2021年高二3月月考数学(理科含答案

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2021-2022学年四川省内江市资中县球溪高级中学高二下学期3月月考数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年内江市球溪高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．下列语句是命题的是（）①三角形的内角和等于180︒；②23>；③2x >；④这座山真险啊！ A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④【答案】A【分析】能够判断真假的陈述语句是命题，据此判断即可.【详解】①三角形的内角和等于180︒是命题；②23>是命题；③2x >不能判断真假，故不是命题；④这座山真险啊！不是陈述句，因此不是命题. 故选：A.2．过椭圆225x + 29y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长是（） A ．20 B ．18 C ．10 D ．16【答案】A【分析】根据椭圆的定义求得正确选项. 【详解】依题意5a =，根据椭圆的定义可知，三角形2ABF 的周长为420a =. 故选：A3．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥【答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断. 【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x ，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B. 当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p 任意x ∈R ，均有210x x ++≥，故正确；故选：C4．已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行；命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∨ D ．p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题p 为真命题，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题q 为假命题，所以，()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D.5．已知椭圆C ：2212516x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，上顶点为P ，则（）A ．12PF F △为锐角三角形B ．12PF F △为钝角三角形C ．12PF F △为直角三角形D ．P ，1F ，2F 三点构不成三角形【答案】A【分析】根据题意求得1212,,PF PF F F ，要判断12PF F △的形状，只需要看12F PF ∠是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆C ：2212516x y +=，得22225,16,9a b c ===，则()()()123,0,3,0,0,4F F P -，则12125,6PF PF F F ===，所以1221PF F PF F ∠=∠且为锐角，因为2221212252536140PF PF F F +-=+-=>，所以12F PF ∠为锐角，所以12PF F △为锐角三角形. 故选：A.6．已知椭圆2222135x y m n+=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A ．15x y = B ．15y = C ．3x y = D ．3y x = 【答案】D【详解】试题分析：∵椭圆和双曲线有公共焦点，∴22223m 5n 2m 3n -=+，整理得22m 8n =，∴双曲线的渐近线方程为y=223n 3132m 28x x ±=±⨯=，故选D ．【解析】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质．点评：基础题，先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c ，令二者相等即可求得m 和n 的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．7．双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，下列结论不正确的是（）A ．该双曲线的离心率为53B ．该双曲线的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为32 【答案】D【分析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a ＝3，b ＝4，c ＝5，22169169144x y -=⨯=，故离心率e 53=，故A 正确；由双曲线的性质可知，双曲线线221916x y -=的渐近线方程为y ＝±43x ，故B 正确；设P （x ，y ），则P 到两渐近线的距离之积为22169434316914455252525x y x y x y --+⨯⋅===，故C 正确；若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得2221212||||100PF PF F F +==，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝6（不妨取P 在第一象限），∴2221212()||PF PF PF PF -=+-2|PF 1|⋅|PF 2|＝100﹣2|PF 1|⋅|PF 2|，解得|PF 1|⋅|PF 2|＝32，可得12121162PF F S PF PF =⨯⨯=，故D 错误. 故选：D8．已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率等于（）A 5B 2C 53D 35【答案】C【分析】由等比中项定义求得m ，根据m 的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率．【详解】由已知228m =⨯，4m =±，当4m =-时，方程为2214y x +=，曲线为椭圆， 224,1a b ==，413c -3e =当4m =时，方程为2214y x -=，曲线为双曲线，221,4a b ==，415c =+=为5e = 故选：C ．9．已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．12【答案】A【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得. 【详解】如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，易知1PHF PHQ ∽，所以|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2，从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1. 故选：A.10．已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（） A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x > C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C【分析】先解读选项ABC ，D 选项是12M M >成立的充分不必要条件，再判断得解. 【详解】解：A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件．故选：C11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，且1F AB 23-P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（）A ．[]1,2B ．2,3⎡⎣C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,4【答案】D【分析】由已知和面积得到2a =，3c 1211PF PF +进行化简，配方求最值. 【详解】由已知的22b =，故1b =.∵1F AB 23-∴()1232a c b --=，∴23a c -=又∵222()()1a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，3c =∴()2212121111||112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又12323PF ≤，∴2211114(2)44PF PF PF ≤-+=--+≤， ∴121114PF PF ≤+≤.∴1211PF PF +的取值范围为[]1,4. 故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题. 12．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则OP OQ ⋅=（） A ．16 B ．9 C ．4D ．3【答案】B【分析】设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程可得A ，B 的坐标，求出AM ，BM 所在直线方程，可得P 与Q 的坐标，求得202016·16y OP OQ x =-，再由动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，得2200169(16)y x =-，则||||OP OQ ⋅的值可求. 【详解】解：设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程22:1169x y C -=得(4,0)A -，(4,0)B ，则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--，由此得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --，所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--. 因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--. 故选：B. 二、填空题13．命题“9的平方根是3”是________命题（选填“真”或“假”）．【答案】假【分析】根据9的平方根是3±判断即可.【详解】解：因为9的平方根是3±，所以命题“9的平方根是3”是假命题. 故答案为：假14．经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 . 【答案】22188y x -=【详解】设双曲线的方程为：22x y λ-=，将(1,3)A -代入可得，8λ=-，所以等轴双曲线的方程为：22188y x -=.15．若斜率为k 的直线l 与椭圆22:132x y C +=交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为11,23⎛⎫⎪⎝⎭，则k =___________. 【答案】-1【分析】根据给定条件设出点A ，B 的坐标，再借助“点差法”即可计算得解. 【详解】依题意，线段AB 的中点11,23⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 内，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：()()()()12121212032x x x x y y y y -+-++=，而121221,3x x y y +=+=，于是得1212033x x y y --+=，即12121y y k x x -==--，所以k =1-. 故答案为：1-16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“出租车距离”．给出下列四个结论：①若点()0,0O ，点()1,2A ，则(),3d O A =；②到点()0,0O 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点()1,2A ，点B 是圆221x y +=上的动点，则(),d A B 的最大值是32+．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】①③【分析】理解“出租车距离”的定义，根据定义写出有关代数式即可求解. 【详解】对于①，根据定义(),10203d O A =-+-= 故正确；对于②，根据定义，设目的地为(),A x y ，则(),001d O A x y x y =-+-=+≤…① ，当A 点在第一象限时，①式即为1x y +≤ ，第二象限时为1x y -+≤ ，以此类推得如下图形（阴影部分）：其面积为：12222⨯⨯= ，故错误；对于③，设(),B x y ，(),11d A B x y =-+- ，∵B 在圆221x y += 上，∴1,1x y ≤≤ ，(),123d A B x y x y =-+-=-- ，()3,y x d A B =-+- ，为在区域为221x y +=，目标函数为(),3d A B x y =--求最大值的线性规划问题，，如下图：显然当直线()3,y x d A B =-+-为圆221x y +=在第三象限的切线时，(),d A B 最大，为32，故正确；故答案为：①③. 三、解答题17．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求离心率2e =()5,3M -的双曲线标准方程．【答案】（1）22195x y +=；（2）2211616x y -= 【分析】（1）根据题意直接得出,a c 后求解（2）待定系数法设双曲线方程，列方程组求解【详解】（1）由题意得3,2a c ==，故2945b =-=，椭圆标准方程为22195x y +=（2）①若双曲线焦点在x 轴上，设其方程为22221x y a b-=，由题意2c a =而222c a b =+故a b =，由222591a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩解得2216a b ==，故双曲线标准方程为2211616x y -= ②若双曲线焦点在y 轴上，设其方程为22221y xa b-=，同理a b =，此时将()5,3M -代入后方程无解综上，双曲线标准方程为2211616x y -= 18．已知命题p ：函数()3log f x x a =-在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点；命题q ：[]00,2x ∃∈，使得30035x x a -+-＜0成立.（1）若p 和q 均为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 和q 其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()3,+∞；（2）(][],22,3-∞-⋃.【分析】先求出当命题p 为真时，解得2a ≤-或2a ≥；再求出当命题q 为真，解得3a >.（1）先判断命题p ，q 均为真命题，再求出实数a 的取值范围为(3,)+∞；（2）先判断p ，q 一真一假，最后实数a 的取值范围为(,2][2,3]a ∈-∞-. 【详解】（1）函数()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，p 为真命题∴()f x =3log x a -在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点∴311log 2099f a a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭或者()39log 920f a a =-=-≤得2a ≤-或2a ≥令()335(02)f x x x a x =-+-≤≤∴()f x '=233x -当()f x '＞0时，得12x ≤≤，当()f x '＜0时，得0≤x ＜1∴()f x 最小值为()13f a =- q 为真∴a ＞3（1）p ，q 均为真命题∴a 的取值范围是()3,+∞ （2）p ，q 一真一假若p 真，q 假，则223a a a ≤-≥⎧⎨≤⎩或，解得a 的范围是(][],22,3-∞-⋃；若p 假，q 真，则223a a -⎧⎨⎩＜＜＞，解得无解； ∴a 的取值范围是(][],22,3-∞-⋃.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，一条渐近线方程为20x y -=(1)求双曲线C 的标准方程； (2)已知倾斜角为34π的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．【答案】(1)2214y x -=(2)3y x =-+【分析】（1）由实轴长得到a ，由渐近线斜率得到ba，即可得到方程；（2）由倾斜角得到直线斜率，设直线方程，联立双曲线方程，消去x ，利用韦达定理即可表示线段AB 的中点的纵坐标，解出参数即可.【详解】(1)由题，22a =，由20x y -=得，222by x b a=∴=∴=,,，所以双曲线C 的标准方程为：2214y x -=(2)直线斜率3tan 14k π==-，设直线为y x m =-+，联立得2214y x my x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440y my m -+-=，设,A B 两点坐标分别为()11x y ,、()22x y ,，线段AB 的中点的纵坐标为4，则1282483my y +==⨯=，3m ∴=∴,直线方程为3y x =-+.20．已知5:21p x ≥+，22:20q x mx m --≤，其中0m >． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)是否存在m ，使得p ⌝是q 的必要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)m 1≥(2)不存在，理由见解析【分析】（1）解不等式，由充分条件的定义得出实数m 的取值范围；（2）由p ⌝是q 的必要条件得出不等关系，结合0m >作出判断.【详解】(1)由521x ≥+得2301x x -≤+，故有3:12p x -<≤．由2220x mx m --≤得()()20x m x m -+≤，即:2q m x m -≤≤．若p 是q 的充分条件，则p q ⇒成立，即1322m m -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩得m 1≥. (2)因为3:12p x -<≤，所以:1p x ⌝≤-或32x >．若p ⌝是q 的必要条件，则q p ⇒⌝成立，则21m ≤-或32m ->，显然这两个不等式均与0m >矛盾，故不存在满足条件的m ．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为226. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求AB 的最大值.【答案】(1)2213x y +=； 6.【分析】（1）由题设可得222c =6c a 结合椭圆参数关系求2b ，即可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 为y x m =+，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由0∆>求m 的范围，再应用韦达定理及弦长公式求AB 关于m 的表达式，根据二次函数性质求最值即可.【详解】(1)由题设，222c =6c a 2c =3a =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22:13x C y +=. (2)设直线l 为y x m =+，联立椭圆C 并整理得：2246330x mx m ++-=，所以2223616(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，可得22m -<<，且32A B m x x +=-，23(1)4A B m x x -=，所以22229|23(1)64|(11)4A B m m x x m AB k ---=-=+⋅(2,2)m ∈-，故当0m =时，max 6AB =22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，过双曲线C 的右焦点()2,0F 的直线1l 与双曲线C 分别交于左、右两支上的A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)过原点O 作直线2l ，使得21//l l ，且与双曲线C 分别交于左、右两支上的点M 、N ．是否存在定值λ，使得MN MN AB λ⋅=？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213y x -= (2)存在，2λ=【分析】（1）由题意得到3b a =2c =，结合222c a b =+，求得,a b 的值，即可求得双曲线的方程；（2）由MN 与AB 同向，所以2MNAB λ=，设直线1:2l x ty =+，联立方程组，结合韦达定理求得121222129,3131t y y y y t t -+==--，利用弦长公式求得()226131t AB t +=-，根据21//l l ，设2:l x ty =，联立方程组求得()22212131t MN t +=-，进而求得λ的值，得出结论.【详解】(1)解：因为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =，所以3b a=3b a =．又因为右焦点F 的坐标为()2,0，所以2c =，又由222244c a b a =+==，解得1a =，所以3b =所以双曲线C 的方程为2213y x -=． (2)解：存在定值2λ=，使得MN MN AB λ⋅=．因为MN 与AB 同向，所以2MNAB λ=，由题意，可设直线1:2l x ty =+，联立方程组22213x ty y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22311290t y ty -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得121222129,3131t y y y y t t -+==--，由直线1l 分别交双曲线C 的左、右两支于A 、B 两点，可得()()()222212310Δ12363136100t t t t x x ⎧-≠⎪⎪=--=+>⎨⎪<⎪⎩，即()()()221223103422031t t ty ty t ⎧-≠⎪⎨-+++=<⎪-⎩，可得2310t ->，所以2121AB t y =+-()22121214t y y y y =++-()2222226112361313131t t t t t t +-⎛⎫+- ⎪---⎝⎭由21//l l ，可设2:l x ty =，由2233x ty x y =⎧⎨-=⎩，整理得()22313t y -=．设00(,)M x y ，则()00,N x y --，所以202331y t =-，则()()()()222222000212111431t MN t y t y t +=+--=+⋅=-，所以22MNAB λ==，故存在定值2λ=，使得MN MN AB λ⋅=．。

