构造函数(含答案)

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山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案解析)

山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C ．．．有四个关于三角函数的命题：x ∈R,2sin 2x +2cos 2x =122p :∃x 、y ∈sin(x-y)=sinx-siny x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p :sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是1p ，4p B ．2p ，4p 1p ，3p ．已知21a =-，2e 2b =，1ln55c =，则（）a b c<<B ．c b a<<c a b<<二、多选题A ．()πsin 2cos 23A x x ωϕ⎛+=+ ⎝B ．函数()f x 的一个对称中心为三、填空题参考答案：【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为即()()2f x f x +-=-①，因为()1f x +为偶函数，所以()()()()112f x f x f x f x +=-+⇒=-，则()()2f x f x -=+②，由①②得()()22f x f x ++=-，()()242f x f x +++=-，所以()()4f x f x =+，,4为()f x 周期，对于C ，令()()()411g x f x f x =++=+，则()()()()11(12)g x f x f x f x g x +=+-=--=-=--，则()g x 为奇函数，C 正确；对于A ，令()()1h x f x =-，则()()()134()()()4h x f x f x h x h x h x -=--=--=--⇒-+=-，所以()()1h x f x =-不为奇函数，A 错误；对于B ，令()()21m x f x =+-，则()()()()2132324()m x f x f x f x m x -=-+-=---=--+=--，即()()4m x m x +-=-，所以()()21m x f x =+-不为奇函数，B 错误；对于D ，令()()31x f x ϕ=++，则()()()()311131()x f x f x f x x ϕϕ-=-++=--+=++=所以()()31x f x ϕ=++不为奇函数，D 错误；故选C.8．D【分析】函数()y f x =的图象关于x 轴对称的函数为()y f x =-，则函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x 轴对称，即函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，分别作出函数()y f x =-与()y g x =的图象，由图即可得解.【详解】对于A ，函数()2f x x =+的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=--，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以A 选项不符题意；对于B ，函数()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以B 选项不符题意；对于C ，函数()2f x x =-的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以C 选项不符题意；对于D ，函数()2x f x =的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，所以D 选项符合题意.故选：D.9．AC方程0()f x m -='有两个不同实根，即直线因此22e 2m --<<，B 正确；对于C ，由选项B 知，()0f x '>于是e x ∀≥，不等式((()f ax f x ≤则有e x ∀≥，(2)ln a x x ≤+，由选项因此()(e)2e g x g ≥=+，即2a ≤“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.。

《面向对象程序设计(Java)》机试题库(含答案)

《面向对象程序设计（Java）》机试题库（含答案）1．编写一个字符界面的Java Application 程序，接受用户从键盘输入的一个正整数，然后统计并输出从1到这个正整数的累加和。

2．编写一个字符界面的Java Application 程序，接受用户输入的10个整数，并输出这10个整数的最大值和最小值。

3．编写一个完整的Java Applet 程序使用复数类Complex验证两个复数1+2i 和3+4i 相加产生一个新的复数4+6i 。

复数类Complex必须满足如下要求：(1)复数类Complex 的属性有：RealPart : int型，代表复数的实数部分ImaginPart : int型，代表复数的虚数部分(2)复数类Complex 的方法有：Complex( ) : 构造函数，将复数的实部和虚部都置0Complex( int r , int i ) : 构造函数，形参r 为实部的初值，i为虚部的初值。

Complex complexAdd(Complex a) : 将当前复数对象与形参复数对象相加，所得的结果仍是一个复数值，返回给此方法的调用者。

String ToString( ) : 把当前复数对象的实部、虚部组合成a+bi 的字符串形式，其中a 和b 分别为实部和虚部的数据。

4．编写一个学生类Student ，要求：(1) 学生类Student 属性有：id : long型，代表学号name : String类对象，代表姓名age : int型，代表年龄sex : boolen型，代表性别（其中：true表示男，false表示女）phone : String类对象，代表联系电话(2) 学生类Student的方法有：Student(long i , String n , int a , boolean s , long p): 有参构造函数，形参表中的参数分别初始化学号、姓名、年龄、性别和联系电话。

高考数学构造函数试题(含答案)

构造函数一、考点一f(x)与f′(x)共存的不等式问题例题1.(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(1)=1，且对任意x∈R都有f′(x)<12，则不等式f xlg>lg x+12的解集为(0,10).(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(-3) =0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．【解析】(1)由题意构造函数g(x)=f(x)-12x，则g′(x)=f′(x)-12<0，所以g(x)在定义域内是减函数．因为f(1)=1，所以g(1)=f(1)-12=12，由f(lg x)>lg x+12，得f(lg x)-12lg x>12.即g(lg x)=f(lg x)-12lg x>12=g(1)，所以lg x<1，解得0<x<10.所以原不等式的解集为(0,10)．(2)借助导数的运算法则，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y=f(x)g(x)在(-∞，0)上单调递增．又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(-3,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．【答案】(1)(0,10)；(2)(-∞，-3)∪(0,3)[解题技法](1)对于不等式f′(x)+g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)+g(x)．(2)对于不等式f′(x)-g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)-g(x)．特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)g(x)．(4)对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f xg x(g(x)≠0)．例题2.(1)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x) >0成立的x的取值范围是(A)A.-∞,-1∪(0,1) B.(-1,0)∪1,+∞C.-∞,-1∪(-1,0) D.(0,1)∪1,+∞(2)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是(A)A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x【解析】(1)令g(x)=f xx，则g′(x)=xf′x -f xx2.由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，+∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(-1)=0，∴f(1)=-f(-1)=0，∴g(1)=f(1)=0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x ∈(1，+∞)时，g (x )<0，从而f (x )<0.又∵f (x )是奇函数，∴当x ∈(-∞，-1)时，f (x )>0；当x ∈(-1,0)时，f (x )<0.综上，所求x 的取值范围是(-∞，-1)∪(0,1)．(2)令g (x )=x 2f (x )-14x 4，则g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )-x 3=x [2f (x )+xf ′(x )-x 2]．g 0 =0.当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )-14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )-14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x =0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0.综上可知，f (x )>0.【答案】(1)A ；(2)A[解题技法](1)对于xf ′(x )+nf (x )>0型，构造F (x )=x n f (x )，则F ′(x )=x n -1[xf ′(x )+nf (x )](注意对x n -1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf ′(x )+f (x )>0，构造F (x )=xf (x )，则F ′(x )=xf ′(x )+f (x )>0.(2)对于xf ′(x )-nf (x )>0(x ≠0)型，构造F (x )=f x x n ，则F ′(x )=xf ′x -nf xx n ＋1(注意对x n +1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf ′(x )-f (x )>0，构造F (x )=f x x ，则F ′(x )=xf ′x -f xx 2>0例题3.(1)已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有(D )A.e 2019f (-2019)<f (0)，f (2019)>e 2019f (0)B.e 2019f (-2019)<f (0)，f (2019)<e 2019f (0)C.e 2019f (-2019)>f (0)，f (2019)>e 2019f (0)D.e 2019f (-2019)>f (0)，f (2019)<e 2019f (0)(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+2f ′(x )>0恒成立，且f (2)=1e(e 为自然对数的底数)，则不等式e x f (x )-e x2>0的解集为(2，+∞)．【解析】(1)构造函数h (x )=f x e x ，则h ′(x )=f ′x -f xe x<0，即h (x )在R 上单调递减，故h (-2019)>h (0)，即f -2019 e －2019>f 0e⇒e 2019f (-2019)>f (0)；同理，h (2019)<h (0)，即f (2019)<e 2019f (0)，故选D .(2)由f (x )+2f ′(x )>0得212f x +f ′x>0，可构造函数h (x )=e x2f (x )，则h ′(x )=12e x2[f (x )+2f ′(x )]>0，所以函数h (x )=e x2f (x )在R 上单调递增，且h (2)=ef (2)=1.不等式e x f (x )-e x2>0等价于e x2f (x )>1，即h (x )>h (2)⇒x >2，所以不等式e xf (x )-e x2>0的解集为(2，+∞)．【答案】(1)D ；(2)(2，+∞)[解题技法](1)对于不等式f 'x +f x >0(或<0)，构造函数F (x )=e x f (x )(2)对于不等式f 'x -f x >0(或<0)，构造函数F (x )=f (x )e x(3)对于不等式nf 'x +f x >0(或<0)，构造函数F (x )=e xn f (x )(4)对于不等式nf'x -f x >0(或<0)，构造函数F(x)=f x e x n(5)对于不等式f'x +nf x >0(或<0)，构造函数F(x)=e nx f(x)(6)对于不等式f'x -nf x >0(或<0)，构造函数F(x)=f x e nx1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立，则(A) A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3) C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)【答案】A【解析】根据题意，令g(x)=x2f(x)，其导函数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，又对任意的x>0都有2f(x)+ xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，+∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(-x)=f(x)，则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g (x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(-2)=g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(-2)<g(3)，即有4f(-2)<9f(3)．2.f(x)在0,+∞上的导函数为f′(x)，xf′(x)>2f(x)，则下列不等式成立的是(A) A.20182f(2019)>20192f(2018) B.20182f(2019)<20192f(2018)C.2018f(2019)>2019f(2018)D.2018f(2019)<2019f(2018)【答案】A【解析】令g(x)=f xx2，x∈(0，+∞)，则g′(x)=x2f′x -2xf xx4=xf′x -2f xx3>0，则g(x)在(0，+∞)上为增函数，即f201920192>f201820182，∴20182f(2019)>20192f(2018)。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．12201x dx -=⎰（）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-4．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 16．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（） A ．52 B ．4 C ．2 D ．927．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．508．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（）A ．1B ．2C ．3D ．49．20sin xdx π=⎰（）A ．4B ．2C ．-2D ．010．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（） A ．1a 或0a <D ．01a <<或0a <12．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．()222sin 4x x dx -+-=⎰______.14．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 17．2222(sin 4)x x x dx -+-⎰=______．18．()1||214x ex dx -+-=⎰__________________19．二项式33()a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知函数1ln(1)()x f x x++=（1）求函数的定义域；（2）判定函数()f x 在(1,0)-的单调性，并证明你的结论；（3）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值. 22．计算下列定积分. （1）1211e dx x +-⎰；（2）342x dx -+⎰.23．如图：求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2， y ＝e －1所围成的平面图形面积.24．已知函数1()ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞．（1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的单调递增区间． 25．已知函数()22()x f x e x x R =-+∈．（1）求()f x 的最小值；（2）求证：x ＞0时，221x e x x >-+． 26．计算下列各式的值．（1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）2132d x x x +-⎰．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.4．A解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.5．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.6．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。

长治市必修一第四单元《函数应用》测试(含答案解析)

