六年级数学抓住不变量解应用题教学教材
人教版六年级上册数学精品教学基本方法复习 抓不变量法
抓不变量法
在数学问题中，常常会出现数量的增减变化，但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。
解题时可以抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量之间的关系，从而找到解题的突破口，把问题解答出来。
【典型例题】
科技书和文艺书共有450本，其中科技书的本数占总本数的9
2，现在又买来一些科技书，此时科技书的本书占总本数的7
2，又买来多少本科技书？ 【方法指导】
此题可抓住不变的数量“文艺书的本数”来解答。
根据原来科技书和文艺书的总本数及文艺书对应的分率⎪⎭
⎫ ⎝⎛-921，先求出文艺书的本数。
又买来一些科技书后，文艺书的本数没
有变化，文艺书对应得分率变为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-721，用文艺书的本数除以对应的分率⎪⎭
⎫ ⎝⎛-721，再求出现在科技书和文艺书的总本数，最后用现在科技书和文艺书的总本数减去原来科技书和文艺书的总本数，即可求出又买来多少本科技书。
【方法指导】
（本）
（本）（本）140350490490721350350921450=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯ 答：又买来40本科技书。
【同步练习】 现有含糖101的糖水160g ，把这些糖水变成含糖51的糖水，需要加多少克糖？。
抓住不变量解分数应用题(教师版)
抓住不变量解分数应用题例1、公园里有杨树、柳树、桃树和梅树，已知杨树占其他三种树的31，柳树占其他三种树的53，桃树占其他三种树的111，梅树有14课，问公园里杨树、柳树、桃树和梅树共有多少课？ 分析：这里的分率31、53、111的标准量各不相同，很难直接参加列式。
但我们应观察到四种树的总量不变，故可对条件进行转化，统一标准量。
“杨树占其他三种树的31”可转化为“杨树占四种树的41”； “柳树占其他三种树的53”可转化为“柳树占四种树的83”；“桃树占其他三种树的111”可转化为“桃树占四种树的121”。
由此可推出，梅树占四种树的1-41-83-121=247。
又知道，梅树有14课。
本题可简化为：四种树总数的247是14棵，求四种树共有多少棵？列式：14÷（1-41-83-121）=14÷247=48（棵） 例2、某班原来女生是男生的85，后来又调进4名女生，这时女生是男生的43，求这个班原有男生多少人？ 分析：抓住男生的人数不变进行分析，分析增加的4名女生占男生的几分之几，再列式计算。
列式：4÷（43-85）=4÷81=32（人）例3、有两条绳子，一条长21米，一条长13米，把两条绳子剪下同样长的一段后，发现短绳子剩下部分是长绳子剩下部分的138，求两条绳子各剪下多少米？ 分析：抓住两条绳子的差不变进行分析，先分析这个差（8米）占长绳子剩下部分的135，求出长绳子剩下部分的长度，再求出剪去的长度。
列式：21-（21-13）÷（1-138）=21-8÷135=21-2054=51（米） 练习精选 1. 甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？【思路点拨】现在甲是(180+10)÷2=95吨 所以, 原来甲95÷(1-1/3)=142.5吨 乙 180-142.5=37.5吨2.现有质量分数为20％的食盐水80克。
六年级第6讲-抓“不变量”解题教案
答：连接北斗七星勺形前端的两颗星，并将连线向勺口方延长约5倍远，处于此位置的那颗星就是北极星。例题讲解
ppt出示有学生４８人，六年二班有学生５６人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多 ，两个班各转出多少人？
老师：两个班的人数都发生变化。谁不变呢？
练习
1、能力探索5
2、练习反馈形式：板演，教师批改。
高级挑战2
例题讲解
ppt出示例题
王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9：4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？
差相等
3：2
9：4
9-3=6
4-2=2
3：2=15：10
15-9=10-4=6份
王叔叔每月工资：1200×（15-9）×15=3000元
：
练习
1、能力探索4
2、练习反馈形式：板演，教师批改。
1、焚烧处理垃圾的优缺点是什么？
9、淡水是我们人类和其他生物生存的必需品，但是地球上的淡水资源十分有限，地球上的多数地区缺水。