2021-2022学年河南省郑州市第四高级中学高二下学期第三次月考(期末模拟)理科数学试题解析版

郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人审题人一､单选题（共60分）1.已知复数i z =，则复数1iz-的模是（）A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+'，则()f x 的单调递减区间为（） A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表，()D ξ表示ξ的方差，则()32D ξ+=（）A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（）A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=，则下列结论的证明更适合用反证法的是（） A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm ）和臂展（单位：cm ）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-，则下列结论不正确的是（）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题：①在回归直线方程20.5ˆyx =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时，两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 ①甲､乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好其中真命题的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为（） A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布（Cauchydistribution ）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~，其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=，则()1P X ≤-=（）A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰，则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为（） A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（）12.已知0,0a b >>，且1(1)(3)b a a b ++=+，则（） A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二､填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质：过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论，过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.三､解答题（共70分）17.已知122i,34i z a z =+=-（其中i 为虚数单位）（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若2023122iz z -<+（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.18.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，__________. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.（1）若()f x 在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（2）若()f x 在[]2,3上是增函数，求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-，且0,n a n N +>∈. （1）求123,,a a a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/只）如下表所示：（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红､黄､蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头､剪刀､布”视频比赛.客户和机器人每次同时､随机､独立地选择“石头､剪刀､布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X 表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X 的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑，ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 6.5≈， 2.08y =，()()516.4i i i x x y y =--=∑，()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.（1）当()0,x π∈时，求证：()sin f x x <；（2）求证：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案：1.B 【解析】先求出z ，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =，则)()i 1i 1i 2z+=-，所以1i z ==-故选：B. 2.A 【解析】【分析】对()f x 求导得到关于()2f '､()0f 的方程求出它们的值，代入原解析式，根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为（-∞，0）.故选：A 3.C 【解析】【分析】根据分布列的性质求出a ，根据公式求出()D ξ，再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=，得14a =，所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=，所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=，所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选：C 4.D 【解析】【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有1223542322C C C A 90A ⨯=（种）；若是1，1，3，则共有1133543322C C C A 60A ⨯=（种），所以共有6090150+=（种）不同的方法. 故选：D. 5.B 【解析】【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=，观察四个选项，更适合用反证法的是B ，原因是：假设1x >且1y >，则2x y +>，与已知矛盾，故原结论成立，其它选项均不适合. 故选：B 6.C 【解析】【分析】利用平均值､极差､线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】解：对于选项A ：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确.对于选项B ：因为1.20>，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 正确. 对于选项C ：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=，故C 错误.对于选项D ：若一个人的身高为160cm ，则由回归方程ˆˆ1.234uv =-，可得这个人的臂展的估计值为158cm ，故D 正确. 故选：C 7.B 【解析】【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于①，根据回归直线的几何意义即可判断；对于①，根据相关指数大于0，可得两变量正相关即可可判断；对于①，根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断；对于①，根据残差图的特点即可判断；对于①，根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，故①正确；对于①，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故①不正确；对于①，当相关性系数0r >时，两个变量正相关，故①正确；对于①，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 的绝对值就越接近于1；故①不正确；对于①，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故①不正确；对于①，甲､乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故①不正确，则正确的个数为2. 故选：B. 8.D 【解析】【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -，根据导数的几何意义写出切线方程，将点()0,2代入求出0x 的值，进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+，设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -，因为ln 61y x x '=-+，则切线斜率为00ln 61x x -+，所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-，将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=，解得01x =，或023x =-（舍去），所以这条切线的方程为()351y x +=--，即520x y +-=. 故选：D. 9.C 【解析】【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】因为21()()π(1)f x f x x -==+，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P （|X |=23，可得1(03P X <<=，因为P （1X <≤=112，所以111(01)3124P X <<=-=，因此1(10)4P X -<<=，所以111(1)244P X ≤-=-=，故选：C 10.C 【解析】【分析】由微积分基本定理求解m ，将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘，要得到21x ，分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰，则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘，所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ，4个因式取1-，或者2个因式中取x ，2个因式取22x ，1个因式取1-所得到的项，则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选：C. 11.C 【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ，则127a =，其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅，由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=，①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选：C. 12.B 【解析】【分析】根据题意，两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++，进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>，利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】解：因为()()113b aa b ++=+，0a >，0b >，所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+，则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时，()0g x →，所以()0g x <，即()0f x '<，故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+，所以1a b <+. 故选：B. 13.40x y --= 【解析】【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=，然后可得.【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以，，过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=，即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得：2690x x -+=，解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -，即直线与椭圆相切. 故答案为：40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色，其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为：42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点，分0x >和0x <两类情况讨论，利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值，由此作出函数()y g x =的图象，利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根，等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时，()22ln 1x g x x+=，则()34ln x g x x -'=，令()0g x '<，可得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时，()224g x x x =--，则()()3222122x g x x x x +'=+=，令()0g x '<，可得1x <-，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象，如图所示，要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点，则01a <<，故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A ：“李好第一枪击中目标”，事件B ：“李好第二枪击中目标”，事件C ：“李好第三枪击中目标”，事件D ：“目标被击中”，则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=，()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为：1011317.（1）83a =（2）24a <<【解析】【分析】（1）根据题意123846i 2525z a a z -+=+，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得122i z z -<-，即.（1）由12i z a =+，234z i =-，得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-，因为12z z 为纯虚数，所以38025a -=，且46025a +≠，所以83a =（2）()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--，因为2023122i z z -<+，所以122i z z -<-<即()2345a -+<，解得24a <<.18.（1）4352T x =和74254T x =（2）51T x =，4352T x =，35516T x =【解析】【分析】（1）无论选①还是选①，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，①()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-（舍去），①5n =.若选①，则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，①5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为：51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.（1）1a =，极小值点（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出1a =，从而求出单调区间，判断出1x =是()f x 的极小值点；（2）问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，从而求出实数a 的取值范围. （1）①()f x 定义域为(1,)-+∞，()421f x ax x'=-+；若()f x 在1x =处有极值，则()1220f a '=-=，①1a =，此时()()24ln 1f x x x =-+，()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-，①20x +>，10x +>，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数.当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.（2）由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立，即4201ax x -≥+， ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立，只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭，①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，即13a ≥，即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.（1）11a，2a3a （2）n a .【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想n a（1）令1n =得：111112a a a =+-，因为0n a >，n ∈+N ，解得：11a ，令2n =得：2122112a a a a +=+-，即2221112a a a +=+-解得：2a ，令3n =得：31233112a a a a a ++=+-，3331112a a a =+-，解得：3a（2）猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时，11a ，成立，假设n k =时，k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时，111112k k k a S a +++=+-，即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-，解得：1k a +综上：n a n *∈N 都成立.21.（1）相关系数0.98；ˆ0.640.16yx =+ （2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为14645；方案二分布列见解析；期望为446135；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出x y 、的值，带入参考公式计算即可. （2）根据（1）中线性回归方程，求得X 可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑，由于0.98接近1，说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆ 2.08 1.920.16a =-=，所以ˆ0.640.16yx =+. （2）由（1）可知，ˆ0.640.16yx =+，当6x =时，ˆ4y =，即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，1331( 2.8)39C P X ===； 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===； 3332( 3.6)A P X ===；此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为132133C =，则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-，()g x 的定义域为(0)π，，()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅，当0()x π∈，时，()0g x '<恒成立，①()g x 在(0)π，上单调递减， ①当0()x π∈，时，()(0)0g x g <=恒成立，故当0()x π∈，时，()sin f x x <；（2）设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-，()h x 的定义域为(0)2π，，()2(cos sin )h x x x x =-⋅'，设()cos sin x x x x ω=-⋅，()x ω的定义域为(0)2π，，()2sin cos x x x x ω=--⋅'，当(0)2x π∈，时，()0x ω'<恒成立，①()x ω在(0)2π，上单调递减，又(0)10ω=>，()022ππω=-<，①存在唯一的0(0)2x π∈，使据0()0x ω=，当00x x <<时()0x ω>，则()2()0h x x ω'=>，①()h x 在0(0)x ，上单调递增，当02x x π<<时()0x ω<，则()2()0h x x ω'=<，①()h x 在0()2x π，上单调递减，①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值，又(0)10h =-<，()104h π>，()102h π=-<，①()h x 在(0)4π，与()42ππ，上各有一个零点，即当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。

