2.1数列极限答案(1)
2.1数列的极限解析
3. 指数函数y=ax (a>0,且a1)
1 x y( ) a
y ax
y=ex
(a 1)
(0,1)
定义域为(,+) 值域为(0,+) 图像过点(0,1) a>1时,函数单调增;a<1时,函数单调减
4. 对数函数y=logax (a>0且a1)
自然对数y=lnx
y log a x
陆地 C
把七座桥抽象为七条线, 如下图所示：
陆地 D
D
小岛 A
半岛 B
A
B
陆地 C
C
步行七桥问题,就相当于上图的一笔画问题, 即七桥问题的数学模型.能否将上图所示的图形 不重复地一笔画出来, 即问题的实质. 答案是不重 复走过七座桥回到出发点是不可能的.
函数模型的步骤: (1) 分析问题中哪些是变量,哪些是常量, 分别用字母表示 (2) 根据所给条件,运用数学或物理等知 识,确定等量关系 (3) 具体写出解析式y=f(x),并指明定义域
常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函数 统称为基本初等函数
1. 常数函数y=C (C为常数)
y
C o x
定义域为(,+)
值域为{C} 图像为过点(0,C),且平行于x轴的直线
2. 幂函数y=x (为实数)
y y=x2 1
y=x
(1,1)
y x
o
1 y x
1
x
图像过点(1, 1)
思考题: 下列函数能否复合为函数 y=f[g(x)]?若能,写出其解析式、定义域、 值域. (1) y=f(u)= u , u=g(x)=xx2 (2) y=f(u)=lnu , u=g(x)=sinx1 解答: (1) y=f[g(x)]= x x 2 xX={x|0≤x≤1}, f(X)=[0, 1/2] (2)不能 ∵g(x)=sinx1≤0 g(x)的值域与f(u)的定义域之交集是空集
§2.1数列极限
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
8
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
引例②截丈问题
战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭. 1 第一天截下后的杖长为 X1 ; 2 1 第二天截下后的杖长为 X2 2 ; 2
1 第n天 截 下 后 的 杖 长 为 Xn n ; 2 1 0 Xn n
2
……
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是 极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的 精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极 限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系 列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的 大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的 剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积 ，还是杖棰的剩余长 度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数 列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是 人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型.
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
(4) 对 0, 2 , , 2 , M ( M正常数 )等, 虽与 在 形式上有差异 ， 但在本质上都与 起着同样的作用 .
lim a n a 0, N N , 当n N时, 有 a n a M .
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
下面给出数列极限严格的数学定义. ( N定义)
2.1.数列极限概念
lim an a 或 → a (n →∞) na
n
注: 上述定义称为“ε义
lim an a 0,
n
N N＋ , n N , 有
| an a | .
？
求实
创新
团结
奉献
n 1 例1：证明 lim . n n 1
奉献
三、数列极限 -N定义
分析： 数列{an}的极限为a ⇔ 随着n的无限增大，通项an无限接近于a ⇔ 当n充分大时，an与a的距离|an − a|可以任意小
求实
创新
团结
奉献
定义: 设 {an}为数列，a为定数，若对任给的ε >0，总存在
正整数N，使得当n>N时，有 |an − a|< ε，则称数列{an}收敛 于a，a称为{an}的极限. 记作
求实
创新
团结
奉献
例如, 当 n >N 时, 有
| an a | ,
则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有
| an a | .
也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追求 N 的 “ 最佳性 ” .
求实
创新
团结
奉献
xn
A
A
越来越 ，N越来越大！
an U (a ; ) , 即 lim an a .
n
求实
创新
团结
奉献
2
a x2 x1 x N 1
a
a
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
求实
2.1数列极限
n 时, an 始终为 1,
因此 lim an 1 ,
n
即 lim 1 1 .
