第一讲：加乘原理初步
学而思加乘原理初步课件
加乘原理的重要性
加乘原理在数学中的应用
培养逻辑思维
加乘原理是数学中基本运算之一，对 于进行各种复杂的计算具有重要的实 际意义。
学习加乘原理有助于培养逻辑思维， 提高对数学问题的分析和解决能力。
加深对数学概念的理解
通过学习加乘原理，可以更深入地理 解数学中的一些基本概念，如代数、 函数等。
加乘原理的应用范围
劣势3
加乘原理的应用需要投入时间和精力，需要进行必要的 准备和规划。
对加乘原理未来的展望和期待
发展方向1
深入研究加乘原理的理论和实践，探索其应用范围和领域，推动其 在更广泛领域的应用和发展。
发展方向2
加强加乘原理与其他理论或技术的结合，形成新的理论或技术体系 ，为解决复杂问题提供更多有效的工具和方法。
到一个整体，这个整体的效果大于各个部分的效果之和。
总结2
02
加乘原理可以应用于各种领域，如数学、物理、化学等，以及
商业、管理、教育等方面。
总结3
03
加乘原理是一种思维方式和工具，可以帮助人们更好地理解和
解决复杂问题，提高效率和效果。
分析加乘原理的优势和劣势
优势1
加乘原理可以帮助人们更好地认识事物的本 质和规律，从而更好地进行决策和行动。
和融合，能够产生新的工作思路和方法，从而更好地完成工作任务。
03
职业规划与发展
加乘原理可以帮助我们更好地规划职业发展，通过将不同的职业领域进
行关联和整合，能够更好地了解职业发展趋势和机会。
生活上的应用
提高生活质量
加乘原理可以帮助我们更好地管理生 活，通过将不同的生活领域进行优化 和整合，能够提高生活质量。
案例二：力量的加乘
总结词
第一板块：加乘原理
第一板块：加乘原理一、加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有m k种不同的做法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m k种不同的方法。
这就是加法原理。
加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决。
我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。
二、乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法。
这就是乘法原理。
乘法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几步，每一步只能完成任务的一部分，且缺一不可。
这样的问题可以使用加法原理解决。
我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。
在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。
(★★)从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?(★★)用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？(★★)红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？计数——加乘原理与“染色”问题(★★)(走进美妙数学花园少年数学邀请赛)如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。
共有种不同的填法？(★★)用0，1，2，3，7，8六个数字可以组成多少个能被9整除的没有重复数字的四位数。
(★★☆)一楼梯共12级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第12级，共有多少种不同走法？第二板块：“染色”问题(★★)用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。
加乘原理初步课件
加乘原理的数学表达
加乘原理可以表述为：对于任意两个数a和b，有a+b=b+a和ab=ba。 如果一个数学系统满足加乘原理，则该系统中的加法和乘法是可交换的。
03
加乘原理的实例解析
日常生活中的加乘实例
总结词
无处不在，易于理解
详细描述
在日常生活中，加乘原理的应用非常广泛。例如，在购物时，如果一个商品打九折，然后再买三赠一 ，这就是加乘原理的体现。原本需要购买4个商品才能享受到优惠，但由于打九折和买三赠一的双重 优惠，实际上只需要购买3个商品就能获得4个商品的价值，这就是加乘原理的魅力。
科学实验中的加乘实例
总结词
严谨科学，需要验证
01
线性加乘是指两个或多个数相加 或相乘时，结果与加法或乘法的 顺序无关。例如，2+3=3+2， 2x3=3x2。
02
在线性加乘中，加法或乘法的交 换律成立，即a+b=b+a和 ab=ba。
非线性加乘
非线性加乘是指两个或多个数相加或 相乘时，结果与加法或乘法的顺序有 关。例如，2x3不等于3x2。
加乘原理初步课件
• 加乘原理简介 • 加乘原理的基本概念 • 加乘原理的实例解析 • 加乘原理的推导过程 • 加乘原理的应用策略 • 加乘原理的未来发展
01
加乘原理简介
加乘原理的定义
总结词
加乘原理是一种数学原理，它描述了两个或多个数相乘时，其结果的计算方式 。
详细描述
加乘原理是数学中的基本原理之一，它指出两个数相乘时，其结果是它们各自 独立相加后再相乘的结果。具体来说，如果a和b是两个数，那么a乘以b等于a 加b后再乘以它们各自的值。
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练习1
如图，从A地去B地有3种方法，从B地去C 地有5种走法，那么小丁从A地经B地去C地 一共有多少种不同的走法?