江苏省常州市第一职业高级中学2021年高二数学理月考试题含解析

江苏省常州市第一职业高级中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “方程表示一个圆”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据条件得到方程表示圆则，反之也是正确的，从而得到答案.【详解】方程表示一个圆,则需要满足，反之，则满足方程是一个圆，故选择充要条件.故答案为：C.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2. 已知A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，则C是A的( ）.A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 如果一个几何体的三视图如图所示(长度单位: cm), 则此几何体的表面积是（）A. B.C. D.参考答案：A4. 复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解： ==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．5. 设，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.84 D．0.64参考答案：A6. 若多项式x5+x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+……+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a4=( )A.205B.210C.-205D.-210参考答案：A7. 已知椭圆的离心率为，则b等于（）.A.3B.C.D.参考答案：B8. 阅读下图左边的流程图，若输入，则输出的结果是（）A．2 B. 4 C．5 D. 6参考答案：A9. 已知，，且，则的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（）（1，）（1，﹣）C （，1）D（，﹣1）A解答：解：x=ρcosθ=2×cos=1，y=ρsinθ=2×sin=∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．故选A．11. 若为实数，则“”是“或”的 ________条件.参考答案：充分而不必要条件略12. 若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．参考答案：a≥考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．解答：解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．13. 对于曲线∶=1，给出下面四个命题：（1）曲线不可能表示椭圆；（2）若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜＜；（3）若曲线表示双曲线，则＜1或＞4；（4）当1＜＜4时曲线表示椭圆，其中正确的是（）A .(2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) D.(3)(4)]参考答案：A14. 已知=2， =3， =4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= ．参考答案：41【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n 个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2， =3， =4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．15. 已知，，则线段AB的中点坐标为________；_________.参考答案：( －1, －1, －1)，；16. 已知集合，，则集合．参考答案：略17. △ABC的三边长分别为3、4、5，P为面ABC外一点，它到△ABC三边的距离都等于2，则P到面ABC的距离是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省宝应中学2021-2022学年高二上学期月考测试数学理试题 Word版含答案

江苏省宝应中学17-18学年第一学期高二班级月考测试 (数学理科)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）．． 1．赋值语句为：235T T T ←←-+，，则最终T 的值为 ▲ ．2．在一次数学测验中，某小组16名同学的成果与全班的平均分116分的差分别是2，3，3-，5-，-6，12，12，8，2，1-，4，10-，2-，5，5，6那么这个小组的平均分是 ▲ . 3.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．4．样本数据8321,,,,x x x x 的平均数为6，若数据)8,7,6,5,4,3,2,1(63=-=i x y i i ，则8321,,,,y y y y ⋅⋅⋅的平均数为▲ ．5.某校高一班级有同学400人，高二班级有同学360人，现接受分层抽样的方法从全校同学中抽出56人，其中从高一班级同学中抽出20人，则从高三班级同学中抽取的人数为 ▲6. 以线段AB ：40(04)x y x +-=≤≤为直径的圆的方程为 ▲ ．7、阅读如图所示的程序框，若输入的n 是28，则输出的变量S 的值是__▲____． 8．、椭圆192522=+y x 的两个焦点是21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且1222=+B F A F ，则||AB 的长为 ▲ .9.已知无论p 取任何实数，0)32()32()41(=-+--+p y p x p 必经过肯定点，则定点坐标为 ▲ ．10.若直线x ＋n y ＋3＝0与直线nx ＋9y ＋9＝0平行，则n 的值等于__▲___11.双曲线2212x y m m -=+ 的一条渐近线方程为x y 2=，则此m 等于 ▲ .12已知平面上两点A(0,2)、B(0,-2),有一动点P 满足PA-PB=2，则P 点的轨迹方程为 ▲ ．13. 若关于x 的方程24420x kx k ---+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲14、如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP P F 31=，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题14分）某赛季甲、乙两名运动员每场竞赛得分状况如下表：第一场其次场第三场第四场第五场第六场第七场甲 26 28 24 22 31 29 36 乙26293326402927（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较甲、乙两人七场竞赛的平均得分及得分的稳定程度.16．（本题14分）已知椭圆C 的方程为．（1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率，求k 的值．17．（本题14分）为了调查高一新生是否住宿，招生前随机抽取部分准高一同学调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x 的值；（2）假如上学路上所需时间不少于40分钟的同学应住宿，且该校方案招生1800名，请估量新生中应有多少名同学住宿；（3）若担忧排住宿的话，请估量全部同学上学的平均耗时（用组中值代替各组数据的平均值）．（第7题）18. （本题16分）已知△ABC 三个顶点坐标分别为：A （1，0），B （1，4），C （3，2），直线l 经过点（0，4）．（1）求△ABC 外接圆⊙M 的方程；（2）若直线l 与⊙M 相切，求直线l 的方程；（3）若直线l 与⊙M 相交于A ，B 两点，且AB=2，求直线l 的方程．19．（本题16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆C ：22(1)16x y ++=，点(1,0)F ，E 是圆C 上的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D 。

【ks5u发布】河北省唐山一中2020-2021学年高二下学期第三次月考理科数学试题Word版含答案

唐山一中2022-2021学年度其次学期高二班级第一次月考数学试卷（理科）命题人：李鹏涛审核人：乔家焕试卷Ⅰ（共60分）一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分。

请把答案涂在答题卡上）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是 ( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°3.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC ( )A.内心B.外心C.重心D.垂心4. 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上均可导，且'()'()f x g x <，则当a x b <<时，有（）A. ()()f x g x >B. ()()f x g x <C. ()()()()f x g a g x f a +<+D. ()()()()f x g b g x f b +<+5.函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.32 B. 1 C. 2 D.126. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A ．144B ．120C ．72D ．24 7．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax b y a x 与的曲线大致是 ( )8、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 ( )A. ①和②B.②和③C.③和④D.①和④9.已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为 ( )A ．)6,0[πB ．],6(ππC ．],3(ππD ．2[,]33ππ10．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163B ．83C ．316D ．3811.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<12．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-ny m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 试卷Ⅱ（共计90分）二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分，请将答案写在答题纸上）13.36的全部正约数之和可按如下方法得到:由于2236=23⨯,所以36的全部正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的全部正约数之和为_______________14．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,假如分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.15. 1121lim (1)n n n n nn →∞-++++写成定积分是_________.16．如图是y ＝f (x )的导函数的图象，现有以下四种说法：(1)f (x )在(－3，1)上是增函数；(2)x ＝－1是f (x )的微小值点；(3)f (x )在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数； (4)x ＝2是f (x )的微小值点；以上正确的序号为________．三、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，共计70分。