一、选择题1．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞2．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是（） A ．[)[)1,23,-+∞ B ．[)[)1,23,+∞C ．[)()1,22,⋃+∞D ．[)1,+∞3．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x R f x α∈∈=，(){}0x R g x β∈∈=，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（） A ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．[]2,44．设函数3,()log ,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩()0a >，若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a的取值范围是（） A ．. ()0,2B ．()0,9C ．()9,+∞D ．()()0,29,⋃+∞5．函数()32xy x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞7．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y =lnxB ．21y x =+C ．y =sinxD ．y =cosx9．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B 元，则（）． A ．A B D ．A ，B 大小不确定10．已知函数()21xf x x =++，()2log 1g x x x =++，()2log 1h x x =-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<11．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈）（）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年12．若函数()22f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．01a <≤B ．10a -<<C ．0a =或1a >D ．01a <<二、填空题13．已知函数()()()[)21,,12,1,x x x f x x ⎧+∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，当123x x x <<时，有()()()123f x f x f x ==成立，则()()123x x f x +⋅的取值范围是________．14．已知函数227,03()1108,333x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()y f x =的图象与y m =的图象有A ，B ，C ，D 四个不同的交点，交点横坐标为1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233222x x x x --++的取值范围是________15．函数()11f x x =-，()g x kx = ，若方程()()f x g x =有3个不等的实数根，则实数k 的取值范围为________.16．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：()1271012019130.520x x f x x x ，＜，＜-⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有______．（注：请写出所有正确结论的序号）17．已知函数()2log ,02sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.18．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()3f x x x =+.若函数()()th x f x x=-在[)(]4,00,4-⋃上有4个不同的零点，则实数t的取值范围是_____________.19．用符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]0.60=；[]2.32=；[]55=.设函数()()()()2222ln 22ln 2f x ax x ax x =-+-有三个零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<且[][][]1233x x x ++=，则a 的取值范围是_____________.20．若函数()231f x x x a x =+--恰有4个零点，则实数a 的取值范围为______.三、解答题21．已知函数()11f x x=-，实数a 、b 满足a b <．（1）在下面平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若函数在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求+a b 的值；（3）若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，求实数m 的取值范围． 22．如图，电路中电源的电动势为E ，内电阻为r ，1R 为固定电阻，2R 是一个滑动变阻器.其中电功率与外电阻2R 满足关系式2212()EP R r R R =++.（1）若 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω，求 5.625P W =时的滑动电阻值2R . （2）当2R 调至何值时，消耗的电功率P 最大？最大电功率是多少？23．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1km + (k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？24．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？25．已知函数()91xf x =-，()31xg x a =-.（1）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当R x ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a >时，求函数()()()x f x g x ϕ=+在区间[]1,1-上的最值. 26．已知函数22,01,()ln ,1x x f x x x e-≤<⎧=⎨≤≤⎩，其中e 为自然对数的底数．（1）求(f f 的值；（2）作出函数()()1F x f x =-的图象，并指出单调递减区间(无需证明) ；（3）若实数0x 满足00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的二阶不动点，求函数()f x 的二阶不动点的个数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数k 的取值范围. 【详解】设3x t =，则0t >，则方程923310x x k -⋅+-=有两个实根可转化为方程22310t t k -+-=有两个正根，则利用判别式和韦达定理得()()22431020310k k ⎧∆=---≥⎪>⎨⎪->⎩，解得：1233k <≤；所以实数k 的取值范围为12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】分别求出函数223y x x =--和()ln 1y x =-的零点，然后作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象，结合函数()f x 恰有两个零点，可得出实数λ的取值范围. 【详解】解方程2230x x --=，解得11x =-，23x =，解方程()ln 10x -=，解得2x =.作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象如下图所示：要使得函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则12λ-≤<或3λ≥.因此，实数λ的取值范围是[)[)1,23,-+∞.故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．C解析：C 【分析】先求得函数()f x 的零点为1x =，进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】由题意，函数()12x f x ex -=+-单调递增，且()10f =，所以函数()f x 的零点为1x =，设()23g x x ax a =--+的零点为β，则11β-≤，则02β≤≤，由于()23g x x ax a =--+必过点()1,4A -，故要使其零点在区间[]0,2上，则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩，即()()3730a a -+-≤或()230370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪⎨--+≥⎪⎪≤≤⎪⎩，所以23a ≤≤，故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.4．D解析：D 【分析】函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，数形结合即可求出a 的取值范围. 【详解】令2x =可得12x =-，22x =；令3log 2x =得39x =函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，作3,()log ,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩()0a >图象如图：当02a <<时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，交点横坐标为12x =-，39x =，符合题意；当29a ≤≤时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有3个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，39x =，不符合题意；当9a >时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有2个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，不符合题意；所以a 的取值范围是：()()0,29,⋃+∞，故选：D 【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数的范围，函数的零点转化为对应方程的根，转化为函数图象的交点，属于中档题.5．B解析：B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数()32xy x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+，令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee-=-==，函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e. 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.7．C解析：C 【分析】由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8xf x x x=∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根，即1ln 2x m x=在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8x f x x x =∈，则()21ln xf x x -'=，当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增，所以当x e =时，函数()f x 取得最大值1e，且()ln83ln 2888f ==，所以3ln 2182m e ≤<，解得3ln 224m e≤<，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为1ln 2x m x =在(]0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x f x x =的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.8．D解析：D 【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错；选项D ：cos y x =是偶函数，且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.9．C解析：C 【解析】设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x ，y 元，则284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，2A x =，3B y =，两式分别乘以22，8，整理得12180x y ->，即230x y ->，所以A B >．故选C ．10．A解析：A 【解析】令函数()210xf x x =++=，可得0x <，即0a <，令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.11．C解析：C 【分析】由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案. 【详解】若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>，所以0.050.19n ⨯>，得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.12．D解析：D 【分析】令0f x，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的图象有4个交点，可求出实数a 的取值范围. 【详解】令0f x，则22x x a -=，构造函数()22g x x x =-，作出()g x 的图象，如下图，()g x 在()0,2上的最大值为()1121g =-=，当01a <<时，直线y a =与()g x 的图象有4个交点，所以函数()f x 有4个零点，实数a 的取值范围为01a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由函数解析式得到函数图象根据已知条件结合图象知即可求的取值范围【详解】由解析式可得如下图象：如图知：当时有成立则且即∴故答案为：【点睛】关键点点睛：由函数解析式画出函数图象由已知条件知的范围解析：(]8,4--【分析】由函数解析式得到函数图象，根据已知条件结合图象知()()()123[2,4)f x f x f x ==∈，1212x x +=-，即可求()()123x x f x +⋅的取值范围. 【详解】由解析式可得如下图象：如图知：123,,x x x R ∃∈，当123x x x <<时，有()()()123f x f x f x ==成立，则()()()123[2,4)f x f x f x ==∈，且1212x x +=-，即122x x +=-， ∴()()123(8,4]x x f x +⋅∈--，故答案为：(]8,4--. 【点睛】关键点点睛：由函数解析式画出函数图象，由已知条件知()3f x 的范围以及()12x x +的值，进而求出对应函数式的范围.14．【分析】根据题意得进而得由于故的取值范围是【详解】解：如图根据题意得满足：即关于直线对称故所以所以由于所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合应用考查数形结合思想与运算求解能力是中档题本题解析：(15,22)【分析】根据题意得122214x x +=，3410x x +=，进而得()()2334312103321142222x x x x x x -+---=+++，由于()33,4x ∈，故()()341233222x x x x --++的取值范围是(15,22).【详解】解：如图，根据题意得12,x x 满足：1227270x x -+-=，即122214x x +=.34,x x 关于直线5x =对称，故3410x x +=，所以4310x x =-，()33,4x ∈所以()()()()23343331210333721141422222x x x x x x x x --+----=+=+++，由于()33,4x ∈，()()3232321540,031x x x -=--+∈-+，所以()233120121,8x x --+∈所以()()()()()233433312103337211414215,222222x x x x x x x x -+-----++=+=+∈故答案为：(15,22) 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合思想与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意作图得122214x x +=，3410x x +=，()33,4x ∈，故将问题转化为求2331102142x x -+-+，()33,4x ∈的值域问题.15．【分析】作出函数的图象及与函数的图象求出相切时的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象即当与相切时方程有3个不等的实数根两函数图象有3个交点由图可知时符合题意故答案为：【点睛】利用数形结合思想作出解析：4k >【分析】作出函数()11f x x =-的图象及与函数()g x kx =的图象，求出相切时k 的值即可得答案；【详解】分别作出函数的图象，即21101kx kx kx x -=⇒-+=- 当()g x kx =与()11f x x =-相切时， 24040k k k k ⎧∆=-=⇒=⎨≠⎩，, 方程()()f x g x =有3个不等的实数根，∴两函数图象有3个交点，由图可知4k >时符合题意，故答案为：4k >.【点睛】利用数形结合思想，作出两函数的图象，首先找到临界位置，即相切位置.16．①②【分析】由分段函数可得函数的单调性可判断①；由的值可判断②；由的值可判断③【详解】可得随着的增加而减少故①正确；当时9天后小菲的单词记忆保持量低于故②正确；故③错误故答案为①②【点睛】本题考查分解析：①② 【分析】由分段函数可得函数的单调性，可判断①；由()9f 的值可判断②；由()26f 的值可判断③．【详解】()1271012019130.520x xf x x x ，＜，＜-⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+≤⎪⎩，可得()f x 随着x 的增加而减少，故①正确；当130x <≤时，()1219520f x x -+=，()1219990.35520f -=+⋅=，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；()1219126265205f -=+⋅>，故③错误，故答案为①②．【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性和函数的取值范围的求法，考查判断能力和运算能力，属于基础题．17．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】函数()2log ,02sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k ====，则()0,1k ∈，因为1234x x x x <<<，3x 与4x 关于6x =对称，则2122log log x x =，3412x x +=，且4810x <<，去绝对值化简可得2122log log x x -=，即2122log log 0x x +=，由对数运算可得()212log 0x x ⋅= 所以121x x ⋅=，则()()()3434343412222420x x x xx x x x x x --=-=++-()23444442012201220x x x x x x =-=--=-+-，令21220y x x =-+-，()8,10x ∈，因为21220y x x =-+-是开口向下，对称轴为6x =的二次函数，所以21220y x x =-+-在()8,10x ∈上单调递减，所以10012020649620y -+-<<-+-，即012y <<；即()()()34244122212200,12x x x xx x --=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.18．【分析】推导出函数的周期和对称轴方程并作出函数在上的图象数形结合可得出关于的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】由得：所以函数的周期为由得所以函数关于直线对称所以函数在上单调递增在上的图象如下：函解析：()6,2-【分析】推导出函数()y f x =的周期和对称轴方程，并作出函数()y f x =在[]4,4-上的图象，数形结合可得出关于t 的不等式，进而可求得实数t 的取值范围. 【详解】由()()()()2f x f x f x f x ⎧-=+⎪⎨-=-⎪⎩得：()()4f x f x +=，所以，函数()y f x =的周期为4，由()()2f x f x -=+得()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =关于直线1x =对称，()3f x x x =+，[]0,1x ∈，()2310f x x '=+>，所以，函数()y f x =在[]0,1x ∈上单调递增，()y f x =在[]4,4x ∈-上的图象如下：函数()()t h x f x x =-的零点，即()y f x =与()tg x x=的图象的交点. ①当0t >时，要有四个交点，则需满足()()11g f <，即2t <，此时02t <<； ②当0t <时，要有四个交点，则需满足()()33g f >，即23t>-，即60t -<<； ③当0t =时，()0g x =，即()y f x =在[)(]4,00,4-⋃上的零点，有4个，分别是4x =-、2-、2、4，满足题意.综上：()6,2t ∈-. 故答案为：()6,2-. 【点睛】本题利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.19．【分析】由题意可知得；令可知单调递增区间为单调递减为作出的草图由图可知所以而所以即可得由此即可求出结果【详解】因为所以①或②由①得由②得令则所以当时单调递增时单调递减事实上当时当时由图显然所以而所以解析：2ln 2,ln 69⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】由题意可知()()()21ln 22ln 20f x x ax x =-+=，得22ln 2x a x -=；令()22ln 2xg x x =，可知()g x 单调递增区间为e ⎛ ⎝⎭，()g x 单调递减为e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，作出()g x 的草图，由图可知()10,1x ∈，()21,22ex =∈，所以[]10x =，[]21x =，而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈，可得()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，由此即可求出结果.【详解】因为()()()2222ln 22ln 22ln 21ln 22ln 21ln 2f x ax ax x x x ax x x x =-+-=-+-()()21ln 22ln 20x ax x =-+=，0x >，所以1ln 20x -=①或22ln 20ax x +=②. 由①得2e x =，由②得22ln 2x a x -=. 令()22ln 2x g x x =，则()()3212ln 20x g x x -'==，所以ex =. 当0,2e x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减.事实上，当102x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >. 由图显然()10,1x ∈，()21,22ex =∈，所以[]10x =，[]21x =，而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈.所以()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，即2ln 4,42ln 6,9a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得2ln 6ln 29a -≤<-. 故答案为：2ln 2,ln 69⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题.20．【分析】函数恰有四个不同的零点即方程恰有四个互异的实数根即可判断从而或原方程恰有四个不同的实数根当且仅当两个方程各有两个不同的实数根列出不等式组解得即可；【详解】解：函数恰有四个不同的零点即方程恰有解析：()()0,19,⋃+∞【分析】函数2()|3||1|f x x x a x =+--恰有四个不同的零点，即方程2|3||1|x x a x +=-恰有四个互异的实数根，即可判断0a >，从而()231x x a x +=-或()231x x a x +=--，原方程恰有四个不同的实数根，当且仅当两个方程各有两个不同的实数根，列出不等式组解得即可；【详解】解：函数2()|3||1|f x x x a x =+--恰有四个不同的零点，即方程2|3||1|x x a x +=-恰有四个互异的实数根，显然0a >，否则若0a =方程只有两个实数根0和3-，若0a <时，方程无解；因此()231x x a x +=-，所以()231x x a x +=-或()231x x a x +=--，原方程恰有四个不同的实数根，当且仅当两个方程各有两个不同的实数根，即2122010901090a a a a a >⎧⎪∆=-+>⎨⎪∆=++>⎩，解得01a <<或9a >，即()()0,19,a ∈+∞故答案为：()()0,19,⋃+∞．【点睛】本题考查函数方程思想，转化化归思想，属于中档题.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）1；（3）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，进而可作出函数()f x 的图象；（2）分别解方程()13f x =和()3f x =，结合图象可得出a 、b 的值，进而可求得结果；（3）由题意可知函数()f x 在区间[],a b 上单调递增，分析得出方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得()(]()() 11,0,11111,,01,xxf xxxx⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈-∞⋃+∞⎪⎩，则由图形变换可画出函数图象，如图：（2）当()13f x=时，此时1113x-=，解得32x=或34x=；当()3f x=时，此时113x-=，解得12x=-或14x=.由（1）中的图象可知，若使得函数()f x在区间[],a b上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则[](),0,a b⊆+∞，由图象可得1344a b==，，所以1a b+=；（3）因为函数()f x的定义域是[],a b，值域是[](),0ma mb m>，分以下几种情况讨论：①若0a b<<，则0ma mb<<，由图象可知，函数()f x在[],a b上单调递增，函数()f x在[],a b上的值域为()(),f a f b⎡⎤⎣⎦，由图象可知()()f af b⎧>⎪⎨>⎪⎩，不合乎题意；②若01a b<<<，则函数()f x在[],a b上单调递减，所以函数()11f xx=-在[],a b上的值域为()(),f b f a⎡⎤⎣⎦，则()()1111f b mabf a mba⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，上述两个等式相减得1mab=，将1mab=代入11mab-=可得10，矛盾；③若01a b <<≤，则[]0,ma mb ∈，而0ma >，0mb >，矛盾； ④若1b a >≥，函数()f x 在[],a b 上单调递增，又函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()f a ma fb mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ma a mbb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则a 、b 为方程11mx x-=的两个根，即210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等实根，可设()21g x mx x =-+，则有()14010112m g m m⎧⎪∆=->⎪=≥⎨⎪⎪>⎩，解得104m <<，所以实数m 的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解.22．（1）0.9或2.5；（2）当2R 调至1R r +时，消耗的电功率P 最大，最大电功率是2144E R r+.【分析】（1）代入数据，解方程可得答案；（2）由已知得221212()2()E P R r R R r R =++++，再利用基本不等式可得最值．【详解】（1）当 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω， 5.625P W =时，22222222456()2068450(109)(25)01812R R R R R R =⇒-+=⇒--=++，解得290.910R ==，或252.52R ==故2R 的值为0.9或2.5.（2）由题意，120,0,0,0E r R R >>>>，于是222222221122211212()()2()()2()E R E E P R R r r R R R R R r R r R R r R ===++++++++++2221112()2()44E E R r R r R r ==++++，当且仅当2122()R r R R +=，即21R R r =+时，等号成立.也就是说，当外电路的电阻等于内电阻时电源的输出功率最大；将电阻1R 与电源等效成等效电源考虑求解. 【点睛】关键点点睛：解决函数模型的应用问题时，关键在于将生活中的数据转化到函数模型中的数据，注意数据所满足的实际的意义．23．（1）y ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．. 【分析】（1）根据0,1m x ==(万件)求出2k =，求出每件产品的销售价格，则可得利润关于m 的函数；（2）利用基本不等式可求得最大值. 【详解】(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－21m + (m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×816xx + (元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×816xx+－8－16x －m ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，161m +＋(m ＋8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当161m +＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方24．（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【分析】（1）设项目获利为S ，根据二次函数知识可知，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000；（2）根据题意可知，[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，分段求出最小值，比较可得答案. 【详解】（1）当[]200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()2221112002008000040080000400222S x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=-- ⎪⎝⎭，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240，当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x =时等号成立，即400x =时，yx取得最小值200， ∵200240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）(1,2)(2,)⋃+∞；（2）(,2]-∞-；（3）最大值为28a +，最小值为0 【分析】（1）由()()3131xxh x a =-⋅+-，易知0x =是函数()h x 的一个零点，可知31=-x a ()0x ≠有解，进而可求出a 的范围；（2）原不等式可化为()()313131+-≥-xxxa ，分0x =，0x >和0x <两种情况，分别讨论，可求出实数a 的取值范围；（3）()9131=-+-xxx a ϕ，当01x ≤≤时，令3(13)xt t =≤≤，可将()ϕx 转化为二次函数，可求出最大值与最小值；当10x -≤<时，令1313xk k ⎛⎫=≤<⎪⎝⎭，可将()ϕx 转化为二次函数，进而可求()ϕx 的取值范围，综合两种情况，可求得()ϕx 的最大值与最小值. 【详解】（1）由()()()()3131313131=+---=-⋅+-xxx xxh x a a ，由(0)0h =，可知0x =是函数()h x 的一个零点，若函数()f x 有两个零点，只需要31=-x a （0x ≠）有解，因为30x >，所以1011a a ->⎧⎨-≠⎩，可得1a >且2a ≠.故若函数()h x 有两个零点，则实数a 的取值范围为(1,2)(2,)⋃+∞.（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，有9131-≥-x xa ，可化为()()313131+-≥-xx x a .①当0x =时，显然原不等式恒成立；②当0x >时，31x >，原不等式可化为31+≥x a ，因为312x +>，所以2a ≤；③当0x <时，031x <<，原不等式可化为31--≥x a ，因为2311x -<--<-，所以2a ≤-.由上知，当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为(,2]-∞-. （3）()9131=-+-xxx a ϕ，①当01x ≤≤时，令3(13)x t t =≤≤，则()ϕx 可化为()221(1)1y t a t t at a =-+-=+--，令2()1=+--t t at a μ(13)t ≤≤，二次函数()t μ的对称轴为2a t =-，故()t μ在区间[1,3]上单调递增，可得()ϕx 的最小值为(1)110a a μ=+--=，()ϕx 的最大值为(3)93128a a a μ=+--=+； ②当10x -≤<时，令1313xk k ⎛⎫=≤<⎪⎝⎭，则()ϕx 可化为()221(1)1y k a k k ak a =--+-=--++，令21()113k k ak a k σ⎛⎫=--++≤< ⎪⎝⎭，二次函数()k σ的对称轴为02=-<a k ，故函数()k σ在区间1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，由211128()133339a a a σ⎛⎫=--++=+ ⎪⎝⎭，(1)110a a σ=--++=，得280()39k a σ<≤+. 因为282839+>+a a ，所以函数()ϕx 在[1,1]-上的最大值为28a +，最小值为0．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.26．（1）(1f f =；（2）图象见解析，递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）3【分析】（1）分段函数求值，根据x 的范围代入即可；（2）画出函数图象，结合图象求出函数单调性；（3）写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数【详解】解：（11>，所以12f ==，所以1(()12f f f ==．（2）()|()1|F x f x =-，所以函数图象如下所示：递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）根据题意，012x，(())(22)f f x ln x =-，当112x <<，(())42f f x x =-，当1x e ，(())22f f x lnx =-，当012x时，由(())(22)f f x ln x x =-=，记()(22)g x ln x x =--，则()g x 在1[0,]2上单调递减，且(0)20g ln =>，11()022g =-<，故()g x 在1[0,]2上有唯一零点1x ，即函数()f x 在1[0,]2上有唯一的二阶不动点1x ．当112x <<时，由(())42f f x x x =-=，得到方程的根为223x =，即函数()f x 在1(,1)2上有唯一的二阶不动点223x =．当1x e 时，由(())22f f x lnx x =-=，记()22h x lnx x =--，则()h x 在[1，]e 上单调递减，且()110h =>， ()0h e e =-<，故()h x 在[1，]e 上有唯一零点3x ，即函数()f x 在[1，]e 上有唯一的二阶不动点3x ．综上所述，函数()f x 的二阶不动点有3个．【点睛】（1）这是分段函数求值，基础题；（2）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（3）这道题难点是要写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数，一定注意x 的范围．。

人工智能单选练习题库含参考答案

人工智能单选练习题库含参考答案一、单选题（共100题，每题1分，共100分）1、人工智能诞生在1955年，50年代末第一款神经网络-（）将人工智能推向了第一个高潮。

A、感知机B、无人机C、费曼机D、机器人正确答案：A2、GooLeNet中使用较多小tricks，其中全局平局池化GAP就是一个，使用GAP的优点是（）A、加速模型收敛B、提供更好的分类C、增加网络深度D、减少参数量，实现任意大小的输入正确答案：D3、学习器的实际预测输出与样本的真实输出之间的差异称为(___)。

A、误差B、精度C、查准率D、错误率正确答案：A4、华为的芯片支持 HUAWEI HiAI 的哪一个模块?A、HiAI FrameworkB、HiAI ServiceC、HiAI FoundationD、HiAI Engine正确答案：C5、有统计显示，在未来，非结构化数据的占比将达到（）以上。

A、$0.90B、0.8C、0.6D、0.7正确答案：A6、我国人工智能的发展战略是（）。

A、12320工业互联B、“1438”战略C、新一代人工智能发展规划D、国家制造创新正确答案：C7、()就是指分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况A、类别不相同B、类别不对等C、类别不平衡D、类别数不同正确答案：C8、以下哪个关键字是与 try 语句一起使用来处理异常的？A、&catch(a)&B、catch&C、&exception&D、&except正确答案：D9、深度学习中的“深度”是指()A、计算机对问题的处理更加灵活B、中间神经元网络的层次很多C、计算机的求解更加精准D、计算机理解的深度正确答案：B10、增强现实领域（AR）大量应用了（）,典型的就是微软的HoLolens。

A、计算机视觉B、语音识别C、图像处理D、虚拟现实技术正确答案：A11、DBSCAN在最坏情况下的时间复杂度是（）A、O(m2)B、O(m*logm)C、O(logm)D、O(m)正确答案：A12、多义现象可以被定义为在文本对象中一个单词或短语的多种含义共存。