解：3×5=15（种）
例2
• 牛牛去基肯麦吃饭，发现让店里菜单上只有3种不同的汉堡、4种不同的饮料和 5种不同的小吃。
• （1）如果牛牛想从汉堡和饮料中各选1种作为午餐，请问他一共可以搭配出多 少种不同的午餐组合？
加乘原理初步
迎新学校张老师
.
例
张老师要从上海去北京旅游，可以选择坐飞机，当天有4个班次。也 可以选择坐火车，当天有7个班次，那么张老师有几种不同的方法到 北京？
上海
飞机（4个班次）
北京Biblioteka 火车（7个班次）第一类：4种 第二类：7种
4+7=11（种）
分析：
如果完成一项工作有N类方法： 在第一类中有M(1)种不同的方法； 在第二类中有M(2)种不同的方法； 以此类推，在第N类中有M(N)种不同的 方法； 总共有： M(1)+M(2)+......+M(N)=总共的方法
• 解：先分类：挂一面：4种；挂两面：4×3=12（种）；挂三面：4×3×2=24 （种）所以共有4+12+24=40（种）信号
练习5
• 有红、黄、蓝三种颜色信号旗各一面。他牛牛在旗杆上挂信号旗时每次可从上 到下依次挂一面、两面或三面，排成一列。则牛牛一共可以表示出多少种不同 的信号？
• 解：挂一面有3种；挂两面有3×2=6种；挂三面有3×2×1=6（种）所以共有 3+6+6=15（种）信号
• (2)如果基肯麦为了吸引客人，决定从汉堡、饮料和小吃中各选1种组成套餐， 请问 基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？
加乘原理ppt课件
6. 所以，加乘原理公式得证 。
04
加乘原理实例分析
自然数幂运算的加乘原理体现
总结词
幂运算的加乘原理是自然数幂运算中的重要规律。
详细描述
在自然数幂运算中，对于任意正整数n，都有(a^n) * (b^n) = (a * b)^n，这就是幂运算的加乘原理。它表明当两个 数相乘时，可以将它们的幂次相加，从而得到它们乘积的幂次。
加乘原理的数学证明
数学证明过程
1. 定义加乘原理公式为P。
2. 根据加乘原理公式的定义，有P = (a+b)(c+d) 。
加乘原理的数学证明
01
02
03
04
3. 根据乘法分配律，有P = ac+ad+bc+bd。
4. 根据加法的结合律和乘法 的交换律，有P = a(c+d) +
b(c+d)。
5. 根据乘法的分配律，有P = (a+b)(c+d)。
02
对数的性质
对数的性质包括换底公式和log(a*b)=log(a)+log(b)等。换底公式是指
log_b(a)=log_c(a)/log_c(b)，其中c可以是任意正实数。
03
对数的应用
对数在金融、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。例如，在
金融学中，经常使用对数来描述股票价格的变化；在统计学中，对数可
加乘原理课件
目录
• 加乘原理概述 • 加乘原理基础 • 加乘原理公式及推导 • 加乘原理实例分析 • 加乘原理在生活中的应用 • 加乘原理的深入研究和探讨
01
加乘原理概述
加乘原理定义
01
加乘原理是指在进行数据分析时 ，将多个维度的数据按照不同的 权重进行相乘，以得到一个新的 数据表示。
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学而思加乘原理初步
• 花店有10盆不 的茉莉花，15盆不同的 菊花，8盆不同的丁香花。现在人从中 出出2盆，而且不能是同一品种的，一共有多少种不同的取法？
• 解：分三类情况：情况1取茉莉花和菊花有10×15=150（种）；情况2取茉莉 花和丁香花有10×8=80（种）；情况3取菊花和丁香花有15×8=120（种）所 以共有150+80+120=350
• 解：先分类：挂一面：4种；挂两面：4×3=12（种）；挂三面：4×3×2=24 （种）所以共有4+12+24=40（种）信号
学而思加乘原理初步
• 有红、黄、蓝三种颜色信号旗各一面。他牛牛在旗杆上挂信号旗时每次可从上 到下依次挂一面、两面或三面，排成一列。则牛牛一共可以表示出多少种不同 的信号？
学而思加乘原理初步
学而思加乘原理初步
上海
飞机（4个班次）
北京
火车（7个班次）
第一类：4种 第二类：7种
4+7=11（种）
学而思 加乘原 如理果初完步成一项工作有N类方法：
在第一类中有M(1)种不同的方法； 在第二类中有M(2)种不同的方法； 以此类推，在第N类中有M(N)种不同的 方法； 总共有： M(1)+M(2)+......+M(N)=总共的方法
学而思加乘原理初步
五名同学去照相馆拍照：
甲不能站在两侧，能照出多少张不同的照片？ 解：3 ×4×3×2×1=72（种）
学而思加乘原理初步
