法。
构造法可以用来建立人口增长的数学模型。
2. 正文2.1 构造法在代数题中的应用构造法在代数题中的应用是高考数学解题中的重要部分。
代数题通常涉及方程、不等式的求解以及函数的性质等内容，而构造法的运用可以帮助我们简洁而有效地解决这些问题。
在代数题中，构造法可以被应用于方程组的解法。
通过构造合适的方程组，我们可以很快地得到未知数的取值。
在解二元一次方程组时，我们可以通过构造一个新的方程来消去其中一个未知数，从而简化求解过程。
构造法还可以被用于不等式的证明。
通过构造一个或多个具体的数值来验证给定的不等式是否成立，我们可以快速判断不等式的真假。
构造法也可以帮助我们找到不等式的最优解。
在函数的性质证明中，构造法同样可以发挥重要作用。
通过构造一个特殊的函数形式，我们可以验证函数的性质，并推断出一些重要结论。
构造法在中学数学问题中的解题应用
构造法在中学数学问题中的解题应用摘要：本文主要是在前人研究的基础上通过收集大量资料，对用构造法解题的形式进行分类，介绍在中学数学中用构造思想方法解题的典型例子，并归纳整理出构造法在代数和几何中的应用,使得构造法在解题的应用有一个比较系统、清晰且全面的结论。
关键词：构造法中学数学问题思想方法应用一、构造法在代数问题中的应用1.构造函数解代数问题。
如何构造一个函数，构造一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想。
(1)构造函数证明不等式。
根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，是一种常用的构造方法。
构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法，它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等式关系，从而合理选择恰当的函数模型。
利用构造函数证明不等式，不仅能使解题过程简捷、明快，而且使解题方法新颖、精致，使数学解题思路突破常规，具有很强的创造性，体现独特的数学价值。
(2)构造函数证明等式。
例2 已知 a，b，c互不相等，求证：分析：如果把式子左边展开来证，是非常繁琐的,注意到a，b，c互不相等这一特性，巧构函数f(x)能富有创造性地证明本题.证明：构造函数f(x)=由于a，b，c互不相等，可知-a，-b，-c也互不相等。
因为f(x)是二次函数，而f(-a)=f(-b)=f(-c)=0，故f(x)=0恒成立，即原式成立。
2.构造方程解代数问题。
在应用方程思想解题时，主要是运用方程的两个性质，即韦达定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式。
根据韦达定理及其逆定理构造一元二次方程解代数题。
有些数学问题未必是方程问题，但我们可以构造辅助的方程进行求解。
用方程思想构造方程解题非方程问题有一定的规律性：已知两个或多个数之和、之积的对称式，利用韦达定理的逆定理构造两次或高次方程；当问题中出现形如“b2-4ac”的式子时，可构造出以“b2-4ac”为判别式的二次方程ax2+bx+c=0的形式。
浅议构造法在初中数学解题中的有效运用
一、重视题意分析
分析题意 是 大 多 初 中 学 生 所 必 须 要 掌 握 的 一 项 内 容ꎬ也只有弄 清 题 目 的 具 体 意 思ꎬ 并 据 此 找 到 已 知 条 件、 未知条件、隐 含 条 件 等ꎬ 才 能 理 清 条 件 与 问 题 之 间 的 关 系ꎬ并尽快找到问题的切入点以及解题的具体思路. 在采
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了一道题目ꎬ已经知道三角形 ＡＢＣ 为锐角三角形ꎬ那么 ｓｉｎＡ
＋ ｓｉｎＢ ＋ ｓｉｎＣ > ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＢ ＋ ｃｏｓＣ 是否成立? 学生刚开始看
到这道题目的时候ꎬ可以根据所学内容对题意的条件进行整
理分析ꎬ并找到隐含条件“ Ａ
＋Ｂ
>
π ２
ꎬ则
Ａ
>
π ２
－ Ｂ”、“ｙ
＝
ｓｉｎｘ
在(０ꎬ
π ２
)
上为增函数”.