16、空气是我们生命中生时每刻都需要的地球资源，大气污染影响着我们的健康，如大气中的飘尘易使呼吸系统发生病变。减少废气和废物排放是控制大气污染最根本的办法。
记笔记
部分不变的性质
思维速记：差不变
初级挑战2
例题讲解
ppt出示例题
今年妈妈54岁，女儿26岁，当女儿的年龄是妈妈的 时，妈妈多少岁？
让学生理解题意
老师：不变量是什么
学生：年龄差不变
老师：对了，能不能找出年龄差的对应关系？
学生；把妈妈当成整体“1”。然后对应分数差
老师板书
练习
1、能力探索2
六年级利用寻找不变量解答分数应用题
六年级利用寻找不变量解答分数应用题——教师版〖书海导航〗分数解决问题中有一些题目看似很复杂，但实际如果我们仔细去分析，看看题中哪些是变量，哪个是不变量。
通过抓住不变量解题，往往可以使解题过程十分简单。
解答时关键要“统一不变量，再看变量”或让不变量做分母等方法进行解答。
〖孤岛寻宝〗[例1] 将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
寻宝路线图：解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的分子与分母的差不变，所以将79 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
〖巧练密笈〗1．分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？1．分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？〖孤岛寻宝〗[例2] 将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。
寻宝路线图：解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
六年级上册数学试题-专题训练 分数应用题之抓住不变量 苏教版
六年级上册数学试题-专题训练分数应用题之抓住不变量苏教版本文介绍了分数应用题中的“抓住不变量”方法，即先求出不变量，然后以不变量为单位，列出等式或不等式，从而解决问题。
具体来说，分为三种类型：分量不变（量已知）、分量不变（量未知）和差量不变（量已知）。
在每种类型中，通过列出等式或不等式，可以求出未知量的值。
在分量不变（量已知）类型中，需要先求出不变量，然后以不变量为单位，列出等式，从而求出未知量的值。
例如，在甲乙两人共有160元，其中甲占3/5的情况下，甲用去一些后，甲剩下的是两人剩下总数的1/5，需要求出甲用去多少元。
解决方法是，先求出不变量为160/5=32，然后以不变量为单位，列出等式3/5x-32=2/5x，解得x=80，即甲用去80元。
在分量不变（量未知）类型中，同样需要先求出不变量，然后以不变量为单位，列出等式，从而求出未知量的值。
例如，在甲钱是乙钱的2/5的情况下，甲用去20元后，甲钱是乙钱的3/5，需要求出原来两人各有多少元。
解决方法是，先求出不变量为2/5x，然后以不变量为单位，列出等式2/5x-20=3/5x，解得x=100，即原来甲乙各有100元。
在差量不变（量已知）类型中，需要求出两个量的差不变，然后列出等式或不等式，从而求出未知量的值。
例如，在苹果40千克，梨60千克，各吃了同样多后，苹果是梨的情况下，需要求出各吃了多少千克。
解决方法是，设吃了x千克，那么梨吃了60-x千克，由于差量不变，所以有40-x=60-x，解得x=10，即各吃了10千克。
最后，通过“抓住不变量”方法，可以在解决分数应用题时更加高效地找到解题思路，从而快速解决问题。
第五讲 六年级数学分数除法应用题(三)“不变量”解题
第五讲 分数除法应用题（三）“不变量”解题一、夯实基础有些分数应用题，数量变化多，分析难度大，不易列式计算。
但是，如果我们仔细分析就会发现，变来变去，总有一个量是不变的，这就是我们所说的“不变量”。
对于这类分数应用题，我们通常是抓住“不变量”，巧设单位“1”，把其他分率统一转化为同一个单位“1”，求出单位“1”的量，把它作为解题的中间条件，问题就迎刃而解了。
运用“量不变”的思维方法解题时，大体上有以下几种情况：（1）分量发生变化，总量没有变化；（2）总量发生变化，但其中有的分量没有发生变化；（3）总量和分量都发生变化，但分量之间的差没有发生变化。
二、典型例题例1．学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占94，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的199。