用数字1，2，3，4，5，6，7， (1)可以组成多少个两位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数 （3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ （4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解（1）7×7=49（个） （2）7×6×5=210（个） （3）3×6×5×4=360（个） （4）4×6×5×4=480（个）
第一讲 排列组合(加法与乘法原理)
第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
例1：（1）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中取一本，共有多少种不同的取法？（2）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中各取一本，共有多少种不同的取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同的走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。
他要各买一样，共有多少种不同的买法？例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g的砝码各一个，能称出多少种不同的重量？例3：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上的数之和等于34的数有种。
第一讲 加乘原理初步
第一讲加乘原理初步【学习目标】1.理解乘法原理和加法原理；2.掌握什么情况下用加法原理，什么情况下用乘法原理；3.能利用加乘原理解决简单的实际问题。
【前续知识】1.字典排列法和树形图------三年级秋季；2.标数法------三年级春季；【想想练练】1.将由3、4、5这3个数组成的3位数从小到大排列起来。
2.一个学生假期去A、B、C三个城市游览，每个城市可以重复游览，但是每天必须换一个城市，假如他今天在某个城市，明天就要到另一个不同的城市游览。
假如他第一天在A市，第4天回到B市。
问他的游览路线有几种不同的方案。
3.下图中从A点到B点最短路径有几种不同的走法。
AB4.小明出门前穿衣服发现一共有3件不同的衣服，5条不同的裤子。
问他出门一共有几种不同的搭配方式。
【解析】1.将由3、4、5这3个数组成的3位数从小到大排列起来。
345<354<435<453<534<543分析：三位数比大小，首先比百位，然后十位，最后看个位。
所以位数越高的数字越小，这个三位数就越小。
比如，最小的百位上肯定是3，十位上是排剩下数中较小的，所以写4，个位写5。
以此类推。
5.一个学生假期去A、B、C三个城市游览，每个城市可以重复游览，但是每天必须换一个城市，假如他今天在某个城市，明天就要到另一个不同的城市。
假如他第一天在A 市，第4天回到B市。
问他的游览路线有几种不同的方案。
第一天 A第二天 B C第三天 A C A B第四天 B B B分析：请看树形图，可见第四天回到B市的不同游览路线一共有3种。
分别是①、A→B→C→B ②、A→B→A→B ③、A→C→A→B2.下图中从A点到B点最短路径有几种不同的走法。
最短路径一共有6种走法。
分析：从A到B的最短路径，A一定要向下或者向右走。
每一点上的数字表示走到这个点有几种走法。
最后一步走到B点（红点），前一步一定要走到绿点，那么如果知道走到绿点有几种走法，我们就可以知道走到红点有几种走法。
加乘的原理和应用
加乘的原理和应用1. 什么是加乘加乘是指将两个或多个数字进行相乘的操作，得到一个结果的过程。
加乘是数学中最基本的运算之一，广泛应用于各个领域，例如物理学、工程学、计算机科学等。
2. 加乘的原理加乘的原理可以通过简单的例子来解释。
假设有两个数字a和b，要求将它们相乘得到结果c。
首先，将a复制b次，然后将这些复制的a相加起来，即得到了结果c。
具体的步骤如下：•将a复制b次得到a1, a2, …, ab。
•将a1, a2, …, ab相加得到结果c。
例如，假设a=5，b=3，我们可以将5复制3次得到5, 5, 5，然后将这三个5相加得到15，即5 * 3 = 15。
3. 加乘的应用3.1 数学领域在数学中，加乘被广泛应用于各种数学运算中。
例如，在代数学中，加乘被用于解方程、求解多项式等。
在概率论和统计学中，加乘用于计算概率、期望值等。
在几何学中，加乘用于计算面积、体积等。
3.2 物理学领域在物理学中，加乘被用于计算物体的质量、力、速度等。
例如，质量可以表示为密度乘以体积，力可以表示为质量乘以加速度，速度可以表示为位移除以时间等。
3.3 工程学领域在工程学中，加乘被广泛应用于各种工程计算中。
例如，在电路设计中，加乘用于计算电流、电压等。
