二次根式有理化
二次根式基本运算根式加减分母有理化讲义
学习必备欢迎下载二次根式基本运算、分母有理化内容基本要求 略高要求 较高要求二次根式的 化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简,会进行二次根式的混合运算(不要求分母有理化)板块一二次根式的乘除最简二次根式:二次根式、W (。
> 0 )中的a 称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式: ⑴被开放数的因数是整数,因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.二次根式的乘法法则:a a - 口 =x 嬴(a > 0 , b > 0 )二次根式的除法法则:f 二利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围,对于abb = 'Ji •、J 如 1:'(一7) • (—5)中 \:(—7) • \;(-5) 一、二次根式的加减1 .同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式. 合并同类二次根式:a--x + b<x = (a + b )%:'x .同类二次根式才可加减合并.【例1】若最简二次根式怎二5与V 0T 3是可以合并的二次根式,则a =—。
【例2】下列二次根式中,与、应是可以合并的是()学习必备 欢迎下载b 都非负,否则不成立, A . 21a B . v 3a 2 C . a a 3 置要求【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式:【例3】下列二次根式中,哪些是同类二次根式?(字母均为正数) 淳・,友…i° ; 2、而;^;史.【例4】若最简二次根式a +b 石Tb 与a7~2bb 是同类根式,求—a 2b 的值.【巩固】若a ,b 为非负数,a +b 4b 与石二b 是可以合并的二次根式,则a ,b 的值是( )A . a = 0, b = 2B . a = 1, b = 1C . a = 0, b = 2 或a = 1, b = 1D . a = 2, b【例5】已知最简根式a 、,:.五万与a -b 7是同类二次根式,则满足条件的a , b 的值( )A .不存在B .有一组C .有二组D .多于二组【巩固】若a 4与最简二次根式瓜K 为同类二次根式,其中a , b 为整数,则a =, b 二【例6】 方程、X +。
二次根式 的性质4-分母有理化
成果应用
例1.化去下列各式分母中的根号
1 1
23 1 3
2 3 3 3
6
4 3 2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
52 6
2 5
4 12 5
83
15 24
5 3
3 2
3 3 2
3
23
2
3 3 6 7
3 31 6 77
3 1
3 2
3
3
2
2 3
2
3 2
6 3 2
2 33 2
3 22 33 2 2 33 22 33 2
12 5 6 6
2 5 6 6
分母有理化
将分母中的根号化去,叫作分母有理化.
分母有理化
1 2 =
5 1
2 5 =
7 2
解:1 2 = 5 1
2 51
2
= 51 5 1
5 1 4
=
5 1 2
= 51 22
解:2 5 = 7 2
5 7 2 7 2 7 2
5 7 2 =
1
1
1
+
+
+
1
21 3 2 2 3 52 6 5
2 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 1 5 3 7 5 3 7 11 3
解:1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
21 3 2 2 3 52 6 5
= 2 1+ 3 2+2 3+ 5 2+ 6 5
= 6 1
2 1 +
1
+
1
5.2.3 二次根式的有理化
合作交流
1.分母有理化:
把分母中的根号化去,使无理数分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化。
2.有理化因式:
两个含有根式(无理式)的代数式相乘, 如果它们的积为有理数(式),我们说 这两个代数式互为有理化因式.
如 2是 2的有理化式,3 1是 3-1的有理式.
例1.找出下列各式的有理化因式.
(3) a 1
(4) x2 1
(5) 27
(5) 3
(6)5 2 3 5 (6)5 2 3 5
例2.化简下列二次根式:
(1) 3 ,(2)3 2 ,(3) 1(, 4) 1
5 15
27 6
a
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
5
3
a
a-b
例3.把下列各式有理化.
a
a-b
(1) 1 ,(2) 1 ,(3) 1 ,
3-1 3 1
课堂检测
1.写出下列各式的有理化因式:
(1) 3- 2,(2) 2 5,(3)2 3-5 2.
2.把下列各式的分母有理化:
(1)-8 3 (2)3 2 (3) 5a (4) 2y 2
8
6 27 2a 10ay 2 xy 4xy
-2
(5)
64
,3(6)
12
xy
,(7)
1
.