高二数学构造函数(导数单调性)含答案

一、选择题1.已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)<g′(x)，则下列关系式中正确的是()A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)C．f(x)≥g(x)D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)2.已知函数f(x)定义在R上，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式f(x)<＋的解集为()A． {x|x<－1}B． {x|x>1}C． {x|x<－1或x>1}D． {x|－1<x<1}3.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有()A．bf(b)≤af(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤bf(b)D．af(b)≤bf(a)4.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)，则f(2 015)与f(2 013)e2的大小关系为()A．f(2 015)<f(2 013)e2B．f(2 015)＝f(2 013)e2C．f(2 015)>f(2 013)e2D．不能确定5.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A． (0,1)B． (－1,0)∪(0,1)C． (1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)6.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A． (－∞，－1)∪(0,1)B． (－1,0)∪(1，＋∞)C． (－∞，－1)∪(－1,0)D． (0,1)∪(1，＋∞)7.已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则()A．f(2)<e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)>e2f(0)8.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R)，则不等式f(x)<x＋1的解集为()A． (1，＋∞)B． (－∞，－1)C． (－1,1)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)9.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A． (－1,1)B． (－1，＋∞)C． (－∞，－1)D． (－∞，＋∞)10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A． (－3,0)∪(3，＋∞)B． (－3,0)∪(0,3)C． (－∞，－3)∪(3，＋∞)D． (－∞，－3)∪(0,3)11.设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)12.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 017，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2 013的解集为()A． (－2,2)B． (－2，＋∞)C． (－∞，－2)D． (－∞，＋∞)13.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)14.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2e x的解集为()A． (－∞，0)B． (－∞，2)C． (0，＋∞)D． (2，＋∞)15.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)<f(－x)成立(其中)f(log2)，则a，b，c的大小关系是()f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝f()，b＝f(1)，c＝(logA．c>a>bB．c>b>aC．a>b>cD．a>c>b16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝－1，且当x>0时，有xf′(x)>f(x)，则不等式f(x)>x的解集是()A． (－1,0)B． (1，＋∞)C． (－1,0)∪(1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)17.已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f(1)，b ＝－2f(－2)，c＝(ln)f(ln)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a<c<bB．b<c<aC．a<b<cD．c<a<b18.已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)·tan x恒成立，则()A．f()<f()B．f()>f()C．f()>f()D．f(1)<2f()·sin 119.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式f(x)>0的解集是()A． (－1,0)∪(1，＋∞)B． (－1,0)∪(0,1)C． (－∞，－1)∪(1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(0,1)20.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<e x的解集为()A． (－2，＋∞)B． (0，＋∞)C． (1，＋∞)D． (4，＋∞)21.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 013，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2 009的解集为()A． (－2,2)B． (－2，＋∞)C． (－∞，－2)D． (－∞，＋∞)22.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝axg(x)，＋＝，则等于()A．a2B．C． 9D．23.定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足>－x，则下列不等式成立的是()A． 3f(2)<2f(3)B． 3f(3)>4f(4)C． 3f(4)<4f(3)D．f(2)<2f(1)24.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f()，b＝－2f(－2)，c＝ln 2f(ln 2)，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．b>c>a25.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)＝(a>0，且a≠1)；②g(x)≠0；③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)．若＋＝，则a等于()A．B．C． 2D． 2或26.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)＝5，对任意实数x都有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x＋2的解集为()A． (－∞，0)B． (0，＋∞)C． (－∞，1)D． (1，＋∞)二、填空题27.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其中f(1)＝0，且当x>0时，有>0，则不等式f(x)>0的解集是________．28.已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0，a＝20.1·f(20.1)，b＝(ln 2)·f(ln 2)，c＝(log 2)·f(log2)，则a，b，c的大小关系是________．29.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≥0，对任意正数m，n，若m≥n，则mf(n)与nf(m)的大小关系是mf(n)________nf(m)(请用≤，≥或＝)30.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x＋4的解集为________．31.定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为________．32.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)＋xf′(x)>0，则不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0的解集是________．33.已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式f(x)>f(0)e x的解集是________．34.设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，当0<x<π时，f′(x)cos x－sin xf(x)>0，则不等式f(x)cos x<0的解集为________．35.已知函数y＝f(x)，对于任意的x∈[0，)满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式中成立的有________．①f()<f()；②f()<f()；③f(0)<f()；④f()<f()．三、解答题答案解析1.【答案】B【解析】据题意，由f′(x)<g′(x)得f′(x)－g′(x)<0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得：f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．2.【答案】B【解析】f(x)<＋，∴f(x)－<，令g(x)＝f(x)－，g(1)＝，∴g(x)<g(1)，∵g′(x)＝f′(x)－<0，∴g(x)为减函数，∴x>1.3.【答案】A【解析】设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在区间x∈(0，＋∞)单调递减或g(x)为常函数，∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)．4.【答案】C【解析】令F(x)＝e－x f(x)，F′(x)＝e－x f′(x)－e－x f(x)＝e－x(f′(x)－f(x))，∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，∴F(x)在R上为增函数，∴F(2 015)>F(2 013)，∴e－2 015f(2 015)>e－2 013f(2 013)，∴f(2 015)>f(2 013)e2.5.【答案】C【解析】设g(x)＝f(x)－x，因为f(1)＝1，f′(x)>1，所以g(1)＝f(1)－1＝0，g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)在R上是增函数，且g(1)＝0.所以f(x)>x的解集，即g(x)>0的解集(1，＋∞)．6.【答案】A【解析】记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．7.【答案】D【解析】设F(x)＝，则F′(x)＝>0，∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，∴>，即f(2)>e2f(0)．8.【答案】A【解析】不等式f(x)<x＋1可化为f(x)－x<1，设g(x)＝f(x)－x，由题意g′(x)＝f′(x)－1<0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式⇔g(x)<g(1)，故x>1.9.【答案】B【解析】令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g′(x)＝f′(x)－2>0，故g(x)在R上单调递增．又g(－1)＝f(－1)－2＝0，故当x>－1时，g(x)>0，即f(x)>2x＋4.10.【答案】D【解析】设F(x)＝f(x)g(x)，∵当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴F(x)在x<0时为增函数．∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝－F(3)＝0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．11.【答案】C【解析】∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即<，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2 016)<e2 016f(0)．12.【答案】C【解析】令F(x)＝f(x)－x2－2 013，则F′(x)＝f′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，又F(－2)＝f(－2)－4－2 013＝2 017－2 017＝0，∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，∴不等式f(x)>x2＋2 013的解集为(－∞，－2)．13.【答案】C【解析】因为[]′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a<x<b，所以>>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．14.【答案】C【解析】设g(x)＝，则g′(x)＝，∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)单调递减．∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，则不等式等价于g(x)<g(0)，∵函数g(x)单调递减．∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)．15.【答案】A【解析】∵函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴当x∈(－∞，0)时，xf′(x)<f(－x)等价为xf′(x)＋f(x)<0，构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)<0，∴当x∈(－∞，0)时，函数g(x)单调递减，且函数g(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，函数g(x)单调递增，则a＝f()＝g()，b＝f(1)＝g(1)，)f(log2)＝g(log2)＝g(－2)＝g(2)，c＝(log∵1<<2，∴g(1)<g()<g(2)，即b<a<c.16.【答案】C【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，令g(x)＝，∴g(x)为偶函数，又当x>0时，xf′(x)>f(x)，∴g′(x)＝>0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，g(1)＝1，当x>0时，∵不等式f(x)>x，∴>1，即g(x)>g(1)，∴有x>1；当x<0时，∵不等式f(x)>x，∴<1，即g(x)<g(－1)，∴有－1<x<0；当x＝0时，f(0)＝0，不等式f(x)>x不成立，综上，不等式f(x)>x的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．17.【答案】D【解析】设g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝x[f′(x)＋]，∵x≠0时，f′(x)＋>0，∴x>0时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，c＝(ln)f(ln)＝(－ln 2)f(－ln 2)＝(ln 2)f(ln 2)，a＝f(1)＝1f(1)，∵ln 2<1<2，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(ln 2)<g(1)<g(2)，即(ln 2)f(ln 2)<1f(1)<2f(2)，∴c<a<b.18.【答案】A【解析】因为x∈(0，)，所以sin x>0，cos x>0，由f(x)<f′(x)tan x，得f(x)cos x<f′(x)sin x，即f′(x)sin x－f(x)cos x>0.令g(x)＝，x∈(0，)，则g′(x)＝>0，所以函数g(x)在x∈(0，)上为增函数，则g()<g()<g(1)<g()，即<<<.所以2f()<f()<<f()，所以f()<f()，f()<f()，f()<f()，f(1)>2f()·sin 1，故A正确，B、C、D错误．19.【答案】D【解析】因为当x>0时，有<0恒成立，即[]′<0恒成立，所以在(0，＋∞)内单调递减．因为f(1)＝0，所以在(0,1)内恒有f(x)>0；在(1，＋∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(－∞，－1)内恒有f(x)>0；在(－1,0)内恒有f(x)<0.不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．20.【答案】B【解析】∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于x＝0对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(4)＝f(0)，又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1，设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝，又∵f′(x)<f(x)，∴f′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴y＝g(x)在定义域上单调递减，∵f(x)<e x，∴g(x)<1，又∵g(0)＝＝1，∴g(x)<g(0)，∴x>0.21.【答案】C【解析】令g(x)＝f(x)－x2－2 009，则g′(x)＝f′(x)－2x<0，∴函数g(x)在R上单调递减，而f(－2)＝2 013，∴g(－2)＝f(－2)－(－2)2－2 009＝0.∴不等式f(x)>x2＋2 009，可化为g(x)>g(－2)，∴x<－2，即不等式f(x)>x2＋2 009的解集为(－∞，－2)．22.【答案】D【解析】∵f(x)＝axg(x)，∴＝ax，∵f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，∴[]′＝<0，即函数＝ax单调递减，即0<a<1.又＋＝，则＋a＝，解得a＝或a＝3(舍去)．即＝()x，∴＝()2＝.23.【答案】B【解析】设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，由>－x得＋x>0，则>0，则当∈(0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)<0，即g′(x)<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上递减，则g(3)>g(4)，即3f(3)>4f(4)．24.【答案】D【解析】令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．∵当x≠0时，f′(x)＋>0，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增．∵函数f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，又c＝ln 2f(ln 2)，∵2>ln 2>，∴g(2)>g(ln 2)>g()，即b>c>a.25.【答案】C【解析】由①得＝，∴[]′＝，由②g(x)≠0，③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)，得f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)<0，可知[]′＝<0，即函数在R上单调递减，即a>1.若＋＝，则＋＝＋a＝，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或a＝，∵a>1，∴a＝2.26.【答案】D【解析】记g(x)＝f(x)－3x，∵对任意实数x都有f′(x)<3，∴g′(x)＝f′(x)－3<0，∴g(x)是定义在R上的单调递减函数．∵f(1)＝5，∴g(1)＝f(1)－3＝5－3＝2.∵f(x)<3x＋2，∴f(x)－3x<2，∴g(x)<g(1)．∵g(x)是定义在R上的单调递减函数，∴x>1.27.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)【解析】[]′＝>0，即x>0时，是增函数，当x>1时>f(1)＝0，f(x)>0；0<x<1时，<f(1)＝0，f(x)<0.又f(x)是奇函数，所以－1<x<0时，f(x)＝－f(－x)>0；x<－1时，f(x)＝－f(－x)<0.则不等式f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．28.【答案】c<a<b【解析】设函数h(x)＝xf(x)，由函数y＝f(x)是R上的偶函数，y＝x是奇函数，得h(x)＝xf(x)是R上的奇函数，由x∈(－∞，0)时，h′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0成立，∴h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，∵3>20.1>1,0<ln 2<1，|＝3>20.1>ln 2，|log即h(3)<h(20.1)<h(ln 2)．又a＝20.1·f(20.1)，b＝ln(2)·f(ln 2)，)·f(log2)，c＝(log∴c<a<b.29.【答案】≤【解析】令F(x)＝，F′(x)＝[xf′(x)－f(x)]，∵xf′(x)－f(x)≥0，∴F′(x)≥0，即F(x)是(0，＋∞)上的增函数，即当m≥n>0时，F(m)≥F(n)，∴≤，从而mf(n)≤nf(m)．30.【答案】(－1，＋∞)【解析】设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0，又对任意x∈R，f′(x)>3，∴F′(x)＝f′(x)－3>0，∴F(x)在R上是增函数，∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞)．31.【答案】(0,10)【解析】∵f′(x)<，∴f′(x)－<0，∴f(x)－在R上为减函数．设F(x)＝f(x)－，则F(x)在R上为减函数，∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0，由f(lg x)－>0，得F(lg x)>F(1)，∵F(x)在R上单调递减，∴lg x<1，∴0<x<10，∴原不等式的解集为(0,10)．32.【答案】(－2 018，－2 015)【解析】根据题意，令g(x)＝x3f(x)，其导函数为g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，∵x∈(－∞，0)时，3f(x)＋xf′(x)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增，又不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0可化为(x＋2 015)3f(x＋2 015)>(－3)3f(－3)，即g(x＋2 015)>g(－3)，∴0>x＋2 015>－3，解得－2 015>x>－2 018，∴该不等式的解集为(－2 018，－2 015)．33.【答案】(0，＋∞)【解析】设F(x)＝，∵f′(x)>f(x)对于x∈R恒成立，∴F′(x)＝>0，∴F(x)在R上递增，则不等式f(x)>f(0)e x，等价为>f(0)＝，即F(x)>F(0)，∵F(x)在R上递增，∴x>0，即不等式的解集为(0，＋∞)．34.【答案】(－π，－)∪(0，)【解析】设g(x)＝f(x)cos x，∵f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，故g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝－f(x)cos x＝－g(x)，∴g(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数．g′(x)＝f′(x)cos x－sin xf(x)>0，∴g(x)在(0，π)上递增，于是奇函数g(x)在(－π，0)上递增．∵g(±)＝0，∴f(x)cos x<0的解集为(－π，－)∪(0，)．35.【答案】②③④【解析】构造函数F(x)＝，x∈[0，)，则F′(x)＝>0，∴函数F(x)在x∈[0，)上单调递增，∴F()>F()，即2f()>f()，可得f()>f()，①错误；同理可得F()<F()，即f()<f()，可得f()<f()，②正确；同理F(0)<F()，即f(0)<f()，③正确；同理F()<F()，即f()<2f()，可得f()<f()，④正确．。

2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第5讲客观题的解法(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第5讲客观题的解法题型概述数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．方法一直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知M (－1,2)，N (1,0)，动点P 满足|PM →·ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y思路分析动点P 的轨迹方程→P 点满足条件→直接将P 点坐标代入化简即可答案 A解析设P (x ，y )，由题意得M (－1,2)，N (1,0)，O (0,0)， PM →＝(－1－x,2－y )，ON →＝(1,0)，PN →＝(1－x ，－y )，因为|PM →·ON →|＝|PN →|，所以|1＋x |＝1－x 2＋y 2，整理得y 2＝4x . 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.方法二特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6思路分析 AM →·NM →的值→某种特殊情况下AM →·NM →的值→取▱ABCD 为矩形答案 C解析若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，所以AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则直线PM 与PN 的斜率之积等于________．思路分析直线PM ，PN 斜率之积→特殊情况下的k PM ·k PN →取P 点为椭圆短轴端点答案－34解析取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)，所以k PM ·k PN ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法三排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．例3 (1)(2020·天津)函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为( )思路分析选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除答案 A解析令f (x )＝4x x 2＋1，则f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－4x x 2＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，排除C ，D.又当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B. (2)已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1(b >0)，直线l ：y ＝mx ＋1.若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)思路分析求b 的取值范围→取b 的特殊值→特殊情况验证排除答案 C解析注意到直线l 恒过定点(0,1)，所以当b ＝1时，直线l 与椭圆C 恒有公共点，排除D ；若b ＝4，则方程x 24＋y 2b＝1不表示椭圆，排除B ；若b >4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.(3)(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A ．当x >0时，f (x )＝e x(1－x )B ．f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)C ．函数f (x )有2个零点D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2思路分析观察选项，从易于判断真假的选项出发.答案 BD解析对于C ，当x <0时，令f (x )＝0⇒x ＝－1，∴f (x )有3个零点分别为－1,0,1，故C 错误；对于A ，令x >0，则－x <0，∴f (－x )＝e －x (1－x )，又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝e －x (1－x )，∴f (x )＝e －x (x －1)，故A 错误．∵A，C 错误，且为多选题，故选BD. 排除法使用要点：,1从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,2当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值例法、验证法等常结合使用.方法四构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．例4 (1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB．46πC．26πD.6π思路分析求球O 体积→求球O 半径→构造正方体(补形)答案 D解析如图所示，构造棱长为2的正方体PBJA －CDHG ，显然满足题设的一切条件，则球O 就是该正方体的外接球，从而体积为6π.(2)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是______________．思路分析解f x >0→利用函数单调性结合已知含f x 的不等关系→构造函数答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析构造函数g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝f ′x ·x －f x x 2. 根据条件，g (x )为偶函数，且x >0时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (－1)＝g (1)＝0.∴当0<x <1时，g (x )>0，∴f (x )>0，同理当x <－1时，g (x )<0，∴f (x )>0，故使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题. 方法五估算法因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．例5 (1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm思路分析估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算答案 B解析头顶至脖子下端的长度为26cm ，可得咽喉至肚脐的长度小于42cm ，肚脐至足底的长度小于110cm ，则该人的身高小于178cm ，又由肚脐至足底的长度大于105cm ，可得头顶至肚脐的长度大于65cm ，则该人的身高大于170cm ，所以该人的身高在170cm ～178cm 之间，选B.(2)(2018·全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．183C ．243D ．54 3思路分析 V 三棱锥D －ABC 最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算答案 B解析等边三角形ABC 的面积为93，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h 应满足h ∈(4,8)，所以13×93×4<V 三棱锥D －ABC <13×93×8，即123< V 三棱锥D －ABC <24 3.选B.估算法使用要点：1使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值例法结合起来使用.2使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.。

高考数学导数专题专讲专题15 导数中同构与放缩的应用(含答案)

