优秀教案28直线与方程复习课

复习课: 第三章直线与方程

教学目标

重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．

难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．

能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．

自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；

2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；

3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．

考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目．

易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．

易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．

拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．

学法与教具

1．学法：讲练结合，自主探究

2．教具：多媒体课件，三角板

一、【知识结构】

二、【知识梳理】

1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．

②倾斜角α的范围为______________． （2）直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即

k =________，倾斜角是90︒的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式：

经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式为k =______________________．当

12x x ≠时，直线的斜率__________．

（3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系

当α为锐角时，α越大⇔k 越____；当α为钝角时，α越大⇔k 越____；

答案：1．（1） ①正向，向上，0︒

；②0180α︒︒≤<； （2） ①正切值，tan α；②21

21

y y x x --．不

存在．（3）大，大．

2．00()y y k x x -=-，y kx b =+，

112121y y x x y y x x --=--，1x y a b

+=，22

0(0)Ax By C A B ++=+≠．

垂直于x 轴；垂直于x 轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点． 3．两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，则有12//l l ⇔____________．特别地，当直线

的斜率1l 、2l 都不存在时，1l 与2l ________．

（2）两条直线垂直

如果两条直线斜率1l 、2l 存在，设为1k 、2k ，则12l l ⊥⇔____________，当一条直线斜率为零，另

一条直线斜率不存在时，两直线________．

4．两直线相交

交点：直线1l ：1110A x B y C ++=和2l ：2220A x B y C ++=的公共点的坐标与方程组

1112220

A x

B y

C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩的解一一对应． 相交⇔方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组________；

重合⇔方程组有______________．

5．三种距离公式 （1）点()11,A

x y 、()22,B x y 间的距离：

AB = ．

（2）点()00,P

x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离：

d = ．

（3）两平行直线1l ：1110A x B y C ++=与2l ：2220A x B y C ++= （12C C ≠）间的距离为d =______________．

6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直

线以及直线关于点的对称直线呢？

三、【范例导航】

例1 已知直线:20l mx y m -++=与以()2,3A --、()3,0B 为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．

【分析】可用两点式写出直线AB 的方程，联立直线l 和AB 的方程，解出交点的坐标M ，利用23M x -≤≤，解出m 的取值范围，由m 与斜率k 的关系，即得斜率k 的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线l 的方程中含有参数m ，可以得到直线l 必过一定点P ，将直线l 绕定点P 转动，寻找与线段AB 相交的位置．由“直线l 与线段AB 相交”展开联想．

（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围．

（2）直线l 与线段AB 相交于点M ，则点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解．

【解答】直线l 的方程可以化为()()210y m x -+++=，它表示经过直线20y -+=和10x +=的交

点的直线方程，由20,10,y x -+=⎧⎨

+=⎩解得1,

2,

x y =-⎧⎨=⎩所以直线l 必过定点(1,2)P -．

法一：设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β．5PA k =，1

2

PB k =-

．如图，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，其倾斜角由α增至0

90，斜率k 的变化范围是[)5,+∞．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，其倾斜角由0

90增至β，斜率k 的变化范围是1,2

⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦

．

故斜率k 的取值范围是[)1,5,2

⎛⎤-∞+∞ ⎥

⎝

⎦

．

法二：设直线l 的方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=．

∵点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴()()2323020k k k k -+++-++≤， 解得5k ≥或12k ≤-

．故斜率k 的取值范围是[)1,5,2⎛

⎤-∞+∞ ⎥

⎝

⎦．

【点评】（1）求直线过定点的步骤是：①将直线方程整理为()(),,0f x y mg x y +=（其中m 为参数）；

②解方程组()(

),0,

,0,f x y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即得定点坐标．

（2）本题确定直线斜率k 的取值范围用了以下两种方法：

①数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角α与斜率k 的关系：“当α为锐角时，α越大⇔k 越大()0k >；当α为钝角时，α越大⇔k 越大()0k <”去探究k 的变化规律．