n
( 2) 数列an ( 1)n , n 1,2,,
当 n 按奇数无限增大时, an 始终为 1;
n 按偶数无限增大时, an 始终为 1;
因此, n 时, an 没有明确的趋势,
n + (-1) n-1 an = ; n
n ( 1)n 1 { } n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
二、数列的极限
( 1)n1 观察数列 (1 )n1 当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n 无限增大时, an 的变化趋势如何？ 把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。
(-1) n-1 当 n → ∞时, an = 1 + 无限接近于1 . n
如果 n 在正整数集 N 中变化, 且无限增大时, 数列 {an } 的通项 an 无限趋于一个确定的数 a , 则称 数列 {an } 收敛于 a , 或称 a 为数列 {an } 的极限 , 记为
lim an a 或者 an a (n 时)
n n
( 2) lim(an bn ) lim an lim bn a b;
n n n
( 3) lim(anbn ) lim an lim bn ab;
n n n
an a an lim (4) 若 lim bn b 0, 则 lim n . n n b lim bn b n
n n
(3)
n
lim n( n 2 n 1)
3 n lim n n 2 n 1
lim
数学分析课后习题答案2.1
所以,任给 ε > 0 ,取 N = max{2, [ ] + 1} ,则当 n > N 时有
1
ε
3n 2 + n 3 3n 2 + n 3 , 故 lim = − < ε n →∞ 2n 2 − 1 2 2n 2 − 1 2
(3) 因为
n! 1 2 3 n 1 1 − 0 = ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ ≤ , 从而对任给的 ε > 0 , 取 N = [ ] + 1 , 则当 n > N n n n n n n ε n
(3) 对给定的 ε 是否只能找到一个 N ? 解: (1)当 ε 1 = 0.1 时,要使 a n − 0 =
1 + (−1) n 2 ≤ < 0.1 ,只要取 N 1 = 20 ; n n
当 ε 2 = 0.01 , ε 3 = 0.001 时, 只要取 N 2 = 200 , N 3 = 2000 即可.
1
所以任给 ε > 0 ,可取 N = [ ] + 1 ,则当 n > N 时有
ε
1+ 2 +3+ n 1 ≤ <ε n n3
故 lim
n →∞
1+ 2 +3+ n =0. n3
(3)由 {a n } 的定义知: 当 n 为奇数时,有 a n − 1 =
n2 + n −1 = n
n2 + n − n = n
n →∞ n →∞
证明:若 lim a n = a ,则由定义知: 任给 ε > 0 ,存在 N ,则当 n > N 时有 a n − a < ε
n →∞
于是当 n > N 时, n + k > n > N ,所以 a n + k − a < ε , 故 lim a n + k = a .
高等数学教材详细答案
高等数学教材详细答案1. 极限与连续1.1 数列极限的定义与性质(1) 数列极限的定义(2) 数列极限的性质1.2 函数极限的定义与性质(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质1.3 极限运算法则(1) 四则运算法则(2) 复合函数的极限(3) 三角函数的极限1.4 连续与间断(1) 连续的定义与性质(2) 间断点与间断类型2. 导数与微分2.1 导数的概念(2) 导数的几何意义2.2 导数的基本运算法则(1) 乘积法则(2) 商法则(3) 复合函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分(1) 高阶导数的定义(2) 高阶导数的性质2.4 微分的概念与运算(1) 微分的定义(2) 微分运算法则3. 微分中值定理与应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理(1) 罗尔定理(2) 拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则(2) 洛必达法则3.3 泰勒公式与极值问题(1) 泰勒公式的推导(2) 极值问题的求解4. 不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质(1) 不定积分的定义(2) 不定积分的基本性质 4.2 基本积分表与常用公式(1) 基本积分表(2) 常用公式与性质4.3 定积分的概念与性质(1) 定积分的定义(2) 定积分的性质4.4 定积分的计算方法(1) 几何与物理应用(2) 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用5.1 平面图形的面积(1) 平面图形的面积计算5.2 几何体的体积(1) 旋转体的体积计算(2) 截面法计算体积5.3 物理应用(1) 质量和质心的计算(2) 转动惯量和转动中心的计算6. 多元函数微分学6.1 二元函数与二元函数的极限(1) 二元函数的定义与极限(2) 二元函数的性质6.2 偏导数与全微分(1) 偏导数的定义与计算(2) 全微分的概念与性质6.3 多元函数的微分学定理(1) 多元函数的极值定理(2) 多元函数的条件极值问题7. 