但由于学生对三角函数这部分
内容的理解与掌握程度仍然不够ꎬ教师可以先重点讲解三角
函数的内容ꎬ帮助学生及时进行查漏补缺ꎬ并找到具体的
解题思路. 由此可见ꎬ在初中数学解题教学中采用构造法
帮助学生进行解题ꎬ可提高学生的题意分析能力ꎬ从而让
其在今后的解题过程中能有针对性地采用题目中给出的
３. 注重正面引导的激励措施 在学生学习的过程中每取得一个小的成功ꎬ就让学 生进行自我奖赏ꎬ达到学生预想目标ꎬ就给自己什么样的 奖励. 每一次小进步ꎬ每一次小目标的实现ꎬ都是对自我 的一个肯定. 这样通过目标的设定ꎬ奖励的激励来巩固自 己的行为ꎬ增强学生自信心ꎬ让学生在不知不觉中对学习 感兴趣ꎬ甚至爱上这么功课ꎬ让学生在学习过程中有获得 感ꎬ存在感、成功感. ４. 注重分层分类的教学策略 加强对尖子生的培养和对后进生的辅导ꎬ采取“ 抓两 头ꎬ促中间” 的教学策略. 对优生不仅要布置提高题ꎬ还要 利用课后对提高题进行评讲ꎬ让他们拓展知识面ꎬ提高分 析问题和解决问题的能力. 对于后进生ꎬ采取以鼓励为 主ꎬ从基础抓 起ꎬ 从 学 习 兴 趣 入 手ꎬ 利 用 课 余 时 间 进 行 辅 导ꎬ通过同学 之 间 的 互 助 学 习 小 组 等 方 式 来 提 高 他 们 的 学习成绩.
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种常用的数学解题方法，特别适用于几何问题的解决。
下面我们将介绍在
高中数学解题中构造法的应用方法。
一、构造辅助线：
1. 构造线段、角的等分线：通过构造等分线可以将原先复杂的形状简化为几个简单
的相等的部分，便于解题。
2. 构造三角形的高线、中线、角平分线：通过利用三角形的性质，可以确定三角形
的一些特殊线段，从而解题。
3. 构造平行线、垂直线：通过构造平行线和垂直线，可以得到一些等角关系、相似
三角形等，从而解题。
二、构造形状：
1. 构造圆、三角形、四边形：通过构造几何形状，可以利用其性质来解题。
2. 构造相似形：通过构造相似形状，可以利用相似三角形等性质来解题。
三、构造特殊点：
1. 构造重心、垂心、外心、内心：通过构造特殊点，可以利用它们的性质来解题。
2. 构造交点、中点：通过构造交点和中点，可以得到一些等分线段、等角关系等，
从而解题。
四、构造长度关系：
1. 构造比例关系：通过构造长度的比例，可以利用这些比例关系来解题。
2. 构造勾股定理：通过构造特殊的长度关系，可以利用勾股定理来解题。
构造法是一种灵活但有效的解题方法，在高中数学解题中应用广泛。
通过构造辅助线、形状、特殊点和长度关系等，可以利用它们的性质来解决各种几何问题。
在解题过程中要
善于观察和发现，合理运用构造法，提高解题的效率和准确性。
构造法在高中数学解题中的运用措施分析
2021年第15期总第508期数理化解题研究构造法在高中数学解题中的运用措施分析徐小美（江苏省扬州中学225009）摘要:在数学解题的过程中采用构造法就是一种十分重要的手段，发挥着至关重要的作用.在近年来的高考题目中存在大量的题目需要采用构造法来解决问题.本文就构造法在高中数学解题过程中的应用进行分析，以期提高学生的学习效率.关键词：构造法；高中数学解题;应用与分析中图分类号：G632 文献标识码:A 从本质上来说,数学本就是一门逻辑很强的课程,并且答案具有唯一性,但是解题的思路和方法却存在着多样性,老师在教学过程中，并不是教会学生使用什么方法 去解题，重要的是在拿到问题以后如何理清自己的思路，找出适合自己的解题思路和方法,最终能够熟练的应用 于数学题目当中•因此，解答数学题的过程事实上就是把 一个未知的问题用多种方法转化成为已知的过程,其中最为重要的就是这个转化过程,考验的是学生的解题能力. 然而在数学解题的过程中采用构造法就是一种十分重要的手段，发挥着至关重要的作用.在近年来的高考题目中就存 在大量的题目需要采用构造法来解决问题，但是这对于一些偏远地区学校的教学水平来说,是达不到教学目的的，很多 的问题都是由老师一手包办，完全不给学生思考的机会，学 生从而就无法熟练掌握构造法这种解题思路.随着我国经济的飞速发展,逐渐加大对教育的投入力度，近年来教育体制深入改革，针对目前的教学手段， 国家教育部门出台了一系列重要的措施,需要各所院校不断完善和改进以往传统的教学理念和教学模式,逐渐培养学生养成自主学习的良好习惯,即使在统一的教学环境下，学生的能力也会存在着一定的差距,面对当前的问题，就需要老师根据学生的实际情况，总结以往的教学 经验，在教育方式上追求创新•尤其是高中数学的解题过程中，加入新的解题思维和模式,鼓励学生学会独立思 考，勤加练习,将构造法合理有效的运用到数学的解题过程中去，让学生熟练的掌握运用构造法解题的技巧和方 法，从而大大提升学习效率.文章编号：1008 -0333 （2021） 15 -0035 -02一、 构造法的基本概念通常情况下构造法的基本概念主要指的是根据数学 题目当中的已知条件以及相应结论的基本特性或者性质，结合实际状况逐渐的构建出一些完全符合基本条件和结论特性的数学形式,从而能够将数学题目当中的未知量转化成为已知量，这样一来就能够有效的帮助学生 快速的解决数学问题.