专题15导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a ＞0且a ≠1时，有log a x x a =，(2)当a ＞0且a ≠1时，有log xa x a =再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x ＞0)(“e x ”三兄弟与“ln x ”三姐妹)(3)ln x x x x +=ｅｅ，ln ln()x x x x +=ｅ(4)ln x x xx -=ｅｅ，ln lnx x x x-=ｅ(6)ln x xx x -=ｅｅ，ln ln x x x x -=ｅ再结合常用的切线不等式：1x x ≥+ｅ，e x x ≥ｅ，ln 1x x ≤+，ln xx ≤ｅ等，可以得到更多的结论(7)ln ln 1x x x x x x +=≥++ｅｅ，ln ln()e 1xx x x x x +=≤-ｅ．ln (ln )x x xx x x +=≥+ｅｅｅ，1e ln ln()x xx x x x x x -+=≤ｅ＝ｅｅ．(8)ln ln 1x x xx x x -=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x -=≤ｅｅ－１ln (ln )x x xx x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x--=≤ｅｅ(9)ln ln 1x xx x x x -=≥-+ｅｅ，ln ln x x x x x x -=≤－１ｅｅln (ln )x x x x x x -=≥-ｅｅｅ，1ln ln x x x x x x +-=≤ｅｅ[例1](1)已知1()ln x f x x x x +=+-ｅ，则函数()f x 的最大值为________．答案－2解析1ln 1()ln ln ln (ln 2)2x x x f x x x x x x x x x x +++=+-=+-≤+-++=-ｅｅ．(当且仅当x ＋ln x ＋1＝0取等号)．(2)函数ln 1()x x f x x+=-ｅ的最小值是________．答案1解析ln ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1()1x x xxx x x x x x x f x x x x x++----++--=-==≥=ｅｅｅ(当且仅当x＋ln x ＝0取等号)．(3)函数22ln ()1x x xf x x -=+ｅ的最小值是________．答案1解析22ln 2ln 2ln 2ln 12ln ()1111x x x x x x x x x f x x x x +--++-==≥=+++ｅｅ(当且仅当x ＋2ln x ＝0取等号)．[例2](1)不等式ln 10xxax x ---≥ｅ恒成立，则实数a 的最大值是________．答案1解析min e ln 1e ln 1ln 10()x x xx x x x x ax x a x x-------≥⇔≤⇔ｅ恒成立ln e ln 1x x x x +--=ln 1ln 11x x x x++--≥=，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．(2)不等式(ln 1)0xx a x x -++≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．答案0a ≤＜１解析ln (ln 1)0(ln 1)0(ln 1)x x x xx a x x x a x x a x x +-++≥⇔-++≥⇔≥++ｅｅｅ，当x＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x x a x x +≤++ｅ，由于ln ln 1=1ln 1ln 1x xx x x x x x +++≥++++ｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a ≤１，故0a ≤＜１．(3)不等式(ln )0xx a x x -+≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．答案0a ≤≤ｅ解析ln (ln )0(ln )0(ln )(x x x x tx a x x x a x x a x x at +-+≥⇔-+≥⇔≥+⇔≥ｅｅｅｅ令ln )t x x =+⇔(0)00(0)tta t a t a a a t t ⎧≥<⎪≥⎧⎪⇔⇔≤≤⎨⎨≤⎩⎪≤>⎪⎩ｅｅｅｅ．(4)已知函数()ln 1(1)bxf x x a x x x =--->ｅ，其中b ＞0，若()0f x ≥恒成立，则实数a 与b 的大小关系是________．答案a b≤解析ln ln 1()0ln 11ln ln x b xb x x b xx f x x a x x x a x a x++--≥⇔≥++⇔--≥⇔≤ｅｅｅ，由于ln 1ln 11ln ln x b x x x b x x b x x+--++--≥=ｅ，当且仅当x ＋b ln x ＝0等号成立，所以a b ≤．(5)已知函数()ln 1xf x ax =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案a ≥１ｅ解析ln 1ln 10x xx a x a +--≥⇔≥ｅｅ，由于ln x ＋1≤x ，e x ≥e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则ln 11e exx x x +≥=ｅ，所以a ≥１ｅ．(6)已知不等式1ln xkx x -≥+ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案k ≤ｅ－1解析e lne 1ln x xxkx x k x x-≥+⇔≤-ｅ，由于e x ≥e x ，lne x ≤x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，所以xx ≥ｅｅ，lne 1x x≤则e lne 1x x x x -≥-ｅ，所以k ≤ｅ－1．(7)已知不等式ln 10axax xx -+--≥ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案1(]-∞，　ｅ解析ln ln 1ln 1ln 1ln 10ax ax x x ax x ax x ax x ax x --++--=+--≥-+++--=ｅｅ，当且仅当－ax ＋ln x ＝0，即ln x a x =时等号成立，由ln x a x =有解，易得1a ≤ｅ．(8)已知函数()(ln )xf x x a x x =-+ｅ有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案(, )+∞ｅ解析ln ()(ln )(ln )x x xf x x a x x a x x +=-+=-+ｅｅ，令ln , t x x t =+∈R ，显然该函数单调递增，即e 0tat -=有两个根，即e t a t =有两个根，令e ()tg t t=，()g t 在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．min ()(1)e g t g ∴==，e a >．[例3](2020届太原二模)已知函数()ln 1f x x ax =++.(1)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)()f x 定义域是(0, )+∞，1()f x a x'=+，①当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点；②当0a <时，由1()0f x a x '=+=，得10x a=->，当1(0, x a∈-时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，当1(, +)x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在定义域上单调递减，所以当1x a =-时，()f x 取得极大值．当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，因为()f x 有两个零点，所以1()0f a->，解得10a -<<．(2)要使()e xf x x ≤恒成立，只要ln 1x ax ++e xx ≤恒成立，只要e ln 1x x x a x--≤恒成立，令e ln 1()x x x g x x --=，则e ln 1x x x x--ln e ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x +--++--=≥=，当且仅当时取等号．所以()e x f x x ≤恒成立，实数a 的取值范围为1a ≤．【对点精练】1．函数()ln xf x xx x =--ｅ的最小值为________．1．答案解析ln ()ln ln ln 1ln 1x x xf x x x x x x x x x x +=--=--≥++--=ｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．2．函数ln ()1xx xf x x -=+ｅ的最小值为________．2．答案1解析ln ln ln ln 1ln ()1111x x x xx x x x x f x x x x +--++-==≥=+++ｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．=++-ｅ的最大值是________．3．答案0解析ln ln 1ln 1()(ln 1)x x xxx xx x x x x f x x x x +-++-++-=++-==ｅｅｅｅｅln 1(ln 1)0xx x x x ++-++≤=ｅ(当且仅当x ＋ln x ＝0取等号)．44．答案1a ≤解析ln (1)ln 1x xx x x a x x a x --+≥⇔≤+ｅｅ，由于ln ln ln 11x x xx x xx x +--=++ｅｅln 1ln 11x x xx ++-≥=+，所以a ≤1．5．已知函数()(ln 1)x f x xa x x =+-++ｅｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．5．答案0a ≤＜ｅ解析ln ()0(ln 1)(ln 1)x x xf x x a x x a x x +≥⇔+≥++⇔+≥++ｅｅｅｅ，当x ＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x x a x x ++≤++ｅｅ，由于ln (ln )=ln 1ln 1x xx x x x x x ++++≥++++ｅｅｅｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a ≤ｅ，故0a ≤＜ｅ．6．已知函数2()ln 1xf x a x =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．6．答案2a ≥１ｅ解析22ln 1()ln 1exxx f x a x a +=--⇔≥ｅ，由于ln x ＋1≤x ，e 2x ≥2e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则2ln 112e 2e xx x x +≥=ｅ，所以2a ≥１ｅ．7．已知a ，b 分别满足23e e , (ln 1)e a a b b =-=，则ab ＝________．7．答案e 3解析同构化处理，并利用函数的单调性．222ln 232e e e e e e e ln e (ln 1)e ln e e e e ea a ab a a a b b b b b ⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨=-==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，ln e e ln e e bab a =，令()e x f x x =，显然该函数单调递增，即()(ln )e b f a f =，即ln eb a =，则ab ＝e 3．8．已知x 0是函数22()e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=________．8．答案2解析22222222e e e e eln 2e2ln e ln ln ln(ln())ln()x x xx x x x x x x x x x x--+-⇔=-⇔=⇔+=+＝０，所以2e ln()x x=，即2ln x x -=，或2xx -=ｅ，则02000e ln ln 2x x x x -+=+=．考点二整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F (x )≥0能等价变形为f [g (x )]≥f [h (x )]，然后利用f (x )的单调性，如递增，再转化为g (x )≥h (x )，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)f x 1－f x 2x 1－x 2>k (x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<kx 1－kx 2⇔f (x 1)－kx 1<f (x 2)－kx 2⇔y ＝f (x )－kx 为增函数；(2)fx 1－f x 2x 1－x 2<k x 1x 2(x 1<x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)>k (x 1－x 2)x 1x 2＝k x 2－k x 1⇔f (x 1)＋k x 1>f (x 2)＋kx 2⇔y ＝f (x )＋kx为减函数；含有地位同等的两个变x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：ln e (ln )e ()e e ln e ln e ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a a b f x x a b b b b f x x xa ab b f x x x ⎧≤−−−−→=⎪⎪≤−−−−−→≤−−−−→=⎨⎪+≤+−−−−→=+⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对如，322222ln ln ln ln xx x xx x me x x x x e x≥⇔≥⇔≥ｅ，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：ln e e e () ln e e ()ln ln e ln ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a f x a b x b b x f x a b b x a a b b f x x x ⎧<−−−−→=⎪⎪⎪<−−−−−→<−−−−→=⎨⎪⎪-<-−−−−→=-⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对 (3)和差：ln e e ln ()e e ln e ln e ln ()ln a b x aa a ab f x x a b b b b f x x x ⎧±>±−−−−→=±⎪±>±−−−−−→⎨±>±−−−−→=±⎪⎩构造函数两种同构方式构造函数同左同右如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)ax ax x ax x x ax x ax x ++>+++⇔+>++⇔>+ｅｅｅ．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)e ln e ln 21ax x ax a x ax x x >−−−−−→>同乘(无中生有)，后面的转化同()；(2)ln ln 1e ln()e ln (1)1e ln ln(1)1e +ln x x x a x x a a ax a a a x a x x a a-->--⇔>--⇔->--−−−−−→->同加(无中生有)ln(1)ln(1)1ln(1)ln ln(1)x x x x x a x --+-=-⇔->-ｅ＋；(3)ln ln ln log e ln e ln 21ln x x a x a a xa x x a x x a>⇔>⇔> ()，后面的转化同()．【例题选讲】[例4](1)若1201x x <<<，则A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <解析设()e ln x f x x =-，则1()e x f x x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()xe g x x=，2(1)()x e x g x x -'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．(2)若120x x a <<<，都有211212ln ln x x x x x x -≤-成立，则a 的最大值为()A ．2１B ．1C ．e D ．2e解析121221ln ln 11x x x x x x -≤-，即121122ln ln 11x x x x x x +≤+，令ln 1()x f x x x =+，则()f x 在(0,)a 上为增函数，()0f x '∴≥在(0,)a 上恒成立，2ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，解得x ＝1，()f x ∴在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，1a ∴≤，a ∴的最大值为1，选B ．(3)已知2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(1, 2)内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+<-恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析①当p >q 时，(1)(1)(1)(1)f p f q p q +-+<+-+即(1)(1)(1)(1)f p p f q q +-+<+-+，令()(1)(1)g x f x x =+-+，则(1)(1)g p g q +<+，()g x ∴在(1, 2)递减，即2()ln(2)(1)(1)g x a x x x =+-+-+，在(1, 2)递减，()0x '∴≤ｇ在(1, 2)上恒成立，()2(1)102ax x x '∴=-+-≤+ｇ在上恒成立，2276a x x ∴≤++在(1, 2)上恒成立，2min (276)15a x x ∴≤++=．②当p <q 时，同理可得出28a ≥，综上所述(, 15][28, )a ∈-∞+∞ [例5]对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)2log 20kx x k -⋅≥解析2log 222log 20log 2(log )22x kx kx kx x k x x kx x kx -⋅≥⇔≥⋅⇔⋅≥⋅，()2x f x x =⋅．(2)2ln 0m xx x m -≥ｅ解析2ln 0ln ln ln(ln )ln mm xx m m mx x m x x x x x x x-≥⇔≥⇔+≥ｅｅ，()ln f x x x =+．(3)1(1)2()ln axa x x x+≥+ｅ解析22221(1)2(2ln 2ln ln ln ax ax axa x x ax ax x x x ax ax x x x x+≥+⇔+≥+⇔+≥+ｅｅｅ22ln 2ln ln ()ax x xax ax x x f x x x⇔+≥⋅+=+ｅｅ，ｅ(4)ln (1)xa x a x x x -++≥>ｅ解析ln ln ln ln x a x a a x xa a x a x x x x x x x ----++≥⇔+≥-⇔-≥-ｅｅｅｅ，()ln f x x x =-．(5)2ln 0x x x +=ｅ解析2ln 1111ln 0ln ln ln x xx x xx x x x x x x x x x+=⇔=-⇔=-⇔=-ｅｅｅｅｅ，()ln f x x x =．[例6](1)已知不等式log (0, 1)x a a x a a >>≠，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案1eea >解析ln ln ln log e (ln )e ln ln x x a x a a xa x x a x x a>⇔>⇔>⇔ln ln ln ln (ln )e (ln )e ()e (1)e ln eln ()ln (2) ln ln(ln )ln ln(ln )()ln (3)x a x x x a x ax a x f x x x x f x x x x a x a x x f x x x ⎧>→=⎪>→=⎨⎪+>+→=+⎩　(三种模式，只要写一种)，由(3)得，ln ln x a x >，即ln ln x a x >，由导数法可得1ln a >ｅ，从而所以1e e a >．(2)已知函数()ln(1)33f x m x x =+--，若不等式()3e x f x mx >-在(0, )+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．03m ≤≤B ．3m ≥C ．3m ≤D ．0m ≤解析ln(1)3(1)3e ln e 3e x x x m x x mx m +-+>-=-(同构)，令()ln 3g x m x x =-，由(1)(e )x g x g +>，且11e x x <+<，知()g x 在(1, )+∞为减函数，所以()3033mg x m x m x'=-≤⇒≤⇒≤．故选C ．(3)对任意0x >，不等式22e ln ln 0x a x a -+≥恒成立，则实数a 的最小值为________．解析2222e ln ln 02e ln2e ln 2ln 2ln ln(ln )x x x x x x x xa x a a x x x a a a a a-+≥⇔≥⇔≥⇔+≥+(积型同构取对数)，令()ln f x x x =+，则()f x 为增函数，由(2)(ln x f x f a ≥，得2ln x x a ≥，即2x x a ≥ｅ恒成立，令2()x xg x =ｅ，则212()xx g x -'=ｅ，易得max 11()()22eg x g ==，所以实数a 的最小值为12e ．(4)已知函数()ln()(0)xf x a ax a a a =--->ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．2(0, e ]B ．2(0, e )C ．2[1, e ]D ．2(1, e ]解析ln ln 1()ln()0ln (1)1ln ln(1)1x x x a x af x a ax a a a x a x x a--=--->⇔>--⇔->--⇔+-ｅｅｅｅln(1)ln e ln(1)x a x ->+-(和差型同构)，令()e x g x x =+，显然()g x 为增函数，则原命题等价于(ln )g x a ->(ln(1))ln ln(1)ln ln(1)g x x a x a x x -⇔->-⇔<--，由于ln(1)(2)x x x x --≥--，所以ln 2a <，即得20e a <<．(5)对任意0x >，不等式1(e 1)2()ln ax a x x x+≥+恒成立，则实数a 的最小值为________．解析22221(e 1)2()ln (e 1)(1)ln (e 1)ln e (1)ln ax ax ax ax a x x ax x x x x x+≥+⇔+≥+⇔+≥+(积型同构)，令()(1)ln f x x x =+，则1()ln x f x x x +'=+，22111()=x f x x x x -''=-，易知()f x '在(0, 1)上递减，在(1, )+∞上递增，所以()(1)20f x f ''>=>，所以()f x 在(0, )+∞上单调递增，则22(e 1)ln e (1)ln (e )ax ax ax x x f +≥+⇔≥222ln ()e 2ln ax x f x x ax x a x ⇔≥⇔≥⇔≥，由导数法易证2ln 2e x x ≤，所以2ea ≥．(6)已知不等式1ln ea x x a x x ++≥对任意的(1, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为()A ．e -B ．e 2-C ．e -D ．2e-解析11ln ln ln e ln e ln e ea a a a x x a a x x x a x x x x a x x x x x --++≥⇔+≥-=-⇔-≥-，令()ln f x x x =-，则1()x f x x-'=，易知()f x 在(0, 1)上递减，在(1, )+∞上递增，所以(e )()x a f f x -≥，(1, )x ∈+∞ ，1e (0, )e x -∈．根据选项只讨论a ＜0的情况，当a ＜0时，(0, 1)a x ∈，e x a x -∴≤，ln xa x-∴≥．令()ln x h x x -=，则21ln ()(ln )xh x x -'=，所以()h x 在(1,e) 上递增，在(e, )+∞上递减，则max ()(e)e h x h ==-，即e a ≥-，故选C ．[例7]已知函数ln(1)()x f x x+=.(1)判断()f x 在(0, )+∞上的单调性；(2)若0x >，证明：2(e 1)ln(1)x x x -+>．解析(1)2ln(1)1()xx x f x x -++'=，令()ln(1)1x g x x x =-++，2()0(1)x g x x -'=<+，()g x ∴在(0, )+∞上单调递减，()(0)0g x g ∴<=，即()0f x '<，()f x ∴在(0, )+∞上单调递减．(2)要证2(e 1)ln(1)xx x -+>，即证：2ln(1)e 1x x x +>-即证：ln(1)e 1x x x x +>-即证：ln(1)ln(e 11)e 1x x x x +-+>-，令ln(1)()x h x x+=，即证：()(e 1)x h x h >-，由(1)，()h x 在(0, )+∞上单调递减，即证：e 1x x <-．令()e 1x s x x =--，()e 10x s x '=->，()s x ∴在(0, )+∞上单调递增，()(0)0s x s ∴>=，e 10x x ∴-->，即e 1x x <-．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，∴f ′(x )＝e x －1x，∴f ′(1)＝e －1．∵f (1)＝e ＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)·(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，－2e －1，0∴所求三角形面积为12×2×|－2e －1|＝2e －1．(2)解法一：∵f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，∴f ′(x )＝a e x －1－1x，且a >0．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝a e x －1＋1x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＝1时，f ′(1)＝0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝1，∴f (x )≥1成立；当a >1时，1a<1，∴11e a<1，∴f 1a f ′(1)＝11(e 1)(1)0a a a ---<，∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)＝a e x 0－1－1x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时f ′(x )>0，∴a e x 0－1＝1x 0，∴ln a ＋x 0－1＝－ln x 0，因此f (x )min ＝f (x 0)＝a e x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1>1，∴f (x )>1，∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <a <1，∴f (1)<1，f (x )≥1不恒成立．综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．解法二：f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a＋x －1－ln x ＋ln a ≥1等价于e ln a＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )，显然g (x )为单调递增函数，∴又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－x x，在(0，1)上h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝0，ln a ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．【对点精练】1．已知函数()ln ()xf x m x m =+∈R ｅ，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有1212()()f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是________．1．答案m≥0解析由1212()()f x f x x x ->-得，1122()()f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，12()()g x g x ∴>，()g x ∴在(0, )+∞单调递增，又()()xg x f x x mx x =-=+- ｅ，()10x mg x x'∴=+-≥ｅ，在(0, )+∞上恒成立，即(1e )x m x ≥-，令()(1e )x h x x =-，则()e (1)10x h x x '=-++<，()h x ∴在(0, )+∞单调递减，max ()0h x ∴=(但取不到)．∴m≥0．2．已知函数()xf x ax x =-ｅ，(0, )x ∈+∞，当x 2＞x 1时，不等式1221()()0f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(, e]-∞B ．(, e)-∞C ．e(, )2-∞D ．e(, ]2-∞2．答案D解析由1221()()0f x f x x x -<，得1122()()x f x x f x <，令()()g x xf x =，则()g x 在(0, )+∞上单调递增，又2()xg x ax =- ｅ，()20xg x ax '∴=-≥ｅ在(0, )+∞上恒成立，即e 2x a x ≤，令e ()2xh x x=，则2e (1)()2x x h x x -'=，令()0h x '=，则()h x 在(0, 1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，mine ()(1)2h x h ∴==，选D ．3．对不等式210xx λλ-≥ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．3．答案()xf x x =⋅ｅ解析2222ln 11ln 0ln 2ln 2(ln )2xx x x x x x x x x x x λλλλλλλλ-≥⇔≥⇔≥⇔≥ｅｅｅｅｅ--=ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．答案()ln f x x x =+解析2ln 0ln ln ln x x x xx x x x x x x -----=⇔-=+⇔+=+-ｅｅｅｅ．5．对不等式ln(1)2(1)2xa x x ax -+-≥+ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．5．答案()ln 2f x a x x =+解析ln(1)2(1)2ln(1)2(1)ln 2x x xa x x ax a x x a -+-≥+⇔-+-≥+ｅｅｅ6．设实数0λ>，若对任意的(0, )x ∈+∞，不等式ln 0xxλλ-≥ｅ恒成立，则λ的最小值为________．6．答案1e解析ln ln 0ln 0ln ln xx x xx x x x x x x x λλλλλλ-≥⇔-≥⇔≥=ｅｅｅｅ，令()e x f x x =，易知()f x 在(0, )+∞上递增，所以()(ln )f x f x λ≥，ln x x λ∴≥，ln x x λ∴≥．令ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=，所以()h x 在(0,e)上递增，在(e, )+∞上递减，则max 1()(e)eh x h ==，即1e λ≥．=-+>ｅ，若关于x 的不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．答案20e a <<解析1111()ln 0ln (ln 1)x x x x f x a ax a a ax a a ax x ++++=-+>⇔>-⇔>-⇔ｅｅｅｅ(ln ax >1)ax -e ⇔ln 1(ln 1)e ax ax --，ln 1e >(ln 1)e x ax x ax -∴-，令()e x g x x =，显然()g x 为增函数，则原命题等价于()g x >(ln 1)ln 1ln ln 1g ax x ax a x x -⇔>-⇔<-+，令()ln 1h x x x =-+，则1()x h x x-'=，所以()h x 在(0,1)上递减，在(1, )+∞上递增，则min ()(1)2h x h ==，所以ln 2a <，即得20e a <<．8．已知对任意0x >，不等式1(e 1)(1)ln 0kx k x x+-+>恒成立，则实数k 的取值范围为________．8．答案1(, )e+∞解析1(e 1)(1)ln 0(e 1)(1)ln e ln kx kx kx k x kx x x kx kx x x x x+-+>⇔+>+⇔+>+，即ln e ln e ln kx x kx kx x x +>+．令()e x f x x x =+，则()f x 在(0, )+∞上递增，所以()(ln )f kx f x >，所以ln kx x >，则ln x k x ∴>，由导数法易证ln 1e x x <，所以1ek >．9．已知0a <，不等式1ln 0a xx a x ++≥ｅ，对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值是()A ．12e-B ．1e-C ．e -D ．2e-9．答案C 解析1ln ln 0ln a x x a a a a x x a x x x x x+---+≥⇔≥=ｅｅ，即ln ln e a x a x x x --≥ｅ，令()e x f x x =，则()f x 在(1, )+∞单调递增，即()(ln )a f x f x -≥，即ln a x x -≥，ln x a x ∴-≤．令()ln x g x x=，由导数法知min ()(e)e g x g ==，e a ∴≥-．故选C ．10．已知函数13()2ln ()m x f x x x m x =--ｅ，当e x ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为()A ．(, 4e]-∞B ．(, 3e]-∞C ．(, 2e]-∞D ．3e (, ]2-∞10．答案解析1113222()02ln ()2ln (1)ln (1)m m m x x x f x x x m x x x x x x x ---≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-ｅｅｅ，即212ln ln e(1)m x x m x x -≥-ｅ，令()e x g x x =，则()g x 在[e, )+∞单调递增，即2(ln )(1)m g x g x ≥-，当0m ≤时，212ln ln e (1)m x x m x x -≥-ｅ恒成立，当0m >时，2ln 12ln m x m x x x x ≥-⇒≤+，令()2ln h x x x x =+，则()2ln 30h x x '=+>，()h x ∴在[e, )+∞上单调递增，min ()(e)3e h x h ∴==．故选B ．。

导数构造函数解决问题类型总结(解析版)