重积分7.1 二重积分的概念与性质(1) 二重积分的定义(2) 二重积分的性质7.2 二重积分的计算方法(1) 矩形区域的二重积分(2) 极坐标下的二重积分7.3 三重积分的概念与性质(1) 三重积分的定义(2) 三重积分的性质7.4 三重积分的计算方法(1) 柱面坐标和球面坐标下的三重积分(2) 三元函数的体积计算8. 曲线与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质(1) 第一类曲线积分(2) 第二类曲线积分8.2 曲线积分的计算方法(1) 参数方程下的曲线积分(2) 平面曲线的曲线积分8.3 曲面积分的概念与性质(1) 第一类曲面积分(2) 第二类曲面积分8.4 曲面积分的计算方法(1) 参数方程下的曲面积分(2) 线面积分的转化9. 常微分方程9.1 高阶常微分方程(1) 二阶常微分方程(2) 高阶常微分方程的线性方程 9.2 变量可分离方程与齐次方程(1) 变量可分离方程(2) 齐次方程9.3 一阶线性微分方程(1) 一阶线性微分方程的求解 9.4 常系数线性微分方程(1) 齐次线性微分方程的解法(2) 非齐次线性微分方程的解法10. 线性代数基础10.1 向量的基本概念与运算(1) 向量的定义与性质(2) 向量的线性运算10.2 矩阵与矩阵运算(1) 矩阵的定义与性质(2) 矩阵的运算法则10.3 行列式的定义与性质(1) 行列式的定义(2) 行列式的性质10.4 线性方程组与解的判定(1) 线性方程组的解的性质(2) 线性方程组的解的判定。
《微积分(一)》同步练习册
.Word 资料第二章 极限与连续 §2.1 数列极限1. 写出下列数列的通项，考察n →∞时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结果：（1） sin ,sin 2,,sin ,n πππK K ； （2） 1111,,,,242n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭K K2. 求下列数列极限： （1）n ；（2）3322lim ln(21)2ln ln 3n n n n n →∞⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦；（3）设0,1a a >≠，1,2,;n x n =K 求n n x ∞→lim ；（4）设101,,1,2,nkn k q x qn =≤≤==∑K ，求n n x ∞→lim ；（5）1,2,;n x n n ==K 求n n x ∞→lim ；（6）,1,2,;n x n ==K 求n n x ∞→lim ；（7）()()223sin ,1,2,;2cos n n n x n n n -==+K 求n n x ∞→lim .3. 设0,1,2,,,i a i k >=K 求()112lim ;n n n n kn a a a→∞+++K4. 设2221212n nx n n n n=++++++L ，求lim ;n n x →∞5.设n x =++L lim ;n n x →∞§2.2 函数极限1. 由函数xy e -=的图形考察极限lim ;lim ;lim ;x x xx x x e e e ---→+∞→-∞→+∞2. 由函数arctan y x =的图形考察极限lim arctan ;lim arctan ;x x x x →+∞→-∞limarctan ;x x →∞3. 求下列函数极限：（1）(2lim 2;x x →-∞+ （2）232037lim ;235x x xx x x →+--（3）2lim x -→ （4）x →（5）()7815(34)lim;51x x x x →∞-+ （6）3113lim .11x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭4. 设1,0()0,01,1x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<-⎩，讨论极限0lim ()x f x →是否存在.5.设1()ln ,1x f x a x x <≤=+>⎪⎩，且极限1lim ()x f x →存在，求实数a 的值.§2.3 函数极限的性质及运算法则1、 利用夹逼定理求极限03lim 2x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中3x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示3x 的取整函数。
2.1数列的极限ppt(1)
1 n
0
不存在
存在
0
1 3n
有穷数列没有极限
0
1 an n (n 100)
an 0.99
n
不存在
存在
0
0.99
n
0
1.求下列数列的极限：
1 2 3 4 (1). , , , ,... 2 3 4 5
3 11 19 27 (2). , , , ,... 2 4 6 8
5 9 13 17 (3) , , , ,... 2 4 6 8
一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 a n 的项 a n 无限地趋近于某个常数 a ，(即 a n a 无限地 接近0), 那么就说数列 a 以 a 为极限，或者说 a 是数列
an 的极限
n
lim an a
n
读作 “当n 趋向于无穷大时， a n的极限等于a ” 或 “limit n 当n 趋向于 a 无穷大时等于a ”
2.2 数列的极限(1)
一复习回顾: 数列的定义
【定义】按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列 的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为 { x n } .