问后来又有几名女生来看书？例2．有两缸金鱼，如果从甲缸中取出1尾放入乙缸，则两缸的金鱼尾数相等，如果从乙缸中取出1尾放入甲缸，则乙缸是甲缸的21。
求原来甲、乙两缸各有金鱼多少尾？例3．一筐香蕉，筐的重量是香蕉的121，卖掉19千克后，剩下的香蕉重量是筐重量的25倍，求原来筐里有香蕉多少千克？三、熟能生巧1．某校原有科技书和文艺书共630本，其中科技书占20%，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的30%，求又进科技书多少本？2．小芳在看一本小说，晚饭前，已看的页数是未看的71，晚饭后，她又看了8页，这时已看的页数是未看的61，这本小说有多少页？3．某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍。
这个车间的女工有多少人？四、拓展演练1．一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？2．有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的75。
如从乙粮库调6吨到甲粮库，甲粮库存粮的吨数就是乙的54。
原来甲、乙粮库各存粮多少吨？3．袋中有若干个皮球，其中花皮球占125，后来往袋中又放入了6个花皮球，这时花皮球占皮球总数的21，现在袋中有多少个皮球？星级挑战★1．小强和小明各有图书若干本。
六年级奥数解题指导(第10讲)：分数应用题寻找不变量_
六年级奥数解题指导（第10讲）：分数应用题寻找不变量_较复杂的分数应用题中，一个数量的变化会引起相关联的数量的变化，使题中几个已知分率分别对应于不同的单位“1”，解题时需要对这些分率进行转化，先转化成统一的单位“1”，以便于理清具体数量和对应分率之间的关系。
前面已经学习了《单位“1”的转化》，请查阅：【原创】六年级奥数解析（十）单位“1”的转化（一）当题中已知分率对应的不同单位“1”之间没有直接的倍比关系，彼此不能直接转化时，就需要在题中变化的数量里找出隐藏的不变的量作为解题的中间条件统一的单位“1”，再把题中已知分率都转化为统一的单位“1”，从而能使问题迎刃而解。
此类分数应有题常见题型有：部分量不变、总量不变、相差量不变。
《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习1【题目】：甲的书本数是乙的3/4，甲给乙6本书后，甲的书的本数是乙的3/5，甲原有书多少本？【解析】：“甲给乙6本书后”，甲、乙各自的书的本数都发生了变化，但甲、乙两人书本总数没有发生变化，可把这个不变的总量看作单位“1”。
则甲原有书本数是两人书本总数的：3÷（3＋4）＝3/7；甲给乙6本后，甲的书本数是两人书本总数的：3÷（3＋5）＝3/8；甲先后拥有的书的本数相差6本，即甲、乙两人书本总数的3/7比总数的3/8多6本。
所以两人书本总数为：6÷（3/7－3/8）＝112（本），甲原有书：112x3/7＝48（本）。
《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习2【题目】：一包糖，奶糖占总块数的1/3，放入18块水果糖后，奶糖占总块数的2/9，奶糖有多少块？【解析】：“放入18块水果糖后”，总块数发生了变化，但奶糖的块数没有发生变化，可把奶糖的块数看作单位“1”。
六年级奥数第15讲-抓“不变量”解题(教)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第15讲——抓“不变量”解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想解决现实教学目标生活中的问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。
如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。
但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。
在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。
抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。
根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。
典例分析考点一：总量不变题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。
解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。