在结构分析中，加乘用于计算应力、应变等。
在材料科学中，加乘用于计算材料的强度、硬度等。
3.4 计算机科学领域在计算机科学中，加乘被广泛应用于各种算法和数据结构中。
例如，在排序算法中，加乘用于计算数组元素的位置。
在图形学中，加乘用于计算像素的颜色值。
在机器学习中，加乘用于计算权重和偏差等。
3.5 其他领域除了上述领域，加乘还被应用于经济学、生物学、心理学等各个领域。
例如，在经济学中，加乘被用于计算 GDP、收入等。
在生物学中，加乘被用于计算基因和蛋白质的相互作用。
在心理学中，加乘被用于计算认知能力和学习能力等。
4. 总结加乘是数学中最基本的运算之一，通过将两个或多个数字相乘得到一个结果。
加乘原理
如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？
规矩与方圆
我国考古学者曾发掘出公元2世纪汉朝的浮雕像，其中有女娲手执规，伏羲手执矩的图像。在司马迁所写的《史记》中，也提到夏禹治水的时候“左准绳（左手拿着准绳）”，“右规矩（右手拿着规矩）”。在甲骨文里，就发现有规和矩这两个字。其中规字很像一个人手执圆规在画图，矩字像两个直角，可以说极尽象形文字之妙。
3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；
4、排队问题——比如说 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；
5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．
例题1
【提高】自然数12，456，1256这些数有一个共同的特点，相邻两个数字，左边的数字小于右边的数字．我们取名为“上升数”．用3，6，7，9这四个数，可以组成多少个“上升数”？
结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 个步骤，第 步是从家到长宁，一共 种选择；第 步从长宁到黄埔，一共 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 个可选择的路线了，即 条．
四、乘法原理的考题类型：
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；
2、字的染色问题——比如说要 个字，然后有 种颜色可以给每个字然后，问 个字有多少种染色的方法；
练习5
在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？
练习6
4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？
加乘原理初步
从武汉到上海,可以乘飞机、火车、轮船和 汽车。一天中飞机有3班，火车有4班，轮 船有3班，汽车有6班。那么一天中从武汉 到上海共有多少种不同的走法？
商店有铅笔8种，钢笔7种，圆珠笔3种，水 笔2种。小华要从中任选一种，有多少种不 同的选法？
加法原理：
一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法 中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同的做 法，……，第K类方法中有mK种不同的做法，则完 成这件事共有：N= m1+ m2+……mK种不同的方法。 这就是 加法原理。
答案
（1）5；（2）15；（3）9
解析
（1）3+2=5种 （2）6+4+3+2=15种 （3）3+2+2+1+1=9种
例题2
小优要登上12级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上12 级台阶共有多少种不同的登法？
答案 解析
233
登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级 上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上 去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法 数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶 跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（ n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因 此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的 方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