因此在实际解决数学题目的过程 中，往往是通过利用一些相对比较直观的图形来充分的表示题目当中的已知量和相关解决问题的手段,换句话说这是利用数学中的数形结合的思想，在确定解题思路 之后,求解出答案.另外，构造法在数学解题的实际运用 当中，不仅仅局限于利用直观的图形来解决一些难题，而且在函数、方程以及向量等数学问题中都起着十分重要 的作用•在目前阶段的数学学习过程中，大多数的学生擅 长的都是方程的求解，因为这符合学生思考问题的思路 和想法，然而通常情况下方程和函数都是学生日常经常使用的解题工具，这在一定程度上不但能够加强学生独 立思考的能力,同时也能够不断加深学生对于数学解题方法 的掌握以及巩固所学的知识点•除此之外，采用这样的方法可以帮助学生加深对抽象问题的理解,对培养学生的创新能力 和拓展思维有着一定的促进作用和影响.二、 构造法在高中数学解题过程中的应用和分析1.构造法在解决函数问题过程中的具体应用与分析收稿日期：2021 -02 -25作者简介:徐小美（1983 -），女，江苏省如东人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.—35—数理化解题研究2021年第15期总第508期--------------------------------------------利用构造函数的方法来解决数学问题是学生比较常用的一种手段和构造方法，因为在生活当中存在着很多的问题，都需要利用函数的思想进行解决,然而采取这样的方法，不仅仅能够培养学生独立解决问题的能力和思想,而且还能够使学生养成良好的学习习惯,不断加强学生解决实际问题的能力.因此函数已经逐渐成为了学生高中数学学习的重点内容,这就意味着老师在实际的教学过程中不仅仅需要教会学生如何熟练的使用函数构造法来解决实际问题,而且还需要培养学生的创新思维能力和解题思想.但是在利用构造法来解决函数问题之前,需要对构造法进行初步的了解,并且还需要知晓这种方法的主要适用范围以及如何有效的运用至实际的问题中去.事实上解题思想的培养对于在学生解决数学问题的过程中占据着至关重要的地位,这可以不断开拓学生的思维和思想,用灵活的头脑去看待问题,最为重要的是对于学生快速掌握解题技巧有着一定的促进作用,尤其是在一些代数和几何类型的题目之中,常常存在着函数的思想，因此在实际问题的解决过程中,需要合理的运用函数构造进行问题解决,这样可以将一些抽象的问题具体化，一些复杂的问题简单化，最终达到解答题目的目的.2.构造法在解决方程和向量问题过程中的具体应用与分析构造法在方程和向量的问题解决方法中也是比较常用的,这对于大多数的高中生来说都是比较熟悉的,这是因为在高中数学的学习过程中，方程和向量的思想基本上能解决大多数的数学问题，学生对于这种解题方法的熟悉程度和函数相差无几,并且与函数也存在着十分密切的联系，这些往往都是根据所给题目的主要类型和特征共同组成的，这样在一定程度上能够有效地将一些抽象化的问题变得更加简单化，极大的提升学生的解题速率.通常情况下，题目中的已知量以及各种数量关系等等都可以建立成方程的等式,对于问题都是可以利用这个方程的等式进行相应的计算的，从而分析出各个量之间的必然联系，这还能不断提升学生对于一些抽象问题的理解能力，并且在一定程度上极大的提升解题速率和解题的质量.现如今大多数的数学题目实际上考验的并不是学生对于数学知识的掌握程度,而是学生在面对问题的时候的应对能力和思维能力，我们不能只为了解题而解题，而是掌握这种方法,应对其他的问题，这就是所谓的举一反三.然而向量作为高中数学的重点内容,也是数—36—学领域当中应用比较广泛的知识点，对于一些比较难解决的数学问题，采用构造向量的方法能够帮助学生在最短的时间内找到解题方法,这样既能达到节省时间的目的，又能解决实际问题.3.构造法在图形问题解题过程中的主要应用在高中数学的解题过程中,另外一种比较常用的方法就是数形结合的思想,对于一些抽象的数学问题,如果仅仅是通过审题,很难理清这其中的关系,面对这样的问题可以采用画图的方式,利用图形来解决难题，这样能够将复杂的问题简单化和具体化，最终将已知条件中的数量关系更加直观的展现在眼前，更加利于学生去解决问题.这样的方法就是利用构造法构造出学生容易理解的图形，帮助学生去寻找解决问题的方法，不断开拓学生的视野，并学会去联想,这在一定程度上能够将代数问题全部转化为几何问题,最后再用一些几何方法解答出代数问题.但是对于小部分的学生来说,对于图形的理解可能存在着一定的困难,很难将这两方面的问题巧妙的结合在一起，如果数学知识不扎实,就难以理解.综上所述，学生在高中数学的学习过程中，学生在解题的过程中往往会遇到各种各样的问题,甚至学生在面对这些问题的时候并不知道该从何下手,这个时候检验的就是学生对于知识点的掌握程度并且如何有效的运用于解题过程中去的能力.因此,老师在日常的教学过程中,需要要求学生面对一个问题的时候,尽量从多个角度去思考问题,不能将学生的思想局限于一个范围之内,注重学生发散性思维的培养,真正意义上的理解数学解题方法的含义,从而提升学生的创新思维和能力.其中构造法是现阶段学生比较常用的解题方法和思路,但是很多的学生并没有真正意义上完全掌握其主要的作用,这就需要老师在日常布置作业的时候,多设计一些利用构造法来解决不同类型问题的题目，加强学生练习.参考文献：［1］林春花.探讨高中数学圆锥曲线解题中构造法的应用［J］.黑河教育,2020(04)：24-26.［2］刘强.例谈高中数学解题中构造法的应用［J］.数学学习与研究,2019(07)：134.［3］陈泓熹.构造法在高中数学解题中运用的分析及研究［J］.数学学习与研究,2018(03)：122.［责任编辑:李璟］。
