非圆齿轮传动的设计与运动仿真 (1)

表、泵类、流量计等工业设施中［1-2］。针对非圆齿轮 传动的设计，国内学者在非圆齿轮的节曲线［3-5］、非 圆齿轮的齿廓［6- 这 8］ 2 个方面的研究比较多，也取 得了很多成果，但是在设计非圆齿轮的步骤、非圆 齿轮的参数、参数之间的关系以及如何确定标准基 本参数的研究较少［9］，给非圆齿轮的加工带来了一 定的局限性。本文就是针对此进行的研究。
线长，非圆齿轮的节曲线周长 L 还等于齿距 πm 的
整数倍，也就是说，节曲线上必须能切出整数齿，若
非圆齿轮的齿数为 z ，则
L = pz = πmz
（5）
在非圆齿轮传动过程中，非圆齿轮节曲线的周
长 L 可以通过其节曲线 r 表达出来，其公式为
∫ L =
2π 0
r2
+
æ
ç
è
dr dφ
ö2
÷
ø
dφ
（6）
轮 1，2 的转角；i12 为瞬时传动比。
一般按照式（1）~（2）得到的非圆齿轮节曲线
是不封闭的，若要得到封闭且连续转动的非圆齿轮
副，还要满足以下条件［2］：1）主动齿轮 1 在转角 φ1 0～2π内，给定的瞬时传动比 i12 做周期性的变化， 且周期数为 n1 ；从动齿轮 2 在转角 φ2 0～2π内，给 定的瞬时传动比 i12 做周期性的变化，且周期数为 n2 ；2）同时满足在瞬时传动比 i12 单个周期内非圆 齿轮副的转角关系：
非圆齿轮可以认为是圆柱齿轮的一种变形，即 其滚动节圆已变为非圆形［1］。非圆齿轮传动突破 了定速比齿轮传动的格局，实现了传递两轴间非线 性运动和动力传动。非圆齿轮传动可实现特殊的 运动和函数运算，具有结构紧凑、刚性好、传动平 稳、可精确地按设计要求的变传动比规律进行传动 等特点［2］，已成功应用于自动机械、运输、仪器仪
第 29 卷 第 3 期
孙国兴，等：非圆齿轮传动的设计与运动仿真
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1 非圆齿轮传动及其基本参数
非圆齿轮的种类很多，通常都是取代圆形齿轮 来使用的，其中心距离一般是不变的。本文中所研 究的就是中心固定的非圆齿轮传动。如图 1 所示， 两中心 O1 和 O2 固定的非圆齿轮传动时，瞬时传动 节点 P 总是位于 O1O2 的连线上，且满足齿廓啮合 基本定律，即 ω1O1P = ω2O2P ，两非圆齿轮的节曲线 在进行纯滚动时的切点就是点 P，可用 r1 和 r2 分别 表 示 O1P 和 O2P 。 在 传 动 过 程 中 ，点 P 在 直 线 O1O2 上变化，从而使线段 O1P 和 O2P 长度发生变 化，表现为非圆齿轮副的传动比是变化的，而瞬时 传动节点 P 的轨迹就形成了非圆齿轮的节曲线。 根据文献［2］可以得到非圆齿轮节曲线方程。
若平均传动比 i 为 1，则非圆齿轮 1 和 2 节曲线
周长相等，齿轮 2 的齿数 z2为 40，模数 m 为 3.5 mm。 将瞬时传动比 i12 和中心距 a（143.3 mm）代入
式（1）~（2），可以得到 2 个非圆齿轮的节曲线方程。
非圆齿轮 1 的节曲线方程：
[ 源自文库 r1
=
ì ïïïï1 í
（7）
由于非圆齿轮传动是在节曲线上发生的纯滚
动，且平均传动比 i 为 1，则两非圆齿轮的节曲线周
长是相等的。在计算中心距 a 时，将通过主动非圆
齿轮 1 来进行计算。将式（7）代入式（1）可得到含
有中心距 a 的非圆齿轮 1 的节曲线方程：
[ ] r1
=
ìïïïïa í
1
0.3492 × + 0.3492
第 29 卷第 3 期 2015 年 9 月
湖北汽车工业学院学报 Journal of Hubei University of Automotive Technology
Vol. 29 No. 3 Sep. 2015
doi：10.3969/j.issn.1008-5483.2015.03.016
非圆齿轮传动的设计与运动仿真
(
φ1
-
(0
5.10)
≤ +
φ1 ≤ 4.2 1.74}
)
ïïïï î
1.34 sin 1.82(φ1 - 5.10) + 2.74
(4.2 ≤ φ1 ≤ 2π)（11）
( [ ) φ2