【例如】 2,4,8, ,2 n , ;
n 趋向于无穷大 （1）
a n 是无穷数列
n 无限增大时，a n 不是一般地趋近于 a ，而是
a “无限”地趋近于
（2）
（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的
三、例题讲解：
例1、考察下面的数列，写出它们的极限： 1 1 1 0 1， ， ， ， 3 ， ； （1） 8 27 n 5 6. 6. 7 n ， ； 7 （2） 6.5， 95， 995， ， 10 1 1 1 1 , （3） , , , n , ； 0 2 4 8 ( 2 )
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
2.1数列的极限
*概念的引入
*数列极限的定义
*收敛数列的基本性质
*小结
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
2
欲求圆面积S,先求： 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
正 6 2 n 1 形的面积 An
an lim 2 2 ． n 时， a n 始终为 2，因此 lim n n
（2） 数列的通项 an 因此 lim
1 0． n n
1 n
， 当 n 时，an 无限接近于 0，
23
例 题 一
1 (1)n （3）数列的通项 an n
，当 n 时，an 无限接近
于
1 (1)n 0． 0，因此 lim n n
（4）数列的通项 a n ，当 n 时，an 无限增大，没有确 定的变化趋势，因此 lim n 不存在．我们常把这种情况记为
n
n
lim n ，它是极限不存在的一种特殊情况．
n
1 1 （5）数列的通项 an 2 3n ，当 n 时， 3n 无限接近 1 1 2 lim 2 于 0，故 3n 无限接近于 2，因此 n 3n 2 ．
1 1 1 1 1 { n } , , , , n , ; 2 2 4 8 2 1, 1, 1, , (1)n1, .
5
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴
上的点x1, x2, x3, , xn , .
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三、收敛数列的性质
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
【高等数学】2.1 数列的极限
0.001 |xn − 1| < 0.001 n > 1000
1
ϵ
|xn − 1| < ϵ
n>[ ] ϵ
.
.
.
.
.
.
高等数学
定义(数列极限) 对数列 {xn}, 若 ∃A ∈ R, ∀ϵ > 0, ∃N ∈ N+, 当 n > N 时,
|xn − A| < ϵ,
则称 A 为 {xn} 的极限, 或称 {xn} 收敛于 A, 记为
xn
=
n+(−1)n n
ϵ = 0.1 N = 10?
0.9
1
1.1
x10
.
.
.
.
.
.
高等数学
xn
=
n+(−1)n n
0.9
1
x11
ϵ = 0.1 N = 10?
1.1
.
.
.
.
.
.
高等数学
xn
=
n+(−1)n n
0.9
ϵ = 0.1 N = 10?
1
1.1
x12
.
.
.
.
.
.
高等数学
xn
=
n+(−1)n n
.
.
.
.
.
.
高等数学
注 1. 若不存在这样的 A, 则称 {xn} 无极限, 或 称为发散(不收敛). 2. ϵ 具有任意性, 说明 xn 与 A 的接近程度可以 任意小; ϵ 具有相对固定性, 一旦给出就固定. 3. N 存在即可, 其选取通常依赖于 ϵ, 常写作 N = N(ϵ), 但这不是真正的函数, 因为 N 不具 有唯一性, 也不需要最小. 4. 几何意义 无论 ϵ 多小, 第 N 项后的所有 xn 都在邻域 (A − ϵ, A + ϵ) 内, 即在此邻域外只有 有限项.
2.1数列极限(习题课)
若数列{an}有界. 证明:数列{xn}收敛.
其中常数q(0,1). 证明: 数列{xn}收敛.
五. 数列极限存在的判别法小结
xn 2 (n 1, 2, ) 例1 (习题2.1/10(1)) 设x1 = 1, xn1 xn 1
证明: 数列{xn}收敛并求极限值. 提示: 按下面思路给出三种证法 方法一 利用P24例7结论; 方法二 利用压缩性定理;
方法三 分奇偶子列利用单调有界定理.
五. 数列极限存在的判别法小结
例2 (习题2.1/12) 设xR
sin x sin 2 x sin nx an 1 2 2 2 1 2 n
证明: 数列{an}收敛. Ex. (习题2.1/14) 设有数列{xn}, 令
an | x2 x1 | | x3 x2 | | xn1 xn |
三. 用“—N”定义证明数列极限
1 1 xn A 0 , 按定义证明 lim 2 2 . 例1 设 lim n x n A n
1 1 . xn A 0, 按定义证明 lim Ex.1 设 lim n n xn A
5n 2 n 1 5 . (采用适当放大法) 例2 按定义证明 lim n 3n 2 5 3
二. 确界的若干性质 例2(习题1.4/1) 设对x E有f (x) g(x). 证明
1) sup f ( E) sup g( E); 2) inf f ( E ) inf g ( E ).