7- 11
2 3-3 2
33 2
- 7 - 11
- 2 3 3 2 6
- 1- 2 3
(4)
1
2
, (5)
3- 5 1-
3 2
55 .
2 3
5 2- 3
47
a b a b a2 a2 a2- a-2
二次根式的运算
二次根式的运算在数学中,二次根式是由数字和根号组成的表达式,其中根号表示取平方根的运算。
二次根式的运算是解决数学问题和实际应用中常见的操作之一。
本文将介绍二次根式的基本运算法则,并举例说明。
1. 二次根式的加法和减法二次根式的加法和减法遵循以下规则:(a√n) ± (b√n) = (a ± b)√n其中a和b为实数,n为正数。
通过将两个二次根式的系数相加或相减,保持根号下的数不变,可以进行加法或减法运算。
例如:3√2 + 5√2 = 8√24√3 - 2√3 = 2√32. 二次根式的乘法二次根式的乘法遵循以下规则:(a√n) × (b√m) = ab√(n×m)其中a、b、n和m为实数,且n和m均为正数。
乘法运算中,将两个根式的系数相乘,并将根号下的数相乘,得到新的根式。
例如:2√3 × 5√2 = 10√(3×2)3. 二次根式的除法二次根式的除法遵循以下规则:(a√n) ÷ (b√m) = (a/b)√(n/m)其中a、b、n和m为实数,且n和m均为正数。
除法运算中,将两个根式的系数相除,并将根号下的数相除,得到新的根式。
例如:(8√2) ÷ (4√2) = 8/4 = 2(3√6) ÷ (√3) = 3/1 = 34. 二次根式的化简化简二次根式是将复杂的根式转化为最简形式的过程。
化简的方法包括约分、提取公因式、合并同类项等。
例如:√8 = √(4×2) = 2√2√18 = √(9×2) = 3√25. 二次根式的有理化有理化二次根式是将分母中包含根号的式子转化为分母不含根号的形式。
有理化的方法包括乘以恰当的有理数等。
例如:1/(3 + √5) = (1/(3 + √5)) × ((3 - √5)/(3 - √5)) = (3 - √5)/(9 - 5) = (3 -√5)/4综上所述,二次根式的运算包括加法、减法、乘法、除法、化简和有理化等基本操作。
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则,可以帮助我们简化和求解二次根式的运算,提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式,可以直接对其系数进行相加或相减。
例如:√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式,不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项,然后再进行运算。
例如:√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘,并合并同类项的方式进行。
例如:√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除,并合并同类项的方式进行。
例如:√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式,可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种:1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如:√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来,使其成为一个单独的因子。
例如:2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化,即将分母中的根号消去。
例如:1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时,需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
二次根式分母有理化综合训练
二次根式分母有理化综合训练分母有理化: 在进行二次根式的运算时,如遇到132+这样的式子,还需要进一步的化简: ()()()1313)13213)1321313)13213222-=--=--=-+-=+(((,这种化去分母中根号的运算叫分母有理化.笔记:分母有理化的方法把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含_____________.1、按要求填空: (1)把21分母有理化,分子分母应同时乘以_______,得到________;(2)把531+分母有理化,分子分母应同时乘以________,得到____________; (3)把1541+分母有理化,分子分母应同时乘以________,得到____________; (4)把2371+分母有理化,分子分母应同时乘以________,得到____________;注意:()()b a b a b a -=-+2、分母中含有根号的二次根式分母有理化:(1)121 (2)231 (3)541(4)52(5) 812(6)3273、较为复杂的分母有理化练习:(1)321+ (2)23321- (3)32347++(4)3211-+ (5)ab ab b a - (6)b a b a --4、计算(25+1)(211++321++431++…+100991+).7、观察以下各式:343412323112121-=+-=+-=+,,利用以上规律计算:()12019201820191341231121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ 7、阅读下面问题:12)12)(12()121211-=-+-⨯=+(2323)(23(23231-=-+-=+)252)52)(5(25251-=-+-=+试求:(1)n n ++11(n 为正整数)的值.(2)利用上面所揭示的规律计算:201620151201520141431321211++++++++++8、阅读下面问题: 12)12)(12()12(1121-=-+-⨯=+;;23)23)(23(23231-=-+-=+34)34)(34(34341-=-+-=+.……试求:(1)671+的值;(2)17231+的值;(3)n n ++11(n 为正整数)的值.。
