二次根式有理化

(3) 3b a 0,b 0
5a
例2：计算：1 3
解：
5
23 2
27
3 8
2a
1 解法1.. 3
3
55
解法2.. 3 3 5 5
35 55
5
15
55
15 15 15 25 25 5
在二次根式的运算中，
最后结果一般要求
2 3 2 3 2 2 3 6 (1)分母中不含有二次根式.
a• b b• b
ab b
这样也可以把分母中的根号化去。
例1 、 化去根号内的分母:
(1)
2 3;
(2) 2 1 3
(3) 2 y (x 0, y 0) 3x
分母有理化的概念：
把分母中的根号化去,使分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化。
练习1：化去根号内的分母:
Fra Baidu bibliotek
(1) 2 ; 5
(2) 3 1 ; 5
a a bb
a 0,b 0
商的算术平方根，等于各个被开方数算术平
方根的商。
3、最简二次根式的特征：
（1）被开方数是正整数； （2）被开方数都不含分母； （3）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
注意：二次根式的化简结果必须是最简二次根式..
练习
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
（2）如果被开方数是整数或整式时，先因 数分解或因式分解,然后利用积的算术平方 根的性质,将式子化简。
练习：把下列各式化为最简二次根式：
1 5
32
2
2x3
7
3y
8
5
9
18 9
3 9
4a 2b3c
9
4
3
22
27
82
7 3
5 3
思考题：
1、已知 x 3 2 , 3 2
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
如何化去 a a 0,b 0 中被开方数中
b
的分母呢?
当a 0,b 0时,
方法一
a
a•b
ab
b
b•b
b2
ab ab
b2
b
如何化去 a a 0,b 0 中被开方数中
b
的分母呢?
当a 0,b 0时,
方法二
a b
a－1）＝ a－1 （4）3
2＝
3
6
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1） － 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－3 2 1）
48
24
当堂检测：
14、. 等式
m－3 ＝ m－5
mm－ －53 成 立 的 条 件 是
成 立 的 条 件 是____m__>_5_____ 。
5、如图，在Rt△ABC中,∠C=900， ∠A=300，AC=2cm,求斜边AB的长
B
A
C
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a =
a (a
≥ 0，b
>
0)
b
b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理
1.二次根式的乘法：
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根。
ab a • b (a 0,b 0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
2.二次根式的除法：
a a a 0,b 0
bb
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数。
2、 已 知 实 数a、b满 足 4a－b＋11＋ 1 b－4a－3＝0， 3
求2a
a •（
b ÷
1） 的 值 。
b ab
3、比较 7 5与 5 3 的大小。
当堂检测：
1.在括号内填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b • a＋b
a＋b
（3） 3
2＝
2 ＝
40 3 • 2 10 6
2 • 10 ＝
10 • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清
楚分式的分子和分母都乘什么，有时还
要先对分母进行化简。
化运算。
3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
例3、 计算：
(1) 1 (2) 3 (3) 3 1
2 1
3 1
3 1
计算：（1） 6 （2） 2 （3) a b
6 3
2 1 a b
（4） 3 2 （5) 6 （6） 4
3- 2
2 33
3 2-4
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是分数或分式时,先利 用商的算术平方根的性质,将其变为二次根 式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子 化简。
27 3 3 3 3 3 (2) 最后结果中的二次根式 3 8 8 2a 4 a 2 a 要求写成最简二次根式的
2a 2a 2a 2a a 形式.
练习2：把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝ －4 14 ；