构造法在中学数学解题中的应用
：
０ｎ ， （ ≥２ ｎ∈Ｎ＋ ， 。 ： ）且
５ 构 造 几 何 图 形
注意 问题 和对象 的几何 背景 ， 构造 几何 图形 ， 再
运用 图形 的几何 性质 可 以使 复杂 问题 简单化 ． 例 ７ 如图， 段 Ａ 线 Ｂ在 平 面 内 ， 段 Ｃ 线 Ｄ在
（） １ 求数 列 ｛ 的通项 公式 ； ０｝
・
７ ・ ５
《 数学 之友 》
２１ ０ ０年第 ２ ４期
又 ６ ＝ｌｇ １＋１＝１ ｂ １ ｏ２ ． ：１×２ ～ ＝２ ，
即 ｌ ２ ｌ ＝２ 一 ， ｏ ｏ ＋１ 进而 ｌ ２ ＝ 一１ ｇ ｏ ｏ ２一 ｇ ，
・
６ ｝ ＝ ， 为 的 差 列进 ６ 公 ２ 等 数 ，而 ： ３差
・ ． ．
平面 内 ， 且 ∥卢 Ａ ，Ｂ上∞ ，Ｂ： Ｄ＝ ， 面 ， Ａ Ｃ 口平 之 间 的距 离为 ｈ 求 四面体 Ａ Ｃ 的体积． ， ＢＤ
Ｄ
５
一 ２ Ｏ． １ ＋ ＳＳ ＝
一
口 一 １ ＝ ２
，
所数 ｛） 项 ２差 ２等 数 以列妾 首 为 公 为 的 差 是
， １ Ｉ ， 一 、一 １
为 ｎ 体 为 ＝７ ＝ ｈ 三 锥Ｃ 等 ， 积 ｆｎｈ下 而 棱 其 、 ， １ ， ｌ ０ －
一
（） ２ 由第 一 问可得 ｂ ２ １ ） ｉ ： （ 一ｎ ｎ １，
所 以 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ＋ １＋ １＋… ＋ １
解 ：。 １ １ ２一口＝ 口 ＝１ ‘ 口 ＝Ｓ ＝ ． １ １ ，
当 ｎ ２时 ， 】 ２ ＞ ｔ ０ ＝Ｓ 一Ｓ一 ＝ ｎ一０ 一［ （， ） ２ ／一１ ７
一
构造法在初中数学解题中的应用
构造法在初中数学解题中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
构造法在高中数学解题中的应用
西藏科技，２０１５（０３） ：３８－３９．
［４］ 张守俊．探 析 构 造 法 在 数 学 解 题 中 运 用 ［ Ｊ］ ． 赤 子
（ 中旬） ，２０１４（１４） ：２４０．
的要求，因此夯实数学基础对于计算复杂问题起着重要的
作用．
（ 三） 构造方程
在高中数学的学习中，尤其是高考中，许多问题都离不
开方程与函数，因此对于许多并不是单纯的方程问题或是
函数问题的问题，在解题时依然可以利用构造方程式的方
法进行辅助计算．这不但可以降低计算量，也可以促进学生
掌握方程以及函数的解题思想． 下面将以两个实际问题为
式为 ｘ＋ｙ ＝ ０，是二、四象限的角平分线，故需要构造抛物线
ｙ ＝ ｍ ｘ２ －１（ ｍ≠０） 关于直线 ｃ 的对称抛物线－ｘ ＝ ｍ ｙ２ －１，此
时原问题经构造方程后已转化为曲线交点问题，具体解法
如下：由方程 ｙ ＝ ｍ ｘ２ －１，－ｘ ＝ ｍ ｙ２ －１ 可得 ｘ＋ｙ ＝ ｍ（ ｘ＋ｙ） （ ｘ－
用，熟练、灵活地掌握构造法的相关知识可以使学生的日常
解题过程更加迅速、高效，正确率也将更上一个台阶，对于
培养学生的自信心与成就感有着重要的作用．
２．复杂数列的构造
３
１
ｍ － ｍ （ｎ ＝ １，２，３，…），
２ ｎ＋１ ２ ｎ
求ｍｎ ． 首 先 将 该 数 列 的 通 项 公 式 化 简 为 ｍ ｎ＋２ － ｍ ｎ＋１ ＝
及数学性质在新构造的数学模型中更加清楚地体现出来，
并且能根据其更迅速地分析题目所求解的问题，从而更加
准确地得出问题的答案．
（ 二） 构造思维在数学中的体现
在了解了构造法的基本概念之后，教师在日常教学过
浅谈构造法在中学数学解题中的应用
与 轴 的交 点 问题．
川
＝
＋
＋
一
＝
两 丽
＞１ ∈ （
例 ６ 求证 ： １ ＋ １ ＋． ＋ ． ・
如 果问题条 件 中具 有 明显 的或 隐含 的几何意 义
分析 ： 欲证 与 自然 数 ｎ有 关 的不 等 式 ｆ ｎ （ ）＞ｇ （ ，可 构 造 数 列 模 型 ａ ＝ｆ （ ｎ） ｎ） 一 ｇ （ ｎ）
与背景 ， 构造适合 条 件 的图 形 ， 过 图形 启发 思 维 ， 通
分析： 根据条件 ａ＋ ， ６ 结构联想到 ， 而 ６ａ ＋ 从 ∈（ ，） Ｙ ＞ ， Ｙ单 调递增 ； ０ ｅ ， ０ 则
构思—个“ 一元二次” 方程 ， 再运用判别式证明不等 式．
解 ： ａ＋ Ｃ ， ａ＋ ＝１ Ｃ （ ） 由 ｂ＋ ：１ 得 ｂ 一 ． １
∈ ｅ＋。 ， ＜ ， Ｙ （ ， 。 ）Ｙ ０则 单调递减．
ｌ２ ｎ
＝ ，
ｅ ＜３＜ ５＜８ 所 以 ｄ＜ ＜口＜６ ４＜ ， ｃ ．
Ｉ ａ＋ｂ＋ｃＩ ≤
一
将（ ） １ 的两边 平方 ， 将 ａ ＋ｂ ｃ 并 ＋ ＝１ 人 得 代
ａ ｃ 一ｃ （ ） ｂ＝ ． ２
例 ２ 设 ａ ｂ Ｃ∈Ｒ， 证 ： ，， 求
Ｉ ｂＩ Ｉ Ｃｌ
，
即 （ ｓ ｃｓ０—１ ４ｉ Ｏｏ ｎ ）