江西省九江市三汊港中学2021年高二数学理月考试题含解析

江西省九江市三汊港中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：A略2. 若函数，则函数的图像可以是( )参考答案：A3. 已知α、β是两个不同平面，m、n是两条不同直线，则下列命题不正确的是( )A．则 B．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥β D．m∥β，m⊥n，则n⊥β参考答案：D 4. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是 ( )A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.非以上答案参考答案：C略5. 若为虚数单位，则（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（）A． B． C． D．参考答案：D函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以不可能成为该等比数列的公比．7. 如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A．18，6 B．8，16 C．8，6 D．18，16参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】利用中位数、平均数计算公式求解．【解答】解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+x，24，27，∵甲组数据的平均数为18，∴5（9+12+10+x+24+27）=90，解得y=8．∵甲组数据为：9，15，10+y，18，24，乙组数据的中位数为16∴10+y=16，解得y=6．故选：C．8. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜想的数字记为b，其中，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”。

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <，双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。

江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案

上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若c>b>a>0，则( ) A. log a c>log b c lnc －c a >b －cbD. a b b c >a c b b 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.7.下列命题中正确的共有（）个①. (0,),23x xx ∃∈+∞> ②. 23(0,1),log log x x x ∃∈<③. 131(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> ④.1311(0,),()log 32x xx ∀∈< A ．1B. 2C. 38.已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （-x ）= -f （x+4），当x>2时，f （x ）单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1-2）（x 2-2）<0，则f （x 1）+f （x 2）的值（）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负9.已知x ，y ∈R ，且满足020(0)2y ax y ax a x -≥⎧⎪-≤>⎨⎪≤⎩，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为( ) A.32B.2C.3 10.已知函数f(x)＝1＋log a (x －2)(a>0，a ≠1)的图象经过定点A(m ，n)，若正数x ，y 满足1m nx y+=，则2xx y y++的最小值是( ) B.10 C.5＋11.已知函数y ＝f(x)在R 上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0，对于函数g(x)＝()xf x e ，下列结论错误．．的是( ) A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数是函数g(x)的极小值点 ≤0时，不等式f(x)≤2e x 恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点12．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +13．已知2'()2(2)f x x xf =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________.15．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是_______.16.已知实数x ，y 满足y ≥2x>0，则92y xx x y++的最小值为。

2021-2022年高三数学上学期第三次月考试卷理(含解析)

2021-2022年高三数学上学期第三次月考试卷理（含解析）一、选择题B=( ) 1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩CUA．{x|0≤x＜4} B．{x|0＜x≤4}C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|﹣1≤x≤4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用全集U=R，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，先求出CB={x|﹣1≤x≤4}，再由集UB．合A={x|2x＞1}，求出集合A∩CU解答：解：全集U=R，集合A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，C U B={x|﹣1≤x≤4}，∴A∩C U B={x|0＜x≤4}．故选B．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．函数f（x）=﹣lnx的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：作图题．分析：问题等价于：函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象可得结论．解答：解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选B点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．3．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为( )A．﹣B．C．﹣D．考点：函数单调性的性质；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．解答：解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．4．下列命题：p：函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；q：已知向量=（λ，1），=（﹣1，λ2），=（﹣1，1），则（+）∥的充要条件是λ=﹣1；r：若（a＞1），则a=e．其中所有的真命题是( )A．r B．p，q C．q，r D．p，r考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：化简f（x）=sin4x﹣cos4x后求周期，判断出命题p为真命题；由建立λ的方程求解λ；由建立关于a的方程，求出a的值再判断．解答：解：命题P：f（x）=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，所以函数f（x）为π，故命题P为真命题；命题q：=（λ﹣1，λ2+1），由得，﹣（λ2+1）+（λ﹣1）=0，解得λ=0或λ=﹣1，故命题q为假命题；命题r：由得，lna﹣ln1=1，解得a=e，所以命题r是真命题．故选D．点评：本题主要以判断命题的真假为背景，考查了简单三角变换公式、正弦函数的周期、两向量的加法运算、两个向量共线的充要条件、定积分计算、方程思想的综合应用．5．为了得到函数y=sin2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象( ) A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用函数y=sin（2x）的图象变换即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x），则f（x﹣）=sin[2（x﹣）]=sin2x，∴为了得到函数y=sin 2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握平移变换的规律是解决问题的关键，属于中档题．6．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为( ) A．B．﹣2 C．﹣2或D．不存在考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=﹣=﹣．故选A．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x2+2ax+b，利用f′（1）=0，f （1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．7．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是( )A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题．分析：由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可解答：解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．点评：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是( )8．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=( )A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．已知α∈（0，2π），且α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则α等于( ) A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由α的终边上一点的坐标为（sin，cos），利用三角函数的定义，可求tanα，结合点所在象限，即可得出结论．解答：解：∵α的终边上一点的坐标为（sin，cos），∴tanα==﹣，且点在第四象限，∵α∈（0，2π），∴α=．故选B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查特殊角的三角函数，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是60°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得和的值，可得||的值，再求出（）•=2．设除与的夹角是θ，则由两个向量的数量积得定义求得（）•=2•2•cosθ，从而得到2•2•cosθ=2，解得cosθ 的值，可得θ的值．解答：解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=60°，故答案为60°．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求两个向量的夹角的方法，属于中档题．12．已知，则=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．13．函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：利用导数判断单调区间，导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数小于0即可．解答：解：函数y=3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y=3x2﹣2lnx的导数，得，y′=6x﹣，令y′＜0，解得，0＜x＜，∴x∈（0，）时，函数为减函数．∴函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为故答案为点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于导数的常规题，应当掌握．14．设，则=．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．解答：解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．点评：本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．15．关于函数f（x）=sin2x﹣cos2x有下列命题：①函数y=f（x）的周期为π；②直线是y=f（x）的一条对称轴；③点是y=f（x）的图象的一个对称中心；④将y=f（x）的图象向左平移个单位，可得到的图象．其中真命题的序号是①③．（把你认为真命题的序号都写上）考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：利用辅助角公式可得f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），利用三角函数的性质对①②③④进行一一判断；解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），可得周期为：T==π，故①正确；当x=可得，y=1＜，故x=不是对称轴，故②错误；f（x）的对称中心为：2x﹣=kπ，k∈Z，解得x=+，故③正确；可知f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），将其向左平移个单位，可以得到y=sin2x，故④错误，故答案为①③；点评：此题主要考查命题的真假判断与应用，主要考查三角函数的性质以及函数平移的内容这也是常考的内容，此题是一道基础题；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P 且q为真命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：若命题p为真，由一元二次方程的判别式和韦达定理，联列不等式组并解之得m＞2；若命题q为真，则方程4x2+4（m﹣2）x+1=0的根的判别式小于0，解之得1＜m＜3．命题p 且q为真，说明命题p和q都是真命题，取交集即得实数m的取值范围．解答：解：由题意，得p：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…∵p且q为真，∴p，q同时为真，则，解之得2＜m＜3，…∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式和不等式的解法等知识，属于基础题．17．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC 的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，…∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴cosA=，…∵A∈（0，π），∴A=；…（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，…∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知向量=（cosθ，sinθ），=（），．（Ⅰ）当⊥时，求θ的值；（Ⅱ）求|+|的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（I）根据垂直的向量数量积为0，列出关于θ的方程，结合同角三角函数的关系，得，结合θ的范围可得θ的值；（II）根据向量模的公式，结合题中数据，化简整理得|+|=，再结合θ的范围，利用正弦函数的图象与性质，可得|+|的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵⊥，∴•=…整理，得又∵，∴θ=…（Ⅱ）∵||==1，||==2，•=∴|+|===…∵∴…∴，可得∴，即|+|的取值范围是[，3]…点评：本题给出向量坐标为含有θ的三角函数的形式，求向量的模的取值范围，考查了向量数量积的坐标运算，同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．19．已知向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．∴f（x）=2sin2x+2sinxcosx=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1∴≤2x﹣≤（k∈Z）∴（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立∵x∈[0，]，∴2x﹣∈∴sin（2x﹣）∈∴f（x）=2sin（2x﹣）+1∈[0，3]∴m≤0∴m的最大值为0．点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．20．已知函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设0＜x＜，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据图象过点（0，1），得到sinφ=，再根据其范围求解；（2）直接根据三角函数的图象与性质进行求解．解答：解：（1）显然，A=2，又图象过点（0，1），∴f（0）=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，由图象结合“五点法”可知，（，0）对应函数y=sinx图象的点（2π，0），∴所求函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+），（2）当0＜x＜时，2x+∈（，），2sin（2x+）∈[﹣2，2]，∵方程f（x）=m有两个不同的实数根，∴m∈（1，2）．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、五点法画图等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件得到方程组即可求出a、b、c，然后求f（x）的解析式；（2）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断f（x）的单调性，求出单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求出函数的极值，然后求m的值．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=﹣2时取得极值，∴f′（﹣2）=0，即12﹣4a+b=0①，∵函数图象与直线y=﹣3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=﹣3，即 3+2a+b=﹣3②，由f（1）=0，即1+a+b+c=0③，由①②③解得a=1，b=﹣8，c=6；（2）由（1）知，f（x）=x3+x2﹣8x+6，f′（x）=3x2+2x﹣8=（3x﹣4）（x+2），由f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞，由f′（x）＜0得，﹣2＜x＜，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（，+∞）上递增，在（﹣2，）上递减，（3）由（2）知，当x=﹣2时f（x）取得极大值f（﹣2）=18，当x=时f（x）取得极小值f（）=，因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，所以＜m＜18，即为m的取值范围．点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．26665 6829 栩!25772 64AC 撬28173 6E0D 渍+\€ 30768 7830 砰H29875 74B3 璳24601 6019 怙\A21476 53E4 古。