例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名)。
P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。
2019-2020年小学数学奥数六年级《抓不变量解答分数应用题》教案设计
抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。
如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。
又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。
把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。
那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克?3、乙队原有人数是甲队的3/7。
抓住不变量,解分数应用题的方法
抓住不变量解分数应用题的方法例1、甲乙两个班，甲班的人数是乙班的54，现在从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是乙班的43。
甲班原有多少人？分析与解答：解决这道题的关键就是抓住两班的总人数不变，由于甲班的人数是乙班的54，则甲班人数是两班总人数的454+=94，同理从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是两班总人数的433+=73，这时乙班男生人数比甲班男生人数多了总数的73-94=631，则总人数的631就是从甲班调2位男生到乙班的人数所对应的分率，那么两班的总人数就是2÷631=126（人），再由甲班的人数是乙班的54可知，甲班人数占总人数的94，因此甲班有126×94=56（人）。
例2、六（1）班男生是女生的54，后来又招来2名女生，现在男生是女生的43。
六（1）原来有多少人？分析与解答：解决这道题的关键是抓住招聘前后的男生人数不变，由于招聘前男生是女生的54，则女生人数是男生人数的45，后来又招来2名女生后女生人数是男生人数的34，这时女生人数就比男生人数多了34-45=121，那么男生人数有2÷121=24（人），由男生是女生的54可知，男生人数是全班人数的454+=94，所以六（1）原来有24÷94=54（人）。
例3、六年级男生占全年级人数的52，现在男生和女生各增加100人，这时男生人数占全年级人数的125。
现在六年级男生、女生各有多少人？分析与解答：解决这道题的关键是抓住男女生人数差不变，增加前，男女人数差占全年级的523-=51=102(差相同)，增加后，男女人数差占全年级的1257-=122，因为男生和女生各增加100人，那么总人数就增加了100×2=200（人），由上面分析可知，总人数增加200人以后，总人数增加了12-10=2（份），说明每份就是200÷2=100（人），又因为男生和女生各增加100人后男生人数占全年级人数的125，说明现在男生人数占5份，女生人数占12-5=7份，所以现在男生人数有100×5=500（人），女生有100×7=700（人）。
巧抓不变量解题
第5讲 巧抓不变量解题知识导航在解决分数应用题时，有些时候需要找准题目的不变量，抓不变量来解决。
共有三种形式：一是抓住和不变；二是抓住部分不变；三是抓住差不变。
精典例题例1:有含糖率为7％的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖? 思路点拨模仿练习有含盐率15％的盐水200千克，要使含盐率降为5%，需要加水多少千克？例2：某校合唱队人数是舞蹈队人数的23,如果将合唱队队员调10人到舞蹈队,则合唱队人数变为舞蹈队人数的87,原合唱队有多少人？思路点拨模仿练习某校一年级有两个班，一班人数是二班人数的53，从二班调5人到一班后，一班人数是二班的人数的97,求原来一、二班共有多少人?例3:将40千克含盐25％和60千克含盐10%的两种盐水混合在一起，求混合后盐水的浓度.思路点拨模仿练习浓度为 70%的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后所得的酒精溶液的浓度是多少？例4：某校六年级有学生260人，其中男生占全年级总数的138，为了让女生至少能占总人数的73，那么至少还要招多少名女生？模仿练习一个装有各种颜色钢笔的盒中，共装有36支，其中黑色钢笔支数占总数的125,后来又放进一些黑色钢笔，这时黑色钢笔占总数的32，后来放进多少支黑色钢笔？现在共有黑色钢笔多少支？拓展练习1。
五一班原计划抽51的人参加大扫除，临时又有2人主动参加，使实际参加大扫除的人数是余下人数的31，则原计划抽出多少人参加大扫除？2。
