线面角与面面角优秀课件
第6节 第1课时 线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的
方向向量为u,平面α的法向量为n,则 sin θ=|cos<u,n>|=
u·
|u|||
离就是在直线 l 上的投影向量的长度.因此 PQ=
·
||
=
·
||
=
| ·|
.
||
常用结论
最小角定理:cos θ=cos θ1cos θ2.
如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为
平面α内的一条直线,其中θ为直线OA与OC所成的角,θ1为直线OA与OB所
题组三 连线高考
7.(1992·全国,理14)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别
为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为( D )
√3
A.
2
√10
B.
10
3
C.
5
2
D.
5
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空
是向量a,b的夹角.( × )
3.设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a,b
的夹角的大小.( × )
4.利用||2= ·可以求空间中有向线段的长度.( √ )
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正
解析 由题得,B(1,0,0),B1(1,0,2),C(0,1,0),
《线面角以及面面垂直的判定定理》PPT
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
《线面角与面面角》课件
如何计算
1
线面角
选择一条线和一个平面，找到线与平面交点，计算交点处平面上的两条不同切线 之间的角度。
2
面面角
选取两个平面，找到它们的交线，计算交线处两个平面的切线之间的角度。
3
计算示例
通过实际例子演示如何计算线面角和面面角，加深对概念和计算方法的理解。
总结
线面角由一条线和一个平面组成，可以用来计算体积和表面积。 面面角由两个平面的交线组成，同样可以用于计算体积和表面积。 它们的概念和计算方法在几何学、工程学和科学研究中具有重要性。
线面角与面面角
本PPT将介绍线面角与面面角的概念，以及它们在几何学中的重要性。
线面角
定义：线面角是一个平面角，由一条线与一个平面的交点及该交点上平面的 两条不同的切线组成。
计算：线面角的度数等于其对应的平面角的度数。
应用：线面角在计算体积和表面积时经常用到，并且在水力学、物理学和化 学等领域中也有广泛应用。
重要性与应用
建筑设计
利用线面角和面面角的计算，可以优化建筑设 计，提高建筑空间的利用效率。
科学研究
线面角和面面角在物理学、化学等科学研究中 有广泛应用，帮助科学家理解分子结构和物质 特性。
工程计算
在结构工程和机械工程等领域，线面角和面面 角的计算常用于设计和分析复杂系统。
计算机图形学
通过立体几何的概念，可以在计算机图形学中 模拟和渲染复杂的三维场景。
面面角
定义：面面角是由两个平面的交线及其相应的切线所构成的平面角。 计算：面面角的度数等于其对应的空间角（即三维角度）的度数。 应用：面面角同样在计算体积和表面积时经常用到，且在物理学、数学建模 和工程领域中起着重要的作用。
计算体积和表面积
线线角、线面角、面面角专题
线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。
例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。
一、 二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个BMH S CA _ C _1_1_A _1A_ C半平面叫做二面角的面。
2. 二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. 巩固练习1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与a 异面；B.α内不存在与a 平行的直线；A 1D 1B 11 EDBCAC.α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（ ）A.030B.045C.060D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A.3B.4C.6D.84.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（ ） A.300B.450C.600D.9005．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．7.如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；ABC D A 1B 1C 1D 1。
高三数学线线角线面角(中学课件201911)
P
D
C
A
O
B
课堂小结
（1）高考基本内容:向量的概念、向量的 几何表示、向量的加减法、实数与向 量的积、两个向量共线的充要条件、 向量的坐标运算以及平面向量的数量 积及其几何意义、平面两点间的距离 公式、线段的定比分点坐标公式和向 量的平移公式。
(2)高考热点：何等应用
热点题型2: 直线与平面所成角
A1
F
C
A
C1 E B1
B
热点题型3: 立体几何中的探索问题
如图，在四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩
形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 3，BC=1，
PA=2，E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（内Ⅱ找一）点在N侧，面使PANBE⊥P
面PAC，并求出N
E
点到AB和AP的距离
D
C
A
B
热点题型4: 立体几何与转化的思想
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面
ABC． (Ⅰ)当k＝
大小；
1 2
时，求直线PA与平面PBC所成角的
(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好
为△PBC的重心？
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
热点题型1: 异面直线所成角
C1
B1
A1
C
B
A
D
；鹰眼智客 大数据营销笔记本:
；
线线角和线面角
线线角和线面角[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。
[知识要点]：一、线线角1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.2、范围:(0,]3. 向量知识：对异面直线AB和CD(1)；(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角；(3)二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,).2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为，3、范围: [0,]。