导数构造函数解决问题类型总结一、重点题型目录【题型一】构造函数x n f (x )型【题型二】构造函数e nx f (x )型【题型三】构造函数f (x )x n 型【题型四】构造函数f (x )e nx型【题型五】构造函数sin x 与函数f (x )型【题型六】构造函数cos x 与函数f (x )型【题型七】构造e n 与af (x )+bf (x )型【题型八】构造kx +b 与f (x )型【题型九】构造ln kx +b 型【题型十】构造综合型二、题型讲解总结【题型】一、构造函数x n f (x )型例1.(2022·四川·盐亭中学模拟预测(文))已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足2xf x +x 2f x <0，f 2 =34，则关于x 的不等式f x >3x 2的解集为( )A.0,4B.2,+∞C.4,+∞D.0,2 【答案】D【分析】构造函数h x =x 2f x ，得到函数h x 的单调性，根据单调性解不等式即可.【详解】令h x =x 2f x ，则h x =2xf x +x 2f x <0，所以h x 在0,+∞ 单调递减，不等式f x >3x 2可以转化为x 2f x >4×34=22f 2 ，即h x >h 2 ，所以0<x <2.故选：D .例2.(2022·河北·高三阶段练习)已知奇函数f x 的定义域为R ，导函数为f x ，若对任意x ∈0,+∞ ，都有3f x +xf x >0恒成立，f 2 =2，则不等式x -1 3f x -1 <16的解集是__________.【答案】-1,3【分析】构造新函数g x =x 3f x ，根据f (x )的性质推出g (x )的性质，最后利用g (x )单调性解不等式.【详解】设g x =x 3f x ，x ∈R ，f x 为奇函数，∴g -x =-x 3f (-x )=x 3f (x )=g x ，即g x 是偶函数，有g (x )=g (-x )=g x ，∵∀x ∈0,+∞ ，3f x +xf x >0恒成立，故x ∈0,+∞ 时，g x =3x 2f x +x 3f x =x 23f x +xf x ≥0，∴函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∵f 2 =2，∴g 2 =g -2 =16，x -1 3f x -1 <16等价于g x -1 <16=g (2)，g (x -1)=g x -1 <g (2)，且函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∴x -1 <2，解得-1<x <3.故答案为：-1,3【题型】二、构造函数e nx f (x )型例3.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R ，其函数图象连续不断，当x >0时，x +2 f x +xf x >0，则( )A.f 1 4e >f 2 B.f 2 <0 C.f -3 ⋅f 1 >0 D.f -1 e>4f -2 【答案】D【解析】令g x =x 2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞ 上单调递增，由g 2 >g 1 >g 0 =0可知AB 错误，同时得到f 1 e<4f 2 ，f 1 >0，f 3 >0，结合奇偶性知C 错误，D 正确.【详解】对于AB ，令g x =x 2e x f x ，则g 0 =0，g x =x x +2 e x f x +x 2e x f x ，当x ≥0时，g x =xe x x +2 ⋅f x +xf x ≥0，∴g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g 0 <g 1 <g 2 ，即0<ef 1 <4e 2f 2 ，∴f 2 >0，f 1 4e <f 2 ，AB 错误；对于C ，由A 的推理过程知：当x >0时，g x =x 2e x f x >0，则当x >0时，f x >0，∴f 1 >0，f 3 >0，又f x 为奇函数，∴f -3 =-f 3 <0，∴f -3 ⋅f 1 <0，C 错误．对于D ，由A 的推理过程知：f 1 e <4f 2 ，又f -1 =-f 1 ，f -2 =-f 2 ，∴-f -1 e <-4f -2 ，则f -1 e>4f -2 ，D 正确．故选：D .例4.(2022·江苏·南师大二附中高二期末)已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为f x ，且对于任意的x ∈R ，均有f x +f x >0，则( )A.e -2021f (-2021)>f (0)，e 2021f (2021)<f (0)B.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e-2021f(-2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0)D.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)【答案】D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数F x =e x⋅f x ,F x =f x +f x⋅e x>0，所以F x 在R上递增，所以F-2021<F0 ,F0 <F2021，即e-2021⋅f-2021<f0 ,f0 <e2021⋅f2021.故选：D例5.(2022·辽宁·大连二十四中模拟预测)已知函数y=f x ，若f x >0且f x +xf x >0，则有( )A.f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B.f-1>f1C.π4<x<π2时，f(sin x)<e cos2x2f(cos x)D.f(0)<e f(1)【答案】D【解析】根据奇函数的定义结合f x >0即可判断A；令g x =e x22f x ，利用导数结合已知判断函数g x 的单调性，再根据函数g x 的单调性逐一判断BCD即可得解.【详解】解：若f x 是奇函数，则f-x=-f x ，又因为f x >0，与f-x=-f x 矛盾，所有函数y=f x 不可能时奇函数，故A错误；令g x =e x22f x ，则g x =xe x22f x +e x22f x =e x22xf x +f x，因为e x22>0，f x +xf x >0，所以g x >0，所以函数g x 为增函数，所以g-1<g1 ，即e 12f-1<e12f1 ，所以f-1<f1 ，故B错误；因为π4<x<π2，所以0<cos x<22，22<sin x<1，所以sin x>cos x，故g sin x>g cos x，即e sin2x2f sin x>e cos2x2f cos x，所以f sin x>e cos2x-sin2x2f cos x=e cos2x2f cos x，故C错误；有g0 <g1 ，即f0 <e f1 ，故D正确.故选：D.例6.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习)f x 是定义在R上的函数，满足2f x +f x =xe x，f-1=-12e，则下列说法错误的是( )A.f x 在R上有极大值B.f x 在R上有极小值C.f x 在R上既有极大值又有极小值D.f x 在R上没有极值【答案】ABC【分析】先由题意得f -1=0，再构造g x =e2x f x ，得到g x =xe3x，进而再构造h x =e2x f x =xe3x-2g x ，判断出h x >0，即f x >0，由此得到选项.【详解】根据题意，2f x +f x =xe x，故2f-1+f -1=-e-1，又f-1=-12e，得2-12e+f -1 =-1e，故f -1 =0，令g x =e2x f x ，则g x =2e2x f x +e2x f x =e2x2f x +f x=e2x⋅xe x=xe3x，又2e2x f x +e2x f x =xe3x，记h x =e2x f x =xe3x-2e2x f x =xe3x-2g x ，所以h x =e3x+3xe3x-2g x =e3x+3xe3x-2xe3x=e3x x+1，当x<-1时，h x <0，h x 单调递减；当x>-1时，h x >0，h x 单调递增，所以h x >h-1=e-2f -1=0，即e2x f x >0，即f x >0，所以f x 在R上单调递增，故f x 在R上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.故选：ABC【题型】三、构造函数f(x)x n型例7.(2022·山东·潍坊一中高三期中)设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x> 0时，xf (x)-f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,+∞)【答案】D【分析】根据题意构造函数g(x)=f(x)x，由求导公式和法则求出g (x)，结合条件判断出g (x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(x)奇函数判断出g(x)是偶函数，由f(-1)=0求出g(-1)=0，结合函数g(x)的单调性、奇偶性，再转化f(x)>0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．【详解】由题意设g(x)=f(x)x，则g (x)=xf (x)-f(x)x2∵当x>0时，有xf (x)-f(x)>0，∴当x>0时，g (x)>0，∴函数g(x)=f(x)x在(0,+∞)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(-x)=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(-∞,0)上递减，由f(-1)=0得，g(-1)=0，∵不等式f(x)>0⇔x∙g(x)>0，∴x>0g(x)>g(1)或x<0g(x)<g(-1)，即有x>1或-1<x<0，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(-1，0)∪(1，+∞)，故选：D例8.(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)已知a=ln24，b=1e2，c=lnπ2π则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<ae，因此f x =ln xx2在e,+∞上单调递减，又因为a=ln24=ln416=f4 ，b=1e2=ln ee2=f e ，c=lnπ2π=lnππ=fπ，因为4>e>π>e，所以a<b<c.故选：C.【题型】四、构造函数f(x)e nx型例9.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x <0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef 2 <f 1 ，f 2 <ef 1D.ef 2 <f 1 ，f 2 >ef 1【答案】D 【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g (x )=f (x )e x ⇒g (x )=f (x )-f (x )ex ，因为f x <f x ，所以g (x )>0，因此函数g (x )是增函数，于是有g (2)>g (1)⇒f (2)e 2>f (1)e ⇒f (2)>ef (1)，构造函数h (x )=f (x )⋅e x ⇒h (x )=e x [f (x )+f (x )]，因为f x <f x <0，所以h (x )<0，因此h (x )是单调递减函数，于是有h (2)<h (1)⇒e 2f (2)<ef (1)⇒ef (2)<f (1)，故选：D例10.(2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习)f x 是定义在R 上的函数，f x 是f x 的导函数，已知f x >f x ，且f (1)=e ，则不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为( )A.-∞,-3B.-∞,-2C.2,+∞D.3,+∞【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.【详解】由f x >f x ，得f x -f x >0,设g x =f x e x ，则g x =f x -f x e x>0，所以函数g x 在-∞,+∞ 上单调递增，因为f 1 =e ，所以g 1 =f 1 e 1=1，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0等价于f 2x -5 e 2x -5>1即g 2x -5 >g 1 ，所以2x -5>1，解得x >3，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为3,+∞ .故选:D .例11.(2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中(理))设f x 是函数f x 的导函数，且f x >3f x x ∈R ，f 13=e (e 为自然对数的底数)，则不等式f ln x <x 3的解集为( )A.0,e 3 B.1e ,e 3 C.0,3e D.e 3,3e【答案】C【分析】构造函数g x =f x e 3x ，由已知可得函数g x 在R 上为增函数，不等式f ln x <x 3即为g ln x <g 13，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令g x =f xe3x，则gx =f x -3f xe3x，因为f x >3f x x∈R，所以g x =f x -3f xe3x>0，所以函数g x 在R上为增函数，不等式f ln x<x3即不等式f ln xx3<1 x>0，又g ln x=f ln xe3ln x=f ln xx3，g13 =f13e=1，所以不等式f ln x<x3即为g ln x<g 13 ，即ln x<13，解得0<x<3e，所以不等式f ln x<x3的解集为0,3e.故选：C.例12.(2022·河北廊坊·高三开学考试)已知定义域为R的函数f x 的导函数为f x ，且f x -f x = 2xe x，f0 =0，则以下错误的有( )A.f x 有唯一的极值点B.f x 在-3,0上单调递增C.当关于x的方程f x =m有三个实数根时，实数m的取值范围为0,4e-1D.f x 的最小值为0【答案】ABC【分析】构造g(x)=f(x)e x，结合已知求g(x)的解析式，进而可得f(x)=x2e x，再利用导数研究f(x)的极值点、单调性，并判断其值域范围，即可判断各选项的正误.【详解】令g(x)=f(x)e x，则g(x)=f (x)-f(x)e x=2x，故g(x)=x2+C，(C为常数)，所以f(x)=e x(x2+C)，而f0 =e00+C=0，故C=0，所以f(x)=x2e x，则f (x)=(x2+2x)e x，令f (x)=0，可得x=-2或x=0，在(-∞,-2)、(0,+∞)上f (x)>0，f(x)递增；在(-2,0)上f (x)<0，f(x)递减；所以f(x)有2个极值点，在-3,0上不单调，A、B错误；由x趋于负无穷时f(x)趋向于0，f(-2)=4e2，f(0)=0，x趋于正无穷时f(x)趋向于正无穷，所以f x =m有三个实数根时m的范围为0,4e-2，f x 的最小值为0，C错误，D正确；故选：ABC【题型】五、构造函数sin x 与函数f (x )型例13.(2022·云南师大附中高三阶段练习)已知a =sin111,b =331,c =ln1.1，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c 【答案】B【分析】根据结构构造函数f (x )=x -sin x ,x ∈0,π2 ，利用导数判断单调性，即可得到a f (0)=0，即111>sin 111，又331>111，故a <b ．构造函数g (x )=ln x +1-x ，则g (x )=1x-1，易知函数y =g (x )在x =1处取得最大值g (1)=0，故g 1011 <0，即ln 1011+1-1011<0，即111<-ln 1011=ln 1110=ln1.1，由前面知sin 111<111，故a <c ．构造函数h (x )=ln (x +1)-3x 3+x ，则h (x )=1x +1-9(3+x )2=(3+x )2-9(x +1)(x +1)(3+x )2=x (x -3)(x +1)(3+x )2，故知函数y =h (x )在(0,3)上单调递减，故h (0.1)<h (0)=0，即ln1.1<0.33.1=331，故c 0，则不等式f x +π2 cos 3x -14>0的解集为( )A.-π3,+∞ B.-2π3,+∞ C.-2π3,π3 D.π3,+∞ 【答案】B 【分析】令g x =f x sin 3x -14，结合题设条件可得g x 为R 上的增函数，而原不等式即为g x +π2>0，从而可求原不等式的解集.【详解】f x +π2 cos 3x -14>0可化为f x +π2 sin 3x +π2 -14>0，令g x =f x sin 3x -14，则g x =f x sin 3x +3f x sin 2x cos x =sin 2x f (x )sin x +3f x cos x ，因为3f (x )cos x +f (x )sin x >0，故g x ≥0(不恒为零)，故g x 为R 上的增函数，故f x +π2 cos 3x -14>0即为g x +π2>0，而g -π6 =f -π6 sin 3-π6 -14=f π6 sin 3-π6 -14=0，故g x +π2 >0的解为x +π2>-π6，故x >-2π3即f x +π2 cos 3x -14>0的解为-2π3,+∞ .故选：B .【题型】六、构造函数cos x 与函数f (x )型例15.已知函数f x 的定义域为-π2,π2，其导函数是f (x ).有f (x )cos x +f (x )sin x <0，则关于x 的不等式3f (x )<2f π6cos x 的解集为()A.π3,π2 B.π6,π2 C.-π6,-π3 D.-π2,-π6【答案】B【分析】令F x =f x cos x ，根据题设条件，求得F 'x <0，得到函数F x =f x cos x 在-π2,π2内的单调递减函数，再把不等式化为f x cos x <f π6 cos π6，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数f x 满足f 'x cos x +f x sin x <0，令F x =f x cos x ，则F 'x =f 'x cos x +f x sin x cos 2x<0函数F x =f x cos x 是定义域-π2,π2内的单调递减函数，由于cos x >0，关于x 的不等式3f (x )<2f π6 cos x 可化为f x cos x <f π6 cos π6，即F x <F π6 ，所以-π2<x <π2且x >π6，解得π2>x >π6，不等式3f (x )<2f π6 cos x 的解集为π6,π2 .故选：B 例16.(2021·重庆·高二期末)已知f x 的定义域为(0,+∞)且满足f x >0，f x 为f x 的导函数，f x -f x =e x (x +cos x )，则下列结论正确的是( )A.f x 有极大值无极小值B.f x 无极值C.f x 既有极大值也有极小值D.f x 有极小值无极大值【答案】B【解析】令F x =f xe x，根据题意得到Fx =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，利用导数求得g x 在区间(0,+∞)单调递增，得到F x >0，由f x =e x⋅F x ，得到f x >0，即函数f x 为单调递增函数，得到函数无极值.【详解】令F x =f xe x,x>0，可得F x =f x -f xe x，因为f x -f x =e x(x+cos x)，可得F x =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，可得g x =1-sin x≥0，所以g x 在区间(0,+∞)单调递增，又由g0 =1，所以g x >g0 =1，所以F x >0，所以F x 单调递增，因为f x >0且e x>0 ，可得F x >0，因为F x =f xe x，可得f x =ex⋅F x ,x>0，则f x =e x F x +F x>0，所以函数f x 为单调递增函数，所以函数f x 无极值.故选：B.【题型】七、构造e n与af(x)+bf(x)型例17.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x < 0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef2 <f1 ，f2 <ef1D.ef2 <f1 ，f2 >ef1【答案】D【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g(x)=f(x)e x⇒g (x)=f (x)-f(x)e x，因为f x <fx ，所以g (x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)>g(1)⇒f(2)e2>f(1)e⇒f(2)>ef(1)，构造函数h(x)=f(x)⋅e x⇒h (x)=e x[f(x)+f (x)]，因为f x <f x <0，所以h (x)<0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)<h(1)⇒e2f(2)<ef(1)⇒ef(2)<f(1)，故选：D例18.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知函数f x =ax-e x-k，其中e为自然对数的底数，若k∈-1,e2时，函数f x 有2个零点，则实数a的可能取值为( )A.eB.2eC.e 2D.3e【答案】D【分析】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，结合导数分析函数g (x )的单调性与极值情况即可解决问题．【详解】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，g (x )=a -e x ．(1)若a ≤0,g (x )<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上单调递减，g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 至多只有一个交点，不合题意；(2)若a >0，当x <ln a 时，g (x )>0，当x >ln a 时，g (x )<0，所以g (x )的单调递增区间是(-∞,ln a )，单调递减区间是(ln a ,+∞)，所以当x =ln a 时，g (x )取得极大值，也是最大值，为a ln a -a ．当x →-∞时，g (x )→-∞，当x →+∞时，g (x )→-∞，所以要使g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，只需a ln a -a >e 2．a ln a -a =a (ln a -1)，当0<a ≤e 时，a ln a -a ≤0，当a >e 时，a ln a -a >0，所以a ln a -a >e 2,a >e ，设h (a )=a ln a -a ,a >e ，则h (a )=ln a >0，所以h (a )在(e ,+∞)上单调递增，而h e 2 =e 2，所以a ln a -a >e 2的解为a >e 2，而3e >e 2，故选：D ．例19.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的偶函数y =f (x )的导函数为y =f (x )，当x >0时，f (x )+f (x )x <0，且f (2)=-3，则不等式f (2x -1)<-62x -1的解集为( )A.-∞,12 ∪32,+∞ B.32,+∞C.12,32D.-12,12 ∪12,32【答案】A【分析】根据题干中的不等式，构造函数F x =xf x ，结合y =f (x )在在R 上为偶函数，得到F x =xf x 在R 上单调递减，其中F 2 =2f 2 =-6，分x >12与x <12，对f (2x -1)<-62x -1变形，利用函数单调性解不等式，求出解集.【详解】当x >0时，f(x )+f (x )x =xf (x )+f (x )x<0，所以当x >0时，xf (x )+f (x )<0，令F x =xf x ，则当x >0时，F x =xf (x )+f (x )<0，故F x =xf x 在x >0时，单调递减，又因为y=f(x)在在R上为偶函数，所以F x =xf x 在R上为奇函数，故F x =xf x 在R上单调递减，因为f(2)=-3，所以F2 =2f2 =-6，当x>12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)<-6，即F2x-1<F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1>2，解得：x>3 2，与x>12取交集，结果为x>32；当x<12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)>-6，即F2x-1>F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1<2，解得：x<3 2，与x<12取交集，结果为x<12；综上：不等式f(2x-1)<-62x-1的解集为-∞,12∪32,+∞.故选：A例20.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知函数f x =x3-x+2+e x-e-x，其中e是自然对数的底数，若f a-2+f a2>4，则实数a的取值范围是( )A.-2,1B.-∞,-2C.1,+∞D.-∞,-2∪1,+∞【答案】D【分析】构造函数g(x)=f x -2，利用奇偶性的定义、导数的符号变化判定其奇偶性和单调性，再将f (a-2)+f(a2)>4变为g(a-2)>g(-a2)，利用g(x)的单调性进行求解.【详解】构造函数g(x)=f x -2=x3-x+e x-e-x，因为g(x)的定义域为(-∞,+∞)，且g-x= -x3--x+e-x-e x=-x3+x-e x+e-x=-(x3-x+e x-e-x)=-g(x)，即g(x)是奇函数，又g x =3x2-1+e x+e-x≥3x2-1+2e x⋅e-x=3x2+1>0，所以g(x)在 (-∞,+∞)上单调递增；因为f(a-2)+f(a2)>4，所以f(a-2)-2>-[f(a2)-2]，即g(a-2)>-g(a2)，即g(a-2)>g(-a2)，所以a-2>-a2，即a2+a-2>0，解得a>1或a<-2，即a∈(-∞,-2)∪(1,+∞).故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的性质解决不等式问题时，往往要利用题干中的表达式或不等式的结构特点合理构造函数，如本题中，构造函数g(x)=f x -2，将问题转化为利用函数的奇偶性和单调性求g(a-2)>-g(a2)的解集.【题型】八、构造kx+b与f(x)型例21.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知定义在0,+∞上的函数f x 的导函数为f x ，若f x < 2，且f4 =5，则不等式f2x>2x+1-3的解集是( )A.0,2B.0,4C.-∞,2D.-∞,4【答案】C【分析】根据所求不等式f2x>2x+1-3的形式，构造函数g x =f x -2x+3，利用题目中的条件判断出g x 在0,+∞上单调递减，进而将所求转化为g2x>g4 ，再利用单调性求出解集．【详解】设g x =f x -2x+3，则g x =f x -2．因为f x <2，所以f x -2<0，即g x <0，所以g x 在0,+∞上单调递减．不等式f2x>2x+1-3等价于不等式f2x-2×2x+3>0，即g2x>0．因为f4 =5，所以g4 =f4 -2×4+3=0，所以g2x>g4 ．因为g x 在0,+∞上单调递减，所以2x<4，解得x<2．故选：C．例22.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R，其函数图象连续不断，当x>0时，x+2f x +xf x >0，则( )A.f14e>f2 B.f2 <0 C.f-3⋅f1 >0 D.f-1e>4f-2【答案】D【解析】令g x =x2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞上单调递增，由g2 >g1 >g0 =0可知AB错误，同时得到f1e<4f2 ，f1 >0，f3 >0，结合奇偶性知C错误，D正确.【详解】对于AB，令g x =x2e x f x ，则g0 =0，g x =x x+2e xf x +x2e x f x ，当x≥0时，g x =xe x x+2⋅f x +xf x≥0，∴g x 在0,+∞上单调递增，∴g0 <g1 <g2 ，即0<ef1 <4e2f2 ，∴f2 >0，f14e<f2 ，AB错误；对于C，由A的推理过程知：当x>0时，g x =x2e x f x >0，则当x>0时，f x >0，∴f1 >0，f3 >0，又f x 为奇函数，∴f-3=-f3 <0，∴f-3⋅f1 <0，C错误．对于D，由A的推理过程知：f1e<4f2 ，又f-1=-f1 ，f-2=-f2 ，∴-f-1e<-4f-2，则f-1e>4f-2，D正确．故选：D.【题型】九、构造ln kx+b型例23.(2023·全国·高三专题练习)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf x +1>0,f2 =ln 12，则不等式f(e x)+x>0的解集为( )A.(0，2ln2)B.(0,ln2)C.(ln2，1)D.(ln2，+∞)【答案】D【分析】构造新函数g(x)=f(x)+ln x,(x>0)，利用导数说明其单调性，将f(e x)+x>0变形为g(e x) >g(2)，利用函数的单调性即可求解.【详解】令g(x)=f(x)+ln x,(x>0) ，则g (x)=f (x)+1x=xf x +1x，由于xf x +1>0,故g (x)>0,故g(x)在(0，+∞)单调递增，而g(2)=f(2)+ln2=ln 12+ln2=0 ，由f(e x)+x>0，得g(e x)>g(2) ，∴e x>2 ，即x>ln2 ,∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln2，+∞),故选：D．例24.(2022·河南·高三阶段练习(理))设a=cos 12，b=78，c=ln158，则a，b，c之间的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<cb，从而得出答案.【详解】构造函数g x =ln x+1-x，x>-1，则g x =1x+1-1=-xx+1，当-1<x<0时，g x >0，g x 单调递增，当x>0时，g x <0，g x 单调递减，∴g x ≤g 0 =0，∴ln x +1 ≤x (当x =0时等号成立)，∴ln 158=ln 78+1 <78，则c 0，φx 单调递增，∴φx >φ0 =0，∴f x >0，f x 单调递增，从而f x >f 0 =0，∴f 12 >0，即cos 12>1-12⋅122=78，则a >b ．∴c π4，则sin A >22，命题q :∀x >-1，x ≥ln (x +1).下列复合命题正确的是( )A.p ∧q B.(¬p )∧(¬q )C.(¬p )∧qD.p ∧(¬q )【答案】C【分析】命题p 可举出反例，得到命题p 为假命题，构造函数证明出q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，从而判断出四个选项中的真命题.【详解】在△ABC 中，若A =5π6，此时满足A >π4，但sin A =12<22，故命题p 错误；令f x =x -ln x +1 ,x >-1，则f x =1-1x +1=xx +1，当x >0时，f x >0，当-1<x <0时，f x <0，所以f x 在x >0上单调递增，在-1<x <0上单调递减，所以f x 在x =0处取得极小值，也是最小值，f 0 =0-ln 0+1 =0，所以q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，为真命题；故p ∧q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为假命题，(¬p )∧q 为真命题，p ∧(¬q )为假命题.故选：C【题型】十、构造综合型例26.(2022·全国·高三阶段练习(理))下列命题为真命题的个数是( )①log 32>23；②e lnπ<π；③sin 12>2348；④3e ln2<4 2.A.1 B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用指数式与对数的互化、对数函数的单调性推得①错误；构造函数f x =ln xx，利用导数研究其单调性和最值，进而判定②④正确；构造函数h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，利用二次求导确定其单调性，利用h 12 >h(0)得到③正确.【详解】对于①：若log32>23，则2>323，即8>9，显然不成立，故①错误；对于②：将e lnπ<π变为lnππ<ln ee，构造f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，则当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以f x =ln xx在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，则x=e时，f x 取得最大值1 e，由fπ <f e 得lnππ<ln ee，即e lnπ<π成立，故②正确；对于③：令h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，则g x =h x =cos x-1+12x2，t x =g x =-sin x+1，因为t x =g x =-sin x+1>0在0,π2成立，所以g x =h x =cos x-1+12x2在0,π2上单调递增，又g(0)=cos0-1+0=0，所以g x =h x >0在0,π2上成立，即h(x)=sin x-x+16x3在在0,π2上单调递增，所以h 12 >h(0)，即sin12-2348>0，即sin12>2348，故③正确；对于④：将3e ln2<42变为ln2222<ln e e，由②得f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3e ln2<42成立，故④正确；综上所述，真命题的个数为3.故选：C.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性解决不等式问题时，往往要利用题干中的不等式的结构特点合理构造函数，如本题中证明e lnπ<π、3e ln2<42构造函数f x =ln xx，证明sin12>2348构造h(x)=sin x -x +16x 3，x ∈0,π2，将问题转化为利用导数研究函数的单调性问题.例27.(2022·江苏·南京师大附中高三期中)已知函数f x =ln x -ax 2，则下列结论正确的有( )A.当a <12e 时，y =f x 有2个零点B.当a >12e 时，f x ≤0恒成立C.当a =12时，x =1是y =f x 的极值点D.若x 1,x 2是关于x 的方程f x =0的2个不等实数根，则x 1x 2>e 【答案】BCD【分析】对于A 和B ，由f x =0可得a =ln x x 2，令g x =ln xx 2，利用导数得到g x 的单调性和最值情况即可判断；对于C ，将a =12代入f x ，利用导数得到f x 的单调性即可判断；对于D ，问题转化为2at =ln t 有两个零点，证明t 1t 2>e 2，进而只需要证明ln t 1+ln t 2>2，也即是ln t 1t 2>2t1t 2-1 t 1t 2+1，从而令m =t 1t 2>1，构造函数s m =ln m -2m -1 m +1m >1 求出最值即可【详解】对于A ，令f x =ln x -ax 2=0即a =ln xx 2，令g x =ln x x 2,x >0，则g x =1x⋅x 2-ln x ⋅2x x 2 2=1-2ln x x 3，令g x =0，解得x =e ，故当x ∈0,e ，g x >0，g x 单调递增；当x ∈e ,+∞ ，g x <0，g x 单调递减；所以g x 的最大值为g e =12e，又因为当x <1时，g x =ln x x 2<0；当x >1时，g x =ln xx 2>0，故g x 如图所示，当0<a <12e时，函数y =a 与g x 有两个交点，此时y =f x 有2个零点，故A 错误；对于B ，由A 选项可得g x =ln x x2≤12e ，当a >12e 时，由a >ln xx 2，可整理得ln x -ax 2<0，即f x <0，故B 正确；对于C ，将a =12代入f x 得f x =ln x -12x 2,x >0，所以f x =1x -x =1-x 2x，令f x =0，解得x =1，故当x ∈0,1 ，f x >0，f x 单调递增；当x ∈1,+∞ ，f x <0，f x 单调递减；所以x=1是y=f x 的极大值点，故C正确；对于D，由f x =ln x-ax2=0即ax=ln x x，因为x1,x2是关于x的方程f x =0的2个不等实数根，所以ax1=ln x1x1ax2=ln x2x2，即2ax21=ln x212ax22=ln x22，所以等价于：2at=ln t有两个零点，证明t1t2>e2，不妨令t1>t2>0，由2at1=ln t12at2=ln t2⇒2a=ln t1-ln t2t1-t2，要证t1t2>e2，只需要证明ln t1+ln t2>2，即只需证明：ln t1+ln t2=2a t1+t2=t1+t2ln t1-ln t2t1-t2>2，只需证明：ln t1-ln t2>2t1-t2t1+t2，即lnt1t2>2t1t2-1t1t2+1，令m=t1t2>1，只需证明：ln m>2m-1m+1m>1，令s m=ln m-2m-1m+1m>1，则s m=m-12m m+12>0，即s m在1,+∞上为增函数，又s1 =0，所以s m>s1 =0．综上所述，原不等式成立，即x1x2>e成立，故D正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．例28.(2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习)已知函数f x 的定义域是0,+∞，f x 是f x 的导数，若f x =xf x -x，f 1 =1，则下列结论正确的是( )A.f x 在0,1e上单调递减 B.f x 的最大值为eC.f x 的最小值为-1eD.存在正数x0，使得f x0<ln x0【答案】AC【分析】构造g x =f xx，得到g x =1x，从而得到g x =ln x+c，结合f 1 =1，得到f x =x ln x，求导得到f x =ln x+1，从而得到函数的单调性和极值，最值情况，判断出ABC选项；解不等式x-1ln x<0得到解集为∅，故D错误.【详解】由f x =xf x -x得f x =f xx+1，设g x =f xx，则g x =xf x -f xx2=xf xx+1-f xx2=1x.设c为常数，则ln x+c=1 x，∴g x =ln x+c，∴f x =xg x =x ln x+cx.∵f 1 =1，∴f1 =0，∴c=0，所以f x =x ln x，∴f x =ln x+1.当0<x<1e时，f x <0，f x 单调递减，当x>1e时，f x >0，f x 单调递增.∵f 1e =0，∴f x 在x=1e时取得极小值，也是最小值-1e，f x 无最大值.∴A正确，B错误，C正确，由f x <ln x得x ln x<ln x，∴x-1ln x<0.当0<x<1时，x-1<0，ln x<0，x-1ln x>0.当x=1时，x-1ln x=0.当x>1时，x-1>0，ln x>0，x-1ln x>0.因此不等式x-1ln x<0即f x <ln x的解集是∅.所以D错误.故选：AC【点睛】当条件中出现类似f x =xf x -x的条件时，通常要构造函数来解决问题，本题中的难点是利用f x =f xx+1来构造g x =f xx，从而结合f 1 =1求出f x =x ln x.例29.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x e x+1,g x =x+1ln x，若f x1=g x2>0，则x2x1可取( )A.1B.2C.eD.e2【答案】CD【分析】由g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，利用同构结合f x 在(0,+∞)上单调递增，即可得到x1=ln x2，则x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，求出h (x)即可判断h(x)在(0,+∞)上的单调性，即可得出x2x1≥e，由此即可选出答案.【详解】因为f x1=g x2>0，所以x1>0,x2>1，因为f x =e x+1+xe x=(x+1)e x+1>0恒成立，所以f x 在(0,+∞)上单调递增，又g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，因为f x1=g x2，即x1e x1+1=ln x2e ln x2+1，所以x1=ln x2⇒x2=e x1，所以x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，所以h (x)=e x(x-1)x2当0<x<1时，h (x)<0，h(x)单调递减，当x>1时，h (x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)≥h(1)=e，即x2x1≥e故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将g x =x+1ln x=ln x e ln x+1变形为f x =x e x+1的结构，是解本题的关键.。