某学校开学时中学生占10061，后来有50名小学生转入，这样中学生就只占全校人数的53。
那么开学时有小学生多少人？家庭作业1. 把含盐10%的盐水20千克，改制成含盐20％的盐水。
需要加盐多少千克？2。
有盐水750千克，含盐20％，加了一些水后含盐8%，加水多少千克？思维点拨：可以抓黑子不变,用列方程来解3. 将80千克含盐25%和20千克含盐10%的两种盐水混合在一起，求混合后盐水的浓度。
〖2021年整理〗《林光明抓不变量巧解题》优秀教案9
变中抓不变（总量不变）执教教师：漳州市华安县高安中心小学林光明指导教师：漳州市华安县高安中心小学邹晓红教学设计思考和提出的问题如何抓住变量中的不变量为解题突破口⒈起点。
知识起点：学生已经掌握分数乘、除法应用题的解题思路以及它们之间的内在联系。
已有生活认知：单位“1”不同需要转化统一。
思维特点：变中抓不变是一个相对抽象的思想，学生在处于从具体到抽象的过渡的思维阶段，如何顺利把握知识的要点，提升思维尤为关键。
⒉终点。
让学生经历整理信息、利用信息的过程，抓准单位“1”，把不变量往单位“1”统一。
⒊过程与方法。
让学生经历“联想”，加深理解和掌握分数应用题解题思路与方法。
把不变量往单位“1”统一是学生学习最大的难点，其难在于学生在探究时，无法找准单位“1”的量，本课在探究过程中，先让孩子感受单位“1”的转化尝试，再介绍变中抓不变的三种形式，为学生形成变中抓不变的思想做好铺垫。
教学内容《义务教育教科书·数学》（人教版）六年级上册解决问题之变中抓不变教学目标1、使学生进一步掌握分数乘、除法应用题的解题思路以及它们之间的内在联系。
加深理解和掌握分数应用题解题思路与方法。
2、使学生会正确、熟练地解答分数应用题,提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、使学生经历整理信息、利用信息的过程，初步学习统筹兼顾、优化组合的本领。
4、培养学生的合作意识和自主学习的能力，体会数学就在身边，让学生感受到学习数学的乐趣。
教学重点：找准单位“1”,理清单位“1”的量、分率及分率对应量之间的关系。
教学难点：抓准单位“1”，把不变量往单位“1”统一。
教学具：自制PPT课件、学习单。
教学过程一、故事情境，激发兴趣。
1、讲小猴分桃的故事，学生解疑。
2、找不变量。
3、揭示板书课题。
【设计意图：通过故事情景和抓不变量的练习，既激发学生的学习兴趣，又了解变中抓不变的三种形式，为学生形成变中抓不变的思想做好铺垫。
】二、合作探究，尝试解决。
【例1】高安中心小学合唱队人数是舞蹈队人数的 ，如果将合唱队队员调6人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的 ，原合唱队、舞蹈队一共有多少人？ 1.学生讨论交流，尝试解答。
用不变量解分数应用题(导学案)人教版六年级上册数学
用不变量解分数应用题（导学案）人教版六年级上册数学一、引言在小学数学教育中，分数应用题是一个重要的教学内容。
人教版六年级上册数学教材针对分数应用题进行了详细的讲解，其中，利用不变量解决分数应用题是一种常用的解题方法。
本导学案将围绕不变量解分数应用题进行深入探讨，旨在帮助学生掌握这一解题技巧，提高解题能力。
二、不变量的概念及分类1. 概念不变量是指在问题情境中保持不变的量。
在分数应用题中，不变量可以帮助我们找到问题之间的数量关系，从而顺利解题。
2. 分类（1）总量不变：在分数应用题中，总量不变是指整个问题的总量保持不变。
例如，一个班级有40名学生，其中男生占1/4，求女生人数。
在这个问题中，班级总人数40就是一个不变量。
（2）比例不变：在分数应用题中，比例不变是指问题中的比例关系保持不变。
例如，一个长方形的长是宽的3/2，已知宽为4厘米，求长。
在这个问题中，长和宽的比例关系3:2就是一个不变量。
三、用不变量解分数应用题的步骤1. 确定不变量：首先要认真审题，找出问题中的不变量。
不变量可能是总量，也可能是比例关系。
2. 表示未知数：根据问题，用未知数表示需要求解的量。
例如，设未知数为x、y等。
3. 建立方程：根据不变量，建立方程。
方程可能是简单的比例关系，也可能是复杂的代数方程。
4. 解方程：利用数学方法求解方程，得到未知数的值。
5. 检验结果：将求得的未知数值代入原问题，检验是否符合题意。
四、典型例题解析例1：一个班级有40名学生，其中男生占1/4，求女生人数。
解析：首先，确定不变量为班级总人数40。
其次，设女生人数为x。
根据不变量，建立方程：男生人数女生人数 = 40。
将男生人数表示为1/4 40，代入方程，得到：1/4 40 x = 40。
解方程，得到女生人数x = 30。