4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
6、向量知识（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.[例题分析与解答]例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.解：∵，，∴∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴∴又∴∴所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）解法一：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，∴BE⊥PD.(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））易知，∴BH//CD.∵G、H分别为ED、AD的中点，∴HG//AE则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，而，，，在ΔBHG中，由余弦定理，得，∴.∴异面直线AE、CD所成角的大小为.解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，则，，，，，（1）证明：∵∴∴∴（2）解：∵∴∴异面直线AE、CD所成角的大小为例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为4，则D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).则，∴，∵.∴∴BE1与DF1所成角的余弦值为点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2）二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量．： ]【规律技巧】平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．【典例讲解】【例1】如图，在四棱锥P。
ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1）求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明:AE⊥平面PCD；（3)求二面角A－PD－C的正弦值．（1)解在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB。
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD,故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC。
又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD。
由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC。
又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
(1）证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C－PB－D的大小．（1）证明如图所示,连接AC，AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中,EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.【针对训练】1．如图,四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2错误!，PA＝2,E 是PC上的一点,PE＝2EC。
高三数学线线角线面角(PPT)5-2
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
护林～住风沙。②名起遮蔽或阻挡作用的东西：越过～｜清除～。 【馝】［馝馞］（）〈书〉形形容香气很浓。 【箅】［箅子］（?）名有空隙而能起间隔 作用的器具，如蒸食物用的竹箅子，下水道口上挡住垃圾的铁箅子等。 【弊】①欺诈蒙骗、图占便宜的行为：作～｜营私舞～。②害处；毛病（跟“利”相 对）：兴利除～｜切中时～。 【弊病】名①弊端：管理；广东海绵厂 广州海绵厂 广东海绵厂 广州海绵厂 ；混乱，恐有～。②缺点或毛 病：制度不健全的～越来越突出了。 【弊端】名由于工作上有漏洞而发生的损害公益的事情：消除～。 【弊害】名弊病；害处。 【弊绝风清】ī形容社会风 气好，没有贪污舞弊等坏事情。也说风清弊绝。 【弊政】〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 【髲】〈书〉假发。 【獘】〈书〉同“毙”。 【薜】 ①［薜荔］（）名常绿藤本植物，茎蔓生，叶子卵形。果实球形，可做凉粉，茎叶可入。②（）名姓。 【觱】［觱篥］（）名古代管乐器，用竹做管，用芦 苇做嘴，汉代从西域传入。也作觱栗、??篥、筚篥。 【篦】动用篦子梳：～头。 【篦子】?名用竹子制成的梳头用具，中间有梁儿，两侧有密齿。 【壁】① 墙：～报｜～灯｜家徒四～◇铜墙铁～。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。③像墙那样直立的山石：绝～｜峭～。④壁垒：坚～清 野。⑤二十八宿之一。 【壁报】名机关、团体、学校等办的报，把稿子张贴在墙壁上。也叫墙报。 【壁布】名贴在室内墙上做装饰或保护用的布。 【壁橱】 名墙体上留出空间而成的橱。也叫壁柜。 【壁灯】名装置在墙壁上的灯：一盏～。 【壁挂】名挂在墙壁上的装饰物：毛织～｜印染～｜木雕～。 【壁柜】 名壁橱。 【壁虎】名爬行动物。身体扁平，四肢短，趾上有吸盘，能在壁上爬行。吃蚊、蝇、蛾等小昆虫，对人类有益。也叫蝎虎。旧称守宫。 【壁画】名 绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。 【壁垒】名①古时军营的围墙，泛指防御工事。②比喻对立的事物和界限：两种观点～分明｜唯物主义和唯 心主义是哲学中的两大～。 【壁垒森严】比喻防守很严密或界限划得很分明。 【壁立】动（山崖等）像墙壁一样陡立：～千仞｜～的山峰。 【壁炉】名就 着墙壁砌成的生火取暖的设备，有烟囱通到室外。 【壁球】名①球类运动项目之一。场地一端是一面墙，比赛时一方向墙击球，球弹回落地后由另一方回击。 分单打和双打。也叫壁式网球。②壁球运动使用的球，用纯橡胶或合成橡胶制成。 【壁上观】见页〖作壁上观〗。 【壁虱】ī名①蜱（）。②〈方〉臭虫。 【壁式网球】
用空间向量研究夹角问题(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
几何法求线面角、二面角及探索性问题-高考数学复习课件
3
1
由[例2]可知， PM ＝ ， MB ＝ ， S △ PAB ＝
3
2
2
2
3
1
又∵ PB ＝ 2 ＋2 ＝
＋
＝
3
2
S △ PAB ＝
2×
2 7
7
2×
2
3
1
2 7
＝ PB ·AE ，∴ AE ＝
，
6
2
7
−1
∴ cos
3
.