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(解析版)

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f (x )±g (x )，f (x )g (x )，f (x )g (x )”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f ′(x )，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f (x )本身的单调性，而是包含f (x )的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f ′(x )的形式，则我们要构造的则是一个包含f (x )的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f ′(x )，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数．构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．考点一构造F (x )＝x n f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；(2)若F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝f ′(x )x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1．由此得到结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )xn ．【例题选讲】[例1](1)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)答案 D 解析因为f (x )<－xf ′(x )，所以f (x )＋xf ′(x )<0，即(xf (x ))′<0，所以函数y ＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．由不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)，可得(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x 2－1>0，x 2－1>x ＋1，解得x >2．选D ． (2)已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且满足xf ′(x )＋2f (x )＞0，则不等式(x ＋2 021)f (x ＋2 021)5＜5f (5)x ＋2 021的解集为( ) A ．{x |x ＞－2 016} B ．{x |x ＜－2 016} C ．{x |－2 016＜x ＜0} D ．{x |－2 021＜x ＜－2 016} 答案 D 解析构造函数g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x ＞0时，∵2f (x )＋xf ′(x )＞0，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵不等式(x ＋2 021)f (x ＋2 021)5＜5f (5)x ＋2 021，∴当x ＋2 021＞0，即x ＞－2 021时，(x ＋2 021)2f (x ＋2 021)＜52f (5)，即g (x ＋2 021)＜g (5)，∴0<x ＋2 021＜5，∴－2 021＜x ＜－2 016．(3)(2015·全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)答案 A 解析设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0．∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A ．(4)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )＋xf ′(x )＜0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )＞0的解集为________．答案 (－∞，－4)∪(0，4) 解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x ＜0时，f (x )＋xf ′(x )＜0，可以推出当x ＜0时，F ′(x )＜0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf (x )＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．(5)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )＜2f (x )恒成立，则( )A ．4f (1)＜f (2)B ．4f (1)＞f (2)C ．f (1)＜4f (2)D ．f (1)＞4f ′(2)答案 B 解析令g (x )＝f (x )x 2(x ＞0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3，由不等式xf ′(x )＜2f (x )恒成立知g ′(x )＜0，即g (x )在(0，＋∞)是减函数，∴g (1)＞g (2)，即f (1)1＞f (2)4，即4f (1)＞f (2)，故选B ． (6)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (－3)－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b答案 D 解析设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0，即函数g (x )在x ∈(0，＋∞)时为减函数．由函数y ＝f (x )为奇函数知f (－3)＝－f (3)，则c ＝f (－3)－3＝f (3)3．∵a ＝f (e )e ＝g (e)，b ＝f (ln 2)ln 2＝g (ln 2)，c ＝f (3)3＝g (3)且3＞e ＞ln 2，∴g (3)＜g (e)＜g (ln 2)，即c ＜a ＜b ，故选D ．【对点训练】1．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 021)2f (x＋2 021)－4f (－2)>0的解集为( )A ．(－∞，－2 021)B ．(－∞，－2 023)C ．(－2 023，0)D ．(－2 021，0)1．答案 B 解析由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，结合x ∈(－∞，0)得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3<0，故[x 2f (x )]′<0，设g (x )＝x 2f (x )，则g (x )在(－∞，0)上单调递减，(x ＋2 021)2f (x ＋2 021)－4f (－2)>0可化为(x ＋2 021)2f (x ＋2 021)>(－2)2f (－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2 021<－2，x ＋2 021<0，解得x <－2 023．故选B ．2．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x的取值范围是________．2．答案 (－2，0)∪(2，＋∞) 解析令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0，x ∈(0，＋∞)．所以函数g (x ) 在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)．则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，g (x )＜0.解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 3．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x ＞0时，2f (x )＞xf ′(x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．3．答案 (－1，0)∪(0，1) 解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x ＞0时，xf ′(x )－2f (x )＜0，可以推出当x ＞0时，F ′(x )＜0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，∴F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x ＜0时，有xf ′(x )－f (x )＞0恒成立，则不等式f (x )＞0的解集为________．4．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x ＜0时，xf ′(x )－f (x ) ＞0，可以推出当x ＜0时，F ′(x )＞0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )＞0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________．5．答案 (－∞，－2)∪(0，2) 解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x在(0，＋∞)上为减函数，又f (2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0．又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数，由数形结合知x ∈(－∞，－2)时f (x )>0．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式f (x )x>0的解集为( )A ．(－2，0)∪(2，＋∞)B ．(－2，0)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．答案 B 解析设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，g ′(x )<0，所以函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减．因为f (x )是奇函数，所以g (x )＝f (x )x是偶函数．因为f (2)＝0，所以f (－2)＝0．所以不等式f (x )x>0的解集为(－2，0)∪(0，2)．故选B ． 7．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )＜0，对任意正数a ，b ，若a 0)，则F ′(x )＝[f (x )x ]′＝xf ′(x )－f (x )x 2．因为x >0，xf ′(x )－f (x )＜0，所以F ′(x )＜0，故函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数．又0<a 2f (3)B ．3f (2)＝2f (3)C ．3f (2)<2f (3)D ．3f (2)与2f (3)大小不确定8．答案 A 解析令F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，所以F (x )为减函数，则f (2)2>f (3)3．所以3f (2)>2f (3)． 9．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3 9．答案 B 解析 ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，∴y ＝f (x )x 2在(0，＋ ∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4．∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8，综上，4<f (2)f (1)<8．考点二构造F (x )＝e nx f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝e nx f (x )，则F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；(2)若F (x )＝f (x )e nx ，则F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx．由此得到结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )enx ．【例题选讲】[例1](1)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )＋2f (x )>0，且f (0)＝1，则不等式f (x )>1e 2x 的解集为．答案 (0，＋∞) 解析构造F (x )＝f (x )·e 2x ，∴F ′(x )＝f ′(x )·e 2x ＋f (x )·2e 2x ＝e 2x [f ′(x )＋2f (x )]>0，∴F (x )在R 上单调递增，且F (0)＝f (0)·e 0＝1，不等式f (x )>1e 2x 可化为f (x )e 2x >1，即F (x )>F (0)，∴x >0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)．(2)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )ex <1的解集为________．答案 {x |x >0} 解析令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x f ′(x )－(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x．由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )ex <1，即g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式的解集为{x |x >0}．(3)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )＞0，f (0)＝1，则不等式f (x )＞e 2x 的解集为________．答案 (0，＋∞) 解析构造F (x )＝f (x )e 2x ，则F ′(x )＝e 2x f ′(x )－2e 2x f (x )e 4x ＝f ′(x )－2f (x )e 2x，函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )＞0，则F ′(x )＞0，F (x )在R 上单调递增．又∵f (0)＝1，则F (0)＝1，f (x )＞e 2x ⇔f (x )e 2x ＞1⇔F (x )＞F (0)，根据单调性得x ＞0．(4)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为________．答案 (1，＋∞) 解析令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex >0，故g (x )在R 上单调递增，不等式e x －1f (x )<f (2x －1)，即f (x )e x <f (2x －1)e2x －1，故g (x )<g (2x －1)，故x <2x －1，解得x >1，所以原不等式的解集为(1，＋∞)． (5)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 A 解析设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ．由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e x f (x )>e x －1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．(6)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 021为奇函数，则不等式f (x )＋2 021e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1eD ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 答案 B 解析设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以h (x )是定义在R 上的减函数．因为f (x )＋2 021为奇函数，所以f (0)＝－2 021，h (0)＝－2 021．因为f (x )＋2 021e x <0，所以f (x )ex <－2 021，即h (x )<h (0)，结合函数h (x )的单调性可知x >0，所以不等式f (x )＋2 021e x <0的解集是(0，＋∞)．故选B ．(7)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0，e 3f (2 021)＝1，若f (x )>f ′(－x )，则关于x 的不等式f (x ＋2)>1ex 的解集为( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)答案 B 解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )，f ′(x )＝[]f (－x )′＝－f ′(－x )，∴f ′(－x )＝－f ′(x )，f (x )>f ′( －x )＝－f ′(x )，即f (x )＋f ′(x )>0，设g (x )＝e x f (x )，则[]e x f (x )′＝e x []f (x )＋f ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，由f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0，得f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝0，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋f ()x ＋3＝0，相减可得f (x )＝f ()x ＋3，f (x )的周期为3，∴e 3f ()2 021＝e 3f (2)＝1，g (2)＝e 2f (2)＝1e ，f (x ＋2)>1e x ，结合f (x )的周期为3可化为e x －1f (x －1)>1e＝e 2f (2)，g (x －1)>g (2)，x －1>2，x >3，∴不等式的解集为()3，＋∞，故选B ．(8)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若对于任意实数x ，有f (x )－f ′(x )＞0，则( )A ．e f (2 021)＞f (2 022)B ．e f (2 021)＜f (2 022)C ．e f (2 021)＝f (2 022)D ．e f (2 021)与f (2 022)大小不能确定答案 A 解析令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，因为f (x )－f ′(x )＞0，所以g ′(x )＜0，所以函数g (x )在R 上单调递减，所以g (2 021)＞g (2 022)，即f (2 021)e 2 021＞f (2 022)e2 022，所以e f (2 021)＞f (2 022)，故选A ．(9)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)答案 D 解析构造F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则F ′(x )<0，F (x )在R 上单调递减，根据单调性可知选D ．(10)已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]＞0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( )A ．f (1)＜f (0)B ．f (2)＞e 2f (0)C ．f (3)＞e 3f (0)D ．f (4)＜e 4f (0)答案 C 解析构造F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足(x －1)[f ′(x )－f (x )]＞0，则x ＞1时F ′(x )＞0，F (x )在[1，＋∞)上单调递增．当x ＜1时F ′(x )＜0，F (x )在(－∞，1]上单调递减．又由f (2－x )＝f (x )e 2－2x ⇔F (2－x )＝F (x )⇒F (x )关于x ＝1对称，从而F (3)＞F (0)即f (3)e 3＞f (0)e0，∴f (3)＞e 3f (0)，故选C ．【对点训练】1．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x <0的解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0) 1．答案 B 解析构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x，因为f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0，故函数g (x ) 在R 上为减函数，又f (0)＝12，所以g (0)＝f (0)e 0＝12，则不等式f (x )－12e x <0可化为f (x )e x <12，即g (x )<12＝g (0)，所以x >0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．2．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数x ，都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<e x －2的解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)2．答案 B 解析设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x．∵对任意实数x ，都有f (x )－f ′(x )> 0，∴g ′(x )<0，即g (x )为R 上的减函数．g (1)＝f (1)e ＝1e 2，由不等式f (x )<e x －2，得f(x )e x <e －2＝1e2，即g (x )<g (1)．∵g (x )为R 上的减函数，∴x >1，∴不等式f (x )<e x －2的解集为(1，＋∞)．故选B ．3．已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，若f ′(x )－2f (x )＜0，且f (－1)＝0，则f (x )＞0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞)3．答案 A 解析设g (x )＝f (x )e 2x ，则g ′(x )＝f ′(x )－2f (x )e 2x＜0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上单调递减．因为f (x )＞0，所以g (x )＞0，又g (－1)＝0，所以x ＜－1．4．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )>f (x )，且f (x ＋3)为偶函数，f (6)＝1，则不等式f (x )>e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)4．答案 B 解析因为f (x ＋3)为偶函数，所以f (3－x )＝f (x ＋3)，因此f (0)＝f (6)＝1．设h (x )＝f (x )ex ，则原不等式即h (x )>h (0)．又h ′(x )＝f ′(x )·e x －f (x )·e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x，依题意f ′(x )>f (x )，故h ′(x )>0，因此函数h (x )在R 上是增函数，所以由h (x )>h (0)，得x >0．故选B ．5．已知函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1，或x >1|D ．{x |x <－1，或0<x <1}5．答案 A 解析构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导，得g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数．又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}．6．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＋1<f ′(x )，f (0)＝2，则不等式f (x )＋1>3e x 的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)6．答案 C 解析构造函数g (x )＝f (x )＋1e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )－1e x>0，故g (x )在R 上为增函数．又g (0) ＝f (0)＋1e 0＝3，由f (x )＋1>3e x ，得f (x )＋1e x>3，即g (x )>g (0)，解得x >0．故选C ． 7．定义在R 上的可导函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )<0，则下列各式一定成立的是( )A ．e 2f (2021)<f (2019)B ．e 2f (2021)>f (2019)C ．f (2021)<f (2019)D ．f (2021)>f (2019)7．答案 A 解析根据题意，设g (x )＝e x f (x )，其导函数g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，又由函数f (x )与其导函数f ′(x )满足f (x )＋f ′(x )<0，则有g ′(x )<0，则函数g (x )在R 上为减函数，则有g (2021)<g (2019)，即e 2021f (2021)<e 2019f (2019)，即e 2f (2021)<f (2019)．8．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则1e x f (x 2)与2e x f (x 1)的大小关系为( )A ．1e x f (x 2)>2e x f (x 1)B ．1e x f (x 2)<2e x f (x 1)C ．1e x f (x 2)＝2e x f (x 1)D ．1e x f (x 2)与2e x f (x 1)的大小关系不确定8．答案 A 解析设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x．由题意得g ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即()11e x f x <()22e x f x ，所以1e x f (x 2)>2e xf (x 1)． 9．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f (x )＞f ′(x )成立，则( )A ．3f (ln2)＜2f (ln3)B ．3f (ln2)＝2f (ln3)C ．3f (ln2)＞2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定9．答案 C 解析令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x，因为对∀x ∈R 都有f (x )＞f ′(x )，所以F ′(x )＜0，即F (x )在R 上单调递减．又ln2＜ln3，所以F (ln2)＞F (ln3)，即f (ln 2)e ln 2＞f (ln 3)e ln 3，所以f (ln 2)2＞f (ln 3)3，即3f (ln2)＞2f (ln3)，故选C ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( )A ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)>e 2022f (0)B ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)<e 2022f (0)C ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)>e 2022f (0)D ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)<e 2022f (0)10．答案 D 解析构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x，因为∀x ∈R ，均有f (x )> f ′(x )，并e x >0，所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝f (x )ex 在R 上单调递减，所以g (－2022)>g (0)，g (2022)<g (0)，即f (－2022)e －2022>f (0)，f (2022)e 2022<f (0)，也就是e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)<e 2022f (0)．考点三构造F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x ) cos x ，F (x )＝f (x )cos x类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x．由此得到结论：(1)出现f ′(x )sin x ＋f (x )cos x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(2)出现f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x； (3)出现f ′(x )cos x －f (x )sin x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x ；(4)出现f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x．【例题选讲】[例1](1)已知函数f (x )是定义在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的奇函数．当x ∈[0，π2)时，f (x )＋f ′(x )tan x >0，则不等式cos xf (x ＋π2)＋sin xf (－x )>0的解集为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 B ．⎝⎛⎭⎫－π4，π2 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，－π4 答案 C 解析令g (x )＝f (x )sin x ，则g ′(x )＝f (x )cos x ＋f ′(x )sin x ＝[f (x )＋f ′(x )tan x ]cos x ，当x ∈[0，π2)时，f (x )＋f ′(x )tan x >0，cos x >0，∴g ′(x )>0，即函数g (x )单调递增．又g (0)＝0，∴x ∈[0，π2)时，g (x )＝f (x )sin x ≥0．∵f (x )是定义在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的奇函数，∴g (x )是定义在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的偶函数．不等式cos xf (x ＋π2)＋sin xf (－x )>0，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2·f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2>sin x ·f (x )，即g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2>g (x )，∴|x ＋π2|>|x |，∴x >－π4 ①，又－π2<x ＋π2<π2，故－π<x <0 ②，由①②得不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－π4，0．故选C ． (2)对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式f (x )tan x <f ′(x )恒成立，则下列不等式错误的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f (1)cos 1 C ．2f (1)cos1>2f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π4<3f ⎝⎛⎭⎫π6 答案 D 解析因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin x >0，cos x >0，构造函数F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝－f (x )sin x ＋f ′(x )cos x ，因为对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式f (x )tan x <f ′(x )恒成立，所以f (x )sin x <f ′(x )cos x 恒成立，即f ′(x )cos x －f (x )sin x >0恒成立，所以F ′(x )>0恒成立，所以函数F (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以F ⎝⎛⎭⎫π6<F ⎝⎛⎭⎫π4<F (1)<F ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6cos π6<f ⎝⎛⎭⎫π4cos π4<f (1)cos1<f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3，所以32f ⎝⎛⎭⎫π6<22f ⎝⎛⎭⎫π4<f (1)cos1<12f ⎝⎛⎭⎫π3，所以3f ⎝⎛⎭⎫π6<2f ⎝⎛⎭⎫π4<2f (1)cos1<f ⎝⎛⎭⎫π3，结合选项知D 错误，故选D ． (3)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，函数f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )tan x 成立，则( ) A ．3f ⎝⎛⎭⎫π4＞2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝⎛⎭⎫π2sin 1 C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3答案 D 解析 f (x )＜f ′(x )tan x ⇔f ′(x )sin x －f (x )cos x ＞0，令F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x＞0，即函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，∴F ⎝⎛⎭⎫π6＜F ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3sin π3，∴3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3，故选D ． (4)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( )A ．2 f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2 f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4C ．f (0)<2 f ⎝⎛⎭⎫π4D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 答案 A 解析构造F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x，导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A ． (5)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )<0成立，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4 答案 CD 解析设g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )·cos x ＋f (x )·sin x cos 2x，因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，cos xf ′(x )＋sin xf (x )<0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )＝f ′(x )·cos x ＋f (x )·sin x cos 2x<0，因此g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π3，g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π4，即f ⎝⎛⎭⎫π632>f ⎝⎛⎭⎫π312⇒f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3，f ⎝⎛⎭⎫π632>f ⎝⎛⎭⎫π422⇒2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4．故选CD ． (6)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2满足f ′(x )·cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＜f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π4C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4D ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π6 答案 B 解析设g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x ＝1＋ln x cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2．令g ′(x )＝0得x ＝1e，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，π2时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增．∵1e ＜π6＜π4＜π3＜π2，∴g ⎝⎛⎭⎫π6＜g ⎝⎛⎭⎫π4＜g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π312＞f ⎝⎛⎭⎫π422＞f ⎝⎛⎭⎫π632，化简得2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π4，3f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π6，3f ⎝⎛⎭⎫π4＞2f ⎝⎛⎭⎫π6，故选B ．。