例3(习题1.4/3) 设f (x), g(x)是E上的有界正值函数. 证明: inf f ( E) inf g ( E) inf( f g)( E) inf f ( E) sup g( E) 并举例说明上式可取到严格不等号！
理学21数列极限
lim
n
xn
a
或
xn a (n 时)
如不存在这样的常数 a,则称数列{xn }发散，或不收敛，也可
以说极限
lim
n
xn不存在。
例 求以下数列的极限： 数列的项不一定取到它的极限值.
(1) 2, 4, 8, L , 2n , L 2n 无限增大; lim 2n不存在， 记为 lim 2n
数列极限严格的数学定义： N语言
0 , 若 N 0 ,使当 n N 时,
| xn a | 成立, 则称数 a 为数列{xn}当n 时的极限,
记为
lim
n
xn
a,
或
xn a
(n ) .
几何意义： 0,N, 使得 N 项以后的所有项
xN 1, xN 2 , xN 3 ,
3、随着n的无限增大，数列的变化趋势可大致分为两类： 一类，无限接近某个常数， 另一类，不趋近某个常数。
问题 当 n 的无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的 数值，如果是，如何描述之？
数列极限的定义：
当n无限增大时,数列xn的通项 xn 无限趋于一个确定
的常数 a,则称数列xn收敛于a，或称 a 为数列xn
(1)n n
无限接近于0;
(5) 1 , 2 , 3 , L , n , L
234
n1
通项 :
n
xn
n
. 1
n
n
1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
…
1
由图可知,当n无限增大时, 表示数列(5)的点逐渐密集
2.1数列的极限
§2.1数列的极限·引例·数列的有关概念 ·数列极限的定义 ·收敛数列的性质 一、引例 1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积 1A 正十二边形的面积2A 正 126-⨯n 边形的面积n AS A A A A n → ,,,,,3212、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211=X 第一天截下的杖长为;212122+=X 为第二天截下的杖长总和;2121212nn X n +++=天截下的杖长总和为第1211→-=nn X二、数列的有关概念 1、定义:以正整数集+N为定义域的函数)(n f 按,)(,,)2(,)1(n f f f 排列的一列数称为数列，通常用 ,,,,21n x x x 表示，其中 )(n f x n=，n x 称为通项 例如：（1） 11111, , , , , ,234n 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2） 2, 4, 8, , 2, n{}2n (3) 12313, 3, 3, 3, , 4, 234n -14n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(4) 11, 1, 1, 1, , (1), n +--- {}1(1)n +-注意：(1) 一个数列对应着数轴上的一个点列.(2) 数列是整标函数 ).(n f x n =2、有界性定义: 对数列n x , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有M x n ≤成立, 则称数列n x 有界, 否则, 称为无界.例如, 1+=n nx n 数列 有界，nn x 2=数列无界. 数轴上对应于有界数列的点n x 都落在闭区间],[M M -上.，都满足，对一切若存在实数A x n A n ≥,}{为下有界称n x ；的下界是}{n x A同样, ，都满足，对一切若存在B x n B n ≤,}{为上有界称n x ．的上界是}{n x A3、单调性,}{21n n x x x x ≤≤≤ 若满足数列 }{n x 称数列为单调增数列；,21n x x x ≥≥≥ 若满足为则称数列}{n x 单调减数列．单调增数列和单调减数列统称为单调数列． 4、子数列 (subsequence) {}{}列，简称子列．的子数新数列称为取其中无穷多项构成的，任在保持原有顺序情况下定义：将数列n n x x例如， ,,,,,21n i x x x x,,,,21kn n n x x x 注意： {}{}.k n n x x k x x k k n n n n kkk≥项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列三、数列极限的定义(Limit of a sequence)我们来观察⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1的情况。
梅加强版数学分析2.1习题答案
∃A
>
a
>
1, n
>
N1,
an+1 an
> a,
an
=
aN1
·
aaN1 +1 aaN1
·····
an an−1
>
aN1
· an−N1
→
∞.
3. 设 lim an = +∞, 则
n→∞
lim
n→∞
1 n
(a1
+
a2
+
·
·
·
+
an)
=
+∞;
4. 设 lim an = +∞, an > 0, 则
n→∞
n→∞
n→∞
an − bn ≤ A − bn ≤ bn − bn,
lim (an − bn) = lim (− (bn − an)) = 0,
n→∞
n→∞
lim
n→∞
(A
−
bn)
=
0,
lim
n→∞
bn
=
A.