6
21
，
6
2 2 − 2
∠ BAC ＝90°，点 M ， N 分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证： MN ∥平面AA'C'C；
证明：如图，取 A ' B '的中点 E ，连接 ME ， NE .
因为 M ， N ， E 分别为A'B，B'C'和A'B'的中点，
所以 NE ∥A'C'， ME ∥AA'.
又A'C'⊂平面AA'C'C，AA'⊂平面AA'C'C， NE ⊄平面
如图所示，在正四棱锥 P － ABCD 中，取 AB 的中点为 H ，底面正方形的
中心为 O ，连接 OH ， PH .
因为 PH ⊥ AB ， OH ⊥ AB ，所以∠ PHO 为侧面与底面所成的角.
因为 PO 为高，所以 PO ⊥平面 ABCD ，所以 PO ⊥ OH ，
所以在Rt△ POH 中，又 OH ＝ ， PO ＝ a ，
∠ AEC ＝
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3.解题技巧：
线面角找射影
小结归纳
1. 直线与平面所成角的计算步骤
作
证
构
出
明
造
所
所
三
求
作
角
的
的
形
空
角
并
间
符
求
角
合
角
“一作” “二证” “三算”
【课外延伸】
1.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的 正方形，PD⊥底面ABCD, PD=AD, E为 AB的中点。求：(1)异面直线PB与CE 所成 角的余弦值(2)直线DC与平面PBC所成角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
A1
B1
D
C
O
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1E
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
A1
B1
E
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
A1C与平面A1B1C1D1所成角是：∠ 。
B1 C
A
B
【热身练习】
如图，正方体ABCD—A1B11C1D1.
D1
A1C与平面A1B1BA所成角是：∠ 。
C1
A1
B1
A1C与平面A1D1DA所成角是：∠ 。
D C
A1C与平面A1B1C1D1所成角是：∠ 。
A
B
【例1】已知正方体的棱长为a，(1)求直 线AB1和平面A1B1C1D1所成的角；
OB，射线OA、OB组成∠AOB．
4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． ① 二面角的两个面重合： 0o； ② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
寻找二面角的平面角
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．
棱为l，两个面分 l
别为、的二面角记
为 -l- ．
4．二面角的大小 怎样度量二面角的大小？能否转化
为两相交直线所成的角？
在二面角-l-的 l
棱l上任取一点O，如 O
图，在半平面 和
B
A
内，从点 O 分别作垂
直于棱 l 的射线OA、
【例1】已知正方体的棱长为a，(2)求直 线DB1和平面A1B1C1D1所成的角的余弦 值；
练习1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是 A1D1的中点，求EB和平面ABCD所成角的 正切值。
F
【思考】已知三棱锥A-BCD的各棱长都为2， 求直线AB与平面BCD所成角的大小。
O
小结归纳
A B
C E
的大小。
P
D
A
E
C B
2：P是所在平面外一点，且
PA=PB=PC=10,AB=6,BC=8,CA=10， 求PA、PB、PC分别与平面ABC所成的角。
O
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求A1B和平面A1B1CD所成的正切值角。
D1
C1
A1
B1
O
D C
A
B
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角的平面角
在正方寻体找A二B面C角D-的A平’面B角’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
寻找二面角的平面角
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
线段C1D C1
A1Байду номын сангаас
B1
D
C
A
B
【热身练习】
如图，正方体ABCD—A1B11C1D1.
A1C与平面A1B1BA所成角是：∠ 。
D1
C1
A1C与平面A1D1DA所成角是： ∠ A1。
D
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三
3 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ ，3
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
平面内,我们说它所成的角是00的角。
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
注意2
• 斜线与平面所成的角θ的取值范围
0
是：
2
。
• 直线与平面所成的角θ的取值范围
是：
0
2
。
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
线面角与面面角优秀课件
1.直线和平面所成的角
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角。规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
角是直角；一条直线和平面平行,或在