练习3
（1）在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（ ） 种放法．
最新学而思加乘原理初步电子教案
练习5
• 有红、黄、蓝三种颜色信号旗各一面。他牛牛在旗杆上挂信号旗时每次可从上 到下依次挂一面、两面或三面，排成一列。则牛牛一共可以表示出多少种不同 的信号？
• 解：挂一面有3种；挂两面有3×2=6种；挂三面有3×2×1=6（种）所以共有 3+6+6=15（种）信号
名师指导
• 一、加法原理三部曲 • 1，完成一件事分K类情况 • 2.类类独立（每类都能单独完成该件事） • 3.类类相加 • 二、乘法原理解题三部曲 • 1.完成一件事分K个必要的步骤 • 2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）； • 3.步步相乘 • 注意：特殊位置，特殊元素优先考虑
• (2)如果基肯麦为了吸引客人，决定从汉堡、饮料和小吃中各选1种组成套餐， 请问 基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？
• （3）后来基肯麦发现像艾迪这样不喜欢小吃的顾客有很多，为了方便这些顾 客，他们决定改良套餐结构；新的套餐中每款都包含一种汉堡和一种饮料，但 是小吃可选可不选。改良后基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？
加法原理
练习
商店里有2种巧克力糖：牛奶味、果仁味；有3种水果糖：苹果味、 梨味、香蕉味。小美想买一些糖送给她的朋友：
问：如果小美只买一种糖，她有几种选法？
再想一想？ 如果小美想买水果糖、巧克力糖各一种，她有几种选 法呢？
小美买巧克力糖有几种买法？————2种
小美买水果糖有几种买法？—————3种
小美各买一种糖的买法有
（
）种
2×3=6（种）
分析
如果完成一件事必须分几步，每一步有几种方 法，我们将每一步的方法数乘起来就是全部的
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• • • • • • • • • 一、加法原理三部曲 1，完成一件事分K类情况 2.类类独立（每类都能单独完成该件事） 3.类类相加 二、乘法原理解题三部曲 1.完成一件事分K个必要的步骤 2.步步相关（每步都不能单独完成该件事）； 3.步步相乘 注意：特殊位置，特殊元素优先考虑
练习1
如图，从A地去B地有3种方法，从B地去C 地有5种走法，那么小丁从A地经B地去C地 一共有多少种不同的走法?
解：3×5=15（种）
例2
• 牛牛去基肯麦吃饭，发现让店里菜单上只有3种不同的汉堡、4种不同的饮料和 5种不同的小吃。 • （1）如果牛牛想从汉堡和饮料中各选1种作为午餐，请问他一共可以搭配出多 少种不同的午餐组合？ • (2)如果基肯麦为了吸引客人，决定从汉堡、饮料和小吃中各选1种组成套餐， 请问 基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？ • （3）后来基肯麦发现像艾迪这样不喜欢小吃的顾客有很多，为了方便这些顾 客，他们决定改良套餐结构；新的套餐中每款都包含一种汉堡和一种饮料，但 是小吃可选可不选。改良后基肯麦一共能提供多少种不同的套餐组合？ • 解（1）3×4=12（种） • （2）3×4×5=60（种） • （3） 3×4×（5+1）=72（种）
练习2
• 1.大宽出门前要选一套衣服。他共有5种不同的上衣、3条不同的裤子，则大宽有 几种不同的搭配方法？ • 2.薇儿出门前也要选择一身衣服。她共有10件不同的上衣、4条不同的裤子、6条 不同的裙子（当然，裤子和裙子不同一起穿），则薇儿有多少种不同的搭配方法？ • 解：1， 3×5=15（种） • 2， 10×（4+6）=100（种）
加乘原理初步
迎新学校张老师
例
张老师要从上海去北京旅游，可以选择坐飞机，当天有4个班次。也 可以选择坐火车，当天有7个班次，那么张老师有几种不同的方法到 北京？
第一讲 加乘原理
第一讲加乘原理知识要点加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。
练习1在100-2013所有自然数中，百位数字与个位数字不相同的自然数有多少个？分析：可以把所有自然数减去百位数字与个位数字相同的自然数来计算，在百位数字与个位数字相同的自然数中可以分成千位是0，千位是1，千位是2这3类。
（2013-100+1）-（1×9×10×1+1×10×10×1+1×1×2×1）=1722(个) 答：百位数字与个位数字不相同的自然数有1722个。
练习2一层楼梯共十级，规定每次只能跨上二级或三级，要登上第十级，共有多少种不同的走法？分析：此题可以用列表法来解决问题。
答：共有7种不同的走法。