=
ìïï0.75 íïï0.98 î
1.59φ1 - 1
arctan 1.56 tan(0.91φ1 +1.20] + 4.97
Abstract: A general process for the design of non-circular gear was introduced according to the charac⁃ teristics and the current research of the non-circular gear, and the design parameters of non-circular gear and the relationship among the parameters and the methods to determine the parameters were giv⁃ en. A pair of non-circular gears were designed，the parameters and the pitch curves of the non-circular gears were determined. According to the tooth profile mathematical model of non-circular gear obtained using pure rolling theory of non- circular gear, the tooth profile of non- circular gear was designed by Matlab programming. The three-dimensional models of non-circular gear were completed and the mo⁃ tion simulation of non-circular gear pairs was carried out by Pro / E software, then the simulation re⁃ sults were analyzed. Key words: non-circular gear；pitch curve；Pro/E；motion simulation
(0 ≤ φ1 ≤ 4.2)
- 4.65) +
(4.2 ≤ φ1 ≤ 2π)
非圆齿轮的节曲线方程及其基本参数都设计
完成，再根据非圆齿轮节曲线纯滚动理论，建立非
圆齿轮与共轭齿条的节曲线运动关系的数学模型，
应用齿轮啮合理论、文献［8］得出的非圆齿轮齿廓
按照机构的尺寸及强度条件，选定出模数 m 、
齿数 z 之后，非圆齿轮的节曲线周长 L 可根据式
（5）计算出来。在瞬时传动比 i12 已确定的情况下， 代入式（6）可得到非圆齿轮传动的中心距 a 。
传动比和中心距确定之后，代入式（1）~（2），
就可以得到非圆齿轮的节曲线方程。
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湖北汽车工业学院学报
2015 年 9 月
2 非圆齿轮的设计
采用平均传动比 i 为 1 的非圆齿轮传动，即 n1=
n2=1。根据需要设计［10~11］瞬时传动比为
[ ] i12
=
ì
1
ïï0.3492 × 1.59φ1
íï1.34 sin 1.82(φ1
-
(0 ≤
5.10)
φ1 +
≤ 4.2)
1.74
ï î
(4.2 ≤ φ1 ≤ 2π)
孙国兴 1，李波 2，刘强 1
（1. 湖北汽车工业学院 机械工程学院，湖北 十堰 442002；2. 武汉理工大学 物流工程学院，湖北 武汉 430063）
摘 要：根据非圆齿轮传动特点与当前研究，介绍了非圆齿轮传动设计的一般方法，并指出设计非圆齿轮的参数
和各参数之间的关系及参数的确定方法。设计了一非圆齿轮副，确定出非圆齿轮的相关参数和节曲线。根据目
对应转角 0～2π内瞬时传动比 i12 做周期性变化的 次数，即 n1 和 n2 的确定。瞬时传动比 i12 是体现非 圆齿轮传动变速比传动特点的参数，一般为主动非
圆齿轮转角 φ1 的函数。平均传动比 i 和瞬时传动 比 i12 都要根据工程需要或者设计要求来确定。