二次根式的化简
二次根式的化简二次根式是数学中的一个重要概念,它在解方程、求平方根等方面都有广泛的应用。
化简二次根式是指将其写成最简形式,以便于计算和理解。
本文将介绍二次根式的化简方法,并给出一些例子进行演示。
1. 同底数的二次根式相加减:当两个二次根式的底数相同时,可以直接将它们的系数相加或相减,并保持底数不变。
例如,化简√5 + 2√5:可以将√5看作是√5的系数为1的一次方根,则√5 + 2√5 = (1 + 2)√5 = 3√5。
再例如,化简4√7 - 3√7:可以将√7看作是√7的系数为1的一次方根,则4√7 - 3√7 = (4 - 3)√7 = √7。
2. 二次根式的有理化:有些二次根式的底数含有其他根号,这时可以采用有理化的方法化简。
例如,化简√(2 + √3):先将其表示为a + b√c的形式,其中a、b、c为有理数,即√(2 + √3)= a + b√c。
根据平方根的性质,可得(a + b√c)² = 2 + √3。
展开并比较实部和虚部的系数,解得a = 1,b = 1,c = 3。
因此,√(2 + √3)= 1 + √3。
再例如,化简1/√(2 + √3):同样地,将其表示为a + b√c的形式,即1/√(2 + √3)= a + b√c。
根据倒数的性质,可得(a + b√c)² = 1/(2 + √3)。
展开并比较实部和虚部的系数,解得a = 1/3,b = -1/3,c = 3。
因此,1/√(2 + √3)= 1/3 - 1/3√3。
3. 二次根式的乘法和除法:二次根式的乘法和除法可以采用分配律的方法进行。
例如,化简(√2 + √3)²:根据分配律和平方根的性质,(√2 + √3)² = (√2 + √3)(√2 + √3)= 2 + 2√6 + 3= 5 + 2√6。
再例如,化简(√6 - √2)/√3:同样地,根据分配律和平方根的性质,(√6 - √2)/√3 = (√6/√3) - (√2/√3)= √2 - √(2/3)。
二次根式的性质与运算
二次根式的性质与运算二次根式是指形如√a的数,其中a是非负实数。
在数学中,二次根式是一种常见的数学表达式,它具有一些特定的性质与运算规则。
本文将探讨二次根式的性质与运算,帮助读者更好地理解和运用二次根式。
1. 二次根式的简化与化简二次根式可以通过简化和化简来使得表达更简洁、易读。
简化是指通过寻找因式分解或者找到平方数的形式来减少根号下的数字。
例如,√12可以简化为2√3。
化简是指将数的乘方分解成不包含二次根式的形式。
例如,√16可以化简为4。
2. 二次根式的加减运算在进行二次根式的加减运算时,需要满足被加减数的被开方数相同。
例如,√2 + √3无法进行直接运算,但可以通过换元化简为(√2 + √3)(√2 + √3)。
运用公式(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²,可以得到√2 + √3 = √2 +√3 + (√2)(√3)。
因此,二次根式的加减运算可以转化为求和的形式。
3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘,并通过关键的化简步骤来简化最终结果。
例如,√2 * √3 = √6。
如果需要计算更复杂的二次根式乘法,可以利用公式√a * √b = √(ab)进行化简。
4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算也是通过适当的化简步骤来求解。
例如,√6 /√2 = √3。
类似于乘法运算,可以利用公式√a / √b = √(a/b)进行化简。
5. 二次根式的幂运算二次根式也可以进行幂运算,即将二次根式的指数设置为非负整数。
例如,(√2)² = 2。
值得注意的是,在进行幂运算时,需要将指数应用于根号内的数字,并对结果进行简化。
6. 二次根式的有理化有理化是将二次根式与分母中的二次根式相消,使得根号仅出现在被开方数中。
例如,将分数1/√3有理化,可以通过乘以√3 / √3进行,得到√3 / 3。
综上所述,二次根式具有许多特定的性质与运算规则。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种形式,它包括了平方根和其他次方根。
在数学中,我们经常需要对二次根式进行各种运算。
本文将介绍二次根式的基本运算方法和相关概念。
一、二次根式的定义二次根式可以表示为√a的形式,其中a为非负实数。
根号下的数称为被开方数,它代表了一个数的平方根。
二次根式也可以写为指数形式,如a的1/2次方或a的1/3次方。
二、二次根式的基本运算1. 二次根式的加减法对于同类项的二次根式,可以对它们的被开方数进行加减运算。
例如,√2 + √3可以简化为√(2 + 3),即√5。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算需要注意求根的法则。
例如,√2 × √3可以化简为√(2 × 3),即√6。
3. 二次根式的除法同理,对于二次根式的除法运算,我们需要将除数和被除数的根号下的数相除,并合并同类项。
例如,√6 ÷ √2 可以化简为√(6 ÷ 2),即√3。
三、二次根式的化简有时候,我们需要将二次根式进行进一步的化简。
以下是几种常见的化简方式:1. 化简平方根如果一个二次根式的被开方数可以被完全平方数整除,那么我们可以化简为一个整数。