2019-2020学年高中数学(苏教版选修2-2)教师用书：第1章 1.3.3 最大值与最小值 Word版含答案

1.3.3最大值与最小值1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点) 2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值与导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的最大值与最小值．(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．2．利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )【答案】(1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上________．(填序号)①无最值；②有极值；③有最大值；④有最小值．【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．【答案】①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f(x)＝x3－12x2－2x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝e－x－e x，x∈[0,1]．【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．【自主解答】(1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ex ′－(e x )′＝－1ex －e x＝－1＋e2x ex .当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0恒成立，即f (x )在[0,1]上是减函数．故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝1e －e ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.求函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表； (4)求极值、端点值，确定最值．[再练一题]1．(2016·盐城质检)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最大值是________.【导学号：01580015】【解析】 ∵y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，令y ′＝0，得x ＝π6.由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝π6＋3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝π2，∴函数的最大值为π6＋3.【答案】 π6＋3已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．【精彩点拨】首先求出f ′(x )．然后讨论a 的正负，根据函数f (x )的单调性得出用a ，b 表示的函数的最值，从而列出关于a ，b 的方程组，求a ，b .【自主解答】由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29， f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．[再练一题]2．设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式.【导学号：01580016】【解】f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增当x＝a时，f(x)取得极小值－a32＋b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又因为f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故所求函数的解析式是f (x )＝x 3－62x 2＋1. [探究共研型]如图1-3-6为y ＝f (x图1-3-6探究1 观察[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，试找出它的极大值、极小值．【提示】 f (x 1)，f (x 3)为函数的极大值，f (x 2)，f (x 4)为函数的极小值．探究2结合图象判断，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】存在．f (x )最小值＝f (a )，f (x )最大值＝f (x 3)．探究3 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值一定是其极值吗？【提示】不一定．也可能是区间端点的函数值．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．【自主解答】(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调递增单调递减∴g(t)在(0,2)h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)最小值；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]最小值；(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)最小值＞g(x)最大值；(4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)最大值．[再练一题]3．上例(2)若改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？【解】令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调递增单调递减存在t ∈[0,2]，使h (t )<－2t ＋m 成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0. ∴－3－m <0，∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)．[构建·体系]1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π的最大值是________．【解析】 ∵y ′＝1－cos x ≥0，∴y ＝x －sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π上是增函数，∴y 最大值＝π.【答案】 π2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.【导学号：01580017】【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2(舍去)．当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )递增；当x ∈(0,1]，f ′(x )<0，f (x )递减； ∴x ＝0时，f (x )取最大值2. 【答案】 23．函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的值域为________ .【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12·e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π24．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )≥h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，2e .【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，2e5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a )． (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值．【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。

java100道选择题含答案

1. 下列不可作为java语言标识符的是（D）A) a1 B) $1 C) _1 D) 112. 有一段java 应用程序，它的主类名是a1，那么保存它的源文件名可以是（A）Ａ) a1.java B) a1.class C) a1 D) 都对3. 整型数据类型中，需要内存空间最少的是（D）A) short B) long C) int D) byte4. Java 类可以作为（C）A) 类型定义机制B) 数据封装机制C) 类型定义机制和数据封装机制D) 上述都不对5. 在创建对象时必须（C）A) 先声明对象，然后才能使用对象B) 先声明对象，为对象分配内存空间，然后才能使用对象C) 先声明对象，为对象分配内存空间，对对象初始化，然后才能使用对象D) 上述说法都对6. 在调用方法时，若要使方法改变实参的值，可以（B）A) 用基本数据类型作为参数B) 用对象作为参数C) A和B都对D) A和B都不对7. Java中（C）A) 一个子类可以有多个父类，一个父类也可以有多个子类B) 一个子类可以有多个父类，但一个父类只可以有一个子类C) 一个子类可以有一个父类，但一个父类可以有多个子类D) 上述说法都不对8. Java语言具有许多优点和特点，哪个反映了Java程序并行机制的特点？（B）A) 安全性B) 多线性C) 跨平台D) 可移植9. Character流与Byte流的区别是（C）A) 每次读入的字节数不同B) 前者带有缓冲，后者没有C) 前者是字符读写，后者是字节读写D) 二者没有区别，可以互换使用10. 以下声明合法的是（ D ）A、default String s；B、public final static native int w( )C、abstract double d；D、abstract final double hyperbolicCosine( )11. 关于以下application的说明，正确的是（ C ）1．class StaticStuff2．{3．static int x=10；4．static { x+=5；}5．public static void main（String args[ ]）6．{7．System.out.println(“x=”+ x);8．}9．static { x/=3;}10. }A、4行与9行不能通过编译，因为缺少方法名和返回类型B、9行不能通过编译，因为只能有一个静态初始化器C、编译通过，执行结果为：x=5D、编译通过，执行结果为：x=312. 关于以下程序代码的说明正确的是（ D ）1．class HasStatic{2．private static int x=100；3．public static void main(String args[ ]){4．HasStatic hs1=new HasStatic( );5．hs1.x++;6．HasStatic hs2=new HasStatic( );7．hs2.x++;8．hs1=new HasStatic( );9．hs1.x++;10．HasStatic.x- -;11．System.out.println(“x=”+x);12．}13．}A、5行不能通过编译，因为引用了私有静态变量B、10行不能通过编译，因为x是私有静态变量C、程序通过编译，输出结果为：x=103D、程序通过编译，输出结果为：x=10213. 以下选项中循环结构合法的是（ C ）A、while (int i<7){ i++;System.out.println(“i is “+i);}B、int j=3;while(j){ System.out.println(“ j is “+j);}C、int j=0;for(int k=0; j + k !=10; j++,k++){ System.out.prin tln(“ j is “+ j + “k is”+ k);}D、int j=0;do{System.out.println( “j is “+j++);if (j = = 3) {continue loop;}}while (j<10);14. 类Test1定义如下：1．public class Test1{2．public float aMethod（float a，float b）{ } 3．4．}将以下哪种方法插入行3是不合法的。

导数构造函数题秘籍第一讲 (带答案)

导数构造函数题秘籍第一讲很多导数的选择压轴题，常规方法是构造新函数，大部分情况解答过程比较繁琐，此秘籍从原理本质出发，教会同学们不用构造新函数，也不需要写完整过程，几秒钟就能快速解决问题，大大提高解题效率！！！例题展示，揭示原理：例1、已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）﹣f'（x）＜1，f（1）＝2，则不等式f（x）﹣1＞e x﹣1的解集为（）CA．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）例2、已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）＝3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）DA．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）通法分析：常规方法展示：老思数学秘籍第一式：第一招：观察含导函数的不等式确定新函数单调性——f'（x）大于则增，小于为减例1：f'（x）大于为增；例2：f'（x）小于为减.第二招：确定要求解的不等式左右两边——就是两个f（x）括号里面的内容，右边一个一般是常值可由题设得到例1：左边为x，右边为1（1是由题设f（1）＝2得出）；例2：左边为x，右边为0（0是由题设f（0）＝3得出）.第三招：确定不等式符号，解不等式。

——单增同号，单减异号例1：x>1；例2：x<0.课堂演练，融会贯通：1、定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）＝1，则不等式＜1的解为（）BA．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）2、定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）AA．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）3、已知函数f（x）的定义域为R，且﹣f（x）＞2，若f（0）＝（）﹣﹣，则不等式＞1的解集为（）AA．（0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）4、已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数为f′（x），且满足2f（x）+f′（x）＜0，则不等式f（x+2015）＜的解集为（）CA．{x|x＞﹣2019}B．{x|x＜﹣2015}C．{x|﹣2019＜x＜﹣2015}D．{x|﹣2019＜x＜0}核心提醒：注意定义域5、设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（）DA．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2018）D．（2018，+∞）6、已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（）DA．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7、已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），对任意实数x均有（1﹣x）f（x）+xf'（x）＞0成立，且y＝f（x+1）﹣e是奇函数，则不等式xf（x）﹣e x＞0的解集是（）DA．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）分析：由奇函数性质可得f（1）=e核心提醒：注意右边常值可由函数性质得到8、已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），y＝f（x+1）是偶函数，f（0）＝2e2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）DA．（﹣∞，2）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（2，+∞）分析：如果题目有多个条件，右边常值往往就不是所给的，而是通过性质转化为别的此秘籍也可以适用比较大小9、已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）CA．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）10、已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）＝e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）答案：B11、定义在上的函数f（x），f'（x）是它的导函数，且恒有f'（x）＞f（x）•tan x成立．则有（）A．B．C．D．答案：B12、已知函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f′（x）+f（x）＞0，其中f′（x）为f（x）的导数，设a＝f（0），b＝2f（ln2），c＝ef（1），则a、b、c的大小关系是（）AA．c＞b＞a B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a课后巩固，突破升华1、若定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f’（x）＞f（x）+9e x，f（3）＝27e3，则不等式的解集是（）AA．（3，+∞）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）2、定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数f（x）的导函数），f（3）＝，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞log x2的解集为（）DA．（1，8）B．（2，+∞）C．（4，+∞）D．（8，+∞）3、e为自然对数的底数，定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x，其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则f（x）＞2xe x的解集为（）CA．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）4、已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）＝2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）CA．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）5、定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）AA．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）6、定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）DA．B．9f（3）＞f（1）C．D．分析：偶函数，比较括号里面绝对值的大小总结反思：此秘籍能大大节省解题时间，但此秘籍也有一定局限性，比如f'（x）前面有因子的情况，涉及奇偶函数或者对称函数的问题，以及要求解的不等式不是新函数的两边，还有一些比较大小的题目选项中需构造函数的情况……此秘籍还有后几式，所有问题在后面的课程中我们都会完美解决！妙招连连，敬请期待！！！以高效为目的，快速解题！从原理出发，真正变学神！。

C++语言程序设计期末复习题(含答案)(1)

cout<<x<<"，"； } (Key: 88.18，97) 3、类中的数据和成员函数默认访问类型为_____。(Key:私有或 private) 4、以下程序的执行结果是_____。 #include <iostream> using namespace std; f(int b[],int n) { int i,r=1; for( i=0;i<=n;i++ ) r=r*b[i]; return r; } int _tmain() { int x,a[] = {2,3,4,5,6,7,8,9}; x=f(a,3); cout<<"x="<<x<<endl; return 0; } (Key: x=120) 5、在类内部定义的_____数据不能被不属于该类的函数来存取，定义为_____的数据则可以在类外部进行存取。 (Key:private 或私有或 protected 或保护； public 或公有) 6、下列程序输出的结果是_____。 #include <iostream> using namespace std; void sub( char a,char b ) { char c=a; a=b; b=c; } void sub( char* a,char b ) { char c=*a; *a=b; b=c; } void sub( char* a,char* b ) { char c=*a; *a=*b;
make()； //... }； void B::make() { k=i*j； } 则上述定义中，_____是非法的表达式。 A、void get()； B、int k； C、void make()； D、k=i*j； 8、以下程序段_____。 int x = -1； do { x = x*x； }while( !x )； A、是死循环 B、循环执行 2 次 C、循环执行 1 次 D、有语法错误 9、对定义重载函数的下列要求中，_____是错误的。 A、要求参数的个数不同 B、要求参数中至少有一个类型不同 C、要求参数个数相同时，参数类型不同 D、要求函数的返回值不同 10、一个_____允许用户为类定义一种模式，使得类中的某些数据成员及某些成员函数的返回值能取任意类型。 A、函数模板 B、模板函数 C、类模板 D、模板类（Key:1-5:AAABC 6-10:BDCDC）二、填空题 1、在 C++类中可以包含[ ]、 [ ]和[ ]三种具有不同访问控制权的成员。（Key:公有或 public，保护或 protected，私有或 private） 2、以下程序的执行结果是_____。 #include <iostream.h> void func( int )； void func( double )； void main( ) { double a=88.18； func(a)； int b=97； func(b)； } void func( int x ) { cout<<x<<endl； } void func( double x ) {

第五章答案类、构造函数、拷贝构造函数、静态成员、友元

5．3 练习题解答1．什么是类?为什么说类是一种抽象数据类型的实现?答：类是C++语言中的一种数据类型。

这种数据类型是一种封装体，它既包含有数据结构，又包含有对这些数据所进行的若干操作。

类的获得是通过对于所要解决的问题中的客观实体的抽象，这种抽象不仅包含了它的属性，同时还有对这些属性的操作，即方法。

对实体的这种抽象可用一个标识符来表示，并可对它引用及操作，这种标识符称为类。

可见，类是抽象数据类型的一种实现。

2．类的定义格式如何?类的说明部分和实现部分各包含些什么?答：类的定义格式包含说明部分和定义部分。

类的说明部分主要有类头和类体两部分。

类头定义格式如下所示。

class＜类名＞其中，class是关键字，＜类名＞同标识符。

类体是由一对花括号括起来的若干成员，成员中包含数据成员和成员函数，右花括号后边有一个分号。

{〈数据成员说明〉〈成员函数说明〉}；成员又分为不同的访问权限，有公有(puLlic)、私有(private)和保护(protected)3种。

类的实现部分是用来定义类中说明的成员函数(没有定义)在该部分定义。

如果类中所有成员函数都已在类体内定义了，则实现部分可以省略。

3．类的成员一般分为哪两部分?这两部分有何区别?答：类的成员一般分为数据成员和成员函数两个部分。

前一部分是用来表示状态的数据，后一部分是用来改变状态的方法(即函数)。

简单地讲，前部分是变量，后部分是函数，后部分的函数是用来对前部分的变量进行操作的。

4．从访问权限角度如何区分不同种类的成员?它们各自的特点是什么?答：从访问权限角度可以将类中成员分为三种：公有的，私有的和保护的。

公有成员可以被类体内外的程序所访问，它通常作为一个类体的对外接口。

私有成员只能对类体内的程序所访问，在类体外是不可见的。

它是类中的被隐藏部分。

保护成员对一般类而言视同私有成员，对派生类同公有成员。

它可以被其派生类中的程序访问。

5．作用域运算符的功能是什么?它的使用格式如何?答：作用域运算符：：是C十十语言中的一种运算符，用来指明某个标识符的作用域，主要用于标识类中成员。

2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲对数函数学案文(含答案)