（ｉ ｃｓ０ ８ ＞０ 易知 ０＜ ｉ ０ ， ＣＳ ｓ Ｏｏ — ） ， ｎ ｔ ｓ ＜１０＜ Ｏ ０＜１所 ｎ ，
构造法在数学解题中的应用_毕业论文
浅谈构造法在解题中的应用内容摘要数学思想方法在中学数学教学中有着十分关键的地位，在高中数学教学中，构造思想方法是一种极具创造性的数学思想方法，它充分渗透在其他的数学思想方法之中。
利用构造法解题可以更直观，更简单的解决比较复杂的数学问题。
鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用上。
具体来说，本文将重点阐述以下几个问题：构造法的理论简介及应用:如构造函数、构造向量、构造数列、构造方程、构造几何模型、构造递推关系式、构造等价命题等。
【关键词】数学解题构造法数学问题Construction method in solving problemsAbstractMathematical way of thinking in mathematics teaching in secondary schools has a very key position.mathematics teaching in high school,structure of thinking is a highly creative mathematical thinking.It fully permeate into other mathematical way of thinking.Solving Problems by construction can be more intuitive and easier to solve complicated mathematical problems.In view of this,This article focuses mainly in the construction method in solving problems.Specifically,this article focuses on the following issues:the definition of construction method,In Algebra:Construction expression and formula, structural equation, structural relationship, constructors, construction proposition, construction sequence, structural model, structural vector, etc.【Key words】Mathematical problem solving Construction method Math problems目录一、引言 (2)二、构造法的理论简介 (2)（一）构造法 (2)（二）构造法的历史过程 (3)（三）构造法的特征 (3)三、构造法在解题中的应用 (4)（一）构造函数 (4)（二）构造向量 (5)（三）构造数列 (5)（四）构造方程 (6)（五）构造几何模型 (7)（六）构造递推关系式 (8)（七）构造等价命题 (8)四、结束语 (9)参考文献： (9)致谢： (9)浅谈构造法在解题中的应用学生姓名：指导老师：一、引言数学思想方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在。
构造法在初中数学解题中的巧妙应用
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA 108数学学习与研究2019.6构造法在初中数学解题中的巧妙应用◎夏学升徐亚妮（广河县回民第一中学，甘肃临夏731300）【摘要】数学思想方法在初中数学教学中具有十分重要的地位，构造思想方法是一种极具创造性的数学思想方法，尤其在解决繁难的数学问题时，如能根据具体问题恰当运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，使问题迎刃而解．本文将重点阐述构造法的理论简介及应用：如构造函数、构造方程、构造几何图形等．【关键词】数学解题；构造法；数学问题；应用数学思想方法是解决数学问题的灵魂．构造法作为一种传统的数学思想方法，在解题过程中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、猜想等数学能力，激发学生的创新意识，所以在初中数学教学中，应注重对学生运用构造法解题的日常训练，使学生体会数学知识间的内在联系和相互的转化归结，能创造性地构造数学模型，巧妙地解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，体验成功的快乐，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的数学核心素养．一、构造法在解题中的应用理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃．很多数学命题烦冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味．