2
方法 2. 当 n > N, 有
lim
n→∞
(bn
−
an)
=
0, ∀ε
>
0, ∃N
>
0,
|bn − an| < ε,
····
·
(n −
1) (n + 1) n2
=
lim
n→∞
n+1 2n
=
1 .
2
lim
n→∞
1 n2
(1
+
2.1数列的极限
a | x n − a |< , 2
从而
a a xn > a − = > 0. 2 2
推论
如果数列{ xn }从某项起有 xn ≥ 0(或xn ≤ 0), 且
n→ ∞
lim xn = a , 那么a ≥ 0(或a ≤ 0).
证
设数列{ xn }从第N 1项起即当 n > N 1时有xn ≥ 0.现在用反
都成立.取N = max{N1 , N 2 },则当n > N时, (1)式
及( 2)式会同时成立 . 但由(1)式有 x n <
a+b 2
,由( 2 )
式有 xn >
a+b 2
, 这 是不可能的 .
这矛盾证明了本 定理的断言 .
例4
证明数列 xn = ( −1)n+1 是发散的.
用反证法) 证 (用反证法 用反证法
| y n − a |< ε
都成立 , 那么就称常数 a是数列 y n的极限 , 或者称数 列 y n收敛于 a , 记为
lim y n = a ,
n→ ∞
或
yn → a (n → ∞).
如果不存在这样的常数a, 就说数列yn没有极限, 或者 说数列yn是发散的,习惯上也说lim yn不存在.
n→∞
则当n > N时,
就有 q
n −1
− 0 < ε,
即 lim q
n→ ∞
n −1
= 0.
补充数列的极限性质
定理1(极限的唯一性) 定理1(极限的唯一性) 1(极限的唯一性
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高等数学II 练习题 第二章 极限与连续
________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
习题2.1 数列极限
一．选择题
1．下列数列}{n x 中收敛的是 （ B ）
（A ）n n x n n 1)1(+-= （B ）1n 1(1)n x n +=- （C ）(1)2n n x -= （D ）1(1)10
n n n x =-+ 2．下列数列}{n x 中收敛的是 （ C ）
（A ）11n n n x n =-+() (B) 11,11,n n n x n n
⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 （C ）1,1,1n n n x n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数 (D) 12,212,2n n
n n n
n x n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数 3．数列11111
1
0,,,,,,,234567---的极限为
（ A ）
（A ）0 （B ）不存在 （C ）1 （D ）难以确定
4．若数列{}n x 有极限a ，则在a 的(0)εε>邻域之外，数列中的点 （ D ）
（A ）有无穷多个 （B ）可以有有限个，也可以有无穷多个
（C ）必不存在 （D ）至多有有限个
二．填空题 1．数列1111
0,,0,,0,,0,,2
468
L 的通项n a =______________及lim n n a →∞= 。
2．若数列2,1-1,2n n n n a n n n
⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，则该数列的极限是 。
3．若lim 2n n a →∞=，则21lim 2n n a +→∞= ；若lim n n a A →∞=，则lim ||n n a →∞= 。
4．2
2324lim 261n n n n n →∞+-=-+ 。
三．将给定数列与其相应的特性用线连接起来． (1) 111111:1,1,1,1,1,1,1,223344
n x -+-+-+L （a ）有界 1(1)2n
n +-0不存在1||A 32
(2) 32n n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（b ）单调 (3) :0.99,0.999,0.9999,
n x （c ）收敛 (4) sin
2n n x π= （d ）发散 四．证明题
1．设11(21)(21)
n n k a k k ==-+∑，证明：1lim 2n n a →∞=。
2．求极限)2
1......41211(lim n n ++++∞→。
3．求极限222111lim(1)(1)(1)23
n n →∞---。
4．举例说明：如果数列{||}n x 有极限，但数列{}n x 未必有极限。
11111111[(1)()()(1)23352121221111lim lim (12212n n n n a n n n a n →∞→∞=-+-++-=--++∴=-=+解：{|(1)|}1{(1)}n n --例如：数列是收敛于的，但是是个发散的数列。
另外，选择题中多个选项中的数列都具有这种性质。
111()1112lim(1......lim 2124212n n n n +→∞→∞-++++==-解：22211113243511lim(1)(1)lim()()()()23223344111lim 22
n n n n n n n n n n →∞→∞→∞-+---=⋅⋅⋅⋅+=⋅=解：。