例2：一个长方形的长是宽的3/2，已知宽为4厘米，求长。
解析：首先，确定不变量为长和宽的比例关系3:2。
其次，设长为x。
根据不变量，建立方程：长/宽 = 3/2。
六年级 抓不变量解题 -六年级必考,大班课课件
第12讲 抓不变量解题1.有关X的“灵魂⼋问”2.抓不变量解题男⽣与⼥⽣的⽐是5:3，如果把男⽣当成X，则⼥⽣为_____男⽣与⼥⽣的⽐是7:3，如果把⼥⽣当成X，则男⽣为_____男⽣与⼥⽣的⽐是5:3，如果把全班当成X，则⼥⽣为_____4男⽣是⼥⽣的 ，如果把男⽣当成X，则⼥⽣为_____94男⽣是⼥⽣的 ，如果把全班当成X，则男⽣为_____94男⽣是⼥⽣的 ，如果把⼥⽣当成X，则全班为_____94男⽣是全班的 ，如果把⼥⽣当成X，则男⽣为_____9男⽣是全班的30%，如果把男⽣当成X，则⼥⽣为_____学校合唱团男⽣⼈数是⼥⽣的40%,⼜来了3名⼥⽣后,男⽣3⼈数是⼥⽣的 .学校合唱团有男⽣多少⼈?8兄弟两⼈各有⼈⺠币若⼲元,其中弟的钱数是兄的80%,若弟给兄24元,则弟的钱数是兄的 ,求兄弟两⼈原来各有多少元?3“抓不变量解题”的⼀般步骤国庆节前⼣，六（2）班同学分成两个组打扫卫⽣，第⼀组和第⼆组⼈数⽐是7：3，后来发现第⼆组⼈⼿明显不够，于是卫⽣委员从第⼀组派5名同学到第⼆组，这时⼀、⼆两组⼈数⽐是3：2，求六（2）班共有多少名同学？去年王爷爷栽了⼀枇桃树和梨树，桃树和梨树的⽐是5：3，今年春季王爷爷⼜种了7棵梨树，这样梨树占两种树总数的 ，求现在两种有多少棵？115数学课外兴趣⼩组中，上学期男⽣占 ，这学期增加21名⼥⽣后，男⽣就只占 了，这个⼩组现有⼥⽣多少⼈？9552有两筐梨，⼄管是甲筐的 ，从甲筐取出5千克梨放⼊⼄管后，⼄筐的梨是甲筐的 ，甲、⼄两筐梨共重多少千克？5397和定部分定⽅程全搞定差不变今年妈妈54岁，⼥⼉26岁，当⼥⼉的年龄是妈妈的 之时，妈妈多少岁？239有两堆⻩沙,第⼀堆重25吨,第⼆堆重21吨.如果从这两堆中各⽤去同样多的⼀部分后,第⼆堆剩下的吨数是第⼀堆的75%.每堆⽤去的吨数是多少?。
正课第1讲 抓不变量解决问题
解法二：
因为文艺书本数没变，所以可以先求出文艺书本数： 630 ×（1 －20%） ＝504（本）
根据已知条件“这时科技书占总数的30%”可知，买来一部分科技书后文艺书占 两种书总数的
1 －30% ＝70% 则现在两种书的总数：504 ÷70% ＝720（本） 这样就可求出买来的科技书本数：720 －630 ＝90（本）
练习3、 五年级共有学生54人，其中女生占 4/9，后来又转来若干名女生，这时女 生占3/5。转来的女生有多少人？
例4、有一堆糖果，奶糖占45%，其余的是水果糖。再放入16 块水果糖后，奶糖就只占25%，那么这堆糖果中有奶糖多少块？
• 分析：因为只放入水果糖而没有放入奶糖，所有奶糖的数量没有变化，可以 把奶糖的块数看作单位“1”。
练习1、 实验小学六年级学生中女生占7/12,后来 又转来了15名女生，这样女生占六年级总 人数的3/5，六年级原来有多少人？
例2、两筐苹果，乙筐苹果的重量是甲筐的3/5，从 甲筐中取出5千克苹果放入乙筐后，乙筐中苹果的质 量是甲筐的7/9.甲、乙两筐苹果共重多少千克？
分析：这类题属于两部分量发生变化，而总量未变求总量的分数应用题。可以 把两筐苹果总重量看作单位“1”，寻找出甲筐苹果质量变化前后分别占两筐苹 果总重量的分率，确定量率对应关系，进而求出总量。 解：把两筐苹果总重量看作单位“1”， 变化前甲筐苹果质量占两筐苹果总重量的5÷（5＋3）＝5/8 变化后甲筐苹果重量占两筐苹果总重量的9 ÷（9 ＋7） ＝9/16 变化前后甲筐苹果的质量相差5千克，恰好相当于两筐苹果总重量的5/8－9/16 ＝1/16 所以，甲、乙两筐苹果共重：5 ÷1/16 ＝80（千克）。
例1、六年级“美术组”里女生占 2 ，后来又加进了4名女生， 5
六年级数学下册提练第6招巧抓不变量习题课件冀教版
思路分析：本题的不变量是长方形的周长，猫和老鼠同 时从 A 点出发，当猫捉住老鼠时，它们所用的时间相 同，因为老鼠的速度是猫的1114 ，所以猫捉住老鼠时，老
鼠所行的路程是猫所行路程的1114 。
规范解答： 猫捉住老鼠时，猫比老鼠多行的路程： 9×2＝18(米) 猫行的路程：18÷(14－11)×14＝84(米) 老鼠行的路程：18÷(14－11)×11＝66(米) 长方形的周长：84＋66＝150(米) 答：长方形的周长是 150 米。
间原来的人数。
第6招 巧抓不变量
在小学数学题中，常常会出现某些量的增减变 化，在这些量变化的同时，与它们相关的另外一些 量却没有变化，在分析数量关系时，这些“不变量” 往往能起到重要的作用。