对于中心距 a ，还要借助于非圆齿轮的模数 m
Design and Motion Simulation of Non-circular Gear
Sun Guoxing1, Li Bo2, Liu Qiang1
（1. School of Mechanical Engineering, Hubei University of Automotive Technology, Shiyan 442002, China； 2. School of Logistics Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China）
50.04 × 1.59φ1 + 0.3492 × 1.59φ1
143.3
(0 ≤ φ1 ≤ 4.2)
ïïïï1.34 î
sin
1.82
(
φ1
-
5.10) + 2.74
(4.2 ≤ φ1 ≤ 2π)
（10）
非圆齿轮 2 的节曲线方程：
[ [ ] ] r
2
=
ì 143.3 íïïïï114+30.3.3×4{912.3×41s.i5n91φ.1 82
∫ ∫ ( ) 2π
n2
=
2π n1 0
1 i12
dφ1
=
2π n1 0
r1(φ1) r2 φ1
dφ1
（3）
两非圆齿轮是同时发生的转动，非圆齿轮 1 转过
2π/n1 的同时非圆齿轮 2 转过 2π/n2，可以得到非圆 齿轮副的平均传动比 i 为
i
=
ωˉ1 ωˉ 2
=
n2 n1
（4）
从式（1）~（2）可以看出，两非圆齿轮的节曲线是由
1.59φ1 × 1.59φ1
a
(0 ≤ φ1 ≤ 4.2)
ïïïï1.34 î
sin
1.82(
φ1
-
5.10)
(4.2
+ ≤
2.74 φ1 ≤
2π)
（8）
代入式（6）可得到非圆齿轮 1 的节曲线周长为
L1 = 3.069a
（9）
按照圆柱齿轮的模数系列，取模数 m 为 3.5 mm，
齿数 z1为 40，代入式（5）并结合式（9）可得到中心距 a 为143.3 mm。
前采用非圆齿轮节曲线纯滚动理论得出的非圆齿轮齿廓曲线的数学模型，运用 Matlab 编程得出非圆齿轮的齿廓
形状，导入 Pro/E 软件完成了非圆齿轮的三维建模，并进行了非圆齿轮副的运动仿真，分析了仿真结果。
关键词：非圆齿轮；节曲线；Pro/E；运动仿真
中图分类号：TH132.41
文献标志码：A
文章编号：1008-5483（2015）03-0070-04
a
ω2
φ2
O2 r2
P φ1
ω1
r1
O1
图 1 非圆齿轮传动
主动非圆齿轮 1 的节曲线方程 r1 为
r1(
φ1)
=
1
a + i12
（1）
从动非圆齿轮 2 的节曲线方程 r2 为
( ) ìïïr2 = a
í
∫ îïïφ2 =
-
φ1 0
r1 1 i12
φ1 = dφ1
ai12 1 + i12
（2）
式中：a 为非圆齿轮副的中心距；φ1 ，φ2 为非圆齿
和齿数 z 才能确定出来。由于非圆齿轮加工和圆
齿轮一样，都可采用齿条形刀具或插齿刀加工，则
非圆齿轮的齿高、齿距、齿厚等一系列参数的计算
方法，也就可以和圆齿轮一样。非圆齿轮的模数 m
和圆柱齿轮是一样的，参照圆齿轮模数选取标准。
而齿数 z 为正整数，只要不发生根切，根据平均传
动比 i 可选取确定。
非圆齿轮的齿距和齿厚是沿节曲线计量的曲
瞬时传动比 i12 、中心距 a 来决定的，瞬时传动比 i12 决定了节曲线的形状，中心距 a 决定了节曲线的外
廓尺寸大小。因此，瞬时传动比 i12 和中心距 a 的 确定是设计非圆齿轮节曲线的 2 个主要参数。
设计非圆齿轮传动时，首先要确定的参数就是
平均传动比 i ，也就是确定出主、从动非圆齿轮在
收稿日期：2015-05-12 基金项目：湖北省教育厅项目（B20122305）；湖北科技支撑计划项目（2014BAA024）；湖北汽车工业学院科研基金（2008YY04） 作者简介：孙国兴（1977-），男，山东德州人，硕士，主要从事机械设计与机械传动方面的研究。E-mail：sunguoxing304@aliyun.com