2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二年级下册学期3月月考数学试题(理)【含答案】

2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学试题（理）一、单选题1．若复数()()31z i i =-+，则z =（）A ．B ．CD ．20【答案】B【解析】化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z =故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 2．下列求导数运算正确的是（） A ．()cos sin x x '= B ．()33ln 3xx '=C ．()ln ln -1x x x '=D ．sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于(cos )sin x x '=-，故选项A 不正确；由于()3=3ln 3x x '，故选项B 正确；由于(ln )ln 1x x x '=+，故选项C 不正确；由于1sin cos 333x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选项D 不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】C【解析】按照求导法则对函数进行求导，令1x =代入导数式即可得解.【详解】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-. 故选：C【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题.4．若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．[-1，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1）【答案】C【详解】由题意可知()02bf x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．5．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '-<，且()01f =，则不等式()1xf x e<的解集为（） A ．()0,∞+ B ．()2,∞+ C ．(),0∞- D ．(),2∞-【答案】A【分析】构造函数()()xf x h x e=，由题意得()0h x '<即函数()h x 在R 上单调递减，再根据题意得()01h =，即可得解.【详解】令()()xf x h x e =，则()()()()()2x x x xf x e f x e f x f x h x e e ''--'==， ()()0f x f x '-<，∴()0h x '<，∴函数()h x 在R 上单调递减，又 ()()0001f h e ==，()()1xf x h x e =<， ∴()0,x ∈+∞.故选：A.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.6．己知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增；则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1- 故仅选项C 符合要求. 故选：C7．若0()2f x '=-，则0001()()2lim k f x k f x k→--等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【答案】C【分析】由题意结合导函数的定义求解()00012k f x k f x lim k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】由导数的定义可知：()()()()00000100212'lim lim 12k f x k f x f x x f x f x x k ∆→-→⎛⎫-- ⎪+∆-⎝⎭==∆-，则()00012k f x k f x lim k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()0001021112lim '11222k f x k f x f x k -→⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-⨯=-=-. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查导数的定义及其应用等知识，属于基础题.8．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则24z z +=（）A ．24i -B ．2iC ．24i +D ．2【答案】D【分析】利用复数的加减乘除运算性质即可求得24z z+的值.【详解】1i z =-，则()()()()()22241i 441i (1i 2i)=21i 2i=21i 1i 1i z z ++=+-++-+-=--+ 故选：D9．点A 是曲线23ln 2y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（） ABCD【答案】A【分析】动点A 在曲线23ln 2y x x =-，则找出曲线上某点的斜率与直线21y x =-的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可【详解】不妨设()23ln 2f x x x =-，定义域为：()0,∞+ 对()f x 求导可得：()13f x x x'=- 令()2f x '= 解得：1x =（其中13x 舍去）当1x =时，32y =，则此时该点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线21y x =-的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：d =解得：d =故选：A10．若复数(2)z a ai =-+(a R ∈，i 为虚数单位)为纯虚数，则0)ax dx =⎰（）． A ．22π+B ．2π+C ．42π+D ．44π+ 【答案】B【解析】根据纯虚数的定义，结合定积分的几何意义、微积分基本定理进行求解即可.【详解】因为z 为纯虚数，所以有2020a a a -=⎧⇒=⎨≠⎩，原式2200)x dx xdx ==+⎰⎰⎰，因为0⎰的几何意义表示坐标原点为圆心，半径为2的14圆的面积，所以20124ππ=⋅⋅=⎰，而222221112020222xdx x ==⨯-⨯=⎰，所以原式22000)2x dx xdx π==+=+⎰⎰⎰，故选：B11．已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（） A ．0y =B ．440x y ++=C ．0y =或440x y ++=D ．0y =或440x y -+=【答案】C【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()20002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方程.【详解】设切点为()00,x y ，则200y x =，切线斜率为()002k f x x '==所以切线方程为()20002y x x x x -=-，因为过点()1,0P - 则()200021x x x -=--解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++= 故选：C12．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞)【答案】B【分析】分析：由已知条件推导出32ln ,0a x x x x ≤++>，令32ln ,0y x x x x=++>，利用导数形式求出1x =时，y 取得最小值4，由此能求出实数的取值范围. 【详解】详解：由题意22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞上恒成立，所以32ln ,0a x x x x≤++>在()0,x ∈+∞上恒成立，设32ln ,0y x x x x =++>，则22223231x x y x x x +-=+-=，由0y '=，得123,1x x =-=，当()0,1∈x 时，0'<y ，当()1,∈+∞x 时，0'>y ，所以1x =时，min 1034y =++=，所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(],4-∞.点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题13．已知i 是虚数单位，则复数212(2)2ii i++-对应的点在第________象限. 【答案】二【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得出复数所对应的点，即可判断点所在的象限．【详解】解：由题意得，已知复数212(2)2ii i++-，则设()()()()2212212(2)44222i i iz i i i i i i +++=+=+=-+--+，即：4z i =-+，则复数所对应的点为()4,1-，则在第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14．计算31(2)x dx +⎰的值是________.【答案】8【分析】首先根据定积分公式求出被积函数的原函数，然后代入数值计算结果即可求出. 【详解】解：32311111(2)(2)|96128222x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.故答案为：8.【点睛】本题考查被积函数的原函数的求法，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题. 15．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =__________．【答案】3【解析】设切点为00(,2)x kx -，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点为切线与曲线的公共点列出等式，两式联立求解即可. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =，代入②得013ln 1x +=，则01x =，3k =．故答案为：3【点睛】本题考查已知曲线的切线求参数，导数的几何意义，属于基础题.16．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则a 的取值范围是___________．【答案】102a <<【分析】利用导数与函数极值点的关系可列出关于a 的不等式，解之即可求得a 的取值范围【详解】由2()ln(1)(1)f x x a x x =++>-，可得222()2(1)11a x x a f x x x x x++'=+=>-++ 则方程2220x x a ++=有两个大于1-的不同的根则二次函数222y x x a =++的图像与x 轴两个不同交点的横坐标均大于1- 又二次函数222y x x a =++的图像开口向上，对称轴12x =-则()()2Δ48021210a a =->⎧⎪⎨⨯-+⨯-+>⎪⎩，解之得102a <<故答案为：102a <<三、解答题17．已知复数2(4)(2),z a a i a R =-++∈．（1）若z 为实数，求实数a 的值；（2）若z 为纯虚数，求实数a 的值；（3）若z 在复平面上对应的点在直线210x y ++=上，求实数a 的值．【答案】（1）2a =-（2）a =2（3）1a =-【解析】（1）z 为实数则虚部为0；（2）z 为纯虚数则实部为0且虚部不为0；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，满足直线的方程代入列出方程即可得解.【详解】（1）若z 为实数，则20a +=，2a =-；（2）若z 为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得实数a 的值为2；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，在直线210x y ++=上，则()242210a a -+++=，即2210a a ++=解得1a =-．【点睛】本题考查复数的有关概念，复数的几何意义，属于基础题.18．已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈．若函数()f x 在1x =处有极值-4．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值．【答案】（1）71.3⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）()4()8min max f x f x =-=，. 【详解】试题分析：()1先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于,a b 的方程组，求得,a b 后再根据导函数的符号求出单调递减区间．() 2由()1求出函数的单调区间，可以数判断函数()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数()f x 在[]1,2-上的极值和端点值，通过比较可得()f x 的最大值和最小值．试题解析：（1）∵()32f x x ax bx =++，∴()2'32f x x ax b =++，依题意有即()()'1320114f a b f a b ⎧=++=⎪⎨=++=-⎪⎩，解得2.7a b =⎧⎨=-⎩ ∴()()()2'347371f x x x x x =+-=+-，由()'0f x <，得713x -<<， ∴函数()f x 的单调递减区间7,1.3⎛⎫- ⎪⎝⎭()2由()1知()3227f x x x x ，=+- ∴()()()2'347371f x x x x x =++=+-，令()'0f x =，解得12713x x =-=，．当x 变化时，()()'f x f x ，的变化情况如下表：由上表知，函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增．故可得()()14min f x f ==-，又(1)8,(2)2f f -==． ∴()()18.max f x f =-=综上可得函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值分别为8和4-．19．已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2.求：（1）实数a ，b 的值；（2）求()f x 在[]22-,上的单调区间. 【答案】（1）14a b =⎧⎨=⎩（2）()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-【分析】(1)根据()f x 先求出()f x '，解不等式0f x与()0f x '<，利用导数与极值的关系，确定极值点，进而可求解；(2)由(1)可得：3()34f x x x =-+，从而得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，进而可求解.【详解】解：（1）()()2330f x x a a '=->，由()0f x x '>⇒<x ∴()f x在(,-∞，)+∞上单调递增；由()0f x x '<⇒，∴()f x在(上单调递减，即x =()f x取到极大值；x =()f x 取到极小值.((636232f a b f b ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩14a b =⎧⇒⎨=⎩. （2）()334f x x x =-+，则233fxx ；由()01f x x '>⇒<-或1x >，又[]2,2x ∈-，()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-.【点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值的应用及方程的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()213ln 42g x x x x b =-++．（1）当54b =-时，求()g x 在（()1,1g ）处的切线方程；（2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数b 的取值范围．【答案】（1）52y =-；（2）52ln 24b ≤<-.【分析】（1）根据()2135ln 424g x x x x =-+- ，求导()13122g x x x '=-+，再求得()1'g ，根据切点，写出切线的方程；（2）将函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，转化为213ln 42b x x x -=-+在[1，4]内有两个实根，()213ln 42h x x x x =-+，利用导数法研究其单调性，画出图象求解. 【详解】（1）因为()2135ln 424g x x x x =-+- ，所以()13122g x x x'=-+，所以()1311022'=-+=g ，又因为切点为（1，52-），所以切线的方程为52y =-；（2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，可得213ln 42b x x x -=-+在[1，4]内有两个实根，设()213ln 42h x x x x =-+，()()()12131222x x h x x x x--'=-+=，当()1,2x ∈时，()h x 递减，当()2,4x ∈时，()h x 递增，由()514h =-，()22ln 2h =-+，()4ln 42h =-，画出()y h x =的图象，如图所示可得52ln 24b -+<-≤-，解得52ln 24b ≤<-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(0,2)，且20()6f x dx =⎰. (1)求函数()f x 的表达式.(2)若函数2()g x x =，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.【答案】（1）()2f x x =+；（2）92【分析】（1）假设出一次函数()()20f x kx k =+≠，根据积分构造出方程求得k ，进而得到结果；（2）联立两函数解析式可求得交点坐标，从而可知所求面积为()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰，利用积分的运算法则求得结果.【详解】（1）()f x 为一次函数且过点()0,2 ∴可设()()20f x kx k =+≠ ()()2220022224602k f x dx kx dx x x k ⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得：1k = ()2f x x ∴=+（2）由22y x y x ⎧=⎨=+⎩得：11x =-，22x =f x 与()g x 围成的图形面积()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰ 即()222312118119222421233232S x x dx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 【点睛】本题考查利用积分求解函数解析式、利用积分求解两函数围成图形面积的问题，属于积分知识的基础应用问题.22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()2123C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，()36ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.【分析】（1）根据题中条件，分07x <<和7x ≥两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（2）根据（1）中解析式，分别求出7x <和7x ≥两种情况下，()P x 的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，由题意可得，当07x <<时，()()2211626224233P x x C x x x x x x =--=---=-+-；当7x ≥时，()()336266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ⎛⎫=--=-++--=-- ⎪⎝⎭；所以()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）由（1）可得，当07x <<，()()2211426101033P x x x x =-+-=--+≤，当且仅当6x =时，等号成立；当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()33221e e x P x x x x-'=-+=，所以，当37x e ≤<时，()0P x '>，即函数()315ln e P x x x =--单调递增；当3x e >时， ()0P x '<，即函数()315ln e P x x x=--单调递减；所以当3x e =时，()315ln e P x x x =--取得最大值()333315ln 11e P e e e =--=；综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般步骤：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.。