例 如图所示，一只老鼠从长方形的顶点 A 点出发， 沿 A → B → C 的方向逃跑，同时一只猫也从 A 点出发，沿着 A → D → C 的方向捕捉老鼠，结 果在BC 边上的 E 点捉住老鼠，已知老鼠的速度
乙车间：42÷ ( 1＋ 16) ＝36(人)
甲车间：36×
1 6
＝6(人)
答：甲车间原来有 6 人，乙车间原来有 36 人。
点拨：根据题意可知甲、乙两车间总人数不变，所以
可以把总人数看成单位“1”，原来甲车间人数占总人
数的
1 1＋6
＝
1 7
，从乙车间调
1
人到甲车间后，这时甲
车间人数相当于总人数的1＋1 5＝16，而 16与 17的差正好 与 1 人相对应，这样可以求出总人数，进而求出各车
3．有两条纸带，一条长 21 cm，一条长 13 cm，把 两条纸带都剪下同样长的一段后，发现短纸带剩
《解决不变量问题》说课稿
《解决不变量问题》说课稿稷王小学陈媛媛一、教材分析：2011年新课标提出：要培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，而应用题主要训练学生“解决什么”和“怎样解决”的问题，对于训练学生的逻辑思维，提高学生的能力起着重要的意义。
在小学数学应用题中尤其分数应用题是一大难点，其中不变量应用题因其独有的结构使多数学生难以入手，这部分应用题是个独立部分，题型多、难度大。
为此我们六年级老师对不变量应用题的解题方法进行了总结，那就是找准不变量，以不变量为突破口，利用不变量和其它数量关系解决问题。
二、教学目标：1、在自主探究中，掌握解答不变量应用题的关键和解答不变量应用题的步骤。
2、能利用所学知识运用不同的方法解决实际问题。
3、经历分析、解答应用题的过程，培养学生的思维能力、语言表达能力、分析问题和解决问题的能力。
三、教学重、难点：重点：掌握解答不变量应用题的方法。
难点：能应用所学知识独立解答实际问题。
四、教法、学法：《新课标》提倡解决问题要具有开放性，这就要求我们教师应当把学生教“活”而不是教“死”，鼓励学生用不同的方法解决问题，以培养学生发散思维，提高学生分析问题和解决问题能力，从而使人人学到有用的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
秉承这一理念，我采用了以下教学方法：1、自主探究，让学生利用已有的知识经验自主探究解决问题的方法。
2、抽象概括，让学生通过解决实际问题抽象，概括出解决问题的方法。
3、合作学习，培养学生的合作能力。
4、分层练习，由基本练习到开放练习，层层深入，不断提高学生思维分析问题和解决问题的能力。
根据本节课的知识特征及六年级学生的认知水平，实现“尊重学生，注重发展”的课堂理念，我设计了以下四个环节：一、谈话导入，从具体到抽象导入本节探究内容；二、自主探究，在实践中归纳方法；三、合作学习，拓展提高，培养学生合作能力、分析问题和解决问题的能力；四、总结交流，理清思路，共同提高。
具体教学过程如下：一、谈话导入，拉近距离。
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分数百分数应用题难题总结
抓住不变量解应用题（一）
1、某学校有男教师48人，占全校教师人数的80%，调入几名女教师后，女教师占全校教师人数的25%，调入女教师多少人？
2、学校阅览室有36名学生看书，其中女生占
94，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的19
9。
问：后来又有几名女生来看书？
3、现有含糖10%的糖水50千克，要将它的含糖率提高到20%，需要加糖多少千克？
4、一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？
5、某校原有科技书和文艺书共630本，其中科技书占20%，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的30%，求又进进科技书多少本？
抓住不变量解应用题（二）
1、育英小学原来男、女生人数的比是7：5，后来又转来12名女同学，这时男、女生人数的比是9：7.学校现有女生多少人?
2、某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍。
这个车间的女工有多少人？
3、甲、乙两种电话的价格之比是7：3，如果他们的价格分别上涨70元后，价格之比 是7：4。
这两种商品原来的价格各是多少元？
4、盒里装着各色圆珠笔，其中红色占
41，后来又往盒里放了8支红色圆珠笔，这时红色圆珠笔占总数的12
5，则原有红色圆珠笔多少支？
5、小强和小明各有图书若干本。
已知小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3.两人一共有图书多少本？。