（一）构造函数在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段．构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性．在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标．例1（2017·西北师大附中兰外招生）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产Α，Β两种产品，共50件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．（1）按要求安排A ，B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A ，B 两种产品获总利润为y （元），生产A 种产品x 件，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解（1）设需要生产Α种产品x 件，那么需要生产Β种产品（50－x ）件，由题意得：9x +4（50－x ）≤360，3x +10（50－x ）≤290{，解得：30≤x ≤32，ȵx 是正整数，ʑx =30或31或32，ʑ有三种生产方案：①生产Α种产品30件，生产Β种产品20件；②生产Α种产品31件，生产Β种产品19件；③生产Α种产品32件，生产Β种产品18件；（2）由题意得：y =700x +1200（50－x ）=－500x +60000．ȵy 随x 的增大而减小，ʑ当x =30时，y 有最大值，最大值为：y =45000（元）．答：y 与x 之间的函数关系式为：y =－500x +60000，（1）中的方案①获利最大，最大利润为45000元．（二）构造方程方程作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关．根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解．构造方程是初等代数的基本方法之一．如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法．构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：A．将所面临的问题转化为方程问题；B．解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论；C．将方程的相应结论再返回为原问题的结论．1．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“一元一次方程”求解，从而解决问题．例2（2014·西北师大附中兰外招生）设a ＞b ＞c 且a +b +c =1，a 2+b 2+c 2=1，求a +b 的范围．解由a +b +c =1，得a +b =1－c．①将①的两边平方并将a 2+b 2+c 2=1代入得ab =c 2－c．②由①②可知，a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2+（c －1）x +（c 2－c ）=0的两个不等的实根．于是Δ=（c －1）2－4（c 2－c ）=－3c 2+2c +1＞0，解得－13＜c ＜1，又a ＞b ＞c ，ʑ－13＜c ＜0，即－13＜1－（a +b ）＜0，ʑ1＜a +b ＜43．（三）构造几何图形1．对于条件和结论之间联系较隐蔽的问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍．例4（2011·西北师大附中兰外招生）已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1，求证：a 2+b 槡2+（1－a ）2+b 槡2+a 2+（1－b ）槡2+（1－a ）2+（1－b ）槡2≥2槡2．分析在求证条件不等式时，可根据题设条件做出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证．证明如图所示，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE =a ；在AD 上取点G ，使AG =b ，过点E 作EF ，使EF ∥AD 交CD 于F ；过点G 作GH ∥AB 交BC 于H．设EF 与GH 交于点O ，连接AO ，BO ，CO ，DO ，AC ，BD．由题设及作图知△AOG ，△BOE ，△COF ，△DOG 均为直角三角形，因此，OA =a 2+b 槡2，OB =（1－a ）2+b 槡2，OC =（1－a ）2+（1－b ）槡2，OD =a 2+（1－b ）槡2，且AC =BD =槡2．由于OA +OC ≥AC ，OB +OD ≥BD ，所以a 2+b 槡2+（1－a ）2+b 槡2+a 2+（1－b ）槡2+（1－a ）2+（1－b ）槡2≥2槡2．当且仅当a =b =12时，等号成立．从以上各例不难看出，构造法解题有着你意想不到的功效，问题很快便可解决．构造法解题重在“构造”，通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件．因此，在解题时，若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解．运用构造法解题能培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力，也可从中欣赏数学之美，体会解题乐趣．。