高二数学3月月考试题理 2

一中2021-2021-2学期高二年级3月考试试题制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

数学〔理〕说明：本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.满分是150分，考试时间是是120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.〕 1．假设0()2f x '=-，那么0001()()2lim k f x k f x k→--等于〔〕A ．－2B ．－1C ．1D ．22．函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )=2 f ′(e )x +ln x 〔e 为自然对数的底数〕，那么f ′(e )=〔〕A. 1eB ．e C. -1e D ．- e3．11||x dx -⎰等于〔〕A ．0B ．1C ．2D ．124．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )．A ．－37B ．－29C ．－5D ．－115．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，那么f 2021(x )＝〔〕A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．内接于半径为R 的圆的矩形的周长的最大值为( )．A ．22RB ．2RC ．42RD ． 4R 7．方程x -ln x -2=0的根的个数为〔〕A ．0B ．1C ．2D ．3 8．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A. 1B. 13C. 23D.439．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( ) A. [－∞，2) 10．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，那么此物体到达最高时的高度为〔〕A.1603 mB.803 mC.403m D.203m11．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现理解到以下情况：〔1〕甲不是最高的；〔2〕最高的是没报铅球；〔3〕最矮的参加了跳远；〔4〕乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛工程是〔〕A ．跑步比赛B ．跳远比赛C ．铅球比赛D ．不能断定12．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开场在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到〔转到角不超过90°〕时，它扫过的圆内阴影局部的面积S 是时间是t 的函数，这个函数的图像大致是〔〕第二卷〔非选择题〕二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.〕 13．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 14．在用数学归纳法证明不等式1111(1,*)1222n n N n n n +++>>∈++的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，左边需要增加的代数式是.________________． 15．假设函数f (x )＝a3x 3＋952a -x 2＋4ax ＋c (a >0)在(－∞，＋∞)内无极值点，那么a 的取值范围是______________．16．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()01f =，那么不等式()1xf x e<的解集为 . 三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕 17. 〔10分〕求证： e x≥(1＋x ) ≥ln(1＋x )．18. 〔12分〕函数y =f (x )在区间[a ，b]上的图像是连续不连续的曲线，且f (x )在区间[a ，b]上单调，f (a )>0，f (b )<0.试用反证法证明：函数y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.19．〔12分〕如下图，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．〔12分〕设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．21.〔12分〕假设函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)假设方程f (x )＝k 有3个不同的根，务实数k 的取值范围．22.〔12分〕设函数2()ln f x ax a x =--，其中x ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使11()xf x e x->-在区间〔1，+∞〕内恒成立〔e ＝2.71828…是自然对数的底数〕．一中2021-2021-2学期高二年级3月考试数学〔理〕参考答案一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分〕二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．1()y x ππ=-- ； 14．112122k k -++； 15．[1，9]； 16．}{0x x > 三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕 17. 〔10分〕求证： e x≥1＋x >ln(1＋x )．证明：根据题意，应有x >－1，设f (x )＝e x－(1＋x )，那么 f ′(x )＝e x－1，由f ′(x )=0，得 x =0.当－1< x < 0时，f ′(x )<0；当x > 0时，f ′(x )>0．∴f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min = f (0)=0． ∴ 当x >－1，f (x )≥f (0)=0，即 e x≥1＋x ．设g (x )＝1+x －ln(1＋x )，那么g ′(x )＝1－11＋x ＝x1＋x ，由g ′(x )=0，得 x =0.当－1< x < 0时，g ′(x )<0；当x > 0时，g ′(x )>0．∴g (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g (x )min =g (0)=1． ∴ 当x >－1，g (x )≥g (0)=1>0，即1＋x >ln(1＋x )．18. 〔12分〕函数y =f (x )在区间[a ，b]是的图像连续不连续，且f (x )在区间[a ，b]上单调，f (a )>0，f (b )<0.试用反证法证明：函数y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.证明：因为函数y =f (x )在区间[a ，b]上的图像连续不连续，且f (a )>0，f (b )<0，即f (a )·f (b )<0.所以函数y =f (x )在区间[a ，b]上一定存在零点x 0，假设y =f (x )在区间[a ，b]上还存在一个零点x 1〔x 1≠x 0〕，即f (x 1)=0，由函数f (x )在区间[a ，b]上单调且f (a )>0，f (b )<0知f (x )在区间[a ，b]上单调递减；假设x 1>x 0，那么f (x 1)< f (x 0)，即0<0，矛盾，假设x 1<x 0，那么f (x 1) > f (x 0)，即0>0，矛盾，因此假设不成立，故y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.19．〔12分〕如下图，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设箱子的底边长为x cm ，那么箱子高h ＝60－x 2cm.箱子容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x32(0<x <60)．求V (x )的导数，得V ′(x )＝60x －32x 2＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝40.当x 在(0,60)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：x (0,40) 40 (40,60) V ′(x )＋－因此在x ＝40处，函数V (x )获得极大值，并且这个极大值就是函数V (x )的最大值．将x ＝40代入V (x )得最大容积V ＝402×60－402＝16 000(cm 3)．所以箱子底边长取40 cm 时，容积最大，最大容积为16 000 cm 3.20．〔12分〕设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解：当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]，得(1)1(2)21(2)1(1)12f g f ===-+-.当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得(1)(2)(3)(3)1f f g f +=-＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3.猜测g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n －1)]恒成立． (1)当n ＝2时，由上面计算知，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)，那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1) [ f (k ＋1)－1+1k ]－k ＝(k ＋1) [ f (k ＋1) -1]，故当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立．故存在函数g (n )＝n 使等式成立．21.〔12分〕假设函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)假设方程f (x )＝k 有3个不同的根，务实数k 的取值范围．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得(2)120,4(2)824.3f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩ 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或者x ＝－2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2(－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x)＋0 －0 ＋f (x )283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如下图．假设f (x )＝k 有3个不同的根，那么直线y ＝k 与函数f (x ) 的图象有3个交点，所以－43<k <283.22.〔12分〕设函数2()ln f x ax a x =--，其中x ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使11()xf x e x->-在区间〔1，+∞〕内恒成立〔e ＝2.71828…是自然对数的底数〕．制卷人：打自企；成别使；而都那。