例题1小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书15本，不同的科技书20本，不同的小说书10本，那么，小明要选择两本不同类的书共有多少种选法？分析：可以把选择两本不同类的书分成外语书与科技书，外语书与小说书和科技书与小说书这3类。
15×20+15×10+20×10=650（种）答：小明要选择两本不同类的书共有650种选法。
例题2小明到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。
他要各买一样，共有多少种不同的买法？分析：可以把买饭菜分为买荤菜，蔬菜和汤这3步。
4×3×2=24（种）答：共有24种不同的买法。
小学数学拔高专题-加乘原理
第一讲 加乘原理初步认识【知识要点】：加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同方法，在第二类方法中有2m 种不同方法 ……在第n 类方法中有n m 种不同方法，那么完成这件任务共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第1步有1m 种方法，做第2步有2m 种方法……做第n 步有n m 种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法。
加法原理和乘法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。
加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和；乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积。
【解题策略】：加法原理解题三部曲：（1）完成一件任务有N 类方法；（2）每类找种数；（3）类类相加。
乘法原理解题三部曲：（1）完成一件任务分N 个必要步骤；（2）每步找种数；（3）步步相乘。
在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。
简言之：加法原理关键在于分类，类与类之间用加法；乘法原理关键在于分步，步与步之间用乘法。
【例题精讲】例1：有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，淘气想从中任取一本，共有多少种不同的取法？（分类统计，用加法计算。
）试一试：小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？例2：邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？（画出示意图，分步统计，用乘法计算。
）试一试：（1）从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，从丙地到丁地有3条路，笑笑要从甲地经过乙、丙两地到丁地去，共有多少种不同的走法？（2）学校食堂为老师预备了2种主食：馒头和米饭；3种菜：红烧肉、炒豆腐、辣子鸡；2种汤：紫菜蛋汤和青菜汤。
加乘原理初步
第四讲 加乘原理初步一、加法原理一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同的做法，第二类方法中有2m 种不同的做法，⋯⋯，第k 类方法中k m 种不同的做法，则完成这件事共有123k m m m m ++++种不同的做法。
加法原理解题三部曲： 1. 完成一件事分k 类情况；2. 类类独立（每类都能单独完成这件事）；3. 类类相加.加法原理口诀：加法分类，类类独立。
二、乘法原理一般地，如果完成一件事有k 个步骤，第1步中有1m 种不同的做法，第2步中有2m 种不同的做法，⋯⋯，第k 步中k m 种不同的做法，则完成这件事共有123k m m m m ⨯⨯⨯⨯种不同的做法。
乘法原理解题三部曲： 1. 完成一件事分k 个步骤；2. 步步相关（每步都不能单独完成这件事）；3. 步步相乘.乘法原理口诀：乘法分步，步步相关。
三、加乘原理综合加乘原理类问题，可按四个步骤进行思考： 1. 搞清楚自己需要做什么事情 2. 自己要完成这件事要怎么做 3. 判断是分类完成还是分步完成 4. 确定是用加法还是乘法四、特殊位置优先考虑 排队问题：运动会上甲乙丙丁4名运动员组队参加4×100接力赛，（1）4人随意安排顺序，一共有多少种不同的跑法？【解析】4×100接力赛即4位队员每人跑100米，跑完后将接力棒传至下一位队员，整个赛程共分4棒。
现要给4棒安排队员：注：①此题需要自己列举每一步的方法数，列举时要注意有几个选择就有几个方法数。
②当每个位置要求相同时，先安排哪个位置结果都一样。