“构造法”在高中数学解题中的应用
“构造法”在高中数学解题中的应用发表时间：2020-11-05T14:38:12.913Z 来源：《教育学文摘》2020年第35卷7月20期作者：李光湖[导读] 分析构造法在高中数学中的重要性，指出构造法是高中数学中一种常见的解题方法，对提高学生解题效率有很大帮助。
李光湖汕头市潮阳实验学校 515000【摘要】分析构造法在高中数学中的重要性，指出构造法是高中数学中一种常见的解题方法，对提高学生解题效率有很大帮助。
以例阐述构造法在解决高中数学问题中的具体应用。
【关键词】高中数学数学解题构造法构造法，顾名思义是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。
数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。
近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在高考数学中有着一定的地位。
高中数学是高中阶段的主要课程之一，又是高考的重要考试科目，对学生的高考成绩有着重要影响，所以学好数学、掌握数学的解题方法、提高考试成绩是高中学生普遍面临的问题。
解答数学问题需要学生有一定的思考能力、想象能力、分析能力以及运算能力。
在此基础上，如果再能较好地运用构造法，就能比较快地提高数学学习成效。
构造法是指在原来数学题目的基础上，通过对题目中各个条件以及结论的一系列假设，并结合所学的各种数学理论、公式构造出满足原题目中相关条件和结论的数学模型。
构造法在数学解题中的应用
构造法在数学解题中的应用
随着新型数学教学对学生能力和思维开拓的新要求，构造法作为一种独特的数学解决问题的方法，得到了广泛的应用。
通过学生自身创造性的构思，从实际问题中寻找出解决方法的技巧，将巧妙的思维技巧应用在数学解题中，从而提升学生的解题能力。
构造法的核心思想是，结合实际材料，从而构造出相应的解决方案的过程。
无论是数学问题，还是其它类型的问题，学生都可以从它们中构造出一个有效的解决方案。
它教会学生思想的灵活性，激发学生创新思维，促进理解和解决问题的能力。
作为一种先进的教学方法，构造法引入了新的解决问题的方法。
它可以培养学生思维能力和综合素质，培养学生未知领域探索的能力。
通过解决问题，学生需要分析认识问题，并从中找出解决问题的途径。
学生需要学会积极思考，从实际材料和经验中总结出具有普遍性的规律，这有助于他们更好地理解数学概念，在解决实际问题时，可以灵活运用。
此外，构造法也是一种解决数学问题的有效方法。
在解题过程中，学生需要从数学中获取有关的知识，并将其应用到实际问题中。
例如，在解决几何图形问题时，可以通过图形中可以找到的条件，找到几何描述的方法，从而解决问题。
同样，在解决抽象数学问题时，也可以通过对数学定理的利用，将数学定理运用到实际问题中，解决问题。
总之，构造法在数学解题中具有重要的作用。
它不仅可以提高学生独立思考和综合素质，还可以提升学生解题能力，从而避免学生受
到学习困难的影响。
此外，构造法也可以深化学生对数学概念的理解，促进学生对数学问题的独创性解决。
因此，构造法在数学解题中的应用有着重要意义，应受到认真重视。
构造法在高中数学解题中的运用分析
构造法在高中数学解题中的运用分析摘要：构造法是指在数学解题过程中，按照题目已经给出的条件，通过一定的构造方法得出题目的结论的数学模式。
在高中数学教学中应用构造法进行数学例题的讲解，能够为学生提供快速解题的方法。
利用逆向思维的构造法解决高中数学中的难题，能够充分的提高学生的解题速度和正确率。
本文主要从利用构造法解题的三种途径入手，通过分析例题的解题步骤，讲解具体构造法在其中发挥的重要作用。
关键词：构造法；高中；数学；解题高中数学这门学科要求学生必须能够形成自己的数理思维能力。
为了适应高中数学题目的复杂性和抽象性，教师应当在解题教学中合理引入构造法。
在遇到比较复杂难解的数学试题时，高中生可以利用题目已知的条件，由结论逆推出未知的部分条件，解决题目条件不足的问题，这种逆向推导思维就是构造法。
高中解题过程利用构造法有多种形式，可以构造方程、函数、数列等等形式来解决疑难复杂的数学问题。
利用构造法解题能够简化学生的解题过程，提高高中的解题效率和正确率。
一、利用构造法构造方程解题对于一些比较复杂的高中数学问题的解题过程，常用的构造法解题形式就是构造方程法，通过分析题目中已知的变量条件，构建出一元二次或者二元二次方程，通过方程的跟与题干中系数之间的关系来解决数学题目。