广西南宁高新技术产业开发区桂鼎学校2021-2022学年高二下学期3月月考数学(理)试题

10．函数 f x x2 2x 4ln x 的单调递增区间为（）
A． 0,
B． 1,0 2,
C． (2, )
D． (1, 0)
x2, x 0,1,
e
11．设 f (x) {1 , x 1, e （其中
x
为自然对数的底数），则 f (x)dx 的值为
0
A． 4 3
B． 5 4
C．
6 5
f g
x x
,
因为
hx
f x g x
f x g x
h x ,故
h x 为奇函数.
又h' x
f xgx f xg' x
g2 x
.
故当 x 0 时, h' x 0 , h x 单调递增.
又 h3
f g
3 3
0
，所以 h x
在 , 0 上为增函数，且 h3
0，
当 x ,3 时， h x 0 ，此时 f(x)g(x)<0，
1 a 在验证 n 1 时，把当 n 1 代入，左端 =1 a a2 ．故选：C． 4．B 【详解】根据定积分的几何意义，
1
1
1
阴影部分的面积为 2x dx － 1dx 2x－1 dx .
0
0
0
故选 B. 5．A 【详解】试题分析：由 z 2 i 得 z 2 i ，所以 z z (2 i) (2 i) 5 ，故选 A. 考点：共轭复数；复数的运算.
1 a 算所得的式子是（）
A．1
B．1 a
4．图中阴影部分的面积用定积分表示为
C．1 a a2
D．1 a a2 a3
1
A． 2x dx
0