（2）甲必须跑第一棒，一共有多少种不同的跑法？【解析】第一棒有特殊要求，先安排第一棒：每一棒都要选一次，共选四次，属于多步完成，用乘法原理，1×3×2×1=6（种）。
（3）甲不能跑第一棒，一共有多少种不同的跑法？【解析】每一棒都要选一次，共选四次，属于多步完成，用乘法原理，3×3×2×1=18（种）小结：特殊位置优先考虑。
计数入门之加乘原理初步
计数入门之加乘原理初步
一、知识站点：
1．乘法原理；
2．加法原理；
3．加乘原理的综合运用。
二、知识讲解与相关练习：
1．乘法原理：
3×2＝6(种)不同的走法。
乘法原理：把一件复杂的事情分成很多个步骤，把每个步骤的方法数连乘起来，所得到的乘积就是完成这件事情的不同方法数的总和。
某人到食堂去买饭，主食有3种，副食有5种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
五年级⑴班的5名小朋友打算排成一排参加广播操比赛，请问：有多少种不同的排法？
由数字0，1，2，3组成三位数，问：
⑴可以组成多少个三位数；
⑵可以组成多少个没有重复数字的三位数；
2．加法原理：
10＋5 = 15（种）不同的走法。
加法原理：把一件复杂的事情分成很多个类别，把每个类别的方法数连加起来，所得到的和就是完成这件事情的不同方法数的总和。
学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。
那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
3．加乘原理的综合运用：
加乘原理在运用的时候最主要要区分什么时候分步骤，什么时候分类别，步骤不可
以单独完成这件事，但每一个类别可以单独完成这件事。
一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：
⑴从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
⑵从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？
用5种不同的颜色染下面的地图，要求相邻的每块都不同色，请问共有多少种不同的染法？。
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四年级（上）奥数
第一讲：加乘原理初步
一：加法原理解题三部曲：二：乘法原理解题三部曲：
（1）完成一件事分K类情况；（1）完成一件事分K个必要步骤；
（2）类类独立（每一类都能单独完成该事情）；（2）步步相关（每步不可单独完成该事）（3）类类相加；（3）步步相乘；
例题1：
商店里有2种巧克力糖：牛奶味、果仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、香蕉味。
小C想买一些糖送给她的好朋友：
1、如果小C想买水果糖，有几种糖果可以买呢？
2、要是小C想送给他好朋友一种巧克力加一种水果糖，那有几种方法呢？
例题2：
郑老师和陈老师要从厦门去北京旅游，可以选择坐飞机，当天有4个班次。
也可以选择坐火车，当天有7个班次。
1、那么有几种不同的方法到北京？
2、如果郑老师选择坐飞机，陈老师选择坐火车，那么有几种选择方法呢？？
练习1：
如图，从A地去B地有3种方法，从B地去C地有5种走法，那么小丁从A 地经B地去C地一共有多少种不同的走法?
C
老师需要从厦门出发，依次到福州，上海游玩，从厦门到福州可以坐大巴，坐火车，坐飞机；从福州到上海可以坐船，坐飞机，坐动车，坐船。
那么请问老师从厦门到达南京有几种不同的交通方式呢？【要求：思维导图】
如果老师不仅要经过福州，上海，还要从上海去南京（可以坐大巴，坐飞机，坐动车，自驾），那么从厦门到南京有几种不同的交通方式呢？【要求：思维导图】
例题3：（★）
锋锋去肯德基吃饭,发现店里的菜单上只有3种不同的汉堡、4种不同的饮料和5种不同的小吃。
(1)如果锋锋想从汉堡和饮料中各选1种作为午餐,请问他一共可以搭配出多少种不同的午餐组合?
(2)如果肯德基为了吸引客人,决定从汉堡、饮料和小吃中各选1种组成套餐,请问肯德基一共能提供多少种不同的套餐组合?
(3)后来肯德基发现像妞妞这样不喜欢小吃的顾客有很多,为了方便这些顾客,他们决定改良套餐结构:新的套餐中每款都包含一种汉堡和一种饮料,但是小吃可选可不选。
改良后肯德基一共能提供多少种不同的套餐组合?
练习3：
（1）晓晨出门前要选一套衣服。
他有5件上衣，3条不同的裤子，那么请问晓晨有（）种不同的搭配方法。
（2）小梅在出门前也要选一身衣服，小梅说女生，她既有裤子，也有裙子，她有10件不同的上衣，4条裤子，6条不同的裙子，那么小梅有（）种不一样的搭配方法呢？
运动会上小A，小B，小C，小D，4名运动员组队参加4x100M接力赛（1）4人随意安排跑步顺序,一共有多少种不同的跑法?
（2）小A必须跑第一棒,一共有多少种不同的跑法?