例如,√4可以化简为2。
2. 合并同类项对于具有相同根号下数的二次根式,我们可以合并它们,得到一个更简洁的表达式。
例如,√2 + √2可以合并为2√2。
3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时,我们通常需要对分母进行有理化。
有理化的目的是将分母化为有理数,方便进行运算。
例如,将1/√3有理化分母,可以得到√3/3。
四、二次根式的应用二次根式在代数中有着广泛的应用。
它常出现在几何学、物理学等领域的计算中。
在几何学中,二次根式可以表示线段长度、面积以及体积等。
例如,计算某个多边形的面积时,可能需要计算边长的二次根式。
在物理学中,二次根式可以表示物理量的大小。
例如,物体的质量、速度等都可以用二次根式来表示。
总结:二次根式是代数中常见的一种形式,它包括平方根和其他次方根。
二次根式有理化公式
二次根式有理化公式
我们要找出二次根式有理化的公式。
首先,我们需要了解什么是二次根式有理化。
二次根式有理化是指通过一些数学操作,将一个包含根号的表达式转化为一个有理数或者有理表达式的形式。
对于形如√(a/b)的二次根式,我们可以使用以下公式进行有理化:
有理化公式:√(a/b) = √(a) × √(1/b)
这个公式将二次根式转化为一个有理数和另一个根式的乘积。
通过这个公式,我们可以将任何形如√(a/b)的二次根式转化为有理数和根式的乘积形式。
通过有理化公式,我们可以将√(a/b)转化为:sqrt(a/b)sqrt(1/b)。
所以,二次根式有理化的公式是:√(a/b) = √(a) × √(1/b)。
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原卷版)
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原卷版)第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法:如果分母只含一个根号,先把分母化为最简二次根式,再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1(2021秋•曲阳县期末)把√3a√12ab化去分母中的根号后得( ) A .4b B .2√b C .12√b D .√b 2b变式训练1.(2022春•东莞市期中)化简:√8= .2.(2021春•龙山县期末)把√12√2a化成最简二次根式,结果是 . 技巧2 平方差公式法:如果分母是两个根号的和或差,可以利用平方差公式有理化分母 典例2(2022春•乳山市期末)【材料阅读】把分母中的根号化去,将分母转化为有理数的过程,叫做分母有理化. 例如:化简√2+1.解:√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1.上述化简的过程,就是进行分母有理化. 【问题解决】 (1)化简2−√3的结果为: ;(2)猜想:若n 是正整数,则√n+1+√n进行分母有理化的结果为: ;(3)若有理数a ,b 满足√2−1+√2+1=2√2−1,求a ,b 的值.变式训练1.(2022秋•宝山区期中)“分母有理化”是我们常用的一种化简方法,化简:2+√5= .2.(2022秋•牡丹区期末)若3−√7的整数部分是a ,小数部分是b ,则a 2+(1+√7)ab = .技巧3 分解因式法:提取分子分母中的公因式,然后约分化简 典例3 化简:3332变式训练: 1.化简:2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法:利用平方差公式和完全平方公式因式分解,然后约分化简。
典例4 (2022秋•浦东新区校级月考)先化简,再求值√x+√y+√xy+y √x−√y,其中x =5,y =15.针对训练:化简:(1y (24323技巧5 裂项相消法:将分子化为分母中两式子的和或差的形式,在约分。
24.观察下面式子的化简过程:√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5.化简√10√5+√13+√8,并将这一问题作尽可能的推广.变式训练: 12235(23)(35)类型二分子有理化典例6(2020秋•梁平区期末)阅读下述材料:我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式.比如:√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6.分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:比较√7−√6和√6−√5的大小.可以先将它们分子有理化.如下:√7−√6=1√7+√6,√6−√5=1√6+√5.因为√7+√6>√6+√5,所以√7−√6<√6−√5.再例如:求y=√x+2−√x−2的最大值.做法如下:解:由x+2≥0,x﹣2≥0可知x≥2,而y=√x+2−√x−2=4√x+2+√x−2.当x=2时,分母√x+2+√x−2有最小值2,所以y的最大值是2.解决下述问题:(1)比较3√2−4和2√3−√10的大小;(2)求y=√1+x−√x的最大值.针对训练1.(青羊区校级期中)已知a=√2−1,b=3﹣2√2,c=√3−√2,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b2.(2020秋•武侯区校级月考)计算:(1)比较√15−√14和√14−√13的大小;(2)求y=√x+1−√x−1+3的最大值.第二部分 专题提优训练1.(2022秋•绥化期末)化简√21√3的结果是 . 2.(2021秋•阳城县期末)化简√8√20的结果是 . 3.(2021秋•徐汇区校级期中)化简:√x−3−1= . 