行列式的定义及性质

行列式的定义及性质

（张俊敏）

● 教学目标与要求

通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。

● 教学重点与难点

教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。

● 教学方法与建议

通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。

● 教学过程设计

1.问题的提出

求解二、三元线性方程组

（二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221

211

212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为：

22

21

1211

222121*********

122211a a a a a b a b a a a a b a a b x =

--=

二阶、三阶行列式

22

212

1122

211112112221121

12112a b a a a a b a a a a a a b b a x =

--=

）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式）

1112112212212122

det()a a A a a a a a a ==-，其中A 为方程组的系数矩阵。

2. 三阶行列式：

32

3122

21

1333312321

1233322322

11

33

32

31

232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。

(2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。

2. n 阶行列式的定义：

1112122

23

221

23

22122211

12

23

1

3

1

221

22

2,1

111

2

,1

(1)n n

n

n n n nn

n n nn

n n nn

n n n

n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=

=-+

+- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的1n -阶行列式叫做ij

a 的余子式，记作ij M ，即11

1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1

,1

,1

j j n i i j i j n n ij

i i j i j i n n n j n j nn

a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=

并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为

111111*********

det (1)(1)k

n

n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+

+-=-∑ （2.5）

或1111121211111

det n

n n k k k A a D a D a D a D ==++

+=∑ （2.6）

式（2.4）（2.5）和（2.6）统称为n 阶行列式按第一行的展开式。 注：1 记一阶行列式a a =，但注意不要将其与绝对值概念混淆。

2一些特殊的行列式（下三角行列式，上三角行列式，对角型行列式） nn n n a a a a a a

2

1

222111000

nn

n n

a a a a a a 0

0222112

11

n λλλ 21 n λλλ

2

1

其中一类很好求值的行列式——上三角行列式。 例1

（1）

11

22

2122

11

1122

2

12

000nn n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a ==

=

（2）

1

2

12

n n

λλλλλλ=

3.行列式的性质

行列式运算从本质上讲，是由数组成的一种形式上定义的运算，但随着形式的改变，行列式的值有那些变化呢？下面性质就解决了这些问题。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

注 性质1表明行列式中行与列具有同等的地位，也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然。

性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论 若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。

性质3 用数 k 乘行列式某一行中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 换句话叙述此性质即是

推论 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。 性质4 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。

性质5 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。