构造函数(含答案)
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构造函数
常见构造函数方法：
1.利用和差函数求导法则构造
（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或； （2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或； （3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造
（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或； （2）)0)(()
(g )
()()0(0)()(-)(g )(≠=
⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或； （3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或； （4）)0(x
)
()()0(0)(-)(x ≠=
⇒<>'x x f x F x f x f 或； （5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n
=⇒<>+'或; (6))0(x
)
()()0(0)(n -)(x n ≠=
⇒<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x
=⇒<>+'或; (8))0(e )
()()0(0)(-)(x
≠=
⇒<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx
=⇒<>+'或; (10))0(e
)
()()0(0)(k -)(k x
≠=
⇒<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;
(12))0(sin sinx )
()()0(0tan )(-)(≠=
⇒<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos )
()()0(0)(tanx )(≠=
⇒<>+'x x
x f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;
(15)()+lna ()0(0)()()x
f x f x F x a f x '><⇒=或;
(16)
()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=
或;
考点一。直接构造法
1．（1）已知()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（ ）
A.2(2)(3)(log )a f f f a <<
B.2(3)(log )(2)a f f a f <<
C.2(log )(3)(2)a f a f f <<
D.2(log )(2)(3)
a
f a f f <<
解：由题：对称轴x=2,
单增，
时，单减，当时，当（)(f 2x )(f 2x 0)()2x x x x f ><∴>'-C ,1624,2log 12选<<<<∴a a 。
（2）设a ＞0，b ＞0．( )
A ．若a
2222b
a b +>+，则a ＞b B ．若a
2222b
a b +>+，则a ＜b C ．若a
2222b
a b ->-，则a ＞b D ．若a
2222b
a b ->-，则a ＜b
解：对选项A ：构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A 。
（3）已知函数()f x 满足(2)1f =，且()f x 的导函数()1f x x '>-，求解不等式2
1()12f x x x <
-+。
解：2x ,0)2(g )(g 01)()(,121
)()(g 2<=>+-'='∴-+-=故解集为：单增，，则x x x f x g x x x f x 。
（4）已知函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，求解不等式()1
x
x
e f x e >-。 解：
x ,0)0(g (g ,0)1)()(()(,1)()(g >=>-'+='∴+-=故解集为：）单增，则令x x f x f e x g e x f e x x x x 。
（5）若)(x f 满足1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，求解不等式3
()1x f x e
>
+。 解：令0
)(3)(13)(f )(g >=--=--=x x
x x x e x h e e x f e e x x ，)1)()(()(h -'+='∴x f x f e x x
>0,g(x)单调递增，g(0)=f(0)-4=0,则g(x)>0,故x>0.
（6）若函数f(x)满足：2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，求解不等式2
()x
f x e >。
解：令g(x)=2)(f x e x ,则222
)()
21
)()(()(g x x
e x
f x f e x -'='>0,则单调递增，1)4(ln )4(ln
g 2
4
ln ==e f ，则g(x)>g(ln4),不等式2
()x f x e >的解为：x>ln4.