4.(2021春•宁阳县期末)化简√12= ,√2−1= .5.(2012秋•珙县校级月考)化简:2−√3= .6.(2021春•江城区期末)化简√2√27的结果是 . 7.(2022秋•宝山区校级期中)已知:x =√3+√2√3−√2,y =√3−√2√3+√2,求x 2+xy +y 2的平方根.8.(2022春•普陀区校级期末)计算:√5−√5−1.9.(2021秋•浦东新区校级月考)计算:√32+√3−1+√3.10.(2021秋•赫山区期末)“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法. 如:√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2. 除此之外,我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数. 如:化简√2+√3−√2−√3.解:设x =√2+√3√2−√3,易知√2+√3>√2−√3,故x >0.由于x 2=(√2+√3−√2−√3)2=2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2. 解得x =√2,即√2+√3−√2−√3=√2 根据以上方法,化简:√23+2√2+√√−√√11.(2022春•大连月考)阅读材料:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧、天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如:(2+√3)(2−√3)=1,(√5+√2)(√5−√2)=3,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样理解:如√3=√3√3×√3=√33,√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3.像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.解决问题:(1)4+√7的有理化因式可以是,3√2分母有理化得.(2)计算:①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000.②已知:x=√3−1√3+1,y=√3+1√3−1,求x2+y2的值.12.(2022春•钢城区期末)阅读下列解题过程:√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1;√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2.请回答下列问题:(1)归纳:观察上面的解题过程,请直接写出下列各式的结果.①√7+√6=;②√n+√n−1=;(2)应用:求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值;(3)拓广:√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=.13.(2021春•广饶县期中)【阅读材料】材料一:把分母中的根号化去,使分母转化为有理数的过程,叫做分母有理化,通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子,以达到化去分母中根号的目的. 例如:化简√3+√2解:√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二:化简√a +2√b 的方法:如果能找到两个实数m ,n ,使m 2+n 2=a ,并且mn =b ,那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n . 例如:化简√3±2√2解:√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1 【理解应用】(1)填空:化简√5+√3√5−√3的结果等于 .(2)计算: ①√7−2√10; ②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020.14.(2020春•安庆期中)阅读材料:我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”,即分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式. 比如:√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6.分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下:√7−√6=√7+√6,√6−√5=√6+√5. 因为√7+√6>√6+√5,所以,√7−√6<√6−√5. 再例如,求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下: 解:由x +2≥0,x ﹣2≥0可知x ≥2,而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2.当x =2时,分母√x +2+√x −2有最小值2.所以y 的最大值是2. 利用上面的方法,完成下述两题: (1)比较√15−√14和√14−√13的大小; (2)求y =√x +1−√x −1+3的最大值.。
八年级数学下册第16章 微专题4 二次根式的分母有理化
(2)
1 6+
5分母有理化得:__6_-___5_;
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微专题4 二次根式的分母有理化
(3)计算:2-1
- 2
4 2.