2021-2022学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题一、单选题1．小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（） A ．10种 B ．24种C ．36种D ．120种【答案】C【分析】根据给定条件，得用分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3种取法，由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有34336⨯⨯=种. 故选：C2．已知函数()f x 与()g x 的部分图像如图所示，则（）A ．()()101g f ''-<<-B ．()()11f g ''-<-C ．()()101f g ''-<<-D ．()()33f g ''>【答案】B【分析】利用导数的几何意义直接判断.【详解】由图可知，()f x 与()g x 在区间[]1,3-上单调递增，所以()10g '->，()10f '->.在区间[]1,3-上，()g x 的图像比()f x 的图像更陡峭，所以()()11f g ''-<-，()()33f g '<'.故选：B3．()52a a b -的展开式中33a b 的系数为（） A ．80B ．80-C ．40D ．40-【答案】B【分析】先求得()52a b -的展开式中23a b 的系数，即可得到()52a a b -的展开式中33a b 的系数【详解】因为()52a b -的展开式的通项公式为()515C 2rr rr T a b -+=- 令3r =，则展开式中23a b 的系数为()335C 280-=-，所以()52a a b -的展开式中33a b 的系数为80-. 故选：B4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（） A ．120个 B ．192个 C ．252个 D ．300个【答案】C【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.【详解】若这个偶数的个位数是0，则有3560A =个；若这个偶数的个位数不是0，则有112444192C C A =个.故满足条件的四位数中偶数的总个数为60192252+=；故选：C.5．若函数()()4220f x x mx x x =-+>为增函数，则m 的取值范围是（） A ．[)0,∞+ B ．[)4,-+∞C ．[)6,-+∞D ．[)8,-+∞【答案】D【分析】利用导函数去求m 的取值范围【详解】依题意可得，()33440f x x m x '=++≥，即3344m x x-+≤对()0,x ∈+∞恒成立.由0x >，得33448x x +=≥（当且仅当3344x x =，即1x =时，等号成立），所以8m -≤，即8m ≥-. 故选：D6．将7名志愿者分配到4个社区做垃圾分类宣传，每个社区至少分配1名至多分配2名志愿者，则志愿者的分配方法种数为（） A ．2520 B ．2640C ．4200D ．15120【答案】A【分析】先将7名志愿者分成4份，再全排列即可.【详解】依题意可得，4个社区志愿者分配的人数分别为1，2，2，2，故志愿者的分配方法种数为1222247644332520 C C C C A A =. 故选：A7．1224111x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为（） A ．512CB ．612CC ．513CD ．613C【答案】C【分析】先写出121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为1r T +，可得12411r T x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求出常数项对应的r 值，即可求出常数项【详解】121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为12122112121C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1222r -=或1224r -=，则=5r 或4r =，故所求常数项为455121213C C C +=，故选：C8．定义在()0,8上的函数()f x 的导函数为fx ，且()()2xf x f x '<，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24f x x <的解集为（）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】构造()()2f xg x x =并利用导数研究在()0,8上的单调性，再将不等式化为()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合单调性求解集.【详解】设()()2f xg x x =，08x <<，则()()()320xf x f x g x x '-'=<，则()g x 在()0,8上单调递减，由()24f x x <，得：()24f x x<，而21124212f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则182x <<．故不等式()24f x x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A9．关于()77x -的展开式，下列判断正确的是( ) A ．展开式共有8项B ．展开式的各二项式系数的和为128C ．展开式的第7项的二项式系数为49D ．展开式的各项系数的和为76【答案】ABD【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．【详解】展开式共有718+=项，故A 正确．展开式的各二项式系数的和为72128=，故B 正确．展开式的第7项的二项式系数为6177C C 7==，故C 错误．展开式的各项系数的和为()77716-=，故D 正确．故选：ABD ．10．生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（）A ．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法B ．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法C ．若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法D ．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法【答案】BCD【分析】对于A ，安排剩下的四种运动项目即可；对于B ，利用间接法可求解；对于C ，先排特殊的项目；对于D ，先排其他四项运动，再插空可求解.【详解】对于A ，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有4424A =种不同的安排方法，故A 不正确；对于B ，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为422644216A A A -=，故B 正确对于C ，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有234136A C =种不同的安排方法，故C 正确；对于D ，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有44A 种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有4245240A C =种不同的安排方法，故选：BCD11．将12支完全相同的圆珠笔分给4位小朋友.（）A ．若每位小朋友至少分得1支，则有411C 种分法 B ．若每位小朋友至少分得1支，则有311C 种分法C ．若每位小朋友至少分得2支，则有37C 种分法D ．若每位小朋友至少分得2支，则有38C 种分法【答案】BC【分析】利用隔板法求得每位小朋友至少分得1支的分法总数判断选项AB ；求得每位小朋友至少分得2支的分法总数判断选项CD.【详解】若每位小朋友至少分得1支，则由隔板法可得，不同的分法种数为311C . 则选项A 判断错误；选项B 判断正确；若每位小朋友至少分得2支，则每位小朋友可先各发1支，剩下8支，再由隔板法可得，不同的分法种数为37C .则选项C 判断正确；选项D 判断错误. 故选：BC 12．若()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆存在，则称()()0000,,lim f x x y f x y x∆→∞+∆-∆为二元函数(),z f x y =在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '.已知二元函数()()322,0,2f x y x x y y x y =-+>>-，()()434,40,2g x y x x y x y =-->>-，则（）A ．()1,11x f '-=B ．关于t 的函数()1,18x g '-=-C ．(),3x f t '的最小值为3-D ．关于t 的函数(),x g t t '有极小值【答案】BCD【分析】根据所给的定义分别得到()00,x f x y '、()00,x g x y '后就容易求解了.【详解】对于A 、C ，因为()322,f x y x x y y =-+，所以()()()00002000000,,,lim32x x f x x y f x y f x y x y x x∆→+∆-'==-∆，则()1,15x f '-=.因为()()22,336313x f t t t t '=-=--，所以当1t =时，(),3x f t '取得最小值，且最小值为3-. 故A 错误，C 正确..对于B 、D ，因为()434,4g x y x x y =--，所以()()()00003200000,,,lim412x x g x x y g x y g x y x x x∆→+∆-'==-∆，则()1,18x g '-=-. ()()32,4120x g t t t t t '=->，令()()324120g x x x x =->，()21224g x x x '=-.当02x <<时()0g x '<；当2x >时()0g x '>.所以()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以()g x 在2x =处取得极小值. 故B 、D 都正确. 故选：BCD 三、填空题13．若227C 9A n +=，则n =_________.【答案】6【分析】利用排列数公式和组合数公式去求n 的值【详解】因为2776993C 02⨯+=+=，所以()130n n -=，解得6n =或5n =-(舍去) 故答案为：614．甲、乙、丙、丁、戊等8人排成一排拍照，要求甲、乙、丙、丁四人排在一起，且戊排在两端，则不同的排法共有_________种. 【答案】1152【分析】捆绑法进行求解，再考虑让戊排在这7人的两端，得到不同的排法有44442A A 种. 【详解】先不考虑戊，安排其他7人，甲、乙、丙、丁四人要在一起，由捆绑法可得不同的排法种数为4444A A ，再考虑戊，可以让戊排在这7人的两端，故所求不同的排法种数为44442A A 1152=.故答案为：115215．如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为边长是6cm 的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为___________3cm .【答案】43π【分析】根据圆锥轴截面的形状以及长度，求得圆锥的底面半径、母线以及高，利用三角形相似，求得其内接圆柱体的高和半径的关系，【详解】因为圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，故可得圆锥的底面半径13r =，母线长6PN =，则圆锥的高133h =，根据题意，设该圆锥内接圆柱的底面半径为,(03)r r <<，高为h ，则由△1~O PM OPN 可得11O M O P ON OP =，即33333r h-，则333h r =，故该圆柱的体积()2233V r h r r ππ=⨯-，令()()23,(03)f r r r r =-<<，则'()f r ()32r r =-，则当()0,2r ∈时，'()f r 0>，()f r 单调递增；当()2,3x ∈时，'()f r 0<，()f r 单调递减，故()()max 24f r f ==，故圆柱体积的最大值为43π. 故答案为：43π. 四、双空题16．在等差数列{}n a 中，216a =，317a =，则n a =_________，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为_________.【答案】 14n +14+n275【分析】根据等差数列定义即可求公差的，根据等差数列通项公式即可求n a ，根据11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式的特征可采用裂项相消法求其前10项和．【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则17161d =-=， ∴()2214n a a n d n =+-=+． ∵()()1111114151415n n a a n n n n +==-++++， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为：111111112151616172425152575-+-++-=-=．故答案为：n +14；275．五、解答题 17．已知)66016xaa x a x=+++.(1)求0a ；(2)123628a a ++++；(3)求2a .【答案】(1)8 (2)8- (3)60【分析】（1）用赋值法，令0x =，即可求解；（2）用赋值法，令x （3）利用二项展开式的通项公式直接求解. 【详解】(1)令0x=，得608a==.(2)令x 02613280aa a ++++=，12360288a a a ++++=-=-.(3)因为()422222660a x C x x =-=，所以260a =.18．已知函数()32610f x x x =-+．(1)若曲线()y f x =切线的斜率为－9，求切点的坐标； (2)求()f x 在区间[]3,6-上的最大值与最小值．【答案】(1)切点的坐标为()1,5或()3,17- (2)最大值为10，最小值为－71【分析】（1）利用曲线的几何意义求解即可；（2）对函数求导，解导数不等式得到函数单调性，由单调性即可得到最值.【详解】(1)()2312f x x x '=-，曲线()y f x =切线的斜率为－9，由()9f x '=-，得1x =或3x =．当1x =时，()15f =，当3x =时，()317f =-，故切点的坐标为()1,5或()3,17-．(2)令()23120f x x x '=-=，得10x =，24x =令()0f x '<，得04x <<,函数单调递减，令()0f x '>，得0x <或4x >，函数单调递增，所以()f x 在[)3,0-，(]46，上单调递增，在()0,4上单调递减．因为()371f -=-，()()0610f f ==，()422f =-，所以()f x 在区间[]3,6-上的最大值为10，最小值为－71．19．在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且侧棱1AA 垂直于底面ABCD ，11124AA AD A D ===，O ，E 分别是AC 与1DD 的中点.(1)证明：OE ∥平面11BD A .(2)求1CC 与平面11BD A 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 的中点，证得1//OE BD ，结合线面平行的判定定理，即可证得//OE 平面11BD A ；（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得向量1(2,2,4)CC =--和平面11BD A 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】(1)证明：连接BD ，因为ABCD 为正方形，可得O 为BD 的中点，在1BDD 中，因为,O E 分别为1,BD DD 的中点，所以1//OE BD ，又因为OE ⊄平面11BD A ，且1BD ⊂平面11BD A ，所以//OE 平面11BD A .(2)解：因为1AA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以11,AA AB AA AD ⊥⊥，以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得111(0,0,0),(4,0,0),(0,0,4),(0,2,4),(4,4,0),(2,2,4)A B A D C C ，则1111(0,2,0),(4,0,4),(2,2,4)A D A B CC ==-=--，设平面11BD A 的法向量(,,)n x y z =，则11120440n A D y n A B x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，可得1,0x y ==，所以(1,0,1)n =，设1CC 与平面11BD A 所成的角为θ，则111sin cos ,2n CC n CC n CC θ⋅====⋅，即1CC 与平面11BD A20．①{}2nn a 为等差数列，且358a =；②21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等比数列，且234a =.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在数列{}n a 中，112a =，________. (1)求{}n a 的通项公式；(2)已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在，求p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)212n nn a -=； (2)存在，3p =，4q =，2r =﹒【分析】(1)若选①，则可根据等差数列性质求出{}2nn a 的公差d ，根据等差数列通项公式可求2nn a ，从而求得n a ；若选②，则可证明等比数列概念求出21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比，根据等比数列通项公式可求21n an -，从而求得n a ；(2)根据n a 通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前n 项和，将其化为n n r S p qa +=-形式即可得p 、q 、r 的值．【详解】(1)若选①：设等差数列{}2nn a 的公差为d ，则33122512312a a d --===-，∴()1222121nn a a n n =+-=-，即212n nn a -=．若选②：设等比数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比为q ，则2112212211a q a ⨯-==⨯-， ∴11112121122n nn a a n -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭，即212n n n a -=； (2)21321222n nn S -=+++， 231113212222n n n S +-=+++，则两式相减得，23111111212222222n nn n S +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ 12n S =111121214212212n n n ++⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--12n S =132322n n ++=-， ∴2332n nn S +=-． ∵()22221233343422n n n n n n S a +++-+=-=-⨯=-， ∴存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-，且3p =，4q =，2r =．21．已知函数()2ln f x x a x =-.(1)若()f x 在)+∞上有2个零点，求a 的取值范围； (2)证明：222ln e x x x x -->-. 【答案】(1)42e,ln 2⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）先分离出a ，利用导数确定函数的单调性，再运用数形结合的思想可求解；（2）将222ln ex x x x -->-转化为证明222ln e x x x x -->-，再分别求最值可求证. 【详解】(1)当)x ∞∈+时，ln 0x >，由()2ln 0f x x a x =-=，得2ln x a x=. 设函数()(2lnx g x x x=，则()()22ln 1'ln x x g x x-=. x ()'0g x <；当x >()'0g x >.所以()g x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以()min 2e g x g ==.因为4ln 2g=，且()f x 在)+∞上有2个零点. 所以a 的取值范围为42e,ln 2⎛⎤ ⎥⎝⎦. (2)证明：要证222ln e x x x x -->-，只需证222ln e x x x x -->-. 当2a =时，()22ln f x x x =-，则()222'x f x x-=. 当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()()11f x f ≥=，当且仅当1x =时，等号成立. 设函数()()2e0x h x x x -=->，则()2'1e x h x -=-.当02x <<时，()'0h x >；当2x >时，()'0h x <. 所以()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以()()21h x h =≤，当且仅当2x =时，等号成立.故()()f x g x ≥，因为12≠，所以等号取不到，所以()()f x g x >，即222ln e x x x x -->-，所以222ln e x x x x -->-.22．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，上顶点为P .直线PF 与椭圆T 交于另一点Q ，且7PF FQ =，点12E ⎫⎪⎭在椭圆T 上.(1)求椭圆T 的方程；(2)过点()0,2M ，且斜率为k 的直线l 与椭圆T 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A '，作MN A B '⊥，垂足为N .是否存在定点R ，使得NR 为定值？若存在，请求出定点R 和NR ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2214x y +=(2)存在，50,4R ⎛⎫⎪⎝⎭，34NR =【分析】（1）待定系数法去求椭圆T 的方程；（2）利用设而不求的方法求得'A B 恒过点10,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用直角三角形的性质找到定点R 并求得NR 的值.【详解】(1)由()0,P b ，(),0F c -，7PF FQ =，可得点Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2264114949c a +=，解之得c a =c =，12b a =又因为点12E ⎫⎪⎭在椭圆T 上，所以223114a b +=，则22311a a +=解之得2a =，则1b =，c =故椭圆T 的方程为2214x y +=.(2)由题可知直线l 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11',A x y -. 联立方程组22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224116120k x kx +++=.则()()22216484164480k k k ∆=-+=->，1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+. 直线'A B 的方程为()211121y y y y x x x x --=++，整理得()()12211221y y x x x y x y x y -++=+.()()()12211221121228222241kx y x y x kx x kx kx x x x k +=+++=++=-+. 令0x =，得12211212x y x y y x x +==+，所以'A B 恒过点10,2G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在Rt △MGN 中，存在定点50,4R ⎛⎫⎪⎝⎭为斜边MG 的中点，使得1324NR MG ==，为定值.。

四校八大名校卷上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题逐题详解

【3题答案】
Hale Waihona Puke 【答案】2【解析】【分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.
【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得，
故答案为：2.
4.已知定点，点在直线上运动，则、两点最短距离为__________.
【4题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据点到直线的距离求得两点间距离的最小值即可.
10.已知满足关系，则的取值范围是__________．
11.已知，动直线：过定点A，动直线：过定点，若直线与相交于点异于点A，，则周长的最大值为___________.
12. 圆：上存在点满足：到原点的距离与到直线：的距离之比为，则的取值范围为______．
【7题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】圆C：的半径为3，圆心坐标为：
设圆心到直线l：的距离为，
要想圆C上恰有四个点到直线l的距离都等于1，只需，
即，
所以 .
故答案为： .
8.圆关于直线对称的圆的方程为______．
【8题答案】
（2）若直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
19. 疫情期间，作为街道工作人员王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.