（3）小A不能的第一棒,一共有多少种不同的跑法?（请用两种方法解★）
（4）小A不能胞第一棒和第四棒,一共有多少种不同的跑法?（★）
练习4：
甲、乙、丙、丁、戊，5个人一起照相，甲不可以站在两边，能照出几种不一样的照片？？（用两种方法解）
例题5：
用数字1、2、3、4、5、6、7
（1）可以组成多少个两位数? （2）可以组成多少个无重复数字的三位数? （3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数?（★）
（4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数?（★）
例题6：
可可有红、黄、蓝、绿四色信号旗各一面。
他在旗杆上挂信号旗时每次可从上到下依次挂面,两面或三面,排成一列。
那么牛牛一共可以表示出多少种不同的信号?【思维导图】
书架上有2本不同的英语书,4本不同的语文书,3本不同的数学书。
现在要从中取出2本,而且不能是同一科的,一共有多少种不同取法?【思维导图】
练习7：
花店有10盆不同的茉莉花,15盆不同的菊花,8盆不同的丁香花。
现在要从中取出2盆，而且不能是同一品种的,一共有多少种不同取法?
第一讲作业练习
1、泽泽投递邮件,由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条,那么邮递员从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?（要求：画图解答）
2、商店里有3种巧克力糖:牛奶味、榛仁味，香草味;有4种水果糖:苹果味、梨味、橙味，菠萝味。
安琪想买水果糖、巧克力糖各1种送给他的朋友,他有几种不同选法?
3、小明有许多衣服,包括5顶帽子、9件上衣、7条裤子和6双皮鞋。
她每次出门都要从中各取一件进行搭配。
问:共可组成多少种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴?
4、甲、乙、丙、丁、戊，5个同学排成一排照相,其中甲不能站在正中间,问一共能照出多少种不同的照片?（用两种方法解答）
5、用数字3、5、
6、8、9,
(1)可以组成多少个两位数? (2)可以组成多少个无重复数字的三位数? （3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数?（★）
(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数?（★）
6、小鱼带着他的同学们参观爸爸的书房,这里面有好多书法字画,他们从7幅楷书,5幅隶书,3幅草书作品中选取不同类型的两幅,共有种不同的选法。
7、牛牛看了挂在墙上的数字表格,说道:“我们用数字0、1、2、3、4、5、6组数。
”请问可以组成多少个
（1）没有重复数字的四位数? （2）没有重复数字的四位奇数? （3）百位为5且没有重复数字的四位数? （4）没有重复数字的自然数?
（5）没有重复数字的五位偶数? （6）没有重复数字且能被5
整除的四位数?
8、一天放学后小A，小B，小C，小D一起去小A家写作业,他们各有一个作业本混放在起,四人每人随便拿了一本。
问
（1）小A拿到自己作业本的拿法有多少种?
（2）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种?
（3）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种?（★）
（4）谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种?（★）
9、欣欣看大家兴趣浓厚,又想出一题来考大家:
(1)用数字1,2,3,4,5可以组成多少个小于1000的自然数?
(3)用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个小于1000的自然数?
10、CC伸个懒腰,看到了院子中停放的汽车牌照如图所示:(闽DMZ250，“闽D”表示厦门市,后面跟着2个字母(提示:英文字母共有26个),再跟3个数字,那么像这样的汽车牌照厦门市共有种不同的情况？？（★）
11、大家边做游戏边做作业,很快作业就做完了。
这时啾啾看到葵葵家的橱柜里面放着红、黄蓝、白四种颜色的小旗,各有2,2,3,3面,她想出了一个问题:任意取出三面按顺序排成一行,表示一种信号,问:一共可以表示多少种不同的信号?如果白旗不能打头又有多少种?
12、时间已经比较晚了,大家看了看电子表准备各自回家,这时阿普说:电子表用11:35表示11点35分,用06:05表示6点5分,那么2点到10点之间电子表显示无重复数字的时刻有几种。
（★）
研究探索题：
有红,黄,蓝,绿四种颜色的卡片各5张,且每种颜色的卡片上分别标有1,2,3,4,5,从这整卡片中取出5张,要求1、2、3、4、5各一张,但四种颜色都要有,共有种取法？？。