解:2-1
- 2
42=(2-
2+ 2 2)(2+
2)-2
2
=24+-22-2 2
=1+ 22-2 2
=1-32 2.
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微专题4 二次根式的分母有理化 3.【教材改编】阅读下列材料,然后回答问题.在进行二次根式的化简与
∴ 2024- 2023< 2022- 2021.
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谢谢观看
2n-1;
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微专题4 二次根式的分母有理化
解:原式= (
3+13)-( 13-1)+(
5+
5- 3)(
3 5-
+ 3) (
7+
7- 5)(
5 7-
+…+ 5)
2n+1- 2n-1 ( 2n+1+ 2n-1)( 2n+1- 2n-1)
=12( 3-1+ 5- 3+ 7- 5+…+
2n+1- 2n-1)=12( 2n+1-1);
个二次根式互为有理化因式,于是二次根式的除法可以这样解:如 1 = 2
1× 2×
2= 2
22,22+-
33=((22-+
3)(2+ 3)(2+
33))=7+4
3,像这样通过分子、分母同
乘一个式子,把分母中的根号化去叫做分母有理化.
1 (1)3
2的有理化因式是__2_,2+
3的有理化因式是_2_-___3_.(写出一个即可)
运算时,我们有时会碰到形如 3 , 5
32+1的式子,其实我们还可以将其进一
步化简:
二次根式的分母有理化
2 1
x x
9
小结
怎样化去被开方数中的分母 怎样化去分母中的根号 二次根式的最后结果应满足: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
3 1 2 3
(2) x 1 x x 1 x
x 1 x x 1 x
8
3、计算: 1 1 1 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
4、已知x 1 ,求 x 1 2 4 x 1 4 的值
n
n
(
(m n)( m n) m n)( m n)
(m n)( m mn
n)
m
n
(第三小题还有其他方法吗?)
三、能力拓展
7
1、(口答)说出下列各式的一个有理化因式:
5 3 2 a b x 1 x 1 x 1 x2
2、化简: (1) 1 2 3
(3) 2y 2y 3x 6xy 3x 3x 3x 3x
探究(二)
5
1
如何化简
2 1
1
( 2 1)
2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1)
1
问题2:如何将
分母有理化有理化?