高考数学一轮总复习学案：第8讲对数函数1．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数2.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论对数函数图象的特点1．当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．3．在直线x ＝1的右侧：当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)忽略真数大于零致误； (2)忽视对底数的讨论致误．1．函数f (x )＝log 2x 2的单调递增区间为____________．解析：设t ＝x 2，因为y ＝log 2t 在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12，所以a ＝2或12.答案：2或12对数函数的图象及应用(典例迁移)(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________．【解析】 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B ．(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知，只需两图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 【答案】 (1)B (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22 【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围为________．解析：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法如下： (1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f (x )，g (x )； (2)在同一平面直角坐标系下作出两个函数f (x )与g (x )的图象； (3)比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．1．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )解析：选C ．函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D ．选C ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一解对数方程、不等式(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．【解析】 (1)原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (－a )＝log 12a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝log 12(－a )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. 所以方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．【答案】 (1)x ＝ 5 (2){－1，1}【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)解对数方程、不等式的方法(1)形如log a x ≥log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．(2)形如log a x ≥b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．角度二对数型函数的综合问题已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1，所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)． (2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D ．当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1，2) B ．[1，2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ．令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．比较指数式、对数式的大小(师生共研)(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小有关系为( )A ．a 52，所以3>523，所以log 53>log 5523＝23，所以b >c ，所以a <c log 24.1>2>20.8，且y ＝f (x )在R 上为增函数，所以f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，即a >b >c ，故选C ．【答案】 (1)A (2)C(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.1．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a 20＝1，c ＝0.20.3∈(0，0.20)，即c ∈(0，1)．所以a <c b a>log b a >log 1abB ．b a >a b>log 1ab >log b aC ．log b a >a b>b a>log 1abD ．log b a >b a>a b>log 1ab解析：选D ．因为0<a log b b ＝1，log 1ab <0，所以log b a >b a>a b>log 1ab ，故选D ．思想方法系列5 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数的值域．解：y ＝a 2x＋2a x －1，令t ＝a x，则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ≥0，所以t ≥1，所以当a >1时，y ≥2. 当0<a <1时，因为x ≥0，所以0<t ≤1.因为g (0)＝－1，g (1)＝2，所以当0<a <1时，－1<y ≤2. 综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)；当0<a <1时，函数的值域是(－1，2]．。

C++题库(带答案)

⼀一、选择题1、关于封装，下列列说法中不不正确的是()（A）通过封装，对象的全部属性和操作结合在⼀一起，形成⼀一个整体（B）通过封装，⼀一个对象的实现细节被尽可能地隐藏起来（不不可⻅见）（C）通过封装，每个对象都成为相对独⽴立的实体（D）通过封装，对象的属性都是不不可⻅见的2、假定AA为⼀一个类，int a()为该类的⼀一个成员函数，若该成员函数在类体外定义，则函数头为()（A）int AA::a()（B）int AA:a()（C）AA::a()（D）AA::int a()3、⼀一个类中是否可以允许⼀一个⽆无参构造函数和⼀一个全部都是默认参数的构造函数共存()（A）不不允许（B）允许（C）⽆无法确定（D）视构造函数确定4、在C++中，cin是个()（A）类（B）对象（C）模板（D）函数5、析构函数的作⽤用是()（A）⼀一般成员函数的初始化（B）类的初始化（C）对象的初始化（D）在删除类创建的对象前完成⼀一些清理理⼯工作6、假定⼀一个类AB含有⼀一个浮点型数据成员a，当⽤用户不不定义任何构造函数时，系统为该类定义的⽆无参构造函数为()（A）AB(){a=0;}（B）AB(float aa=0):a(aa){}（C）A(){}（D）AB(){}7、C++语⾔言是由C语⾔言逐渐发展演变⽽而来的。

与C语⾔言相⽐比，它在求解问题⽅方法上进⾏行行的最⼤大改进是()（A）⾯面向过程（B）⾯面向对象（C）安全性（D）复⽤用性8、C++的源⽂文件的扩展名为()（A）.cpp（B）.exe（C）.obj（D）.lik9、下列列说法中，不不是构造函数的特征是()（A）构造函数的函数名与类名相同（B）构造函数可以重载（C）构造函数可以设置缺省参数（D）构造函数必须指定类型说明10、函数重载是指(A)（A）两个或两个以上的函数取相同的函数名，但形参的个数或者类型不不同（B）两个以上的函数取相同的名字和具有相同的参数个数，但形参的类型可以不不同（C）两个以上的函数名字不不同，但形参的个数或者类型相同（D）两个以上的函数取相同的函数名，并且函数的返回类型相同11、有如下类定义：class MyClass{int Value;Public:MyClass(int n):Value(n){}//如果没有,⾃自动⽣生成默认//copy构造函数//赋值构造函数int GetValue(){return Value;}};则类MyClass中，构造函数的个数是()（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个12、⾯面向对象程序设计的三⼤大特性不不包括()A:封装性B:继承性C:多态性D:健壮性13、在C++语⾔言中,数据封装要解决的问题是()A:数据的规范化B:便便于数据转换C:避免数据丢失D:防⽌止不不同模块之间数据的⾮非法访问14、下列列各项中符合函数重载必须满⾜足的条件的是A:必须有不不同的参数个数B:对应的参数类型必须不不相同C:A和B必须同时满⾜足D:A和B只要满⾜足⼀一个即可15、下列列存储类标识符中,要求通过函数来实现⼀一种不不太复杂的功能,并且要求加快执⾏行行速度,选⽤用()合适.A:内联函数;B:重载函数;C:递归调⽤用;D:嵌套调⽤用.16、下列列关于类定义的说法中,正确的是()A:类定义中包括数据成员和函数成员的声明B:类成员的缺省访问权限是保护的C:数据成员必须被声明为私有的D:成员函数只能在类体外进⾏行行定义17、四组函数原型说明中,满⾜足C++函数重载规则的是A:float f(float x);void f(float y);B:float f(float x);void f2(float x,float y);C:float f(float x,int y);void f(float y);D:float f(float y);float f(float y);18、已知类A中的⼀一个成员函数的说明如下:void Set(A&a);则该函数的参数"A&a"的含义是A:指向A的指针为aB:将变量量a的地址赋给类AC:类A对象引⽤用a⽤用作函数的形参D:变量量A与a按位与后作函数参数19、类定义class A{int x;static int y;};,问32机中sizeof A等于A:4B:8C:0D:不不定20、⾃自定义类型中的哪种成员的访问不不受限制()A:public B:protected D:以上都不不是21、在C++中,编写⼀一个内联函数Fun,使⽤用int类型的参数,求其平⽅方并返回,返回值也为int类型,下列列定义正确的是()A:int Fun(int x){return x*x;}B:inline int Fun(int x){return x*x;}C:int inline Fun(int x){return x*x;}D:int Fun(int x){inline return x*x;}22、类定义class A{int x;static int y;};,问32机中sizeof A等于()A:4B:8C:0D:不不定23、指出下列列输出语句句哪些是不不合法的()A:std::cout<<"/*";B:std::cout<<"*/";C:std::cout<<"/**/";D:std::cout<</*"*/"*/;24、⼀一个函数调⽤用语句句为fun((e1,e2,e3),(e4,e5),e6);,其实参个数为A:3B:4C:5D:625、所谓数据封装就是将⼀一组数据和与这组数据有关操作组装在⼀一起,形成⼀一个实体,这实体也就是A:类B:对象C:函数体D:数据块26、⾯面向对象程序设计中的数据隐藏指的是()A:输⼊入数据必须输⼊入保密⼝口令B:数据经过加密处理理C:对象内部数据结构上建有防⽕火墙D:对象内部数据结构的不不可访问性27、存储以下数据,占⽤用存储字节最少的是().A:0B:'0‘C:"0“D:0.028、⾯面向对象程序设计将数据与()放在⼀一起,作为⼀一个相互依存、不不可分割的整体来处理理A:对数据的操作B:信息C:数据隐藏D:数据抽象29、下列列是模板声明的开始部分,其中正确的是()A:template<T>B:template<class T1,T2>C:template<class T1,class T2>D:template<class T1;class T2>30、类中定义的成员默认为()访问属性.A:public B:private C:protected D:friend31、使⽤用输⼊入输出操作符setw,可以控制A:输出精度B:输出宽度C:对⻬齐⽅方式D:填充字符32、⾯面向对象系统的()是⼀一种信息隐藏技术,⽬目的在于将于对象的使⽤用者与设计者分开,使⽤用者不不必知道对象⾏行行为实现的细节,只需⽤用设计者提供的协议命令对象⽀支做即可A:多态性B:封装性C:继承性D:复⽤用性33、关于this指针使⽤用说法正确的是()（A）保证每个对象拥有⾃自⼰己的数据成员，但共享处理理这些数据的代码（B）保证基类私有成员在⼦子类中可以被访问（C）保证基类保护成员在⼦子类中可以被访问（D）保证基类公有成员在⼦子类中可以被访问34、构造函数是在()时被执⾏行行的.A:程序编译B:创建对象C:创建类D:程序装⼊入内存35、下⾯面程序运⾏行行时的输出结果是（）#include<iostream>using namespace std;class test{private:int a;public:test(){cout<<"constructor"<<endl;}test(int a){cout<<a<<endl;}test(const test&test){a=test.a;cout<<"copy constructor"<<endl;}~test(){cout<<"destructor"<<endl;}};int main(){test A(3);return0;}A:3B:constructordestruclorC:copy constructordestructordestructorD:3destruclor36、假定AB为⼀一个类,则()为该类的拷⻉贝构造函数的原型说明A:AB(AB x);B:AB(int x);C:AB(const AB&x)D:void AB(AB&x);37、拷⻉贝构造函数的作⽤用是A:进⾏行行数据类型的转换B:⽤用对象调⽤用成员函数C:⽤用对象初始化对象D:⽤用⼀一般类型的数据初始化对象38、下⾯面的程序执⾏行行时,MyClass类的拷⻉贝构造函数被调⽤用的次数是class MyClass{public:MyClass(int n){number=n;}//拷⻉贝构造函数MyClass(const MyClass&other){number=other.number;} ~MyClass(){}private:int number;};MyClass fun(MyClass p){MyClass temp(p);return temp;}int main(){MyClass obj1(10),obj2(0);MyClass obj3(obj1);obj2=fun(obj3);return0;}A:5B:4C:3D:239、要与new配合使⽤用的是()A:delete B:free C:delete[]D:destroy40、假设Sample是个类,则语句句"Sample a[2],*p[3];"调⽤用构造函数的次数为() A:0B:2C:3D:541、通常,拷⻉贝构造函数的形参类型是()A:某个对象类型B:某个对象的成员类型C:某个对象的引⽤用类型D:某个对象的指针名42、关于默认构造说法错误的是()A:默认构造函数,调⽤用时可以不不提供参数B:没有默认构造不不能定义数组C:⼀一个类必须存在默认构造函数D:默认构造函数可能由系统提供43、class MyClass{private:int id;char gender;char*phone;public:MyClass():id(0),gender('#'),phone(NULL){}MyClass(int no,char ge='#',char*ph=NULL){id=no;gende=ge;phone=ph;}};下列列类对象定义语句句中错误的是()A:MyClass myObj;B:MyClass myObj(11,"133********");C:MyClass myObj(12,'m');D:MyClass myObj(12);44、声明函数int Func(int a=0,int b=3,int c=4)相当于声明了了⼏几个函数形式() A:1B:2C:3D:445、有以下类定义class Point{public:Point(int x=0,int y=0){_x=x;_y=y;}void Move(int xOff,int yOff){_x+=xOff;_y+=yOff;}void Print()const{cout<<'('<<_x<<','<<_y<<')'<<endl;}private:int_x,_y;};下列列语句句中会发⽣生编译错误的是A:Point pt;pt.Print();B:const Point pt;pt.Print();C:Point pt;pt.Move(l,2);D:const Point pt;pt.Move(l,2);⼆二、填空1、#include<iostream.h>class base1{public:base1(){cout<<"Constructing base1\n";}~base1(){cout<<"Destructing base1\n";}};class base2{public:base2(){cout<<"Constructing base2\n";}~base2(){cout<<"Destructing base2\n";}};class derived:public base1,public base2{public:derived(){cout<<"Constructing derived\n";}~derived(){cout<<"Destructing derived\n";}};int main(){derived ob;return0;}运⾏行行结果：Constructing base1Constructing base2Constructing derivedDestructing derivedDestructing base2Destructing base12、class B{public:B(int a){cout<<a<<endl;}~B(int){cout<<"~B"<<endl;}};class A A依赖于B{const float a;//声明类时,不不允许给变量量赋值.//常量量要求必须赋初值.int b;int&c;B d;//d是A的⼦子对象public:A(int):d(1),a(3.14),c(b){cout<<"A"<<endl;}~A(){cout<<"~A"endl;}};int main(){A a;return0;}运⾏行行结果：BA~A~B3、假定class B为⼀一个类，b为该类的公有数据成员，show()为该类公有函数成员，x为该类的⼀一个对象，则访问x对象中数据成员b的格式为__x.b____，访问x对象中函数成员show()的格式为___x.show()___。

c++试题及答案

c++试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. C++中，哪个关键字用于定义类？A. structB. classC. unionD. enum答案：B2. 下列哪个选项不是C++中的构造函数？A. 默认构造函数B. 拷贝构造函数C. 析构函数D. 赋值构造函数答案：C3. 在C++中，下列哪个选项是正确的文件操作？A. 使用fopen()函数打开文件B. 使用fclose()函数关闭文件C. 使用fread()函数读取文件D. 所有选项都是正确的答案：D4. C++中，下列哪个选项是正确的继承方式？A. 公有继承B. 保护继承C. 私有继承D. 所有选项都是正确的答案：D5. 在C++中，下列哪个关键字用于定义常量？A. constB. staticC. externD. volatile答案：A6. C++中，下列哪个选项是正确的多态性实现方式？A. 函数重载B. 运算符重载C. 虚函数D. 所有选项都是正确的答案：C7. 下列哪个选项是C++标准库中的容器类？A. vectorB. mapC. setD. 所有选项都是正确的答案：D8. C++中，下列哪个选项是正确的模板定义？A. template <typename T>B. template <class T>C. 两者都是正确的D. 两者都是错误的答案：C9. 在C++中，下列哪个选项是正确的异常处理语句？A. try { ... }B. catch { ... }C. throw { ... }D. 所有选项都是正确的答案：A10. C++中，下列哪个选项是正确的智能指针类型？A. shared_ptrB. unique_ptrC. weak_ptrD. 所有选项都是正确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在C++中，使用______关键字可以定义一个内联函数。

答案：inline2. C++中，使用______关键字可以定义一个静态成员变量。

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构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或；（3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n=⇒<>+'或; (6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x=⇒<>+'或; (8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx=⇒<>+'或; (10))0(e)()()0(0)(k -)(k x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。

直接构造法1．（1）已知()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（）A.2(2)(3)(log )a f f f a <<B.2(3)(log )(2)a f f a f <<C.2(log )(3)(2)a f a f f <<D.2(log )(2)(3)af a f f <<解：由题：对称轴x=2,单增，时，单减，当时，当（)(f 2x )(f 2x 0)()2x x x x f ><∴>'-C ,1624,2log 12选<<<<∴a a 。

（2）设a ＞0，b ＞0．( )A ．若a2222ba b +>+，则a ＞b B ．若a2222ba b +>+，则a ＜b C ．若a2222ba b ->-，则a ＞b D ．若a2222ba b ->-，则a ＜b解：对选项A ：构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A 。

（3）已知函数()f x 满足(2)1f =，且()f x 的导函数()1f x x '>-，求解不等式21()12f x x x <-+。

解：2x ,0)2(g )(g 01)()(,121)()(g 2<=>+-'='∴-+-=故解集为：单增，，则x x x f x g x x x f x 。

（4）已知函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，求解不等式()1xxe f x e >-。

解：x ,0)0(g (g ,0)1)()(()(,1)()(g >=>-'+='∴+-=故解集为：）单增，则令x x f x f e x g e x f e x x x x 。

（5）若)(x f 满足1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，求解不等式3()1x f x e>+。

解：令0)(3)(13)(f )(g >=--=--=x xx x x e x h e e x f e e x x ，)1)()(()(h -'+='∴x f x f e x x>0,g(x)单调递增，g(0)=f(0)-4=0,则g(x)>0,故x>0.（6）若函数f(x)满足：2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，求解不等式2()xf x e >。

解：令g(x)=2)(f x e x ,则222)()21)()(()(g x xe xf x f e x -'='>0,则单调递增，1)4(ln )4(lng 24ln ==e f ，则g(x)>g(ln4),不等式2()x f x e >的解为：x>ln4.考点二。

找原函数构造法2.（1）若奇函数f(x ）满足：(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，求解不等式()0f x >。

单增偶，奇奇为奇单减，又当解：令,0x )(g )(f )(0)()()(,0x ,)()x (g 2<==∴∴<-'='>=x x x g x x f x f x x g x x f ，且g(1)=g(-1)=0,故解集为：x<-1或0<x<1.（2）若f(x)满足：f(0)=1,且)()(4,3)()(f 3x f x f x f x '>-'=求解不等式。

解：不合题意但0)0(f 1)(f 3=-=xex ，则32ln 042)()(f 412)(f 33>∴>-='--=x e x f x e x x x ，故。

考点三。

比大小，证明（2）f(x)=xe , 设a<b,比较aa fb f b f a f --+b )()(2)()(与的大小。

=0,∴xe x x )1(1)(g -+='在），（∞+0单调递增,即0(0)g (x)g ='>'，故g(x)在），（∞+0单调递增，∴g(x)>g(0)=0,（3）已知函数f(x)=-x-ln(-x)，x ∈[-e ，0)，证明：xx x )ln()(f -+>21。

解：设x x x f x g )ln()()(-+==x x x x )ln()ln(-+---，令u=-x ∈(0, e]，g(u)=u u u ln -ln u -，只需证g(u)>21， g'(u)=222u ln 1-1ln 11u u u u u u +-=-+-，uu u u u h u u u u 12u 112)(,1-ln )(h 22+-=+-='∴+-=令, 则),2,1(u 0)()(0)(h ∈∴=''∴>'，单增，令u h u h u （1）当u ∈(0, 1]，lnu-1<0，1-u 1<0，g'(u)<0，g(u)递减， g (u)≥g(1)=1>21，不等式成立。

（2）当u ∈(1, 2)，lnu<u-1（函数性质），g(u)=u-lnu-u u ln >u-(u-1)-u 1-u =u 1>21，不等式成立。

（3）当u ∈[2, e)，ln(u)-1>0，1-u 1>0，g'(u)>0，g(u)递增，g (u)≥g(2)=e ln 2322ln 23-2->=21，不等式成立。

考点四。

放缩构造法4.（1）已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x， g(x)＝ax＋32x＋1＋2xcos x．当x∈[0,1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤11x+； (2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．证明：(1)要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)e x.记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)e x，则h′(x)＝x(e x－e－x)，当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0,1]．要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11x+，只需证明e x≥x＋1.记K(x)＝e x－x－1，则K′(x)＝e x－1，当x∈(0,1)时，K′(x)＞0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤11x+，x∈[0,1]．综上，1－x≤f(x)≤11x+，x∈[0,1]．(2)f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－312cos2xax x x⎛⎫+++⎪⎝⎭≥1－x－ax－1－32x－2xcos x＝－x(a＋1＋22x＋2cosx)．设G(x)＝22x＋2cos x，则G′(x)＝x－2sin x.记H(x)＝x－2sin x，则H′(x)＝1－2cos x，当x∈(0,1)时，H′(x)＜0，于是G′(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0,1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2，从而a＋1＋G(x)≤a＋3.所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤3112cos 12xax x x x----+＝32cos12x xax x xx----+＝212cos12xx a xx⎛⎫-+++⎪+⎝⎭，记I(x)＝2112cos()121xa x a G xx x+++=++++，则I′(x)＝21'()(1)G xx-++，当x∈(0,1)时，I′(x)＜0，故I(x)在[0,1]上是减函数，于是I(x)在[0,1]上的值域为[a＋1＋2cos 1，a＋3]．因为当a＞－3时，a＋3＞0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)＞0，此时f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．。