2020考研数学一真题及解析【完整版】

4 12 6
P(BAC) P(B AUC) P(B) P[B(AUC)] P(B) P(BA) P(BC) P(ABC) 1 0 1 0 1
4 12 6
P(CBA) P(C BUA) P(C) P[CU (BUA)] P(C) P(CB) P(CA) P(ABC) 1 1 1 0 1
1 2
S(x)
1 xS(x) 1 S(x) 2
则
(1
x)S
(
x)
1 2
S(
x)
1
即
S
(
x)
1 2(1
x)
S
(
x)
1
1
x
解得 S(x) 1 2 1 x c 1 x
又 S (0) 0 故 c 2 因此 S (x)
2 2. 1 x
18.（本题满分 10 分）
设 为 曲 面 Z x2 y2 x2 y2 4 的 下 侧 ， f (x) 是 连 续 函 数 ， 计 算
1
2 f y 2
48y
当 x 0, y 0时.A 0.B 1.C 0
AC B2 0 故不是极值.
当x1y 1 时 6 12
A 1.B 1.C 4.
AC
B2
0.A
1
0故
1, 6
1 12
是极小值点
极小值
f
1 6
,
1 12
1 3 6
8
1 12
3
6 1 12
1 216
16.（本题满分 10 分）
计算曲线积分 I
L
4x 4x2
y y2
dx
x y 4x2 y
dy
，其中
L
是
x2
y2
2
，方向为逆时针方向
16.解析：
设
P
4x 4x2
y y2
,Q
x y 4x2 y2
则 Q P 4x 2 y 2 8xy
x y
(4x 2 y 2)2
取路径 L : 4x2 y2 2, 方向为顺时针方向.
D
1 2
2
2 2
.
17.（本题满分 10 分）
设数列 {an } 满足
a1
1, (n
1)an
1
n
1 2
a
n
，证明：当 |
x
| 1 时幂级数
n1
an xn
收敛，
并求其和函数.
17.证明：由 (n
1)an 1
n
1 2
an
,
a1
1
知
an
0
则
an1
n
1 2
1 ，即 an1
an
an n 1
故{an} 单调递减且 0 an 1 ，故 an xn xn
|
n (x, y, f (x, x2 y2
y))
|
0存在
B.
(
x,
lim
y ) ( 0,0
)
|
n (x, y, f x2
( x, y2
y))
|
0存在
C.
(
x,
lim
y ) ( 0,0
)
|
d
(x, y, f x2
( x, y2
y))
|
0存在
D.
(
x,
lim
y ) ( 0,0 )
|
d
(x, y, f x2
x0
lim f (x) f (0) lim f (x) 0 f (0)
x0 x 0
x0 x
f (x) 在 x 0 处可导选 B
3.设函数
f
(x,
y)
在点（0，0）处可微，
f
(0, 0)
0, n
f x
,
f y
, 1
(0,0)
且非零向量
d
与
n 垂直，则（ ）
A.
(
x,
lim
y ) ( 0,0 )
P( AC) P(BC) 1 ，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为 12
3
A.
4 2
B.
3 1
C.
2
5
D.
12
7.答案：D
解析： P( ABC) P( ABUC) P( A) P[ A(BUC)]
P(A) P(AB AC) P(A) P(AB) P(AC) P(ABC) 1 0 1 0 1
0
，则
2 f xy
(1,1)
12.解析：
f ex(xy)2 x xex3y2 y
2 f
f y
=e x3 y
3x3
y e2 x3 y2
xy x
2 f =e+3e 4e. xy (1,1)
a 0 1 1
0a 13.行列式 1 1
1 a
1 0
1 1 0 a
13.解析：
a 0 1 1 a 0 1 1 0 a 1 1 0 a 1 1 1 1 a 0 1 1 a 0 1 1 0 a 0 0 a a
当 | x | 1 时， xn 绝对收敛，故 an xn 收敛.
n1
n1
S(x)
n1
anx n
nanx n 1
n1
(n
n0
1)an 1x n
a1 (n 1)an1x n n1
1
n1
n
1 2
an x n
1
n1
nan xn
1 2
n1
an xn
1
x
n1
nan x n1
P
100 i 1
Xi
55
的近似值为
A.1 (1)
B. (1)
C.1 (2)
D. (2)
8.答案：B 解析：由题意
EX 1 , DX 1
2
4
100
E i1
X i X
100EX
50.
D
100 i 1
X i
100DX
25
100
由中心极限定理 X i ~ N (50, 25) i 1
2020 考研数学一真题及解析（完整版）
一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1. x 0 时，下列无穷小阶数最高的是
A. x et2 1 dt 0
B.
x
ln 1+
t3
dt
0
C. sin x sint 2dt 0
∴ anr n 发散时， | r | R . n1
∴选 A. 5.若矩阵 A 经初等列变换化成 B，则（ ） A.存在矩阵 P，使得 PA=B B.存在矩阵 P，使得 BP=A C.存在矩阵 P，使得 PB=A D.方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解 5.答案：B
解析：
A 经初等列变换化成 B.
A. anr n 发散时， | r | R n1
B. anr n 发散时， | r | R n1
C.| r | R 时， anr n 发散 n1
D.| r | R 时， anr n 发散 n1
4.答案：A 解析：
∵R 为幂级数 an xn 的收敛半径. n1
∴ an xn 在 (R, R) 内必收敛. n1
存在可逆矩阵 P1 使得 AP1 B
A BP11令P P11
A BP. 选B.