x y
1
( x y)
x y
x y ( x y )( x y ) x y
化去根号中的分母:
6
3
(1) 3 1
(2)
4
1 33
2
(3)
最简二次根式-分母有理化
二次根式的化简【知识要点】什么是最简二次根式 (1)被开方数因数是整数,因式是整式.(2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数.分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.方法:a =来确定.②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定.如: a +a【重难点解析】1.化简二次根式:尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。
===2.根号里的数比较大时,使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。
===253⨯3.根号内有字母或代数式,观察它们所能分解出来的最小偶次数。
如:x ====(1x x + 4.单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。
==、==== 5.两项的分母有理化,运用平方差公式()()22a b a b a b -=+-,分子分母同时乘以一个有理化因式,将分母中的根号去掉132⨯===-【经典例题】例1、化简二次根式 4515562154108504812⨯⨯例2、写出下列各式的有理化因式例3、把下列各式分母有理化(1)121(2)233(3)12121 (4)50351-(5 (61例4 121-=x , 求41412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 的值练习.1、11b a 11-2、求的值。
,,325325+=-=b a二次根式的化简作业一、填空题1中的 最简二次根式有 。
2.化简:(1)=715 (2= 3.a 的倒数是56-,则a= 。
4.()()=+⋅-2000199923235.把下列各式分母有理化二、分母有理化1.23323- 2.1435615--3、、5、、。
二次根式的化简方法
二次根式的化简方法二次根式是指含有平方根的代数表达式,通常写为√n的形式,其中n为一个非负实数。
化简二次根式是将其转化为最简形式的过程,使其不再包含平方根。
本文将介绍几种常用的二次根式化简方法。
一、将根式中含有平方数的因子提出当根式中含有平方数的因子时,可以将其提出,从而简化根式。
例如,要化简√12,可以将12拆解为2的因子:√12=√(2×2×3)。
然后,将2的平方数因子2提到根号外面:√12=2√3。
这样,根式被化简为了最简形式。
二、合并同类项当二次根式中含有相同的根号内数字时,可以进行合并操作,简化根式。
例如,要化简√6+√6,可以合并这两个根式:√6+√6=2√6。
同理,对于含有3个或更多相同根号内数字的根式,也可以使用合并同类项的方法进行化简。
三、有理化分母当二次根式的分母含有根号时,可以通过有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的基本思想是,将分母有理化,即使其不再包含根号。
具体操作是,将分母乘以其共轭形式的分子和分母,这样可以使分子和分母都为有理数。
例如,要化简1/(√2+1),可以先将分母乘以其共轭形式的分子和分母:1/(√2+1)×(√2-1)/(√2-1)。
进行乘法运算后,分母变为有理数,分子为1×(√2-1)=√2-1,所以化简后的结果为√2-1。
四、使用平方根的性质使用平方根的性质可以帮助化简二次根式。
以下是几个常用的平方根性质:1. 平方根的乘法性质:√(a×b) = √a × √b,其中a和b为非负实数。
2. 平方根的除法性质:√(a/b) = (√a)/(√b),其中a和b为非负实数,且b不等于0。
3. 平方根的加法性质:√a+√b≠√(a+b),这个性质无法直接运用于化简,但可以用来判断是否可以继续化简。
通过运用这些性质,可以将二次根式转化为最简形式。
综上所述,二次根式的化简方法包括将含有平方数的因子提出、合并同类项、有理化分母和使用平方根的性质。
二次根式的有关概念及性质
二次根式的有关概念及性质二次根式的概念及性质一、二次根式的概念:1.二次根式:形如$\sqrt{a}$($a\geq 0$)的式子。
2.最简二次根式:满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如,$\sqrt{4}$含有可开得尽方的因数4,不是最简二次根式;而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最简二次根式。
3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就是同类二次根式。
例如,$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同类二次根式。
4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式。
例如,$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。
二、二次根式的性质:1.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即:$(\sqrt{a})^2=a$($a\geq 0$)。
2.非负数的算术平方根是非负数,即$\sqrt{a}\geq0$($a\geq 0$)。
3.某数的平方的算术平方根等于该数的绝对值,即$\sqrt{a^2}=|a|$。
4.非负数的积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积,即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$($a\geq 0,b\geq 0$)。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$($a\geq 0,b>0$)。
三、例题:例1.求$x$的取值范围,使得以下各式有意义:1) $\frac{1}{\sqrt{6-x}}$;(2) $\sqrt{x^2+3}$;(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$;(4) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$;(5) $\sqrt{4-x^2}$;(6) $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。
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×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
如何化去 a a 0,b 0 中被开方数中
b
的分母呢?
当a 0,b 0时,
方法一
a
a•b
ab
b
b•b
b2
ab ab
b2
b
如何化去 a a 0,b 0 中被开方数中
b
的分母呢?