高中数学老师需要重点对构造方程法向学生进行讲解，包括构造方程法使用时的注意事项，题干中出现什么条件时可以使用构造方程法？如何根据题干中出现的部分已知条件构造方程等等，通过合适的例题进行构造方程法使用全过程的演示，保证整个解题的步骤，保证每一个学生都能听懂，并学会熟练的使用构造方程法解决数学难题。
同时，高中数学老师也可以引导学生自行在题目中已有的条件上，选择合适的等量方程，简化数学题目，将已知条件和结论更直观的联系起来，进而快速而正确的解决遇到的数学难题。
例题1:已知x、y分别为实数，且满足如下关系式，(x-1)3+2022(x-1)=-1同时满足(y-1)3+2022(y-1)=1，要求求出x+y=？首先分析这道题目，大部分高中生看到题目的第一部反映就是先求出x的值，然后再求出y的值，最后两者想加，得出题目中要求的答案。
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浅谈构造法在解题中的运用
摘要：新课改明确要求教师必须在教学中逐步培养学生创新的意识和精神，因此构造和创新是数学教育始终培养的综合目标，构造能力也是学生必须具备的数学素养。
这就要求学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决问题。
构造法是属于非常规思维，其本质特征是“构造”。
“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。
从“构造函数”“构造方程”等常见构造多个角度举例说明应用构造法解题的基本构思途径。
关键词：构造法；函数；方程；解题
一、构造函数
例1.设x，y为实数，且满足关系式：
（x-1）3+1997（x-1）=-1（y-1）3+1997（y-1）=1
则x+y= 。
分析：此题若用常规解方程方法，分别求出x和y的值后再求x+y 则非常困难，因为三次方程解法我们并不熟悉。
如果我们注意到方程组中两个方程的结构非常相似，即（x-1）3+1997（x-1）= （1-y）3+1997（1-y）=1，我们应该能够想到构造函数f（t）=t3+1997t，所以f′（t）=3t2+1997>0。
解：构造函数f′（t）=3t2+1997，所以f′（t）=3t2+1997>0恒成立，
因此，函数f（t）=t3+1997t在r上为增函数，所以f（x-1）=f
（1-y）=1，所以x-1=1-y，即x+y=2。
指出：此题利用函数的单调性与函数值的关系巧妙地得到两个未知量的等量关系，从而使问题迎刃而解。
二、构造方程
例2.已知p3+q3=2，求证：p+q≤2。
分析：此题条件是等式，结论是不等式，若直接从等式过渡到不等式比较困难，若我们把p+q看作一个整体变量，则pq就可以用这个变量表示，由韦达定理可以构造一个一元二次方程，这个一元二次方程的两个根分别为p和q，再根据判别式可求出p+q的范围。
解：设p+q=k，因为p3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）=2>0，
而p2-pq+q2>0恒成立，
则p+q=k>0，根据条件易求得：pq=■
构造方程x2-kx+■=0，易知方程的两个根就是p和q，
所以判别式δ=k2-■≥0，解得：k≤2，即p+q≤2。
指出：此题通过构造方程设法构造一个一元二次方程，使p和q 以其系数或常数项的面目出现，再由δ≥0得到不等式。
三、构造图形
例3.已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1。
分析：初看此题，不等式中含有三个变量，直接证明，比较棘手。
我们仔细观察发现不等式的左边是三个两项积的和，两项的乘积联系几何中的知识就很容易联想到三角形的面积。
证明：构造等边三角形abc，且边长为1，设p、q、r分别为ab、bc、ac上的动点（不包括端点），设ap=x，bq=z，cr=y，如图所示：根据三角形面积公式可得：
■
则s△apr=■ap·arsin60°=■x（1-y）
s△cqr=■cr·cqsin60°=■y（1-z）
s△bpq=■bq·bpsin60°=■z（1-x）
又因为s△apr+s△cqr+s△bpq<s△abc，且s△abc=■
所以■x（1-y）+■y（1-z）+■z（1-x）<■
即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1
总之，构造法是一种富有创造性的思维活动，一种数学方法形式的构造决不是单一的思维方式，而是多种思维方式交叉融汇在一起共同作用的结果。
构造的形式多种多样，还有构造向量、构造数列等，这里我们不再一一列举了。
通过对以上例题的分析，不难看出，构造法对增强解题能力、培养思维品质有着不可低估的作用。
数学的魅力在于追求简单，而解题中的巧妙构造，往往有化繁琐为简洁之功效，是对数学美最好不过的一次注释。
参考文献：
[1]管宏斌.构造对偶式的八种途径.数学教学，2005（07）.
[2]邵光华.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版社，1999.
[3]宋玉连.构造法在解题中的应用刍议.连云港教育学院学报，
1999（2）.
（作者单位浙江省苍南县钱库高级中学）。