6.已知直线 L1 :
x a2 a1
y b2 b1
2 c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
2 c3 c2
相交于一点，法
ai
向量 ai
bi
,
i
1, 2,3. 则
ci
A. a1 可由 a2, a3 线性表示
则
L
4x 4x2
y y
2
dx
x y 4x2 y2
dy
L L
4x 4x2
y y2
dx
x y 4x2 y2
dy
L
4x 4x2
y y2
dx
x y 4x2 y2
dy
D
Q x
P y
dxdy
1 2
L (4x y)dx (x y)dy
1
2
1
(1) dxdy
1 2
2S D
( x, y2
y))
|
0
3.答案：A 解析：
f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0
lim f (x, y) f (0, 0) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
x0 y0
x2 y2
即 lim f (x, y) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
0 a 1 a2 1
a 1 a2 1
0 a
1
1 a
1 1
1 1 a
0
0a
a
00 a a
a a
0
a2 2 2 0
1 1 a 4 4a 2. a
14.设
X
服从区间
2
, 2
上的均匀分布， Y
sin
X
，则 Cov(X
,Y )
14.解析：
解 f (x) 1 0
x
2
2
其他
cov( X ,Y ) EXY EXEY
∴
100 P
i1
Xi
55
P
100 i 1
X i 55 5
55
5
50
(1)
故选择 B
二、填空题：9—14 小题，每小题 2 分，共 24 分。请将解答写在答题纸指定位置上.
9.
lim
x0
1 ex 1
1 ln(1
x)
9. 解析：
lim
x0
1 ex 1
1 ln(1
x)
1cos x
D.
siHale Waihona Puke Baidu3 tdt
0
1.答案：D
解析：A. x et2 1 dt ~ x t 2dt x3
0
0
3
B.
x
ln
1
t3 dt ~
x3
t 2dt
2
x
5 2
0
0
5
C.
sin x sin t 2dt ~
0
x t2dt 1 x3
0
3
D. 1cos x 0
sin3 tdt ~
f (x) 0. |x|
D.当
f (x)在x 0处可导时,lim x0
f (x) 0. x2
2.答案：B
解析:
lim
x0
f
(x) x2
0lim x0
f (x) |x|
0 lim x0
f (x) x
0, lim x0
f
(x) x
0
lim f (x) 0, lim f ( x) 0
x0 x
B. a2 可由 a1, a3 线性表示
C. a3 可由 a1, a2 线性表示
D. a1, a2 , a3 线性无关
6.答案：C 解析：
令
L1
的方程
x
a2 a1
=
y b2 b1
z c2 c1
t
即有
x y
a2 b2
t
a1 b1
=2
t1
z c2 c1
由
L2
的方程得
1x2 3
2 t 2dt
0
2
5
t2
5
1 x2 2 0
5
2 5
1 2
2
x5
2.设函数
f
(x)
在区间（-1，1）内有定义，且
lim
x0
f
( x)
0,
则（
）
A.当
lim
x0
f (x) |x|
0,
f ( x)在x 0
处可导.
B.当
lim
x0
f
(x) x2
0,
f ( x)在x 0
处可导.
C.当
f (x)在x 0处可导时,lim x0
4 12 12 12
P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 11 1 5
6 6 12 12
选择 D
8.设
X1, X 2 ,…, X n
为来自总体
X 的简单随机样本，其中 P( X
0)
P(X
1)
1 , (x) 2
表
示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得
E(X sin X ) EXE(sin X )
2 2
x sin
x
1
dx
2 2
1
xdx
2 2
1
sin xdx
2 1
2 x sin xdx 0
0
2
2 ( x)d cos x
0
2
x
cos
x
2 0
2 cos xdx
0
2
0
sin
x
2 0
2
三、解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证
lim
x0
ln(1 x) ex (ex 1) ln(1
1 x)
lim
x0
ln(1
x) x2
e
x
1
1 ex lim 1 x
x0 2x 1
10.设
y
x ln(t
t
2
1 t 2 1)
，则
d2y dx2
|t1
10.解析：
dy
1
1
dy dt t t 2 1
t
t2
1
1
dx dx
11.解析：
特 征 方 程 为 2 a 1 0 特 征 根 为 1, 2 ， 则 1 2 a,1 2 1 ， 特 征 根
1 0, 2 0
f (x)dx
[
f
(x)
af
(x)]dx
0
0
[
f
(
x)
af
(
x)]
|
0
n am
12.设函数 f (x, y)
xy e xt2dt
x y
a3 b3
t
a2 b2
=3
t2
z c3 c2
由直线 L1 与 L2 相交得存在 t 使2 t1 3 t2
即3 t1 (1 t)2 ，3 可由1,2 线性表示，故应选 C.
7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P( A) P(B) P(C) 1 , P( AB) 0 4
x0 y0
x2 y2
n x, y, f (x, y) f x(0, 0)x f y(0, 0) y f (x, y)
n x, y, f (x, y)
lim
0 存在
( x, y)(0,0)
x2 y2
选 A.
4.设 R 为幂级数 anr n 的收敛半径，r 是实数，则（ ） n1
t
t
dt
t2 1
dy 2
d
dy dt
d
dy dt
dt
dx2 dx
dx
dt
1 t2 t
t2 1
t2 1 t3
得
dy 2 dx2
t 1
2
11. 若 函 数 f (x) 满 足 f (x) af (x) f (x) 0(a 0), 且f (0) m, f (0) n ， 则
0 f (x)dx
明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分）
求函数 f (x, y) x3 8y3 xy 的最大值
15.解析： 求一阶导可得
f 3x2 y x f 24 y2 x y
f
x
令
f
y
0 0
可得
x
y
0
x
0
y
1 6 1 12
求二阶导可得
2 f x2
6x
2 f x2 y