当a 0,b 0时,
方法二
a b
化运算。
3. 在进行分母有理化之前,可以先观察把能化简的 二次根式先化简,再考虑如何化去分母中的根号。
1.二次根式的乘法:
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根。
ab a • b (a 0,b 0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考:二次根式的除法有没有类似的法则呢?
2.二次根式的除法:
a a a 0,b 0
bb
两个二次根式相除,等于把被开方数相除, 作为商的被开方数。
a-1)= a-1 (4)3
2=
3
6
2.把下列各式的分母有理化:
(1)-8 3 (2)3 2
8
(3) 5a 10a
(4) 2y 2 4xy
3.化简:
(1) - 19 ÷ 95
(2)9 1 ÷(-3 2 1)
48
24
当堂检测:
14、. 等式
m-3 = m-5
mm- -53 成 立 的 条 件 是
(2)如果被开方数是整数或整式时,先因 数分解或因式分解,然后利用积的算术平方 根的性质,将式子化简。
练习:把下列各式化为最简二次根式:
1 5
32
2
2x3
7
3y
8
5
9
18 9
3 9
4a 2b3c
9
4
3
22
27
82
7 3
5 3
思考题:
1、已知 x 3 2 , 3 2
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
27 3 3 3 3 3 (2) 最后结果中的二次根式 3 8 8 2a 4 a 2 a 要求写成最简二次根式的
2a 2a 2a 2a a 形式.
练习2:把下列各式化简(分母有理化):
(1)-4 2 37
(2) 2a a+b
(3) 2 3 40
解:(1)-4 2 =-4 2 • 7 = -4 14 ;
(3) 3b a 0,b 0
5a
例2:计算:1 3
解:
5
23 2
27
3 8
2a
1 解法1.. 3
3
55
解法2.. 3 3 5 5
35 55
5
15
55
15 15 15 25 25 5
在二次根式的运算中,
最后结果一般要求
2 3 2 3 2 2 3 6 (1)分母中不含有二次根式.
a• b b• b
ab b
这样也可以把分母中的根号化去。
例1 、 化去根号内的分母:
(1)
2 3;
(2) 2 1 3
(3) 2 y (x 0, y 0) 3x
分母有理化的概念:
把分母中的根号化去,使分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化。
练习1:化去根号内的分母:
(1) 2 ; 5
(2) 3 1 ; 5
成 立 的 条 件 是____m__>_5_____ 。
5、如图,在Rt△ABC中,∠C=900, ∠A=300,AC=2cm,求斜边AB的长
B
A
C
课堂小结:
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。
2. 二次根式的除法有两种常用方法:
(1)利用公式:
a =
a (a
≥ 0,b
>
0)
b
b
(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有理
例3、 计算:
(1) 1 (2) 3 (3) 3 1
2 1
3 1
3 1
计算:(1) 6 (2) 2 (3) a b
6 3
2 1 a b
(4) 3 2 (5) 6 (6) 4
3- 2
2 33
3 2-4
化简二次根式的方法:
(1)如果被开方数是分数或分式时,先利 用商的算术平方根的性质,将其变为二次根 式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子 化简。
37
3 7• 7
21
(2) 2a = a+b
2a a+b = 2a a+b
a+b • a+b
a+b
(3) 3
2=
2 =
40 3 • 2 10 6
2 • 10 =
10 • 10
20 = 2 5 = 5 60 60 30
注意:要进行根式化简,关键是要搞清
楚分式的分子和分母都乘什么,有时还
要先对分母进行化简。
2、 已 知 实 数a、b满 足 4a-b+11+ 1 b-4a-3=0, 3
求2a
a •(
b ÷
1) 的 值 。
b ab
3、比较 7 5与 5 3 的大小。
当堂检测:
1.在括号内填写适当的数或式子使等式成立。
(1) 8 •( 2 )= 4
(2)2 5 •( 5 )= 10
(3) a-1 •(
a a bb
a 0,b 0
商的算术平方根,等于各个被开方数算术平
方根的商。
3、最简二次根式的特征:
(1)被开方数是正整数; (2)被开方数都不含分母; (3)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
注意:二次根式的化简结果必须是最简二次根式..
练习
下列根式中,哪些是最简二次根式?
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,