行列式的定义及性质

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

行列式的定义及性质

(张俊敏)

● 教学目标与要求

通过学习,使学生理解n 阶行列式的定义,熟练掌握二、三阶行列式性质,能运用性质求行列式的值。

● 教学重点与难点

教学重点:n 阶行列式的定义及性质。 教学难点:n 阶行列式定义的理解。

● 教学方法与建议

通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式,了解行列式及其应用,在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出:行列式是一种运算,其结果是一个数;其意义在于在由数组成的形式(方阵)与数域之间建立了一种联系,使得我们可以通过数来研究形式的东西,同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。

● 教学过程设计

1.问题的提出

求解二、三元线性方程组

(二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221

211

212111b x a x a b x a x a ,当021122211≠-a a a a 时,可用消元法求得解为:

22

21

1211

222121*********

122211a a a a a b a b a a a a b a a b x =

--=

二阶、三阶行列式

22

212

1122

211112112221121

12112a b a a a a b a a a a a a b b a x =

--=

)二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式:(回顾高中时的二阶与三阶行列式)

1112112212212122

det()a a A a a a a a a ==-,其中A 为方程组的系数矩阵。

2. 三阶行列式:

32

3122

21

1333312321

1233322322

11

33

32

31

232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注:(1)这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。

(2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。

2. n 阶行列式的定义:

1112122

23

221

23

22122211

12

23

1

3

1

221

22

2,1

111

2

,1

(1)n n

n

n n n nn

n n nn

n n nn

n n n

n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=

=-+

+- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后,得到的1n -阶行列式叫做ij

a 的余子式,记作ij M ,即11

1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1

,1

,1

j j n i i j i j n n ij

i i j i j i n n n j n j nn

a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=

并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为

111111*********

det (1)(1)k

n

n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+

+-=-∑ (2.5)

或1111121211111

det n

n n k k k A a D a D a D a D ==++

+=∑ (2.6)

式(2.4)(2.5)和(2.6)统称为n 阶行列式按第一行的展开式。 注:1 记一阶行列式a a =,但注意不要将其与绝对值概念混淆。

2一些特殊的行列式(下三角行列式,上三角行列式,对角型行列式) nn n n a a a a a a

2

1

222111000

nn

n n

a a a a a a 0

0222112

11

n λλλ 21 n λλλ

2

1

其中一类很好求值的行列式——上三角行列式。 例1

(1)

11

22

2122

11

1122

2

12

000nn n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a ==

=

(2)

1

2

12

n n

λλλλλλ=

3.行列式的性质

行列式运算从本质上讲,是由数组成的一种形式上定义的运算,但随着形式的改变,行列式的值有那些变化呢?下面性质就解决了这些问题。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

注 性质1表明行列式中行与列具有同等的地位,也就是说:行列式对行成立的性质,对列也同样成立,反之亦然。

性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。

推论 若行列式中有两行元素完全相同,则行列式为零。

性质3 用数 k 乘行列式某一行中所有元素,等于用数 k 乘此行列式。 换句话叙述此性质即是

推论 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。 性质4 若行列式中有两行元素对应成比例,则行列式为零。

性质5 若行列式某行的元素是两数之和,则行列式可拆成两个行列式的和。

相关文档
最新文档